"संख्यात्मक असमानताएँ" विषय पर पाठ

लक्ष्य:

• शैक्षिक: "अधिक" और "कम" अवधारणाओं की परिभाषा का परिचय दें, संख्यात्मक असमानता, उन्हें असमानताओं के प्रमाण पर लागू करना सिखाएं;
• विकास करना: व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में सैद्धांतिक ज्ञान का उपयोग करने की क्षमता विकसित करना, प्राप्त आंकड़ों का विश्लेषण और सामान्यीकरण करने की क्षमता; गणित में संज्ञानात्मक रुचि विकसित करना, क्षितिज का विस्तार करना;
• शैक्षिक: सीखने के लिए सकारात्मक प्रेरणा बनाने के लिए।

कक्षाओं के दौरान:

1. तैयारी और प्रेरणा।

आज हम महत्वपूर्ण और प्रासंगिक विषय "संख्यात्मक असमानताओं" का अध्ययन करना शुरू करते हैं। यदि हम महान चीनी शिक्षक कन्फ्यूशियस (वह 2400 साल से अधिक पहले जीवित थे) के शब्दों को थोड़ा बदल दें, तो हम अपने पाठ का कार्य तैयार कर सकते हैं: "मैं सुनता हूं और भूल जाता हूं। मैं देखता हूं और याद करता हूं। मैं करता हूं और समझता हूं।"आइए पाठ के उद्देश्य को एक साथ तैयार करें। (छात्र लक्ष्य बनाते हैं, शिक्षक पूरा करता है)।

संख्यात्मक असमानताओं और उनकी परिभाषा का अध्ययन करना और उन्हें व्यवहार में लागू करना सीखना।

व्यवहार में, हमें अक्सर मात्राओं की तुलना करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, रूस के क्षेत्र का क्षेत्रफल ( 17 098 242 ) और फ्रांसीसी क्षेत्र का क्षेत्रफल ( 547 030 ) , ओका नदी की लंबाई (1500 किमी) और डॉन नदी की लंबाई (1870 किमी)।

2. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना.

दोस्तों, आइए हम सब कुछ याद रखें जो हम असमानताओं के बारे में जानते हैं।

दोस्तों, बोर्ड को देखिए, तुलना कीजिए:

3.6748 और 3.675 36.5810 और 36.581

और 0.45 5.5 और

15 और -23 115 और -127

असमानता क्या है?

असमानता - संख्याओं (या संख्यात्मक मान लेने में सक्षम कोई गणितीय अभिव्यक्ति) के बीच एक संबंध यह दर्शाता है कि कौन सा दूसरे से बड़ा या कम है।

असमानता के संकेत (>; ) पहली बार 1631 में दिखाई दिए, लेकिन असमानता की अवधारणा, समानता की अवधारणा की तरह, प्राचीन काल में उत्पन्न हुई। गणितीय विचार के विकास में, मात्राओं की तुलना किए बिना, "अधिक" और "कम" की अवधारणाओं के बिना, समानता, पहचान, समीकरण की अवधारणा तक पहुंचना असंभव था।

संख्याओं की तुलना करने के लिए किन नियमों का प्रयोग किया जाता है?

a) दो धनात्मक संख्याओं में, जिसका मापांक बड़ा है, वह बड़ा है;

बी) दो ऋणात्मक संख्याओं में से, बड़ी संख्या वह होती है जिसका मापांक कम होता है;

ग) कोई भी ऋणात्मक संख्या धनात्मक से कम है;

d) शून्य से बड़ी कोई धनात्मक संख्या;

ई) शून्य से कम कोई भी ऋणात्मक संख्या।

निर्देशांक रेखा पर स्थित संख्याओं की तुलना करने के लिए किस नियम का प्रयोग किया जाता है?

