Определение . Пусть в n повторяющихся опытах (испытаниях) некоторое событие А наступило n A раз.

Число n A называется частотой события А , а отношение

называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии испытаний.

Свойства относительной частоты

Относительная частота события обладает следующими свойствами.

1. Частота любого события заключена в интервале от нуля до единицы, т.е.

2. Частота невозможного события равна нулю, т.е.

3. Частота достоверного события равна 1, т.е.

4. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот (частостей) этих событий, т.е. если =Ø, то

Частость обладает свойством , называемым свойством статистической устойчивости : с увеличением числа опытов (т.е. с увеличением n ) частость события принимает значения, близкие к вероятности этого события р .

Определение. Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов) n .

Вероятность события А обозначается символом Р (А ) или р (А ). Появление в качестве символа понятия «вероятность» буквы р определяется ее наличием на первом месте в английском слове probability – вероятность.

Согласно данному определению

Свойства статистической вероятности

1. Статистическая вероятность любого события А заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Статистическая вероятность невозможного события (А = Ø) равна нулю, т.е.

3. Статистическая вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице, т.е.

4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В = Ø, то

Классическое определение вероятности

Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде группы несовместных равновозможных событий. Случай, который приводит к появлению события А , называется благоприятным или благоприятствующим, т.е. случай w влечет за собой событие А , w А .

Определение . Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.

Свойства «классической» вероятности

1. Аксиома неотрицательности : вероятность любого события А неотрицательна, т.е.

Р (А ) ≥ 0.

2. Аксиома нормированности : вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице:

3. Аксиома аддитивности : вероятность суммы несовместных событий (или вероятность появления одного из двух несовместных событий) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В =Ø, то

Вероятность события : Р () = 1 – Р (А).

Для вероятности события, являющегося суммой любых двух событий А и В, справедлива формула:

Если события А и В не могут произойти в результате одного испытания одновременно, т.е. иными словами, если А·В – невозможное событие, то их называют несовместимыми или несовместными , и тогда Р (А·В ) = 0 и формула вероятности суммы событий приобретает особенно простой вид:

Если же события А и В могут произойти в результате одного испытания, то их называют совместимыми .

Полезный алгоритм

При нахождении вероятностей с использованием классического определения вероятности следует придерживаться следующего алгоритма.

1. Необходимо четко осмыслить, в чем состоит эксперимент.

2. Четко сформулировать, в чем состоит событие А , вероятность которого необходимо найти.

3. Четко сформулировать, что будет в рассматриваемой задаче составлять элементарное событие. Сформулировав и определив элементарное событие, следует проверить три условия, которому должно удовлетворять множество исходов, т.е. Ω.

6. Следуя классическому определению вероятности, определить

При решении задач наиболее распространенной ошибкой является нечеткое понимание того, что берется в качестве элементарного события w , а от этого зависит правильность построения множества и правильность вычисления вероятности события. Обычно на практике в качестве элементарного события берут простейший исход, который нельзя «расщепить» на более простые.

Существует несколько определений понятия вероятности. Приведем классическое определение. Оно связано с понятием благоприятствующего исхода. Те элементарные исходы (э.и.), в кот. интересующее нас событие наступает назовем благоприятствующими этому событию. Опр. : Вер.ю события А назыв. отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных э. и., образующих полную группу. P(A) = m/n, где m – число э. и., благоприятствующих событию А; n – число всех возможных э. и. испытания. Из определения вероятности вытекают ее св-ва :1)вер.(в) достоверного события всегда равна 1. Т.к. событие достоверно, то все э. и. испытания благоприятствуют этому событию, т.е. m=n. P(A)=n/n = 1; 2) В. невозможного соб. равна 0. Т.к. событие невозможно, то нет ни одного э. и., благоприятствующего этому событию, значит m=0. P(A) = 0/n = 0; 3) В. случайного события есть неотрицательная вел-на, заключенная между 0 и 1, т.е. 0

4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

Относительной частотой (ОЧ) события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. (НЕ омега!!!). W(A) = m/n, где m – число появления события А, n – общее число испытаний. Определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Определение ОЧ предполагает, что испытания были произведены фактически, т.е. вер. вычисляют до опыта, а ОЧ после опыта. Если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из кот. число испытаний достаточно велико, то ОЧ обнаруживает св-во устойчивости. Это св-во состоит в том, что в различных опытах ОЧ изменяется мало, тем меньше, чем больше произведено испытаний, колеблаясь около некоторого постоянного числа. Это число есть вер. появления события. Т.о. опытным путем установлено, что ОЧ можно принять за приближенное значение вероятности.

