जैसा:
± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 …
जहां ± भिन्न चिह्न है: या तो +, या -,
, एक दशमलव बिंदु है जो किसी संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच विभाजक के रूप में कार्य करता है,
डीके- दशमलव संख्याएं।
इस मामले में, दशमलव बिंदु से पहले (इसके बाईं ओर) संख्याओं के क्रम का अंत होता है (प्रति अंक न्यूनतम 1 के रूप में), और दशमलव बिंदु के बाद (दाईं ओर) यह दोनों परिमित हो सकता है (एक विकल्प के रूप में, दशमलव बिंदु के बाद कोई अंक नहीं हो सकता) और अनंत।
दशमलव मान ± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 … एक वास्तविक संख्या है:
जो कि किसी परिमित या अनंत संख्या के पदों के योग के बराबर होता है।
दशमलव भिन्नों का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना दशमलव संख्या प्रणाली में पूर्णांक लिखने का एक सामान्यीकरण है। पूर्णांक के दशमलव प्रतिनिधित्व में दशमलव बिंदु के बाद कोई अंक नहीं होता है, इसलिए प्रतिनिधित्व इस तरह दिखता है:
± डी एम … डी 1 डी 0 ,
और यह हमारी संख्या को दशमलव संख्या प्रणाली में लिखने से मेल खाता है।
दशमलव- यह 1 को 10, 100, 1000 इत्यादि भागों में विभाजित करने का परिणाम है। ये भिन्न गणना के लिए काफी सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे उसी स्थितीय प्रणाली पर आधारित हैं जिस पर पूर्णांकों की गिनती और रिकॉर्डिंग आधारित होती है। इसके लिए धन्यवाद, दशमलव अंशों के साथ काम करने के लिए अंकन और नियम लगभग पूर्ण संख्याओं के समान ही हैं।
दशमलव भिन्न लिखते समय, आपको हर को चिह्नित करने की आवश्यकता नहीं होती है; यह संबंधित अंक द्वारा लिए गए स्थान से निर्धारित होता है। पहले हम संख्या का पूरा भाग लिखते हैं, फिर दाईं ओर दशमलव बिंदु लगाते हैं। दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - सौवें की संख्या को, तीसरा - हजारवें की संख्या को, इत्यादि। दशमलव बिंदु के बाद स्थित संख्याएँ हैं दशमलव.
उदाहरण के लिए: 
दशमलव भिन्नों का एक लाभ यह है कि उन्हें बहुत आसानी से साधारण भिन्नों में बदला जा सकता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्या (हमारे लिए यह 5047 है) है मीटर; भाजकके बराबर होती है एन-10 की घात, कहाँ एन- दशमलव स्थानों की संख्या (हमारे लिए यह है एन=4):
जब दशमलव अंश में कोई पूर्णांक भाग नहीं होता है, तो हम दशमलव बिंदु से पहले एक शून्य लगाते हैं:
दशमलव भिन्नों के गुण.
1. दाईं ओर शून्य जोड़ने पर दशमलव नहीं बदलता है:
13.6 =13.6000.
2. दशमलव के अंत में शून्य हटा देने पर दशमलव नहीं बदलता है:
0.00123000 = 0.00123.
ध्यान!आप वे शून्य नहीं हटा सकते जो दशमलव अंश के अंत में स्थित नहीं हैं!
3. जब हम दशमलव बिंदु को क्रमशः 1, 2, 2 और इसी तरह दाईं ओर ले जाते हैं तो दशमलव भिन्न 10, 100, 1000 और इसी तरह कई बार बढ़ जाता है:
3.675 → 367.5 (अंश सौ गुना बढ़ गया)।
4. जब हम दशमलव बिंदु को बाईं ओर क्रमशः 1, 2, 3, इत्यादि स्थानों पर ले जाते हैं तो दशमलव अंश दस, एक सौ, हजार और इसी तरह कई गुना छोटा हो जाता है:
1536.78 → 1.53678 (अंश एक हजार गुना छोटा हो गया)।
दशमलव भिन्नों के प्रकार.
दशमलव भिन्नों को विभाजित किया गया है अंतिम, अनंतऔर आवधिक दशमलव.
अंतिम दशमलव अंश हैयह एक भिन्न है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है (या बिल्कुल भी नहीं होते हैं), यानी। ऐसा लगता है:
एक वास्तविक संख्या को एक परिमित दशमलव अंश के रूप में तभी दर्शाया जा सकता है जब यह संख्या तर्कसंगत हो और जब इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में लिखा जाए पी क्यूभाजक क्यू 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है।
अनंत दशमलव.
इसमें संख्याओं का एक अनंत रूप से दोहराया जाने वाला समूह शामिल है जिसे कहा जाता है अवधि. अवधि कोष्ठक में लिखी गई है। उदाहरण के लिए, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).
आवधिक दशमलव- यह एक अनंत दशमलव अंश है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद के अंकों का क्रम, एक निश्चित स्थान से शुरू होकर, अंकों का समय-समय पर दोहराया जाने वाला समूह होता है। दूसरे शब्दों में, आवधिक अंश- एक दशमलव अंश जो इस तरह दिखता है:
ऐसा भिन्न आमतौर पर संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाता है:
संख्याओं का समूह बी 1 … बी एल, जो दोहराता है, है अंश की अवधि, इस समूह में अंकों की संख्या है अवधि.
जब किसी आवर्ती भिन्न में दशमलव बिंदु के तुरंत बाद आवर्त आता है, तो इसका अर्थ है कि भिन्न है शुद्ध आवधिक. जब दशमलव बिंदु और प्रथम आवर्त के बीच संख्याएँ हों, तो भिन्न होती है मिश्रित आवधिक, और दशमलव बिंदु के बाद अवधि के पहले अंक तक अंकों का समूह है अंश पूर्वकाल.
