Тема урока: «Свойства степени с натуральным и целым показателем»

· Цели урока: обобщить и систематизировать знания по теме «Свойства степени с натуральным и целым показателем»

· закрепление умений учащихся: выполнять умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями; возводить степень в степень; сравнивать степени; решать уравнения, содержащие степень;

· расширение кругозора и любознательности учащихся;

· осуществление межпредметных связей.

Образовательные: – отработка умений систематизировать, обобщать знания о степени с натуральным и целым показателем, закрепить и усовершенствовать навыки простейших преобразований выражений, содержащих степени с натуральным и целым показателем.

Воспитательные: – воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Развивающие: - развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Тип урока: - обобщающий урок по теме.

Вид урока: УКП, комбинированный.

Морфологическая карта по теме

«Свойства степени с натуральным и целым показателем»

Тема урока

Жизненно-необходимая информация

Информация,

Которая встречается в других дисциплинах

Информация, которая нужна для дальнейшего изучения данной дисциплины

(ВОУД, ЕНТ)

Обобщающий урок по теме Свойства степени с натуральным и целым показателем

Знать, уметь, применять и использовать:свойства степени с натуральным и целым показателем

В физике и химии

Используется в тестах ВОУД и

ЕНТ

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений; сообщение темы, целей и задач урока.

3. Воспроизведение изученного и его применение в стандартных ситуациях.

4. Перенос приобретенных знаний, их первичное применение в новых или изменённых условиях, с целью формирования умений.

5.Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя.

6.Самостоятельная работа обучающегося.

7. Рефлексия урока

Литература:

А.Е.Абылкасымова. В.Е.Корчевский. Алгебра 7 класс Алматы. «Мектеп»

Оборудование:

Интерактивная доска. компьютер. мел

Презентация в программе

Карточки для самостоятельной работы

План урока:

Организационный момент.

Проверка домашнего задания

Сообщение темы, целей и задач урока.

Повторение свойства степени с натуральным и целым показателем.

Устный счет.

Задания на вычисления.

Физкультурная пауза.

Текстовая задача

Самостоятельная работа по карточкам

Итоги урока.

Постановка самостоятельной работы обучающегося

1 мин..
4 мин.
1 мин.
4 мин.
4 мин.
7 мин.
3 мин.
5 мин.
6 мин.

Ход урока

1.Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания

3. Тема урока

4. Цели и задачи урока

5.Устная работа.

а). Повторение свойства степени с натуральным и целым показателем.

710∙7-3 (-3)10 ∙(-3)11 -0,53 ∙ (-0,5)3

24∙ 0,510 3-8 ∙ 33 54 ∙ 520

Представьте 64 в виде степени с основанием 2; -2; -8. Куб какого числа равен 64? Существует ли еще какой-нибудь способ представления 64 в виде степени с натуральным показателем? Если да, то назовите его.

6.Задания на вычисления.

Работа у доски.

7. Решение текстовой задачи.

На покраску куба затратили 40 грамм краски. Хватит ли 350 грамм краски, чтобы покрасить куб, ребро которого в три раза больше?

8. Выполнение тестовых заданий.(по вариантам)

9. Самостоятельная работа. (У каждого на столе карточка с заданием)

Вариант 1 Вариант 2

1) Выполните действие:

2) Вычислите значение выражения

3) Покажите с помощью стрелки, равно ли значение выражения нуля, положительному числу или отрицательному:

Вариант 1:

Вариант2:

Карточки с выполненным заданием сдают на проверку.

10. Рефлексия урока:

Подведение итогов урока, выставление оценок.

– Перечислите свойства степени с натуральным и целым показателем.

Оценки за урок поставим после проверки работы с тестами, учитывая, ответы тех учащихся, которые отвечали в течение урока.

11. Самостоятельная работа ученика на дом

Вариант 1

Вариант 2

2. Выполните задания: № 5 стр 12 №21стр14 №44стр19 № 55стр20

Степень с натуральным показателем

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде выражения, называемого степенью .
Например, 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 6
Повторяющийся множитель называют основанием степени , а число повторяющихся множителей – показателем степени . Так, в выражении 4 6 число 4 – основание степени, а число 6 – показатель степени.

