जाओ) संख्याएँ।

2. सम्मिश्र संख्याओं के निरूपण का बीजगणितीय रूप

जटिल संख्याया जटिल, से मिलकर बनी एक संख्या को कहा जाता है दो नंबर (अंश) - वास्तविक और काल्पनिक।

असलीकिसी भी धनात्मक या ऋणात्मक संख्या को कहा जाता है, उदाहरण के लिए, +5, - 28, आदि। आइए एक वास्तविक संख्या को "L" अक्षर से निरूपित करें।

काल्पनिककिसी वास्तविक संख्या के गुणनफल और किसी ऋणात्मक इकाई के वर्गमूल के बराबर संख्या को कहा जाता है, उदाहरण के लिए, 8, - 20, आदि।

ऋणात्मक इकाई कहलाती है काल्पनिक और इसे "iot" अक्षर से दर्शाया जाता है:

आइए काल्पनिक रचना में वास्तविक संख्या को "M" अक्षर से निरूपित करें।

तब काल्पनिक संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है: j M. इस मामले में, सम्मिश्र संख्या A को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ए = एल + जे एम (2)।

किसी सम्मिश्र संख्या (कॉम्प्लेक्स) को लिखने का यह रूप, जो वास्तविक और काल्पनिक भागों का बीजगणितीय योग होता है, कहलाता है बीजगणितीय.

उदाहरण 1एक सम्मिश्र को बीजीय रूप में व्यक्त कीजिए जिसका वास्तविक भाग 6 तथा काल्पनिक भाग 15 है।

समाधान। ए = 6 + जे 15।

बीजगणितीय रूप के अलावा, एक जटिल संख्या को तीन और रूपों में दर्शाया जा सकता है:

1. ग्राफिक;

2. त्रिकोणमितीय;

3. सांकेतिक.

रूपों की इतनी विविधता तीव्र है गणनाओं को सरल बनाता है साइनसोइडल मात्राएँ और उनका ग्राफिक प्रतिनिधित्व।

ग्राफ़िकल, त्रिकोणमितीय और घातांक पर बारी-बारी से विचार करें-

सम्मिश्र संख्याओं के निरूपण का नया रूप।

जटिल संख्याओं का चित्रमय प्रतिनिधित्व

जटिल संख्याओं के चित्रमय प्रतिनिधित्व के लिए, प्रत्यक्ष

कोयला समन्वय प्रणाली. सामान्य (स्कूल) समन्वय प्रणाली में, सकारात्मक या नकारात्मक असली नंबर.

x-अक्ष के अनुदिश, प्रतीकात्मक विधि में अपनाई गई समन्वय प्रणाली में

वास्तविक संख्याओं को खंडों के रूप में और काल्पनिक संख्याओं को "y" अक्ष के साथ आलेखित किया जाता है

चावल। 1. सम्मिश्र संख्याओं के ग्राफ़िक निरूपण के लिए समन्वय प्रणाली

इसलिए, x-अक्ष को वास्तविक मानों की धुरी कहा जाता है या, संक्षेप में, असली एक्सिस।

y-अक्ष को काल्पनिक अक्ष या कहा जाता है काल्पनिक एक्सिस।

वह तल (अर्थात् आकृति का तल), जिस पर सम्मिश्र संख्याएँ या मात्राएँ दर्शायी जाती हैं, कहलाता है एकीकृत विमान।

इस तल में, सम्मिश्र संख्या A = L + j M को सदिश A द्वारा दर्शाया जाता है

(चित्र 2), जिसका वास्तविक अक्ष पर प्रक्षेपण उसके वास्तविक भाग Re A = A "= L के बराबर है, और काल्पनिक अक्ष पर प्रक्षेपण काल्पनिक भाग Im A = A" = के बराबर है। एम।

(पुन: अंग्रेजी से वास्तविक - वास्तविक, वास्तविक, वास्तविक, आईएम - अंग्रेजी से काल्पनिक - अवास्तविक, काल्पनिक)।

चावल। 2. सम्मिश्र संख्या का आलेखीय निरूपण

इस स्थिति में, संख्या A को इस प्रकार लिखा जा सकता है

ए \u003d ए "+ ए" \u003d रे ए + जे इम ए (3) .

जटिल तल में संख्या ए के ग्राफिक प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, हम नई परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं और कुछ महत्वपूर्ण संबंध प्राप्त करते हैं:

1. सदिश A की लंबाई कहलाती है मापांक वेक्टर और |ए| द्वारा निरूपित।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

|ए| = (4) .

