Go) numerot.

2. Kompleksilukujen esityksen algebrallinen muoto

kompleksiluku tai monimutkainen, kutsutaan numeroksi, joka koostuu kaksi numeroa (osat) - todellinen ja kuvitteellinen.

todellinen mitä tahansa positiivista tai negatiivista lukua kutsutaan esimerkiksi + 5, - 28 jne. Merkitään oikea luku kirjaimella "L".

kuvitteellinen lukua, joka on yhtä suuri kuin reaaliluvun ja negatiivisen yksikön neliöjuuren tulo, kutsutaan esimerkiksi 8, - 20 jne.

Negatiivista yksikköä kutsutaan kuvitteellinen ja se on merkitty kirjaimella "iot":

Merkitään reaaliluku imaginaarin koostumuksessa kirjaimella "M".

Tällöin imaginaariluku voidaan kirjoittaa näin: j M. Tässä tapauksessa kompleksiluku A voidaan kirjoittaa näin:

A = L + jM (2).

Tätä muotoa kirjoittaa kompleksiluku (kompleksi), joka on reaali- ja imaginaariosien algebrallinen summa, on ns. algebrallinen.

Esimerkki 1 Ilmaise algebrallisessa muodossa kompleksi, jonka reaaliosa on 6 ja imaginaariosa on 15.

Päätös. A \u003d 6 + j 15.

Algebrallisen muodon lisäksi kompleksiluku voidaan esittää kolmessa muussa:

1. grafiikka;

2. trigonometrinen;

3. ohjeellinen.

Tällainen monimuotoisuus on terävää yksinkertaistaa laskelmia sinimuotoiset suureet ja niiden graafinen esitys.

Harkitse vuorostaan ​​graafista, trigonometristä ja eksponentti-

uusi kompleksilukujen esitystapa.

Kompleksilukujen graafinen esitys

Kompleksilukujen graafiseen esitykseen suora

kivihiilen koordinaattijärjestelmä. Tavallisessa (koulun) koordinaattijärjestelmässä, positiivinen tai negatiivinen todellinen numeroita.

Symbolisessa menetelmässä omaksutussa koordinaattijärjestelmässä x-akselia pitkin

reaaliluvut piirretään segmenttien muodossa ja imaginaariluvut "y"-akselia pitkin

Riisi. 1. Koordinaattijärjestelmä kompleksilukujen graafiseen esittämiseen

Siksi x-akselia kutsutaan todellisten arvojen akseliksi tai lyhyesti todellinen akseli.

Y-akselia kutsutaan kuvitteelliseksi akseliksi tai kuvitteellinen akseli.

Itse tasoa (eli kuvan tasoa), jolla kompleksiluvut tai suureet on kuvattu, kutsutaan integroitu kone.

Tässä tasossa kompleksilukua A = L + j M edustaa vektori A

(Kuva 2), jonka projektio reaaliakselilla on yhtä suuri kuin sen reaaliosa Re A \u003d A "= L, ja projektio imaginaarisella akselilla on yhtä suuri kuin kuvitteellinen osa Im A \u003d A" \u003d M.

(Re - englannista real - todellinen, todellinen, todellinen, Im - englannista imaginary - epätodellinen, kuvitteellinen).

Riisi. 2. Kompleksiluvun graafinen esitys

Tässä tapauksessa luku A voidaan kirjoittaa muodossa

A \u003d A "+ A" \u003d Re A + j Im A (3) .

Käyttämällä luvun A graafista esitystä kompleksitasossa otamme käyttöön uusia määritelmiä ja saamme joitain tärkeitä suhteita:

1. kutsutaan vektorin A pituutta moduuli vektori ja merkitty |A|.

Pythagoraan lauseen mukaan

|A| = (4) .

2. vektorin A muodostama kulma α ja reaalipositiivinen puoli-

akselia kutsutaan Perustelu vektori A ja määräytyy sen tangentin kautta:

tg α \u003d A "/ A" \u003d Im A / Re A (5).