Определение . Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а.

Определение . Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Степенью числа а с показателем 1 называется само число. Нахождение значения степени называют возведением в степень.

Примеры: 7 5 = 7 . 7 . 7 . 7 . 7. = 16 807, (– 8) 3 = (– 8) . (– 8) . (8) = – 512 .

Степень с целым отрицательным показателем

Определение. Если a =/= 0 и n – целое отрицательное число, то .

Примеры :

(–3) –4 = = ; = = – 8

Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).

1 свойство :

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.

Пример:

2 свойство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Пример: = =

3 свойство :

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

Пример:

4 свойство :

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

Пример: = 2 –2 . (a 3) –2 (b –5) –2 = a –6 b 10 .

5 свойство : , где в =/= 0.

Пример:

Стандартный вид числа

В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, объем Земли равен 1 083 000 000 000 км 3 , а диаметр молекулы воды – 0,0000000003 м. В обычном десятичном виде такие числа неудобно читать и записывать, а также выполнять над ними какие-либо действия, поэтому полезно их записывать в стандартном виде.

Определение. Стандартным видим числа a называют его запись в виде a . 10 n , где 1 < a < 10 и n – целое число. Число n называется порядком числа a .

Например, порядок числа, выражающего объем Земли в кубических километрах, равен 12, а порядок выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен – 10.

Пример 1 . Представить в стандартном виде число р = 42 350 000.
В этом числе поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,2350000 = 4,235. Отделив запятой 7 цифр справа, мы уменьшили число р в 10 7 раз, поэтому р больше числа 4,235 в 10 7 раз. Значит, р = 42 350 000 = 4,235 . 10 7 .

Пример 2. Представить в стандартном виде число р = 0,00000257.
В этом числе переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. В результате получится 2,57. Переставив запятую на 6 знаков вправо, мы увеличили число р в 10 6 раз, поэтому число р меньше числа 2,57 в 10 6 раз. Отсюда р = 2,57: 10 6 = 2,57 , т.е. 0,00000257 = 2,57 . 10 –6 .

Тесты составлены в программе M Excel. Для работы с ними необходимо наличие на ПК прикладной программы M Excel. Последовательность работы:

1. Запустить нужный тест.

2. В поле «нумерации листов» выбрать нужный вариант.

3. Для выбора ответа необходимо:

а) выделить мышкой область, окрашенную голубым цветом;
б) на экране появится указатель ответов
в) после нажатия напоявится «раскрывающийся список»;
г) среди предложенных ответов выбрать свой ответ;
д) перейти к следующему заданию теста.

3. При окончании работы над тестом на экране ПК будет указано количество верных ответов.

4. Для вывода оценки на экран необходимо обратиться к гиперссылке «Оценка».

Тема урока: Свойство степени с целым показателем .

Мало иметь хороший ум, главное - хорошо его применять

Ход урока

Организационный момент .

Математика - это одна из основных наук. Без знания математики, которая включает в себя алгебру и геометрию, трудно будет жить любому человеку. Знающий математику человек - это умный человек. А как сказал французский ученый Р.Декарт: «Мало иметь хороший ум, главное - хорошо его применять»

Сегодня на уроке, ребята, каждый из вас применит свой ум, свои знания и умения по теме: «Свойства степени с целым показателем» при выполнении различных заданий, закрепит ранее полученные знания и я думаю успешно их применит в любом задании со степенями.

II. Проверка усвоения изученного:

Но в начале давайте вспомним, что изучали мы ранее. С помощью тестирующей системы Votum-web пройдем тест на повторение. (тест 4 вопроса по 30 сек).

1 вопрос (на тему числовой промежуток)

2 вопрос (на тему квадратное уравнение)

3 вопрос (на тему определение отрицательного показателя степени)

4 вопрос (вычисления степени с целым показателем)

III. Изучение нового материала

На экране вы видите части формул, ваша задача собрать верные равенства. Мы с вами повторили свойство степени с натуральным показателем, определение степени с отрицательным показателем степени.

