یکی از مفاهیم اساسی نظریه احتمال، مفهوم یک رویداد است.

رویدادبه هر واقعیتی که ممکن است در نتیجه آزمایش رخ دهد یا نباشد اشاره دارد.

زیر تست (تجربه, آزمایش) در این تعریف تحقق مجموعه خاصی از شرایط درک می شود که در آن این یا آن پدیده مشاهده می شود و این یا آن نتیجه ثبت می شود.

برای مثال تیراندازی به سمت هدف شلیک می کند. در این مورد، یک ضربه یک آزمایش است، یک ضربه یا از دست دادن یک رویداد است. مثال دیگر: از یک کوزه حاوی توپ هایی با رنگ های مختلف، یک توپ کشیده می شود. در این مورد، بازیابی توپ از کوزه یک آزمایش است. ظهور یک توپ با رنگ خاص یک رویداد است.

رویدادها معمولاً با حروف بزرگ الفبای لاتین نشان داده می شوند: آ, ب, سیو غیره.

رویداد نامیده می شود قابل اعتماد ، اگر در نتیجه آزمایش لزوماً باید رخ دهد. رویداد نامیده می شود تصادفی ، اگر در نتیجه آزمایش ممکن است رخ دهد یا نباشد. رویداد نامیده می شود غیر ممکن ، اگر در نتیجه آزمایش اصلاً اتفاق نیفتد.

مثلا یک قالب پرتاب می شود. در این حالت، ظاهر یک عدد صحیح یک رویداد قابل اعتماد، ظهور عدد 2 یک رویداد تصادفی و ظهور عدد 8 یک رویداد غیرممکن است.

رویدادها نامیده می شوند ناسازگار در صورتی که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع دیگری باشد. در غیر این صورت رویدادها نامیده می شوند مفصل .

به عنوان مثال، دریافت نمرات "ممتاز"، "خوب" و "رضایت بخش" دانش آموزی در یک امتحان در یک رشته، رویدادهای ناسازگار هستند، اما دریافت نمرات یکسان در سه رشته مختلف رویداد مشترک هستند.

رویدادها نامیده می شوند تنها ممکن ، در صورتی که وقوع یک و تنها یکی از آنها در نتیجه آزمایش یک رویداد قابل اعتماد باشد.

مثلا دو دانش آموز برای امتحان آمدند. یکی از رویدادهای زیر قطعاً اتفاق خواهد افتاد: هر دو دانش‌آموز در آزمون (رویداد آ، فقط یک دانش آموز در آزمون (رویداد که در) هیچ یک از دانش آموزان در آزمون (رویداد با). مناسبت ها آ, که در, باتنها موارد ممکن هستند

رویدادها نامیده می شوند به همان اندازه ممکن است ، در صورتی که با توجه به شرایط تقارن، دلیلی وجود داشته باشد که هیچ یک از این رویدادها از نظر عینی بیشتر از سایر رویدادها ممکن نیست.

به عنوان مثال، ظاهر شدن یک نشان یا سر هنگام پرتاب یک سکه به همان اندازه ممکن است. در واقع، فرض بر این است که سکه از یک ماده همگن ساخته شده است، شکل استوانه ای منظمی دارد و وجود ضرب در از دست دادن یک روی سکه تأثیری ندارد.

چندین رویداد شکل می گیرد گروه کامل , اگر آنها تنها نتایج ممکن و ناسازگار محاکمه باشند. این بدان معنی است که یک و تنها یکی از این رویدادها باید در نتیجه آزمایش رخ دهد.

به عنوان مثال، دانش آموزی به سوالات روی برگه امتحانی پاسخ می دهد. بلیط شامل دو سوال است. نتایج آزمون زیر ممکن است: دانش آموز به هر دو سؤال پاسخ خواهد داد (رویداد آ 1)، به یک سوال (رویداد) پاسخ خواهد داد آ 2) به هیچ سوالی پاسخ نمی دهد (رویداد آ 3). مناسبت ها آ 1 , آ 2 و آ 3 یک گروه کامل تشکیل دهید.

در مقابلدو رویداد منحصر به فرد ممکن را نام ببرید که یک گروه کامل را تشکیل می دهند.

به عنوان مثال، رویدادی که دانش آموز در حال حاضر در کلاس درس است و رویدادی که او در خارج از کلاس درس است، متضاد هستند.

اگر یکی از دو رویداد متضاد با آ، سپس چیز دیگری معمولاً به عنوان تعیین می شود.

طبقه بندی رویدادها به احتمالی، احتمالی و تصادفی. مفاهیم وقایع ابتدایی ساده و پیچیده عملیات روی رویدادها تعریف کلاسیک احتمال یک رویداد تصادفی و خواص آن. عناصر ترکیبیات در نظریه احتمال. احتمال هندسی بدیهیات نظریه احتمال.

طبقه بندی رویداد

یکی از مفاهیم اساسی نظریه احتمال، مفهوم یک رویداد است. زیر رویدادهر واقعیتی را که ممکن است در نتیجه یک تجربه یا آزمایش رخ دهد را درک کنید. زیر تجربه، یا تست، به اجرای مجموعه خاصی از شرایط اشاره دارد.

نمونه هایی از رویدادها:

- ضربه زدن به هدف هنگام شلیک از تفنگ (تجربه - شلیک کردن؛ رویداد - اصابت به هدف).
– از دست دادن دو نشان هنگام پرتاب سه بار سکه (تجربه - سه بار پرتاب یک سکه؛ رویداد - از دست دادن دو نشان).
- ظهور خطای اندازه گیری در محدوده های مشخص شده هنگام اندازه گیری برد تا یک هدف (تجربه - اندازه گیری محدوده؛ رویداد - خطای اندازه گیری).

مثال های مشابه بی شماری می توان آورد. رویدادها با حروف بزرگ الفبای لاتین و غیره نشان داده می شوند.

تمیز دادن رویدادهای مشترکو ناسازگار. وقایع را در صورتی مشترک می گویند که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع دیگری نباشد. در غیر این صورت، رویدادها ناسازگار نامیده می شوند. به عنوان مثال، دو تاس پرتاب می شود. رویداد از دست دادن سه امتیاز در قالب اول است، رویداد از دست دادن سه امتیاز در قالب دوم است. و - رویدادهای مشترک اجازه دهید فروشگاه یک دسته کفش با همان سبک و اندازه، اما رنگ های مختلف دریافت کند. رویداد - جعبه‌ای که به‌طور تصادفی گرفته می‌شود حاوی کفش‌های سیاه است، یک رویداد - جعبه حاوی کفش‌های قهوه‌ای است و - رویدادهای ناسازگار.

رویداد نامیده می شود قابل اعتماد، اگر مطمئن باشید که تحت شرایط یک آزمایش مشخص رخ می دهد.

رویدادی غیرممکن نامیده می شود که در شرایط یک تجربه معین نتواند رخ دهد. به عنوان مثال، این اتفاق که یک قطعه استاندارد از یک دسته از قطعات استاندارد گرفته شود قابل اعتماد است، اما یک قطعه غیر استاندارد غیرممکن است.