(एक समन्वय रेखा पर, एक बड़ी संख्या को दायीं ओर स्थित एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है, और एक छोटी संख्या को बाईं ओर स्थित एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।)

ध्यान दें कि विशिष्ट प्रकार की संख्याओं के आधार पर, हमने तुलना की एक या दूसरी विधि का उपयोग किया है। यह सहज नहीं है। हमारे लिए सभी मामलों को कवर करने वाली संख्याओं की तुलना करने का एक सार्वभौमिक तरीका बनाना आसान होगा।

3. नई सामग्री सीखना।

संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 8; 0; -3; -1.5.

सबसे छोटी संख्या कौन सी है? सबसे बड़ी संख्या क्या है?

a और b के लिए कौन सी संख्याएँ प्रतिस्थापित की जा सकती हैं?

ए-बी = 8

ए - बी \u003d -3

ए - बी \u003d -8

ए - बी \u003d 1.5

ए - बी = 0

ध्यान दें कि बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है; छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को घटाने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है।

संख्याओं की तुलना करने का सार्वभौमिक तरीका संख्यात्मक असमानताओं की परिभाषा पर आधारित है: संख्या a संख्या b से अधिक है, यदि अंतर a - b एक धनात्मक संख्या है; संख्या a संख्या b से कम है यदि अंतर a - b एक ऋणात्मक संख्या है। ध्यान दें कि यदि अंतर a - b = 0 है, तो संख्याएँ a और b बराबर हैं।

4. नई सामग्री का समेकन।

संख्या a और b की तुलना करें यदि:

ए) ए - बी \u003d - 0.8 (ए बी से कम है, क्योंकि अंतर एक नकारात्मक संख्या है)

बी) ए - बी \u003d 0 (ए \u003d बी)

सी) ए - बी = 5, 903 (ए बी से बड़ा है, क्योंकि अंतर एक सकारात्मक संख्या है)।

ब्लैकबोर्ड संख्या 724, 725 (मौखिक रूप से), 727 (यदि समय हो तो), 728 (ए, डी), 729 (सी, डी), 730, 732 पर स्पष्टीकरण के साथ हल करें।

5. पाठ के परिणाम। डी / एस।सीखना। डीईएफ़। नंबर 726, 728 (ए, डी), 729 (सी, डी), 731.

दोस्तों, आज के पाठ में हमने असमानताओं पर पहले पढ़ी गई सामग्री को दोहराया और असमानताओं के बारे में बहुत कुछ सीखा।

1) "असमानता" क्या है?

2) दो संख्याओं की तुलना कैसे करें?

3) दोस्तों, अपना हाथ उठाओ, पाठ में किन कठिनाइयों का सामना करना पड़ा?

पूर्वावलोकन:

a) दो धनात्मक संख्याओं में, जिसका मापांक बड़ा है, वह बड़ा है; बी) दो ऋणात्मक संख्याओं में से, बड़ी संख्या वह होती है जिसका मापांक कम होता है; ग) कोई भी ऋणात्मक संख्या धनात्मक से कम है; d) शून्य से बड़ी कोई धनात्मक संख्या; ई) शून्य से कम कोई भी ऋणात्मक संख्या।

a और b के लिए कौन सी संख्याएँ प्रतिस्थापित की जा सकती हैं? ए - बी = 8 ए - बी = -3 ए - बी = - 8 ए - बी = 1.5 ए - बी = 0 आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 8; 0; -3; -1.5.

संख्या a, संख्या b से बड़ी है, यदि अंतर a - b एक धनात्मक संख्या है; संख्या a, संख्या b से कम है, यदि अंतर a - b एक ऋणात्मक संख्या है। ध्यान दें कि यदि अंतर a - b 0 के बराबर है, तो संख्याएँ a और b बराबर हैं।

संख्याओं a और b की तुलना करें यदि: A) a - b = - 0.8 B) a - b = 0 C) a - b = 5, 903

गणित में असमानताएं प्रमुख भूमिका निभाती हैं। स्कूल में, हम मुख्य रूप से व्यवहार करते हैं संख्यात्मक असमानता, जिसकी परिभाषा के साथ हम इस लेख की शुरुआत करेंगे। और फिर हम सूचीबद्ध करते हैं और औचित्य देते हैं संख्यात्मक असमानताओं के गुण, जिस पर असमानताओं के साथ काम करने के सभी सिद्धांत आधारित हैं।

