4.2. Algebralliset ja transsendentaaliset luvut

Reaaliluvut jaetaan joskus myös algebrallisiin ja transsendentaalisiin.

Algebralliset luvut ovat lukuja, jotka ovat algebrallisten polynomien juuria kokonaislukukertoimilla, esimerkiksi 4, . Kaikki muut (ei-algebralliset) luvut ovat transsendenttisia. Koska jokainen rationaaliluku p/q on vastaavan ensimmäisen asteen polynomin juuri, jonka kokonaislukukertoimet qx -p, niin kaikki transsendentaaliset luvut ovat irrationaalisia.

Korostetaan tarkasteltujen (luonnollisten, rationaalisten, todellisten) lukujen ominaispiirteitä: he mallintavat vain yhtä ominaisuutta - määrää; ne ovat yksiulotteisia ja niitä kaikkia edustavat pisteet yhdellä suoralla, jota kutsutaan koordinaattiakseliksi.

5. Monimutkaiset luvut

5.1. Kuvitteellinen luku

Irrationaalisiakin oudompia olivat italialaisen tiedemiehen Cardanon vuonna 1545 löytämät uuden luonteiset numerot. Hän osoitti, että yhtälöjärjestelmällä, jolla ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa, on ratkaisuja muotoa . Sinun tarvitsee vain suostua toimimaan tällaisilla lausekkeilla tavallisen algebran sääntöjen mukaisesti ja olettaa, että · = -.

Cardano kutsui tällaisia ​​määriä "puhtaasti negatiivisiksi" ja jopa "sofistisesti negatiivisiksi", piti niitä hyödyttöminä ja yritti olla käyttämättä niitä.

Näitä lukuja pidettiin pitkään mahdottomina, olemattomina, kuvitteellisina. Descartes kutsui heitä kuvitteellisiksi, Leibniz - "friikiksi ideoiden maailmasta, entiteetiksi, joka sijaitsee olemisen ja ei-olemisen välissä."

Itse asiassa tällaisten lukujen avulla on mahdotonta ilmaista minkään suuren mittauksen tulosta tai minkä tahansa suuren muutosta.

Koordinaattiakselilla ei ollut tilaa kuvitteellisille luvuille. Tiedemiehet kuitenkin huomasivat, että jos otamme todellisen luvun b koordinaattiakselin positiivisella puolella ja kerromme sen, saamme imaginaariluvun b, joka sijaitsee tuntematon missä. Mutta jos kerromme tämän luvun uudelleen, saamme -b, eli alkuperäisen luvun, mutta koordinaattiakselin negatiivisella puolella. Joten heitimme luvun b positiivisesta negatiiviseksi kahdella kertolaskulla, ja tarkalleen tämän heiton keskellä luku oli kuvitteellinen. Näin löysimme paikat imaginaarisille luvuille pisteistä imaginaarisella koordinaattiakselilla, joka on kohtisuorassa todellisen koordinaattiakselin keskelle. Imaginaari- ja reaaliakselin välisen tason pisteet edustavat Cardanon löytämiä lukuja, jotka yleismuodossa a + b·i sisältävät reaaliluvut a ja imaginaarisen b·i yhdessä kompleksissa (koostumuksessa), joten niitä kutsutaan ns. kompleksiluvut.

Tämä oli lukujen yleistyksen neljäs taso.

Imaginaarilukujen operaatiotekniikka kehittyi vähitellen. 1600- ja 1600-lukujen vaihteessa konstruoitiin yleinen teoria n:nnen potenssien juurista ensin negatiivisista ja sitten kaikista kompleksiluvuista seuraavan englantilaisen matemaatikon A. Moivren kaavan perusteella:

Tämän kaavan avulla oli myös mahdollista johtaa kaavoja useiden kaarien kosineille ja sineille.

Leonhard Euler johti merkittävän kaavan vuonna 1748:

joka linkitti eksponentiaalisen funktion trigonometriseen funktioon. Eulerin kaavan avulla oli mahdollista nostaa luku e mihin tahansa kompleksiseen potenssiin. Mielenkiintoista on se, että esim. Voit etsiä kompleksilukujen sin ja cos, laskea tällaisten lukujen logaritmit jne.

Jopa matemaatikot pitivät kompleksilukuja pitkään salaperäisinä ja käyttivät niitä vain matemaattisiin manipulaatioihin. Niinpä sveitsiläinen matemaatikko Bernoulli käytti kompleksilukuja integraalien ratkaisemiseen. Hieman myöhemmin he oppivat ilmaisemaan ratkaisuja lineaarisille differentiaaliyhtälöille vakiokertoimilla käyttämällä imaginaarilukuja. Tällaisia ​​yhtälöitä löytyy esimerkiksi materiaalipisteen värähtelyteoriasta vastustavassa väliaineessa.

Algebralliset matriisiryhmät

Algebralliset sulkemisjärjestelmät

Aloitetaan käsitteestä algebrallinen operaatio. Olkoon A universaali algebra, jossa on joukko algebrallisia operaatioita U. Jokaisella U:n operaatiolla on tietty ariteetti n, nN(0). Minkä tahansa luonnollisen luvun n kohdalla n-kertainen operaatio u on kuvaus An:sta A:hen...

Alkulukujen teho

Keskinäiset alkuluvut ovat luonnollisia tai kokonaislukuja, jotka eivät näytä olevan suurimmat vastineet, jotka ovat suurempia kuin 1, tai muuten näyttävät olevan niiden suurimpia vastineita, jotka ovat suurempia kuin 1. Näin ollen 2 ja 3 -- ovat keskenään yksinkertaisia, ja 2 ja 4 eivät ole kumpaakaan (jaettuna 2:lla)...

Kaaviot ja niiden funktiot

Tarkastellaan perusalgebrallisia operaatioita funktioille ja niiden kuvaajille, kuten yhteen- ja vähennyslasku (y = f(x) ±g(x)), kertolasku (y = f(x) g(x)), jako (y = f( x) / g(x)). Kun muodostat tämän tyyppistä kaaviota, sinun tulee harkita...

Kompleksiluvut: niiden menneisyys ja nykyisyys

Matematiikka keskiajalla

Välttämätön ehto fan cheng -menetelmän soveltamiselle yhtälöjärjestelmiin oli negatiivisten lukujen käyttöönotto. Esimerkiksi, kun ratkaisemme järjestelmän, saamme taulukon. Seuraava vaihe: vähennä oikealta kolmannen sarakkeen elementit ensimmäisen...

Numerologia

Pythagoras ei pitänyt numeroita vain todellisten asioiden abstrakteina korvikkeina, vaan eläviä olentoja, jotka heijastavat avaruuden, energian tai äänen värähtelyn ominaisuuksia. Lukujen päätiede, aritmetiikka...

Numerologia

Legendan mukaan Pythagoras löysi harmoniset luvut, joiden suhteesta syntyy pallojen musiikki. Flammarion kertoo tämän legendan uudelleen seuraavasti: "Sanotaan, että hän kuuli takomosta kulkiessaan vasaran äänen...

Kvadratuurikaavojen käytännön soveltaminen Chebyshev-Hermite-painoilla

Määritetään tasapainofunktio koko akselille. (1.1) Differoimalla tämä funktio peräkkäin, saadaan (1.2) Induktiolla on helppo todistaa, että funktion (1.1) n-kertainen derivaatta on tämän funktion tulo jollain n-asteisella polynomilla...

Otetaan käyttöön uusi virheellinen luku, jonka neliö on -1. Merkitsemme tätä numeroa symbolilla I ja kutsumme sitä imaginaariseksi yksiköksi. Joten, (2.1) Sitten. (2.2) 1. Kompleksiluvun algebrallinen muoto Jos, niin lukua (2.3) kutsutaan kompleksiluvuksi...