2. वेक्टर ए और वास्तविक सकारात्मक अर्ध द्वारा गठित कोण α-

अक्ष कहा जाता है तर्क वेक्टर ए और इसके स्पर्शरेखा के माध्यम से निर्धारित किया जाता है:

टीजी α \u003d ए "/ ए" \u003d इम ए / रे ए (5)।

इस प्रकार, एक जटिल संख्या के चित्रमय प्रतिनिधित्व के लिए

ए = ए "+ ए" एक वेक्टर के रूप में, आपको चाहिए:

1. सदिश |A| का मापांक ज्ञात कीजिए सूत्र के अनुसार (4);

2. सूत्र (5) द्वारा वेक्टर tg α का तर्क खोजें;

3. संबंध α = चाप tg α से कोण α ज्ञात कीजिए;

4. j (x) समन्वय प्रणाली में, एक सहायक बनाएं

सीधी रेखा और उस पर, एक निश्चित पैमाने पर, वेक्टर |ए| के मापांक के बराबर एक खंड प्लॉट करें।

उदाहरण 2सम्मिश्र संख्या A = 3 + j 4 को आलेखीय रूप में प्रस्तुत किया गया है।

जटिल संख्याएँ, समतल पर उनका प्रतिनिधित्व। सम्मिश्र संख्याओं पर बीजगणितीय संक्रियाएँ। जटिल संयुग्मन. एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क। सम्मिश्र संख्या के बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय रूप। सम्मिश्र संख्याओं की जड़ें. एक जटिल तर्क का घातांकीय कार्य. यूलर फार्मूला. सम्मिश्र संख्या का घातांकीय रूप.

एकीकरण के मुख्य तरीकों में से एक का अध्ययन करते समय - तर्कसंगत भिन्नों का एकीकरण - कठोर प्रमाणों के लिए जटिल डोमेन में बहुपदों पर विचार करना आवश्यक है। इसलिए, आइए पहले सम्मिश्र संख्याओं के कुछ गुणों और उन पर संक्रियाओं का अध्ययन करें।

परिभाषा 7.1. एक सम्मिश्र संख्या z वास्तविक संख्याओं (a, b) का एक क्रमित युग्म है: z = (a, b) (शब्द "आदेशित" का अर्थ है कि संख्याओं a और b का क्रम एक सम्मिश्र संख्या लिखने में महत्वपूर्ण है: (a) , बी) )). इस मामले में, पहली संख्या a को सम्मिश्र संख्या z का वास्तविक भाग कहा जाता है और इसे a = Re z दर्शाया जाता है, और दूसरी संख्या b को z का काल्पनिक भाग कहा जाता है: b = Im z।

परिभाषा 7.2. दो सम्मिश्र संख्याएँ z 1 = (a 1, b 1) और z 2 = (a 2, b 2) समान हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों, अर्थात a 1 = a 2, बी 1 = बी2।

सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ.

1. जोड़जटिल आंकड़े z1 =(ए 1 , बी 1) और z2 =(ए 2 , बी 2 z=(ए,बी) ऐसा है कि ए = ए 1 + ए 2, बी = बी 1 + बी 2।अतिरिक्त गुण: ए) z1 + z2 = z2 + z1; बी) z 1+(z2 + z3) = (z1 + z2) + जेड 3; ग) एक सम्मिश्र संख्या 0 = (0,0) है: z+ 0 =जेडकिसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए जेड

2. कामजटिल आंकड़े z1 =(ए 1 , बी 1) और z2 =(ए 2 , बी 2) सम्मिश्र संख्या कहलाती है z=(ए,बी) ऐसा है कि ए = ए 1 ए 2 - बी 1 बी 2, बी = ए 1 बी 2 + ए 2 बी 1।गुणन गुण: ए) z 1 z 2 = z 2 z 1; बी) जेड 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) जेड 3, वी)( z1 + z2) जेड 3 = जेड 1 जेड 3 + जेड 2 जेड 3।

टिप्पणी। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय का एक उपसमुच्चय वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिसे ( ए, 0). यह देखा जा सकता है कि इस मामले में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाओं की परिभाषा वास्तविक संख्याओं पर संगत संक्रियाओं के ज्ञात नियमों को सुरक्षित रखती है। इसके अलावा, वास्तविक संख्या 1 = (1,0) किसी जटिल संख्या से गुणा करने पर अपना गुण बरकरार रखती है: 1∙ z = z.