उदाहरण के लिए, भिन्न 1,(23) = 1.2323... शुद्ध आवर्त है, और भिन्न 0.1(23) = 0.12323... मिश्रित आवर्त है।
आवर्त भिन्नों का मुख्य गुण, जिसके कारण वे दशमलव अंशों के पूरे सेट से अलग होते हैं, इस तथ्य में निहित है कि आवधिक अंश और केवल वे तर्कसंगत संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित होता है:
कोई भी अनंत आवधिक दशमलव अंश एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत, जब एक परिमेय संख्या को अनंत दशमलव अंश में विस्तारित किया जाता है, तो इसका मतलब है कि यह अंश आवर्त होगा।
एक सामान्य भिन्न (या मिश्रित संख्या) जिसमें हर एक के बाद एक या अधिक शून्य होते हैं (अर्थात 10, 100, 1000, आदि):
इसे सरल रूप में लिखा जा सकता है: हर के बिना, पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को एक दूसरे से अल्पविराम से अलग करना (इस मामले में, यह माना जाता है कि उचित भिन्न का पूर्णांक भाग 0 के बराबर है)। सबसे पहले पूरा भाग लिखा जाता है, फिर अल्पविराम लगाया जाता है और उसके बाद भिन्नात्मक भाग लिखा जाता है:
इस रूप में लिखी गई सामान्य भिन्न (या मिश्रित संख्याएँ) कहलाती हैं दशमलव.
दशमलव पढ़ना और लिखना
दशमलव भिन्नों को उन्हीं नियमों के अनुसार लिखा जाता है जिनका उपयोग दशमलव संख्या प्रणाली में प्राकृतिक संख्याओं को लिखने के लिए किया जाता है। इसका मतलब यह है कि दशमलव में, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, प्रत्येक अंक उन इकाइयों को व्यक्त करता है जो दाईं ओर की पड़ोसी इकाइयों से दस गुना बड़ी होती हैं।
निम्नलिखित प्रविष्टि पर विचार करें:
संख्या 8 अभाज्य इकाइयों को दर्शाती है। संख्या 3 का मतलब ऐसी इकाइयाँ हैं जो साधारण इकाइयों से 10 गुना छोटी हैं, यानी दशमांश। 4 का अर्थ है सौवां, 2 का अर्थ है हजारवां, आदि।
दशमलव बिंदु के बाद दाईं ओर दिखाई देने वाली संख्याओं को कहा जाता है दशमलव.
दशमलव भिन्नों को इस प्रकार पढ़ा जाता है: पहले पूर्ण भाग कहा जाता है, फिर भिन्नात्मक भाग कहा जाता है। किसी पूरे भाग को पढ़ते समय हमेशा इस प्रश्न का उत्तर देना चाहिए: पूरे भाग में कितनी पूर्ण इकाइयाँ हैं? . संपूर्ण इकाइयों की संख्या के आधार पर, उत्तर में संपूर्ण शब्द (या पूर्णांक) जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक, दो पूर्णांक, तीन पूर्णांक, आदि। भिन्नात्मक भाग को पढ़ते समय, अंशों की संख्या बताई जाती है और अंत में उन अंशों का नाम जोड़ा जाता है जिनके साथ भिन्नात्मक भाग समाप्त होता है:
3.1 इस प्रकार है: तीन दशमलव एक दसवां।
2.017 इस प्रकार पढ़ता है: दो दशमलव सत्रह हज़ारवाँ भाग।
दशमलव भिन्नों को लिखने और पढ़ने के नियमों को बेहतर ढंग से समझने के लिए अंकों की तालिका और उसमें दी गई संख्याओं को लिखने के उदाहरणों पर विचार करें:
कृपया ध्यान दें कि दशमलव बिंदु के बाद उतने ही अंक होते हैं जितने संबंधित साधारण भिन्न के हर में शून्य होते हैं:
प्राथमिक विद्यालय में पहले से ही, छात्रों को भिन्नों का सामना करना पड़ता है। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। आप इन नंबरों के साथ कार्यों को नहीं भूल सकते। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सारी जानकारी जानना आवश्यक है। ये अवधारणाएँ जटिल नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि हर चीज़ को क्रम से समझना है।
भिन्नों की आवश्यकता क्यों है?
हमारे चारों ओर की दुनिया संपूर्ण वस्तुओं से बनी है। इसलिए, शेयरों की कोई आवश्यकता नहीं है. लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी लगातार लोगों को वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करती है।
उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई टुकड़े होते हैं। ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां उसकी टाइल बारह आयतों से बनी है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। इसे आसानी से तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है। लेकिन पांच लोगों को पूरी संख्या में चॉकलेट के टुकड़े देना संभव नहीं होगा।
वैसे, ये टुकड़े पहले से ही भिन्न हैं। और उनके आगे के विभाजन से अधिक जटिल संख्याएँ सामने आती हैं।
"अंश" क्या है?
यह एक इकाई के भागों से बनी संख्या है। बाह्य रूप से, यह क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। सबसे ऊपर (बायीं ओर) लिखी संख्या को अंश कहा जाता है। नीचे (दाएं) जो है वह हर है।
मूलतः, स्लैश एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को भाज्य और हर को भाजक कहा जा सकता है।
वहां कौन-कौन से भिन्न हैं?
गणित में केवल दो प्रकार होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। स्कूली बच्चे प्राथमिक विद्यालय में सबसे पहले भिन्नों से परिचित होते हैं, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। बाद वाला 5वीं कक्षा में सीखा जाएगा। तभी ये नाम सामने आते हैं.
सामान्य भिन्न वे सभी भिन्न हैं जिन्हें एक रेखा से अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 4/7. दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में एक स्थितीय अंकन होता है और इसे पूर्ण संख्या से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग-अलग संख्याएँ हैं।
प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा विपरीत रूप से सत्य होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।
इस प्रकार के भिन्नों के क्या उपप्रकार होते हैं?