Toistuvasti määritellyt numeeriset sekvenssit

Useita ongelmia ratkaistaessa joutuu usein käsittelemään toistuvasti annettuja sekvenssejä, mutta toisin kuin Fibonacci-sekvenssin, sen analyyttistä tehtävää ei aina voida saavuttaa...

Transsendenttiset yhtälöt parametreineen ja niiden ratkaisumenetelmineen

Transsendenttinen yhtälö on yhtälö, joka sisältää tuntemattoman (muuttujan) transsendenttisia funktioita (irrationaalisia, logaritmia, eksponentiaalisia, trigonometrisiä ja käänteistrigonometrisiä), esimerkiksi yhtälön...

Hämmästyttävät numerot

Kauan sitten, kun ihmiset auttoivat itseään laskemaan kivillä, kiinnitettiin huomiota oikeisiin hahmoihin, jotka voidaan tehdä kivistä. Voit yksinkertaisesti laittaa kivet riviin: yksi, kaksi, kolme. Jos laitat ne kahteen riviin suorakulmioiden muodostamiseksi...

Hämmästyttävät numerot

Joskus täydellisiä lukuja pidetään ystävällisten lukujen erikoistapauksena: jokainen täydellinen numero on ystävällinen itselleen. Nikomachus Gerasista, kuuluisa filosofi ja matemaatikko, kirjoitti: "Täydelliset luvut ovat kauniita. Mutta tiedetään...

Yhteiskunnallisten prosessien fraktaaliominaisuudet

Geometriset fraktaalit ovat staattisia lukuja. Tämä lähestymistapa on varsin hyväksyttävä, kunhan ei tarvitse ottaa huomioon sellaisia ​​luonnonilmiöitä kuin putoavat vesivirrat, myrskyisät savupyörteet...

Transsendenttinen luku

luku (tosi tai kuvitteellinen), joka ei täytä mitään algebrallista yhtälöä (katso Algebrallinen yhtälö) kokonaislukukertoimilla. Siten lukuluvut erotetaan algebrallisista numeroista (katso Algebrallinen luku). T. ch:n olemassaolon totesi ensimmäisenä J. Liouville (1844). Liouvillen lähtökohta oli hänen lauseensa, jonka mukaan rationaalisen murtoluvun, jolla on tietyn nimittäjä, approksimaatiojärjestys tiettyyn irrationaaliseen algebralliseen lukuun ei voi olla mielivaltaisen korkea. Nimittäin jos algebrallinen luku A täyttää redusoitumattoman algebrallisen asteyhtälön n kokonaislukukertoimilla, niin mille tahansa rationaaliluvulle c riippuu vain α ). Siksi, jos tietylle irrationaaliluvulle α voidaan määrittää ääretön joukko rationaalisia approksimaatioita, jotka eivät täytä annettua epäyhtälöä millekään Kanssa Ja n(sama kaikille likiarvoille), sitten α on T. h. Esimerkki tällaisesta numerosta antaa:

Toisen todisteen numeroiden olemassaolosta antoi G. Cantor (1874) huomauttaen, että kaikkien algebrallisten lukujen joukko on laskettavissa (eli kaikki algebralliset luvut voidaan numeroida uudelleen; katso Joukkoteoria), kun taas kaikkien reaalilukujen joukko on lukematon. Tästä seurasi, että lukujoukko on laskematon, ja lisäksi luvut muodostavat suurimman osan kaikista numeroista.

Absoluuttisten lukujen teorian tärkein tehtävä on määrittää, ovatko analyyttisten funktioiden arvot, joilla on tietyt aritmeettiset ja analyyttiset ominaisuudet argumentin algebrallisille arvoille, todellisia lukuja. Tämän tyyppiset ongelmat ovat modernin matematiikan vaikeimpia ongelmia. Vuonna 1873 C. Hermite osoitti, että Nepero-numero

Vuonna 1882 saksalainen matemaatikko F. Lindemann sai yleisemmän tuloksen: jos α on algebrallinen luku, niin eα - T.h. Lipdemannin tuloksen yleisti merkittävästi saksalainen matemaatikko K. Siegel (1930), joka osoitti esimerkiksi laajan sylinterifunktioluokan arvon ylittämisen argumentin algebrallisille arvoille. Vuonna 1900 Pariisissa pidetyssä matematiikan kongressissa D. Hilbert toi esiin 23 ratkaisemattoman matematiikan ongelman joukossa seuraavan: on transsendenttinen luku α β , Missä α Ja β - algebralliset luvut ja β - irrationaalinen luku, ja erityisesti, onko luku e π transsendenttinen (muodon lukujen ylityksen ongelma α β L. Euler, 1744, esitti ensimmäisen kerran yksityisessä muodossa. Täydellisen ratkaisun tähän ongelmaan (myönteisessä mielessä) sai vasta vuonna 1934 A. O. Gelfond u. Erityisesti Gelfondin löydöstä seuraa, että kaikki luonnollisten lukujen desimaalilogaritmit (eli "taulukkologaritmit") ovat kokonaislukuja. Lukuteorian menetelmiä sovelletaan useisiin kokonaislukujen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Lit.: Gelfond A. O., Transsendentaaliset ja algebralliset luvut, M., 1952.

Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. 1969-1978 .

Katso, mitä "transsendenttinen numero" on muissa sanakirjoissa:

Luku, joka ei täytä mitään algebrallista yhtälöä kokonaislukukertoimilla. Transsendenttiset numerot ovat: numero??3.14159...; minkä tahansa kokonaisluvun desimaalilogaritmi, jota ei edusta ykkösiä ja nollia; numero e=2.71828... ja muita... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

- (latinan sanasta transcendere ohittaa, ylittää) on reaali- tai kompleksiluku, joka ei ole algebrallinen, toisin sanoen luku, joka ei voi olla kokonaislukukertoimien polynomin juuri. Sisältö 1 Ominaisuudet 2 ... ... Wikipedia

Luku, joka ei täytä mitään algebrallista yhtälöä kokonaislukukertoimilla. Transsendentaaliset luvut ovat: luku π = 3,14159...; minkä tahansa kokonaisluvun desimaalilogaritmi, jota ei edusta ykkösiä ja nollia; numero e = 2,71828... jne... tietosanakirja

Luku, joka ei täytä mitään algebraa. yhtälö kokonaislukukertoimilla. Sisältää: numero PI = 3,14159...; minkä tahansa kokonaisluvun desimaalilogaritmi, jota ei edusta ykkösiä ja nollia; numero e = 2,71828... jne... Luonnontiede. tietosanakirja

Luku, joka ei ole minkään kokonaislukukertoimien polynomin juuri. Tällaisten lukujen määrittelyalue on todellisten, kompleksisten ja radikaalilukujen nollat. Reaaliosien olemassaolo ja eksplisiittiset rakenteet perusteli J. Liouville... ... Matemaattinen tietosanakirja

Yhtälö, joka ei ole algebrallinen. Tyypillisesti nämä ovat yhtälöitä, jotka sisältävät eksponentiaalisia, logaritmisia, trigonometrisiä, käänteisiä trigonometrisia funktioita, esimerkiksi: Tiukempi määritelmä on: Transsendenttinen yhtälö on yhtälö ... Wikipedia

Luku, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin 2,718, joka löytyy usein matematiikasta ja luonnontieteistä. Esimerkiksi kun radioaktiivinen aine hajoaa ajan t jälkeen, aineen alkumäärästä jää jäljelle e kt:n suuruinen murto-osa, jossa k on luku,... ... Collier's Encyclopedia

E on matemaattinen vakio, luonnollisen logaritmin kanta, irrationaalinen ja transsendentaalinen luku. Joskus lukua e kutsutaan Euler-luvuksi (jota ei pidä sekoittaa ns. ensimmäisen tyypin Euler-lukuihin) tai Napier-luvuksi. Merkitään pienellä latinalaisella kirjaimella "e".... ... Wikipedia

E on matemaattinen vakio, luonnollisen logaritmin kanta, irrationaalinen ja transsendentaalinen luku. Joskus lukua e kutsutaan Euler-luvuksi (jota ei pidä sekoittaa ns. ensimmäisen tyypin Euler-lukuihin) tai Napier-luvuksi. Merkitään pienellä latinalaisella kirjaimella "e".... ... Wikipedia

Oikealla rivillä on algebrallisten lukujen lisäksi vielä yksi joukko, jonka teho on sama kuin koko rivin potenssi - tämä on transsendenttisten lukujen joukko.

