इस पाठ में, हम घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों के बारे में बात करेंगे। वे आमतौर पर एक साथ अध्ययन किए जाते हैं, क्योंकि वे परस्पर विपरीत होते हैं। हम इन कार्यों के उपयोग के बारे में बात करेंगे कि इन कार्यों को अध्ययन के लिए क्यों चुना जाता है।
एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का उपयोग उन सभी घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिन्हें हम हिमस्खलन प्रक्रिया कहते हैं। इसे और अधिक स्पष्ट रूप से कहने के लिए, ये ऐसी प्रक्रियाएँ हैं जहाँ परिमाण में परिवर्तन पहले से मौजूद परिमाण की मात्रा के समानुपाती होता है (जितना अधिक यह बदलता है, उतना ही कम बदलता है)।
ऐसी प्रक्रिया का एक उदाहरण बैक्टीरिया का प्रजनन है। आइए ऐसे कार्य पर विचार करें। कांच में एक जीवाणु होता है। हर सेकेंड में यह दो बैक्टीरिया में विभाजित हो जाता है, नए बैक्टीरिया भी हर सेकेंड में दो में विभाजित हो जाते हैं, और इसी तरह। एक मिनट के भीतर पूरा गिलास बैक्टीरिया से भर गया। एक सेकंड पहले गिलास में कितने बैक्टीरिया थे?
मैं कहना चाहूंगा कि कहीं न कहीं एक पूरे गिलास से थोड़ा कम भरा था, लेकिन सही उत्तर है: आधा गिलास। अगर आधा गिलास भर दिया जाए तो एक सेकेंड में हर जीवाणु भागों में बंट जाएगा और पूरा गिलास भर जाएगा। जैसा कि आप देख सकते हैं, गिलास का पहला आधा सेकंड में भर गया था, और दूसरा आधा केवल एक सेकंड में भर गया था।
पिघलते हिमनद
निश्चित रूप से ग्रह पर बर्फ पिघलने की समस्या के बारे में सभी ने सुना होगा। हिमाच्छादन की ऐसी प्रक्रियाएँ और, इसके विपरीत, वार्मिंग क्यों होती हैं? वे पहले थे, हालांकि अब वे कहते हैं कि मानव गतिविधि का उनकी गति पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है। विभिन्न परिकल्पनाएँ हैं, लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण नहीं है।
इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि बर्फ की मात्रा कम करने से अवशोषित सौर ऊर्जा की मात्रा बढ़ जाती है। यानी बर्फ जितनी कम बनेगी, उतनी ही तेजी से पिघलेगी। प्रक्रिया घातीय है, या, दूसरे शब्दों में, आत्म-आह्वान, आत्म-खिला।
ऐसी प्रक्रिया का वर्णन किया गया है घातीय कार्य (या घातीय): (चित्र .1)। - आधार, , , और - घातांक, बदलते मान।
चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ
एक घातांकीय फलन का एक अन्य उदाहरण जो बहुतों से परिचित है, वह है चक्रवृद्धि ब्याज. यदि हम एक निश्चित प्रतिशत पर बैंक में पैसा डालते हैं, जबकि हम पैसा नहीं निकालते हैं, और उपलब्ध पूरी राशि पर ब्याज लगाया जाता है, तो हमें अवधि के दौरान प्राप्त होने वाली राशि: 
, प्रारंभिक जमा कहां है, ब्याज दर है, पारित अवधियों (वर्षों, महीनों, आदि) की संख्या है। सबसे पहले, राशि धीरे-धीरे बढ़ेगी, लेकिन फिर विकास में तेजी आएगी।
एक और अच्छा उदाहरण। यदि हम किसी शक्ति को बढ़ाते हैं, तो हमें लगभग मिलता है, लेकिन एक शक्ति में, यह व्यावहारिक रूप से होता है। यदि हम इस उदाहरण को ब्याज के रूप में प्रस्तुत करते हैं, तो पहले मामले में यह प्रति दिन लिया जाता है, फिर एक वर्ष में राशि एक कारक से बढ़ जाएगी। और दूसरे मामले में, प्रति दिन एक प्रतिशत की निकासी की जाती है, फिर एक वर्ष में लगभग कुछ भी नहीं बचा होगा।
उसी समय, घातीय फ़ंक्शन की एक विशेषता यह है कि ऐसी योजना के तहत, योग कम नहीं हो सकता है। परमाणु भौतिकी का एक समान उदाहरण अर्ध-जीवन है। रेडियोधर्मी तत्वों का आधा जीवन होता है, उदाहरण के लिए, वर्षों से किसी पदार्थ का द्रव्यमान आधा हो जाएगा (चित्र 2)।
चावल। 2. कुछ तत्वों के अर्ध-आयु की तालिका
यही है, अगर हमारे पास एक किलोग्राम पदार्थ होता है, तो पहले वर्षों में एक ग्राम पदार्थ (काफी बहुत) चला जाएगा, और अगले वर्षों में - पहले से ही एक ग्राम, आदि। और फिर एक ऐसी अवधि होगी जहां लगभग एक ग्राम पदार्थ वर्षों में चला जाएगा। यह घटते घातांक का एक उदाहरण है।
यदि हम सभी कार्यों के सेट पर विचार करते हैं और उनमें से उन कार्यों का चयन करते हैं जिनके पास निम्नलिखित गुण हैं: , तो यह घातीय कार्यों के लिए संतुष्ट होगा: 
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