Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi on tarpeen tietää riippuvan muuttujan arvo ja sen derivaatat tietyille riippumattoman muuttujan arvoille. Jos yhdelle tuntemattoman arvolle on määritetty lisäehtoja, ts. riippumaton muuttuja., niin tällaista ongelmaa kutsutaan Cauchyn ongelmaksi. Jos alkuehdot on määritetty kahdelle tai useammalle riippumattoman muuttujan arvolle, niin ongelmaa kutsutaan raja-arvoongelmaksi. Kun ratkaistaan ​​erityyppisiä differentiaaliyhtälöitä, funktio, jonka arvot on määritettävä, lasketaan taulukon muodossa.

Numeeristen menetelmien luokittelu differentiaalien ratkaisemiseksi. Lv. Tyypit.

Cauchy-ongelma – yksivaiheinen: Euler-menetelmät, Runge-Kutta-menetelmät; – monivaiheinen: päämenetelmä, Adamsin menetelmä. Rajaongelma – menetelmä rajaongelman pelkistämiseksi Cauchyn ongelmaksi; – äärellisen eron menetelmä.

Cauchyn ongelmaa ratkaistaessa on määritettävä ero. ur. järjestys n tai erotusjärjestelmä. ur. ensimmäisen kertaluvun n yhtälöä ja n lisäehtoa sen ratkaisulle. Samalle riippumattoman muuttujan arvolle on määritettävä lisäehdot. Rajatehtävää ratkaistaessa on määritettävä yhtälöt. n:nnen kertaluvun tai n yhtälön ja n lisäehdon järjestelmä kahdelle tai useammalle riippumattoman muuttujan arvolle. Ratkaistaessa Cauchyn ongelmaa, vaadittu funktio määritetään diskreetti taulukon muodossa, jossa on tietty määrätty askel . Kun määrität jokaista peräkkäistä arvoa, voit käyttää tietoja yhdestä edellisestä pisteestä. Tässä tapauksessa menetelmiä kutsutaan yksivaiheisiksi tai voit käyttää tietoja useista aikaisemmista kohdista - monivaiheisista menetelmistä.

Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Cauchy ongelma. Yksivaiheiset menetelmät. Eulerin menetelmä.

Annettu: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0) = y 0. Tunnetaan: f(x,y), x 0, y 0 . Määritä diskreetti ratkaisu: x i , y i , i=0,1,…,n. Eulerin menetelmä perustuu funktion laajentamiseen Taylor-sarjaksi pisteen x 0 läheisyydessä. Naapurustoa kuvataan vaiheessa h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Eulerin menetelmä ottaa huomioon vain kaksi Taylor-sarjan termiä. Otetaan käyttöön jokin merkintä. Eulerin kaava saa muotoa: y i+1 =y i +y i, y i =hy(x i)=hf(x i,y i), y i+1 =y i +hf(x i,y i) (2), i = 0,1,2…, x i+1 =x i +h

Kaava (2) on yksinkertaisen Euler-menetelmän kaava.

Eulerin kaavan geometrinen tulkinta

Numeerisen ratkaisun saamiseksi käytetään yhtälön läpi kulkevaa tangenttiviivaa. tangentti: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), koska

x-x0 =h, sitten y1 =y0 +hf(x0,y0), f(x0,y0)=tg £.

Modifioitu Eulerin menetelmä

Annettu: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Tunnetaan: f(x,y), x 0, y 0 . Määritä: y:n riippuvuus x:stä taulukkomaisen diskreetin funktion muodossa: x i, y i, i=0.1,…,n.

Geometrinen tulkinta

1) laske kaltevuuskulman tangentti aloituspisteessä

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Laske arvo  y n+1 on

vaiheen loppu Eulerin kaavan mukaan

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Laske kaltevuuskulman tangentti

tangentti pisteessä n+1: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Laske kulmien aritmeettinen keskiarvo

kallistus: tg £=½. 5) Laskemme rinnekulman tangentin avulla uudelleen funktion arvon n+1 pisteessä: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h – modifioidun Euler-menetelmän kaava. Voidaan osoittaa, että saatu f-la vastaa f-i:n laajennusta Taylor-sarjassa termit mukaan lukien (h 2 asti). Muokattu Eilnra-menetelmä, toisin kuin yksinkertainen, on toisen asteen tarkkuuden menetelmä, koska virhe on verrannollinen h 2:een.

Käsittelemme vain ratkaisua Cauchyn ongelmaan. Differentiaaliyhtälöjärjestelmä tai yksi yhtälö on muutettava muotoon

Missä ,
–n-ulotteiset vektorit; y– tuntematon vektorifunktio; x- riippumaton argumentti,
. Varsinkin jos n= 1, niin järjestelmä muuttuu yhdeksi differentiaaliyhtälöksi. Alkuehdot asetetaan seuraavasti:
, Missä
.

Jos
pisteen läheisyydessä
on jatkuva ja sillä on jatkuvat osittaiset derivaatat suhteessa y, niin olemassaolo- ja ainutlaatuisuuslause takaa, että on vain yksi jatkuva vektorifunktio
, määritelty kohdassa jonkin verran pisteen naapurustossa , joka täyttää yhtälön (7) ja ehdon
.