हम तुरंत ध्यान दें कि संख्यात्मक असमानताओं के कई गुण समान हैं। इसलिए, हम सामग्री को उसी योजना के अनुसार प्रस्तुत करेंगे: हम संपत्ति तैयार करते हैं, इसका औचित्य और उदाहरण देते हैं, और फिर अगली संपत्ति पर आगे बढ़ते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

संख्यात्मक असमानताएं: परिभाषा, उदाहरण

जब हमने असमानता की अवधारणा को पेश किया, तो हमने देखा कि असमानताओं को अक्सर उनके लिखे जाने के तरीके से परिभाषित किया जाता है। इसलिए हम असमानताओं को सार्थक बीजीय व्यंजक कहते हैं जिनमें के बराबर नहीं, से कम के चिह्न हों<, больше >, से कम या बराबर या से बड़ा या बराबर। उपरोक्त परिभाषा के आधार पर, संख्यात्मक असमानता को परिभाषित करना सुविधाजनक है:

1 से 9 तक की पहली प्राकृतिक संख्याओं से परिचित होने और तुलना ऑपरेशन से परिचित होने के तुरंत बाद पहली कक्षा में गणित के पाठों में संख्यात्मक असमानताओं के साथ बैठक होती है। सच है, वहां उन्हें "संख्यात्मक" की परिभाषा को छोड़कर, केवल असमानताएं कहा जाता है। स्पष्टता के लिए, उनके अध्ययन के उस चरण से सरलतम संख्यात्मक असमानताओं के कुछ उदाहरण देने में कोई दिक्कत नहीं होती है: 1<2 , 5+2>3 .

और प्राकृतिक संख्याओं से आगे, ज्ञान अन्य प्रकार की संख्याओं (पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक संख्या) तक फैलता है, उनकी तुलना के नियमों का अध्ययन किया जाता है, और यह संख्यात्मक असमानताओं की प्रजातियों की विविधता को महत्वपूर्ण रूप से विस्तारित करता है: −5> −72, 3> - 0.275 (7−5, 6) , .

संख्यात्मक असमानताओं के गुण

व्यवहार में, असमानताओं के साथ काम करने से कई संख्यात्मक असमानताओं के गुण. वे हमारे द्वारा शुरू की गई असमानता की अवधारणा का पालन करते हैं। संख्याओं के संबंध में, यह अवधारणा निम्नलिखित कथन द्वारा दी गई है, जिसे संख्याओं के सेट पर "से कम" और "से अधिक" संबंधों की परिभाषा माना जा सकता है (इसे अक्सर असमानता की अंतर परिभाषा कहा जाता है):

परिभाषा।

• संख्या a, b से बड़ा है यदि और केवल यदि अंतर a−b एक धनात्मक संख्या है;
• संख्या a, संख्या b से कम है यदि और केवल यदि अंतर a−b एक ऋणात्मक संख्या है;
• संख्या a, संख्या b के बराबर है यदि और केवल यदि अंतर a−b शून्य के बराबर है।

इस परिभाषा को इससे कम या इसके बराबर और इससे अधिक या इसके बराबर की परिभाषा में पुनर्गठित किया जा सकता है। यहाँ इसकी शब्दावली है:

परिभाषा।

• संख्या a, b से बड़ा या उसके बराबर है यदि और केवल यदि a−b एक गैर-ऋणात्मक संख्या है;
• संख्या a, संख्या b से कम या उसके बराबर है यदि और केवल यदि a - b एक गैर-धनात्मक संख्या है।

हम इन परिभाषाओं का उपयोग संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को सिद्ध करने में करेंगे, जिनकी अब हम समीक्षा करते हैं।

मूल गुण

हम असमानताओं के तीन बुनियादी गुणों के साथ अपनी समीक्षा शुरू करते हैं। वे क्यों जरूरी हैं? क्योंकि वे सबसे सामान्य अर्थों में असमानताओं के गुणों का प्रतिबिंब हैं, न कि केवल संख्यात्मक असमानताओं के संबंध में।