Määritelmä 6 : Kutsutaan lukua, joka ei ole algebrallinen transsendenttinen, eli transsendentaalinen luku (lat. transcendere - ylittää, ylittää) on reaali- tai kompleksiluku, joka ei voi olla polynomin juuri (ei ole identtisesti yhtä suuri kuin nolla) rationaalisilla kertoimilla

Transsendenttisten lukujen ominaisuudet:

· Transsendenttisten lukujen joukko on jatkuva.

· Jokainen transsendentaalinen reaaliluku on irrationaalinen, mutta päinvastoin ei ole totta. Esimerkiksi luku on irrationaalinen, mutta ei transsendentaalinen: se on polynomin juuri (ja siksi algebrallinen).

· Todellisten transsendentaalilukujen joukon järjestys on isomorfinen irrationaalisten lukujen joukon järjestyksen kanssa.

· Melkein minkä tahansa transsendentaalisen luvun irrationaalisuuden mitta on 2.

Liouville todisti ensimmäisenä transsendenttisten lukujen olemassaolon. Lauvillen todiste transsendenttisten lukujen olemassaolosta on tehokas; Seuraavan lauseen perusteella, joka on suora seuraus lauseesta 5, rakennetaan erityisiä esimerkkejä transsendentaalisista luvuista.

Lause 6 [3, s. 54].: Antaa - oikea numero. Jos yhtään luonnollista n 1 ja mikä tahansa todellinen c>0 on ainakin yksi sellainen rationaalinen murtoluku, että (11), niin - transsendenttinen luku.

Todiste: Jos oli algebrallinen, silloin olisi (Lause 5) positiivinen kokonaisluku n ja todellinen c>0 niin, että se olisi mille tahansa murtoluvulle, ja tämä on ristiriidassa sen kanssa, mikä on totta (11). Oletus on, että algebrallinen luku, ts. transsendenttinen luku. Lause on todistettu.

Numerot, joille tahansa n 1 ja c>0 epäyhtälöllä (11) on ratkaisu kokonaislukuina a Ja b niitä kutsutaan transsendentaalisiksi Liouville-luvuiksi.

Meillä on nyt keino rakentaa reaalilukuja, jotka eivät ole algebrallisia. On tarpeen rakentaa luku, joka sallii mielivaltaisen korkean kertaluvun approksimaatiot.

Esimerkki:

a- transsendenttinen luku.

Otetaan mielivaltainen todellinen n 1 ja c>0. Anna missä k valittu niin suureksi, että kn, Sitten

Koska mielivaltaisesti n 1 ja c>0 voit löytää sellaisen murtoluvun, joka on sitten transsendentaalinen luku.

Asetetaan luku äärettömän desimaaliluvun muodossa: missä

Sitten minne tahansa, . Näin ollen, ja tämä tarkoittaa, että se sallii mielivaltaisen korkean tason approksimaatiot, eikä siksi voi olla algebrallinen.

Vuonna 1873 C. Hermite osoitti luvun ylittävyyden e, luonnollisten logaritmien kantapäät.

Todistaa luvun ylittäminen e kaksi lemmaa vaaditaan.

Lemma 1. Jos g(x) on polynomi, jolla on kokonaislukukertoimet, sitten millä tahansa kN kaikki sen kertoimet k- oh johdannainen g (k) (x) on jaettu k!.

Todiste. Operaattorista lähtien d/dx lineaarinen, niin lemman lauseen tarkistaminen riittää vain muodon polynomeille g(x)=x s, s 0.

Jos k>s, Tuo g (k) (x)= 0 ja k!|0.

Jos k< s , Tuo

binomikerroin on kokonaisluku ja g(k) ( x) on jälleen jaettu k! täysin.

Lemma 2 (Eremiitti-identiteetti). Antaa f(x) - mielivaltainen asteen polynomi k todellisilla kertoimilla,

F( x)=f(x)+f" (x)+f"(x)+ … +f (k) (x) on kaikkien sen johdannaisten summa. Sitten mihin tahansa todelliseen (ja jopa monimutkaiseen, mutta emme tarvitse tätä nyt) x tehty:

Todiste. Integroidaan osittain:

Integroimme integraalin uudelleen osittain ja niin edelleen. Toistamalla tämä toimenpide k+1 kerran, saamme:

Lause 7 (Hermite, 1873). Määrä e transsendenttinen.

Todiste. Todistakaamme tämä väite ristiriitaisesti. Oletetaan, että e - algebrallinen luku, potenssit m. Sitten

a m e m + … +a 1 e+a 0 =0

joillekin luonnollisille m ja osa kokonaisia a m ,… a 1 , a 0 . Korvataanpa sen sijaan Eremiitti-identiteettiin (12). X kokonaisluku k joka ottaa arvot 0:sta m; kerrotaan jokainen yhtäläisyys

sen mukaisesti a k ja lisää ne sitten yhteen. Saamme:

Koska (tämä on päinvastainen oletuksemme), käy ilmi, että millä tahansa polynomilla f(x) tasa-arvon on täytyttävä:

Sopivalla polynomin valinnalla f(x) voit tehdä kohdan (13) vasemmasta puolesta nollasta poikkeavan kokonaisluvun, ja oikea puoli on nollan ja yhden välillä.

Harkitse polynomia missä n päätetään myöhemmin ( nN, Ja n iso).

Luku 0 on kertolaskujen juuri n-1 polynomi f(x), numerot 1, 2,…, m- moninaisuuden juuret n, siis:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0) = (-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Harkitse g( x)=x n-1 (x-1) n (x-2) n … (x-m) n - polynomi, joka on samanlainen kuin f(x), mutta kokonaislukukertoimilla. Lemmalla 1 kertoimet g ( l) (x) - jaolliset kokonaisluvut l!, siis milloin l< n , johdannainen g ( l) (x) kaikki kertoimet ovat jaollisia kokonaislukuja n, koska g ( l) (x) saadaan g:stä (l) ( x) jakamalla vain ( n-1)!. Siksi

Missä A- sopiva kokonaisluku ja summamerkin yläpuolella on numero ( m+1) n-1 - polynomin aste f(x) ja vaikka on mahdollista summata äärettömään, nollasta poikkeavat derivaatat f(x) juuri sen verran.

Samoin

Missä B k- sopivat kokonaisluvut, k = 1, 2,…, m.

Anna sen nyt nN - mikä tahansa kokonaisluku, joka täyttää seuraavat ehdot:

Harkitse tasa-arvoa (13) uudelleen:

Vasemmalla olevassa summassa kaikki termit ovat kokonaislukuja ja a k F(k) klo k = 1, 2,…, m jaettuna n, A a 0 F(0) päällä n ei jaa. Tämä tarkoittaa, että koko summa, joka on kokonaisluku, on n ei jaettavissa, ts. ei ole nolla. Siten,

Arvioikaamme nyt tasa-arvon (13) oikea puoli. On selvää, että segmentillä ja siten tällä segmentillä

missä ovat vakiot C 0 ja C 1 eivät ole riippuvaisia n. On tiedossa, että

siis riittävän suurille n, (13) oikea puoli on pienempi kuin yksi ja yhtäläisyys (13) on mahdoton.

