Тема урока: Свойство степени с целым показателем .
Мало иметь хороший ум, главное - хорошо его применять
Ход урока
Организационный момент .
Математика - это одна из основных наук. Без знания математики, которая включает в себя алгебру и геометрию, трудно будет жить любому человеку. Знающий математику человек - это умный человек. А как сказал французский ученый Р.Декарт: «Мало иметь хороший ум, главное - хорошо его применять»
Сегодня на уроке, ребята, каждый из вас применит свой ум, свои знания и умения по теме: «Свойства степени с целым показателем» при выполнении различных заданий, закрепит ранее полученные знания и я думаю успешно их применит в любом задании со степенями.
II. Проверка усвоения изученного:
Но в начале давайте вспомним, что изучали мы ранее. С помощью тестирующей системы Votum-web пройдем тест на повторение. (тест 4 вопроса по 30 сек).
1 вопрос (на тему числовой промежуток)
2 вопрос (на тему квадратное уравнение)
3 вопрос (на тему определение отрицательного показателя степени)
4 вопрос (вычисления степени с целым показателем)
III. Изучение нового материала
На экране вы видите части формул, ваша задача собрать верные равенства. Мы с вами повторили свойство степени с натуральным показателем, определение степени с отрицательным показателем степени.
1) a^n* a^m = a^n+m
2) a^n: a^m = a^n - m
3) (a^n)^m = a^n*m
4) (a * b)^n= a^n * b^n
5) (a: b)^n= a^n: b^n
2. На примерах предложите проверить, выполняются ли эти свойства в случае отрицательных целых показателей степени (с очевидным ограничением а ≠ 0, b ≠ 0).
(свойство 1).
(свойство 4)
На основании этих примеров можно высказать гипотезу, что свойства 1-5 выполняются и в случае степени с целым отрицательным показателем.
3. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.
Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых не положительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства(a^p)^q=a^p·q, (a^−p)^q=a^(−p)·q, (a^p)^−q=a^p·(−q) и (a^−p)^−q=a^(−p)·(−q). Сделаем это.
Для положительных p и q равенство (a^p)^q=a^p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0, то имеем (a^0)^q=1^q=1 и a^0·q=a^0=1, откуда (a^0)^q=a^0·q. Аналогично, если q=0, то(a^p)^0=1 и a^p·0=a^0=1, откуда (a^p)^0=a^p·0. Если же и p=0 и q=0, то (a^0)^0=1^0=1 и a^0·0=a^0=1, откуда (a^0)^0=a^0·0.
Теперь докажем, что (a^−p)^q=a^(−p)·q. По определению степени с целым отрицательным показателем а^-р=1/а^р, тогда (а^-р)^q=(1/a^p)^q. По свойству частного в степени имеем
(1/a^p)^q=a^q/(a^p)^q . Так как 1^p=1·1·…·1=1 и (a^p)q=a^pq,то a^q/(a^p)^q=1/a^pq. Последнее выражение по определению является степенью вида a^−(p·q), которую в силу правил умножения можно записать как a^(−p)·q.
Аналогично (a^p)^-q=1/(a^p)^q=1/a^pq=a^-(pq)=a^p(-q). И (a^-p)^-q=(1/a^p)^-q=(a^p)^q=a^pq=a^(-p)(-q). (Доказательство проводим с помощью презентации)
По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. В учебнике вы найдете доказательство свойств 1 ,2 и 4 в случае степени с целым отрицательным показателем.
Таким образом, свойства 1-5 (для натуральных показателей степени) можно обобщить и на случай целых отрицательных показателей степени.
Физминутка
Упражнения для снятия утомления с мелких мышц кисти. Исходное положение -сидя, руки подняты вверх. 1 - сжать кисти в кулак, 2 - разжать кисти. Повторить 3 -4 раза, затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний.
Посмотреть на указательный палец вытянутой руки на счет 1 - 4, потом перенести взор вдаль на счет 1 - 6. Повторять 2 - 3 раза.
Выполним задания из учебника
Устно №1117, письменно №1118 (а, б, д, и)
Работа с интерактивной доской
1) (5^-2)^-1= 4) 32·2^-3=
2) (2·3)^-2= 5) (7^-3·7^-1):7^-6=
3) 20^-5:20^-6= 6) 15^-2:75^-2=
Историческая справка. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англичанин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В одном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А2, А3 и т.д., так я... вместо 1/а, 1/а2, 1/а3 пишу а-1, а-2, а-3 и т.д."