رویداد نامیده می شود ممکن است، یا تصادفی، اگر در نتیجه تجربه ممکن است ظاهر شود، اما ممکن است ظاهر نشود. نمونه ای از یک رویداد تصادفی می تواند شناسایی عیوب محصول در حین بازرسی دسته ای از محصولات نهایی، عدم تطابق بین اندازه محصول فرآوری شده و محصول مشخص شده، یا خرابی یکی از پیوندها در سیستم کنترل خودکار باشد.

رویدادها نامیده می شوند به همان اندازه ممکن است، در صورتی که با توجه به شرایط آزمون، هیچ یک از این رویدادها از نظر عینی بیشتر از بقیه امکان پذیر نباشد. به عنوان مثال، اجازه دهید یک فروشگاه لامپ (به مقدار مساوی) توسط چندین کارخانه تولیدی تامین شود. رویدادهای مربوط به خرید یک لامپ از هر یک از این کارخانه ها به همان اندازه امکان پذیر است.

یک مفهوم مهم این است گروه کامل رویدادها. چندین رویداد در یک آزمایش معین، اگر حداقل یکی از آنها در نتیجه آزمایش ظاهر شود، یک گروه کامل را تشکیل می دهند. به عنوان مثال، یک گلدان حاوی ده توپ است که شش توپ قرمز، چهار توپ سفید و پنج توپ دارای اعداد هستند. - ظاهر شدن یک توپ قرمز در حین یک قرعه کشی - ظاهر شدن یک توپ سفید - ظاهر شدن یک توپ با شماره. رویدادها یک گروه کامل از رویدادهای مشترک را تشکیل می دهند.

اجازه دهید مفهوم یک رویداد متضاد یا اضافی را معرفی کنیم. زیر مقابلیک رویداد به عنوان رویدادی درک می شود که اگر رویدادی رخ ندهد، لزوماً باید رخ دهد. رویدادهای متضاد ناسازگار و تنها ممکن است. آنها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند. به عنوان مثال، اگر دسته ای از محصولات تولید شده از محصولات خوب و معیوب تشکیل شده باشد، وقتی یک محصول حذف می شود، ممکن است به یک رویداد خوب یا معیوب تبدیل شود.

عملیات روی رویدادها

هنگام توسعه یک دستگاه و روش برای مطالعه رویدادهای تصادفی در نظریه احتمال، مفهوم مجموع و حاصلضرب رویدادها بسیار مهم است.

مجموع یا اتحاد چند رویداد رویدادی است که از وقوع حداقل یکی از این رویدادها تشکیل شده است.

مجموع رویدادها به شرح زیر نشان داده شده است:

به عنوان مثال، اگر یک رویداد با شلیک اول به هدف می زند، یک رویداد - با شلیک دوم، پس رویداد به طور کلی به هدف اصابت می کند، مهم نیست با کدام شلیک - اول، دوم یا هر دو.

محصول یا تقاطع چندین رویداد رویدادی است که از وقوع مشترک همه این رویدادها تشکیل شده است.

تولید رویدادها نشان داده شده است

به عنوان مثال، اگر واقعه این باشد که با شلیک اول به هدف اصابت کرده باشد، واقعه به این صورت است که با شلیک دوم به هدف اصابت کرده است، آنگاه واقعه این است که هدف با هر دو شلیک مورد اصابت قرار گرفته است.

مفاهیم مجموع و حاصلضرب رویدادها تفسیر هندسی واضحی دارند. اجازه دهید رویداد شامل یک نقطه باشد که وارد منطقه می شود، رویداد شامل ورود به منطقه است، سپس رویداد شامل نقطه ورود به منطقه ای است که در شکل سایه دار شده است. 1، و رویداد زمانی است که یک نقطه به ناحیه سایه‌دار در شکل 1 می‌رسد. 2.

تعریف کلاسیک احتمال یک رویداد تصادفی

برای مقایسه کمی رویدادها با توجه به درجه احتمال وقوع آنها، یک معیار عددی معرفی می شود که به آن احتمال یک رویداد می گویند.

احتمال یک رویداد عددی است که میزان امکان عینی وقوع یک رویداد را بیان می کند.

احتمال وقوع یک رویداد با نماد نشان داده می شود.

احتمال وقوع یک رویداد برابر است با نسبت تعداد موارد مطلوب برای آن، از مجموع موارد منحصراً ممکن، به همان اندازه ممکن و ناسازگار، به تعدادیعنی

این تعریف کلاسیک احتمال است. بنابراین، برای یافتن احتمال یک رویداد، لازم است با در نظر گرفتن نتایج مختلف آزمون، مجموعه ای از موارد منحصر به فرد ممکن، به همان اندازه ممکن و ناسازگار را بیابید، تعداد کل آنها را محاسبه کنید، تعداد موارد مطلوب برای یک مورد معین. رویداد، و سپس محاسبه را با استفاده از فرمول (1.1) انجام دهید.

از فرمول (1.1) نتیجه می شود که احتمال یک رویداد یک عدد غیر منفی است و بسته به نسبت تعداد مطلوب موارد از تعداد کل موارد، می تواند از صفر تا یک تغییر کند:

خواص احتمال

ملک 1. اگر همه موارد برای یک رویداد معین مساعد باشد، پس این رویداد مطمئنا رخ خواهد داد. در نتیجه، رویداد مورد نظر قابل اعتماد است و احتمال وقوع آن است، زیرا در این مورد

ملک 2. اگر یک مورد مطلوب برای یک رویداد خاص وجود نداشته باشد، آنگاه این رویداد نمی تواند در نتیجه تجربه رخ دهد. در نتیجه، رویداد مورد نظر غیرممکن است و احتمال وقوع آن است، زیرا در این صورت:

ملک 3. احتمال وقوع حوادثی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند برابر با یک است.

ملک 4. احتمال وقوع واقعه مخالف به همان ترتیبی که احتمال وقوع رویداد تعیین می شود:

که در آن تعداد موارد مساعد برای وقوع رویداد مخالف است. بنابراین احتمال وقوع رویداد مخالف برابر است با تفاوت بین وحدت و احتمال وقوع رویداد:

یک مزیت مهم تعریف کلاسیک از احتمال یک رویداد این است که با کمک آن می توان احتمال یک رویداد را بدون توسل به تجربه، اما بر اساس استدلال منطقی تعیین کرد.

مثال 1. مشترک هنگام شماره گیری یک شماره تلفن، یک رقم را فراموش کرده و به صورت تصادفی شماره گیری می کند. احتمال شماره گیری صحیح را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید رویدادی را نشان دهیم که شماره مورد نیاز شماره گیری می شود. مشترک می تواند هر یک از 10 رقم را شماره گیری کند، بنابراین تعداد کل نتایج ممکن 10 است. فقط یک نتیجه به نفع رویداد است (فقط یک عدد مورد نیاز وجود دارد). احتمال مورد نیاز برابر است با نسبت تعداد پیامدهای مطلوب برای رویداد به تعداد همه پیامدها:

عناصر ترکیبیات

در تئوری احتمال، اغلب از مکان‌ها، جایگشت‌ها و ترکیب‌ها استفاده می‌شود. اگر مجموعه ای داده شود، پس قرار دادن (ترکیبی)از عناصر توسط هر زیرمجموعه مرتب (نامرتب) از عناصر مجموعه است. هنگامی که قرار می گیرد نامیده می شود تنظیم مجدداز عناصر

مثلاً یک مجموعه به شما داده شود. محل قرارگیری سه عنصر این مجموعه دو عبارتند از , , , , , ; ترکیبات - , , .

