Vakiomäärittely: "Vektori on suunnattu jana." Tämä on yleensä vasta valmistuneen vektorien tietämyksen raja. Kuka tarvitsee jonkinlaisia "ohjattuja segmenttejä"?
Mutta itse asiassa, mitä vektorit ovat ja miksi ne ovat?
Sääennuste. "Tuuli luoteesta, nopeus 18 metriä sekunnissa." Samaa mieltä, tuulen suunnalla (mistä se puhaltaa) ja sen nopeuden moduulilla (eli itseisarvolla) on myös merkitystä.
Summia, joilla ei ole suuntaa, kutsutaan skalaariksi. Massaa, työtä, sähkövarausta ei suunnata minnekään. Niille on ominaista vain numeerinen arvo - "kuinka monta kilogrammaa" tai "kuinka monta joulea".
Fysikaalisia suureita, joilla ei ole vain absoluuttista arvoa, vaan myös suunta, kutsutaan vektorisuureiksi.
Nopeus, voima, kiihtyvyys - vektorit. Heille on tärkeää "kuinka paljon" ja "missä". Esimerkiksi vapaan pudotuksen kiihtyvyys on suunnattu kohti maan pintaa ja sen arvo on 9,8 m/s 2 . Momentti, sähkökentän voimakkuus, magneettikentän induktio ovat myös vektorisuureita.
Muistathan, että fyysiset suuret merkitään kirjaimilla, latinalla tai kreikalla. Kirjaimen yläpuolella oleva nuoli osoittaa, että määrä on vektori:
Tässä on toinen esimerkki.
Auto liikkuu paikasta A paikkaan B. Lopputuloksena on sen liike pisteestä A pisteeseen B, eli liike vektorilla 
.
Nyt on selvää, miksi vektori on suunnattu segmentti. Huomio, vektorin loppu on siellä, missä nuoli on. Vektorin pituus kutsutaan tämän segmentin pituudeksi. Nimetty: tai
Toistaiseksi olemme työskennelleet skalaarisuureiden kanssa aritmeettisen ja alkeisalgebran sääntöjen mukaisesti. Vektorit ovat uusi käsite. Tämä on toinen matemaattisten objektien luokka. Heillä on omat säännöt.
Olipa kerran, emme edes tienneet numeroista. Tutustuminen heihin alkoi ala-asteella. Kävi ilmi, että lukuja voidaan verrata toisiinsa, lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa. Opimme, että on numero yksi ja numero nolla.
Nyt opimme tuntemaan vektorit.
Käsitteitä "suurempi kuin" ja "pienempi kuin" ei ole vektoreille - loppujen lopuksi niiden suunnat voivat olla erilaisia. Voit verrata vain vektoreiden pituuksia.
Mutta vektorien tasa-arvon käsite on.
Yhtä suuri ovat vektoreita, joilla on sama pituus ja sama suunta. Tämä tarkoittaa, että vektoria voidaan siirtää yhdensuuntaisesti itsensä kanssa mihin tahansa tason pisteeseen.
yksittäinen kutsutaan vektoriksi, jonka pituus on 1 . Nolla - vektori, jonka pituus on nolla, eli sen alku on sama kuin loppu.
On kätevintä työskennellä vektorien kanssa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä - siinä, jossa piirrämme funktioiden kaavioita. Jokainen piste koordinaattijärjestelmässä vastaa kahta numeroa - sen x- ja y-koordinaatteja, abskissaa ja ordinaatta.
Vektori annetaan myös kahdella koordinaatilla:
Tässä vektorin koordinaatit kirjoitetaan suluissa - x:ssä ja y:ssä.
Ne on helppo löytää: vektorin lopun koordinaatti miinus sen alun koordinaatti.
Jos vektorin koordinaatit on annettu, sen pituus löydetään kaavasta
Vektorin lisäys
On kaksi tapaa lisätä vektoreita.
1 . suunnikassääntö. Jos haluat lisätä vektorit ja , asetamme molempien origot samaan pisteeseen. Viimeistelemme suunnikkaan ja piirrämme suunnikkaan diagonaalin samasta pisteestä. Tämä on vektorien ja .