संकेतों का उपयोग करके लिखी गई संख्यात्मक असमानताएँ< и >, विशेष रूप से:

गैर-सख्त असमानता संकेतों ≤ और ≥ का उपयोग करके लिखी गई संख्यात्मक असमानताओं के लिए, उनके पास रिफ्लेक्सिविटी की संपत्ति है (बजाय एंटी-रिफ्लेक्सिविटी), क्योंकि असमानताओं a≤a और a≥a में समानता का मामला शामिल है a=a । उन्हें एंटीसिमेट्री और ट्रांज़िटिविटी की भी विशेषता है।

तो, और के संकेतों के साथ लिखी गई संख्यात्मक असमानताओं में निम्नलिखित गुण हैं:

• रिफ्लेक्सिविटी ए और ए वास्तविक असमानताएं हैं;
• एंटीसिमेट्री, यदि a≤b , तो b≥a , और यदि a≥b , तो b≤a ।
• सकर्मकता, यदि a≤b और b≤c , तो a≤c , और साथ ही, यदि a≥b और b≥c , तो a≥c ।

उनके प्रमाण पहले से दिए गए प्रमाणों से बहुत मिलते-जुलते हैं, इसलिए हम उन पर ध्यान नहीं देंगे, बल्कि संख्यात्मक असमानताओं के अन्य महत्वपूर्ण गुणों की ओर बढ़ेंगे।

संख्यात्मक असमानताओं के अन्य महत्वपूर्ण गुण

आइए हम संख्यात्मक असमानताओं के मूल गुणों को महान व्यावहारिक महत्व के परिणामों की एक श्रृंखला के साथ पूरक करें। भावों के मूल्यों का मूल्यांकन करने के तरीके उन पर आधारित हैं, के सिद्धांत असमानताओं का समाधानआदि। इसलिए उनके साथ अच्छा व्यवहार करने की सलाह दी जाती है।

इस खंड में, हम केवल सख्त असमानता के एक संकेत के लिए असमानताओं के गुण तैयार करेंगे, लेकिन यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि समान गुण विपरीत संकेत के लिए भी मान्य होंगे, साथ ही गैर-सख्त असमानताओं के संकेतों के लिए भी मान्य होंगे। आइए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं। नीचे हम असमानताओं का निम्नलिखित गुणधर्म बनाते और सिद्ध करते हैं: यदि a

• अगर a>b , तो a+c>b+c ;
• अगर a≤b , तो a+c≤b+c ;
• अगर a≥b , तो a+c≥b+c ।

सुविधा के लिए, हम संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को एक सूची के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जबकि संबंधित बयान देते हैं, औपचारिक रूप से अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं, एक प्रमाण देते हैं, और फिर उपयोग के उदाहरण दिखाते हैं। और लेख के अंत में हम एक तालिका में संख्यात्मक असमानताओं के सभी गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत करेंगे। जाओ!

एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता के दोनों पक्षों में किसी भी संख्या को जोड़ने (या घटाना) एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता देता है। दूसरे शब्दों में, यदि संख्याएँ a और b ऐसी हैं कि a

इसे साबित करने के लिए, आइए हम अंतिम संख्यात्मक असमानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच अंतर की रचना करें, और यह दिखाएं कि यह एक शर्त के तहत ऋणात्मक है (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. चूंकि शर्त के अनुसार a

हम संख्या c के घटाव के लिए संख्यात्मक असमानताओं के इस गुण के प्रमाण पर ध्यान नहीं देते हैं, क्योंकि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर घटाव को −c जोड़कर बदला जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि आप सही संख्यात्मक असमानता 7>3 के दोनों भागों में संख्या 15 जोड़ते हैं, तो आपको सही संख्यात्मक असमानता 7+15>3+15, जो समान है, 22>18 मिलती है।

यदि सही संख्यात्मक असमानता के दोनों भागों को एक ही धनात्मक संख्या c से गुणा (या विभाजित) किया जाए, तो सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त होगी। यदि असमानता के दोनों भागों को एक ऋणात्मक संख्या c से गुणा (या विभाजित) किया जाता है, और असमानता का चिन्ह उलट दिया जाता है, तो सही असमानता प्राप्त होगी। शाब्दिक रूप में: यदि संख्याएँ a और b असमानता को संतुष्ट करते हैं a ई.पू.