Siten kompleksiluvun graafiseen esitykseen

A \u003d A "+ A" vektorin muodossa, tarvitset:

1. etsi vektorin |A| moduuli kaavan (4) mukaisesti;

2. etsi vektorin tg α argumentti kaavalla (5);

3. löydä kulma α suhteesta α = kaari tg α;

4. Piirrä j (x) -koordinaatistossa apuarvo

suora ja piirrä sille tietyssä mittakaavassa jana, joka on yhtä suuri kuin vektorin |A| moduuli.

Esimerkki 2 Kompleksiluku A \u003d 3 + j 4 esitetään graafisessa muodossa.

Kompleksiluvut, niiden esitys tasossa. Algebralliset toiminnot kompleksiluvuilla. Monimutkainen konjugaatio. Kompleksiluvun moduuli ja argumentti. Kompleksiluvun algebralliset ja trigonometriset muodot. Kompleksilukujen juuret. Monimutkaisen argumentin eksponentiaalinen funktio. Eulerin kaava. Kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto.

Kun tutkitaan yhtä tärkeimmistä integrointimenetelmistä - rationaalisten murtolukujen integrointia - on otettava huomioon monimutkaisen alueen polynomit tiukkoja todisteita varten. Siksi tutkikaamme ensin joitain kompleksilukujen ominaisuuksia ja niihin liittyviä operaatioita.

Määritelmä 7.1. Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari (a, b): z = (a, b) (termi "järjestetty" tarkoittaa, että lukujen a ja b järjestys on tärkeä kompleksiluvun kirjoittamisessa: (a , b) )). Tässä tapauksessa ensimmäistä lukua a kutsutaan kompleksiluvun z reaaliosaksi ja sitä merkitään a = Re z, ja toista lukua b kutsutaan z:n imaginaariosaksi: b = Im z.

Määritelmä 7.2. Kaksi kompleksilukua z 1 \u003d (a 1, b 1) ja z 2 \u003d (a 2, b 2) ovat yhtä suuret, jos ja vain jos niillä on samat reaali- ja imaginaariosat, eli a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

Kompleksilukujen toiminnot.

1. summa kompleksiluvut z1 =(a 1, b 1) ja z2 =(a 2, b 2 z=(a,b) sellaista a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 . Lisäysominaisuudet: a) z1 + z2 = z2 + z1; b) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; c) on kompleksiluku 0 = (0,0): z + 0 =z mille tahansa kompleksiluvulle z.

2. työ kompleksiluvut z1 =(a 1, b 1) ja z2 =(a 2, b 2) kutsutaan kompleksiluvuksi z=(a,b) sellaista a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1. Kertolaskuominaisuudet: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, sisään) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Kommentti. Kompleksilukujen joukon osajoukko on reaalilukujen joukko, joka määritellään muodon ( a, 0). Voidaan nähdä, että tässä tapauksessa kompleksilukujen operaatioiden määrittely säilyttää reaalilukujen vastaavien operaatioiden tunnetut säännöt. Lisäksi reaaliluku 1 = (1,0) säilyttää ominaisuutensa, kun se kerrotaan millä tahansa kompleksiluvulla: 1∙ z = z.

Määritelmä 7.3. Kompleksiluku (0, b) kutsutaan puhtaasti kuvitteellinen. Erityisesti kutsutaan numeroa (0,1). kuvitteellinen yksikkö ja ovat symbolisia i.

Imaginaarisen yksikön ominaisuudet:

1) i∙i=i² = -1; 2) puhtaasti kuvitteellinen luku (0, b) voidaan esittää reaaliluvun tulona ( b, 0) ja i: (b, 0) = b∙i.

Siksi mikä tahansa kompleksiluku z = (a,b) voidaan esittää muodossa: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Määritelmä 7.4. Muotoa z = a + ib kutsutaan kompleksiluvun algebralliseksi muodoksi.

Kommentti. Kompleksilukujen algebrallinen merkintä mahdollistaa operaatioiden suorittamisen niille tavallisten algebran sääntöjen mukaisesti.

Määritelmä 7.5. Kompleksilukua kutsutaan z = a + ib:n kompleksikonjugaatiksi.