Muistatko sadun joutsenesta, syövästä ja hauesta? He yrittivät kovasti, mutta he eivät koskaan siirtäneet kärryä. Loppujen lopuksi niiden vaunuun kohdistamien voimien vektorisumma oli nolla.
2. Toinen tapa lisätä vektoreita on kolmisääntö. Otetaan samat vektorit ja . Lisäämme toisen alun ensimmäisen vektorin loppuun. Yhdistetään nyt ensimmäisen alku ja toisen loppu. Tämä on vektorien ja .
Samalla säännöllä voit lisätä useita vektoreita. Kiinnitämme ne yksitellen ja yhdistämme sitten ensimmäisen alun viimeisen loppuun.
Kuvittele, että olet menossa pisteestä A pisteeseen B, paikasta B paikkaan C, paikasta C D, sitten E ja sitten F. Näiden toimien lopputulos on siirtyminen paikasta A paikkaan F.
Kun lisäät vektoreita ja saamme:
Vektorivähennys
Vektori on suunnattu vastapäätä vektoria . Vektorien ja pituudet ovat yhtä suuret.
Nyt on selvää, mikä on vektorien vähentäminen. Vektorien erotus ja on vektorin ja vektorin summa.
Kerro vektori luvulla
Kun vektori kerrotaan luvulla k, saadaan vektori, jonka pituus on k kertaa erilainen kuin pituus. Se on samansuuntainen vektorin kanssa, jos k on suurempi kuin nolla, ja suunnattu vastakkaiseen suuntaan, jos k on pienempi kuin nolla.
Vektorien pistetulo
Vektorit voidaan kertoa paitsi numeroilla, myös keskenään.
Vektorien skalaaritulo on vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo.
Kiinnitä huomiota - kerroimme kaksi vektoria ja saimme skalaarin, eli luvun. Esimerkiksi fysiikassa mekaaninen työ on yhtä suuri kuin kahden vektorin - voiman ja siirtymän - skalaaritulo:
Jos vektorit ovat kohtisuorassa, niiden pistetulo on nolla.
Ja näin skalaaritulo ilmaistaan vektorien koordinaatteina ja:
Skalaaritulon kaavasta löydät vektorien välisen kulman:
Tämä kaava on erityisen kätevä stereometriassa. Esimerkiksi matematiikan Profile USE tehtävässä 14 on löydettävä kulma leikkausviivojen tai suoran ja tason välillä. Tehtävä 14 ratkaistaan usein useita kertoja nopeammin kuin klassinen.
Matematiikan koulujen opetussuunnitelmassa tutkitaan vain vektoreiden skalaarituloa.
Osoittautuu, että skalaarin lisäksi on olemassa myös vektoritulo, kun vektori saadaan kertomalla kaksi vektoria. Kuka läpäisee fysiikan kokeen, tietää mitä ovat Lorentzin voima ja Ampèren voima. Kaavat näiden voimien löytämiseksi sisältävät täsmälleen vektoritulot.
Vektorit ovat erittäin hyödyllinen matemaattinen työkalu. Varmistut tästä ensimmäisellä kurssilla.
Ensinnäkin on tarpeen purkaa itse vektorin käsite. Esitelläksemme geometrisen vektorin määritelmän, muistetaan mikä segmentti on. Esittelemme seuraavan määritelmän.
Määritelmä 1
Jana on osa suoraa viivaa, jolla on kaksi rajaa pisteiden muodossa.
Segmentillä voi olla 2 suuntaa. Osoittaaksemme suunnan, kutsumme yhtä segmentin rajoista sen alkua ja toista rajaa - sen loppua. Suunta ilmaistaan sen alusta jakson loppuun.
Määritelmä 2
Vektori tai suunnattu segmentti on segmentti, jolle tiedetään, mikä segmentin rajoista on alku ja mikä sen loppu.
Merkintä: Kaksi kirjainta: $\overline(AB)$ – (jossa $A$ on sen alku ja $B$ on sen loppu).