परिभाषा 7.3.सम्मिश्र संख्या (0, बी) कहा जाता है पूर्णतः काल्पनिक. विशेष रूप से, संख्या (0,1) को कहा जाता है काल्पनिक इकाईऔर प्रतीकात्मक हैं मैं.

काल्पनिक इकाई के गुण:

1) मैं∙मैं=मैं² = -1; 2) एक पूर्णतः काल्पनिक संख्या (0, बी) को वास्तविक संख्या के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है ( बी, 0) और मैं: (बी, 0) = b∙i.

इसलिए, किसी भी सम्मिश्र संख्या z = (a,b) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

परिभाषा 7.4. z = a + ib के रूप के अंकन को सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप कहा जाता है।

टिप्पणी। जटिल संख्याओं का बीजगणितीय अंकन उन पर बीजगणित के सामान्य नियमों के अनुसार संचालन करना संभव बनाता है।

परिभाषा 7.5. एक सम्मिश्र संख्या को z = a + ib का सम्मिश्र संयुग्म कहा जाता है।

3. घटावसम्मिश्र संख्याओं को जोड़ की व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है: z=(ए,बी) सम्मिश्र संख्याओं का अंतर कहलाता है z1 =(ए 1 , बी 1) और z2 =(ए 2 , बी 2), अगर ए = ए 1 - ए 2, बी = बी 1 - बी 2।

4. विभाजनसम्मिश्र संख्याओं को गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है: संख्या z = ए + आईबीविभाजन का भागफल कहा जाता है जेड 1 = ए 1 + आईबी 1और जेड 2 = ए 2 + आईबी 2(z 2 ≠ 0) यदि z 1 = z∙z 2 .इसलिए, भागफल के वास्तविक और काल्पनिक भागों को समीकरणों की प्रणाली के समाधान से पाया जा सकता है: ए 2 ए - बी 2 बी = ए 1, बी 2 ए + ए 2 बी = बी 1।

जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या.

जटिल संख्या z=(ए,बी) को निर्देशांक के साथ समतल पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है ( ए,बी) या एक सदिश जिसका आरंभ मूल बिंदु पर और अंत बिंदु पर ( ए,बी).

इस स्थिति में, परिणामी वेक्टर के मॉड्यूल को कहा जाता है मापांकसम्मिश्र संख्या, और x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ सदिश द्वारा बनाया गया कोण है तर्कनंबर. मान लें कि ए = पीओल φ, बी = ρपाप φ, कहाँ ρ = |जेड| - मापांक जेड,और φ = arg z इसका तर्क है, हम एक सम्मिश्र संख्या लिखने का दूसरा रूप प्राप्त कर सकते हैं:

परिभाषा 7.6.रिकॉर्ड देखें

जेड = पी(क्योंकि) φ + मैंपाप φ ) (7.1)

बुलाया त्रिकोणमितीय रूपएक सम्मिश्र संख्या का अंकन.

बदले में, एक सम्मिश्र संख्या के मापांक और तर्क को के रूप में व्यक्त किया जा सकता है एऔर बी: . इसलिए, किसी सम्मिश्र संख्या के तर्क को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जाता है, बल्कि उस पद तक परिभाषित किया जाता है जो 2π का गुणज है।

यह देखना आसान है कि सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने की क्रिया सदिशों को जोड़ने की क्रिया से मेल खाती है। गुणन की ज्यामितीय व्याख्या पर विचार करें। फिर चलो

इसलिए, दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का मापांक उनके मापांक के गुणनफल के बराबर होता है, और तर्क उनके तर्कों के योग के बराबर होता है। तदनुसार, विभाजित करते समय, भागफल का मापांक लाभांश और भाजक के मापांक के अनुपात के बराबर होता है, और तर्क उनके तर्कों के बीच का अंतर होता है।

गुणन संक्रिया का एक विशेष मामला घातांक है:

- डी मोइवरे का सूत्र.