دو ترکیب حداقل در یک عنصر متفاوت هستند و مکان‌ها یا در خود عناصر یا به ترتیب ظاهر شدن آنها متفاوت است. تعداد ترکیب عناصر توسط فرمول محاسبه می شود

تعداد قرارگیری عناصر توسط ; - تعداد جایگشت عناصر.

مثال 2. در یک دسته 10 قسمتی 7 قطعه استاندارد وجود دارد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 6 قسمت تصادفی گرفته شده دقیقاً 4 قسمت استاندارد وجود دارد.

راه حل. تعداد کل نتایج آزمون ممکن برابر با تعداد روش هایی است که از طریق آنها می توان 6 قسمت را از 10 استخراج کرد، یعنی برابر با تعداد ترکیبات 10 عنصر از 6 است. تعداد نتایج مطلوب برای رویداد (در میان 6 مورد). قطعات گرفته شده دقیقاً 4 قطعه استاندارد هستند) به شرح زیر تعیین می شود: 4 قطعه استاندارد را می توان از 7 قطعه استاندارد به روش های مختلف تهیه کرد. در این مورد، قطعات باقی مانده باید غیر استاندارد باشند. راه هایی برای گرفتن 2 قطعه غیر استاندارد از قطعات غیر استاندارد وجود دارد. بنابراین، تعداد پیامدهای مطلوب برابر است. احتمال اولیه برابر است با نسبت تعداد پیامدهای مطلوب برای رویداد به تعداد همه پیامدها:

تعریف آماری احتمال

فرمول (1.1) برای محاسبه مستقیم احتمالات تنها زمانی استفاده می شود که تجربه به یک الگوی موارد کاهش یابد. در عمل، تعریف کلاسیک احتمال اغلب به دو دلیل قابل اجرا نیست: اول، تعریف کلاسیک احتمال فرض می‌کند که تعداد کل موارد باید محدود باشد. در واقع، اغلب محدود نیست. ثانیاً، اغلب غیرممکن است که نتایج یک آزمایش را در قالب رویدادهای به همان اندازه ممکن و ناسازگار ارائه کنیم.

فراوانی وقوع رویدادها در طول آزمایش‌های مکرر تمایل به تثبیت حول مقداری ثابت دارد. بنابراین، یک مقدار ثابت معین را می توان با رویداد مورد بررسی مرتبط کرد، که فرکانس ها در اطراف آن گروه بندی می شوند و مشخصه ای از ارتباط عینی بین مجموعه شرایطی است که تحت آن آزمایش ها انجام می شود و رویداد.

احتمال یک رویداد تصادفی، عددی است که با افزایش تعداد آزمایش‌ها، فرکانس‌های این رویداد در اطراف آن گروه‌بندی می‌شوند.

این تعریف از احتمال نامیده می شود آماری

مزیت روش آماری تعیین احتمال این است که مبتنی بر آزمایش واقعی است. با این حال، اشکال مهم آن این است که برای تعیین احتمال لازم است تعداد زیادی آزمایش انجام شود، که اغلب با هزینه های مواد مرتبط است. تعریف آماری احتمال یک رویداد، اگرچه کاملاً محتوای این مفهوم را آشکار می کند، امکان محاسبه واقعی احتمال را فراهم نمی کند.

تعریف کلاسیک احتمال، گروه کاملی از تعداد محدودی از رویدادهای به همان اندازه ممکن را در نظر می گیرد. در عمل، اغلب تعداد نتایج احتمالی آزمون بی نهایت است. در چنین مواردی، تعریف کلاسیک احتمال قابل اجرا نیست. با این حال، گاهی اوقات در چنین مواردی می توانید از روش دیگری برای محاسبه احتمال استفاده کنید. برای قطعیت، خود را به حالت دو بعدی محدود می کنیم.

اجازه دهید یک ناحیه معین از ناحیه، که شامل ناحیه دیگری از مساحت است، در صفحه داده شود (شکل 3). یک نقطه به طور تصادفی به منطقه پرتاب می شود. احتمال اینکه یک نقطه به منطقه بیفتد چقدر است؟ فرض بر این است که نقطه ای که به صورت تصادفی پرتاب می شود می تواند به هر نقطه ای از منطقه برخورد کند و احتمال برخورد به هر قسمت از منطقه متناسب با مساحت قطعه است و به موقعیت و شکل آن بستگی ندارد. در این حالت، احتمال برخورد به منطقه هنگام پرتاب یک نقطه به طور تصادفی به منطقه است

بنابراین، در حالت کلی، اگر امکان ظهور تصادفی یک نقطه در داخل یک منطقه خاص بر روی یک خط، صفحه یا در فضا نه با موقعیت این ناحیه و مرزهای آن، بلکه فقط با اندازه آن، یعنی طول آن تعیین شود. ، مساحت یا حجم، سپس احتمال افتادن یک نقطه تصادفی در یک منطقه خاص به عنوان نسبت اندازه این منطقه به اندازه کل منطقه ای که یک نقطه مشخص می تواند در آن ظاهر شود تعریف می شود. این تعریف هندسی احتمال است.

مثال 3. یک هدف گرد با سرعت زاویه ای ثابت می چرخد. یک پنجم هدف به رنگ سبز و بقیه سفید است (شکل 4). شلیک به سمت هدف به گونه ای است که اصابت به هدف یک رویداد قابل اعتماد است. شما باید احتمال برخورد به بخش مورد نظر را که سبز رنگ است تعیین کنید.

راه حل. بیایید "شات را به بخش سبز رنگ زده" نشان دهیم. سپس . این احتمال به عنوان نسبت مساحت قسمتی از هدف که به رنگ سبز رنگ شده است به کل منطقه هدف به دست می آید، زیرا ضربه به هر قسمت از هدف به همان اندازه امکان پذیر است.

بدیهیات نظریه احتمال

از تعریف آماری احتمال یک رویداد تصادفی چنین برمی‌آید که احتمال یک رویداد عددی است که فرکانس‌های این رویداد مشاهده‌شده به صورت تجربی حول آن گروه‌بندی می‌شوند. بنابراین، بدیهیات نظریه احتمال معرفی می شوند تا احتمال یک رویداد دارای ویژگی های اساسی فرکانس باشد.

اصل 1. هر رویداد مربوط به عدد خاصی است که شرط را برآورده می کند و احتمال آن نامیده می شود.

نظریه احتمال - یک علم ریاضی که الگوهای پدیده های تصادفی را مطالعه می کند. پدیده‌های تصادفی به‌عنوان پدیده‌هایی با نتیجه نامشخص درک می‌شوند که زمانی رخ می‌دهند که مجموعه خاصی از شرایط به طور مکرر بازتولید شوند.