Yhdellä pienellä kirjaimella: $\overline(a)$ (Kuva 1).
Esittelemme nyt suoraan vektorin pituuksien käsitteen.
Määritelmä 3
Vektorin $\overline(a)$ pituus on segmentin $a$ pituus.
Merkintä: $|\overline(a)|$
Vektorin pituuden käsite liittyy esimerkiksi sellaiseen käsitteeseen kuin kahden vektorin yhtäläisyys.
Määritelmä 4
Kahta vektoria kutsutaan yhtäläisiksi, jos ne täyttävät kaksi ehtoa: 1. Ne ovat samansuuntaisia; 1. Niiden pituudet ovat yhtä suuret (kuva 2).
Vektorien määrittämiseksi syötä koordinaattijärjestelmä ja määritä vektorin koordinaatit syötetyssä järjestelmässä. Kuten tiedämme, mikä tahansa vektori voidaan laajentaa muodossa $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, missä $m$ ja $n$ ovat reaalilukuja ja $\overline(i )$ ja $\overline(j)$ ovat yksikkövektorit $Ox$- ja $Oy$-akseleilla, vastaavasti.
Määritelmä 5
Vektorin $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ laajennuskertoimia kutsutaan tämän vektorin koordinaateiksi esitetyssä koordinaatistossa. Matemaattisesti:
$\overline(c)=(m,n)$
Kuinka löytää vektorin pituus?
Harkitse seuraavaa ongelmaa saadaksesi kaavan mielivaltaisen vektorin pituuden laskemiseksi sen koordinaatit huomioon ottaen:
Esimerkki 1
Annettu: vektori $\overline(α)$ koordinaattein $(x,y)$. Etsi: tämän vektorin pituus.
Esitetään suorakulmainen koordinaattijärjestelmä $xOy$ tasossa. Jätä syrjään $\overline(OA)=\overline(a)$ käyttöönotetun koordinaattijärjestelmän origosta. Muodostetaan konstruoidun vektorin projektiot $OA_1$ ja $OA_2$ akseleille $Ox$ ja $Oy$, vastaavasti (kuva 3).
Rakentamamme vektori $\overline(OA)$ on pisteen $A$ sädevektori, joten sillä on koordinaatit $(x,y)$, mikä tarkoittaa
$=x$, $[OA_2]=y$
Nyt voimme helposti löytää halutun pituuden Pythagoraan lauseen avulla, saamme
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Vastaus: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Johtopäätös: Jos haluat löytää vektorin pituuden, jonka koordinaatit on annettu, sinun on löydettävä näiden koordinaattien summan neliön juuri.
Esimerkki tehtävästä
Esimerkki 2
Etsi etäisyys pisteiden $X$ ja $Y$ välillä, joilla on seuraavat koordinaatit: $(-1,5)$ ja $(7,3)$, vastaavasti.
Mikä tahansa kaksi pistettä voidaan helposti yhdistää vektorin käsitteeseen. Tarkastellaan esimerkiksi vektoria $\overline(XY)$. Kuten jo tiedämme, tällaisen vektorin koordinaatit voidaan löytää vähentämällä alkupisteen vastaavat koordinaatit ($X$) loppupisteen ($Y$) koordinaateista. Me ymmärrämme sen
1. Vektorin määritelmä. Vektorin pituus. Kollineaarisuus, vektorien komplanaarisuus.
Suunnattua segmenttiä kutsutaan vektoriksi. Vektorin pituus tai moduuli on vastaavan suunnatun segmentin pituus.
Vektorimoduuli a on osoitettu. Vektori a kutsutaan yksiköksi jos . Vektoreita kutsutaan kollineaarisiksi, jos ne ovat samansuuntaisia. Vektoreita kutsutaan samantasoisiksi, jos ne ovat samansuuntaisia saman tason kanssa.