3. Vähennyslasku Kompleksiluvut määritellään summauksen käänteisoperaatioksi: z=(a,b) kutsutaan kompleksilukujen erotukseksi z1 =(a 1, b 1) ja z2 =(a 2, b 2), jos a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. Division kompleksiluvut määritellään kertolaskujen käänteisoperaatioksi: luku z = a + ib kutsutaan jaon osamääräksi z 1 = a 1 + ib 1 ja z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) jos z1 = z∙z2. Siksi osamäärän reaali- ja imaginaariosa voidaan löytää yhtälöjärjestelmän ratkaisusta: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

Kompleksilukujen geometrinen tulkinta.

Monimutkainen luku z=(a,b) voidaan esittää pisteenä tasossa koordinaattein ( a,b) tai vektori, jonka origo on origossa ja loppu pisteessä ( a,b).

Tässä tapauksessa kutsutaan tuloksena olevan vektorin moduulia moduuli kompleksiluku, ja vektorin muodostama kulma x-akselin positiivisen suunnan kanssa on Perustelu numeroita. Olettaen että a = p cos φ, b = ρ synti φ, missä ρ = |z| - moduuli z, ja φ = arg z on sen argumentti, voimme saada toisen muodon kompleksiluvun kirjoittamiseen:

Määritelmä 7.6. Näytä tietue

z = p(cos φ + i synti φ ) (7.1)

olla nimeltään trigonometrinen muoto kompleksiluvun merkintä.

Kompleksiluvun moduuli ja argumentti puolestaan ​​voidaan ilmaista termeillä a ja b: . Siksi kompleksiluvun argumenttia ei ole määritelty yksiselitteisesti, vaan termiin asti, joka on luvun 2π kerrannainen.

On helppo nähdä, että kompleksilukujen yhteenlaskutoiminto vastaa vektoreiden yhteenlaskemista. Harkitse kertolaskujen geometrista tulkintaa. Anna sitten

Siksi kahden kompleksiluvun tulon moduuli on yhtä suuri kuin niiden moduulien tulo, ja argumentti on niiden argumenttien summa. Näin ollen jakamisen yhteydessä osamäärän moduuli on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan moduulien suhde, ja argumentti on niiden argumenttien välinen ero.

Kertolaskuoperaation erikoistapaus on eksponentio:

- De Moivren kaava.

Saatujen suhteiden avulla luetellaan kompleksisten konjugaattilukujen pääominaisuudet:

Monimutkaiset luvut

Peruskonseptit

Numeron alkutiedot viittaavat kivikauteen - paleomeliittiin. Nämä ovat "yksi", "muutama" ja "moni". Ne kirjattiin lovien, solmujen jne. muodossa. Työprosessien kehitys ja omaisuuden syntyminen pakottivat ihmisen keksimään numeroita ja niiden nimiä. Luonnolliset luvut ilmestyivät ensin N saatu laskemalla esineitä. Sitten laskentatarpeen ohella ihmisillä oli tarve mitata pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia, aikaa ja muita suureita, joissa oli tarpeen ottaa huomioon käytetyn mittauksen osia. Näin syntyivät murtoluvut. Murtoluvun ja negatiivisen luvun käsitteiden muodollinen perustelu suoritettiin 1800-luvulla. Joukko kokonaislukuja Z ovat luonnollisia lukuja, luonnollisia lukuja, joissa on miinusmerkki ja nolla. Kokonais- ja murtoluvut muodostivat joukon rationaalilukuja Q, mutta sekään osoittautui riittämättömäksi jatkuvasti muuttuvien muuttujien tutkimiseen. Genesis osoitti jälleen matematiikan epätäydellisyyden: muodon yhtälön ratkaisemisen mahdottomuuden X 2 = 3, jonka yhteydessä esiintyi irrationaalisia lukuja minä Rationaalilukujen joukon liitto K ja irrationaalisia lukuja minä on joukko todellisia (tai reaalilukuja). R. Tämän seurauksena lukurivi täyttyi: jokainen reaaliluku vastasi pistettä siinä. Mutta kuvauksissa R yhtälöä ei voi ratkaista mitenkään X 2 = – a 2. Tämän seurauksena luvun käsitettä oli jälleen laajennettava. Joten vuonna 1545 ilmestyi kompleksiluvut. Niiden luoja J. Cardano kutsui niitä "puhtaasti negatiivisiksi". Nimen "kuvitteellinen" otti käyttöön vuonna 1637 ranskalainen R. Descartes, vuonna 1777 Euler ehdotti ranskalaisen numeron ensimmäisen kirjaimen käyttöä. i kuvaamaan imaginaarista yksikköä. Tämä symboli tuli yleiseen käyttöön K. Gaussin ansiosta.