7. Выполним задания из учебника
Письменно № 1126 (а, в, д)
8. Выход в интернет . Под своими логинами заходим на сайт Якласс.ру-Предметы-Алгебра-8 класс-V. Действительные числа- 6. Степень с отрицательным целым показателем-Тренировка по теме Степень с отрицательным целым показателем. Выполним тест из 4 заданий, за который вы можете заработать максимум 7 баллов.
9. Рефлексия. Поднимите руки, кто заработал 6-7 баллов - вы молодцы, отлично усвоили тему урока. Теперь поднимите руки кто заработал 4-5 балла - что именно у вас вызвало затруднение?
10. Подведение итогов . Итак, сегодня на уроке мы изучали и отрабатывали навыки по теме «Свойства степени с целым показателем». Давайте повторим все свойства.
Изучить доказательство свойств степени с целым показателем
Выполнить из учебника №№ 1119(а, б), 1122(б, г), 1126(б, г)
Составить дешефровку на интересный факт связанный с развитием степени с целым показателем.
Степень с натуральным показателем
Произведение нескольких одинаковых множителей
можно записать в виде выражения, называемого степенью
.
Например, 4 .
4 .
4 .
4 .
4 .
4 = 4 6
Повторяющийся множитель называют основанием
степени
, а число повторяющихся
множителей – показателем степени
.
Так, в выражении 4 6 число 4 – основание
степени, а число 6 – показатель степени.
Определение . Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а.
Определение . Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Степенью числа а с показателем 1 называется само число. Нахождение значения степени называют возведением в степень.
Примеры: 7 5 = 7 . 7 . 7 . 7 . 7. = 16 807, (– 8) 3 = (– 8) . (– 8) . (8) = – 512 .
Степень с целым отрицательным показателем
Определение. Если a =/= 0 и n – целое отрицательное число, то .
Примеры :
(–3) –4 = = ; = = – 8
Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).
1 свойство :
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.
Пример:
2 свойство:
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Пример: = =
3 свойство :
При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
Пример:
4 свойство :
При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.
Пример: = 2 –2 . (a 3) –2 (b –5) –2 = a –6 b 10 .
5 свойство : , где в =/= 0.
Пример:
Стандартный вид числа
В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, объем Земли равен 1 083 000 000 000 км 3 , а диаметр молекулы воды – 0,0000000003 м. В обычном десятичном виде такие числа неудобно читать и записывать, а также выполнять над ними какие-либо действия, поэтому полезно их записывать в стандартном виде.
Определение. Стандартным видим числа a называют его запись в виде a . 10 n , где 1 < a < 10 и n – целое число. Число n называется порядком числа a .
Например, порядок числа, выражающего объем Земли в кубических километрах, равен 12, а порядок выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен – 10.
Пример 1
. Представить в стандартном виде
число р
= 42 350 000.
В этом числе поставим запятую так, чтобы в целой
части оказалась одна цифра. В результате получим
4,2350000 = 4,235. Отделив запятой 7 цифр справа, мы
уменьшили число р
в 10 7 раз,
поэтому р
больше числа 4,235 в 10 7
раз. Значит, р
= 42 350 000 = 4,235 .
10 7 .
Пример 2.
Представить в стандартном виде
число р
= 0,00000257.
В этом числе переставим запятую так, чтобы в
целой части оказалась одна отличная от нуля
цифра. В результате получится 2,57. Переставив
запятую на 6 знаков вправо, мы увеличили число р
в 10 6 раз, поэтому число р
меньше числа 2,57 в 10 6 раз. Отсюда р
=
2,57: 10 6 = 2,57 ,
т.е. 0,00000257 = 2,57 .
10 –6 .
Тесты составлены в программе M Excel. Для работы с ними необходимо наличие на ПК прикладной программы M Excel. Последовательность работы:
1. Запустить нужный тест.
2. В поле «нумерации листов» выбрать нужный вариант.