1) a^n* a^m = a^n+m

2) a^n: a^m = a^n - m

3) (a^n)^m = a^n*m

4) (a * b)^n= a^n * b^n

5) (a: b)^n= a^n: b^n

2. На примерах предложите проверить, выполняются ли эти свойства в случае отрицательных целых показателей степени (с очевидным ограничением а ≠ 0, b ≠ 0).

(свойство 1).

(свойство 4)

На основании этих примеров можно высказать гипотезу, что свойства 1-5 выполняются и в случае степени с целым отрицательным показателем.

3. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых не положительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства(a^p)^q=a^p·q, (a^−p)^q=a^(−p)·q, (a^p)^−q=a^p·(−q) и (a^−p)^−q=a^(−p)·(−q). Сделаем это.

Для положительных p и q равенство (a^p)^q=a^p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0, то имеем (a^0)^q=1^q=1 и a^0·q=a^0=1, откуда (a^0)^q=a^0·q. Аналогично, если q=0, то(a^p)^0=1 и a^p·0=a^0=1, откуда (a^p)^0=a^p·0. Если же и p=0 и q=0, то (a^0)^0=1^0=1 и a^0·0=a^0=1, откуда (a^0)^0=a^0·0.

Теперь докажем, что (a^−p)^q=a^(−p)·q. По определению степени с целым отрицательным показателем а^-р=1/а^р, тогда (а^-р)^q=(1/a^p)^q. По свойству частного в степени имеем

(1/a^p)^q=a^q/(a^p)^q . Так как 1^p=1·1·…·1=1 и (a^p)q=a^pq,то a^q/(a^p)^q=1/a^pq. Последнее выражение по определению является степенью вида a^−(p·q), которую в силу правил умножения можно записать как a^(−p)·q.

Аналогично (a^p)^-q=1/(a^p)^q=1/a^pq=a^-(pq)=a^p(-q). И (a^-p)^-q=(1/a^p)^-q=(a^p)^q=a^pq=a^(-p)(-q). (Доказательство проводим с помощью презентации)

По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. В учебнике вы найдете доказательство свойств 1 ,2 и 4 в случае степени с целым отрицательным показателем.

Таким образом, свойства 1-5 (для натуральных показателей степени) можно обобщить и на случай целых отрицательных показателей степени.

Физминутка

Упражнения для снятия утомления с мелких мышц кисти. Исходное положение -сидя, руки подняты вверх. 1 - сжать кисти в кулак, 2 - разжать кисти. Повторить 3 -4 раза, затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний.

Посмотреть на указательный палец вытянутой руки на счет 1 - 4, потом перенести взор вдаль на счет 1 - 6. Повторять 2 - 3 раза.

Выполним задания из учебника

Устно №1117, письменно №1118 (а, б, д, и)

Работа с интерактивной доской

1) (5^-2)^-1= 4) 32·2^-3=

2) (2·3)^-2= 5) (7^-3·7^-1):7^-6=

3) 20^-5:20^-6= 6) 15^-2:75^-2=

Историческая справка. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англичанин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В одном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А2, А3 и т.д., так я... вместо 1/а, 1/а2, 1/а3 пишу а-1, а-2, а-3 и т.д."

7. Выполним задания из учебника

Письменно № 1126 (а, в, д)

8. Выход в интернет . Под своими логинами заходим на сайт Якласс.ру-Предметы-Алгебра-8 класс-V. Действительные числа- 6. Степень с отрицательным целым показателем-Тренировка по теме Степень с отрицательным целым показателем. Выполним тест из 4 заданий, за который вы можете заработать максимум 7 баллов.

9. Рефлексия. Поднимите руки, кто заработал 6-7 баллов - вы молодцы, отлично усвоили тему урока. Теперь поднимите руки кто заработал 4-5 балла - что именно у вас вызвало затруднение?

10. Подведение итогов . Итак, сегодня на уроке мы изучали и отрабатывали навыки по теме «Свойства степени с целым показателем». Давайте повторим все свойства.

Изучить доказательство свойств степени с целым показателем

Выполнить из учебника №№ 1119(а, б), 1122(б, г), 1126(б, г)

Составить дешефровку на интересный факт связанный с развитием степени с целым показателем.