कालानुक्रमिक क्रम में शुरू करना बेहतर है, क्योंकि उनका अध्ययन किया जाता है। सामान्य भिन्न पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।
सही। इसका अंश सदैव हर से छोटा होता है।
गलत। इसका अंश इसके हर से बड़ा या उसके बराबर है।
कम करने योग्य/अघुलनशील। यह या तो सही या ग़लत हो सकता है। एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हैं। यदि हैं तो भिन्न के दोनों भागों को उनसे विभाजित करना अर्थात् घटाना आवश्यक है।
मिश्रित। एक पूर्णांक को इसके सामान्य नियमित (अनियमित) भिन्नात्मक भाग को सौंपा गया है। इसके अलावा, यह हमेशा बाईं ओर होता है।
समग्र. यह दो भिन्नों को एक दूसरे से विभाजित करने पर बनता है। अर्थात् इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक रेखाएँ होती हैं।
दशमलव भिन्नों के केवल दो उपप्रकार होते हैं:
परिमित, अर्थात जिसका भिन्नात्मक भाग सीमित है (जिसका अंत है);
अनंत - एक संख्या जिसके अंक दशमलव बिंदु के बाद समाप्त नहीं होते (उन्हें अंतहीन रूप से लिखा जा सकता है)।
दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?
यदि यह एक सीमित संख्या है, तो नियम के आधार पर एक जुड़ाव लागू किया जाता है - जैसा मैं सुनता हूं, वैसा ही लिखता हूं। यानी, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की ज़रूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक पट्टी के साथ।
आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, आपको यह याद रखना होगा कि यह हमेशा एक और कई शून्य होता है। आपको उत्तरार्द्ध में से उतने ही लिखने की आवश्यकता है जितने कि प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंक हैं।
दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में कैसे परिवर्तित करें यदि उनका पूर्णांक भाग गायब है, अर्थात शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05. निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन इसका संकेत नहीं दिया गया है. जो कुछ बचा है वह भिन्नात्मक भागों को लिखना है। पहली संख्या का हर 10 होगा, दूसरे का हर 100 होगा। यानी, दिए गए उदाहरणों में उत्तर के रूप में निम्नलिखित संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, यह पता चला है कि बाद वाले को 5 से कम किया जा सकता है। इसलिए, इसका परिणाम 1/20 के रूप में लिखा जाना चाहिए।
यदि किसी दशमलव अंश का पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है तो आप उसे साधारण भिन्न में कैसे परिवर्तित कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108. दोनों उदाहरणों में पूरा भाग पढ़ा जाता है और उसका मान लिखा जाता है। पहले मामले में यह 5 है, दूसरे में यह 13 है। फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ने की जरूरत है। उनके साथ भी यही ऑपरेशन किया जाना है। पहला नंबर 23/100 दिखाई देता है, दूसरा - 108/100000। दूसरे मान को फिर से कम करने की जरूरत है। उत्तर निम्नलिखित मिश्रित भिन्न देता है: 5 23/100 और 13 27/25000।
अनंत दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदलें?
यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन संभव नहीं होगा। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश हमेशा या तो एक परिमित या आवधिक भिन्न में परिवर्तित हो जाता है।
ऐसे भिन्न के साथ आप केवल इतना ही कर सकते हैं कि उसे गोल कर लें। लेकिन तब दशमलव लगभग उस अनंत के बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन विपरीत प्रक्रिया: दशमलव में परिवर्तित करने से कभी भी प्रारंभिक मान नहीं मिलेगा। अर्थात् अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जाता है। इसे याद रखने की जरूरत है.
एक अनंत आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में कैसे लिखें?
इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या अधिक अंक होते हैं जिन्हें दोहराया जाता है। इन्हें काल कहा जाता है. उदाहरण के लिए, 0.3(3). यहाँ "3" आवर्त में है। उन्हें तर्कसंगत के रूप में वर्गीकृत किया गया है क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।
जिन लोगों ने आवधिक भिन्नों का सामना किया है वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि तुरंत अल्पविराम से शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग कुछ संख्याओं से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।
वह नियम जिसके द्वारा आपको एक अनंत दशमलव को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखना होगा, संकेतित दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। परिमित लोगों की तरह, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अंश में अवधि लिखें, और हर संख्या 9 होगी, जिसे अवधि में अंकों की संख्या जितनी बार दोहराया जाएगा।
उदाहरण के लिए, 0,(5). संख्या में पूर्णांक भाग नहीं है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग से शुरुआत करने की आवश्यकता है। अंश के रूप में 5 और हर के रूप में 9 लिखें। यानी उत्तर भिन्न 5/9 होगा।
मिश्रित साधारण दशमलव आवर्त भिन्न को लिखने का नियम।
अवधि की लंबाई देखें. हर में कितने 9 होंगे।
हर को लिखें: पहले नौ, फिर शून्य।
अंश निर्धारित करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद की सभी संख्याएँ, अवधि सहित, छोटी कर दी जाएंगी। कटौती योग्य - यह बिना किसी अवधि के है।
उदाहरण के लिए, 0.5(8) - आवधिक दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखें। अवधि से पहले भिन्नात्मक भाग में एक अंक होता है। तो एक शून्य होगा. आवर्त में भी एक ही संख्या है - 8. अर्थात् नौ ही एक है। यानी आपको हर में 90 लिखना होगा.
अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 58 में से 5 घटाना होगा। परिणाम 53 होगा। उदाहरण के लिए, आपको उत्तर 53/90 लिखना होगा।
भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?