सबूत। आइए मामले से शुरू करें जब c>0 । सिद्ध की जा रही संख्यात्मक असमानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच अंतर लिखें: a·c−b·c=(a−b)·c । चूंकि शर्त के अनुसार a 0 है, तो गुणनफल (a−b) c ऋणात्मक संख्या a−b के गुणनफल के रूप में एक ऋणात्मक संख्या होगी और एक धनात्मक संख्या c (जो से अनुसरण करती है)। इसलिए, a c−b c<0 , откуда a·c

हम एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता के दोनों भागों को समान संख्या c से विभाजित करने के लिए मानी गई संपत्ति के प्रमाण पर ध्यान नहीं देते हैं, क्योंकि विभाजन को हमेशा 1/c से गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

आइए हम विश्लेषण किए गए गुण को ठोस संख्याओं पर लागू करने का एक उदाहरण दिखाते हैं। उदाहरण के लिए, आप सही संख्यात्मक असमानता के दोनों भाग कर सकते हैं 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

एक संख्यात्मक समानता के दोनों पक्षों को एक संख्या से गुणा करने की जांच की गई संपत्ति से, दो व्यावहारिक रूप से मूल्यवान परिणाम सामने आते हैं। इसलिए हम उन्हें उपफलों के रूप में बनाते हैं।

इस अनुच्छेद में ऊपर चर्चा की गई सभी गुण इस तथ्य से एकजुट हैं कि पहले एक सही संख्यात्मक असमानता दी जाती है, और इससे, असमानता के कुछ हिस्सों और संकेत के साथ कुछ जोड़तोड़ के माध्यम से, एक और सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त की जाती है। अब हम गुणों का एक खंड देंगे जिसमें शुरू में एक नहीं, बल्कि कई सही संख्यात्मक असमानताएँ दी गई हैं, और उनके भागों को जोड़ने या गुणा करने के बाद उनके संयुक्त उपयोग से एक नया परिणाम प्राप्त होता है।

यदि संख्या a , b , c और d के लिए असमानताएँ a

आइए हम सिद्ध करें कि (a+c)−(b+d) एक ऋणात्मक संख्या है, इससे सिद्ध होगा कि a+c

प्रेरण द्वारा, यह संपत्ति तीन, चार, और सामान्य रूप से, संख्यात्मक असमानताओं की किसी भी सीमित संख्या के टर्म-बाय-टर्म जोड़ तक फैली हुई है। अतः, यदि संख्याओं a 1 , a 2 , …, a n और b 1 , b 2 , …, b n असमानताओं a 1 के लिए ए 1 +ए 2 +…+ए एन .

उदाहरण के लिए, हमें एक ही चिन्ह -5 . की तीन सही संख्यात्मक असमानताएँ दी गई हैं<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

आप एक ही चिन्ह के पद को संख्यात्मक असमानताओं से गुणा कर सकते हैं, जिसके दोनों भाग धनात्मक संख्याओं द्वारा दर्शाए जाते हैं। विशेष रूप से, दो असमानताओं के लिए a

इसे सिद्ध करने के लिए, हम असमानता के दोनों पक्षों को गुणा कर सकते हैं a

यह गुण धनात्मक भागों के साथ किसी भी परिमित संख्या में मान्य संख्यात्मक असमानताओं के गुणन के लिए भी मान्य है। अर्थात्, यदि a 1 , a 2 , …, a n और b 1 , b 2 , …, b n धनात्मक संख्याएँ हैं, और a 1 ए 1 ए 2 ... ए एन .

