Jatkamme kaikkien suosikkiaiheella matemaattista analyysiä – derivaattoja. Tässä artikkelissa opimme löytämään kolmen muuttujan funktion osittaiset derivaatat: ensimmäiset johdannaiset ja toiset johdannaiset. Mitä sinun tulee tietää ja osata hallita materiaalia? Usko tai älä, ensinnäkin sinun on kyettävä löytämään "tavalliset" johdannaiset yhden muuttujan funktiosta - korkealla tai ainakin keskimääräisellä tasolla. Jos se on todella vaikeaa heidän kanssaan, aloita oppitunnilla Kuinka löytää johdannainen? Toiseksi, on erittäin tärkeää lukea artikkeli ja ymmärtää ja ratkaista, jos ei kaikki, niin useimmat esimerkit. Jos tämä on jo tehty, kävele kanssani itsevarmalla askeleella, se on mielenkiintoista, jopa nautit siitä!

Löytämismenetelmät ja -periaatteet kolmen muuttujan funktion osittaiset derivaatat ovat itse asiassa hyvin samanlaisia ​​​​kuin kahden muuttujan funktioiden osittaiset derivaatat. Muistutan teitä, kahden muuttujan funktiolla on muoto , jossa "x" ja "y" ovat riippumattomia muuttujia. Geometrisesti kahden muuttujan funktio edustaa tiettyä pintaa kolmiulotteisessa avaruudessamme.

Kolmen muuttujan funktiolla on muoto , ja muuttujia kutsutaan riippumatonmuuttujia tai argumentteja, muuttujaa kutsutaan riippuva muuttuja tai toiminto. Esimerkiksi: – kolmen muuttujan funktio

Ja nyt vähän tieteiselokuvista ja avaruusolennoista. Voit usein kuulla neliulotteisesta, viisiulotteisesta, kymmenulotteisesta jne. tilat. Tyhmää vai ei?
Loppujen lopuksi kolmen muuttujan funktio merkitsee sitä tosiasiaa, että kaikki asiat tapahtuvat neliulotteisessa avaruudessa (itse asiassa on neljä muuttujaa). Kolmen muuttujan funktion kuvaaja on ns hyperpinta. Sitä on mahdoton kuvitella, koska elämme kolmiulotteisessa avaruudessa (pituus/leveys/korkeus). Jotta et kyllästyisi minuun, tarjoan tietokilpailun. Esitän muutaman kysymyksen, ja kaikki kiinnostuneet voivat yrittää vastata niihin:

– Onko maailmassa neljättä, viidettä jne.? mittaukset filistisen avaruuden käsityksen merkityksessä (pituus/leveys/korkeus)?

– Onko mahdollista rakentaa neliulotteinen, viisiulotteinen jne. tilaa sanan laajassa merkityksessä? Eli anna esimerkki tällaisesta tilasta elämässämme.

– Onko mahdollista matkustaa menneisyyteen?

– Onko mahdollista matkustaa tulevaisuuteen?

– Onko ulkomaalaisia ​​olemassa?

Jokaiseen kysymykseen voit valita yhden neljästä vastauksesta:
Kyllä / Ei (tiede kieltää tämän) / Tiede ei kiellä tätä / En tiedä

Sillä, joka vastaa kaikkiin kysymyksiin oikein, on mitä todennäköisimmin jokin esine ;-)

Annan asteittain vastauksia kysymyksiin oppitunnin edetessä, älä missaa esimerkkejä!

Itse asiassa he lensivät. Ja heti hyviä uutisia: kolmen muuttujan funktiolle pätevät differentiaatiosäännöt ja derivaattataulukko. Siksi sinun tulee olla hyvä käsittelemään "tavallisia" funktioiden johdannaiset yksi muuttuja. Eroja on todella vähän!

Esimerkki 1

Ratkaisu: Ei ole vaikea arvata - kolmen muuttujan funktiota varten on olemassa kolme ensimmäisen asteen osittaiset johdannaiset, jotka merkitään seuraavasti:

Tai – osittainen johdannainen suhteessa "x";
tai – osittainen johdannainen "y":n suhteen;
tai – zet:n osittainen johdannainen.

Yleisin merkintä on vedolla, mutta kokoelmien ja koulutusoppaiden laatijat haluavat todella käyttää hankalaa merkintää ongelmien yhteydessä - joten älä eksy! Ehkä kaikki eivät osaa lukea oikein näitä "pelättyjä murto-osia" ääneen. Esimerkki: pitäisi lukea seuraavasti: "de u po de x."

Aloitetaan derivaatalla suhteessa "x": . Kun löydämme osittaisen derivaatan suhteessa , sitten muuttujat Ja pidetään vakioina (vakiolukuina). Ja minkä tahansa vakion derivaatta, oi, armo, on yhtä suuri kuin nolla:

Kiinnitä heti huomiota alaindeksiin - kukaan ei kiellä sinua merkitsemään, että ne ovat vakioita. Se on vieläkin kätevämpää; Suosittelen aloittelijoiden käyttämään juuri tällaista levyä, sillä on pienempi riski hämmentyä.

(1) Käytämme derivaatan lineaarisuusominaisuuksia, erityisesti otamme kaikki vakiot derivaatan etumerkin ulkopuolelle. Huomaa, että toisessa termissä vakiota ei tarvitse poistaa: koska "Y" on vakio, se on myös vakio. Termissä "tavallinen" vakio 8 ja vakio "zet" on otettu pois derivaattamerkistä.

(2) Löydämme yksinkertaisimmat derivaatat unohtamatta, että ne ovat vakioita. Seuraavaksi kampaamme vastauksen.

Osittainen johdannainen. Kun löydämme osittaisen derivaatan suhteessa "y", niin muuttujat Ja pidetään vakioina:

(1) Käytämme lineaarisuuden ominaisuuksia. Ja jälleen, huomaa, että termit , ovat vakioita, mikä tarkoittaa, että mitään ei tarvitse ottaa pois johdannaismerkistä.

(2) Etsi derivaatat unohtamatta, että ne ovat vakioita. Seuraavaksi yksinkertaistamme vastausta.

Ja lopuksi osittainen derivaatta. Kun löydämme osittaisen derivaatan suhteessa "zet", niin muuttujat Ja pidetään vakioina:

Yleissääntö ilmeistä ja vaatimatonta: Kun löydämme osittaisen derivaatanmistään syystä riippumaton muuttuja siiskaksi muuta riippumattomia muuttujia pidetään vakioina.

Näitä tehtäviä suorittaessasi sinun tulee olla erittäin varovainen, erityisesti Et voi menettää merkintöjä(jotka osoittavat, mitä muuttujaa käytetään erottamiseen). Indeksin menettäminen olisi JÄRKEÄ VÄÄRÖEHTO. Hmmm…. On hassua, jos annan ne tuollaisen pelottelun jälkeen ohittaa jonnekin)

Esimerkki 2

Etsi ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat kolmen muuttujan funktiosta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Nämä kaksi esimerkkiä ovat melko yksinkertaisia, ja useiden samanlaisten ongelmien ratkaisemisen jälkeen teekannukin tottuu käsittelemään niitä suullisesti.

Stressin lievittämiseksi palataan tietokilpailun ensimmäiseen kysymykseen: Onko maailmassa neljättä, viidettä jne.? mittaukset filistisen avaruuden käsityksen merkityksessä (pituus/leveys/korkeus)?

