روش های زیر اغلب برای یافتن مرکز ثقل جسم یا شکل استفاده می شود:

· روش تقارن؛

· روش پارتیشن بندی؛

· روش جرم منفی

بیایید به تکنیک های استفاده شده در هر یک از روش های ذکر شده نگاهی بیندازیم.

روش تقارن

بیایید جسم همگنی را تصور کنیم که دارای صفحه تقارن است. اجازه دهید یک سیستم مختصات را طوری انتخاب کنیم که محورها ایکس و z در صفحه تقارن دراز کشید (شکل 1 را ببینید).

در این مورد، هر ذره بنیادی توسط گرانش جی آی با آبسیسا y i = +a مربوط به همان ذره بنیادی با آبسیسا است y i = -a ، سپس:

y C = Σ(G i x i)/ΣG i = 0.

از این رو نتیجه گیری: اگر یک جسم همگن دارای صفحه تقارن باشد، مرکز ثقل جسم در این صفحه قرار دارد.

گزاره های زیر را می توان به طور مشابه اثبات کرد:

اگر یک جسم همگن دارای یک محور تقارن باشد، مرکز ثقل جسم روی این محور قرار دارد.

· اگر جسم همگن دو محور تقارن داشته باشد، مرکز ثقل جسم در نقطه تقاطع آنهاست.

· مرکز ثقل جسم چرخشی همگن روی محور چرخش قرار دارد.

روش تقسیم

این روش شامل تقسیم بدن به کمترین تعداد قطعات است که نیروهای ثقل و موقعیت مراکز ثقل آن مشخص است و پس از آن از فرمول های قبلی برای تعیین مرکز ثقل کلی بدن استفاده می شود.

فرض کنید بدن را با نیروی جاذبه شکستیم جی به سه قسمت جی" , جی"" , گ""" ، ابسیساهای مراکز ثقل این قسمت ها x" C، x"" C، x""" C شناخته شده.
فرمول تعیین آبسیسا مرکز ثقل کل بدن:

x C = Σ(G i x i)/ΣG i.

بیایید آن را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

x C ΣG i = Σ(G i x i)یا Gx C = Σ(G i x i) .

آخرین برابری را برای هر یک از سه قسمت بدن جداگانه می نویسیم:

G"x" C = Σ(G"x" i)، G""x"" C = Σ(G""" i x""" i)، G""""x""""" C = Σ(G""" من x""" i).

با اضافه کردن سمت چپ و راست این سه برابری، به دست می آوریم:

G"x" C + G"x"" C + G""""x"""" C = Σ(G" i x" i) + Σ(G"""x""" i) + Σ(G"""" i x """ i) = Σ(G i x i).

اما سمت راست آخرین برابری حاصلضرب است Gx C ، زیرا

Gx C = Σ(G i x i),

از این رو، x C = (G"x" C + G"x""" C + G""""""""""""C)/G ، چیزی بود که باید ثابت می شد.
مختصات مرکز ثقل روی محورهای مختصات نیز به همین ترتیب تعیین می شود y و z :

y C = (G"y" C + G""y"" C + G"""y""" C)/G ,
z C = (G"z" C + G""z"" C + G""""z""" C)/G .

فرمول های به دست آمده مشابه فرمول های تعیین مختصات مرکز ثقل، مشتق شده در بالا هستند. بنابراین، نمی توان نیروهای گرانشی ذرات بنیادی را جایگزین فرمول های اصلی کرد جی آی و نیروهای گرانش قطعات نهایی. تحت مختصات x i ,y من ,z i مختصات مراکز ثقل قسمت هایی که بدن به آنها تقسیم شده است را درک کنید.

روش جرم منفی

این روش بر این اساس است که جسمی با حفره های آزاد جامد و جرم حفره های آزاد منفی در نظر گرفته می شود. شکل فرمول های تعیین مختصات مرکز ثقل بدن تغییر نمی کند.

بنابراین هنگام تعیین مرکز ثقل جسمی که دارای حفره های آزاد است باید از روش تقسیم بندی استفاده کرد اما جرم حفره ها را منفی در نظر گرفت.

روش های عملی برای تعیین مرکز ثقل اجسام

در عمل، برای تعیین مرکز ثقل اجسام مسطح با شکل پیچیده، اغلب از آنها استفاده می شود روش حلق آویز کردن ، که عبارت است از آویزان کردن یک بدنه صاف روی نخ از نقطه ای. خطی در امتداد نخ کشیده می شود و بدنه از نقطه دیگری که روی خط حاصل قرار ندارد آویزان می شود.
سپس دوباره یک خط در امتداد نخ بکشید.
نقطه تلاقی دو خط مرکز ثقل جسم صاف خواهد بود.