अलग-अलग, यह ध्यान देने योग्य है कि यदि संख्यात्मक असमानताओं के संकेतन में गैर-धनात्मक संख्याएँ होती हैं, तो उनका पद-दर-गुणन गलत संख्यात्मक असमानताओं को जन्म दे सकता है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक असमानताएँ 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• परिणाम। फॉर्म की समान वास्तविक असमानताओं का टर्म-बाय-टर्म गुणन a

लेख के अंत में, जैसा कि वादा किया गया था, हम सभी अध्ययन की गई संपत्तियों को एकत्र करेंगे संख्यात्मक असमानताओं की संपत्ति तालिका:

ग्रंथ सूची।

• मोरो एम.आई.. गणित। प्रोक। 1 सीएल के लिए जल्दी स्कूल दोपहर 2 बजे। भाग 1। (पहली छमाही) / एम। आई। मोरो, एस। आई। वोल्कोवा, एस। वी। स्टेपानोवा। - 6 वां संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 2006. - 112 पी .: बीमार। + ऐप। (2 अलग एल। बीमार।)। - आईएसबीएन 5-09-014951-8।
• गणित: अध्ययन करते हैं। 5 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / एन। हां। विलेनकिन, वी। आई। झोखोव, ए। एस। चेस्नोकोव, एस। आई। श्वार्ट्सबर्ड। - 21 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2007. - 280 पी .: बीमार। आईएसबीएन 5-346-00699-0।
• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच। - 11 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनमोज़िना, 2009. - 215 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।

पाठ विषय:

संख्यात्मक असमानताएँ।

बीजगणित ग्रेड 8

लक्ष्य:

• विभिन्न संख्याओं की तुलना करने के लिए नियमों को दोहराना;
• "कम" और "अधिक" की अवधारणाओं को समेकित करने के लिए;
• किसी भी संख्या और शाब्दिक व्यंजकों की तुलना करने की विधि से परिचित हो सकेंगे;
• अभ्यास करते समय तुलना विधि का उपयोग करना सीखें

संख्याओं की तुलना करें:

11 और -13 7 और 2

मौखिक कार्य

, =

17 -3 -17-(-3) 0

11,5 13,6 11,5-13,6 0

निष्कर्ष: यदि ए बी, फिर ए - बी 0.

• और इसके विपरीत, यदि a - b 0, फिर ए 0.

बी, फिर ए - बी 0। इसके विपरीत, अगर ए - बी 0, तो ए बी "चौड़ाई =" 640 "

मौखिक कार्य

संख्याओं की तुलना करें। इन संख्याओं के अंतर के मान की तुलना शून्य से करें। , =

0,7 0,03 0,7-0,03 0

• निष्कर्ष: यदि a b, तो a - b 0.
• और, इसके विपरीत, यदि a - b 0, तो a b

मौखिक कार्य

संख्याओं की तुलना करें। इन संख्याओं के अंतर के मान की तुलना शून्य से करें। , =

निष्कर्ष: यदि ए = बी, फिर ए - बी = 0.

और इसके विपरीत, यदि a - b = 0, फिर ए = बी।

संख्या a और b की तुलना करें यदि:

ए - बी \u003d - 0.07, फिर ए बी

a - b = 0 , तो a b

ए - बी \u003d 11.5, फिर ए बी

ज्ञात हो कि अ बी।

क्या अंतर a - b को संख्या 7.15 से व्यक्त किया जा सकता है? -12? 0?

किसी भी संख्या की तुलना करने का एक तरीका

संख्या एक और बी अगर अंतर ए - बी एक सकारात्मक संख्या है

संख्या बी से कम अगर अंतर ए - बी - एक ऋणात्मक संख्या

संख्या तुलना विधि

दो संख्याओं की तुलना करने के लिए, आपको चाहिए:

• उनके अंतर का पता लगाएं;
• शून्य के साथ अंतर की तुलना करें;
• निष्कर्ष निकालना।

पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना

№ 726,

№ 730,

№ 731.

प्रतिबिंब

पहली संख्या दूसरी से कब कम है?

पहली संख्या दूसरी से कब बड़ी है?

पहली संख्या दूसरी के बराबर कब है?