1600- ja 1700-luvuilla keskustelu imaginaarien aritmeettisyydestä ja niiden geometrisesta tulkinnasta jatkui. Tanskalainen H. Wessel, ranskalainen J. Argan ja saksalainen K. Gauss ehdottivat itsenäisesti, että kompleksilukua edustaa piste koordinaattitasolla. Myöhemmin kävi ilmi, että oli vielä kätevämpää esittää lukua ei itse pisteellä, vaan vektorilla, joka menee tähän pisteeseen origosta.

Vasta 1700-luvun lopulla - 1800-luvun alussa kompleksiluvut ottivat oikeutetun paikkansa matemaattisessa analyysissä. Niitä käytettiin ensimmäisen kerran differentiaaliyhtälöiden teoriassa ja hydrodynamiikan teoriassa.

Määritelmä 1.kompleksiluku kutsutaan muodon ilmaisuksi jossa x ja y ovat todellisia lukuja ja i on kuvitteellinen yksikkö, .

kaksi kompleksilukua ja yhtä suuri jos ja vain jos , .

Jos , niin numeroon soitetaan puhtaasti kuvitteellinen; jos , niin luku on reaaliluku, mikä tarkoittaa, että joukko R Kanssa, missä Kanssa on kompleksilukujen joukko.

Konjugoitu kompleksilukua kutsutaan kompleksiluvuksi.

Kompleksilukujen geometrinen esitys.

Mikä tahansa kompleksiluku voidaan esittää pisteellä. M(x, y) lentokone Oxy. Reaalilukupari ilmaisee myös sädevektorin koordinaatteja , eli tason vektoreiden joukon ja kompleksilukujen joukon välillä voidaan muodostaa yksi yhteen vastaavuus: .

Määritelmä 2.Todellinen osa X.

Nimitys: x= Re z(latinan sanasta Realis).

Määritelmä 3.kuvitteellinen osa kompleksilukua kutsutaan reaaliluvuksi y.

Nimitys: y= Minä z(latinan sanasta Imaginarius).

Re z on kerrostettu akselille ( Vai niin), Olen z on kerrostettu akselille ( Oy), niin kompleksilukua vastaava vektori on pisteen sädevektori M(x, y), (tai M(Re z, Olen z)) (Kuva 1).

Määritelmä 4. Tasoa, jonka pisteet liittyvät kompleksilukujen joukkoon, kutsutaan monimutkainen taso. Abskissaa kutsutaan todellinen akseli, koska se sisältää reaalilukuja . Y-akselia kutsutaan kuvitteellinen akseli, se sisältää puhtaasti imaginaariset kompleksiluvut . Kompleksilukujen joukko on merkitty Kanssa.

Määritelmä 5.moduuli kompleksiluku z = (x, y) on vektorin pituus : , ts. .

Määritelmä 6.Perustelu kompleksilukua kutsutaan kulmaksi akselin positiivisen suunnan välillä ( vai niin) ja vektori: .

Huomautus 3. Jos kohta z sijaitsee todellisella tai kuvitteellisella akselilla, se voidaan löytää suoraan.

On olemassa seuraavat kompleksilukujen muodot: algebrallinen(x+iy), trigonometrinen(r(cos+isin )), esittely(re i ).

Mikä tahansa kompleksiluku z=x+iy voidaan esittää XOY-tasolla pisteenä A(x, y).

Tasoa, jolla kompleksiluvut on kuvattu, kutsutaan kompleksimuuttujan z tasoksi (tasolle laitetaan symboli z).

OX-akseli on todellinen akseli, ts. se sisältää reaalilukuja. OS on kuvitteellinen akseli, jossa on imaginaariluvut.

x+iy- kompleksiluvun kirjoittamisen algebrallinen muoto.

Johdetaan kompleksiluvun trigonometrinen muoto.