روش دیگری برای تعیین مرکز ثقل مورد استفاده در عمل نامیده می شود روش توزین . این روش اغلب برای تعیین مرکز ثقل ماشین ها و محصولات بزرگ - ماشین ها، هواپیماها، تراکتورهای چرخ دار و غیره که دارای شکل حجمی پیچیده و تکیه گاه نقطه ای روی زمین هستند، استفاده می شود.
این روش شامل اعمال شرایط تعادل است، بر اساس این واقعیت که مجموع گشتاورهای تمام نیروهای وارد بر یک جسم ساکن برابر با صفر است.
در عمل، این کار با توزین یکی از تکیه گاه های دستگاه (چرخ های عقب یا جلو روی ترازو نصب می شود) انجام می شود، در حالی که قرائت های ترازو در واقع واکنش تکیه گاه است که در هنگام کشیدن به آن توجه می شود. معادله تعادل را نسبت به نقطه دوم حمایت (که در خارج از ترازو قرار دارد) بالا ببرید.
بر اساس جرم شناخته شده (به ترتیب وزن) بدن، خوانش ترازو در یکی از نقاط تکیه گاه و فاصله بین نقاط تکیه گاه، می توانید فاصله یکی از نقاط تکیه گاه را تا صفحه ای که در آن قرار دارد تعیین کنید. مرکز ثقل واقع شده است.
برای یافتن خط (محور) که مرکز ثقل ماشین روی آن قرار دارد، لازم است طبق اصل ذکر شده در بالا برای روش آویزان دو توزین انجام شود. (شکل 1a را ببینید).

سوال 12

لحظه اینرسی بدن.

ممان اینرسی- کمیتی که توزیع توده‌ها را در بدن مشخص می‌کند و همراه با جرم، معیاری برای اینرسی بدن در زمان عدم حرکت است. جنبش. در مکانیک M. و. محوری و گریز از مرکز. Osev M. و. بدن نسبت به محور z نامیده می شود. کمیت تعریف شده توسط برابری

جایی که m i- توده نقاط بدن، سلام- فاصله آنها از محور z، r - چگالی جرم، V- حجم بدن اندازه Izاندازه گیری اینرسی یک جسم در طول چرخش آن به دور یک محور است (به حرکت چرخشی مراجعه کنید ) . M. محوری و. همچنین می تواند از طریق کمیت خطی r z بیان شود. شعاع چرخش نسبت به محور z، با توجه به f-le Iz = م r 2 z، که در آن م- جرم بدن. ابعاد M. و.- L 2 M;واحدهای اندازه گیری - کیلوگرم. متر 2.

گریز از مرکز M. و. نسبت به سیستم مستطیل شکل تبرها x، y، z، در نقطه انجام شد در باره، تماس گرفت مقادیر تعیین شده توسط برابری ها

یا انتگرال های حجمی مربوطه. این مقادیر مشخصه های دینامیک هستند. عدم تعادل بدن به عنوان مثال، هنگام چرخش یک جسم حول محور z از مقادیر من xzو من yzنیروهای فشار بر یاتاقان هایی که محور در آنها ثابت است بستگی دارد.

م و. نسبت به محورهای موازی z و z" با رابطه مرتبط هستند (قضیه هویگنز)

جایی که z" محوری است که از مرکز جرم بدن می گذرد، د- فاصله بین محورها

م و. نسبت به هر عبوری از مبدا در بارهتبرها اولبا جهت کسینوس a، b، g مطابق فرمول یافت می شود

دانستن شش مقدار من x، من y، من z، من xy، من yz، من zx، می توانید به ترتیب با استفاده از فرمول های (4) و (3) کل مجموعه M. و را محاسبه کنید. بدن نسبت به هر محور. این شش کمیت به اصطلاح تعیین می کند. تانسور اینرسی بدنه از طریق هر نقطه از بدن شما می توانید 3 محور عمود بر یکدیگر را ترسیم کنید. چ. محورهای اینرسی، که برای آن من xy = من yz= Izx= 0. سپس M. و. اجسام نسبت به هر محوری را می توان با دانستن Ch. محور اینرسی و M. و. نسبت به این محورها

قبل از یافتن مرکز ثقل اشکال ساده، مانند آنهایی که دارای شکل مستطیل، گرد، کروی یا استوانه ای و همچنین مربع هستند، باید بدانید که مرکز تقارن یک شکل خاص در چه نقطه ای قرار دارد. زیرا در این موارد مرکز ثقل با مرکز تقارن منطبق خواهد شد.