2. Vektorin kertominen luvulla. Toiminnan ominaisuudet.
Kun vektori kerrotaan luvulla, saadaan päinvastainen vektori, joka on kaksi kertaa pidempi. Vektorin kertominen numerolla koordinaattimuodossa tapahtuu kertomalla kaikki koordinaatit tällä numerolla:
Määritelmän perusteella saadaan lauseke vektorin moduulille kerrottuna luvulla:
Aivan kuten lukujen kanssa, vektorin lisääminen itseensä voidaan kirjoittaa kertomalla luvulla:
Ja vektorien vähennys voidaan kirjoittaa uudelleen yhteen- ja kertolaskulla:
Sen perusteella, että kertominen ei muuta vektorin pituutta, vaan muuttaa vain suuntaa, ja vektorin määritelmän perusteella saamme:
3. Vektorien yhteenlasku, vektorien vähentäminen.
Koordinaattiesityksessä summavektori saadaan summaamalla termien vastaavat koordinaatit:
Summavektorin muodostamiseen geometrisesti käytetään erilaisia sääntöjä (menetelmiä), mutta ne kaikki antavat saman tuloksen. Tämän tai toisen säännön käyttö on perusteltua ratkaistavan ongelman vuoksi.
kolmion sääntö
Kolmiosäännöstö seuraa luonnollisimmin vektorin ymmärtämisestä käännöksenä. On selvää, että kahden siirron peräkkäisen soveltamisen tulos on jossain vaiheessa sama kuin yhden siirron soveltaminen kerralla, mikä vastaa tätä sääntöä. Lisätään kaksi vektoria ja säännön mukaan kolmio molemmat näistä vektoreista siirretään rinnakkain itsensä kanssa niin, että toisen alku on sama kuin toisen loppu. Sitten summavektorin antaa muodostetun kolmion kolmas sivu, ja sen alku osuu yhteen ensimmäisen vektorin alun kanssa ja loppu toisen vektorin lopun kanssa.
Tämä sääntö on suoraan ja luonnollisesti yleistetty lisäämään minkä tahansa määrän vektoreita, jotka muuttuvat katkoviivan sääntö:
monikulmion sääntö
Toisen vektorin alku on sama kuin ensimmäisen lopun, kolmannen alku - toisen lopun ja niin edelleen, vektorien summa on vektori, jonka alku on sama kuin ensimmäisen alun ja pää, joka osuu yhteen ensimmäisen lopun kanssa (eli se on kuvattu suunnatulla segmentillä, joka sulkee katkoviivan) . Kutsutaan myös katkoviivasäännöksi.
suunnikassääntö
Lisätään kaksi vektoria ja säännön mukaan suunnikas molemmat näistä vektoreista siirretään rinnakkain itsensä kanssa niin, että niiden origot ovat samat. Sitten summavektorin antaa niille rakennetun suunnikkaan diagonaali, joka tulee niiden yhteisestä origosta. (On helppo nähdä, että tämä lävistäjä on sama kuin kolmion kolmas sivu, kun käytetään kolmiosääntöä).
Suunnikkasääntö on erityisen kätevä silloin, kun on tarve kuvata summavektoria välittömästi kiinnittyneenä samaan pisteeseen, johon molemmat termit ovat kiinnittyneet - eli kuvata kaikki kolme vektoria, joilla on yhteinen origo.
Vektorisummamoduuli
Kahden vektorin summan moduuli voidaan laskea käyttämällä kosinilause:
Missä on vektorien välisen kulman kosini.
Jos vektorit piirretään kolmiosäännön mukaisesti ja otetaan kuvan mukainen kulma - kolmion sivujen väliin - joka ei vastaa tavanomaista vektorien välisen kulman määritelmää, ja siten yllä olevan kulman kanssa kaava, niin viimeinen termi saa miinusmerkin, joka vastaa kosinilausetta sen suorassa sanamuodossa.