Lindemann osoitti vuonna 1882 lauseen luvun potenssien ylityksestä e nollasta poikkeavan algebrallisen eksponentin kanssa, mikä todistaa luvun ylityksen.

Lause 8 (Lindeman) [3, sivu 58]. Jos on algebrallinen luku ja, niin luku on transsendentaalinen.

Lindemannin lause antaa meille mahdollisuuden rakentaa transsendentaalilukuja.

Esimerkkejä:

Lindemannin lauseesta seuraa esimerkiksi, että luku ln 2 - transsendenttinen, koska 2=e 2, ja numero 2 on algebrallinen ja jos luku ln 2 oli algebrallinen, sitten lemman mukaan luku 2 oli transsendenttinen luku.

Yleensä mille tahansa algebralle, ln Lindemannin lauseen mukaan on transsendenttinen. Jos transsendenttinen, niin ln ei välttämättä esimerkiksi transsendenttinen luku e =1

Osoittautuu, että lukiossa näimme paljon transsendenttisia lukuja - ln 2,ln 3,ln() ja niin edelleen.

Huomaa myös, että transsendentaaliset luvut ovat minkä tahansa nollasta poikkeavan algebrallisen luvun muotoisia lukuja (Lindemann-Weierstrassin lauseen mukaan, joka on Lindemann-lauseen yleistys). Esimerkiksi numerot ovat transsendenttisia.

Jos transsendenttisia, niin ei välttämättä transsendenttisia numeroita, esimerkiksi

Lindemannin lauseen todistaminen voidaan tehdä käyttämällä Hermiten identiteettiä, samalla tavalla kuin transsendenssi todistettiin, mutta muunnoksissa on joitain komplikaatioita. Juuri näin Lindemann itse todisti sen. Mutta tämä lause voidaan todistaa toisella tavalla, kuten sen teki Neuvostoliiton matemaatikko A.O. Gelfond, jonka ideat johtivat 1900-luvun puolivälissä Hilbertin seitsemännen ongelman ratkaisuun.

Vuonna 1900 II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Hilbert muotoili muotoilemiensa ongelmien joukossa seitsemännen ongelman: "Jos, onko totta, että luvut, joiden muoto on - algebrallinen ja - irrationaalinen, ovat transsendenttisia lukuja?" . Tämän ongelman ratkaisi vuonna 1934 Gelfond, joka osoitti, että kaikki tällaiset luvut ovat todellakin transsendenttisia.

Gelfondin ehdottama todiste eksponentiaalisen funktion arvojen ylittävyydestä perustuu interpolointimenetelmien käyttöön.

Esimerkkejä:

1) Gelfondin lauseen perusteella voidaan esimerkiksi todistaa, että luku on transsendentaalinen, koska jos se olisi algebrallinen irrationaalinen, niin koska Gelfondin lauseen takana oleva luku 19 olisi transsendentaalinen, mikä ei pidä paikkaansa.

2) Anna a Ja b- irrationaaliset luvut. Voiko numero a b olla järkevä?

Hilbertin seitsemättä tehtävää käyttämällä tätä ongelmaa ei tietenkään ole vaikea ratkaista. Itse asiassa luku on transsendenttinen (koska se on algebrallinen irrationaalinen luku). Mutta kaikki rationaaliset luvut ovat algebrallisia, joten irrationaalisia. Toisella puolella,

Joten esitimme yksinkertaisesti nämä luvut: Tämä ongelma voidaan kuitenkin ratkaista ilman viittausta Gelfondin tulokseen. Voit perustella seuraavasti: harkitse numeroa. Jos tämä luku on rationaalinen, ongelma on ratkaistu, esim a Ja b löytyi. Jos se on irrationaalista, otamme ja.

Esitimme siis kaksi numeroparia a Ja b, niin että yksi näistä pareista täyttää esitetyn ehdon, mutta hän ei tiedä kumpi. Mutta sellaista paria ei tarvinnut esittää! Tämä ratkaisu on siis tietyssä mielessä olemassaolon lause.

joka, kun a = 1, auttoi meitä määrittämään geometrisen progression summan. Jos Gaussin lause on todistettu, oletetaan, että a = a 1 on yhtälön (17) juuri, joten

	) = a n + a		a n-1			a n-2		a 1 + a

Vähentämällä tämä lauseke f(x):stä ja järjestämällä termit uudelleen, saadaan identiteetti

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1 ).

(21) Käyttämällä nyt kaavaa (20), voimme eristää tekijän x − a 1 kustakin termistä ja ottaa sen sitten pois suluista, jolloin suluissa olevan polynomin asteesta tulee yksi pienempi. Ryhmittelemällä termit uudelleen, saamme identiteetin

f(x) = (x − a1 )g(x),

missä g(x) on polynomi, jonka aste on n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Emme ole kiinnostuneita laskemaan tässä b:llä merkittyjä kertoimia.) Sovelletaan edelleen samaa päättelyä polynomiin g(x). Gaussin lauseen mukaan yhtälöllä g(x) = 0 on juuri a2, joten

g(x) = (x − a2 )h(x),

missä h(x) on uusi polynomi, jonka aste on jo n − 2. Toistamalla nämä argumentit n − 1 kertaa (jolloin tietysti käytetään matemaattisen induktion periaatetta), päästään lopulta laajennukseen

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ).

Identiteetistä (22) ei seuraa vain sitä, että kompleksiluvut a1, a2,

An ovat yhtälön (17) juuret, mutta myös sillä yhtälöllä (17) ei ole muita juuria. Todellakin, jos luku y olisi yhtälön (17) juuri, niin (22):sta se seuraisi

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Mutta olemme nähneet (s. 115), että kompleksilukujen tulo on nolla silloin ja vain, jos yksi tekijöistä on nolla. Joten yksi tekijöistä y − ar on yhtä suuri kuin 0, eli y = ar, mikä oli määritettävä.

§ 6.

1. Olemassaolon määritelmä ja kysymykset. Algebrallinen luku on mikä tahansa luku x, todellinen tai imaginaari, joka täyttää jonkin muodon algebrallisen yhtälön

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6 = 0),

130 MATEMAATTINEN NUMEROJÄRJESTELMÄ Ch. II

jossa luvut ai ovat kokonaislukuja. Joten esimerkiksi luku 2 on algebrallinen, koska se täyttää yhtälön

x2 − 2 = 0.

Samalla tavalla algebrallinen luku on mikä tahansa juuri mistä tahansa yhtälöstä, jolla on kolmannen, neljännen, viidennen kokonaislukukertoimet, riippumatta siitä, onko se ilmaistu radikaaleilla vai ei. Algebrallisen luvun käsite on luonnollinen yleistys rationaaliluvun käsitteestä, joka vastaa erikoistapausta n = 1.

Kaikki reaaliluvut eivät ole algebrallisia. Tämä seuraa seuraavasta Cantorin esittämästä lauseesta: kaikkien algebrallisten lukujen joukko on laskettavissa. Koska kaikkien reaalilukujen joukko on laskematon, täytyy välttämättä olla reaalilukuja, jotka eivät ole algebrallisia.