Kiinnittäkäämme huomiota siihen, että pisteen naapurustossa , jossa ratkaisu määritetään, voi olla hyvin pieni. Tämän naapuruston rajaa lähestyttäessä ratkaisu voi mennä äärettömyyteen, värähdellä äärettömästi kasvavalla taajuudella, yleensä käyttäytyä niin huonosti, ettei sitä voida jatkaa naapuruston rajan yli. Tällaista ratkaisua ei siis voida seurata numeerisilla menetelmillä suuremmalla segmentillä, jos sellainen on määritelty ongelmalausekkeessa.

Cauchyn ongelman ratkaiseminen [ a; b] on funktio. Numeerisissa menetelmissä funktio korvataan taulukolla (taulukko 1).

pöytä 1

Tässä
,
. Vierekkäisten taulukon solmujen välinen etäisyys on yleensä vakio:
,
.

Siellä on taulukoita vaihtelevilla askeleilla. Taulukon vaihe määräytyy teknisen ongelman vaatimusten ja ei yhteyttä ratkaisun löytämisen tarkkuudella.

Jos y on vektori, niin ratkaisuarvojen taulukko on taulukon muodossa. 2.

Taulukko 2

MATHCAD-järjestelmässä matriisia käytetään taulukon sijasta, ja se transponoidaan suhteessa määritettyyn taulukkoon.

Ratkaise Cauchyn ongelma tarkasti ε tarkoittaa arvojen saamista määritetyssä taulukossa (luvut tai vektorit),
, sellaista
, Missä
-tarkka ratkaisu. On mahdollista, että ongelmassa määritellyn segmentin ratkaisu ei jatku. Sitten sinun on vastattava, että ongelmaa ei voida ratkaista koko segmentillä, ja sinun on saatava ratkaisu siihen segmenttiin, jossa se on, tehden tästä segmentistä mahdollisimman suureksi.

On muistettava, että tarkka ratkaisu
emme tiedä (miksi muuten käyttää numeerista menetelmää?). Arvosana
täytyy perustella jollain muulla perusteella. Pääsääntöisesti ei ole mahdollista saada 100-prosenttista takuuta arvioinnin suorittamisesta. Siksi arvon arvioimiseen käytetään algoritmeja
, jotka osoittautuvat tehokkaiksi useimmissa teknisissä ongelmissa.

Yleisperiaate Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi on seuraava. Jana [ a; b] on jaettu useisiin segmentteihin integrointisolmujen avulla. Solmujen lukumäärä k ei tarvitse vastata solmujen määrää m päätösarvojen lopullinen taulukko (taulukot 1, 2). Yleensä, k > m. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että solmujen välinen etäisyys on vakio,
;h kutsutaan integraatiovaiheeksi. Sitten tiettyjen algoritmien mukaan arvot tiedossa klo i < s, laske arvo . Mitä pienempi askel h, sitä pienempi arvo eroaa tarkan ratkaisun arvosta
. Vaihe h Tässä osiossa ei jo määritä teknisen ongelman vaatimukset, vaan vaadittu tarkkuus Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi. Lisäksi se on valittava niin, että yhdessä vaiheessa taulukko. 1, 2 sopivat kokonaislukumäärään askelia h. Tässä tapauksessa arvot y, joka on saatu vaiheittaisten laskelmien tuloksena h kohdissa
, käytetään vastaavasti taulukossa. 1 tai 2.

Yksinkertaisin algoritmi yhtälön (7) Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi on Eulerin menetelmä. Laskentakaava on:

(8)

Katsotaan kuinka löydetyn ratkaisun tarkkuus arvioidaan. Teeskennetäänpä sitä
on tarkka ratkaisu Cauchyn ongelmaan ja myös siihen
, vaikka näin ei läheskään aina ole. Missä on vakio sitten C riippuu toiminnasta
pisteen läheisyydessä
. Näin ollen yhdessä integroinnin vaiheessa (ratkaisun löytämisessä) saamme järjestysvirheen . Koska askelia on otettava
, niin on luonnollista odottaa, että kokonaisvirhe viimeisessä kohdassa
kaikki tulee olemaan hyvin
, eli Tilaus h. Siksi Eulerin menetelmää kutsutaan ensimmäisen kertaluvun menetelmäksi, ts. virhe on askeleen ensimmäisen potenssin järjestyksessä h. Itse asiassa yhdessä integroinnin vaiheessa seuraava arvio voidaan perustella. Antaa
– Cauchyn ongelman tarkka ratkaisu alkuehdon kanssa
. Se on selvää
ei täsmää vaaditun tarkan ratkaisun kanssa
yhtälön (7) alkuperäinen Cauchyn ongelma. Pienellä kuitenkin h ja "hyvä" toiminto
nämä kaksi täsmällistä ratkaisua eroavat vähän toisistaan. Taylorin jäännöskaava varmistaa tämän
, tämä antaa integrointivaiheen virheen. Lopullinen virhe ei muodostu vain virheistä jokaisessa integrointivaiheessa, vaan myös halutun tarkan ratkaisun poikkeamista
tarkoista ratkaisuista
,
, ja nämä poikkeamat voivat olla hyvin suuria. Kuitenkin lopullinen arvio virheestä Euler-menetelmässä "hyvälle" funktiolle
näyttää edelleen
,
.

