- 09.10.2014
Показанный на рисунке предварительный усилитель предназначен для использования с 4-я видами источников звука, например микрофон, CD-проигрыватель, магнитола и др. При этом у предварительно усилителя один вход, который может менять чувствительность от 50 мВ до 500мВ. выходное напряжение усилителя 1000мВ. Подключая разные источники сигнала при переключении переключателя SA1, мы всегда получим …
- 20.09.2014
БП рассчитан на нагрузку мощностью 15…20 Вт. Источник выполнен по схеме однотактного импульсного высокочастотного преобразователя. На транзисторе собран автогенератор, работающий на частоте 20…40кГц. Частота настраивается емкостью С5. Элементы VD5,VD6 и С6 образуют цепь запуска автогенератора. Во вторичной цепи после мостового выпрямителя стоит обычный линейный стабилизатор на микросхеме, что позволяет иметь …
- 28.09.2014
На рисунке представлен генератор на микросхеме К174ХА11, частота которого управляется напряжением. При изменении емкости С1 от 560 до 4700пФ можно получить широкий диапазон частот, при этом настройка частоты производится изменением сопротивления R4. Так например автор выяснил что, при С1=560пФ частоту генератора можно изменять при помощи R4 от 600Гц до 200кГц, …
- 03.10.2014
Блок предназначен для питания мощного УНЧ, он рассчитан на выходное напряжение ±27В и так нагрузки до 3А на каждое плече. БП двух полярный, выполнен на комплектарных составных транзисторах КТ825-КТ827. Оба плеча стабилизатора выполнены по одной схеме, но в другом плече (он не показан) изменена полярность конденсаторов и использованы транзисторы другой …
– это многогранник, который образуется основанием пирамиды и параллельным ему сечением. Можно сказать, что усеченная пирамида – это пирамиду со срезанной верхушкой. Эта фигура обладает множеством уникальных свойств:
- Боковые грани пирамиды являются трапециями;
- Боковые ребра правильной усеченной пирамиды одинаковой длины и наклонены к основанию под одинаковым углом;
- Основания являются подобными многоугольниками;
- В правильной усеченной пирамиде, грани представляют собой одинаковые равнобедренные трапеции, площадь которых равна. Также они наклонены к основанию под одним углом.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды представляет собой сумму площадей ее сторон:
Так как стороны усеченной пирамиды представляют собой трапеции, то для расчета параметров придется воспользоваться формулой площади трапеции . Для правильной усеченной пирамиды можно применить другую формулу расчета площади. Так как все ее стороны, грани, и углы при основании равны, то можно применить периметры основания и апофему, а также вывести площадь через угол при основании.
Если по условиям в правильной усеченной пирамиде даны апофема (высота боковой стороны) и длины сторон основания, то можно произвести расчет площади через полупроизведение суммы периметров оснований и апофемы:
Давайте рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.
Дана правильная пятиугольная пирамида. Апофема l
= 5 см, длина грани в большом основании равна a
= 6 см, а грань в меньшем основании b
= 4 см. Рассчитайте площадь усеченной пирамиды.
Для начала найдем периметры оснований. Так как нам дана пятиугольная пирамида, мы понимаем, что основания представляют собой пятиугольники. Значит, в основаниях лежит фигура с пятью одинаковыми сторонами. Найдем периметр большего основания:
Таким же образом находим периметр меньшего основания:
Теперь можем рассчитывать площадь правильной усеченной пирамиды. Подставляем данные в формулу:
Таким образом, мы рассчитали площадь правильной усеченной пирамиды через периметры и апофему.
Еще один способ расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды, это формула через углы у основания и площадь этих самых оснований .
Давайте рассмотрим пример расчета. Помним, что данная формула применяется только для правильной усеченной пирамиды.
Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Грань нижнего основания a = 6 см, а грань верхнего b = 4 см. Двухгранный угол при основании β = 60°. Найдите площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.
Для начала рассчитаем площадь оснований. Так как пирамида правильная, все грани оснований равны между собой. Учитывая, что в основании лежит четырехугольник, понимаем, что нужно будет рассчитать площадь квадрата
. Она представляет собой произведение ширины на длину, но в квадрате эти значения совпадают. Найдем площадь большего основания:
Теперь используем найденные значения для расчета площади боковой поверхности.
Зная несколько несложных формул, мы легко рассчитали площадь боковой трапеции усеченной пирамиды через различные значения.
На данном уроке мы рассмотрим усеченную пирамиду, познакомимся с правильной усеченной пирамидой, изучим их свойства.
Вспомним понятие n-угольной пирамиды на примере треугольной пирамиды. Задан треугольник АВС. Вне плоскости треугольника взята точка Р, соединенная с вершинами треугольника. Полученная многогранная поверхность и называется пирамидой (рис. 1).
Рис. 1. Треугольная пирамида
Рассечем пирамиду плоскостью , параллельной плоскости основания пирамиды . Полученная между этими плоскостями фигура и называется усеченной пирамидой (рис. 2).
Рис. 2. Усеченная пирамида
Основные элементы:
Верхнее основание ;
Нижнее основание АВС;
Боковая грань ;
Если РН - высота исходной пирамиды, то - высота усеченной пирамиды.