5.Статистическая вероятность.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике часто встречаются испытания, число возможных исходов кот. бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Наряду с классич. опр. используют статистическое. Опр.: стат. вер. (ст.в.) события – относительная частота (ОЧ) или число близкое к ней. Св-ва вероятности, вытекающие из классич. определения, сохраняются и при статистическом. Если событие достоверно, то его ОЧ =1, т.е. ст.в. также =1. Если событие невозможно, то ОЧ = 0, т.е. ст.в. тоже = 0. Для любого события 0W(A) 1, сл-но. ст.в. заключена между 0 и 1. Для существования ст.в. требуется: 1) возможность хотя бы принципиально проводить неограничен. число испытаний, в каждом из кот. событие наступает или не наступает; 2) устойчивость ОЧ появления события в различных сериях достаточно большого числа испытаний. Недостатком статистич. определения является неоднозначность ст.в. Например, если в рез-те достаточно большого числа испытаний оказалось, что ОЧ весьма близка к 0,6, то это число можно принять за ст.в. Но в кач-ве вероятности события можно принять не только 0,6, но и 0,59 и 0,61.

Предмет теории вероятностей. Испытание. Классификация событий.

Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности, имеющие место в массовых однородных испытаниях (МОИ).

Испытание – это комплекс каких-либо условий, действий.

МОИ – это такие испытания, которые теоретически могут быть продолжены до бесконечности (учёба, соц.опросы, подбрасывание монеты).

Исход испытания – возможный результат испытания.

Событие – это абстракция исхода испытания (произошло явление в МОИ или нет).

НАПР., подбрасывание монеты – испытание, а появление «орла» - событие.

Событие принято обозначать большими лат. буквами A, B, C.

ВИДЫ СОБЫТИЙ:

1. Достоверным называется событие, которое произойдёт при любом исходе испытания.

2. Невозможное – не произойдет ни при каком исходе испытания.

3. Случайное – может произойти в результате испытания или нет.

НАПР., Подбрасывается игральный кубик.

Событие А – число очков не > 6: достоверное.

Событие В – число очков > 6: невозможное.

Событие С – от 1 до 6: случайное.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1. Равновозможные – такие, для которых сущ-вуют равноправие отдельных исходов испытания.

НАПР., извлечение короля, туза, дамы, валета из колоды карт.

2. Единственновозможные - такие, если в испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.

НАПР., В семье 2 детей: А – 2 мальчика, В – 2 девочки, С – 1 м. и 1 д.

Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика – наука о соединениях. Под соединением понимают любую совокупность элементов некоторого множ-ва.

НАПР., множ-во студентов, сидящих в аудитории.

Все соединения делятся на 3 группы:

1)Размещения. Р-ми из n эл-тов по m () называются такие соед-я, которые отличаются друг от друга либо составом эл-тов, либо порядком соединения эл-тов, либо тем и другим вместе.

Аnm = n!/(n-m)!

Задача. Сколько различных 2значных чисел можно составить из множ-ва цифр {1;2;3;4}, причем так, чтобы цифры числа были различными.

А из 4 по 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12

2) Сочетания. Сочетаниями из n эл-тов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом эл-тов (порядок следования не важен)

С из n по m = n!/m!*(n-m)!

Задача. Скольким числом способов можно в группе из 30 человек распределить путевки в санаторий Уссури.

C из 30 по 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.