Eulerin menetelmää käytettäessä laskenta etenee seuraavasti. Määrätyn tarkkuuden mukaan ε määritä likimääräinen askel
. Vaiheiden lukumäärän määrittäminen
ja valitse uudelleen suunnilleen vaihe
. Sitten taas säädämme sitä alaspäin niin, että jokaisessa vaiheessa pöytä. 1 tai 2 sopii kokonaislukumäärään integrointivaiheita. Saamme askeleen h. Kaavan (8) mukaan tietäen Ja , löydämme. Löydetyn arvon mukaan Ja
löydämme niin edelleen.

Tuloksena olevalla tuloksella ei välttämättä ole eikä yleensä ole toivottua tarkkuutta. Siksi pienennämme askelta puoleen ja käytämme jälleen Euler-menetelmää. Vertailemme menetelmän ensimmäisen ja toisen sovelluksen tuloksia identtinen pisteitä . Jos kaikki erot ovat pienempiä kuin määritetty tarkkuus, viimeistä laskentatulosta voidaan pitää vastauksena ongelmaan. Jos ei, vähennämme askeleen jälleen puoleen ja käytämme Eulerin menetelmää uudelleen. Nyt verrataan menetelmän viimeisen ja toiseksi viimeisen sovelluksen tuloksia jne.

Eulerin menetelmää käytetään suhteellisen harvoin johtuen siitä, että tietyn tarkkuuden saavuttamiseksi ε tarvitaan suuri määrä vaiheita järjestyksessä
. Kuitenkin, jos
on epäjatkuvia tai epäjatkuvia johdannaisia, niin korkeamman asteen menetelmät tuottavat saman virheen kuin Eulerin menetelmä. Eli vaaditaan sama määrä laskelmia kuin Euler-menetelmässä.

Korkeamman asteen menetelmistä yleisimmin käytetään neljännen asteen Runge–Kutta -menetelmää. Siinä laskelmat suoritetaan kaavojen mukaan

Tämä menetelmä funktion jatkuvien neljännen derivaatan läsnä ollessa
antaa virheen tilauksen yhdessä vaiheessa , eli edellä esitetyssä merkinnässä,
. Yleensä integrointivälillä, edellyttäen että tarkka ratkaisu määritetään tälle välille, integrointivirhe on suuruusluokkaa .

Integrointiaskeleen valinta tapahtuu samalla tavalla kuin Eulerin menetelmässä on kuvattu, paitsi että vaiheen likimääräinen alkuarvo valitaan suhteesta
, eli
.

Useimmat differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen käytetyt ohjelmat käyttävät automaattista askelvalintaa. Asian ydin on tämä. Olkoon arvo jo laskettu . Arvo lasketaan
asteittain h, valittu laskennan aikana . Sitten suoritetaan kaksi integrointivaihetta vaiheella , eli ylimääräinen solmu on lisätty
keskellä solmujen välissä Ja
. Kaksi arvoa lasketaan
Ja
solmuissa
Ja
. Arvo lasketaan
, Missä s– menetelmäjärjestys. Jos δ on pienempi kuin käyttäjän määrittämä tarkkuus, niin se oletetaan
. Jos ei, valitse uusi vaihe h sama ja toista tarkkuustarkastus. Jos ensimmäisen tarkastuksen aikana δ on paljon pienempi kuin määritetty tarkkuus, niin askelta yritetään lisätä. Tätä tarkoitusta varten se lasketaan
solmussa
asteittain h solmusta
ja lasketaan
2 askeleen h solmusta . Arvo lasketaan
. Jos on pienempi kuin määritetty tarkkuus, sitten vaihe 2 h pidetään hyväksyttävänä. Tässä tapauksessa uusi vaihe määrätään
,
,
. Jos tarkkuudella, askel jää ennalleen.

On otettava huomioon, että ohjelmat, joissa on automaattinen integrointivaiheen valinta, saavuttavat määritellyn tarkkuuden vain suorittaessaan yhden vaiheen. Tämä johtuu pisteen läpi kulkevan ratkaisun approksimaatiosta
, eli ratkaisun approksimaatio
. Tällaiset ohjelmat eivät ota huomioon, kuinka paljon ratkaisua
eroaa halutusta ratkaisusta
. Siksi ei ole takeita siitä, että määritetty tarkkuus saavutetaan koko integrointivälin ajan.

Kuvatut Euler- ja Runge–Kutta-menetelmät kuuluvat yksivaiheisten menetelmien ryhmään. Tämä tarkoittaa, että laskea
pisteessä
riittää kun tietää merkityksen solmussa . On luonnollista odottaa, että jos päätöksestä käytetään enemmän tietoa, useat päätöksen aikaisemmat arvot otetaan huomioon
,
jne., sitten uusi arvo
on mahdollista löytää tarkemmin. Tätä strategiaa käytetään monivaiheisissa menetelmissä. Niiden kuvaamiseksi otamme käyttöön merkinnän
.

Monivaiheisten menetelmien edustajia ovat Adams–Bashforth-menetelmät:

Menetelmä k-th order antaa paikallisen tilausvirheen
tai globaali - järjestys .