Свойства усеченной пирамиды вытекают из способа ее построения, а именно из параллельности плоскостей оснований:
Все боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями. Рассмотрим, например, грань . У нее по свойству параллельных плоскостей (поскольку плоскости параллельны, то боковую грань исходной пирамиды АВР они рассекают по параллельным прямым), в то же время и не параллельны. Очевидно, что четырехугольник является трапецией, как и все боковые грани усеченной пирамиды.
Отношение оснований одинаково для всех трапеций:
Имеем несколько пар подобных треугольников с одинаковым коэффициентом подобия. Например, треугольники и РАВ подобны в силу параллельности плоскостей и , коэффициент подобия:
В то же время подобны треугольники и РВС с коэффициентом подобия:
Очевидно, что коэффициенты подобия для всех трех пар подобных треугольников равны, поэтому отношение оснований одинаково для всех трапеций.
Правильной усеченной пирамидой называется усеченная пирамида, полученная сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис. 3).
Рис. 3. Правильная усеченная пирамида
Определение.
Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а вершина проектируется в центр этого n-угольника (центр вписанной и описанной окружности).
В данном случае в основании пирамиды лежит квадрат, и вершина проектируется в точку пересечения его диагоналей. У полученной правильной четырехугольной усеченной пирамиды ABCD - нижнее основание, - верхнее основание. Высота исходной пирамиды - РО, усеченной пирамиды - (рис. 4).
Рис. 4. Правильная четырехугольная усеченная пирамида
Определение.
Высота усеченной пирамиды - это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости второго основания.
Апофема исходной пирамиды - РМ (М - середина АВ), апофема усеченной пирамиды - (рис. 4).
Определение.
Апофема усеченной пирамиды - высота любой боковой грани.
Ясно, что все боковые ребра усеченной пирамиды равны между собой, то есть боковые грани - равные равнобедренные трапеции.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Доказательство (для правильной четырехугольной усеченной пирамиды - рис. 4):
Итак, необходимо доказать:
Площадь боковой поверхности здесь будет состоять из суммы площадей боковых граней - трапеций. Поскольку трапеции одинаковы, имеем:
Площадь равнобедренной трапеции - это произведение полусуммы оснований и высоты, апофема является высотой трапеции. Имеем:
Что и требовалось доказать.
Для n-угольной пирамиды:
Где n - количество боковых граней пирамиды, a и b - основания трапеции, - апофема.
Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды 
равны 3 см и 9 см, высота - 4 см. Найти площадь боковой поверхности.
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1
Решение. Проиллюстрируем условие:
Задано: , ,
Через точку О проведем прямую MN параллельно двум сторонам нижнего основания, аналогично через точку проведем прямую (рис. 6). Поскольку в основаниях усеченной пирамиды квадраты и построения параллельны, получим трапецию, равную боковым граням. Причем ее боковая сторона будет проходить через середины верхнего и нижнего ребра боковых граней и являться апофемой усеченной пирамиды.
Рис. 6. Дополнительные построения
Рассмотрим полученную трапецию (рис. 6). В этой трапеции известно верхнее основание, нижнее основание и высота. Требуется найти боковую сторону, которая является апофемой заданной усеченной пирамиды. Проведем перпендикулярно MN. Из точки опустим перпендикуляр NQ. Получим, что большее основание разбивается на отрезки по три сантиметра (). Рассмотрим прямоугольный треугольник , катеты в нем известны, это египетский треугольник, по теореме Пифагора определяем длину гипотенузы: 5 см.
Теперь есть все элементы для определения площади боковой поверхности пирамиды:
Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите на примере треугольной пирамиды, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.
Доказательство. Проиллюстрируем:
Рис. 7. Иллюстрация к задаче 2
Задана пирамида РАВС. РО - высота пирамиды. Пирамида рассечена плоскостью , получена усеченная пирамида , причем . Точка - точка пересечения высоты РО с плоскостью основания усеченной пирамиды . Необходимо доказать:
Ключом к решению является свойство параллельных плоскостей. Две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны. Отсюда: . Из параллельности соответствующих прямых вытекает наличие четырех пар подобных треугольников:
Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон. Важная особенность заключается в том, что коэффициенты подобия у этих треугольников одинаковы:
Что и требовалось доказать.
Правильная треугольная пирамида РАВС с высотой и стороной основания рассечена плоскостью , проходящей через середину высоты РН параллельно основанию АВС. Найти площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.
Решение. Проиллюстрируем:
Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3
АСВ - правильный треугольник, Н - центр данного треугольника (центр вписанной и описанной окружностей). РМ - апофема заданной пирамиды. - апофема усеченной пирамиды. Согласно свойству параллельных плоскостей (две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны), имеем несколько пар подобных треугольников с равным коэффициентом подобия. В частности нас интересует отношение:
Найдем НМ. Это радиус окружности, вписанной в основание, соответствующая формула нам известна:
Теперь из прямоугольного треугольника РНМ по теореме Пифагора найдем РМ - апофему исходной пирамиды:
Из начального соотношения:
Теперь нам известны все элементы для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды:
Итак, мы ознакомились с понятиями усеченной пирамиды и правильной усеченной пирамиды, дали основные определения, рассмотрели свойства, доказали теорему о площади боковой поверхности. Следующий урок будет посвящен решению задач.
Список литературы
- И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
- Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.
- Uztest.ru ().
- Fmclass.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
Домашнее задание