Osoittakaamme yksi menetelmistä algebrallisten lukujen joukon uudelleenlaskemiseksi. Jokainen muodon (1) yhtälö liittyy positiiviseen kokonaislukuun

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n,

jota kutsumme lyhyyden vuoksi yhtälön "korkeudeksi". Jokaiselle n:n kiinteälle arvolle on olemassa vain äärellinen määrä muotoa (1) olevia yhtälöitä, joiden korkeus on h. Jokaisella näistä yhtälöistä on enintään n juurta. Siksi korkeush-yhtälöiden luomia algebrallisia lukuja voi olla vain äärellinen määrä; Näin ollen kaikki algebralliset luvut voidaan järjestää sekvenssin muotoon, jossa luetellaan ensin korkeuden 1 yhtälöillä generoidut, sitten korkeuden 2 yhtälöt jne.

Tämä todiste siitä, että algebrallisten lukujen joukko on laskettavissa, vahvistaa sellaisten reaalilukujen olemassaolon, jotka eivät ole algebrallisia. Tällaisia ​​​​lukuja kutsutaan transsendenttisiksi (latinan kielestä transcendere - ohittaa, ylittää); Euler antoi heille tämän nimen, koska he "ylittävät algebrallisten menetelmien tehon".

Cantorin todiste transsendenttisten lukujen olemassaolosta ei ole rakentava. Teoreettisesti katsottuna olisi mahdollista rakentaa transsendentaalinen luku käyttämällä diagonaalimenettelyä, joka suoritetaan kuvitteellisella listalla kaikkien algebrallisten lukujen desimaalilaajennuksista; mutta tällainen menettely on vailla käytännön merkitystä, eikä se johtaisi numeroon, jonka laajennus desimaaliluvuksi (tai joksikin muuksi) murtoluvuksi voitaisiin todella kirjoittaa. Mielenkiintoisimpia transsendenttisiin lukuihin liittyviä ongelmia on sen todistaminen, että tietyt tietyt luvut (mukaan lukien luvut p ja e, joista ks. s. 319–322) ovat transsendenttisia.

ALGEBRAISET JA TRANSENENTAALISET NUMEROT

**2. Liouvillen lause ja transsendenttisten lukujen rakentaminen. Todisteen transsendenttisten lukujen olemassaolosta jo ennen Cantoria antoi J. Liouville (1809–1862). Sen avulla on mahdollista rakentaa esimerkkejä tällaisista numeroista. Liouvillen todiste on vaikeampi kuin Cantorin, eikä tämä ole yllättävää, sillä esimerkin rakentaminen on yleisesti ottaen vaikeampaa kuin olemassaolon todistaminen. Esitellessämme Liouvillen todistusta alla, tarkoitamme vain valmistautunutta lukijaa, vaikka alkeismatematiikan tietämys riittää täysin todistuksen ymmärtämiseen.

Kuten Liouville havaitsi, irrationaalisilla algebrallisilla luvuilla on se ominaisuus, että niitä ei voida approksimoida rationaalisilla luvuilla erittäin suurella tarkkuudella, ellei approksimoivien murtolukujen nimittäjiä oteta erittäin suuriksi.

Oletetaan, että luku z täyttää algebrallisen yhtälön kokonaislukukertoimilla

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +. . . + an xn = 0 (an 6 = 0),

mutta ei täytä samaa alemman asteen yhtälöä. Sitten

he sanovat, että x itse on n-asteen algebrallinen luku. Esimerkiksi,

luku z = 2 on asteen 2 algebrallinen luku, koska se täyttää asteen 2 yhtälön x2 − 2 = 0√, mutta ei täytä ensimmäisen asteen yhtälöä; luku z = 3 2 on astetta 3, koska se täyttää yhtälön x3 − 2 = 0, mutta ei täytä (kuten näytämme luvussa III) alemman asteen yhtälöä. Asteen algebrallinen luku n > 1

ei voi olla rationaalinen, koska rationaalinen luku z = p q tyydyttää

täyttää yhtälön qx − p = 0 asteen 1. Jokainen irrationaalinen luku z voidaan approksimoida millä tahansa tarkkuudella käyttämällä rationaalilukua; tämä tarkoittaa, että voit aina määrittää rationaalilukujen sarjan

p 1 , s 2 , . . .

q 1 q 2

rajattomasti kasvavilla nimittäjillä, jolla on omansa

että

p r → z. qr

Liouvillen lause sanoo: mikä tahansa algebrallinen luku z asteella n > 1, sitä ei voida approksimoida rationalisoinnilla.

Riittävän suurilla nimittäjillä epäyhtälö pätee välttämättä

z − p q			> q n1 +1 .

MATEMAATTINEN NUMEROJÄRJESTELMÄ

Aiomme todistaa tämän lauseen, mutta ensin näytämme kuinka sitä voidaan käyttää transsendenttisten lukujen rakentamiseen. Harkitse numeroa

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . . + am · 10−m! + . . . = = 0.a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

jossa ai tarkoittaa mielivaltaisia ​​lukuja väliltä 1 - 9 (helpein tapa olisi asettaa kaikki ai:t 1:ksi), ja symboli n!, kuten tavallista (katso sivu 36), tarkoittaa 1 · 2 · . . . · n. Tällaisen luvun desimaalilaajennukselle ominaista ominaisuus on, että siinä vuorottelevat nopeasti pituudeltaan kasvavat nollaryhmät yksittäisten muiden kuin nollan numeroiden kanssa. Merkitään zm lopullinen desimaalimurto, joka saadaan, kun laajennuksessa otetaan kaikki termit am · 10−m asti! mukaan lukien. Sitten saamme epätasa-arvon

Oletetaan, että z on n-asteen algebrallinen luku. Sitten oletetaan Liouvillen epäyhtälössä (3) p q = zm = 10 p m! , meillä täytyy olla

|z − zm | > 10 (n+1)m!

riittävän suurille m:n arvoille. Vertaamalla viimeistä epäyhtälöä epäyhtälöön (4) saadaan

10 (n+1)m!		10 (m+1)!			10 (m+1)!-1

mikä tarkoittaa (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 riittävän suurille m. Mutta tämä ei pidä paikkaansa m-arvoille, jotka ovat suurempia kuin n (lukija vaivautukoon todistamaan tämä väite). Olemme tulleet ristiriitaan. Luku z on siis transsendentaalinen.

On vielä todistettava Liouvillen lause. Oletetaan, että z on algebrallinen luku, jonka aste on n > 1, joka täyttää yhtälön (1), joten

f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + . . . + an (zm n − zn ).

Jakamalla molemmat puolet zm − z:llä ja käyttämällä algebrallista kaavaa

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

saamme:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm2 + zm z + z2) +. . .
	zm − z
		An (zm n−1 + . . + zn−1 ). (6)

ALGEBRAISET JA TRANSENENTAALISET NUMEROT

Koska zm pyrkii z:hen, niin riittävän suurella m:llä rationaaliluku zm eroaa z:stä vähemmän kuin yhden. Siksi riittävän suurelle m:lle voidaan tehdä seuraava karkea arvio:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

Lisäksi oikealla oleva luku M on vakio, koska z ei muutu todistuksen aikana. Valitaan nyt m niin suuri, että

murto-osalla z m = p m on nimittäjä q m oli suurempi kuin M; Sitten qm

|z − zm | >	|f(zm)|			|f(zm)|

|f(zm)| =							−q n
							1 p + . . . + a
Rationaalinen luku zm =			ei voi olla yhtälön juuri

koska silloin olisi mahdollista eristää tekijä (x − zm) polynomista f(x), ja siksi z täyttäisi yhtälön, jonka aste on pienempi kuin n. Eli f(zm) 6= 0. Mutta yhtälön (9) oikealla puolella oleva osoittaja on kokonaisluku, ja siksi se on absoluuttisina arvoina vähintään yksi. Siten suhteiden (8) ja (9) vertailusta seuraa, että

|z − zm | >
					qn+1

täsmälleen esitetyn lauseen sisältö.