सबसे सरल विकल्प एक संख्या है जिसका हर संख्या 10, 100, आदि है। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच एक अल्पविराम लगा दिया जाता है।
ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100 आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करना पर्याप्त है। आपको बस हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी उसी संख्या से गुणा करना होगा।
अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम उपयोगी है: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो संभावित उत्तर मिल सकते हैं: एक परिमित या एक आवधिक दशमलव अंश।
साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ
जोड़ना और घटाना
छात्र दूसरों की तुलना में उनसे पहले परिचित हो जाते हैं। इसके अलावा, पहले भिन्नों के हर समान होते हैं, और फिर उनके अलग-अलग होते हैं। इस योजना में सामान्य नियमों को कम किया जा सकता है।
हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
सभी साधारण भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड लिखें।
अंश और हर को उनके लिए निर्दिष्ट कारकों से गुणा करें।
भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाएँ) और उभयनिष्ठ हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।
यदि मीनूएंड का अंश उपट्रेंड से कम है, तो हमें यह पता लगाना होगा कि क्या हमारे पास मिश्रित संख्या है या उचित भिन्न है।
पहले मामले में, आपको पूरे हिस्से में से एक उधार लेना होगा। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करो.
दूसरे में छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटाने का नियम लागू करना आवश्यक है। यानी सबट्रेंड के मॉड्यूल से मीनूएंड के मॉड्यूल को घटाएं और जवाब में "-" चिन्ह लगाएं।
जोड़ (घटाने) के परिणाम को ध्यान से देखिये। यदि आपको अनुचित भिन्न मिलता है, तो आपको संपूर्ण भाग का चयन करना होगा। अर्थात् अंश को हर से भाग दें।
गुणन और भाग
उन्हें निष्पादित करने के लिए भिन्नों को एक सामान्य हर में बदलने की आवश्यकता नहीं है। इससे कार्रवाई करना आसान हो जाता है. लेकिन फिर भी उनसे अपेक्षा की जाती है कि आप नियमों का पालन करें।
भिन्नों को गुणा करते समय, आपको अंश और हर में संख्याओं को देखना होगा। यदि किसी अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उन्हें कम किया जा सकता है।
अंशों को गुणा करें.
हरों को गुणा करें.
यदि परिणाम एक कम करने योग्य अंश है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।
विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणन से बदलना होगा, और भाजक (दूसरा अंश) को व्युत्क्रम भिन्न से बदलना होगा (अंश और हर को बदलें)।
फिर गुणा की तरह आगे बढ़ें (बिंदु 1 से शुरू करके)।
उन कार्यों में जहां आपको किसी पूर्ण संख्या से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाली संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। अर्थात्, 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार कार्य करें।
दशमलव के साथ संचालन
जोड़ना और घटाना
बेशक, आप दशमलव को हमेशा भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से बताई गई योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उनके जोड़-घटाव के नियम बिल्कुल एक जैसे होंगे.
संख्या के भिन्नात्मक भाग में, अर्थात् दशमलव बिंदु के बाद, अंकों की संख्या को बराबर करें। इसमें शून्य की लुप्त संख्या जोड़ें।
भिन्नों को इस प्रकार लिखें कि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।
प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाएँ)।
अल्पविराम हटाएँ.
गुणन और भाग
गौरतलब है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की जरूरत नहीं है. भिन्नों को वैसे ही छोड़ देना चाहिए जैसे वे उदाहरण में दिए गए हैं। और फिर योजना के अनुसार चलें.
गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए भिन्नों को एक के नीचे एक लिखना होगा।
प्राकृतिक संख्याओं की तरह गुणा करें.
उत्तर में अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाएँ छोर से उतने अंक गिनें जितने दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हों।
विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाजक को बदलना होगा: इसे एक प्राकृतिक संख्या बनाना होगा। अर्थात्, भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।
लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।
दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।
अपने उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।
यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हों तो क्या होगा?
हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण मिलते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में दो संभावित समाधान हैं. आपको निष्पक्ष रूप से संख्याओं को तौलना होगा और इष्टतम संख्या को चुनना होगा।
पहला तरीका: साधारण दशमलवों को निरूपित करें
यदि विभाजन या अनुवाद के परिणामस्वरूप परिमित भिन्न प्राप्त होते हैं तो यह उपयुक्त है। यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, फिर भी आपको उन्हें गिनना होगा।
दूसरा तरीका: दशमलव भिन्नों को साधारण के रूप में लिखें
यदि दशमलव बिंदु के बाद के भाग में 1-2 अंक हों तो यह तकनीक सुविधाजनक हो जाती है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो आप एक बहुत बड़े सामान्य अंश के साथ समाप्त हो सकते हैं और दशमलव अंकन कार्य को तेज और गणना करने में आसान बना देगा। इसलिए, आपको हमेशा कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करने और सबसे सरल समाधान विधि चुनने की आवश्यकता है।
दशमलव का उपयोग तब किया जाता है जब आपको गैर-पूर्णांक संख्याओं के साथ संचालन करने की आवश्यकता होती है। यह अतार्किक लग सकता है. लेकिन इस प्रकार की संख्याएँ उन गणितीय कार्यों को बहुत सरल बनाती हैं जिन्हें उनके साथ निष्पादित करने की आवश्यकता होती है। यह समझ समय के साथ आती है, जब उन्हें लिखना परिचित हो जाता है, और उन्हें पढ़ने में कठिनाई नहीं होती है, और दशमलव भिन्नों के नियमों में महारत हासिल हो जाती है। इसके अलावा, सभी क्रियाएं पहले से ज्ञात क्रियाओं को दोहराती हैं, जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं से सीखा गया है। आपको बस कुछ विशेषताएं याद रखने की जरूरत है।
दशमलव परिभाषा
दशमलव एक गैर-पूर्णांक संख्या का एक विशेष प्रतिनिधित्व है जिसमें एक हर होता है जो 10 से विभाज्य होता है, जिसका उत्तर एक और संभवतः शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हर 10, 100, 1000, इत्यादि है, तो अल्पविराम का उपयोग करके संख्या को फिर से लिखना अधिक सुविधाजनक है। फिर संपूर्ण भाग उसके सामने स्थित होगा, और फिर भिन्नात्मक भाग। इसके अलावा, संख्या के दूसरे भाग की रिकॉर्डिंग हर पर निर्भर करेगी। भिन्नात्मक भाग में मौजूद अंकों की संख्या हर के अंक के बराबर होनी चाहिए।
उपरोक्त को इन संख्याओं से स्पष्ट किया जा सकता है:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
दशमलव का उपयोग करने के कारण
गणितज्ञों को कई कारणों से दशमलव की आवश्यकता थी:
रिकॉर्डिंग को सरल बनाना. ऐसा अंश हर और अंश के बीच डैश के बिना एक पंक्ति में स्थित होता है, जबकि स्पष्टता प्रभावित नहीं होती है।
तुलना में सरलता. यह केवल उन संख्याओं को सहसंबंधित करने के लिए पर्याप्त है जो समान स्थिति में हैं, जबकि सामान्य भिन्नों के साथ आपको उन्हें एक सामान्य हर में कम करना होगा।
गणनाओं को सरल बनाएं.