Nämä menetelmät kuuluvat ekstrapolointimenetelmien ryhmään, ts. uusi merkitys ilmaistaan ​​selvästi aiempien kautta. Toinen tyyppi on interpolointimenetelmät. Niissä jokaisessa vaiheessa sinun on ratkaistava epälineaarinen yhtälö uudelle arvolle . Otetaan esimerkkinä Adams–Moulton-menetelmät:

Jotta voit käyttää näitä menetelmiä, sinun on tiedettävä useita arvoja laskennan alussa
(niiden lukumäärä riippuu menetelmän järjestyksestä). Nämä arvot tulee saada muilla menetelmillä, esimerkiksi Runge-Kutta -menetelmällä pienellä askeleella (tarkkuuden lisäämiseksi). Interpolointimenetelmät osoittautuvat monissa tapauksissa vakaammiksi ja mahdollistavat suurempien vaiheiden suorittamisen kuin ekstrapolointimenetelmät.

Jotta interpolointimenetelmien jokaisessa vaiheessa ei ratkaista epälineaarista yhtälöä, käytetään Adamsin ennustajakorjausmenetelmiä. Tärkeintä on, että ekstrapolointimenetelmää sovelletaan ensin vaiheessa ja tuloksena olevaan arvoon
on korvattu interpolointimenetelmän oikealla puolella. Esimerkiksi toisen järjestyksen menetelmässä

Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu

Monet tieteen ja tekniikan ongelmat liittyvät tavallisten differentiaaliyhtälöiden (ODE) ratkaisemiseen. ODE:t ovat yhtälöitä, jotka sisältävät yhden tai useamman halutun funktion derivaatan. Yleensä ODE voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Kun x on riippumaton muuttuja, on halutun funktion i:s derivaatta. n on yhtälön järjestys. N:nnen kertaluvun ODE:n yleinen ratkaisu sisältää n mielivaltaista vakiota, ts. yleisratkaisulla on muoto .

Yhden ratkaisun valitsemiseksi on asetettava n lisäehtoa. Lisäehtojen määrittämistavasta riippuen on olemassa kahdenlaisia ​​ongelmia: Cauchyn ongelma ja raja-arvoongelma. Jos jossain kohdassa määritetään lisäehtoja, niin tällaista ongelmaa kutsutaan Cauchyn ongelmaksi. Cauchyn ongelman lisäehtoja kutsutaan alkuehdoksi. Jos lisäehtoja on määritelty useammassa kuin yhdessä kohdassa, esim. riippumattoman muuttujan eri arvoille, tällaista ongelmaa kutsutaan raja-arvoongelmaksi. Itse lisäehtoja kutsutaan raja- tai reunaehdoksi.

On selvää, että kun n=1 voimme puhua vain Cauchyn ongelmasta.

Esimerkkejä Cauchyn ongelman asettamisesta:

Esimerkkejä raja-arvoongelmista:

Sellaiset ongelmat on mahdollista ratkaista analyyttisesti vain tietyntyyppisille yhtälöille.

Numeeriset menetelmät Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi ensimmäisen asteen ODE:ille

Ongelman muotoilu. Etsi ratkaisu ensimmäisen tilauksen ODE:hen

Tarjotulla segmentillä

Kun likimääräistä ratkaisua löydetään, oletetaan, että laskelmat suoritetaan lasketulla askeleella, laskentasolmut ovat välipisteet [ x 0 , x n ].

Tavoitteena on rakentaa pöytä

x i				x n
y i				y n

nuo. Y:n likimääräisiä arvoja etsitään ruudukon solmuista.

Integroimalla yhtälö väliin saadaan

Täysin luonnollinen (mutta ei ainoa) tapa saada numeerinen ratkaisu on korvata siinä oleva integraali jollain numeerisen integroinnin kvadratuurikaavalla. Jos käytämme yksinkertaisinta kaavaa ensimmäisen kertaluvun vasemmalle suorakulmiolle

,

sitten saamme eksplisiittinen Eulerin kaava:

Maksumenettely:

Tietäen, löydämme sitten jne.

Eulerin menetelmän geometrinen tulkinta:

Hyödyntämällä sitä, mikä on pisteessä x 0 ratkaisu on tiedossa y(x 0)= y 0 ja sen derivaatan arvo, voimme kirjoittaa tangentin yhtälön halutun funktion kuvaajaan pisteessä:. Riittävän pienellä askeleella h tämän tangentin ordinaatin, joka saadaan korvaamalla arvon oikealle puolelle, ei pitäisi poiketa juurikaan ordinaatista y(x 1) ratkaisut y(x) Cauchy-ongelmia. Siksi tangentin ja suoran leikkauspiste x = x 1 voidaan suunnilleen pitää uutena lähtökohtana. Tämän pisteen kautta piirretään jälleen suora viiva, joka suunnilleen heijastaa tangentin käyttäytymistä pisteessä. Korvaa tämä (eli leikkauspisteen kanssa x = x 2), saamme likimääräisen arvon y(x) kohdassa x 2: jne. Tämän seurauksena i-pisteessä saamme Eulerin kaavan.

Eksplisiittisellä Euler-menetelmällä on ensimmäisen asteen tarkkuus tai approksimaatio.

