Шеховцов Виктор Анатольевич. Частный преподаватель ИМШ «INTERAKTIV».
Решения одного из реальных вариантов ГИА-2010
по математике.
Материал для ознакомления взят с сайта http://www.ctege.org/
В таблице приведены нормативы по бегу на 30 м. для учащихся 9 класса. Оцените результат девочки, пробежавшей эту дистанцию за 5,92 с.
Отметка «5»
Отметка «4»
Отметка «3»
Норматив не выполнен
Поэтому отметка «3». Пояснение: при результатах больше, либо равных 5,95 с – норматив не выполнен.^ ОТВЕТ: 3).
Площадь земель в фермерском хозяйстве распределена следующим образом: пастбища занимают 14 га, пашни – 10 га. Какой примерно процент площади занимают пастбища?
171%
0,58%
1,4%
Общая площадь земель в хозяйстве равна 14 + 10 = 24 га. Составим и решим пропорцию:
^ ОТВЕТ: 1).
Решение.
Если число под знаком квадратного корня не является квадратом рационального числа, то корень квадратный из этого числа – есть число иррациональное. В данном случае проблема разрешима следующим образом:
^ ОТВЕТ: 2).
Ответ:______________
Решение.
^ ОТВЕТ: -520.
Составьте выражение для вычисления заштрихованной части прямоугольника.
Ответ:____________________
Решение.
Длина заштрихованного прямоугольника равна a , ширина y – d. Поэтому его площадь равна a(y-d).
Решение.
^ ОТВЕТ: 2).
Ответ:___________
Решение.
ОТВЕТ: 
.
В каком случае преобразование выполнено неверно?
Решение.
Можно просто преобразовать одну из частей равенства и если получается другая часть, то преобразование выполнено верно.
^ ОТВЕТ: 3).
Ответ:__________.
Решение.
^ ОТВЕТ: 0,5.
Ответ:_____________
Решение.
Составим и решим систему уравнений:
^ ОТВЕТ: (-1;4).
Прочитайте задачу:
^ Пусть скорость мотоциклиста х км/ч. Какое уравнение соответствует условию задачи?
Решение.
Составим таблицу по условию задачи.
По условию задачи мотоциклист и велосипедист проехали одинаковое расстояние от города до посёлка, поэтому имеем уравнение: 
^ ОТВЕТ: 3).
Три последовательности, среди которых есть арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия, заданы несколькими первыми членами. Укажите для каждой последовательности соответствующее ей утверждение.
^ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ УТВЕЖДЕНИЯ
3. Последовательность
не является ни арифмети-
ческой ни геометрической
прогрессией.
Ответ:
| А | Б | В |
В арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Этому условию отвечает последовательнось Б):
В геометрической прогрессии частное соседних членов постоянно. Этому условию отвечает последовательность В):
Члены последовательности А) не подходят ни под определение геометрической, ни под определение арифметической прогрессии.
ОТВЕТ:
| А | Б | В |
| 3 | 1 | 2 |
Ответ:___________
Решение.
На координатной прямой отмечены числа a, b, c.
^ Какая из разностей a - b, a - c, с – b положительна?
a – b, 2) a – c, 3) c – b, 4) ни одна из них.
Решение.
На координатной прямой большее из двух чисел расположено правее. Поэтому:
^ ОТВЕТ: 3).
15. Укажите прямую, которая не имеет общих точек с графиком функции 
Решение.
Проще всего решить графически.
Очевидно, что только прямая y = 0 не имеет общих точек с графиком функции y = - x 2 – 4. ^ ОТВЕТ: 4).
Второй способ (для тех, кому лень чертить).
Возможно также чисто аналитическое решение. Составляем квадратные уравнения и выясняем имеют ли они корни.
^ ОТВЕТ: 4).
Две группы туристов – А и Б – вышли с турбазы «Южная» и пошли по одному и тому же маршруту до турбазы «Северная». На рисунке изображены графики их движения. Какая из двух групп потратила меньше времени на первые 12 км пути и на сколько часов?
Решение.
Группа А начала движение в момент времени равный 0 ч 30 мин и в 12 км от базы «Южная» была в 2 ч 30 мин. То есть время прохождения равно 2 ч. Группа Б этот же путь прошла с 0 ч до 3 ч 00 мин. То есть её время прохождения равно 3 ч. То есть на первые 12 км пути группа А затратила на 1 ч меньше, чем группа Б.
^ Из 500 мониторов, поступивших в продажу, в среднем 15 не работают.
Оввет___________
Решение.
Обозначим событие А – случайно купленный монитор работает. Согласно классическому определению вероятности события:
^ ОТВЕТ: 0,97.
Записана стоимость (в рублях) пачки сливочного масла «Неженка» в магазинах микрорайона: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
Решение.