कैलकुलेटर भिन्नों को स्वीकार करने के लिए डिज़ाइन नहीं किए गए हैं; वे सभी कार्यों के लिए दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।
ऐसे नंबरों को सही तरीके से कैसे पढ़ें?
इसका उत्तर सरल है: एक साधारण मिश्रित संख्या की तरह जिसमें हर 10 का गुणज होता है। एकमात्र अपवाद पूर्णांक मान के बिना भिन्न है, फिर पढ़ते समय आपको "शून्य पूर्णांक" का उच्चारण करना होगा।
उदाहरण के लिए, 45/1000 का उच्चारण इस प्रकार किया जाना चाहिए पैंतालीस हज़ारवां, उसी समय 0.045 जैसा ध्वनि होगा शून्य दशमलव पैंतालीस हज़ारवां.
7 के पूर्णांक भाग और 17/100 के भिन्न के साथ एक मिश्रित संख्या, जिसे 7.17 के रूप में लिखा जाएगा, दोनों मामलों में इस प्रकार पढ़ा जाएगा सात दशमलव सत्रह.
भिन्न लिखने में अंकों की भूमिका
रैंक को सही ढंग से अंकित करना गणित की आवश्यकता है। यदि आप अंक को गलत स्थान पर लिखते हैं तो दशमलव और उनका अर्थ महत्वपूर्ण रूप से बदल सकता है। हालाँकि, यह पहले भी सच था।
दशमलव अंश के पूरे भाग के अंकों को पढ़ने के लिए, आपको बस प्राकृतिक संख्याओं के लिए ज्ञात नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है। और दाहिनी ओर वे प्रतिबिंबित होते हैं और अलग ढंग से पढ़े जाते हैं। यदि पूरा भाग "दहाई" लगता है, तो दशमलव बिंदु के बाद यह "दसवां" होगा।
इसे इस तालिका में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।
| कक्षा | हजारों | इकाइयां | , | अंश | |||||||
| स्राव होना | कक्ष | दिसम्बर | इकाइयां | कक्ष | दिसम्बर | इकाइयां | दसवां | सौवां | हज़ारवां | दस-हजारवां | |
किसी मिश्रित संख्या को दशमलव के रूप में सही ढंग से कैसे लिखें?
यदि हर में 10 या 100 और अन्य के बराबर कोई संख्या हो, तो भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाए, यह प्रश्न कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, इसके सभी घटकों को अलग-अलग तरीके से फिर से लिखना पर्याप्त है। निम्नलिखित बिंदु इसमें सहायता करेंगे:
अंश के अंश को थोड़ा किनारे पर लिखें, इस समय दशमलव बिंदु अंतिम अंक के बाद दाईं ओर स्थित होता है;
अल्पविराम को बाईं ओर ले जाएं, यहां सबसे महत्वपूर्ण बात संख्याओं को सही ढंग से गिनना है - आपको इसे उतने ही स्थानों पर ले जाना होगा जितने हर में शून्य हों;
यदि वे पर्याप्त नहीं हैं, तो रिक्त स्थानों पर शून्य होना चाहिए;
अंश के अंत में जो शून्य थे, अब उनकी आवश्यकता नहीं है और उन्हें काटा जा सकता है;
अल्पविराम से पहले पूरा भाग जोड़ें, यदि नहीं था तो यहां भी शून्य होगा।
ध्यान। आप अन्य संख्याओं से घिरे शून्य को नहीं काट सकते।
आप नीचे पढ़ सकते हैं कि ऐसी स्थिति में क्या करना चाहिए जहां हर में न केवल इकाई और शून्य से मिलकर एक संख्या होती है, और भिन्न को दशमलव में कैसे परिवर्तित किया जाए। यह महत्वपूर्ण जानकारी है जिसे आपको जरूर पढ़ना चाहिए।
यदि हर एक मनमाना संख्या है तो भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें?
यहां दो विकल्प हैं:
जब हर को एक संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है जो किसी भी घात के दस के बराबर है।
यदि ऐसा कोई ऑपरेशन नहीं किया जा सकता है।
मैं इसकी जाँच कैसे कर सकता हूँ? आपको हर का गुणनखंड करना होगा। यदि उत्पाद में केवल 2 और 5 मौजूद हैं, तो सब कुछ ठीक है, और अंश आसानी से अंतिम दशमलव में परिवर्तित हो जाता है। अन्यथा, यदि 3, 7 और अन्य अभाज्य संख्याएँ आती हैं, तो परिणाम अनंत होगा। गणितीय संक्रियाओं में उपयोग में आसानी के लिए ऐसे दशमलव अंश को गोल करने की प्रथा है। इस पर थोड़ा नीचे चर्चा की जाएगी।
दशमलव कैसे बनते हैं, इसकी पड़ताल, 5वीं कक्षा। यहां उदाहरण बहुत मददगार होंगे.