प्राप्त संबंधों का उपयोग करते हुए, हम जटिल संयुग्म संख्याओं के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं:

जटिल आंकड़े

बुनियादी अवधारणाओं

संख्या पर प्रारंभिक डेटा पाषाण युग - पेलियोमलाइट को संदर्भित करता है। ये हैं "एक", "कुछ" और "अनेक"। इन्हें निशानों, गांठों आदि के रूप में दर्ज किया गया था। श्रम प्रक्रियाओं के विकास और संपत्ति के उद्भव ने मनुष्य को संख्याओं और उनके नामों का आविष्कार करने के लिए मजबूर किया। प्राकृतिक संख्याएँ पहली बार सामने आईं एनवस्तुओं को गिनकर प्राप्त किया जाता है। फिर, गिनती की आवश्यकता के साथ-साथ, लोगों को लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन, समय और अन्य मात्राएँ मापने की आवश्यकता हुई, जहाँ उपयोग किए गए माप के कुछ हिस्सों को ध्यान में रखना आवश्यक था। इस प्रकार भिन्नों का जन्म हुआ। भिन्नात्मक और ऋणात्मक संख्या की अवधारणाओं की औपचारिक पुष्टि 19वीं शताब्दी में की गई थी। पूर्णांकों का समुच्चय जेडप्राकृतिक संख्याएँ हैं, ऋण चिह्न और शून्य वाली प्राकृतिक संख्याएँ। पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याओं ने परिमेय संख्याओं का एक समूह बनाया क्यू,लेकिन फिर भी यह लगातार बदलते चरों के अध्ययन के लिए अपर्याप्त साबित हुआ। उत्पत्ति ने फिर से गणित की अपूर्णता को दिखाया: प्रपत्र के समीकरण को हल करने की असंभवता एक्स 2 = 3, जिसके संबंध में अपरिमेय संख्याएँ प्रकट हुईं मैं।परिमेय संख्याओं के समुच्चय का संघ क्यूऔर अपरिमेय संख्याएँ मैंवास्तविक (या वास्तविक) संख्याओं का समुच्चय है आर. परिणामस्वरूप, संख्या रेखा भर गई: प्रत्येक वास्तविक संख्या उस पर एक बिंदु से मेल खाती थी। लेकिन सेट पर आरसमीकरण को हल करने का कोई तरीका नहीं है एक्स 2 = – ए 2. परिणामस्वरूप, पुनः संख्या की अवधारणा को विस्तारित करने की आवश्यकता महसूस हुई। इस प्रकार 1545 में सम्मिश्र संख्याएँ प्रकट हुईं। उनके निर्माता जे. कार्डानो ने उन्हें "विशुद्ध रूप से नकारात्मक" कहा। "काल्पनिक" नाम 1637 में फ्रांसीसी आर. डेसकार्टेस द्वारा पेश किया गया था, 1777 में यूलर ने फ्रांसीसी संख्या के पहले अक्षर का उपयोग करने का सुझाव दिया था। मैंकाल्पनिक इकाई को निरूपित करने के लिए. यह प्रतीक के. गॉस की बदौलत सामान्य उपयोग में आया।

17वीं और 18वीं शताब्दी के दौरान, कल्पनाओं की अंकगणितीय प्रकृति और उनकी ज्यामितीय व्याख्या की चर्चा जारी रही। डेन एच. वेसल, फ्रांसीसी जे. आर्गन और जर्मन के. गॉस ने स्वतंत्र रूप से सुझाव दिया कि एक जटिल संख्या को निर्देशांक तल पर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाना चाहिए। बाद में यह पता चला कि संख्या को बिंदु से नहीं, बल्कि मूल बिंदु से इस बिंदु तक जाने वाले वेक्टर द्वारा निरूपित करना और भी अधिक सुविधाजनक था।

केवल 18वीं सदी के अंत तक - 19वीं सदी की शुरुआत तक जटिल संख्याओं ने गणितीय विश्लेषण में अपना उचित स्थान ले लिया। उनका पहला प्रयोग विभेदक समीकरणों के सिद्धांत और हाइड्रोडायनामिक्स के सिद्धांत में था।

परिभाषा 1.जटिल संख्यारूप की अभिव्यक्ति कहलाती है, जहाँ एक्सऔर यवास्तविक संख्याएँ हैं, और मैंकाल्पनिक इकाई है, .

दो सम्मिश्र संख्याएँ और बराबरअगर और केवल अगर , ।

यदि , तो नंबर पर कॉल किया जाता है पूर्णतः काल्पनिक; यदि, तो वह संख्या एक वास्तविक संख्या है, जिसका अर्थ है कि समुच्चय आर साथ, कहाँ साथसम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है.