مرکز ثقل یک میله همگن در مرکز هندسی آن قرار دارد. اگر نیاز به تعیین مرکز ثقل یک دیسک گرد از یک ساختار همگن دارید، ابتدا نقطه تقاطع قطرهای دایره را پیدا کنید. مرکز ثقل این بدن خواهد بود. با در نظر گرفتن شکل هایی مانند یک توپ، یک حلقه و یک متوازی الاضلاع مستطیلی یکنواخت، می توان با اطمینان گفت که مرکز ثقل حلقه در مرکز شکل خواهد بود، اما خارج از نقاط آن، مرکز ثقل توپ قرار دارد. مرکز هندسی کره، و در مورد دوم، مرکز ثقل به عنوان قطرهای تقاطع یک متوازی الاضلاع مستطیلی در نظر گرفته می شود.

مرکز ثقل اجسام ناهمگن

برای یافتن مختصات مرکز ثقل، و همچنین مرکز ثقل یک جسم ناهمگن، لازم است بفهمیم که در کدام بخش از یک جسم معین، نقطه ای قرار دارد که در آن تمام نیروهای گرانشی متقاطع می شوند. رقم اگر برگردانده شود. در عمل برای یافتن چنین نقطه ای، بدنه را روی نخی آویزان می کنند و به تدریج نقاط اتصال نخ را به بدنه تغییر می دهند. در حالتی که جسم در حالت تعادل باشد، مرکز ثقل جسم روی خطی قرار می گیرد که منطبق بر خط نخ است. در غیر این صورت، جاذبه باعث حرکت بدن می شود.

یک مداد و یک خط کش بردارید، خطوط مستقیم عمودی را بکشید که از نظر بصری با جهت نخ مطابقت دارند (نخ هایی که به نقاط مختلف بدن متصل هستند). اگر شکل بدن کاملاً پیچیده است، چندین خط بکشید که در یک نقطه قطع می شوند. این مرکز ثقل جسمی است که آزمایش را روی آن انجام داده اید.

مرکز ثقل مثلث

برای پیدا کردن مرکز ثقل یک مثلث، باید یک مثلث بکشید - شکلی متشکل از سه بخش که در سه نقطه به یکدیگر متصل هستند. قبل از پیدا کردن مرکز ثقل شکل، باید از یک خط کش برای اندازه گیری طول یک ضلع مثلث استفاده کنید. یک علامت در وسط ضلع قرار دهید، سپس راس مقابل و وسط پاره را با خطی به نام میانه وصل کنید. همین الگوریتم را با ضلع دوم مثلث و سپس با ضلع سوم تکرار کنید. نتیجه کار شما سه میانه خواهد بود که در یک نقطه تلاقی می کنند که مرکز ثقل مثلث خواهد بود.

اگر در رابطه با نحوه یافتن مرکز ثقل جسمی به شکل مثلث متساوی الاضلاع با وظیفه ای روبرو هستید، باید با استفاده از یک خط کش مستطیلی از هر رأس ارتفاعی رسم کنید. مرکز ثقل در یک مثلث متساوی الاضلاع در تقاطع ارتفاعات، وسط و نیمساز خواهد بود، زیرا همان بخش ها به طور همزمان ارتفاع، میانه و نیمساز هستند.

مختصات مرکز ثقل مثلث

قبل از پیدا کردن مرکز ثقل مثلث و مختصات آن، اجازه دهید نگاهی دقیق‌تر به خود شکل بیندازیم. این یک صفحه مثلثی همگن است، با رئوس A، B، C و بر این اساس، مختصات: برای راس A - x1 و y1. برای راس B - x2 و y2؛ برای راس C - x3 و y3. هنگام پیدا کردن مختصات مرکز ثقل، ضخامت صفحه مثلثی را در نظر نخواهیم گرفت. شکل به وضوح نشان می دهد که مرکز ثقل مثلث با حرف E نشان داده شده است - برای پیدا کردن آن، ما سه وسط رسم کردیم که در محل تقاطع آنها نقطه E را قرار دادیم. مختصات خود را دارد: xE و yE.

یک انتهای میانه رسم شده از راس A به قطعه B دارای مختصات x 1 , y 1 است (این نقطه A است) و مختصات دوم میانه بر اساس این واقعیت به دست می آید که نقطه D (انتهای دوم میانه) به دست می آید. در وسط بخش قبل از میلاد قرار دارد. انتهای این بخش مختصاتی دارد که برای ما شناخته شده است: B(x 2, y 2) و C(x 3, y 3). مختصات نقطه D با xD و yD نشان داده می شود. بر اساس فرمول های زیر:

x=(X1+X2)/2; y=(U1+U2)/2

مختصات وسط پاره را تعیین کنید. نتیجه زیر را می گیریم:

xd=(X2+X3)/2; уд=(У2+У3)/2;

D *((X2+X3)/2، (U2+U3)/2).

ما می دانیم که چه مختصاتی برای انتهای بخش AD معمولی است. مختصات نقطه E یعنی مرکز ثقل صفحه مثلثی را نیز می دانیم. همچنین می دانیم که مرکز ثقل در وسط قطعه AD قرار دارد. اکنون با استفاده از فرمول ها و داده هایی که برای ما شناخته شده است، می توانیم مختصات مرکز ثقل را پیدا کنیم.