Jos käytät oikeaa suorakaidekaavaa: , sitten päästään menetelmään

Tätä menetelmää kutsutaan implisiittinen Euler-menetelmä, koska tuntemattoman arvon laskeminen tunnetusta arvosta edellyttää yhtälön ratkaisemista, joka on yleensä epälineaarinen.

Implisiittisellä Euler-menetelmällä on ensimmäisen asteen tarkkuus tai approksimaatio.

Tässä menetelmässä laskenta koostuu kahdesta vaiheesta:

Tätä menetelmää kutsutaan myös ennustaja-korjausmenetelmäksi (predictive-correcting). Ensimmäisessä vaiheessa likimääräinen arvo ennustetaan pienellä tarkkuudella (h), ja toisessa vaiheessa tämä ennuste korjataan niin, että tuloksena oleva arvo on toisen asteen tarkkuudella.

Runge-Kutta menetelmät: ajatus eksplisiittisten Runge–Kutta-menetelmien rakentamisesta s-th järjestyksessä on saada likiarvot arvoihin y(x i+1) lomakkeen kaavan mukaan

…………………………………………….

Tässä a n ,b nj , s n, – joitain kiinteitä numeroita (parametreja).

Runge–Kutta-menetelmiä rakennettaessa funktion parametrit ( a n ,b nj , s n) valitaan siten, että saadaan haluttu approksimaatiojärjestys.

Neljännen kertaluvun Runge–Kutta-kaavio:

Esimerkki. Ratkaise Cauchyn ongelma:

Harkitse kolmea menetelmää: eksplisiittinen Euler-menetelmä, modifioitu Euler-menetelmä, Runge–Kutta-menetelmä.

Tarkka ratkaisu:

Laskentakaavat käyttämällä eksplisiittistä Euler-menetelmää tässä esimerkissä:

Modifioidun Euler-menetelmän laskentakaavat:

Laskentakaavat Runge–Kutta-menetelmälle:

y1 – Eulerin menetelmä, y2 – modifioitu Eulerin menetelmä, y3 – Runge Kutan menetelmä.

Voidaan nähdä, että tarkin on Runge–Kutta-menetelmä.

Numeeriset menetelmät ensimmäisen asteen ODE-järjestelmien ratkaisemiseksi

Tarkastetuilla menetelmillä voidaan ratkaista myös ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöjärjestelmiä.

Osoitetaan tämä kahden ensimmäisen kertaluvun yhtälön järjestelmän tapauksessa:

Eksplisiittinen Euler-menetelmä:

Muokattu Euler-menetelmä:

Neljännen kertaluokan Runge-Kutta -kaavio:

Korkeamman asteen yhtälöiden Cauchy-ongelmat rajoittuvat myös ODE-yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Mieti esimerkiksi Cauchyn ongelma toisen asteen yhtälölle

Otetaan käyttöön toinen tuntematon funktio. Sitten Cauchyn ongelma korvataan seuraavalla:

Nuo. edellisen ongelman suhteen: .

Esimerkki. Etsi ratkaisu Cauchyn ongelmaan:

Segmentillä.

Tarkka ratkaisu:

Todella:

Ratkaistaan ​​tehtävä eksplisiittisellä Euler-menetelmällä, joka on modifioitu Euler- ja Runge-Kutta-menetelmällä askeleella h=0,2.

Esittelemme toiminnon.

Sitten saadaan seuraava Cauchyn ongelma kahden ensimmäisen asteen ODE:n järjestelmälle:

Eksplisiittinen Euler-menetelmä:

Muokattu Euler-menetelmä:

Runge-Kutta menetelmä:

Euler-piiri:

Muokattu Euler-menetelmä:

Runge - Kutta -kaavio:

Max(y-y teoria)=4*10-5

Äärellisen eron menetelmä ODE:n raja-arvoongelmien ratkaisemiseen

Ongelman muotoilu: löytää ratkaisu lineaariseen differentiaaliyhtälöön

jotka täyttävät rajaehdot:. (2)

Lause. Antaa . Sitten on olemassa ainutlaatuinen ratkaisu ongelmaan.

Tämä ongelma rajoittuu esimerkiksi päistään saranoidun palkin taipumien määrittämisongelmaksi.

Äärillisen eron menetelmän päävaiheet:

1) argumentin jatkuvan muutoksen alue () korvataan diskreetillä pistejoukolla, jota kutsutaan solmuiksi: .

2) Jatkuvan argumentin x haluttu funktio korvataan suunnilleen diskreetin argumentin funktiolla tietyssä ruudukossa, ts. . Funktiota kutsutaan ruudukkofunktioksi.

3) Alkuperäinen differentiaaliyhtälö korvataan ruudukkofunktion differentiaaliyhtälöllä. Tätä korvaamista kutsutaan eroapproksimaatioksi.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa siis ruudukon funktion arvojen löytämistä ruudukon solmuista, jotka saadaan algebrallisten yhtälöiden ratkaisemisesta.

Johdannaisten likiarvo.

Ensimmäisen derivaatan likimääräiseksi (korvaamiseksi) voit käyttää kaavoja:

- oikea erojohdannainen,

- vasen erojohdannainen,

Keskeinen erojohdannainen.

eli on monia mahdollisia tapoja approksimoida derivaatta.