Упорядочим данный набор чисел по возрастанию: 24, 26, 27, 31, 32, 33, 37. Так как число элементов ряда нечётное, то медиана – это значение, занимающее середину числового ряда. То есть M = 31.
Вычислим среднее арифметическое этого набора чисел. 
Запишите уравнение прямой, параллельной прямой y = 4x – 5 , и прояходщей через точку С (4;9).
Угловые коэффициенты параллельных прямых являются равными. Уравнение вида 
описывает все прямые в плоскости xOy,
параллельные прямой 
Для вычисления параметра b
нужно подставить в уравнение координаты точки С.
-2, -1, 0, 1, 2.
^ ОТВЕТ: -2, -1, 0, 1, 2.
Из турбазы в одном направлении выходят три туриста с интервалом 30 мин. Первый идёт со скоростью 3 км/ч, второй со скорость 4 км/ч. Третий турист догоняет первого, а ещё через 30 мин. догоняет второго. Найдите скорость третьего туриста.
В момент старта третьего туриста, первый уже будет находиться в 3 км от турбазы. Пусть скорость третьего туриста равна
х км/ч
, тогда скорость сближения первого и третьего туристов равна
(х – 3) км/ч.
Поэтому третий турист догонит первого в момент времени равный 
после своего выхода с турбазы. В момент старта третьего туриста, второй находится от турбазы на расстоянии равном 
. Скорость сближения третьего и второго туриста равна
(х – 4) км/ч.
Поэтому третий турист догонит второго в момент времени равный 
после своего выхода из турбазы. По условию 
.
Составим и решим уравнение:
Первый корень не подходит по смыслу задачи, следовательно, скорость третьего туриста равна 5 км/ч.
ОТВЕТ: 5 км/ч.
Графики движения туристов полностью согласуются с полученным результатом.
Задания этой части выполняйте с записью решения.
Найдите значение выражения 41a-11b+15, если \frac{4a-9b+3}{9a-4b+3}=5
Показать ответ
\begin{array}{l}\frac{4a-9b+3}{9a-4b+3}=5\\4a-9b+3=5(9a-4b+3)\\4a-9b+3=45a-20b+15\\41a-19b=-12\end{array}
41a-19b+15=-12+15=3
Сотрудникам трёх предприятий холдинга была начислена премия. Премия сотрудникам первого предприятия составила 30% от премий сотрудникам третьего предприятия, а премия сотрудникам третьего предприятия - 70% от премии второго. Премия сотрудникам второго предприятия превышает премию сотрудникам третьего на 120 тыс. рублей. Какова сумма общей премии, начисленной холдингом всем трём предприятиям? Ответ дайте в тыс. рублей.
Показать ответ
Пусть сумма премии второго предприятия равна х тыс. рублей. Тогда сумма премии третьего предприятия равна 0,7х тыс. рублей, а сумма премии первого предприятия равна 0,3*0,7х тыс. рублей. Премия сотрудникам второго предприятия превышает премию сотрудникам третьего на (х - 0,7х) тыс. рублей, а по условию - на 120 тыс. рублей.
Составим уравнение: х - 0,7х = 120
Решив уравнение, получим: х=400. Тогда сумма общей премии равна (х + 0,7х + 0,3*0,7х) тыс. рублей. Подставив х=400, получим 764 тыс. рублей
Постройте график функции y=x^2-\vert4x+5\vert и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Показать ответ
Раскроем модуль: при 4х + 5 < 0 функция задаётся формулой у = х 2 + 4х + 5,
а при 4х + 5 \geq 0 - формулой у = х 2 - 4х - 5, т.е.:
у=\left\{\begin{array}{l}х^2+4х+5,\;при\;х<-\frac54\\х^2-4х-5,\;при\;х\geq-\frac54\end{array}\right.
Для всех х < -5/4 строим график функции у = х 2 + 4х + 5 = (х + 2) 2 + 1 - это парабола без растяжений, ветви вверх, вершина в точке (-2;1).
Теперь для всех х \geq -5/4 строим у = х 2 - 4х - 5 = (х - 2) 2 - 9 - парабола без растяжений, ветви вверх, вершина (2;-9). В результате должно получиться следующее:
Прямая у = m параллельна оси ОХ. Из графика видно, что при у = 1 и у = 25/16, эта прямая пересекает график в трех точках. у = 25/16 определяется из условий x=-5/4 и у=(х + 2) 2 +1.
Ответ: {1; 25/16}
Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите РК, если ВН =13.
Показать ответ
Прямоугольный треугольник BPK вписан в окружность, тогда PK - диаметр, значит, BH=PK=13
Четырёхугольник ABCD с диагональю АС вписан в окружность, АВ 2 + ВС 2 = АС 2 . Докажите, что S ABCD = 1/2 (AB BC + AD DC).
В равнобедренную трапецию можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её большего основания, если периметр трапеции равен 68, а площадь равна 255.