Oikea vastaus: Tiede ei kiellä tätä. Kaikki perustavanlaatuinen matemaattinen aksiomatiikka, lauseet, matemaattiset laitteet ovat kauniita ja johdonmukainen työskennellä minkä tahansa ulottuvuuden tilassa. On mahdollista, että jossain universumissa on mielemme hallinnan ulkopuolella olevia hyperpintoja, esimerkiksi neliulotteinen hyperpinta, joka määritellään kolmen muuttujan funktiolla. Tai ehkä hyperpinnat ovat vieressämme tai jopa me olemme oikeassa niissä, vain näkömme, muut aistimme ja tietoisuutemme kykenevät havaitsemaan ja ymmärtämään vain kolme ulottuvuutta.

Palataan esimerkkeihin. Kyllä, jos joku on raskaasti täynnä tietokilpailua, on parempi lukea vastaukset seuraaviin kysymyksiin sen jälkeen, kun olet oppinut löytämään kolmen muuttujan funktion osittaiset derivaatat, muuten räjähtelen mielesi artikkelin aikana =)

Yksinkertaisimpien esimerkkien 1 ja 2 lisäksi käytännössä on tehtäviä, joita voidaan kutsua pieneksi palapeliksi. Sellaiset esimerkit jäivät minun ikäväkseni pois silmistä, kun loin oppitunnin Kahden muuttujan funktion osittaiset derivaatat. Otetaan kiinni:

Esimerkki 3

Ratkaisu: Näyttää siltä, ​​että "kaikki on yksinkertaista", mutta ensivaikutelma on petollinen. Osittaisia ​​johdannaisia ​​löytäessään monet arvaavat teelehdet ja tekevät virheitä.

Katsotaanpa esimerkkiä johdonmukaisesti, selkeästi ja ymmärrettävästi.

Aloitetaan osittaisella derivaatalla suhteessa "x". Kun löydämme osittaisen derivaatan "x:n" suhteen, muuttujia pidetään vakioina. Siksi funktiomme eksponentti on myös vakio. Nukkeille suosittelen seuraavaa ratkaisua: muuta luonnoksessa vakio tietyksi positiiviseksi kokonaisluvuksi, esimerkiksi "viisi". Tulos on yhden muuttujan funktio:
tai voit kirjoittaa sen myös näin:

Tämä tehoa funktio monimutkaisella kantalla (sini). Tekijä:

Nyt muistamme sen näin:

Viimeisessä vaiheessa ratkaisu tulee tietysti kirjoittaa näin:

Löydämme osittaisen derivaatan "y":n suhteen, niitä pidetään vakioina. Jos "x" on vakio, se on myös vakio. Luonnoksessa teemme saman tempun: korvaa esimerkiksi 3, "Z" - korvaa samalla "viisi". Tulos on jälleen yhden muuttujan funktio:

Tämä suuntaa antava funktio kompleksisella eksponentilla. Tekijä: monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntö:

Muistakaamme nyt korvaavamme:

Täten:

Viimeisellä sivulla suunnittelun tulee tietysti näyttää hyvältä:

Ja peilitapaus osittaisen derivaatan kanssa suhteessa "zet" ( – vakiot):

Kokemuksella analyysi voidaan suorittaa henkisesti.

Suoritetaan tehtävän toinen osa - laaditaan ensimmäisen asteen differentiaali. Se on hyvin yksinkertaista, analogisesti kahden muuttujan funktion kanssa, ensimmäisen asteen differentiaali kirjoitetaan kaavalla:

Tässä tapauksessa:

Ja se on bisnestä. Huomautan, että käytännön ongelmissa kolmen muuttujan funktion 1. kertaluvun täydellinen differentiaali on konstruoitava paljon harvemmin kuin kahden muuttujan funktiolle.

Hauska esimerkki ratkaisusta itse:

Esimerkki 4

Etsi ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat kolmen muuttujan funktiosta ja muodosta ensimmäisen kertaluvun täydellinen differentiaali

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Jos kohtaat vaikeuksia, käytä keskusteltua "Chaynikovsky"-algoritmia, se auttaa taatusti. Ja toinen hyödyllinen vinkki - Älä kiirehdi. En edes pysty ratkaisemaan tällaisia ​​esimerkkejä nopeasti.

Poistutaanpa ja tarkastellaan toista kysymystä: Onko mahdollista rakentaa neliulotteinen, viisiulotteinen jne. tilaa sanan laajassa merkityksessä? Eli anna esimerkki tällaisesta tilasta elämässämme.

Oikea vastaus: Joo. Lisäksi se on erittäin helppoa. Esimerkiksi lisäämme neljännen ulottuvuuden pituus/leveys/korkeus -aikaan. Suosittu neliulotteinen aika-avaruus ja tunnettu suhteellisuusteoria, jonka Einstein varasti siististi Lobachevskilta, Poincareltä, Lorentzilta ja Minkowskilta. Kaikki eivät myöskään tiedä. Miksi Einstein voitti Nobel-palkinnon? Tiedemaailmassa syntyi kauhea skandaali, ja Nobel-komitea muotoili plagioijan ansioiden suunnilleen seuraavasti: "Hänen kokonaispanoksesta fysiikan kehittämiseen." Joten se siitä. C-opiskelija Einsteinin brändi on pelkkä promootio ja PR.

Tarkasteltavaan neliulotteiseen avaruuteen on helppo lisätä viides ulottuvuus, esimerkiksi: ilmakehän paine. Ja niin edelleen, niin edelleen, niin edelleen, niin monta mittaa kuin määrität mallissasi - sen verran niitä tulee olemaan. Sanan laajimmassa merkityksessä elämme moniulotteisessa tilassa.

Katsotaanpa muutama tyypillisempi tehtävä:

Esimerkki 5

Etsi ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat pisteestä

Ratkaisu: Tämän muotoilun tehtävä löytyy usein käytännössä, ja se sisältää seuraavat kaksi toimenpidettä:
– sinun on löydettävä ensimmäisen asteen osittaiset johdannaiset;
– sinun on laskettava 1. asteen osittaisten johdannaisten arvot pisteessä.

Me päätämme:

(1) Edessämme on monimutkainen funktio, ja ensimmäisessä vaiheessa meidän tulisi ottaa arktangentin derivaatta. Tässä tapauksessa käytämme itse asiassa rauhallisesti taulukkokaavaa arktangentin derivaatta varten. Tekijä: monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntö tulos on kerrottava sisäisen funktion derivaatalla (upotus): .

(2) Käytämme lineaarisuuden ominaisuuksia.

(3) Ja otamme loput derivaatat unohtamatta, että ne ovat vakioita.

Osoitusehtojen mukaan on tarpeen löytää löydetyn osittaisen derivaatan arvo pisteestä. Korvataan pisteen koordinaatit löydetyllä derivaatalla:

Tämän tehtävän etuna on se, että muut osittaiset johdannaiset löydetään hyvin samanlaisen kaavion mukaan:

Kuten näet, ratkaisumalli on melkein sama.

Lasketaan löydetyn osittaisen derivaatan arvo pisteestä:

Ja lopuksi johdannainen suhteessa "zetiin":

Valmis. Ratkaisu olisi voitu muotoilla toisella tavalla: etsi ensin kaikki kolme osaderivaatta ja laske sitten niiden arvot pisteessä. Mutta minusta näyttää siltä, ​​​​että yllä oleva menetelmä on kätevämpi - etsi vain osittainen johdannainen ja laske heti, poistumatta kassakoneesta, sen arvo kohdassa.