به عنوان مثال، هنگام پرتاب یک سکه، نمی توانید پیش بینی کنید که در کدام سمت فرود می آید. نتیجه پرتاب سکه تصادفی است. اما با تعداد کافی پرتاب سکه، یک الگوی مشخص وجود دارد (نشان و علامت هش تقریباً به همان تعداد دفعات می افتد).

مفاهیم اساسی نظریه احتمال

تست (تجربه، آزمایش) - اجرای مجموعه خاصی از شرایط که در آن این یا آن پدیده مشاهده می شود و این یا آن نتیجه ثبت می شود.

به عنوان مثال: پرتاب تاس و گرفتن تعدادی امتیاز. اختلاف دمای هوا؛ روش درمان بیماری؛ دوره ای از زندگی یک فرد

رویداد تصادفی (یا فقط یک رویداد) - نتیجه آزمایش

نمونه هایی از رویدادهای تصادفی:

گرفتن یک امتیاز هنگام پرتاب قالب.

تشدید بیماری عروق کرونر قلب با افزایش شدید دمای هوا در تابستان؛

ایجاد عوارض بیماری به دلیل انتخاب اشتباه روش درمان؛

پذیرش در دانشگاه پس از تحصیل موفق در مدرسه.

رویدادها با حروف بزرگ الفبای لاتین مشخص می شوند: آ , ب , سی , …

رویداد نامیده می شود قابل اعتماد ، اگر در نتیجه آزمایش لزوماً باید رخ دهد.

رویداد نامیده می شود غیر ممکن ، اگر در نتیجه آزمایش اصلاً اتفاق نیفتد.

به عنوان مثال، اگر همه محصولات در یک دسته استاندارد باشند، استخراج یک محصول استاندارد از آن یک رویداد قابل اعتماد است، اما استخراج یک محصول معیوب در شرایط یکسان یک رویداد غیرممکن است.

تعریف کلاسیک احتمال

احتمال یکی از مفاهیم اساسی نظریه احتمال است.

احتمال رویداد کلاسیک نسبت تعداد موارد مطلوب به رویداد نامیده می شود ، به تعداد کل موارد، i.e.

, (5.1)

جایی که
- احتمال رخداد ,

- تعداد موارد مساعد برای رویداد ,

- تعداد کل موارد

ویژگی های احتمال رویداد

احتمال هر رویدادی بین صفر و یک است، یعنی.

احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است، یعنی.

.

احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است، یعنی.

.

(پیشنهاد حل چند مسئله ساده به صورت شفاهی).

تعیین آماری احتمال

در عمل، تخمین احتمالات رویدادها اغلب بر اساس تعداد دفعات وقوع یک رویداد معین در آزمون های انجام شده است. در این مورد از تعریف آماری احتمال استفاده می شود.

احتمال آماری یک رویداد حد فرکانس نسبی (نسبت تعداد موارد) نامیده می شود متر، برای وقوع یک رویداد مساعد است ، به تعداد کل آزمایش‌های انجام‌شده)، زمانی که تعداد آزمایش‌ها به بی‌نهایت میل می‌کند، یعنی.

جایی که
- احتمال آماری یک رویداد ,
- تعداد آزمایشاتی که در آن رویداد ظاهر شد , - تعداد کل آزمون ها

بر خلاف احتمال کلاسیک، احتمال آماری مشخصه احتمال تجربی است. احتمال کلاسیک برای محاسبه تئوری احتمال یک رویداد در شرایط معین خدمت می کند و نیازی به انجام آزمایشات در واقعیت ندارد. از فرمول احتمال آماری برای تعیین تجربی احتمال یک رویداد استفاده می شود. فرض بر این است که آزمایشات واقعاً انجام شده است.

احتمال آماری تقریباً برابر با فراوانی نسبی یک رویداد تصادفی است، بنابراین، در عمل، فراوانی نسبی به عنوان احتمال آماری در نظر گرفته می‌شود، زیرا احتمال آماری عملاً غیرممکن است.

تعریف آماری احتمال برای رویدادهای تصادفی که دارای ویژگی های زیر هستند قابل استفاده است:

قضایای احتمال جمع و ضرب

مفاهیم اساسی

الف) تنها رویدادهای ممکن

مناسبت ها
آنها تنها موارد ممکن نامیده می شوند که در نتیجه هر آزمایش، حداقل یکی از آنها قطعا رخ دهد.

این رویدادها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

به عنوان مثال، هنگام پرتاب یک قالب، تنها رویدادهای ممکن، طرف‌هایی هستند که یک، دو، سه، چهار، پنج و شش نقطه دارند. آنها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

ب) رویدادها را ناسازگار می گوینددر صورتی که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع سایر وقایع در همان محاکمه باشد. در غیر این صورت مشترک نامیده می شوند.

ج) در مقابلدو رویداد منحصر به فرد ممکن را نام ببرید که یک گروه کامل را تشکیل می دهند. تعیین کنید و .

جی) رویدادها را مستقل می گوینددر صورتی که احتمال وقوع یکی از آنها منوط به انجام یا عدم تکمیل سایرین نباشد.

اقدامات مربوط به رویدادها

مجموع چند رویداد رویدادی است که از وقوع حداقل یکی از این رویدادها تشکیل شده است.

اگر و - رویدادهای مشترک، سپس مجموع آنها
یا
بیانگر وقوع یا رویداد A، یا رویداد B، یا هر دو رویداد با هم است.

اگر و - رویدادهای ناسازگار، سپس مجموع آنها
به معنای وقوع یا رویداد است ، یا رویدادها .

میزان رویدادها یعنی:

حاصلضرب (تقاطع) چند رویداد رویدادی است که از وقوع مشترک همه این رویدادها تشکیل شده است.

حاصل ضرب دو رویداد با نشان داده می شود
یا
.

کار کنید رویدادها نشان می دهد

قضیه اضافه کردن احتمالات رویدادهای ناسازگار

احتمال مجموع دو یا چند رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها:

برای دو رویداد؛

- برای مناسبت ها.

عواقب:

الف) مجموع احتمالات وقایع متضاد و برابر یک:

احتمال رخداد مخالف را با نشان می دهند :
.

ب) مجموع احتمالات از رویدادهایی که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند برابر با یک است: یا
.

قضیه جمع کردن احتمالات رویدادهای مشترک

احتمال مجموع دو رویداد مشترک برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون احتمال تلاقی آنها، یعنی.

قضیه ضرب احتمال

الف) برای دو رویداد مستقل:

ب) برای دو رویداد وابسته

جایی که
- احتمال شرطی یک رویداد ، یعنی احتمال وقوع یک رویداد ، تحت شرایطی محاسبه می شود که رویداد اتفاق افتاد

ج) برای رویدادهای مستقل:

.

د) احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادها ، تشکیل یک گروه کامل از رویدادهای مستقل:

احتمال مشروط

احتمال وقوع ، با فرض وقوع رویداد محاسبه می شود ، احتمال شرطی واقعه نامیده می شود و تعیین شده است
یا
.

هنگام محاسبه احتمال شرطی با استفاده از فرمول احتمال کلاسیک، تعداد نتایج و
با در نظر گرفتن این واقعیت که قبل از وقوع رویداد محاسبه می شود یک اتفاق رخ داد .