मान लें कि हर में संख्याएँ हैं: 40, 24 और 75। उनके लिए अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन इस प्रकार होगा:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
इन उदाहरणों में, केवल प्रथम भिन्न को अंतिम भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।
सामान्य भिन्न को अंतिम दशमलव में बदलने के लिए एल्गोरिदम
अभाज्य गुणनखंडों में हर के गुणनखंडन की जाँच करें और सुनिश्चित करें कि इसमें 2 और 5 शामिल होंगे।
इन संख्याओं में अधिक से अधिक 2s और 5s जोड़ें ताकि उनकी संख्या बराबर हो जाए। वे अतिरिक्त गुणक का मान देंगे.
इस संख्या से हर और अंश को गुणा करें। परिणाम एक साधारण भिन्न होगा, जिसकी रेखा के नीचे कुछ हद तक 10 है।
यदि समस्या में ये क्रियाएं मिश्रित संख्या के साथ की जाती हैं, तो इसे पहले एक अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। और उसके बाद ही वर्णित परिदृश्य के अनुसार कार्य करें।
किसी भिन्न को पूर्णांकित दशमलव के रूप में प्रदर्शित करना
भिन्न को दशमलव में बदलने की यह विधि कुछ लोगों को और भी आसान लग सकती है। क्योंकि इसमें बहुत ज्यादा एक्शन नहीं है. आपको बस अंश को हर से विभाजित करना होगा।
दशमलव बिंदु के दाईं ओर दशमलव भाग वाली किसी भी संख्या को शून्य की अनंत संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है। यह संपत्ति वह है जिसका आपको लाभ उठाने की आवश्यकता है।
सबसे पहले पूरा भाग लिखें और उसके बाद अल्पविराम लगाएं। यदि भिन्न सही है तो शून्य लिखें।
फिर आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। ताकि उनके अंकों की संख्या समान हो. अर्थात्, अंश के दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ें।
अंकों की आवश्यक संख्या तक पहुंचने तक लंबा विभाजन करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको सौवें तक पूर्णांक बनाने की आवश्यकता है, तो उत्तर 3 होना चाहिए। सामान्य तौर पर, आपको अंत में प्राप्त करने के लिए आवश्यक संख्या से एक अधिक संख्या होनी चाहिए।
दशमलव बिंदु के बाद मध्यवर्ती उत्तर लिखें और नियमों के अनुसार गोल करें। यदि अंतिम अंक 0 से 4 तक है, तो आपको इसे त्यागने की आवश्यकता है। और जब यह 5-9 के बराबर हो तो आखिरी वाले को छोड़कर उसके आगे वाले को एक बढ़ाना होगा।
दशमलव से सामान्य भिन्न पर लौटें
गणित में, ऐसी समस्याएँ होती हैं जब दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक होता है, जिसमें हर के साथ एक अंश होता है। आप राहत की सांस ले सकते हैं: यह ऑपरेशन हमेशा संभव है।
इस प्रक्रिया के लिए आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:
पूरा भाग लिखो, यदि वह शून्य के बराबर है, तो कुछ भी लिखने की आवश्यकता नहीं है;
एक भिन्न रेखा खींचें;
इसके ऊपर दाहिनी ओर से संख्याएँ लिखें, यदि शून्य पहले आते हैं, तो उन्हें काट देना होगा;
पंक्ति के नीचे उतने ही शून्य वाली इकाई लिखें जितने मूल भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद अंक हों।
दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए आपको बस इतना ही करना है।
आप दशमलव के साथ क्या कर सकते हैं?
गणित में, ये दशमलव के साथ कुछ निश्चित संक्रियाएँ होंगी जो पहले अन्य संख्याओं के लिए की जाती थीं।
वे हैं:
तुलना;
जोड़ना और घटाना;
गुणन और भाग।
पहली क्रिया, तुलना, वैसी ही है जैसे प्राकृतिक संख्याओं के लिए की गई थी। यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा बड़ा है, आपको पूरे भाग के अंकों की तुलना करने की आवश्यकता है। यदि वे बराबर हो जाते हैं, तो वे भिन्नात्मक की ओर बढ़ते हैं और अंकों के आधार पर उनकी तुलना भी करते हैं। सबसे महत्वपूर्ण अंक में सबसे बड़े अंक वाली संख्या उत्तर होगी।
दशमलव को जोड़ना और घटाना
ये शायद सबसे सरल कदम हैं. क्योंकि इन्हें प्राकृत संख्याओं के नियमों के अनुसार क्रियान्वित किया जाता है।
इसलिए, दशमलव भिन्नों को जोड़ने के लिए, उन्हें एक कॉलम में अल्पविराम लगाकर, एक के नीचे एक लिखना होगा। इस अंकन के साथ, पूर्ण भाग अल्पविराम के बाईं ओर और आंशिक भाग दाईं ओर दिखाई देते हैं। और अब आपको संख्याओं को थोड़ा-थोड़ा करके जोड़ना होगा, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं के साथ किया जाता है, अल्पविराम को नीचे ले जाकर। आपको संख्या के भिन्नात्मक भाग के सबसे छोटे अंक से जोड़ना शुरू करना होगा। यदि दाहिने आधे भाग में पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो शून्य जोड़ दिया जाता है।
यही बात घटाने पर भी लागू होती है। और यहां एक नियम है जो उच्चतम रैंक से एक इकाई लेने की संभावना का वर्णन करता है। यदि घटाए जा रहे अंश में दशमलव बिंदु के बाद घटाए जा रहे अंश की तुलना में कम अंक हैं, तो इसमें शून्य जोड़ दिए जाते हैं।
उन कार्यों में स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है जहां आपको दशमलव अंशों को गुणा और विभाजित करने की आवश्यकता होती है।
विभिन्न उदाहरणों में दशमलव भिन्न को कैसे गुणा करें?