Korvaamme saadut arvot alkumuotoon: ts.

r(cos+isin) - kompleksiluvun kirjoittamisen trigonometrinen muoto.

Kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto seuraa Eulerin kaavasta:
,sitten

z= re i - kompleksiluvun kirjoittamisen eksponentiaalinen muoto.

Kompleksilukujen toiminnot.

1. lisäys. z1 +z2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . vähennyslasku. z 1 -z 2 \u003d (x1 + iy1) - (x2 + iy2) \u003d (x1-x2) + i (y1-y2);

3. kertolasku. z1 z2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . jako. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Kaksi kompleksilukua, jotka eroavat vain imaginaariyksikön etumerkissä, ts. z=x+iy (z=x-iy) kutsutaan konjugaateiksi.

Työ.

z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).

Se kompleksilukujen tulo z1*z2 on: , so. tuotteen moduuli on yhtä suuri kuin moduulien tulo ja tuotteen argumentti on yhtä suuri kuin tekijöiden argumenttien summa.

;
;

Yksityinen.

Jos kompleksiluvut annetaan trigonometrisessa muodossa.

Jos kompleksiluvut annetaan eksponentiaalisessa muodossa.

Eksponentointi.

1. Kompleksiluku annetaan muodossa algebrallinen muodossa.

z=x+iy, niin z n löytyy Newtonin binomikaava:

- n elementin yhdistelmien lukumäärä m:llä (tapoja, joilla n elementtiä voidaan ottaa m:stä).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Käytetään kompleksiluvuille.

Tuloksena olevassa lausekkeessa sinun on korvattava i:n potenssit niiden arvoilla:

i 0 =1 Näin ollen yleisessä tapauksessa saamme: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 = -1 i 4k + 2 = -1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Esimerkki.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i = i

2. trigonometrinen muodossa.

z=r(cos +isin ), sitten

- De Moivren kaava.

Tässä n voi olla sekä "+" että "-" (kokonaisluku).

3. Jos kompleksiluku annetaan demonstratiivista muoto:

Juuren louhinta.

Harkitse yhtälöä:
.

Sen ratkaisu on kompleksiluvun z n:s juuri:
.

Kompleksiluvun z n:nnellä juurella on täsmälleen n ratkaisua (arvoa). Nykyisen luvun n:nnellä juurella on vain yksi ratkaisu. Monimutkaisissa ratkaisuissa - n.

Jos kompleksiluku annetaan trigonometrinen muoto:

z=r(cos +isin ), sitten z:n n:s juuri löytyy kaavasta:

, jossa k=0,1…n-1.

Rivit. Numeroviivat.

Olkoon muuttuja a peräkkäin arvot a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n . Tällaista lueteltua numerosarjaa kutsutaan sekvenssiksi. Hän on loputon.

Numerosarja on lauseke a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = . Numerot a 1, a 2, a 3, ... ja n ovat sarjan jäseniä.

Esimerkiksi.

ja 1 on sarjan ensimmäinen jäsen.

ja n on sarjan n:s eli yhteinen jäsen.

Sarja katsotaan annetuksi, jos n:s (sarjan yleinen termi) tunnetaan.

Numerosarjassa on ääretön määrä jäseniä.

Osoittajat - aritmeettinen progressio (1,3,5,7…).

n:s jäsen löydetään kaavasta a n = a 1 + d (n-1); d = a n-a n-1.

Nimittäjä - geometrinen eteneminen. b n = b 1 q n-1;
.

Tarkastellaan sarjan ensimmäisen n ehdon summaa ja merkitään se Sn:llä.

Sn=a1+a2+…+a n .

Sn on sarjan n:s osasumma.

Harkitse rajaa:

S on sarjan summa.

Rivit lähentyvä jos tämä raja on äärellinen (raja S on olemassa).

Rivi poikkeava jos tämä raja on ääretön.

Jatkossa tehtävämme on seuraava: selvittää mikä sarja.

Yksi yksinkertaisimmista mutta yleisimmistä sarjoista on geometrinen progressio.

, C = vakio.

Geometrinen eteneminen onlähentyvä lähellä, jos
, ja poikkeava jos
.

Löytyi myös harmoninen sarja(rivi
). Tämä rivi poikkeava .