Muutaman viime vuosikymmenen aikana tutkimus mahdollisuudesta approksimoida algebrallisia lukuja rationaalisilla luvuilla on edennyt paljon pidemmälle. Esimerkiksi norjalainen matemaatikko A. Thue (1863–1922) havaitsi, että Liouvillen epäyhtälössä (3) eksponentti n + 1 voidaan korvata pienemmällä eksponentilla n 2 + 1.

K. L. Siegel osoitti, että on mahdollista ottaa vielä pienempi (jopa pienempi

suuremmille n) indikaattori on 2 n.

Transsendenttiset luvut ovat aina olleet aihe, joka on herättänyt matemaatikoiden huomion. Mutta vielä suhteellisen äskettäin sinänsä kiinnostavien lukujen joukossa tiedettiin vain harvat, joiden transsendenttinen luonne oli vahvistettu. (Luvun p ylityksestä, jota käsitellään luvussa III, seuraa, että ympyrän kvadratuuria on mahdotonta käyttää viivaimella ja kompassilla.) David Hilbert ehdotti puheessaan Pariisin kansainvälisessä matematiikan kongressissa vuonna 1900. kolmekymmentä matemaattista

ALGEBRA JOUKKOISTA

ongelmia, jotka mahdollistivat yksinkertaisen muotoilun, jotkut jopa varsin alkeellisia ja suosittuja, joista ainuttakaan ei vain ratkaistu, vaan ne eivät edes näyttäneet olevan ratkaistavissa tuon aikakauden matematiikan keinoin. Näillä "Hilbert-ongelmilla" oli voimakas stimuloiva vaikutus koko matematiikan kehityskauden ajan. Lähes kaikki ne ratkesivat vähitellen, ja monissa tapauksissa niiden ratkaisuun liittyi selkeästi ilmaistuja onnistumisia yleisempien ja syvempien menetelmien kehittämisessä. Yksi melko toivottomalta vaikuttaneista ongelmista oli

todiste siitä, että numero

on transsendenttinen (tai ainakin irrationaalinen). Kolmeen vuosikymmeneen ei ollut edes aavistustakaan sellaisesta lähestymistavasta asiaan kenenkään puolelta, joka avaisi toivoa onnistumisesta. Lopulta Siegel ja hänestä riippumattomasti nuori venäläinen matemaatikko A. Gelfond löysivät uusia menetelmiä monien transsendenssien todistamiseksi.

numerot, joilla on merkitystä matematiikassa. Erityisesti se perustettiin

ei vain Hilbert-luvun 2 2, vaan myös koko melko laajan ab-muodon lukuluokan ylittyminen, jossa a on 0:sta ja 1:stä erilainen algebrallinen luku ja b on irrationaalinen algebrallinen luku.

LISÄYS II LUKUUN

Joukkojen algebra

1. Yleinen teoria. Luokan, kokoelman tai objektijoukon käsite on yksi matematiikan perustavanlaatuisimmista. Joukon määrittelee jokin ominaisuus ("attribuutti") A, joka jokaisella objektilla täytyy olla tai ei; ne objektit, joilla on ominaisuus A, muodostavat joukon A. Jos siis tarkastellaan kokonaislukuja ja A:n ominaisuus on "alkuluku", niin vastaava joukko A koostuu kaikista alkuluvuista 2, 3, 5, 7, . . .

Matemaattinen joukkoteoria lähtee siitä, että joukoista voidaan muodostaa uusia joukkoja tietyillä operaatioilla (kuten luvuista saadaan uusia lukuja yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden kautta). Joukkojen operaatioiden tutkiminen muodostaa aiheen "joukkoalgebralle", jolla on paljon yhteistä tavallisen numeerisen algebran kanssa, vaikka se jollain tapaa eroaakin siitä. Se tosiasia, että algebrallisia menetelmiä voidaan soveltaa ei-numeeristen objektien, kuten joukkojen, tutkimukseen, havainnollistaa

ALGEBRA JOUKKOISTA

luo nykyaikaisen matematiikan ideoiden suuremman yhteisyyden. Viime aikoina on käynyt selväksi, että joukkoalgebra tuo uutta valoa monille matematiikan alueille, esimerkiksi mittateoriaan ja todennäköisyysteoriaan; se on hyödyllinen myös matemaattisten käsitteiden systematisoinnissa ja niiden loogisten yhteyksien selvittämisessä.

Seuraavassa osoitan tiettyä jatkuvaa objektijoukkoa, jonka luonne on välinpitämätön ja jota voimme kutsua universaaliksi joukoksi (tai päättelyn universumiksi) ja

A, B, C, . . . tulee olemaan joitain I:n osajoukkoja. Jos I on kaikkien luonnollisten lukujen joukko, niin esimerkiksi A voi merkitä kaikkien parillisten lukujen joukkoa, B kaikkien parittomien lukujen joukkoa, C kaikkien alkulukujen joukkoa jne. Jos I merkitsee joukkoa kaikkia tason pisteitä, niin A voi olla joukko pisteitä jonkin ympyrän sisällä, B voi olla joukko pisteitä toisen ympyrän sisällä jne. Meidän on kätevää sisällyttää I itse sekä " tyhjä” joukko, joka ei sisällä mitään elementtejä. Tällaisen keinotekoisen laajennuksen tavoitteena on säilyttää asema, että jokaiselle ominaisuudelle A vastaa tietty joukko I:stä peräisin olevia elementtejä, joilla on tämä ominaisuus. Jos A on universaalisti pätevä ominaisuus, jonka esimerkki (lukujen tapauksessa) on triviaaliyhtälön x = x toteutumisominaisuus, niin I:n vastaava osajoukko on itse I, koska jokaisella elementillä on sellainen ominaisuus; toisaalta, jos A on jonkinlainen sisäisesti ristiriitainen ominaisuus (kuten x 6 = x), niin vastaava osajoukko ei sisällä lainkaan elementtejä, se on "tyhjä" ja sitä merkitään symbolilla.

He sanovat, että joukko A on joukon B osajoukko, lyhyesti sanottuna "A on B:ssä" tai "B sisältää A", jos joukossa A ei ole elementtiä, joka ei ole myös joukossa B. suhde vastaa merkintää

A B tai B A.

Esimerkiksi kaikkien 10:llä jaollisten kokonaislukujen joukko A on kaikkien 5:llä jaollisten kokonaislukujen joukon B osajoukko, koska jokainen 10:llä jaollinen luku on myös jaollinen 5:llä. Relaatio A B ei sulje pois relaatiota B A. Jos niin tämä ja tuo

Tämä tarkoittaa, että jokainen A:n alkio on myös B:n alkio ja päinvastoin, joten joukot A ja B sisältävät täsmälleen samat alkiot.

Joukkojen välinen relaatio A B muistuttaa monessa suhteessa lukujen välistä relaatiota a 6 b. Erityisesti kiinnitämme huomiota seuraavaan

ALGEBRA JOUKKOISTA

seuraavat tämän suhteen ominaisuudet:

1) A A.

2) Jos A B ja B A, niin A = B.

3) Jos A B ja B C, niin A C.

Tästä syystä A B -relaatiota kutsutaan joskus "järjestyssuhteeksi". Suurin ero tarkasteltavan suhteen ja lukujen välisen suhteen a 6 b välillä on se, että minkä tahansa kahden annetun (todellisen) luvun a ja b välillä vähintään yksi relaatioista a 6 b tai b 6 a täyttyy, kun taas relaatiolle A B joukkojen välillä samanlainen väite on epätosi. Esimerkiksi, jos A on joukko, joka koostuu luvuista 1, 2, 3,

ja B on joukko, joka koostuu luvuista 2, 3, 4,

silloin ei päde relaatio A B eikä relaatio B A. Tästä syystä he sanovat, että osajoukot A, B, C, . . . joukot I ovat "osittain järjestettyjä", kun taas reaaliluvut a, b, c, . . .

muodostavat "täysin tilatun" sarjan.