दशमलव भिन्नों को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का नियम है:
अल्पविराम को अनदेखा करते हुए उन्हें एक कॉलम में लिखें;
ऐसे गुणा करें जैसे कि वे प्राकृतिक हों;
मूल संख्या के भिन्नात्मक भाग में जितने अंक थे, उन्हें अल्पविराम से अलग करें।
विशेष मामला वह उदाहरण है जिसमें एक प्राकृतिक संख्या किसी भी घात के 10 के बराबर होती है। फिर उत्तर पाने के लिए आपको बस दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने अन्य कारक में शून्य हों। दूसरे शब्दों में, जब 10 से गुणा किया जाता है, तो दशमलव बिंदु एक अंक से बढ़ जाता है, 100 से - उनमें से दो पहले से ही होंगे, और इसी तरह। यदि भिन्नात्मक भाग में पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो आपको रिक्त स्थानों पर शून्य लिखना होगा।
वह नियम जिसका उपयोग तब किया जाता है जब किसी कार्य के लिए दशमलव अंशों को किसी अन्य समान संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है:
अल्पविरामों पर ध्यान न देते हुए उन्हें एक के बाद एक लिखें;
गुणा करें जैसे कि वे प्राकृतिक थे;
दोनों मूल भिन्नों के आंशिक भागों में जितने अंक थे, उन्हें अल्पविराम से अलग करें।
एक विशेष मामला ऐसे उदाहरण हैं जिनमें गुणकों में से एक 0.1 या 0.01 के बराबर है और इसी तरह। उनमें आपको प्रस्तुत गुणनखंडों में अंकों की संख्या के अनुसार दशमलव बिंदु को बाईं ओर ले जाना होगा। अर्थात यदि इसे 0.1 से गुणा किया जाए तो दशमलव बिंदु एक स्थान खिसक जाता है।
विभिन्न कार्यों में दशमलव भिन्न को कैसे विभाजित करें?
दशमलव भिन्नों को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है:
उन्हें विभाजन के लिए एक कॉलम में इस तरह लिखें जैसे कि वे प्राकृतिक हों;
सामान्य नियम के अनुसार विभाजित करें जब तक कि पूरा भाग समाप्त न हो जाए;
उत्तर में अल्पविराम लगाएं;
भिन्नात्मक घटक को तब तक विभाजित करना जारी रखें जब तक कि शेषफल शून्य न हो जाए;
यदि आवश्यक हो, तो आप आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ सकते हैं।
यदि पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है तो वह उत्तर में भी नहीं होगा।
अलग-अलग, दस, सौ, इत्यादि के बराबर संख्याओं में विभाजन होता है। ऐसी समस्याओं में, आपको भाजक में शून्य की संख्या से दशमलव बिंदु को बाईं ओर ले जाना होगा। ऐसा होता है कि किसी पूरे भाग में पर्याप्त संख्याएँ नहीं होती तो उसके स्थान पर शून्य का प्रयोग किया जाता है। आप देख सकते हैं कि यह ऑपरेशन 0.1 और समान संख्याओं से गुणा करने के समान है।
दशमलव को विभाजित करने के लिए, आपको इस नियम का उपयोग करना होगा:
भाजक को एक प्राकृतिक संख्या में बदलें, और ऐसा करने के लिए, इसमें अल्पविराम को दाईं ओर अंत तक ले जाएँ;
लाभांश में दशमलव बिंदु को अंकों की समान संख्या से आगे बढ़ाएं;
पिछले परिदृश्य के अनुसार कार्य करें.
0.1 से विभाजन पर प्रकाश डाला गया है; 0.01 और अन्य समान संख्याएँ। ऐसे उदाहरणों में, दशमलव बिंदु को भिन्नात्मक भाग में अंकों की संख्या से दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। यदि वे समाप्त हो जाते हैं, तो आपको शून्य की लुप्त संख्या को जोड़ना होगा। यह ध्यान देने योग्य है कि यह क्रिया 10 और समान संख्याओं से विभाजन को दोहराती है।
निष्कर्ष: यह सब अभ्यास के बारे में है
सीखने में कुछ भी आसानी से या बिना प्रयास के नहीं मिलता। नई सामग्री पर विश्वसनीय रूप से महारत हासिल करने के लिए समय और अभ्यास की आवश्यकता होती है। गणित कोई अपवाद नहीं है.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि दशमलव भिन्नों के विषय में कठिनाई न हो, आपको उनके साथ यथासंभव अधिक से अधिक उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता है। आख़िरकार, एक समय था जब प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ना एक गतिरोध था। और अब सब कुछ ठीक है.