On mielenkiintoista huomata, että geometrisesti piste on hyvin todellinen piste kolmiulotteisessa avaruudessamme. Funktion ja derivaattojen arvot ovat jo neljäs ulottuvuus, eikä kukaan tiedä missä se geometrisesti sijaitsee. Kuten sanotaan, kukaan ei ryöminyt universumin ympäri mittanauhalla tai tarkastanut.

Koska filosofinen aihe on jälleen nousussa, pohditaanpa kolmatta kysymystä: Onko mahdollista matkustaa menneisyyteen?

Oikea vastaus: Ei. Menneisyyteen matkustaminen on ristiriidassa termodynamiikan toisen lain kanssa fysikaalisten prosessien peruuttamattomuudesta (entropia). Älkää siis sukeltako altaaseen ilman vettä, tapahtuma voidaan toistaa vain videolla =) Ei suinkaan kansan viisaus keksi päinvastaisen arjen lain: "Mittaa kahdesti, leikkaa kerran." Vaikka itse asiassa surullista on, että aika on yksisuuntaista ja peruuttamatonta, kukaan meistä ei ole huomenna nuorempi. Ja erilaiset tieteiselokuvat, kuten "Terminaattori", ovat tieteellisestä näkökulmasta täyttä hölynpölyä. On myös filosofisesta näkökulmasta absurdia, kun Vaikutus voi palatessaan menneisyyteen tuhota oman syynsä. .

Se on mielenkiintoisempaa "zet"-johdannaisen kanssa, vaikka se on silti melkein sama:

(1) Otamme vakiot pois derivaatan etumerkistä.

(2) Tässä on jälleen kahden funktion tulos, joista jokainen riippuu"live"-muuttujasta "zet". Periaatteessa voit käyttää osamäärän derivaatan kaavaa, mutta on helpompi mennä toisin - löydä tuotteen derivaatta.

(3) Derivaata on taulukkojohdannainen. Toinen termi sisältää jo tutun monimutkaisen funktion derivaatan.

Esimerkki 9

Etsi ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat kolmen muuttujan funktiosta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Mieti, kuinka löytää järkevämmin tämä tai toinen osittainen johdannainen. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Ennen kuin siirryt oppitunnin viimeisiin esimerkkeihin ja katsot toisen asteen osittaiset johdannaiset kolmen muuttujan funktioita, piristän kaikkia jälleen neljännellä kysymyksellä:

Onko mahdollista matkustaa tulevaisuuteen?

Oikea vastaus: Tiede ei kiellä tätä. Paradoksaalista kyllä, ei ole olemassa matemaattista, fysikaalista, kemiallista tai muuta luonnontieteellistä lakia, joka kieltäisi matkustamisen tulevaisuuteen! Näyttääkö hölynpölyltä? Mutta melkein jokaisella elämässä on ollut aavistus (ja ei ole tuettu millään loogisella argumentilla), että tämä tai tuo tapahtuma tapahtuu. Ja se tapahtui! Mistä tieto on peräisin? Tulevaisuudesta? Näin ollen tieteiselokuvia tulevaisuuteen matkustamisesta ja muuten kaikenlaisten ennustajien ja meedioiden ennustuksista ei voida kutsua sellaiseksi hölynpölyksi. Tiede ei ainakaan ole kiistänyt tätä. Kaikki on mahdollista! Joten, kun olin koulussa, elokuvien CD-levyt ja litteät näytöt tuntuivat minusta uskomattomilta.

Kuuluisa komedia "Ivan Vasilyevich muuttaa ammattiaan" on puoliksi fiktiota (korkeintaan). Mikään tieteellinen laki ei estänyt Ivana Julmaista olemasta tulevaisuudessa, mutta on mahdotonta, että kaksi paprikaa päätyisi menneisyyteen ja suorittaisi kuninkaan velvollisuuksia.

Monen muuttujan funktion käsite

Olkoon n-muuttujia ja jokaiselle x 1, x 2 ... x n tietystä x-joukosta annetaan määritelmä. luku Z, niin monien muuttujien funktio Z = f (x 1, x 2 ... x n) on annettu joukolle x.

X – funktion määrittelyalue

x 1, x 2 ... x n – riippumaton muuttuja (argumentit)

Z – toiminto Esimerkki: Z=P x 2 1 *x 2 (sylinterin tilavuus)

Tarkastellaan Z=f(x;y) – 2 muuttujan funktiota (x 1, x 2 korvataan x,y:llä). Tulokset siirretään analogisesti monien muuttujien muihin funktioihin. Kahden muuttujan funktion määritysalue on koko johto (oh) tai osa siitä. 2 muuttujan funktion arvojen lukumäärä on pinta 3-ulotteisessa avaruudessa.

Tekniikat graafien muodostamiseen: - Tarkastellaan pinnan poikkileikkausta neliöinä || koordinaattineliöt.

Esimerkki: x = x 0, zn. neliö X || 0уz y = y 0 0хz Toiminnon tyyppi: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Esimerkki: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2-1 x=0 Z=(y-1) 2-1 y=1 Z= x 2-1 Z=0 x 2 + (y-1) 2-1

Parabola surround(keskellä(0,1)

Kahden muuttujan funktioiden rajat ja jatkuvuus

Olkoon Z=f(x;y), niin A on funktion raja t.(x 0 ,y 0), jos jollekin mielivaltaisen pienelle joukolle. luku E>0 on positiivinen luku b>0, joka kaikelle x, y toteuttaa |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) on jatkuva t:ssä (x 0 ,y 0), jos: - se on määritelty tässä t:ssä; - on finaali raja x:ssä pyrkien x 0:aan ja y:ään y 0:aan; - tämä raja = arvo

toimii t:ssä (x 0 ,y 0), ts. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Jos funktio on jatkuva jokaisessa t. mn-va X, niin se on jatkuva tällä alueella

Differentiaalifunktio, sen geomin merkitys. Differentiaalin soveltaminen likimääräisissä arvoissa.

dy=f’(x)∆x – differentiaalifunktio

dy=dx, ts. dy=f ’(x)dx, jos y=x

Geologisesta näkökulmasta funktion differentiaali on funktion kuvaajaan piirretyn tangentin ordinaatin lisäys pisteessä, jonka abskissa x 0

Dif-l:tä käytetään laskettaessa n. funktion arvot kaavan mukaan: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Mitä lähempänä ∆x on x:ää, sitä tarkempi tulos on

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaiset derivaatat

Ensimmäisen asteen johdannainen (jota kutsutaan osittaiseksi)

A. Olkoot x, y riippumattomien muuttujien x ja y lisäykset jossain vaiheessa alueelta X. Tällöin arvoa, joka on yhtä suuri kuin z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y), kutsutaan kokonaisarvoksi lisäys pisteessä x 0, y 0. Jos korjaamme muuttujan x ja annamme muuttujalle y inkrementin y, niin saadaan zу = f(x,y,+ y) – f(x,y)

Muuttujan y osaderivaata määritetään samalla tavalla, ts.

Kahden muuttujan funktion osittaisderivaata löydetään käyttäen samoja sääntöjä kuin yhden muuttujan funktioille.