3) Перестановки (Pn). Перестановками из n эл-тов называются такие соединения, которые включают в себя все n эл-тов и отличаются друг от друга только порядком их соединения.

Задача. Скольким числом способов можно расставить в шеренгу 6 курсантов на плацу.

ПРАВИЛО СУММЫ – если объект а может быть выбран из множ-ва различными s способами, а объект b – различными r способами, тогда выбор одного из эл-тов a или bar может быть осуществлен различными r+s способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ – если объект а может быть выбран различными s способами и после каждого такого выбора объект b может быть выбран различными r способами, тогда выбор пары эл-тов может быть осуществлен различными r*s способами (а и b = r*s).

Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу (P(A)=m/n).

СВОЙСТВА В-ТИ:

1) В-ть достоверного события = 1.

Т.к. D – достоверное событие, то каждый возможный исход испытания благоприятствует событию, т.е. m=n.

P(D) = m/n = n/n = 1/

2) В-ть невозможного события равна нулю. Т.к. событие N невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, т.е. m=0.

P(D) = m/n = 0/n = 0/

3) В-ть случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. Случайному событию S благоприятствует лишь из общего числа элемент. исходов испытания, т.е. 0

0

Таким образом, в-ть любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0<=P(A)<=1.

Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний.

W(A)=m/n, где m – число появления события, n – общее число испытаний.

В-ть предполагает, а относительная частота – фиксирует. В-ть не требует, чтобы события проводились, а относительная частота – требует. Другими словами, в-ть события вычисляют до проведения опытов, а отн. частоту – после.

УСТОЙЧИВОСТЬ относительной частоты.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости.

Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа.

Оказалось, что это постоянное число есть в-ть появления события W(A) = P(A).

СТАТИСТИЧЕСКОЙ в-тью события называется число, вокруг которого группируются относительные частоты этого события, причем при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа испытаний относительная частота незначительно отличается от этого числа.

называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии опытов.

Относительная частота события обладает следующими свойствами :

1. Частость любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Частость невозможного события равна нулю, т.е.

3. Частость достоверного события равна 1, т.е.

4. Частость суммы двух несовместных событий равна сумме частоты
этих событий, т.е. если , то

Частость обладает еще одним фундаментальным свойством, называемым свойством статистической устойчивости : с увеличением числа опытов (т.е. n ) она принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу (говорят: частость стабилизируется, приближаясь к некоторому числу, частость колеблется около некоторого числа, или ее значения группируются около некоторого числа).

Так, например, в опыте (К. Пирсон) бросание монеты – относительная частота появления герба при 12000 и 24000 бросаниях оказалась равной 0,5015 и 0,5005 соответственно, т.е. частость приближается к числу . Частость рождения мальчика, как показывают наблюдения, колеблется около числа 0,515.

Отметим, что теория вероятностей изучает только те массовые случайные явления с неопределенным исходом, для которых предполагается наличие устойчивости относительной частоты.

Статистическое определение вероятности

Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие. Такой оценкой является вероятность события , т.е. число, выражающее степень возможности его появления в рассматриваемом опыте. Математических определений вероятности существует несколько, все они дополняют и обобщают друг друга.

Рассмотрим опыт, который можно повторять любое число раз (говорят: «проводятся повторные испытания»), в котором наблюдается некоторое событие А .

Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события Апри достаточно большом числе испытаний (опытов).

Вероятность события А обозначается символом Р (А ). Согласно данному определению:

.

(1.2)

Математическим обоснованием близости относительной частоты и вероятности Р (А ) некоторого события А служит теорема Я. Бернулли.

Вероятности Р (А ) приписываются свойства 1-4 относительной частоты:

1. Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Статистическая вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

3. Статистическая вероятность достоверного события равна 1, т.е.

4. Статистическая вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме частоты этих событий, т.е. если , то

Статистический способ определения вероятности, опирающийся на реальный опыт, достаточно полно выявляет содержание этого понятия. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так в примере с бросанием монеты в качестве вероятности можно принять не только число 0,5, но и 0,49 или 0,51 и т.д. Для надежного определения вероятности нужно проделать большое число испытаний, что не всегда просто или дешево.