3. Для выбора ответа необходимо:
а) выделить мышкой область, окрашенную голубым
цветом;
б) на экране появится указатель ответов
в) после нажатия напоявится «раскрывающийся список»;
г) среди предложенных ответов выбрать свой ответ;
д) перейти к следующему заданию теста.
3. При окончании работы над тестом на экране ПК будет указано количество верных ответов.
4. Для вывода оценки на экран необходимо обратиться к гиперссылке «Оценка».
Тема урока: «Свойства степени с натуральным и целым показателем»
· Цели урока: обобщить и систематизировать знания по теме «Свойства степени с натуральным и целым показателем»
· закрепление умений учащихся: выполнять умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями; возводить степень в степень; сравнивать степени; решать уравнения, содержащие степень;
· расширение кругозора и любознательности учащихся;
· осуществление межпредметных связей.
Образовательные: – отработка умений систематизировать, обобщать знания о степени с натуральным и целым показателем, закрепить и усовершенствовать навыки простейших преобразований выражений, содержащих степени с натуральным и целым показателем.
Воспитательные: – воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.
Развивающие: - развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.
Тип урока: - обобщающий урок по теме.
Вид урока: УКП, комбинированный.
Морфологическая карта по теме
«Свойства степени с натуральным и целым показателем»
Тема урока
Жизненно-необходимая информация
Информация,
Которая встречается в других дисциплинах
Информация, которая нужна для дальнейшего изучения данной дисциплины
(ВОУД, ЕНТ)
Обобщающий урок по теме Свойства степени с натуральным и целым показателем
Знать, уметь, применять и использовать:свойства степени с натуральным и целым показателем
В физике и химии
Используется в тестах ВОУД и
ЕНТ
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений; сообщение темы, целей и задач урока.
3. Воспроизведение изученного и его применение в стандартных ситуациях.
4. Перенос приобретенных знаний, их первичное применение в новых или изменённых условиях, с целью формирования умений.
5.Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя.
6.Самостоятельная работа обучающегося.
7. Рефлексия урока
Литература:
А.Е.Абылкасымова. В.Е.Корчевский. Алгебра 7 класс Алматы. «Мектеп»
Оборудование:
Интерактивная доска. компьютер. мел
Презентация в программе
Карточки для самостоятельной работы
План урока:
Организационный момент.
Проверка домашнего задания
Сообщение темы, целей и задач урока.
Повторение свойства степени с натуральным и целым показателем.
Устный счет.
Задания на вычисления.
Физкультурная пауза.
Текстовая задача
Самостоятельная работа по карточкам
Итоги урока.
Постановка самостоятельной работы обучающегося
1 мин..
4 мин.
1 мин.
4 мин.
4 мин.
7 мин.
3 мин.
5 мин.
6 мин.
Ход урока
1.Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания
3.
Тема урока
4. Цели и задачи урока
5.Устная работа.
а). Повторение свойства степени с натуральным и целым показателем.
710∙7-3 (-3)10 ∙(-3)11 -0,53 ∙ (-0,5)3
24∙ 0,510 3-8 ∙ 33 54 ∙ 520
Представьте 64 в виде степени с основанием 2; -2; -8. Куб какого числа равен 64? Существует ли еще какой-нибудь способ представления 64 в виде степени с натуральным показателем? Если да, то назовите его.
6.Задания на вычисления.
Работа у доски.
7. Решение текстовой задачи.
На покраску куба затратили 40 грамм краски. Хватит ли 350 грамм краски, чтобы покрасить куб, ребро которого в три раза больше?
8. Выполнение тестовых заданий.(по вариантам)
9. Самостоятельная работа. (У каждого на столе карточка с заданием)
Вариант 1 Вариант 2
1) Выполните действие:
2) Вычислите значение выражения
3) Покажите с помощью стрелки, равно ли значение выражения нуля, положительному числу или отрицательному:
Вариант 1:
Вариант2:
Карточки с выполненным заданием сдают на проверку.
10. Рефлексия урока:
Подведение итогов урока, выставление оценок.
– Перечислите свойства степени с натуральным и целым показателем.
Оценки за урок поставим после проверки работы с тестами, учитывая, ответы тех учащихся, которые отвечали в течение урока.
11. Самостоятельная работа ученика на дом
Вариант 1
Вариант 2
2. Выполните задания: № 5 стр 12 №21стр14 №44стр19 № 55стр20