Erona on, että kun funktiota erotetaan muuttujan x suhteen, y:tä pidetään const:na ja y:n x:n suhteen erotettaessa sitä pidetään const.

Isolated const yhdistetään funktioon käyttämällä yhteen-/vähennysoperaatioita.

Sidotut const yhdistetään funktioon kerto-/jakooperaatioilla.

Eristetyn const = 0 derivaatta

1.4.Kahden muuttujan täydellinen differentiaalifunktio ja sen sovellukset

Olkoon sitten z = f(x,y).

tz = - kutsutaan täydeksi lisäykseksi

2. asteen osaderivaata

Kahden muuttujan jatkuville funktioille 2. kertaluvun sekoitetut osittaiset derivaatat ovat samat.

Osittaisten derivaattojen soveltamista max- ja min-funktioiden osittaisten derivaattojen määrittämiseen kutsutaan ääriarvoiksi.

A. Pisteitä kutsutaan max tai min z = f(x,y), jos on joitain segmenttejä siten, että kaikille x:lle ja y:lle tästä naapurustosta f(x,y)

T. Jos 2 muuttujan funktion ääripiste on annettu, niin osittaisderivaataiden arvo tässä pisteessä on 0, ts. ,

Pisteitä, joissa ensimmäisen kertaluvun osittaisia ​​derivaattoja kutsutaan stationaarisiksi tai kriittisiksi.

Siksi kahden muuttujan funktion ääripisteiden löytämiseksi käytetään riittäviä ääripääehtoja.

Olkoon funktio z = f(x,y) kahdesti differentioituva, ja stationäärinen piste,

1) ja maxA<0, minA>0.

1.4.(*)Täysi differentiaali. Differentiaalin geometrinen merkitys. Differentiaalin käyttö likimääräisissä laskelmissa

A. Olkoon funktio y = f(x) määritelty tietyssä ympäristössä pisteissä. Funktion f(x) sanotaan olevan differentioituva jossakin pisteessä, jos sen inkrementti tässä pisteessä on , jossa se esitetään muodossa (1)

Missä A on vakioarvo riippumaton , kiinteässä pisteessä x, ja on infinitesimal at . Suhteellisen lineaarista funktiota A kutsutaan funktion f(x) differentiaaliksi pisteessä ja sitä merkitään df() tai dy.

Näin ollen lauseke (1) voidaan kirjoittaa muodossa ().

Lausekkeen (1) funktion differentiaali on muotoa dy = A. Kuten mikä tahansa lineaarinen funktio, se on määritelty mille tahansa arvolle kun taas funktion inkrementti tulee ottaa huomioon vain niille, joille + kuuluu funktion f(x) määritelmäalueeseen.

Differentiaalin kirjoittamisen helpottamiseksi inkrementtiä merkitään dx:llä ja sitä kutsutaan itsenäisen muuttujan x differentiaaliksi. Siksi differentiaali kirjoitetaan muodossa dy = Adx.

Jos funktio f(x) on differentioituva tietyn aikavälin jokaisessa pisteessä, niin sen differentiaali on kahden muuttujan funktio - pisteen x ja muuttujan dx:

T. Jotta funktio y = g(x) olisi jossain vaiheessa differentioituva, on välttämätöntä ja riittävää, että sillä on derivaatta tässä pisteessä, ja

(*)Todiste. Välttämättömyys.

Olkoon funktio f(x) differentioituva pisteessä, ts. . Sitten

Siksi derivaatta f’() on olemassa ja on yhtä suuri kuin A. Näin ollen dy = f’()dx

Riittävyys.

Olkoon derivaatta f’(), ts. = f'(). Tällöin käyrä y = f(x) on tangenttisegmentti. Laskeaksesi funktion arvon pisteessä x, ota piste jostain sen läheisyydestä siten, että f() ja f’()/ ei ole vaikea löytää

Yleinen periaate kolmen muuttujan funktion toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen löytämiseksi on samanlainen kuin kahden muuttujan funktion toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen löytämisen periaate.

Löytääksesi toisen asteen osaderivaatat, sinun on ensin löydettävä ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat tai toisessa merkinnässä:

Toisen asteen osittaisia ​​johdannaisia ​​on yhdeksän.

Ensimmäinen ryhmä on toinen derivaatta samojen muuttujien suhteen:

Tai – toinen derivaatta "x":n suhteen;

Tai – toinen johdannainen suhteessa "Y";

Tai – toinen derivaatta suhteessa "zet".

Toinen ryhmä on sekoitettu Toisen asteen osittaiset derivaatat, niitä on kuusi:

Tai - sekoitettu johdannainen "by x igrek";

Tai - sekoitettu johdannainen "pelin x mukaan";

Tai - sekoitettu derivaatta "suhteessa x z";

Tai - sekoitettu derivaatta "zt x:llä";

Tai - sekoitettu johdannainen "igrek z:n suhteen";

Tai - sekoitettu johdannainen "by zt igrek".

Kuten kahden muuttujan funktion tapauksessa, tehtäviä ratkaistaessa voit keskittyä seuraaviin toisen kertaluvun sekaderivaataiden yhtäläisyyksiin:

Huomaa: tarkasti ottaen näin ei aina ole. Jotta sekajohdannaiset olisivat samanarvoisia, niiden jatkuvuuden vaatimus on täytettävä.

Tässä on vain muutama esimerkki siitä, kuinka tämä häpeä luetaan oikein ääneen:

- "kahdella lyönnillä on kahdesti pelissä";

– "de kaksi y x de z -neliö";

– "X:ssä ja Z:ssa on kaksi vetoa";

- "de two y po de zet po de igrek."

Esimerkki 10

Etsi kaikki ensimmäisen ja toisen asteen osittaiset derivaatat kolmen muuttujan funktiolle:

.

Ratkaisu: Etsitään ensin ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat:

Otamme löydetyn johdannaisen

ja erottele se "Y":llä:

Otamme löydetyn johdannaisen

ja erottele se "x":llä:

Tasa-arvo täyttyy. Hieno.

Käsitellään toista sekajohdannaisparia.

Otamme löydetyn johdannaisen

ja erottele se "z":llä:

Otamme löydetyn johdannaisen

ja erottele se "x":llä:

Tasa-arvo täyttyy. Hieno.

Käsittelemme kolmatta sekajohdannaisparia samalla tavalla:

Tasa-arvo täyttyy. Hieno.

Tehdyn työn jälkeen voimme taata, että ensinnäkin olemme löytäneet oikein kaikki 1. kertaluvun osaderivaatat ja toiseksi olemme löytäneet oikein myös sekalaiset 2. asteen osaderivaatat.

Jäljellä on vielä kolme toisen asteen osittaista johdannaista; tässä on keskitettävä huomiosi mahdollisimman paljon virheiden välttämiseksi:

Valmis. Toistan, että tehtävä ei ole niin vaikea kuin se on laaja. Ratkaisua voidaan lyhentää ja viitata sekaosittaisderivaataiden yhtäläisyyksiin, mutta tässä tapauksessa varmennusta ei tehdä. Siksi on parempi viettää aikaa ja löytää Kaikki johdannaisia ​​(lisäksi opettaja voi vaatia tätä) tai viimeisenä keinona tarkistaa luonnos.

Esimerkki 11

Etsi kaikki ensimmäisen ja toisen asteen osittaiset derivaatat kolmen muuttujan funktiolle

.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse.