رویدادها و طبقه بندی آنها

مفاهیم اساسی نظریه احتمال

هنگام ساختن هر نظریه ریاضی ابتدا ساده ترین مفاهیم شناسایی می شوند که به عنوان واقعیات اولیه پذیرفته می شوند. از جمله مفاهیم اساسی در نظریه احتمال، مفهوم است آزمایش تصادفی, رویداد تصادفی، احتمال یک رویداد تصادفی.

آزمایش تصادفی- این فرآیند ثبت مشاهده یک رویداد مورد علاقه ما است که تحت شرایط ثابت مشخص انجام می شود (در طول زمان تغییر نمی کند) مجموعه ای واقعی از شرایط، از جمله اجتناب ناپذیر بودن تأثیر تعداد زیادی از عوامل تصادفی (غیر قابل کنترل و حسابداری دقیق).

این عوامل به نوبه خود به ما اجازه نمی دهند که نتیجه گیری کاملاً قابل اعتمادی در مورد اینکه آیا رویداد مورد علاقه ما رخ خواهد داد یا خیر، بدست آوریم. در این حالت، فرض بر این است که ما یک امکان اساسی (حداقل از نظر ذهنی قابل تحقق) داریم که آزمایش یا مشاهده خود را بارها در چارچوب همان مجموعه شرایط تکرار کنیم.

در اینجا چند نمونه از آزمایش های تصادفی آورده شده است.

1. یک آزمایش تصادفی شامل پرتاب کردن یک سکه کاملا متقارن شامل عوامل تصادفی مانند نیروی پرتاب سکه، مسیر حرکت سکه، سرعت اولیه، لحظه چرخش و غیره است. این عوامل تصادفی تعیین دقیق نتیجه هر آزمایش فردی را غیرممکن می‌کند: «هنگامی که یک سکه پرتاب می‌شود، یک نشان ظاهر می‌شود» یا «پرتاب کردن یک سکه، دم‌ها ظاهر می‌شوند».

2. کارخانه استالکانات کابل های تولید شده را برای حداکثر بار مجاز آزمایش می کند. بار در محدوده های مشخصی از آزمایشی به آزمایش دیگر متفاوت است. این به دلیل عوامل تصادفی مانند نقص های خرد در موادی است که کابل ها از آن ساخته شده اند، تداخل های مختلف در عملکرد تجهیزات که در طول تولید کابل ها، شرایط ذخیره سازی، شرایط آزمایشی و غیره رخ می دهد.

3. یک سری شلیک از همان تفنگ به سمت یک هدف خاص شلیک می شود. اصابت به هدف به عوامل تصادفی زیادی بستگی دارد که شامل وضعیت اسلحه و پرتابه، نصب اسلحه، مهارت توپچی، شرایط آب و هوایی (باد، نور و ...) می شود.

تعریف. اجرای مجموعه خاصی از شرایط نامیده می شود تست. نتیجه آزمایش نامیده می شود رویداد.

رویدادهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین نشان داده شده است: آ, ب, سی... یا حرف بزرگ با نمایه: .

به عنوان مثال، قبولی در امتحان تحت مجموعه ای از شرایط (امتحان کتبی، از جمله سیستم رتبه بندی و غیره) یک آزمون برای دانش آموز است و دریافت نمره معین یک رویداد است.

شلیک اسلحه تحت مجموعه ای از شرایط (شرایط آب و هوا، وضعیت اسلحه و غیره) یک آزمایش است و اصابت یا از دست دادن هدف یک رویداد است.

ما می‌توانیم یک آزمایش را چندین بار در شرایط یکسان تکرار کنیم. وجود تعداد زیادی از عوامل تصادفی که شرایط هر آزمایش را مشخص می کند، نتیجه گیری کاملاً قطعی در مورد اینکه آیا رویداد مورد علاقه ما در یک آزمایش جداگانه رخ می دهد یا خیر غیرممکن می کند. توجه داشته باشید که در نظریه احتمال چنین مشکلی مطرح نشده است.

طبقه بندی رویداد

اتفاقات رخ می دهد قابل اعتماد، غیر ممکنو تصادفی.

تعریف. رویداد نامیده می شود قابل اعتماد، اگر تحت مجموعه ای از شرایط معین لزوماً رخ دهد.

تمام رویدادهای قابل اعتماد با یک حرف (حرف اول کلمه انگلیسی) نشان داده می شوند جهانی- عمومی)

نمونه هایی از رویدادهای قابل اعتماد عبارتند از: بیرون آمدن یک توپ سفید از یک کوزه که فقط حاوی توپ های سفید است. برنده شدن در لاتاری برد-برد

تعریف. رویداد نامیده می شود غیر ممکن، اگر تحت مجموعه ای از شرایط معین نتواند رخ دهد.

تمام رویدادهای غیرممکن با حرف نشان داده می شوند.

به عنوان مثال، در هندسه اقلیدسی، مجموع زوایای یک مثلث نمی تواند بیشتر از 2 باشد، و شما نمی توانید در امتحانی با سیستم نمره دهی پنج امتیازی نمره 6 بگیرید.

تعریف. رویداد نامیده می شود تصادفی،اگر ممکن است تحت مجموعه ای از شرایط ظاهر شود یا نباشد.

به عنوان مثال، رویدادهای تصادفی عبارتند از: رویداد ظاهر شدن یک آس از یک دسته کارت. رویداد برنده شدن در مسابقه تیم فوتبال؛ رویداد برنده شدن در قرعه کشی پول نقد و لباس؛ خرید رویداد تلویزیون معیوب و غیره

تعریف. مناسبت ها نامیده می شوند ناسازگاردر صورتی که وقوع یکی از این وقایع منتفی از وقوع هر رویداد دیگری باشد.

مثال 1. اگر آزمونی را که شامل پرتاب سکه است در نظر بگیریم، حوادث - ظاهر یک نشان و ظاهر یک عدد - رویدادهای ناسازگار هستند.

تعریف. مناسبت ها نامیده می شوند مفصل،در صورتی که وقوع یکی از این وقایع منتفی از وقوع حوادث دیگر نباشد.

مثال 2. اگر یک شلیک از سه اسلحه شلیک شود، رویدادهای زیر ترکیب می شوند: ضربه از اسلحه اول. ضربه از اسلحه دوم؛ ضربه از اسلحه سوم

تعریف. مناسبت ها نامیده می شوند تنها ممکن، اگر هنگام تحقق مجموعه ای از شرایط مشخص، حداقل یکی از رویدادهای مشخص شده باید رخ دهد.

مثال 3. هنگام پرتاب قالب، موارد زیر تنها رویدادهای ممکن است:

آ 1- ظهور یک نقطه،

آ 2- ظهور دو نقطه

آ 3- ظاهر شدن سه امتیاز

آ 4- ظهور چهار امتیاز

آ 5 - ظهور پنج امتیاز

آ 6 – ظهور شش امتیاز.

تعریف. می گویند اتفاقات شکل می گیرد گروه کامل رویدادها، در صورتی که این رویدادها تنها ممکن و ناسازگار باشند.