Satunnaisen määrän vektoreita summalle samanlainen kaava on sovellettavissa, jossa on enemmän termejä kosinin kanssa: yksi tällainen termi on olemassa jokaiselle summattavan joukon vektoriparille. Esimerkiksi kolmelle vektorille kaava näyttää tältä:
Vektorivähennys
Kaksi vektoria ja niiden erovektori
Saadaksesi eron koordinaattimuodossa, vähennä vektorien vastaavat koordinaatit:
Erotusvektorin saamiseksi yhdistetään vektorien alku ja vektorin alku on loppu ja loppu on loppu. Jos kirjoitetaan vektorien pisteitä käyttäen, niin.
Vektorieron moduuli
Lisäksi kolme vektoria muodostavat kolmion, ja erotusmoduulin lauseke on samanlainen:
missä on vektorien välisen kulman kosini
Ero summamoduulikaavasta kosinin edessä olevassa merkissä, kun taas on tarpeen tarkkailla tarkkaan, mikä kulma otetaan (summamoduulikaavan muunnelma kolmion sivujen välisellä kulmalla, kun se summataan kolmion sääntö, ei ulkonäöltään poikkea tästä erotusmoduulin kaavasta, mutta sinulla on oltava tarkoittaa, että tässä otetaan eri kulmat: summan tapauksessa kulma otetaan, kun vektori siirretään vektori, kun eromallia etsitään, otetaan yhteen pisteeseen asetettujen vektorien välinen kulma; summamoduulin lauseke käyttäen samaa kulmaa kuin annetussa erotusmoduulin lausekkeessa eroaa etumerkillä kosini).
| " |
Vektorin a → pituutta merkitään → . Tämä merkintätapa on samanlainen kuin luvun moduuli, joten vektorin pituutta kutsutaan myös vektorin moduuliksi.
Tasossa olevan vektorin pituuden löytämiseksi sen koordinaateista on tarkasteltava suorakulmaista suorakulmaista koordinaattijärjestelmää O x y . Olkoon siinä jokin vektori a → jonka koordinaatit a x ; a y . Esittelemme kaavan vektorin a → pituuden (moduulin) löytämiseksi koordinaattien a x ja a y suhteen.
Siirrä sivuun vektori O A → = a → origosta. Määritellään pisteen A vastaavat projektiot koordinaattiakseleille muodossa A x ja A y . Tarkastellaan nyt suorakulmiota O A x A A y, jonka diagonaali on O A .
Pythagoraan lauseesta seuraa yhtälö O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , josta O A = O A x 2 + O A y 2 . Jo tunnetusta vektorin koordinaattien määritelmästä suorakaiteen muotoisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa saadaan, että O A x 2 = a x 2 ja O A y 2 = a y 2, ja konstruoimalla O A:n pituus on yhtä suuri kuin vektorin pituus. vektori O A → , siis O A → = O A x 2 + O A y 2.
Siksi se käy ilmi kaava vektorin pituuden löytämiseksi a → = a x ; a y:llä on vastaava muoto: a → = a x 2 + a y 2 .
Jos vektori a → annetaan laajennukseksi koordinaattivektoreissa a → = a x i → + a y j → , niin sen pituus voidaan laskea samalla kaavalla a → = a x 2 + a y 2, tässä tapauksessa kertoimet a x ja a y ovat vektorin a → koordinaatteina annetussa koordinaatistossa.
Esimerkki 1
Laske vektorin pituus a → = 7 ; e , annettu suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.
Ratkaisu
Vektorin pituuden selvittämiseksi käytämme kaavaa, jolla saadaan vektorin pituus koordinaattien a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Vastaus: a → = 49 + e .
Kaava vektorin pituuden löytämiseksi a → = a x ; a y; a z sen koordinaattien perusteella suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz avaruudessa, johdetaan samalla tavalla kuin kaava tapaukselle tasossa (katso alla oleva kuva)
Tässä tapauksessa O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (koska OA on suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjä), joten O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2. Vektorin koordinaattien määrittelystä voidaan kirjoittaa seuraavat yhtälöt O A x = a x ; O A y = a y ; O Az = az; , ja OA:n pituus on yhtä suuri kuin etsimämme vektorin pituus, joten O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Tästä seuraa, että vektorin pituus a → = a x ; a y; a z on yhtä suuri kuin a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Esimerkki 2
Laske vektorin pituus a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , jossa i → , j → , k → ovat suorakaiteen muotoisen koordinaatiston yksikkövektorit.