بنابراین، با توجه به اینکه ضخامت آن برای ما ناشناخته است، می توانیم مختصات مرکز ثقل مثلث، یا بهتر است بگوییم، مختصات مرکز ثقل صفحه مثلثی را پیدا کنیم. آنها برابر با میانگین حسابی مختصات همگن رئوس صفحه مثلثی هستند.

مستطیل. از آنجایی که یک مستطیل دارای دو محور تقارن است، مرکز ثقل آن در محل تلاقی محورهای تقارن است، یعنی. در نقطه تلاقی قطرهای مستطیل.

مثلث. مرکز ثقل در نقطه تقاطع میانه های آن قرار دارد. از هندسه مشخص است که وسط یک مثلث در یک نقطه قطع می شود و به نسبت 1:2 از قاعده تقسیم می شود.

دایره. از آنجایی که یک دایره دارای دو محور تقارن است، مرکز ثقل آن در محل تلاقی محورهای تقارن است.

نیم دایره. یک نیم دایره دارای یک محور تقارن است، سپس مرکز ثقل روی این محور قرار دارد. مختصات دیگر مرکز ثقل با فرمول محاسبه می شود: .

بسیاری از عناصر ساختاری از محصولات نورد استاندارد ساخته شده اند - زاویه ها، تیرهای I، کانال ها و غیره. همه ابعاد، و همچنین ویژگی های هندسی پروفیل های نورد، داده های جدولی هستند که می توان آنها را در ادبیات مرجع در جداول طبقه بندی معمولی (GOST 8239-89، GOST 8240-89) یافت.

مثال 1. موقعیت مرکز ثقل شکل نشان داده شده در شکل را تعیین کنید.

راه حل:

محورهای مختصات را طوری انتخاب می کنیم که محور Ox در امتداد پایین ترین بعد کلی قرار گیرد و محور Oy در امتداد سمت چپ ترین بعد کلی قرار گیرد.

یک شکل پیچیده را به حداقل تعداد ارقام ساده تقسیم می کنیم:

مستطیل 20x10;

مثلث 15x10;

دایره R=3 سانتی متر.

ما مساحت هر شکل ساده و مختصات مرکز ثقل آن را محاسبه می کنیم. نتایج محاسبات در جدول وارد می شود

شکل شماره	مساحت شکل A،	مختصات مرکز ثقل

پاسخ: C(14.5; 4.5)

مثال 2 . مختصات مرکز ثقل یک مقطع مرکب متشکل از یک ورق و مقاطع نورد شده را تعیین کنید.

راه حل.

همانطور که در شکل نشان داده شده است محورهای مختصات را انتخاب می کنیم.

بیایید ارقام را با اعداد مشخص کنیم و داده های لازم را از جدول بنویسیم:

شکل شماره	مساحت شکل A،	مختصات مرکز ثقل

مختصات مرکز ثقل شکل را با استفاده از فرمول ها محاسبه می کنیم:

پاسخ: C(0; 10)

کار آزمایشگاهی شماره 1 "تعیین مرکز ثقل فیگورهای تخت مرکب"

هدف: مرکز ثقل یک شکل مختلط مسطح معین را با استفاده از روش های تجربی و تحلیلی تعیین کنید و نتایج آنها را با هم مقایسه کنید.

سفارش کار

شکل صاف خود را در دفترچه یادداشت خود در اندازه بکشید و محورهای مختصات را نشان دهید.

مرکز ثقل را به صورت تحلیلی تعیین کنید.

1. شکل را به حداقل تعداد ارقامی تقسیم کنید که می دانیم مرکز ثقل آنها را چگونه تعیین کنیم.

   اعداد مساحت و مختصات مرکز ثقل هر شکل را مشخص کنید.

   مختصات مرکز ثقل هر شکل را محاسبه کنید.

   مساحت هر شکل را محاسبه کنید.

   مختصات مرکز ثقل کل شکل را با استفاده از فرمول ها محاسبه کنید (موقعیت مرکز ثقل در رسم شکل ترسیم شده است):

نصب برای تعیین تجربی مختصات مرکز ثقل با استفاده از روش آویزان شامل یک پایه عمودی است. 1 (شکل را ببینید) که سوزن به آن وصل شده است 2 . شکل تخت 3 ساخته شده از مقوا، که به راحتی سوراخ می شود. سوراخ ها آ و که در در نقاطی که به طور تصادفی قرار دارند سوراخ می شوند (ترجیحاً در دورترین فاصله از یکدیگر). یک شکل صاف ابتدا در یک نقطه روی یک سوزن آویزان می شود آ ، و سپس در نقطه که در . با استفاده از شاقول 4 ، به همان سوزن متصل شده، با مداد مربوط به نخ شاقول یک خط عمودی روی شکل بکشید. مرکز گرانش با شکل در نقطه تقاطع خطوط عمودی ترسیم شده هنگام آویزان کردن شکل در نقاط قرار می گیرد آ و که در .