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2:Ratkaisu:

Esimerkki 4:Ratkaisu: Etsitään ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat.

Luodaan ensimmäisen asteen täydellinen ero:

Esimerkki 6:Ratkaisu: M(1, -1, 0):

Esimerkki 7:Ratkaisu: Lasketaan ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat pisteessäM(1, 1, 1):

Esimerkki 9:Ratkaisu:

Esimerkki 11:Ratkaisu: Etsitään ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat:

Etsitään toisen asteen osittaiset derivaatat:

.

Integraalit

8.1. Epämääräinen integraali. Yksityiskohtaiset näyteratkaisut

Aloitetaan aiheen opiskelu" Epämääräinen integraali", ja analysoimme myös yksityiskohtaisesti esimerkkejä ratkaisuista yksinkertaisimpiin (ja ei niin yksinkertaisiin) integraaleihin. Kuten tavallista, rajoitamme teorian minimiin, joka on lukuisissa oppikirjoissa, tehtävämme on oppia ratkaisemaan integraaleja.

Mitä sinun tulee tietää materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti? Integraalilaskennan kanssa selviytymiseksi sinun on kyettävä löytämään johdannaisia ​​vähintään keskitasolla. Ei ole kokemuksen hukkaa, jos sinulla on useita kymmeniä, tai vielä parempaa, satoja itsenäisesti löydettyjä johdannaisia ​​vyön alla. Sinun ei tulisi ainakaan hämmentyä tehtävistä erottaaksesi yksinkertaisimmat ja yleisimmät toiminnot.

Vaikuttaa siltä, ​​mitä tekemistä johdannaisilla on sen kanssa, jos artikkeli käsittelee integraaleja?! Tässä on asia. Tosiasia on, että derivaattojen löytäminen ja epämääräisten integraalien löytäminen (differentiointi ja integrointi) ovat kaksi keskenään käänteistä toimintaa, kuten yhteen-/vähennys- tai kerto-/jakolasku. Valitettavasti et voi edetä ilman taitoa ja kokemusta johdannaisten löytämisestä.

Tätä varten tarvitsemme seuraavat opetusmateriaalit: Johdannaisten taulukko Ja Integraalien taulukko.

Mitä vaikeutta on epämääräisten integraalien oppimisessa? Jos johdannaisissa on tiukasti 5 differentiaatiosääntöä, derivaattataulukko ja melko selkeä toimintoalgoritmi, niin integraaleissa kaikki on erilaista. Integrointimenetelmiä ja -tekniikoita on kymmeniä. Ja jos integrointimenetelmä on alunperin valittu väärin (eli et tiedä kuinka ratkaista), voit "pistoilla" integraalia kirjaimellisesti päivien ajan, kuten oikeaa palapeliä, yrittäen havaita erilaisia ​​tekniikoita ja temppuja. Jotkut jopa pitävät siitä.

Muuten, kuulimme melko usein opiskelijoilta (ei pääaineena humanistisia) tällaista mielipidettä: "Minua ei ole koskaan kiinnostanut ratkaista raja tai derivaatta, mutta integraalit ovat aivan eri asia, se on kiehtovaa, aina on olemassa halu "hakkeroida" monimutkainen integraali." Lopettaa. Tarpeeksi mustaa huumoria, siirrytään näihin hyvin epämääräisiin integraaleihin.

Koska sen ratkaisemiseksi on monia tapoja, mistä teekannun pitäisi alkaa tutkia epämääräisiä integraaleja? Integraalilaskennassa on mielestämme kolme pilaria tai eräänlainen "akseli", jonka ympäri kaikki muu pyörii. Ensinnäkin sinun pitäisi ymmärtää hyvin yksinkertaisimmat integraalit (tämä artikkeli).

Sitten sinun on työstettävä oppitunti yksityiskohtaisesti. TÄMÄ ON TÄRKEIN TEKNIIKKA! Ehkä jopa tärkein artikkeli kaikista integraaleja koskevista artikkeleista. Ja kolmanneksi, sinun pitäisi ehdottomasti lukea integrointi osamenetelmällä, koska se yhdistää laajan luokan toimintoja. Jos hallitset ainakin nämä kolme oppituntia, sinulla ei ole enää kahta. Saatat saada anteeksi, kun et tiedä trigonometristen funktioiden integraalit, murtolukujen integraalit, murto-rationaalisten funktioiden integraalit, irrationaalisten funktioiden integraalit (juuret), mutta jos "joudut vaikeuksiin" vaihtomenetelmän tai osien integrointimenetelmän kanssa, se on erittäin, erittäin huono.

Joten aloitetaan yksinkertaisesta. Katsotaanpa integraalitaulukkoa. Kuten derivaateissa, huomaamme useita integrointisääntöjä ja joidenkin perusfunktioiden integraalitaulukon. Jokaisella taulukkointegraalilla (ja itse asiassa kaikilla epämääräisellä integraalilla) on muoto:

Ymmärretään heti merkinnät ja termit:

– kiinteä kuvake.

– integrand-funktio (kirjoitettu kirjaimella "s").

– differentiaalikuvake. Katsomme pian mitä tämä on. Tärkeintä on, että integraalia kirjoitettaessa ja ratkaisun aikana on tärkeää olla hukkaamatta tätä kuvaketta. Tulee havaittava virhe.

– integraalin lauseke tai "täyttö".

– antijohdannainen toiminto.

– . Ei tarvitse olla raskaasti täynnä termejä, tärkeintä tässä on, että missä tahansa epämääräisessä integraalissa vastaukseen lisätään vakio.

Epämääräisen integraalin ratkaiseminen tarkoittaa löytämistämonia primitiivisiä toimintoja annetusta integrandista

Katsotaanpa merkintää uudelleen:

Katsotaanpa integraalitaulukkoa.

Mitä tapahtuu? Meillä on vasemmat osat muuttua muihin toimintoihin: .

Yksinkertaistetaan määritelmäämme:

Ratkaise epämääräinen integraali - tämä tarkoittaa MUUNTAA se määrittelemättömäksi (vakio) funktioksi , käyttämällä joitain sääntöjä, tekniikoita ja taulukkoa.

Otetaan esimerkiksi taulukkointegraali . Mitä tapahtui? Symbolinen merkintä on kehittynyt moniksi primitiivisiksi funktioiksi.

Kuten derivaateissa, integraalien löytämisen oppimiseksi ei tarvitse olla tietoinen siitä, mikä integraali tai antiderivaatiivinen funktio on teoreettisesta näkökulmasta. Riittää, kun yksinkertaisesti suorittaa muunnokset joidenkin muodollisten sääntöjen mukaan. Eli siinä tapauksessa Ei ole ollenkaan välttämätöntä ymmärtää, miksi integraali muuttuu muotoon . Voit pitää tätä ja muita kaavoja itsestäänselvyytenä. Kaikki käyttävät sähköä, mutta harvat ajattelevat, kuinka elektronit kulkevat johtojen läpi.

Koska eriyttäminen ja integrointi ovat päinvastaisia ​​operaatioita, seuraava pitää paikkansa jokaiselle oikein löydetylle antiderivaatille:

Toisin sanoen, jos erotat oikean vastauksen, sinun on saatava alkuperäinen integrandifunktio.

Palataan samaan taulukkointegraaliin .