Kompleksiluvun asettaminen vastaa kahden reaaliluvun a, b - tämän kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosien - asettamista. Mutta järjestetyssä lukuparissa on suorakulmaisessa koordinaatistossa piste, jossa on koordinaatit, joten tämä piste voi toimia myös kuvana kompleksiluvulle z: kompleksilukujen ja pisteiden välille muodostuu yksi yhteen vastaavuus. koordinaattitasosta. Käytettäessä koordinaattitasoa kompleksilukujen näyttämiseen, Ox-akselia kutsutaan yleensä reaaliakseliksi (koska luvun reaaliosa otetaan pisteen abskissaksi) ja Oy-akseli on imaginaariakseli (koska imaginaariosa numerosta otetaan pisteen ordinaatiksi). Kompleksilukua z, jota edustaa piste (a, b), kutsutaan tämän pisteen liitteeksi. Tässä tapauksessa reaalilukuja edustavat pisteet, jotka sijaitsevat reaaliakselilla, ja kaikki puhtaasti imaginaariset luvut (jos a = 0) esitetään imaginaariakselilla sijaitsevilla pisteillä. Numeroa nolla edustaa piste O.

Kuvassa 8 rakennettua kuvaa numeroista.

Kaksi kompleksikonjugaattilukua esitetään pisteillä, jotka ovat symmetrisiä Ox-akselin suhteen (pisteet kuvassa 8).

Usein kompleksilukuon ei liity vain tätä lukua edustava piste M, vaan myös vektori OM (katso kohta 93), joka johtaa O:sta M:ään; luvun esittäminen vektorilla on kätevää kompleksilukujen yhteen- ja vähennystoiminnon geometrisen tulkinnan kannalta.

Kuvassa Kuviossa 9 on esitetty, että kompleksilukujen summaa kuvaava vektori saadaan termejä edustaville vektoreille rakennetun suunnikkaan diagonaalina.

Tämä vektorin summaussääntö tunnetaan suuntaviivasääntönä (esimerkiksi voimien tai nopeuksien lisäämiseen fysiikan kurssilla). Vähennys voidaan vähentää yhteenlaskuksi vastakkaisella vektorilla (kuva 9b).

Kuten tiedetään (luku 8), pisteen sijainti tasossa voidaan määrittää myös sen napakoordinaateilla, joten kompleksiluku - pisteen affiksi määräytyy myös tehtävän perusteella. 10 on selvää, mikä on samalla kompleksiluvun moduuli: lukua edustavan pisteen napainen säde on yhtä suuri kuin tämän luvun moduuli.

Pisteen M napakulmaa kutsutaan tämän pisteen edustaman luvun argumentiksi. Kompleksiluvun argumenttia (kuten pisteen napakulmaa) ei ole määritelty yksiselitteisesti; jos on yksi sen arvoista, niin kaikki sen arvot ilmaistaan ​​kaavalla

Kaikki argumentin arvot aggregaatissa on merkitty symbolilla .

Joten mikä tahansa kompleksiluku voidaan liittää reaalilukupariin: annetun luvun moduuliin ja argumenttiin, ja argumentti määritellään moniselitteisesti. Sitä vastoin annettu moduuli ja argumentti vastaavat yhtä lukua, jolla on annettu moduuli ja argumentti. Numerolla nolla on erityisiä ominaisuuksia: sen moduuli on nolla, argumentille ei anneta tiettyä arvoa.

Yksilöllisyyden saavuttamiseksi kompleksiluvun argumentin määrittelyssä yhtä argumentin arvoista voidaan kutsua pääarvoksi. Se on merkitty symbolilla . Yleensä argumentin pääarvoksi valitaan arvo, joka tyydyttää eriarvoisuudet

(muissa tapauksissa epätasa-arvo).

Kiinnitämme huomiota myös todellisten ja puhtaasti kuvitteellisten lukujen argumentin arvoihin:

Kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosa (pisteen suorakulmaisina koordinaatteina) ilmaistaan ​​sen moduulin ja argumentin (pisteen napakoordinaatit) avulla kaavoilla (8.3):

ja kompleksiluku voidaan kirjoittaa seuraavassa trigonometrisessa muodossa.