Kaikki nämä määritelmät johtuvat johdannaisen käsitteestä rajana: .

Ensimmäisen derivaatan eroapproksimaation perusteella voimme rakentaa toisen derivaatan differentiaaliapproksimaation:

Samalla tavalla voimme saada likiarvoja korkeamman asteen derivaatoista.

Määritelmä. N:nnen derivaatan approksimaatiovirhe on ero: .

Approksimaatiojärjestyksen määrittämiseen käytetään Taylor-sarjan laajennusta.

Tarkastellaan ensimmäisen derivaatan oikeanpuoleista erotusaproksimaatiota:

Nuo. oikealla erojohdannaisella on ensin h likimääräinen järjestys.

Sama pätee vasemman erotusderivaataan.

Keskeisellä erojohdannaisella on toisen asteen likiarvo.

Kaavan (3) mukaisella toisen derivaatan approksimaatiolla on myös toinen approksimaatiokerta.

Differentiaaliyhtälön approksimoimiseksi on välttämätöntä korvata kaikki sen derivaatat niiden approksimaatioilla. Tarkastellaan tehtävää (1), (2) ja korvataan derivaatat kohdassa (1):

Tuloksena saamme:

(4)

Alkuperäisen tehtävän approksimaatiojärjestys on 2, koska toinen ja ensimmäinen derivaatta korvataan järjestyksessä 2, ja loput - täsmälleen.

Differentiaaliyhtälöiden (1), (2) sijasta saadaan siis lineaarinen yhtälöjärjestelmä määritystä varten ruudukon solmuissa.

Kaavio voidaan esittää seuraavasti:

eli meillä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä matriisin kanssa:

Tämä matriisi on kolmikulmainen, ts. kaikki elementit, jotka eivät sijaitse päälävistäjällä ja sen vieressä olevilla kahdella diagonaalilla, ovat nolla.

Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän saamme ratkaisun alkuperäiseen ongelmaan.

Johdanto

Tieteellisiä ja teknisiä ongelmia ratkaistaessa on usein tarpeen kuvata matemaattisesti jokin dynaaminen järjestelmä. Tämä on parasta tehdä differentiaaliyhtälöiden muodossa ( DU) tai differentiaaliyhtälöjärjestelmiä. Useimmiten tämä ongelma ilmenee ratkaistaessa makro- ja mikrohiukkasten liikettä kuvattaessa kemiallisten reaktioiden ja erilaisten siirtoilmiöiden (lämpö, ​​massa, liikemäärä) - lämmönsiirto, sekoittuminen, kuivaus, adsorptio - kinetiikan mallintamiseen liittyviä ongelmia.

Joissakin tapauksissa differentiaaliyhtälö voidaan muuntaa muotoon, jossa suurin derivaatta ilmaistaan ​​eksplisiittisesti. Tätä kirjoitusmuotoa kutsutaan yhtälöksi, joka on ratkaistu suhteessa korkeimpaan derivaatan (tässä tapauksessa korkein derivaatta puuttuu yhtälön oikealta puolelta):

Ratkaisu tavalliseen differentiaaliyhtälöön on funktio y(x), joka mille tahansa x:lle täyttää tämän yhtälön tietyllä äärellisellä tai äärettömällä välillä. Differentiaaliyhtälön ratkaisuprosessia kutsutaan differentiaaliyhtälön integroimiseksi.

Historiallisesti ensimmäinen ja yksinkertaisin tapa ratkaista numeerisesti Cauchyn ongelma ensimmäisen asteen ODE:lle on Eulerin menetelmä. Se perustuu derivaatan approksimaatioon riippuvien (y) ja riippumattomien (x) muuttujien äärellisten lisäysten suhteella tasaisen ruudukon solmujen välillä:

missä y i+1 on funktion haluttu arvo pisteessä x i+1.

Eulerin menetelmän tarkkuutta voidaan parantaa käyttämällä tarkempaa integrointikaavaa integraalin approksimointiin - puolisuunnikkaan muotoinen kaava.

Tämä kaava osoittautuu implisiittiseksi suhteessa y i+1 (tämä arvo on sekä lausekkeen vasemmalla että oikealla puolella), eli se on yhtälö suhteessa y i+1, joka voidaan ratkaista, esimerkiksi numeerisesti jollain iteratiivisella menetelmällä (sellaisena sitä voidaan pitää yksinkertaisen iteraatiomenetelmän iteratiivisena kaavana).

Kurssityön kokoonpano: Kurssityö koostuu kolmesta osasta. Ensimmäinen osa sisältää lyhyen kuvauksen menetelmistä. Toisessa osassa ongelman muotoilu ja ratkaisu. Kolmannessa osassa - ohjelmistojen toteutus tietokonekielellä

Kurssityön tarkoitus: tutkia kahta menetelmää differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi - Euler-Cauchyn menetelmää ja parannettua Euler-menetelmää.

1. Teoreettinen osa

Numeerinen erottelu

Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää yhden tai useamman derivaatan. Riippuen riippumattomien muuttujien lukumäärästä differentiaaliyhtälöt jaetaan kahteen luokkaan.