Varmistetaan tämän kaavan pätevyys. Otamme oikean puolen johdannaisen:

on alkuperäinen integrand-funktio.

Muuten, on tullut selvemmäksi, miksi funktiolle on aina määritetty vakio. Differentioituna vakio muuttuu aina nollaan.

Ratkaise epämääräinen integraali- se tarkoittaa löytää joukko kaikille antijohdannaisia, eikä vain yhtä toimintoa. Tarkasteltavassa taulukkoesimerkissä , , , jne. – kaikki nämä funktiot ovat ratkaisuja integraaliin. Ratkaisuja on äärettömän monta, joten kirjoitamme sen lyhyesti:

Siten mikä tahansa epämääräinen integraali on melko helppo tarkistaa. Tämä on kompensaatio useille erityyppisille integraaleille.

Jatketaan tarkastelemaan konkreettisia esimerkkejä. Aloitetaan, kuten derivaatan tutkimisessa, kahdella integrointisäännöllä:

- vakio C voidaan (ja pitäisi) ottaa pois integraalimerkistä.

– kahden funktion summan (eron) integraali on yhtä suuri kuin kahden integraalin summa (erotus). Tämä sääntö on voimassa minkä tahansa määrän termejä.

Kuten näet, säännöt ovat periaatteessa samat kuin johdannaisille. Joskus niitä kutsutaan lineaarisuusominaisuudet kiinteä.

Esimerkki 1

Etsi epämääräinen integraali.

Suorita tarkistus.

Ratkaisu: On kätevämpää muuntaa se sellaiseksi.

(1) Käytä sääntöä . Unohdamme kirjoittaa differentiaalikuvakkeen muistiin dx jokaisen integraalin alla. Miksi jokaisen alla? dx– Tämä on täysi kerroin. Jos kuvaamme sitä yksityiskohtaisesti, ensimmäinen vaihe tulisi kirjoittaa näin:

.

(2) Säännön mukaan siirrämme kaikki vakiot integraalien etumerkkien ulkopuolelle. Huomaa, että viimeisellä lukukaudella tg 5 on vakio, otamme sen myös pois.

Lisäksi tässä vaiheessa valmistamme juuret ja voimat integraatioon. Samalla tavalla kuin eriyttämisessä, juuret on esitettävä muodossa . Siirrä nimittäjässä olevat juuret ja potenssit ylöspäin.

Huomautus: Toisin kuin derivaatat, integraalien juuria ei aina pidä pelkistää muotoon , ja siirrä asteita ylöspäin.

Esimerkiksi, - tämä on valmis taulukkointegraali, joka on jo laskettu ennen sinua, ja kaikenlaisia ​​kiinalaisia ​​temppuja, kuten täysin tarpeeton. Samoin: – tämä on myös taulukkointegraali, murto-osaa ei ole mielekästä esittää muodossa . Tutki taulukkoa huolellisesti!

(3) Kaikki integraalimme ovat taulukkomuotoisia. Suoritamme muunnoksen taulukon avulla kaavoilla: , Ja

tehotoimintoa varten - .

On huomattava, että taulukkointegraali on tehofunktion kaavan erikoistapaus: .

Jatkuva C riittää, että lisätään kerran lausekkeen loppuun

(sen sijaan, että laittaisit ne jokaisen integraalin jälkeen).

(4) Kirjoitetaan saatu tulos kompaktimpaan muotoon, kun kaikki potenssit ovat muotoa

jälleen edustamme niitä juurien muodossa ja nollaamme potenssit negatiivisella eksponentilla takaisin nimittäjään.

Tutkimus. Tarkistuksen suorittamiseksi sinun on erotettava saatu vastaus:

Alkuperäinen vastaanotettu integrand, eli integraali löytyi oikein. Siitä, mistä he tanssivat, he palasivat. On hyvä, kun tarina integraalilla päättyy tähän.

Ajoittain epämääräisen integraalin tarkistamiseen on olemassa hieman erilainen lähestymistapa, kun vastauksesta ei ole otettu derivaatta, vaan differentiaali:

.

Tämän seurauksena emme saa integrandifunktiota, vaan integrandilausekkeen.

Älä pelkää eron käsitettä.

Differentiaali on derivaatta kerrottuna dx.

Meille ei kuitenkaan ole tärkeää teoreettiset hienovaraisuudet, vaan se, mitä tälle erolle seuraavaksi tehdään. Differentiaali paljastuu seuraavasti: -kuvake d poistamme sen, laitamme alkuluvun oikealle hakasulkeen yläpuolelle, lisäämme tekijän lausekkeen loppuun dx :

Alkuperäinen vastaanotettu integrand, eli integraali löytyi oikein.

Kuten näet, differentiaali laskeutuu derivaatan löytämiseen. Pidän toisesta menetelmästä tarkistaa vähemmän, koska minun on lisäksi piirrettävä suuret sulut ja vedettävä differentiaalikuvaketta dx tarkastuksen loppuun asti. Vaikka se on oikeampaa, tai "kunnioitettavampaa" tai jotain.

Itse asiassa oli mahdollista vaieta toisesta todentamismenetelmästä. Pointti ei ole menetelmässä, vaan siinä, että olemme oppineet avaamaan differentiaalin. Uudelleen.

Ero paljastuu seuraavasti:

1) kuvake d Poista;

2) oikealle hakasulkeen yläpuolelle laitamme viivan (derivaatan merkintä);

3) lausekkeen lopussa annamme tekijän dx .

Esimerkiksi:

Muista tämä. Tarvitsemme tätä tekniikkaa hyvin pian.

Esimerkki 2

.

Kun löydämme määrittelemättömän integraalin, yritämme AINA tarkistaa Lisäksi tähän on loistava mahdollisuus. Kaikki korkeamman matematiikan ongelmat eivät ole lahja tästä näkökulmasta. Sillä ei ole väliä, ettei tarkistustehtävissä usein vaadita tarkistamista, kukaan tai mikään ei estä sinua tekemästä sitä luonnoksessa. Poikkeuksen voi tehdä vain silloin, kun aikaa ei ole riittävästi (esimerkiksi kokeen tai tentin aikana). Itse tarkastan aina integraalit ja pidän tarkastuksen puuttumista hakkerointityönä ja huonosti suoritettuna tehtävänä.

Esimerkki 3

Etsi epämääräinen integraali:

. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Integraalia analysoimalla näemme, että integraalin alla on kahden funktion tulo ja jopa kokonaisen lausekkeen eksponentio. Valitettavasti yhtenäisen taistelun alalla Ei hyvä ja mukava kaavat tuotteen ja osamäärän integroimiseksi kuten: tai .

Siksi, kun tulo tai osamäärä annetaan, on aina järkevää nähdä, onko mahdollista muuttaa integrandi summaksi? Tarkasteltava esimerkki on tapaus, jossa se on mahdollista.

Ensin esittelemme täydellisen ratkaisun, kommentit ovat alla.

(1) Käytämme mitä tahansa reaalilukua varten vanhaa hyvää summan neliön kaavaa, poistaen asteen yhteisen hakasulkeen yli. sulujen ulkopuolella ja soveltamalla lyhennettyä kertolaskua vastakkaiseen suuntaan: .

Esimerkki 4

Etsi epämääräinen integraali

Suorita tarkistus.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Vastaus ja täydellinen ratkaisu ovat oppitunnin lopussa.