Huomaa muuten, että suhteen A B määritelmästä seuraa, että riippumatta joukon I osajoukosta A,

Ominaisuus 4) saattaa tuntua jokseenkin paradoksaaliselta, mutta jos sitä ajattelee, se vastaa loogisesti tiukasti merkin määritelmän tarkkaa merkitystä. Itse asiassa suhde A vain rikottaisiin

V jos tyhjä joukko sisälsi elementin, joka ei sisältyisi A:een; mutta koska tyhjä joukko ei sisällä lainkaan alkioita, tämä ei voi olla, olipa A mikä tahansa.

Määrittelemme nyt kaksi operaatiota joukoille, joilla on muodollisesti monia algebrallisia lukujen yhteen- ja kertolaskuominaisuuksia, vaikka ne ovatkin sisäiseltä sisällöltään täysin erilaisia ​​kuin nämä aritmeettiset operaatiot. Olkoot A ja B kaksi joukkoa. A:n ja B:n liitolla eli "loogisella summalla" tarkoitetaan joukkoa, joka koostuu joko A:n tai A:n sisältämistä elementeistä.

V B (mukaan lukien ne osat, jotka sisältyvät sekä kohtaan A että B). Tämä sarja on merkitty A + B. 1 A:n ja B:n "leikkauspisteellä" tai "loogisella tulolla" tarkoitetaan joukkoa, joka koostuu sekä A:n että B:n sisältämistä elementeistä. Tätä joukkoa merkitään AB.2

Operaatioiden A + B ja AB tärkeistä algebrallisista ominaisuuksista luetellaan seuraavat. Lukija voi tarkistaa niiden oikeellisuuden itse operaatioiden määritelmän perusteella:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B) (A + C).
	Relaatio A B on ekvivalentti molemmille suhteille

Kaikkien näiden lakien tarkistaminen on alkeellisinta logiikkaa. Esimerkiksi sääntö 10) sanoo, että joko A:n tai A:n sisältämä elementtijoukko on juuri joukko A; sääntö 12) sanoo, että niiden elementtien joukko, jotka sisältyvät A:hen ja jotka samanaikaisesti sisältyvät joko B:hen tai C:hen, osuu yhteen niiden elementtien joukon kanssa, jotka joko sisältyvät samanaikaisesti A:een ja B:hen tai jotka sisältyvät samanaikaisesti A:seen ja C:hen Tällaisten sääntöjen todistamisessa käytetty looginen päättely on sopivasti havainnollistettu, jos suostumme kuvaamaan joukot A, B, C, . . . joidenkin tasossa olevien hahmojen muodossa, ja olemme erittäin varovaisia, ettemme menetä mitään loogisista mahdollisuuksista, joita syntyy, kun kyse on kahden joukon yhteisten elementtien läsnäolosta tai päinvastoin elementtien olemassaolosta yhdessä joukossa, jotka ovat ei sisälly toiseen.

ALGEBRA JOUKKOISTA

Lukija epäilemättä kiinnitti huomion siihen, että lait 6), 7), 8), 9) ja 12) ovat ulkoisesti identtisiä tavallisen algebran tunnettujen kommutatiivisten, assosiatiivisten ja distributiivisten lakien kanssa. Tästä seuraa, että kaikki näistä laeista seuraavat tavallisen algebran säännöt pätevät myös joukkoalgebrassa. Sitä vastoin laeilla 10), 11) ja 13) ei ole analogeja tavallisessa algebrassa, ja ne antavat joukkoalgebralle yksinkertaisemman rakenteen. Esimerkiksi binomikaava sarjaalgebrassa pelkistyy yksinkertaisimpaan yhtälöön

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

joka seuraa laista 11). Lait 14), 15) ja 17) sanovat, että joukkojen ja I:n ominaisuudet suhteessa joukkojen yhdistämis- ja leikkausoperaatioihin ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin lukujen 0 ja 1 ominaisuudet suhteessa numeeristen yhteen- ja yhteenlaskutoimintojen operaatioihin. kertolasku. Mutta lailla 16) ei ole analogia numeerisessa algebrassa.

Jäljellä on vielä yksi operaatio määrittäminen joukkoalgebrassa. Olkoon A jokin universaalin joukon I osajoukko. Tällöin A:n komplementti I:ssä ymmärretään kaikkien I:n alkioiden joukoksi, joita A ei sisällä. Tälle joukolle otetaan käyttöön merkintä A0. Joten jos I on kaikkien luonnollisten lukujen joukko ja A on kaikkien alkulukujen joukko, niin A0 on joukko, joka koostuu kaikista yhdistelmäluvuista ja luvusta 1. Operaatio siirtymisestä A:sta A0:aan, jolle on olemassa ei analogia tavallisessa algebrassa, sillä on seuraavat ominaisuudet:

	A + A0 = I.		AA0 = .
	0 = I.		I0 = .

23) A 00 = A.

24) A B-suhde vastaa B-suhdetta 0 A0.

25) (A + B)0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Jätämme jälleen näiden ominaisuuksien tarkistamisen lukijalle.

Lait 1)–26) ovat joukkoalgebran perusta. Niillä on merkittävä "kaksinaisuuden" ominaisuus seuraavassa merkityksessä:

Jos jossakin laissa 1)–26) korvataan vastaava

(jokaisessa esiintymisessä), niin tulos on jälleen yksi samoista laeista. Esimerkiksi laki 6) menee lakiin 7), 12) lakiin 13), 17) 16) jne. Tästä seuraa, että jokainen laeista 1)–26) johdettavissa oleva lause vastaa toista , sen "duaalia" lause, joka on saatu ensimmäisestä ilmaistujen symbolien permutaatioiden avulla. Itse asiassa todisteesta lähtien

Ch. II JOUKKOALGEBRA 139

ensimmäinen lause koostuu joidenkin lakien 1–26 peräkkäisestä soveltamisesta (argumentin eri vaiheissa), sitten soveltaminen "kaksoislakien" vastaavissa vaiheissa muodostaa todisteen "kaksoislauseesta". (Katso samanlainen "kaksinaisuus" geometriassa luvussa IV.)

2. Sovellus matemaattiseen logiikkaan. Joukkoalgebran lakien todentaminen perustui relaatio A B ja operaatioiden A + B, AB ja A0 loogisen merkityksen analyysiin. Voimme nyt kääntää tämän prosessin päinvastaiseksi ja pitää lakeja 1)–26) "logiikan algebran" perustana. Tarkemmin sanottuna: se osa logiikasta, joka koskee joukkoja tai, mikä on olennaisesti sama, tarkasteltavien objektien ominaisuuksia, voidaan pelkistää muodolliseksi algebralliseksi järjestelmäksi, joka perustuu lakeihin 1)–26). Looginen "tavanomainen universumi" määrittelee joukon I; jokainen ominaisuus A määrittelee joukon A, joka koostuu niistä I:n objekteista, joilla on tämä ominaisuus. Säännöt tavanomaisen loogisen terminologian kääntämiseksi joukkojen kielelle ovat selvät

seuraavat esimerkit:
"Ei A eikä B"			(A + B)0, tai mikä on sama, A0 B0
"Ei ole totta, että sekä A että B"			(AB)0, tai mikä on sama, A0 + B0
on B", tai
"Jos A niin B"
"A:sta seuraa B"
"Joku A on B"
"Ei A ole B"			AB =
"Jotkin A ei ole B"			AB0 6=
"Ei ole A"

Joukkoalgebran suhteen "Barbara"-syllogismi, joka ilmaisee, että "jos jokainen A on B ja jokainen B on C, niin jokainen A on C" on yksinkertainen muoto:

3) Jos A B ja B C, niin A C.