6.1. اطلاعات کلی

مرکز نیروهای موازی
اجازه دهید دو نیروی موازی را در نظر بگیریم که در یک جهت، و در نقاطی به بدن اعمال می‌شوند آ 1 و آ 2 (شکل 6.1). این سیستم نیروها دارای نتیجه ای است که خط عمل آن از نقطه خاصی می گذرد با. موقعیت نقطه بامی توان با استفاده از قضیه Varignon پیدا کرد:

اگر نیروها را بچرخانید و نزدیک نقاط آ 1 و آ 2 در یک جهت و در یک زاویه، سپس یک سیستم جدید از سالای موازی با ماژول های یکسان دریافت می کنیم. در این صورت حاصل آنها نیز از نقطه عبور خواهد کرد با. این نقطه را مرکز نیروهای موازی می نامند.
بیایید سیستمی از نیروهای موازی و مستقیم را در نظر بگیریم که در نقاطی به جسم جامد اعمال می شود. این سیستم یک نتیجه دارد.
اگر هر نیروی سیستم در نزدیکی نقاط اعمال خود در یک جهت و در یک زاویه بچرخد، آنگاه سیستم‌های جدیدی از نیروهای موازی با جهت یکسان با مدول‌ها و نقاط اعمال مشابه به دست می‌آیند. حاصل چنین سیستم هایی مدول یکسانی خواهد داشت آر، اما هر بار جهت متفاوت. قدرتم را جمع کردم اف 1 و اف 2 متوجه می شویم که نتیجه آنهاست آر 1، که همیشه از نقطه عبور می کند با 1 که موقعیت آن با برابری تعیین می شود. تا کردن بیشتر آر 1 و اف 3، نتیجه آنها را پیدا می کنیم که همیشه از نقطه عبور می کند با 2 روی خط مستقیم دراز کشیده آ 3 با 2. پس از تکمیل فرآیند اضافه کردن نیروها به انتها، به این نتیجه خواهیم رسید که برآیند همه نیروها در واقع همیشه از یک نقطه عبور می کند. با، که موقعیت آن نسبت به نقاط بدون تغییر خواهد بود.
نقطه با، که خط عمل سیستم حاصل از نیروهای موازی از آن عبور می کند برای هر چرخش این نیروها در نزدیکی نقاط اعمال آنها در یک جهت در یک زاویه، مرکز نیروهای موازی نامیده می شود (شکل 6.2).

شکل 6.2

اجازه دهید مختصات مرکز نیروهای موازی را تعیین کنیم. از موقعیت نقطه بانسبت به بدن بدون تغییر است، پس مختصات آن به انتخاب سیستم مختصات بستگی ندارد. بیایید همه نیروها را در اطراف کاربرد آنها بچرخانیم تا با محور موازی شوند OUو قضیه واریگنون را برای نیروهای چرخشی اعمال کنید. زیرا R"حاصل این نیروها است، پس طبق قضیه واریگنون، داریم ، زیرا ، ، ما گرفتیم

از اینجا مختصات مرکز نیروهای موازی را می یابیم zc:

برای تعیین مختصات xcبیایید یک بیان برای لحظه نیروهای حول محور ایجاد کنیم اوز.

برای تعیین مختصات ycبیایید همه نیروها را بچرخانیم تا با محور موازی شوند اوز.

موقعیت مرکز نیروهای موازی نسبت به مبدا (شکل 6.2) را می توان با بردار شعاع آن تعیین کرد:

6.2. مرکز ثقل جسم صلب

مرکز گرانشیک جسم صلب نقطه ای است که همیشه با این جسم مرتبط است با، که خط عمل نیروهای گرانش حاصل از یک جسم معین، برای هر موقعیت جسم در فضا از آن عبور می کند.
مرکز ثقل در مطالعه پایداری موقعیت تعادل اجسام و محیط های پیوسته تحت تأثیر گرانش و در برخی موارد دیگر، یعنی: در استحکام مواد و در مکانیک سازه - هنگام استفاده از قانون Vereshchagin استفاده می شود.
برای تعیین مرکز ثقل جسم دو راه وجود دارد: تحلیلی و تجربی. روش تحلیلی برای تعیین مرکز ثقل به طور مستقیم از مفهوم مرکز نیروهای موازی پیروی می کند.
مختصات مرکز ثقل، به عنوان مرکز نیروهای موازی، با فرمول های زیر تعیین می شود:

جایی که آر- وزن کل بدن؛ pk- وزن ذرات بدن؛ xk، yk، zk- مختصات ذرات بدن
برای یک جسم همگن، وزن کل بدن و هر قسمت از آن متناسب با حجم است P=Vγ, pk =vk γ، جایی که γ - وزن در واحد حجم، V- حجم بدن جایگزینی عبارات پ, pkبه فرمول تعیین مختصات مرکز ثقل و کاهش با یک عامل مشترک γ ، ما گرفتیم:

نقطه با، که مختصات آن با فرمول های حاصل تعیین می شود، نامیده می شود مرکز ثقل حجم.
اگر بدن یک صفحه نازک همگن باشد، مرکز ثقل با فرمول های زیر تعیین می شود:

جایی که اس- مساحت کل صفحه؛ sk- مساحت قسمت آن؛ xk، yk- مختصات مرکز ثقل قطعات صفحه.
نقطه بادر این صورت نامیده می شود منطقه مرکز ثقل.
شمارنده های عباراتی که مختصات مرکز ثقل شکل های صفحه را تعیین می کنند با نامیده می شوند لحظه های ساکن منطقهنسبت به محورها درو ایکس:

سپس مرکز ثقل ناحیه را می توان با فرمول های زیر تعیین کرد:

برای اجسامی که طول آنها چند برابر ابعاد مقطع است، مرکز ثقل خط را تعیین کنید. مختصات مرکز ثقل خط با فرمول های زیر تعیین می شود:

جایی که L- طول خط؛ lk- طول قطعات آن؛ xk، yk، zk- مختصات مرکز ثقل قسمت هایی از خط.

6.3. روشهای تعیین مختصات مراکز ثقل اجسام

بر اساس فرمول های به دست آمده، می توان روش های عملی را برای تعیین مراکز ثقل اجسام پیشنهاد کرد.
1. تقارن. اگر جسمی دارای مرکز تقارن باشد، مرکز ثقل در مرکز تقارن است.
اگر جسم دارای صفحه تقارن باشد. به عنوان مثال، هواپیما XOU، سپس مرکز ثقل در این صفحه قرار دارد.
2. تقسیم شدن. برای اجسام متشکل از بدنه هایی با شکل ساده از روش تقسیم استفاده می شود. بدن به قسمت هایی تقسیم می شود که مرکز ثقل آن با روش تقارن تعیین می شود. مرکز ثقل کل بدن با فرمول مرکز ثقل حجم (مساحت) تعیین می شود.

مثال. مرکز ثقل صفحه نشان داده شده در شکل زیر را تعیین کنید (شکل 6.3). صفحه را می توان به روش های مختلف به مستطیل تقسیم کرد و مختصات مرکز ثقل هر مستطیل و مساحت آنها را مشخص کرد.

شکل 6.3

پاسخ: ایکسج= 17.0 سانتی متر؛ yج= 18.0 سانتی متر

3. اضافه شدن. این روش یک مورد خاص از روش پارتیشن بندی است. در صورت مشخص بودن مختصات مرکز ثقل بدنه بدون بریدگی، زمانی استفاده می شود که بدنه دارای برش، برش و ... باشد.

مثال. مرکز ثقل صفحه دایره ای با شعاع برش را تعیین کنید r = 0,6 آر(شکل 6.4).

شکل 6.4

یک صفحه گرد دارای مرکز تقارن است. بیایید مبدا مختصات را در مرکز صفحه قرار دهیم. منطقه بشقاب بدون برش، منطقه برش. صفحه مربع با برش؛ .
صفحه با یک برش دارای یک محور تقارن است О1 xاز این رو، yc=0.

4. ادغام. اگر جسم را نتوان به تعداد محدودی از قطعات تقسیم کرد که موقعیت مراکز ثقل آن مشخص است، بدن به حجم های کوچک دلخواه تقسیم می شود که فرمول با استفاده از روش پارتیشن بندی به شکل زیر است: .
سپس آنها به سمت حد می روند و حجم های ابتدایی را به صفر هدایت می کنند، یعنی. انقباض حجم به نقاط مجموع ها با انتگرال های گسترش یافته به کل حجم بدن جایگزین می شوند، سپس فرمول های تعیین مختصات مرکز ثقل حجم به شکل زیر است:

فرمول های تعیین مختصات مرکز ثقل یک ناحیه:

مختصات مرکز ثقل ناحیه باید هنگام مطالعه تعادل صفحات، هنگام محاسبه انتگرال Mohr در مکانیک سازه تعیین شود.

مثال. مرکز ثقل یک کمان دایره ای با شعاع را تعیین کنید آربا زاویه مرکزی AOB= 2α (شکل 6.5).