Esimerkki 5

Etsi epämääräinen integraali

. Suorita tarkistus.

Tässä esimerkissä integrandi on murto-osa. Kun näemme integrandissa murto-osan, ensimmäisenä ajatuksena tulisi olla kysymys: "Onko tästä murto-osasta mahdollista päästä eroon tai ainakin yksinkertaistaa sitä?"

Huomaamme, että nimittäjä sisältää yhden X-juuren. Yksi kentällä ei ole soturi, mikä tarkoittaa, että voimme jakaa osoittajan nimittäjätermillä termillä:

Emme kommentoi toimia, joilla on murtoluku, koska niitä on käsitelty monta kertaa funktion derivaatta koskevissa artikkeleissa.

Jos olet edelleen hämmentynyt sellaisesta esimerkistä kuin

eikä oikeaa vastausta tule missään tapauksessa,

Huomaa myös, että ratkaisusta puuttuu yksi vaihe, nimittäin sääntöjen soveltaminen , . Yleensä, kun on kokemusta integraalien ratkaisemisesta, näitä sääntöjä pidetään ilmeisenä tosiasiana, eikä niitä kuvata yksityiskohtaisesti.

Esimerkki 6

Etsi epämääräinen integraali. Suorita tarkistus.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Vastaus ja täydellinen ratkaisu ovat oppitunnin lopussa.

Yleisesti ottaen murto-osien integroinnissa kaikki ei ole niin yksinkertaista; artikkelista löytyy lisämateriaalia joidenkin tyyppien murto-osien integroinnista: Joidenkin murtolukujen integrointi. Mutta ennen kuin siirryt yllä olevaan artikkeliin, sinun on tutustuttava oppiaiheeseen: Korvausmenetelmä määrittelemättömässä integraalissa. Asia on, että funktion sisällyttäminen differentiaali- tai muuttujakorvausmenetelmään on avainasia aiheen tutkimuksessa, koska sitä ei löydy vain "puhtaista korvausmenetelmän tehtävistä", vaan myös monista muun tyyppisistä integraaleista.

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2: Ratkaisu:

Esimerkki 4: Ratkaisu:

Tässä esimerkissä käytimme lyhennettyä kertolaskua

Esimerkki 6: Ratkaisu:

Menetelmä muuttujan muuttamiseen määrittelemättömässä integraalissa. Esimerkkejä ratkaisuista

Tällä oppitunnilla tutustumme yhteen tärkeimmistä ja yleisimmistä tekniikoista, jota käytetään epämääräisten integraalien ratkaisemisessa - muuttujan muutosmenetelmään. Aineiston onnistunut hallinta edellyttää alkutietoa ja integrointitaitoja. Jos integraalilaskennassa tuntuu olevan tyhjä, täynnä kattila, sinun tulee ensin tutustua materiaaliin Epämääräinen integraali. Esimerkkejä ratkaisuista, jossa selitetään esteettömässä muodossa mikä integraali on ja aloittelijoille tarkoitettuja perusesimerkkejä analysoidaan yksityiskohtaisesti.

Teknisesti menetelmä muuttujan muuttamiseen määrittelemättömässä integraalissa toteutetaan kahdella tavalla:

– Toiminnon sisällyttäminen erotusmerkin alle.

– Itse asiassa muuttujan muuttaminen.

Pohjimmiltaan nämä ovat sama asia, mutta ratkaisun muotoilu näyttää erilaiselta. Aloitetaan yksinkertaisemmalla tapauksella.

Usean muuttujan funktion osittaiset derivaatat ovat samojen muuttujien funktioita. Näillä funktioilla voi puolestaan ​​olla osittaisderivaataita, joita kutsumme alkuperäisen funktion toisiksi osittaisderivaataiksi (tai toisen asteen osittaisderivaataiksi).

Esimerkiksi kahden muuttujan funktiolla on neljä toisen asteen osittaista derivaatta, jotka määritellään ja merkitään seuraavasti:

Kolmen muuttujan funktiolla on yhdeksän toisen asteen osittaista derivaatta:

Usean muuttujan funktion kolmannen ja korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat määritellään ja merkitään samalla tavalla: usean muuttujan funktion osittaisderivaata on saman kertaluvun osittaisen derivaatan ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaata. toiminto.

Esimerkiksi funktion kolmannen asteen osittaisderivaata on ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaata toisen kertaluvun osittaisen derivaatan y:n suhteen

Usean eri muuttujan suhteen otettua toisen tai korkeamman kertaluvun osittaisderivaata kutsutaan sekaosittaisderivaattaksi.

Esimerkiksi osittaiset johdannaiset

ovat sekajohdannaisia ​​kahden muuttujan funktiosta.

Esimerkki. Etsi funktion sekoitetut toisen asteen osittaiset derivaatat

Ratkaisu. Ensimmäisen asteen osittaisten derivaattojen löytäminen

Sitten löydämme toisen kertaluvun sekoitetut osittaiset derivaatat

Näemme, että sekaosittaisderivaatat, jotka eroavat toisistaan ​​vain differentiaatiojärjestyksessä, eli järjestyksessä, jossa differentiointi suoritetaan eri muuttujien suhteen, osoittautuivat identtisesti yhtäläisiksi. Tämä tulos ei ole sattumaa. Sekoitettujen osittaisten derivaattojen osalta pätee seuraava lause, jonka hyväksymme ilman todisteita.

Kahden muuttujan funktiot, osittaiset derivaatat, differentiaalit ja gradientti

Aihe 5.Kahden muuttujan funktiot.

osittaiset johdannaiset

Kahden muuttujan funktion määrittely, asetusmenetelmät.

Osittaiset johdannaiset.

Yhden muuttujan funktion gradientti

Kahden muuttujan funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytäminen suljetussa rajoitetussa toimialueessa

1. Useiden muuttujien funktion määrittely, asetusmenetelmät

varten kahden muuttujan funktioita
määritelmän alue on jokin joukko pisteitä tasossa
, ja arvoalue on akselin väli
.

Visuaaliseen esitykseen kahden muutoksen funktiot nyh sovelletaan tasoviivat.

Esimerkki . Toiminnan vuoksi
rakentaa kaavio ja tasoviivat. Kirjoita muistiin pisteen läpi kulkevan tasoviivan yhtälö
.

Lineaarifunktion kuvaaja On kone avaruudessa.

Funktiolle kuvaaja on taso, joka kulkee pisteiden läpi
,
,
.

Toimintotason rivit ovat yhdensuuntaisia ​​suoria, joiden yhtälö on
.

varten kahden muuttujan lineaarinen funktio
tasoviivat annetaan yhtälöllä
ja edustaa yhdensuuntaisten viivojen perhe tasossa.

4

Funktion kaavio 0 1 2 X

Toimintotason rivit

Yksityisiä projektejakahden muuttujan johdetut funktiot

Harkitse toimintoa
. Annetaan muuttuja pisteessä
mielivaltainen lisäys
, lähtee muuttuva arvo muuttumattomana. Vastaava funktion lisäys

nimeltään funktion yksityinen lisäys muuttujan mukaan pisteessä
.

Määritelty samalla tavalla osittaisen toiminnon lisäysmuuttujan mukaan: .

Nimitysosittainen johdannainen suhteessa: , ,
,
.

Funktion osittainen derivaatta muuttujan suhteen kutsutaan lopulliseksi rajaksi :

Nimitykset: , ,
,
.