Классическое определение вероятности

Существует простой способ определения вероятности события, основанный на равновозможности любого из конечного числа исходов опыта. Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде полной группы несовместных равновозможных событий. Такие исходы называются случаями, шансами, элементарными событиями , опыт - классическим . Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев или схеме урн (т.к. вероятностную задачу для такого опыта можно заменить эквивалентной ей задачей с урнами, содержащими шары разных цветов).

Случай w, который приводит к наступлению события А , называется благоприятным (или благоприятствующим) ему, т.е. случай w влечет событие A : .

Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.

.

(1.3)

Наряду с обозначением Р (А ) для вероятности события А используется обозначение р , т.е. р=Р (А ).

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства :

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

3. Вероятность достоверного события равна 1, т.е.

4. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме частоты этих событий, т.е. если , то

Пример 1.3. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

Решение :

Пусть А – событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Ясно, что – число всех равновозможных случаев. Число случаев, благоприятствующих событию А , равно 12, т.е. . Следовательно, по формуле (1.3) имеем: , т.е. .

Геометрическое определение вероятностей

Геометрическое определение вероятности применяется в случае, когда исходы опыта равновозможны, а ПЭС есть бесконечное несчетное множество. Рассмотрим на плоскости некоторую область Ω, имеющую площадь , и внутри области Ω, область D с площадью S D (см. рис. 6).

В области Ω случайно выбирается точка X . Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки X в область Ω. При этом попадание точки в область Ω - достоверное событие, в D - случайное. Предполагается, что все точки области Ω равноправны (все элементарные события равновозможны), т.е. что брошенная точка может попасть в любую точку области Ω и вероятность попасть в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть событие , т.е. брошенная точка попадет в область D .

Рис. 6

Геометрической вероятностью события А называется отношение площади области D к площади области Ω, т.е.

во втором:

где через mes обозначена мера (S, l , V) области.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами , присущими классическому определению:

1. Геометрическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Геометрическая вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

3. Геометрическая вероятность достоверного события равна 1, т.е.

4. Геометрическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме частоты этих событий, т.е. если , то

Классическое определение вероятности

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появление того или иного события.

Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом (элементарным событием). Обозначения: …,

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими.

Пример: В урне 10 одинаковых шаров, из которых 4 – черные, 6- белые. Событие - из урны извлекается белый шар. Число благоприятствующих исходов, в которых из урны будут извлекаться белые шары, равно 4-м.

Отношение числа благоприятствующих событию элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события; обозначение В нашем примере

Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу,

где число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

2. Вероятность невозможного события равно нулю, т. е.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т. е.

или

С учетом свойств 1 и 2, вероятность любого события удовлетворяет неравенству

4 . Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества элементов произвольной природы. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок

где Принято, что

Пример. Число трехзначных чисел, когда каждая цифра входит в изображение трехзначного числа только один раз, равно

Размещениями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Пример. Число сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2:

Сочетаниями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Пример. Число способов выбора двух деталей из ящика, содержащего 10 деталей:

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы . Если некоторый объект может быть выбран из совокупности объектов способами, а другой объект может быть выбран способами, то выбрать либо , либо можно способами.

Правило произведения . Если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.

Относительная частота также является основным понятием теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний и определяется формулой

,

где число появлений события в испытаниях, общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем, что определение вероятности не требует проведения испытаний, а определение относительной частоты предполагает фактическое проведение испытаний.

Длительные наблюдения показывают, что при проведении опытов в одинаковых условиях, относительная частота обладает свойством устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных сериях опытов относительная частота испытаний от серии к серии изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.

Классическое определение вероятности имеет некоторые недостатки:

1) число элементарных исходов испытания конечно, на практике это число может быть и бесконечным;

2) очень часто результат испытания невозможно представить в виде совокупности элементарных событий;

По этим причинам наряду с классическим определением вероятности используют статистическое определение: в качествестатистической вероятности события принимают относительную частоту.