Tavalliset differentiaaliyhtälöt (ODE)

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt.

Tavalliset differentiaaliyhtälöt ovat yhtälöitä, jotka sisältävät yhden tai useamman halutun funktion derivaatan. Ne voidaan kirjoittaa nimellä

itsenäinen muuttuja

Yhtälön (1) korkeinta kertalukua kutsutaan differentiaaliyhtälön järjestykseksi.

Yksinkertaisin (lineaarinen) ODE on yhtälö (1), joka on ratkaistu derivaatan suhteen

Ratkaisu differentiaaliyhtälöön (1) on mikä tahansa funktio, joka yhtälöksi korvauksensa jälkeen muuttaa sen identiteetiksi.

Lineaariseen ODE:hen liittyvä pääongelma tunnetaan Kasha-ongelmana:

Etsi ratkaisu yhtälöön (2) funktion muodossa, joka täyttää alkuehdon (3)

Geometrisesti tämä tarkoittaa, että on löydettävä pisteen ) läpi kulkeva integraalikäyrä, kun yhtälö (2) täyttyy.

Numeerinen Kasha-ongelman näkökulmasta tarkoittaa: tietyn askeleen segmentille on tehtävä funktioarvojen taulukko, joka täyttää yhtälön (2) ja alkuehdon (3). Yleensä oletetaan, että alkuehto on määritetty segmentin vasemmassa päässä.

Yksinkertaisin numeerinen menetelmä differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi on Eulerin menetelmä. Se perustuu ajatukseen rakentaa graafisesti ratkaisu differentiaaliyhtälöön, mutta tämä menetelmä tarjoaa myös tavan löytää haluttu funktio numeerisessa muodossa tai taulukosta.

Olkoon yhtälö (2) alkuehdon kanssa annettu, eli Kasha-ongelma on esitetty. Ratkaistaan ​​ensin seuraava ongelma. Etsi yksinkertaisimmalla tavalla ratkaisun likimääräinen arvo tietyssä kohdassa, jossa on melko pieni askel. Yhtälö (2) yhdessä alkuehdon (3) kanssa määrittää halutun integraalikäyrän tangentin suunnan koordinaattipisteessä

Tangenttiyhtälöllä on muoto

Liikkumalla tätä tangenttia pitkin, saamme ratkaisun likimääräisen arvon pisteessä:

Kun pisteessä on likimääräinen ratkaisu, voit toistaa aiemmin kuvatun menettelyn: rakentaa tämän pisteen läpi kulkeva suora kulmakertoimella ja löytää siitä ratkaisun likimääräinen arvo pisteessä

. Huomaa, että tämä viiva ei ole todellisen integraalikäyrän tangentti, koska piste ei ole käytettävissämme, mutta jos se on tarpeeksi pieni, saadut likimääräiset arvot ovat lähellä ratkaisun tarkkoja arvoja.

Jatkamalla tätä ajatusta, rakennetaan tasaisin välimatkan päässä oleva pistejärjestelmä

Vaaditun funktion arvotaulukon hankkiminen

Eulerin menetelmä koostuu kaavan syklisestä soveltamisesta

Kuva 1. Eulerin menetelmän graafinen tulkinta

Differentiaaliyhtälöiden numeerisen integroinnin menetelmiä, joissa ratkaisuja saadaan solmusta toiseen, kutsutaan vaiheittaiseksi. Eulerin menetelmä on yksinkertaisin edustaja vaiheittaisista menetelmistä. Jokaisen vaiheittaisen menetelmän ominaisuus on, että toisesta vaiheesta alkaen kaavan (5) alkuarvo on itse likimääräinen, eli virhe jokaisessa seuraavassa vaiheessa kasvaa systemaattisesti. Eniten käytetty menetelmä vaiheittaisten menetelmien tarkkuuden arvioimiseksi ODE:iden likimääräiseen numeeriseen ratkaisuun on menetelmä, jossa tietty segmentti ohitetaan kahdesti askeleella ja askeleella.

1.1 Parannettu Euler-menetelmä

Tämän menetelmän pääidea: seuraava kaavalla (5) laskettu arvo on tarkempi, jos derivaatan arvoa, eli segmentin integraalikäyrän korvaavan suoran kulmakerrointa, ei lasketa. vasenta reunaa pitkin (eli pisteessä), mutta segmentin keskellä. Mutta koska pisteiden välisen derivaatan arvoa ei lasketa, siirrytään kaksoisosuuksiin, joissa on keskipiste, jossa piste on, ja suoran yhtälö saa muodon:

Ja kaava (5) saa muodon

Kaavaa (7) sovelletaan vain kaavalle, joten siitä ei voida saada arvoja, joten ne löydetään Eulerin menetelmällä ja tarkemman tuloksen saamiseksi he tekevät näin: alusta alkaen kaavalla (5) he löytävät arvon

(8)

Kohdassa ja sitten löydetty kaavan (7) mukaan askelein

(9)

Kerran löytyi lisää laskelmia osoitteessa tuotetaan kaavalla (7)

Lab 1

Numeeriset ratkaisumenetelmät

tavalliset differentiaaliyhtälöt (4 tuntia)

Monia fyysisiä ja geometrisia ongelmia ratkaistaessa on etsittävä tuntematon funktio, joka perustuu tuntemattoman funktion, sen derivaattojen ja riippumattomien muuttujien väliseen tiettyyn suhteeseen. Tätä suhdetta kutsutaan differentiaaliyhtälö , ja differentiaaliyhtälön täyttävän funktion löytämistä kutsutaan ratkaisemaan differentiaaliyhtälön.