Ratkaisu
Kun vektorin a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → hajotus on annettu, sen koordinaatit ovat a → = 4, -3, 5. Yllä olevaa kaavaa käyttämällä saadaan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .
Vastaus: a → = 5 2 .
Vektorin pituus sen alku- ja loppupisteiden koordinaatteina
Yllä johdettiin kaavoja, joiden avulla voit löytää vektorin pituuden sen koordinaateista. Olemme pohtineet tapauksia tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa. Etsitään niiden avulla vektorin koordinaatit sen alku- ja loppupisteiden koordinaateista.
Joten annetuilla pisteillä, joilla on tietyt koordinaatit A (a x; a y) ja B (b x; b y), vektorilla A B → on koordinaatit (b x - a x; b y - a y), mikä tarkoittaa, että sen pituus voidaan määrittää kaavalla: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2
Ja jos annetaan pisteet, joilla on annetut koordinaatit A (a x; a y; a z) ja B (b x; b y; b z) kolmiulotteisessa avaruudessa, niin vektorin A B → pituus voidaan laskea kaavalla
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
Esimerkki 3
Laske vektorin A B pituus → jos suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa A 1, 3, B-3, 1.
Ratkaisu
Käyttämällä kaavaa vektorin pituuden löytämiseksi tason alku- ja loppupisteiden koordinaateista saadaan A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
Toinen ratkaisu edellyttää näiden kaavojen soveltamista vuorotellen: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -
Vastaus: A B → = 20 - 2 3 .
Esimerkki 4
Määritä millä arvoilla vektorin A B → pituus on 30, jos A (0 , 1 , 2) ; B (5, 2, λ2).
Ratkaisu
Ensin kirjoitetaan vektorin A B → pituus kaavan mukaan: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2
Sitten yhtälöimme tuloksena olevan lausekkeen 30:een, josta löydämme halutun λ:n:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 ja l ja λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = -2, λ2 = 2, λ3 = 0.
Vastaus: λ 1 \u003d - 2, λ 2 \u003d 2, λ 3 = 0.
Vektorin pituuden löytäminen kosinilain avulla
Valitettavasti vektorin koordinaatteja ei aina tunneta tehtävissä, joten harkitaan muita tapoja löytää vektorin pituus.
Olkoon kahden vektorin A B → , A C → pituudet ja niiden välinen kulma (tai kulman kosini) annettu, ja täytyy löytää vektorin B C → tai C B → pituus. Tässä tapauksessa sinun tulee käyttää kosinilausetta kolmiossa △ A B C , laskea sivun B C pituus, joka on yhtä suuri kuin vektorin haluttu pituus.
Tarkastellaan tällaista tapausta seuraavassa esimerkissä.
Esimerkki 5
Vektorien A B → ja A C → pituudet ovat 3 ja 7, ja niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin π 3 . Laske vektorin B C → pituus.
Ratkaisu
Vektorin B C → pituus on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin kolmion △ A B C sivun B C pituus. Kolmion sivujen A B ja A C pituudet tunnetaan ehdosta (ne ovat yhtä suuria kuin vastaavien vektoreiden pituudet), tunnetaan myös niiden välinen kulma, joten voidaan käyttää kosinilausetta: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Näin ollen B C → = 37 .
Vastaus: B C → = 37 .
Joten vektorin pituuden löytämiseksi koordinaattien perusteella on olemassa seuraavat kaavat a → = a x 2 + a y 2 tai a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 alku- ja loppupisteiden koordinaattien mukaan vektorin A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 tai A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, joissakin tapauksissa kosinilause tulisi käyttää.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Oxy
NOIN A OA.
, missä 
OA 
.
Täten, 
.
Harkitse esimerkkiä.
Esimerkki.
Ratkaisu.
:
Vastaus:
Oxyz avaruudessa.
A OA tulee olemaan diagonaali.