رویدادهایی که در مثال‌های 1 و 3 در نظر گرفته شد، یک گروه کامل را تشکیل می‌دهند، زیرا ناسازگار هستند و تنها موارد ممکن هستند.

تعریف. دو رویدادی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند نامیده می شوند مقابل

اگر رویدادی باشد، آنگاه رویداد مقابل را با نشان می دهند.

مثال 4. اگر رویداد یک نشان است، پس رویداد یک دم است.

وقایع متضاد نیز عبارتند از: «دانش آموز امتحان پس داد» و «دانش آموز امتحان را قبول نکرد»، «گیاه طرح را انجام داد» و «گیاه به برنامه عمل نکرد».

تعریف. مناسبت ها نامیده می شوند به همان اندازه محتملیا به همان اندازه ممکن است، اگر در طول آزمون همه آنها به طور عینی امکان ظهور یکسانی داشته باشند.

توجه داشته باشید که رویدادهای به همان اندازه ممکن فقط می‌توانند در آزمایش‌هایی با تقارن نتایج ظاهر شوند، که با روش‌های خاص تضمین می‌شود (به عنوان مثال، ساختن سکه‌های کاملاً متقارن، تاس، به هم زدن دقیق کارت‌ها، دومینو، مخلوط کردن توپ‌ها در یک کوزه و غیره).

تعریف. اگر نتایج برخی از آزمون ها تنها ممکن، ناسازگار و به همان اندازه ممکن باشد، آن ها نامیده می شوند نتایج ابتدایی, مواردیا شانس، و خود آزمون نامیده می شود نمودار موردییا "طرح کوزه"(از آنجایی که هر مشکل احتمالی برای آزمون مورد نظر می تواند با یک مسئله معادل با کوزه ها و توپ های رنگ های مختلف جایگزین شود) .

مثال 5. اگر 3 توپ سفید و 3 توپ سیاه در کوزه وجود داشته باشد که با لمس یکسان هستند، پس رویداد آ 1- ظهور یک توپ سفید و رویداد آ 2- ظهور یک توپ سیاه به همان اندازه احتمال دارد.

تعریف. آنها می گویند که این رویداد به نفعرویداد یا رویداد مستلزم رویداد ، اگر در ظاهر رویداد قطعا می آید

اگر یک رویداد مستلزم یک رویداد باشد، آنگاه با نمادها نشان داده می شودمعادل یا معادلو نشان دهند

بنابراین، رویدادهای معادل و در هر آزمون یا هر دو رخ می دهند یا هر دو رخ نمی دهند.

برای ایجاد یک نظریه احتمال، علاوه بر مفاهیم اساسی که قبلاً معرفی شده است (آزمایش تصادفی، رویداد تصادفی)، لازم است یک مفهوم اساسی دیگر نیز معرفی شود - احتمال یک رویداد تصادفی.

توجه داشته باشید که ایده ها در مورد احتمال یک رویداد در طول توسعه نظریه احتمال تغییر کردند. اجازه دهید تاریخچه توسعه این مفهوم را ردیابی کنیم.

زیر احتمالرویداد تصادفی اندازه گیری امکان عینی وقوع یک رویداد را درک می کند.

این تعریف مفهوم احتمال را از دیدگاه کیفی منعکس می کند. در دنیای باستان شناخته شده بود.

یک تعریف کمی از احتمال یک رویداد برای اولین بار در آثار بنیانگذاران نظریه احتمال ارائه شد که آزمایش های تصادفی را با تقارن یا همسان سازی عینی نتایج در نظر گرفتند. چنین آزمایش‌های تصادفی، همانطور که در بالا ذکر شد، اغلب شامل آزمایش‌های سازمان‌یافته مصنوعی می‌شوند که در آنها روش‌های خاصی برای اطمینان از نتایج یکسان (به هم ریختن کارت‌ها یا دومینوها، ساخت تاس‌های کاملاً متقارن، سکه‌ها و غیره) انجام می‌شود. در رابطه با چنین آزمایشات تصادفی در قرن هفدهم. لاپلاس ریاضیدان فرانسوی تعریف کلاسیک احتمال را بیان کرد.

بسیاری، هنگامی که با مفهوم "نظریه احتمال" روبرو می شوند، می ترسند، و فکر می کنند که این چیزی بسیار پیچیده، بسیار پیچیده است. اما همه چیز در واقع چندان غم انگیز نیست. امروز به مفهوم اساسی نظریه احتمال نگاه خواهیم کرد و نحوه حل مسائل را با استفاده از مثال های خاص یاد خواهیم گرفت.

علم

شاخه ای از ریاضیات به عنوان "نظریه احتمال" چه چیزی را مطالعه می کند؟ او الگوها و مقادیر را یادداشت می کند. دانشمندان برای اولین بار در قرن هجدهم، زمانی که قمار را مطالعه کردند، به این موضوع علاقه مند شدند. مفهوم اساسی نظریه احتمال یک رویداد است. هر واقعیتی است که با تجربه یا مشاهده ثابت شود. اما تجربه چیست؟ یکی دیگر از مفاهیم اساسی نظریه احتمال. یعنی این مجموعه شرایط نه به صورت تصادفی، بلکه برای یک هدف خاص ایجاد شده است. در مورد مشاهده، در اینجا خود محقق در آزمایش شرکت نمی کند، بلکه صرفاً شاهد این رویدادها است؛ او به هیچ وجه بر آنچه اتفاق می افتد تأثیر نمی گذارد.

مناسبت ها

ما یاد گرفتیم که مفهوم اصلی نظریه احتمال یک رویداد است، اما طبقه بندی را در نظر نگرفتیم. همه آنها به دسته های زیر تقسیم می شوند:

• قابل اعتماد.
• غیر ممکن
• تصادفی.

صرف نظر از اینکه آنها چه نوع رویدادهایی هستند، مشاهده شده یا در طول تجربه ایجاد شده اند، همه آنها مشمول این طبقه بندی هستند. از شما دعوت می کنیم تا با هر نوع به صورت جداگانه آشنا شوید.

رویداد قابل اعتماد

این شرایطی است که مجموعه اقدامات لازم برای آن انجام شده است. برای درک بهتر اصل مطلب، بهتر است چند مثال بزنیم. فیزیک، شیمی، اقتصاد و ریاضیات عالی مشمول این قانون هستند. نظریه احتمال شامل چنین مفهوم مهمی به عنوان یک رویداد قابل اعتماد است. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

• ما کار می کنیم و غرامت به صورت دستمزد دریافت می کنیم.
• ما امتحانات را به خوبی پشت سر گذاشتیم، مسابقه را پشت سر گذاشتیم و برای این کار پاداشی در قالب پذیرش در یک موسسه آموزشی دریافت می کنیم.
• پول را در بانک سرمایه گذاری کردیم و در صورت لزوم آن را پس خواهیم گرفت.

چنین رویدادهایی قابل اعتماد هستند. اگر همه شرایط لازم را انجام داده باشیم، قطعا نتیجه مورد انتظار را خواهیم گرفت.

اتفاقات غیر ممکن

اکنون در حال بررسی عناصر نظریه احتمال هستیم. پیشنهاد می کنیم به توضیح نوع بعدی رویداد، یعنی غیرممکن برویم. اول، اجازه دهید مهمترین قانون را تعیین کنیم - احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.