Tavallinen differentiaaliyhtälö tasa-arvoksi kutsuttu

, (1)

jossa

on riippumaton muuttuja, joka muuttuu tietyssä segmentissä, ja - tuntematon toiminto y ( x ) ja hänen ensimmäinen n johdannaiset. nimeltään yhtälön järjestys .

Tehtävänä on löytää funktio y, joka täyttää yhtälön (1). Lisäksi ilman erillistä ehtoa oletetaan, että halutulla ratkaisulla on jonkinlainen sileysaste, jota tarvitaan jonkin menetelmän rakentamiseen ja "lailliseen" soveltamiseen.

Tavallisia differentiaaliyhtälöitä on kahdenlaisia

Yhtälöt ilman alkuehtoja

Yhtälöt alkuehdoilla.

Yhtälöt ilman alkuehtoja ovat muotoa (1) olevia yhtälöitä.

Yhtälö alkuehtojen kanssa on muotoa (1) oleva yhtälö, jossa sellainen funktio on löydettävä

, joka joillekin täyttää seuraavat ehdot: ,

nuo. pisteessä

funktio ja sen ensimmäiset derivaatat saavat ennalta määrätyt arvot.

Cauchy-ongelmia

Kun tutkitaan menetelmiä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi likimääräisin menetelmin päätehtävä laskee Cauchy ongelma.

Tarkastellaan suosituinta menetelmää Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi - Runge-Kutta -menetelmää. Tämän menetelmän avulla voit rakentaa kaavoja lähes minkä tahansa tarkkuuden likimääräisen ratkaisun laskemiseksi.

Johdetaan toisen asteen tarkkuuden Runge-Kutta-menetelmän kaavat. Tätä varten esitämme ratkaisun osana Taylor-sarjaa ja hylkäämme termit, joiden järjestys on suurempi kuin toinen. Sitten halutun funktion likimääräinen arvo pisteessä x 1 voidaan kirjoittaa näin:

(2)

Toinen johdannainen y "( x 0 ) voidaan ilmaista funktion derivaatan kautta f ( x , y ) , mutta Runge-Kutta -menetelmässä derivaatan sijasta käytetään erotusta

valita parametriarvot vastaavasti

Sitten (2) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

y 1 = y 0 + h [ β f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 + γh , y 0 + δh )], (3)

Missä α , β , γ Ja δ - Jotkut parametrit.

Tarkastellaan (3):n oikeaa puolta argumentin funktiona h , jaetaan se asteina h :

y 1 = y 0 +( α + β ) h f ( x 0 , y 0 ) + αh 2 [ γ f x ( x 0 , y 0 ) + δ f y ( x 0 , y 0 )],

ja valitse parametrit α , β , γ Ja δ niin, että tämä laajennus on lähellä (2). Seuraa, että

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x 0 , y 0 ).

Näiden yhtälöiden avulla ilmaisemme β , γ Ja δ parametrien kautta α , saamme

y 1 = y 0 + h [(1 - α ) f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 +, y 0 + f ( x 0 , y 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Jos nyt sen sijaan ( x 0 , y 0 ) kohdassa (4) korvaa ( x 1 , y 1 ), saamme laskentakaavan y 2 – halutun funktion likimääräinen arvo pisteessä x 2 .

Yleisessä tapauksessa Runge-Kutta -menetelmää sovelletaan segmentin mielivaltaiseen osioon [ x 0 , X ] päällä n osat, ts. vaihtelevalla sävelkorkeudella

x 0, x 1, …, x n; h i = x i+1 – x i , x n = X. (5)

Vaihtoehdot α valitaan 1 tai 0,5. Kirjataan lopuksi muistiin toisen asteen Runge-Kutta-menetelmän laskentakaavat muuttuvin askelin for α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i , y i)), (6.1)

i = 0, 1,…, n -1.

Ja α =0,5:

y i+1 =y i + , (6.2)

i = 0, 1,…, n -1.

Runge-Kutta-menetelmän eniten käytetyt kaavat ovat neljännen tarkkuuden kaavoja:

y i+1 =y i + (k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4),

k 1 = f(x i, y i), k 2 = f(x i + , y i + k 1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i +h, y i +hk 3).

Runge-Kutta -menetelmässä virheen arvioimiseen voidaan soveltaa Rungen sääntöä. Antaa y ( x ; h ) – ratkaisun likimääräinen arvo pisteessä x , saatu kaavoilla (6.1), (6.2) tai (7) vaiheella h , A s – vastaavan kaavan tarkkuusjärjestys. Sitten virhe R ( h ) arvot y ( x ; h ) voidaan arvioida käyttämällä likimääräistä arvoa y ( x ; 2 h ) ratkaisuja jossain vaiheessa x , saadaan porrastettuna 2 h :

(8)

Missä s =2 kaavoille (6.1) ja (6.2) ja s =4 varten (7).