برنج. 6.5

قوس یک دایره با محور متقارن است اوهبنابراین، مرکز ثقل قوس روی محور قرار دارد اوه, بله = 0.
طبق فرمول مرکز ثقل یک خط:

6.روش تجربی. مراکز ثقل اجسام ناهمگن با پیکربندی پیچیده را می توان به صورت تجربی تعیین کرد: با روش آویزان کردن و وزن کردن. روش اول این است که بدنه را روی کابل در نقاط مختلف آویزان کنید. جهت کابلی که بدنه روی آن آویزان است، جهت گرانش را نشان می دهد. نقطه تلاقی این جهات مرکز ثقل بدن را مشخص می کند.
روش توزین شامل ابتدا تعیین وزن یک بدنه مانند ماشین است. سپس فشار محور عقب خودرو بر روی تکیه گاه بر روی ترازو مشخص می شود. با ترسیم یک معادله تعادل نسبت به یک نقطه، به عنوان مثال، محور چرخ های جلو، می توانید فاصله این محور تا مرکز ثقل خودرو را محاسبه کنید (شکل 6.6).

شکل 6.6

گاهی اوقات هنگام حل مسائل، لازم است همزمان از روش های مختلفی برای تعیین مختصات مرکز ثقل استفاده شود.

6.4. مراکز ثقل چند شکل هندسی ساده

برای تعیین مراکز ثقل اجسام با اشکال رایج (مثلث، قوس دایره ای، بخش، بخش)، استفاده از داده های مرجع راحت است (جدول 6.1).

جدول 6.1

مختصات مرکز ثقل برخی اجسام همگن

№	نام شکل	طراحی
	قوس دایره: مرکز ثقل یک کمان دایره یکنواخت روی محور تقارن است (مختصات uc=0). آر- شعاع دایره
	بخش دایره ای همگن uc=0). جایی که α نصف زاویه مرکزی است. آر- شعاع دایره
	بخش: مرکز ثقل روی محور تقارن (مختصات) قرار دارد uc=0). جایی که α نصف زاویه مرکزی است. آر- شعاع دایره
	نیم دایره:
	مثلث: مرکز ثقل یک مثلث همگن در نقطه تلاقی وسط آن است. جایی که x1، y1، x2، y2، x3، y3- مختصات رئوس مثلث
	مخروط: مرکز ثقل مخروط دایره ای یکنواخت در ارتفاع آن قرار دارد و در فاصله 1/4 ارتفاع از قاعده مخروط قرار دارد.

چگونه مرکز ثقل را پیدا کنیم

نویسنده: بیایید بدنه ای با شکل دلخواه بگیریم. آیا می توان آن را روی نخ آویزان کرد تا پس از آویزان کردن، موقعیت خود را حفظ کند (یعنی شروع به چرخیدن نکند) هرجهت گیری اولیه (شکل 27.1)؟

به عبارت دیگر، آیا نقطه ای نسبت به آن وجود دارد که مجموع لحظات گرانش وارد بر قسمت های مختلف بدن برابر با صفر باشد. هرجهت گیری بدن در فضا؟

خواننده: بله، فکر می کنم. این نقطه نامیده می شود مرکز ثقل بدن

اثباتبرای سادگی، اجازه دهید بدنی را به شکل یک صفحه مسطح با شکل دلخواه، به طور دلخواه در فضا در نظر بگیریم (شکل 27.2). بیایید سیستم مختصات را در نظر بگیریم ایکس 0دربا شروع در مرکز جرم - نقطه با، سپس x C = 0, در سی = 0.

اجازه دهید این جسم را مجموعه ای از تعداد زیادی جرم نقطه ای تصور کنیم m iکه موقعیت هر کدام با بردار شعاع مشخص می شود.

طبق تعریف، مرکز جرم و مختصات است x C = .

از آنجایی که در سیستم مختصات ما اتخاذ کردیم x C= 0، سپس . بیایید این برابری را در ضرب کنیم gو دریافت می کنیم

همانطور که در شکل دیده میشود. 27.2، | x i| - این شانه قدرت است. و اگر x i> 0، سپس لحظه نیرو M i> 0، و اگر x j < 0, то ام جی < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iلحظه نیرو برابر خواهد بود M i = m i gx i .سپس برابری (1) معادل برابری است، که در آن M i- لحظه گرانش این بدان معنی است که با جهت گیری دلخواه جسم، مجموع لحظات گرانشی اعمال شده بر روی جسم، نسبت به مرکز جرم آن برابر با صفر خواهد بود.

برای اینکه جسم مورد نظر ما در حالت تعادل باشد، لازم است در نقطه ای به آن اعمال شود. بازور تی = میلی گرم، به صورت عمودی به سمت بالا هدایت می شود. لحظه این نیرو نسبت به نقطه بابرابر با صفر

از آنجایی که استدلال ما به هیچ وجه به نحوه دقیق جهت گیری جسم در فضا بستگی نداشت، ثابت کردیم که مرکز ثقل با مرکز جرم منطبق است، چیزی که باید ثابت کنیم.