هنگام حل مسائل نمی توان از این فرمول عدول کرد. برای روشن شدن موضوع، در اینجا نمونه هایی از این گونه رویدادها آورده شده است:

• آب در دمای مثبت ده یخ زد (این غیرممکن است).
• کمبود برق به هیچ وجه بر تولید تأثیر نمی گذارد (همانطور که در مثال قبلی غیرممکن است).

ارزش آوردن مثال های بیشتری را ندارد، زیرا مواردی که در بالا توضیح داده شد به وضوح ماهیت این دسته را منعکس می کنند. یک رویداد غیرممکن هرگز در طول آزمایش و تحت هیچ شرایطی رخ نخواهد داد.

رویدادهای تصادفی

هنگام مطالعه عناصر، باید به این نوع خاص از رویداد توجه ویژه ای شود. این چیزی است که علم مطالعه می کند. در نتیجه این تجربه، ممکن است اتفاقی بیفتد یا نشود. علاوه بر این، آزمایش را می توان به تعداد نامحدود انجام داد. نمونه های واضح عبارتند از:

• پرتاب سکه یک تجربه یا امتحان است، فرود آمدن سرها یک اتفاق است.
• بیرون کشیدن کورکورانه توپ از کیسه یک آزمایش است؛ گرفتن توپ قرمز یک اتفاق است و غیره.

می تواند تعداد نامحدودی از این نمونه ها وجود داشته باشد، اما، به طور کلی، ماهیت باید روشن باشد. برای جمع بندی و نظام مند کردن دانش به دست آمده در مورد رویدادها، جدولی ارائه شده است. نظریه احتمال فقط آخرین نوع از همه ارائه شده را مطالعه می کند.

نام	تعریف
قابل اعتماد	رویدادهایی که با ضمانت 100% در صورت رعایت شرایط خاص رخ می دهند.	پذیرش در یک مؤسسه آموزشی با قبولی خوب در آزمون ورودی.
غیر ممکن	اتفاقاتی که هرگز در هیچ شرایطی رخ نمی دهند.	در دمای هوای مثبت سی درجه سانتیگراد برف می بارد.
تصادفی	رویدادی که ممکن است در طول یک آزمایش/آزمایش رخ دهد یا نباشد.	ضربه یا از دست دادن هنگام پرتاب توپ بسکتبال به حلقه.

قوانین

نظریه احتمال علمی است که امکان وقوع یک رویداد را مطالعه می کند. مانند بقیه قوانینی دارد. قوانین زیر در نظریه احتمال وجود دارد:

• همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی.
• قانون اعداد بزرگ

هنگام محاسبه احتمال چیزی پیچیده، می توانید از مجموعه ای از رویدادهای ساده استفاده کنید تا به روشی ساده تر و سریع تر به نتیجه برسید. توجه داشته باشید که قوانین نظریه احتمال به راحتی با استفاده از قضایای خاص اثبات می شوند. پیشنهاد می کنیم ابتدا با قانون اول آشنا شوید.

همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی

توجه داشته باشید که چندین نوع همگرایی وجود دارد:

• توالی متغیرهای تصادفی در احتمال همگرا می شوند.
• تقریبا غیرممکن.
• میانگین همگرایی مربع
• همگرایی توزیع

بنابراین، از همان ابتدا، درک ماهیت آن بسیار دشوار است. در اینجا تعاریفی وجود دارد که به شما در درک این موضوع کمک می کند. بیایید با نمای اول شروع کنیم. دنباله نامیده می شود همگرا در احتمال، اگر شرط زیر برقرار باشد: n به بی نهایت میل می کند، عددی که دنباله به آن گرایش دارد بزرگتر از صفر و نزدیک به یک است.

بریم سراغ نمای بعدی، قریب به یقین. گفته می شود دنباله همگرا می شود قریب به یقینبه یک متغیر تصادفی با n تمایل به بی نهایت و P تمایل به مقدار نزدیک به وحدت.

نوع بعدی این است میانگین همگرایی مربع. هنگام استفاده از همگرایی SC، مطالعه فرآیندهای تصادفی برداری به مطالعه فرآیندهای تصادفی مختصات آنها کاهش می یابد.

نوع آخر باقی می ماند، اجازه دهید به طور خلاصه به آن نگاه کنیم تا بتوانیم مستقیماً به سمت حل مشکلات حرکت کنیم. همگرایی در توزیع نام دیگری دارد - "ضعیف" و دلیل آن را بعداً توضیح خواهیم داد. همگرایی ضعیفهمگرایی توابع توزیع در تمام نقاط تداوم تابع توزیع محدود است.

ما قطعا به قول خود عمل خواهیم کرد: همگرایی ضعیف با همه موارد فوق تفاوت دارد زیرا متغیر تصادفی در فضای احتمال تعریف نشده است. این امکان پذیر است زیرا شرط منحصراً با استفاده از توابع توزیع شکل می گیرد.

قانون اعداد بزرگ

قضایای نظریه احتمال، مانند:

• نابرابری چبیشف
• قضیه چبیشف.
• قضیه چبیشف تعمیم یافته است.
• قضیه مارکوف.

اگر همه این قضایا را در نظر بگیریم، این سؤال ممکن است چندین ده صفحه طول بکشد. وظیفه اصلی ما استفاده از نظریه احتمال در عمل است. پیشنهاد می کنیم همین الان این کار را انجام دهید. اما قبل از آن، اجازه دهید به بدیهیات نظریه احتمال نگاه کنیم؛ آنها دستیاران اصلی در حل مسائل خواهند بود.

بدیهیات

ما قبلاً اولین مورد را زمانی ملاقات کردیم که در مورد یک رویداد غیرممکن صحبت کردیم. بیاد داشته باشیم: احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است. ما یک مثال بسیار واضح و به یاد ماندنی آوردیم: برف در دمای هوای سی درجه سانتیگراد بارید.

مورد دوم به شرح زیر است: یک رویداد قابل اعتماد با احتمال برابر یک رخ می دهد. اکنون نحوه نوشتن این را با استفاده از زبان ریاضی نشان خواهیم داد: P(B)=1.

سوم: یک رویداد تصادفی ممکن است اتفاق بیفتد یا نباشد، اما این احتمال همیشه از صفر تا یک متغیر است. هر چه مقدار به یک نزدیکتر باشد، شانس بیشتری دارد. اگر مقدار به صفر نزدیک شود، احتمال بسیار کم است. بیایید این را به زبان ریاضی بنویسیم: 0<Р(С)<1.

بیایید اصل چهارم، آخر را در نظر بگیریم که به نظر می رسد: احتمال مجموع دو رویداد برابر است با مجموع احتمالات آنها. آن را به زبان ریاضی می نویسیم: P(A+B)=P(A)+P(B).

بدیهیات تئوری احتمالات ساده ترین قوانینی هستند که به خاطر سپردن آنها دشوار نیست. بیایید سعی کنیم برخی از مشکلات را بر اساس دانشی که قبلاً کسب کرده ایم حل کنیم.