इसलिए, एक प्रसिद्ध वाक्यांश को संक्षेप में कहें तो: निर्णय लें, निर्णय लें और फिर से निर्णय लें। फिर ऐसे नंबरों वाले कार्य किसी अन्य पहेली की तरह आसानी से और स्वाभाविक रूप से पूरे हो जाएंगे।
वैसे, पहेलियों को पहले हल करना मुश्किल होता है, और फिर आपको सामान्य गतिविधियाँ करने की ज़रूरत होती है। गणितीय उदाहरणों में भी ऐसा ही है: एक ही रास्ते पर कई बार चलने के बाद, आप यह नहीं सोचेंगे कि कहाँ मुड़ना है।
निर्देश
दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलना सीखें। गिनें कि कितने वर्ण अल्पविराम से अलग किए गए हैं। दशमलव बिंदु के दाईं ओर एक अंक का मतलब है कि हर 10 है, दो का मतलब 100 है, तीन का मतलब 1000 है, इत्यादि। उदाहरण के लिए, दशमलव अंश 6.8 "छह दशमलव आठ" जैसा है। इसे परिवर्तित करते समय, सबसे पहले पूर्ण इकाइयों की संख्या लिखें - 6. हर में 10 लिखें। अंश में 8 नंबर आएगा। इससे पता चलता है कि 6.8 = 6 8/10। संक्षिप्तीकरण के नियम याद रखें. यदि अंश और हर एक ही संख्या से विभाज्य हैं, तो भिन्न को एक सामान्य भाजक द्वारा कम किया जा सकता है। इस स्थिति में, संख्या 2 है। 6 8/10 = 6 2/5।
दशमलव जोड़ने का प्रयास करें. अगर आप एक कॉलम में ऐसा करते हैं तो सावधान हो जाइए. सभी संख्याओं के अंक एक दूसरे से बिल्कुल नीचे - अल्पविराम के नीचे होने चाहिए। जोड़ने के नियम बिल्कुल वही हैं जो इसके साथ संचालन करते समय होते हैं। उसी संख्या 6.8 में एक और दशमलव अंश जोड़ें - उदाहरण के लिए, 7.3। आठ के नीचे तीन, अल्पविराम के नीचे अल्पविराम और छह के नीचे सात लिखें। अंतिम अंक से जोड़ना प्रारंभ करें. 3+8=11, यानी 1 लिखो, 1 याद रखो. इसके बाद, 6+7 जोड़ें, आपको 13 मिलता है। आपके दिमाग में जो बचा था उसे जोड़ें और परिणाम लिखें - 14.1।
घटाव उसी सिद्धांत का पालन करता है। अंकों को एक दूसरे के नीचे और अल्पविराम को अल्पविराम के नीचे लिखें। इसे हमेशा एक मार्गदर्शक के रूप में उपयोग करें, खासकर यदि मीनूएंड में इसके बाद अंकों की संख्या सबट्रेंड की तुलना में कम हो। दी गई संख्या में से घटाएँ, उदाहरण के लिए, 2.139। दो को छह के नीचे, एक को आठ के नीचे और शेष दो अंकों को अगले अंकों के नीचे लिखें, जिन्हें शून्य निर्दिष्ट किया जा सकता है। यह पता चला कि न्यूनतम 6.8 नहीं, बल्कि 6.800 है। इस क्रिया को करने पर आपको कुल 4.661 प्राप्त होंगे।
ऋणात्मक दशमलव के साथ संक्रियाएँ पूर्ण संख्याओं की तरह ही की जाती हैं। जोड़ते समय, ऋण को कोष्ठक के बाहर रखा जाता है, और दिए गए नंबरों को कोष्ठक में लिखा जाता है, और उनके बीच एक प्लस रखा जाता है। परिणाम एक ऋणात्मक संख्या है. यानी, जब आप -6.8 और -7.3 जोड़ते हैं तो आपको 14.1 का समान परिणाम मिलेगा, लेकिन इसके सामने "-" चिह्न होगा। यदि उपअंक लघुअंत से बड़ा है, तो ऋण को भी कोष्ठक से हटा दिया जाता है, और छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटा दिया जाता है। 6.8 में से -7.3 घटाएँ। अभिव्यक्ति को इस प्रकार रूपांतरित करें. 6.8 - 7.3= -(7.3 - 6.8) = -0.5.
दशमलव को गुणा करने के लिए, एक क्षण के लिए दशमलव बिंदु के बारे में भूल जाएँ। उन्हें ऐसे गुणा करें जैसे कि आप पूर्ण संख्याओं को देख रहे हों। इसके बाद दोनों कारकों में दशमलव बिंदु के बाद दाईं ओर के अंकों की संख्या गिनें। कार्य में समान संख्या में वर्ण अलग करें। 6.8 और 7.3 को गुणा करने पर, आपको 49.64 प्राप्त होता है। यानी दशमलव बिंदु के दाईं ओर आपके पास 2 चिह्न होंगे, जबकि गुणक और गुणक में एक-एक थे।
दिए गए भिन्न को किसी पूर्णांक से विभाजित करें। यह क्रिया ठीक उसी तरह से की जाती है जैसे पूर्णांकों के साथ की जाती है। मुख्य बात यह है कि अल्पविराम के बारे में न भूलें और शुरुआत में 0 लगाएं यदि पूर्ण इकाइयों की संख्या भाजक द्वारा विभाज्य नहीं है। उदाहरण के लिए, उसी 6.8 को 26 से विभाजित करने का प्रयास करें। शुरुआत में 0 लगाएं, क्योंकि 6, 26 से कम है। इसे अल्पविराम से अलग करें, फिर दसवां और सौवां भाग आएगा। परिणाम लगभग 0.26 होगा. वास्तव में, इस मामले में, एक अनंत गैर-आवधिक अंश प्राप्त होता है, जिसे सटीकता की वांछित डिग्री तक पूर्णांकित किया जा सकता है।
दो दशमलव अंशों को विभाजित करते समय, इस गुण का उपयोग करें कि जब लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो भागफल नहीं बदलता है। अर्थात्, दशमलव स्थानों की संख्या के आधार पर, दोनों भिन्नों को पूर्ण संख्याओं में बदलें। यदि आप 6.8 को 7.3 से विभाजित करना चाहते हैं, तो बस दोनों संख्याओं को 10 से गुणा करें। यह पता चलता है कि आपको 68 को 73 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यदि किसी संख्या में दशमलव स्थान अधिक हैं, तो इसे पहले पूर्णांक में बदलें, और फिर दूसरी संख्या में। इसे उसी संख्या से गुणा करें. यानी 6.8 को 4.136 से विभाजित करते समय लाभांश और भाजक को 10 से नहीं, बल्कि 1000 गुना बढ़ा दें। 4.735 प्राप्त करने के लिए 6800 को 1436 से विभाजित करें।