مسئله 27.1.مرکز ثقل یک میله بی وزن با طول را پیدا کنید ل، که در انتهای آن دو جرم نقطه ثابت است تی 1 و تی 2 .

تی 1 تی 2 ل	راه حل. ما به دنبال مرکز ثقل نیستیم، بلکه به دنبال مرکز جرم خواهیم بود (چون اینها یکسان هستند). محور را معرفی می کنیم ایکس(شکل 27.3). برنج. 27.3
x C =?

پاسخ: در فاصله ای از جرم تی 1 .

متوقف کردن! خودتان تصمیم بگیرید: B1–B3.

بیانیه 1 . اگر یک جسم مسطح همگن دارای یک محور تقارن باشد، مرکز ثقل روی این محور است.

در واقع، برای هر جرم نقطه ای m i، در سمت راست محور تقارن قرار دارد، همان جرم نقطه ای به طور متقارن نسبت به اولی قرار دارد (شکل 27.4). در این حالت مجموع گشتاور نیروها .

از آنجایی که کل بدن را می توان به صورت تقسیم به جفت نقاط مشابه نشان داد، کل گشتاور گرانش نسبت به هر نقطه ای که روی محور تقارن قرار دارد برابر با صفر است، به این معنی که مرکز ثقل جسم در این محور قرار دارد. . این منجر به یک نتیجه مهم می شود: اگر جسمی دارای چندین محور تقارن باشد، مرکز ثقل در محل تلاقی این محورها قرار دارد.(شکل 27.5).

برنج. 27.5

بیانیه 2. اگر دو جسم دارای جرم باشند تی 1 و تی 2 به یکی متصل می شوند، سپس مرکز ثقل چنین جسمی بر روی یک بخش خط مستقیم قرار می گیرد که مراکز ثقل جسم اول و دوم را به هم متصل می کند (شکل 27.6).

برنج. 27.6 برنج. 27.7

اثباتاجازه دهید بدنه مرکب را طوری قرار دهیم که قسمتی که مرکز ثقل اجسام را به هم متصل می کند عمودی باشد. سپس مجموع لحظات گرانش جسم اول نسبت به نقطه با 1 برابر با صفر است و مجموع لحظات گرانش جسم دوم نسبت به نقطه با 2 برابر با صفر است (شکل 27.7).

توجه کنید که شانهگرانش هر جرم نقطه ای تی منبا توجه به هر نقطه ای که روی قطعه قرار دارد یکسان است با 1 با 2 و بنابراین لحظه گرانش نسبت به هر نقطه ای که روی قطعه قرار دارد با 1 با 2، همان. در نتیجه، نیروی گرانش کل بدن نسبت به هر نقطه از قطعه صفر است با 1 با 2. بنابراین، مرکز ثقل بدنه کامپوزیت روی قطعه قرار دارد با 1 با 2 .

یک نتیجه گیری عملی مهم از بیانیه 2 به دست می آید که به وضوح در قالب دستورالعمل ها تدوین شده است.

دستورالعمل ها،

چگونه می توان مرکز ثقل جسم جامد را در صورت شکستن آن پیدا کرد

به قسمت هایی که موقعیت مراکز ثقل هر کدام مشخص است

1. هر قسمت باید با جرمی که در مرکز ثقل آن قسمت قرار دارد جایگزین شود.

2. پیدا کنید مرکز جرم(و این همان مرکز ثقل است) سیستم حاصل از جرم نقطه، انتخاب یک سیستم مختصات مناسب ایکس 0در، طبق فرمول های:

در واقع، اجازه دهید بدنه کامپوزیت را طوری بچینیم که قطعه با 1 با 2 افقی بود و آن را در نقاطی روی نخ ها آویزان کنید با 1 و با 2 (شکل 27.8، آ). واضح است که بدن در تعادل خواهد بود. و اگر هر جسم را با توده های نقطه ای جایگزین کنیم، این تعادل به هم نمی خورد تی 1 و تی 2 (شکل 27.8، ب).

برنج. 27.8

متوقف کردن! خودتان تصمیم بگیرید: C3.

مشکل 27.2.گلوله های جرم در دو راس مثلث متساوی الاضلاع قرار می گیرند تیهر یک توپ به جرم 2 در راس سوم قرار می گیرد تی(شکل 27.9، آ). ضلع مثلث آ. مرکز ثقل این سیستم را تعیین کنید.

تی 2تی آ	برنج. 27.9
x C = ? در سی = ?

راه حل. اجازه دهید سیستم مختصات را معرفی کنیم ایکس 0در(شکل 27.9، ب). سپس

,

.

پاسخ: x C = آ/2; ; مرکز ثقل در نیمی از ارتفاع قرار دارد آگهی.