संख्याओं (अक्षर के भाव) की तुलना करने का एक तरीका तैयार करें।

• मैं पाठ से संतुष्ट हूं, मुझे वास्तव में यह पसंद आया।

• मुझे पाठ पसंद आया, लेकिन मेरी जानकारी में अंतराल हैं।

• मैं पाठ से संतुष्ट नहीं हूं, मुझे कुछ समझ नहीं आया और मुझे नहीं पता कि उदाहरणों को कैसे हल किया जाए।

गृहकार्य

मद 28. परिभाषित; नंबर 728,

असमानताएक संकेतन है जिसमें संख्या, चर या भाव एक संकेत द्वारा जुड़े होते हैं<, >, या । अर्थात् असमानता को संख्याओं, चरों या व्यंजकों की तुलना कहा जा सकता है। लक्षण < , > , ⩽ तथा ⩾ बुलाया असमानता के संकेत.

असमानताओं के प्रकार और उन्हें कैसे पढ़ा जाता है:

जैसा कि उदाहरणों से देखा जा सकता है, सभी असमानताओं में दो भाग होते हैं: बाएँ और दाएँ, जो असमानता के संकेतों में से एक से जुड़े होते हैं। असमानताओं के हिस्सों को जोड़ने वाले संकेत के आधार पर, उन्हें सख्त और गैर-सख्त में विभाजित किया जाता है।

सख्त असमानता- असमानताएँ जिनके भाग एक चिन्ह से जुड़े होते हैं< или >. गैर-सख्त असमानता- असमानताएँ जिनके भाग चिन्ह या .

बीजगणित में तुलना के बुनियादी नियमों पर विचार करें:

• शून्य से बड़ी कोई भी धनात्मक संख्या।
• कोई भी ऋणात्मक संख्या शून्य से कम होती है।
• दो ऋणात्मक संख्याओं में से छोटी निरपेक्ष मान वाली संख्या बड़ी होती है। उदाहरण के लिए, -1> -7।
• एकतथा बीसकारात्मक:

  एक - बी > 0,

  उस एकअधिक बी (एक > बी).

• यदि दो असमान संख्याओं का अंतर एकतथा बीनकारात्मक:

  एक - बी < 0,

  उस एककम बी (एक < बी).

• यदि संख्या शून्य से अधिक है, तो यह धनात्मक है:

  एक> 0 मतलब एकएक सकारात्मक संख्या है।

• यदि संख्या शून्य से कम है, तो यह ऋणात्मक है:

  एक < 0, значит एक- एक नकारात्मक संख्या।

समतुल्य असमानताएँ- असमानताएं जो एक और असमानता का परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, यदि एककम बी, फिर बीअधिक एक:

एक < बीतथा बी > एक- समतुल्य असमानताएँ

असमानताओं के गुण

1. यदि असमानता के दोनों भागों में समान संख्या जोड़ दी जाए या दोनों भागों में से समान संख्या घटा दी जाए, तो एक समान असमानता प्राप्त होगी, अर्थात्,

   यदि एक > बी, फिर एक + सी > बी + सी तथा एक - सी > बी - सी

   इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विषमता की शर्तों को विपरीत चिन्ह के साथ एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना संभव है। उदाहरण के लिए, असमानता के दोनों पक्षों को जोड़ना एक - बी > सी - डी पर डी, हम पाते हैं:

   एक - बी > सी - डी

   एक - बी + डी > सी - डी + डी

   एक - बी + डी > सी

2. यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए, तो एक समान असमानता प्राप्त होगी, अर्थात्,
3. यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो दी गई असमानता के विपरीत असमानता प्राप्त होगी, अर्थात्, असमानता के दोनों भागों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने पर, असमानता का संकेत मिलता है विपरीत में बदलना होगा।

   इस संपत्ति का उपयोग असमानता के सभी पदों के संकेतों को बदलने के लिए दोनों पक्षों को -1 से गुणा करके और असमानता के संकेत को उलटने के लिए किया जा सकता है:

   -एक + बी > -सी

   (-एक + बी) · -एक< (-सी) · -एक

   एक - बी < सी

   असमानता -एक + बी > -सी असमानता के बराबर है एक - बी < सी