Löytääksesi osittaisen derivaatan
muuttujan mukaan käytetään sääntöjä yhden muuttujan funktion erottamiseksi, olettaen että muuttuja on vakio..

Samoin osittaisen derivaatan löytäminen muuttujan suhteen muuttujaa pidetään vakiona .

Esimerkki . Toiminnan vuoksi
löytää osittaisia ​​johdannaisia
,
ja laskea niiden arvot pisteessä
.

Funktion osittainen derivaatta
muuttujan mukaan on oletuksena, että se on vakio:

Etsitään funktion osittaisderivaata suhteessa , oletetaan vakiona:

Lasketaan osittaisten derivaattojen arvot klo
,
:

;
.

Toisen asteen osittaiset johdannaiset useiden muuttujien funktioita kutsutaan ensimmäisen asteen osittaisderivaataiksi.

Kirjataan muistiin funktion 2. asteen osittaiset derivaatat:

;
;

;
.

;
jne.

Jos usean muuttujan funktioiden sekajohdannaiset ovat jatkuvia jossain vaiheessa
, sitten he tasavertaisia ​​keskenään tässä tilanteessa. Tämä tarkoittaa, että kahden muuttujan funktiolle sekaosittaisjohdannaisten arvot eivät riipu differentiaatiojärjestyksestä:

.

Esimerkki. Etsi funktiolle toisen asteen osittaiset derivaatat
Ja
.

Ratkaisu

Sekaosittaisderivaata löydetään differentoimalla ensin funktio (olettaen vakiona), sitten derivaatan differentiaatio
by (ottaen huomioon vakion).

Derivaata löydetään erottamalla ensin funktio suhteessa , sitten derivaatta suhteessa .

Sekaosittaisjohdannaiset ovat keskenään yhtä suuret:
.

3. Kahden muuttujan funktion gradientti

Gradientin ominaisuudet

Esimerkki . Annettu funktio
. Etsi gradientti
pisteessä
ja rakentaa se.

Ratkaisu

Etsitään gradientin koordinaatit - osittaiset derivaatat.

Pisteessä
kaltevuus yhtä kuin . Vektorin alku
pisteessä ja loppu kohdassa.

5

4. Kahden muuttujan funktion suurimman ja pienimmän arvon löytäminen suljetulla rajoitetulla alueella

Ongelman muotoilu. Olkoon tasossa suljettu rajattu alue
on annettu muodon epäyhtälöjärjestelmällä
. On löydettävä pisteet alueelta, jossa funktio saa suurimmat ja pienimmät arvot.

Tärkeää on ääripään löytämisen ongelma, jonka matemaattinen malli sisältää lineaarinen rajoitukset (yhtälöt, epäyhtälöt) ja lineaarinen toiminto
.

Ongelman muotoilu. Etsi funktion suurin ja pienin arvo
(2.1)

rajoitusten alla

(2.2)

. (2.3)

Koska monien muuttujien lineaariselle funktiolle ei ole kriittisiä pisteitä sisällä alueilla
, silloin saavutetaan vain optimaalinen ratkaisu, joka tuottaa ääripään tavoitefunktiolle alueen rajalla. Lineaaristen rajoitusten määrittämälle alueelle mahdollisen ääripisteen pisteet ovat kulmapisteet. Tämä antaa meille mahdollisuuden pohtia ratkaisua ongelmaan graafinen menetelmä.

Lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmän graafinen ratkaisu

Tämän ongelman ratkaisemiseksi graafisesti sinun on kyettävä ratkaisemaan graafisesti kahden muuttujan lineaariset epäyhtälöt.

Toimenpide:

Huomaa, että eriarvoisuus
määrittelee oikea koordinaattipuolitaso(akselilta
) ja eriarvoisuutta
- ylempi koordinaattipuolitaso(akselilta
).

Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö graafisesti
.

Kirjoitetaan rajaviivan yhtälö
ja rakentaa se kahden pisteen perusteella, esimerkiksi
Ja
. Suora jakaa tason kahteen puolitasoon.

Pistekoordinaatit
tyydyttää eriarvoisuutta (
– tosi), mikä tarkoittaa, että pisteen sisältävän puolitason kaikkien pisteiden koordinaatit täyttävät epäyhtälön. Ratkaisu epäyhtälöön on rajaviivan oikealla puolella olevien puolitason pisteiden koordinaatit, mukaan lukien rajalla olevat pisteet. Haluttu puolitaso on korostettu kuvassa.

Ratkaisu
kutsutaan epätasa-arvojärjestelmäksi hyväksyttävää, jos sen koordinaatit eivät ole negatiivisia, . Epäyhtälöjärjestelmän toteuttamiskelpoisten ratkaisujen joukko muodostaa alueen, joka sijaitsee koordinaattitason ensimmäisellä neljänneksellä.

Esimerkki. Muodosta epäyhtälisyysjärjestelmän ratkaisualue

Ratkaisut epätasa-arvoon ovat:

1)
- puolitaso, joka sijaitsee vasemmalla ja alapuolella suoran linjan suhteen ( )
;

2)
– puolitaso, joka sijaitsee oikeassa alakulmassa suhteessa suoraan ( )
;

3)
- puolitaso, joka sijaitsee suoran oikealla puolella ( )
;

4) - puolitaso x-akselin yläpuolella, eli suora ( )
.

0

Valikoima toteuttamiskelpoisia ratkaisuja tietyn lineaarisen epäyhtälön järjestelmän on joukko pisteitä, jotka sijaitsevat nelikulmion sisällä ja rajalla
, mikä on Risteys neljä puolilentokonetta.

Lineaarifunktion geometrinen esitys

(tasoviivat ja kaltevuus)

Korjataan arvo
, saamme yhtälön
, joka määrittää geometrisesti suoran. Jokaisessa viivan pisteessä funktio ottaa arvon ja on tasoviiva. Antaminen eri merkityksiä esim

, ... , meillä on paljon tasoviivoja - joukko rinnakkaisia suoraan.

Rakennetaan kaltevuus- vektori
, jonka koordinaatit ovat yhtä suuret kuin funktion muuttujien kertoimien arvot
. Tämä vektori: 1) on kohtisuorassa jokaista suoraa (tasoviivaa) vastaan
; 2) osoittaa tavoitefunktion kasvusuunnan.

Esimerkki . Piirrä tasoviivat ja gradienttifunktiot
.

Tasoviivat , , ovat suoria

,
,

, rinnakkain toistensa kanssa. Gradientti on vektori, joka on kohtisuorassa jokaista tasoviivaa vastaan.

Lineaarifunktion suurimman ja pienimmän arvojen graafinen löytäminen alueelta

Ongelman geometrinen muotoilu. Etsi lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmän ratkaisualueelta piste, jonka läpi tasoviiva kulkee ja joka vastaa kahdella muuttujalla olevan lineaarisen funktion suurinta (pienintä) arvoa.

Jaksotus:

4. Etsi pisteen A koordinaatit ratkaisemalla pisteessä A leikkaavien suorien yhtälöjärjestelmä ja laske funktion pienin arvo
. Vastaavasti - pisteelle B ja funktion suurimmalle arvolle
. rakennettu pisteisiin.muuttujat Yksityinenjohdannaisettoimintoja useita muuttujia ja erottelutekniikka. Extreem toimintojakaksimuuttujia ja se on välttämätöntä...