بلیط بخت آزمایی

ابتدا به ساده ترین مثال - قرعه کشی نگاه می کنیم. تصور کنید که یک بلیط بخت آزمایی برای خوش شانسی خریده اید. احتمال اینکه شما حداقل بیست روبل برنده شوید چقدر است؟ در مجموع هزار بلیت در تیراژ شرکت دارند که یکی از آنها پانصد روبل جایزه دارد، ده تای آنها هر کدام صد روبل، پنجاه بلیت بیست روبلی و صد تای آنها پنج جایزه دارند. مشکلات احتمال بر اساس یافتن احتمال شانس است. اکنون با هم راه حل کار فوق را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

اگر از حرف A برای نشان دادن برد پانصد روبل استفاده کنیم، احتمال به دست آوردن A برابر با 0.001 خواهد بود. چگونه این را به دست آوردیم؟ فقط باید تعداد بلیط های "خوش شانس" را بر تعداد کل آنها (در این مورد: 1/1000) تقسیم کنید.

B یک برد صد روبل است، احتمال آن 0.01 خواهد بود. اکنون بر اساس همان اصل عمل قبلی (10/1000) عمل کردیم.

ج - برد بیست روبل است. احتمال را پیدا می کنیم، برابر با 0.05 است.

ما علاقه‌ای به بلیط‌های باقی‌مانده نداریم، زیرا صندوق جایزه آنها کمتر از آن چیزی است که در شرایط مشخص شده است. بیایید اصل چهارم را اعمال کنیم: احتمال برنده شدن حداقل بیست روبل P(A)+P(B)+P(C) است. حرف P نشان دهنده احتمال وقوع یک رویداد معین است؛ ما قبلاً آنها را در اقدامات قبلی پیدا کرده ایم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که داده های لازم را جمع کنیم و پاسخی که دریافت می کنیم 0.061 است. این عدد پاسخ سوال وظیفه خواهد بود.

عرشه کارت

مسائل در تئوری احتمال می توانند پیچیده تر باشند؛ برای مثال، بیایید کار زیر را انجام دهیم. در مقابل شما یک عرشه از سی و شش کارت است. وظیفه شما کشیدن دو کارت پشت سر هم بدون به هم زدن پشته است، کارت اول و دوم باید آس باشد، لباس مهم نیست.

ابتدا، بیایید احتمال این را پیدا کنیم که کارت اول یک آس باشد، برای این کار ما چهار را بر سی و شش تقسیم می کنیم. گذاشتند کنار. کارت دوم را بیرون می آوریم، یک آس با احتمال سه سی و پنجم خواهد بود. احتمال رویداد دوم بستگی به این دارد که ابتدا کدام کارت را کشیدیم، ما نمی دانیم که آیا این یک آس بود یا نه. از این نتیجه می شود که رویداد B به رویداد A بستگی دارد.

گام بعدی یافتن احتمال وقوع همزمان است، یعنی A و B را ضرب می کنیم. حاصلضرب آنها به صورت زیر به دست می آید: احتمال یک رویداد را در احتمال شرطی دیگری ضرب می کنیم که با این فرض که اولی را محاسبه می کنیم. رویداد رخ داد، یعنی با کارت اول یک آس کشیدیم.

برای روشن شدن همه چیز، اجازه دهید به چنین عنصری به عنوان رویدادها اشاره کنیم. با فرض اینکه رویداد A رخ داده است محاسبه می شود. به صورت زیر محاسبه می شود: P(B/A).

بیایید به حل مسئله خود ادامه دهیم: P(A * B) = P(A) * P(B/A) یا P(A * B) = P(B) * P(A/B). احتمال برابر است با (4/36) * ((3/35)/(4/36) با گرد کردن به نزدیکترین صدم محاسبه می کنیم. داریم: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0، 82 = 0.09 احتمال اینکه ما دو آس را پشت سر هم بکشیم نه صدم است.مقدار بسیار کوچک است، بنابراین احتمال وقوع رویداد بسیار کم است.

شماره فراموش شده

ما پیشنهاد می کنیم چندین نوع دیگر از وظایف را که توسط نظریه احتمال مورد مطالعه قرار می گیرند، تجزیه و تحلیل کنیم. نمونه هایی از حل برخی از آنها را قبلا در این مقاله مشاهده کرده اید، بیایید سعی کنیم مشکل زیر را حل کنیم: پسر آخرین رقم شماره تلفن دوستش را فراموش کرده بود، اما از آنجایی که تماس بسیار مهم بود، شروع به شماره گیری یک به یک کرد. . ما باید این احتمال را محاسبه کنیم که او بیش از سه بار تماس نخواهد گرفت. اگر قواعد، قوانین و بدیهیات نظریه احتمال شناخته شده باشند، راه حل مسئله ساده ترین است.

قبل از دیدن راه حل، سعی کنید خودتان آن را حل کنید. می دانیم که رقم آخر می تواند از صفر تا نه باشد، یعنی در مجموع ده مقدار. احتمال به دست آوردن مورد مناسب 1/10 است.

در مرحله بعد، ما باید گزینه هایی را برای منشاء رویداد در نظر بگیریم، فرض کنید که پسر درست حدس زده و بلافاصله درست را تایپ کرده است، احتمال چنین رویدادی 1/10 است. گزینه دوم: تماس اول از دست می رود و دومی در هدف است. بیایید احتمال چنین رویدادی را محاسبه کنیم: 9/10 را در 1/9 ضرب می کنیم و در نتیجه 1/10 نیز به دست می آید. گزینه سوم: تماس اول و دوم در آدرس اشتباهی بود، فقط با سومی پسر به جایی که می خواست رسید. ما احتمال چنین رویدادی را محاسبه می کنیم: 9/10 ضرب در 8/9 و 1/8، که به 1/10 می رسد. ما با توجه به شرایط مشکل علاقه ای به گزینه های دیگر نداریم، بنابراین فقط باید نتایج به دست آمده را جمع کنیم، در نهایت 3/10 داریم. پاسخ: احتمال اینکه پسر بیش از سه بار تماس نگیرد 0.3 است.

کارت هایی با اعداد

نه کارت پیش روی شماست که روی هر کدام از آنها عدد یک تا نه نوشته شده است، اعداد تکرار نمی شوند. آنها را در یک جعبه قرار داده و کاملاً مخلوط کردند. شما باید احتمال آن را محاسبه کنید

• یک عدد زوج ظاهر می شود.
• دو رقمی

قبل از رفتن به حل، اجازه دهید شرط کنیم که m تعداد موارد موفق و n تعداد کل گزینه‌ها باشد. بیایید احتمال زوج بودن عدد را پیدا کنیم. محاسبه اینکه چهار عدد زوج وجود دارد دشوار نخواهد بود، این m ما خواهد بود، در کل نه گزینه ممکن وجود دارد، یعنی m=9. سپس احتمال 0.44 یا 4/9 است.

بیایید مورد دوم را در نظر بگیریم: تعداد گزینه ها 9 است و اصلاً نمی توان نتیجه موفقیت آمیزی داشت، یعنی m برابر با صفر است. احتمال اینکه کارت کشیده شده دارای یک عدد دو رقمی باشد نیز صفر است.