Tässä tapauksessa (koska OA 
OA 
.
Täten, vektorin pituus 
.
Esimerkki.
Laske vektorin pituus 
Ratkaisu.
, siis, 
Vastaus:
Suora viiva lentokoneessa
Yleinen yhtälö
Ax + By + C ( > 0).
Vektori = (A; B) on normaali viivavektori.
Vektorimuodossa: + C = 0, jossa on mielivaltaisen suoran pisteen sädevektori (kuva 4.11).
Erikoistapaukset:
1) Arvolla + C = 0- akselin suuntainen suora viiva Härkä;
2) Ax+C=0- akselin suuntainen suora viiva Oy;
3) Ax + By = 0- viiva kulkee origon kautta;
4) y = 0-akseli Härkä;
5) x=0-akseli Oy.
Segmenttien suoran yhtälö
Missä a, b- koordinaattiakseleiden suoralla viivalla leikattujen segmenttien koko.
Normaali suoran yhtälö(Kuva 4.11)
missä on normaalisti muodostettu kulma linjaan ja akseliin nähden Härkä; s on etäisyys koordinaattien origosta viivaan.
Suoran yleisen yhtälön tuominen normaalimuotoon:
Tässä on suoran linjan normalisoitu kerroin; merkki valitaan kylttiä vastapäätä C, jos ja mielivaltaisesti, jos C = 0.
Vektorin pituuden löytäminen koordinaateista.
Vektorin pituutta merkitään . Tämän merkinnän vuoksi vektorin pituutta kutsutaan usein vektorin moduuliksi.
Aloitetaan etsimällä vektorin pituus tasossa koordinaattien perusteella.
Esittelemme tasossa suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän Oxy. Olkoon siinä annettu vektori ja sillä on koordinaatit . Otetaan kaava, jonka avulla voit löytää vektorin pituuden koordinaattien ja .
Siirrä sivuun koordinaattien origosta (pisteestä NOIN) vektori. Merkitse pisteen projektiot A koordinaattiakseleilla ja vastaavasti ja harkitse suorakulmiota, jossa on diagonaali OA.
Pythagoraan lauseen nojalla tasa-arvo , missä . Suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa olevan vektorin koordinaattien määritelmästä voimme väittää, että ja , ja rakenteella, pituus OA on yhtä suuri kuin vektorin pituus, joten .
Täten, kaava vektorin pituuden löytämiseksi koordinaateissaan tasossa on muoto .
Jos vektori esitetään hajotuksena koordinaattivektoreissa , niin sen pituus lasketaan samalla kaavalla , koska tässä tapauksessa kertoimet ja ovat vektorin koordinaatit annetussa koordinaatistossa.
Harkitse esimerkkiä.
Esimerkki.
Etsi vektorin pituus suorakulmaisina koordinaatteina.
Ratkaisu.
Käytä välittömästi kaavaa löytääksesi vektorin pituuden koordinaattien mukaan :
Vastaus:
Nyt saadaan kaava vektorin pituuden löytämiseksi sen koordinaattien perusteella suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz avaruudessa.
Siirrä sivuun vektori origosta ja merkitse pisteen projektiot A koordinaattiakseleilla sekä . Sitten voimme rakentaa sivuille ja suorakaiteen suuntaissärmiön, jossa OA tulee olemaan diagonaali.
Tässä tapauksessa (koska OA on suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön lävistäjä), mistä . Vektorin koordinaattien määrittäminen mahdollistaa yhtälöiden kirjoittamisen ja pituuden OA on yhtä suuri kuin vektorin haluttu pituus, joten .
Täten, vektorin pituus avaruudessa on yhtä suuri kuin sen koordinaattien neliöiden summan neliöjuuri, eli se löytyy kaavasta .
Esimerkki.
Laske vektorin pituus , missä ovat suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän ortit.
Ratkaisu.
Meille annetaan vektorin laajennus muodon koordinaattivektoreilla , siis, . Sitten vektorin pituuden koordinaateista löytyvän kaavan mukaan meillä on .