Vastaavasti "ristiriitalaki", joka sanoo, että "objektilla ei voi samanaikaisesti olla ja ei voi olla jotakin ominaisuutta", kirjoitetaan seuraavasti:

20) AA 0 = ,

A "Suljetun keskikohdan laki", joka sanoo, että "esineellä täytyy joko olla tai ei saa olla jotakin ominaisuutta", on kirjoitettu:

19) A + A 0 = I.

ALGEBRA JOUKKOISTA

Siten sitä osaa logiikasta, joka on ilmaistava symboleilla +, · ja 0, voidaan käsitellä muodollisena algebrallisena järjestelmänä lakien 1)–26) mukaisesti. Matematiikan loogisen analyysin ja logiikan matemaattisen analyysin yhdistämisen perusteella luotiin uusi tieteenala - matemaattinen logiikka, joka on tällä hetkellä nopeassa kehitysvaiheessa.

Aksiomaattisesta näkökulmasta huomionarvoinen tosiasia, että lauseet 1)–26) yhdessä kaikkien muiden joukkoalgebran lauseiden kanssa voidaan loogisesti päätellä seuraavista kolmesta yhtälöstä:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Tästä seuraa, että joukkoalgebra voidaan rakentaa puhtaasti deduktiivisena teoriana, kuten euklidinen geometria, näiden kolmen aksioomiksi hyväksyttyjen ehtojen perusteella. Jos nämä aksioomit hyväksytään, niin operaatio AB ja relaatio A B määritellään A + B:n ja A0:n ehdoilla:

	tarkoittaa joukkoa (A0 + B0 )0,
	B tarkoittaa, että A + B = B.

Täysin erilainen esimerkki matemaattisesta järjestelmästä, jossa kaikki joukkoalgebran muodolliset lait täyttyvät, on kahdeksan luvun järjestelmä 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: tässä a + b tarkoittaa , mukaan

määritelmä, a:n ja b:n yhteinen pienin kerrannainen, ab on a:n ja b:n suurin yhteinen jakaja, a b on lause ”b jaetaan a:lla” ja a0 on luku 30 a. Su-

Tällaisten esimerkkien olemassaolo johti yleisten algebrallisten järjestelmien tutkimukseen, jotka täyttävät 27:n lait). Tällaisia ​​järjestelmiä kutsutaan "Boolen algebriksi" George Boolen (1815–1864), englantilaisen matemaatikon ja loogikon mukaan, jonka kirja An Investigation of the Laws of Thought ilmestyi vuonna 1854.

3. Yksi todennäköisyysteorian sovelluksista. Joukkoalgebra liittyy läheisesti todennäköisyysteoriaan ja antaa meille mahdollisuuden tarkastella sitä uudessa valossa. Tarkastellaan yksinkertaisinta esimerkkiä: kuvittele kokeilu, jossa on äärellinen määrä mahdollisia tuloksia, joita kaikkia pidetään "yhtä mahdollisina". Kokeilu voi koostua esimerkiksi kortin nostamisesta satunnaisesti hyvin sekoitetusta täyspakasta. Jos merkitsemme kokeen kaikkien tulosten joukkoa I:llä ja A merkitsee jotakin I:n osajoukkoa, niin todennäköisyys, että kokeen tulos kuuluu osajoukkoon A, määritellään suhteeksi

p(A) = A:n alkioiden lukumäärä. elementtien lukumäärä I

ALGEBRA JOUKKOISTA

Jos sovitaan, että jonkin joukon A alkioiden lukumäärä merkitään n(A:lla), niin viimeiselle yhtälölle voidaan antaa muoto

Esimerkissämme oletetaan, että A on klubien osajoukko, saamme
jossa n(A) = 13, n(I) = 52 ja p(A) =

Joukkoalgebran ideat paljastuvat todennäköisyyksiä laskettaessa, kun joidenkin joukkojen todennäköisyydet tiedossa on tarpeen laskea toisten todennäköisyydet. Esimerkiksi, kun tiedät todennäköisyydet p(A), p(B) ja p(AB), voit laskea todennäköisyyden p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Tämän todistaminen ei ole vaikeaa. Meillä on

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

koska A:n ja B:n samanaikaisesti sisältävät alkiot, eli alkiot AB, lasketaan kahdesti laskettaessa summaa n(A) + n(B), ja siksi tästä summasta on vähennettävä n(AB) laskemiseksi n(A + B) tuotettiin oikein. Sitten jakamalla yhtälön molemmat puolet arvolla n(I), saadaan relaatio (2).

Mielenkiintoisempi kaava saadaan, jos puhumme kolmesta joukosta A, B, C I:stä. Relaatiota (2) käyttämällä saadaan

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Edellisen kappaleen laki (12) antaa meille (A + B)C = AC + BC. Tämä tarkoittaa:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Korvaamalla arvon p[(A + B)C] ja (2):sta otetun arvon p(A + B) aiemmin saatuun suhteeseen, saadaan tarvittava kaava:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Harkitse esimerkkinä seuraavaa koetta. Kolme numeroa 1, 2, 3 kirjoitetaan missä tahansa järjestyksessä. Millä todennäköisyydellä ainakin yksi numeroista on oikeassa paikassa (numeroinnin kannalta)? Olkoon A joukko permutaatioita, joissa numero 1 on ensimmäisenä, B joukko permutaatioita, joissa luku 2 on toisella sijalla, C joukko permutaatioita, joissa numero 3 on kolmannella paikalla. Meidän on laskettava p(A + B + C). Se on selvää

p(A) = p(B) = p(C) = 26 = 13;

todellakin, jos jokin numero on oikeassa paikassa, on kaksi mahdollisuutta järjestää loput kaksi numeroa uudelleen 3 · 2 · 1 = 6 mahdollisesta kolmen numeron permutaatiosta. Edelleen,

Harjoittele. Johda sopiva kaava p(A + B + C + D):lle ja käytä sitä 4-numeroiseen kokeeseen. Vastaava todennäköisyys on 5 8 = 0,6250.

Yleinen kaava n joukon yhdistämiselle on

p(A1 + A2 + . . . + An ) =
	p(Ai) −
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 ... An), (4)
missä ovat hahmot				merkitsee summausta kaikista mahdollisista

yhdistelmät, jotka sisältävät yhden, kaksi, kolme, . . . , (n − 1) kirjaimet A1 , A2 , . . .

An. Tämä kaava voidaan määrittää matemaattisella induktiolla - samalla tavalla kuin kaava (3) johdettiin kaavasta (2).

Kaavasta (4) voidaan päätellä, että jos n numeroa on 1, 2, 3, . . . , n kirjoitetaan missä tahansa järjestyksessä, niin todennäköisyys, että ainakin yksi numeroista on oikeassa paikassa, on yhtä suuri kuin

pn = 1 −

ja viimeistä termiä edeltää merkki + tai − riippuen siitä, onko n parillinen vai pariton. Erityisesti n = 5:lle tämä todennäköisyys on yhtä suuri kuin

p5 = 1 - 2! + 3! − 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

Näemme luvussa VIII, että kun n lähestyy ääretöntä, lauseke

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! + 4! − . . . ±n!

pyrkii rajaan 1 e, jonka arvo viiden desimaalin tarkkuudella,

on 0,36788. Koska kaavasta (5) käy selvästi ilmi, että pn = 1 − Sn, tästä seuraa, että n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.