संयुग्मितकिसी सम्मिश्र संख्या को सम्मिश्र संख्या कहा जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण।

किसी भी जटिल संख्या को एक बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है। एम(एक्स, य) विमान ऑक्सी.वास्तविक संख्याओं का एक जोड़ा त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक को भी दर्शाता है , अर्थात। समतल पर सदिशों के समुच्चय और जटिल संख्याओं के समुच्चय के बीच, कोई एक-से-एक पत्राचार स्थापित कर सकता है:।

परिभाषा 2.असली हिस्सा एक्स.

पद का नाम: एक्स= पुनः जेड(लैटिन रियलिस से)।

परिभाषा 3.काल्पनिक भागसम्मिश्र संख्या वास्तविक संख्या कहलाती है य.

पद का नाम: य= मैं जेड(लैटिन इमेजिनेरियस से)।

दोबारा जेडअक्ष पर जमा होता है ( ओह), मैं हूँ जेडअक्ष पर जमा होता है ( ओए), तो सम्मिश्र संख्या के अनुरूप वेक्टर बिंदु का त्रिज्या वेक्टर है एम(एक्स, य), (या एम(दोबारा जेड, मैं हूँ जेड)) (चित्र .1)।

परिभाषा 4.वह तल जिसके बिंदु जटिल संख्याओं के समूह से जुड़े होते हैं, कहलाता है जटिल विमान. एब्सिस्सा कहा जाता है वास्तविक अक्ष, क्योंकि इसमें वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। y-अक्ष कहलाता है काल्पनिक धुरी, इसमें पूर्णतः काल्पनिक जटिल संख्याएँ शामिल हैं। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को दर्शाया गया है साथ.

परिभाषा 5.मापांकजटिल संख्या जेड = (एक्स, य) वेक्टर की लंबाई है: , अर्थात .

परिभाषा 6.तर्कसम्मिश्र संख्या को अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण कहा जाता है ( ओह) और वेक्टर: .

टिप्पणी 3.यदि बिंदु जेडवास्तविक या काल्पनिक अक्ष पर स्थित होने पर इसे सीधे पाया जा सकता है।

सम्मिश्र संख्याओं के निम्नलिखित रूप मौजूद हैं: बीजगणितीय(x+iy), त्रिकोणमितीय(r(cos+isin )), प्रदर्शन(रे मैं ).

किसी भी सम्मिश्र संख्या z=x+iy को XOY तल पर एक बिंदु A(x, y) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

वह तल जिस पर सम्मिश्र संख्याओं को दर्शाया जाता है, सम्मिश्र चर z का तल कहलाता है (हम समतल पर प्रतीक z डालते हैं)।

OX अक्ष वास्तविक अक्ष है, अर्थात इसमें वास्तविक संख्याएँ हैं। OS काल्पनिक संख्याओं वाला काल्पनिक अक्ष है।

x+iy- सम्मिश्र संख्या लिखने का बीजगणितीय रूप।

हम सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप प्राप्त करते हैं।

हम प्राप्त मूल्यों को प्रारंभिक रूप में प्रतिस्थापित करते हैं: , अर्थात।

आर(क्योंकि+इसिन) - सम्मिश्र संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप।

सम्मिश्र संख्या का घातांकीय रूप यूलर सूत्र से अनुसरण करता है:
,तब

z= दोबारा मैं - सम्मिश्र संख्या लिखने का घातांकीय रूप।

सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ.

1. जोड़ना। z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . घटाव. z 1 -z 2 = (x1 + iy1) - (x2 + iy2) = (x1-x2) + i (y1-y2);

3. गुणन. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . विभाजन। z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

दो जटिल संख्याएँ जो केवल काल्पनिक इकाई के चिह्न में भिन्न होती हैं, अर्थात्। z=x+iy (z=x-iy) संयुग्म कहलाते हैं।

काम।

z1=r(cos +इसिन ); z2=r(cos +इसिन ).

सम्मिश्र संख्याओं का वह गुणनफल z1*z2 है: , अर्थात्। उत्पाद का मापांक मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर है, और उत्पाद का तर्क कारकों के तर्कों के योग के बराबर है।

;
;

निजी।

यदि जटिल संख्याएँ त्रिकोणमितीय रूप में दी गई हैं।

यदि सम्मिश्र संख्याएँ घातांकीय रूप में दी गई हैं।

घातांक।

1. सम्मिश्र संख्या दी गई है बीजगणितीय प्रपत्र।

z=x+iy, तो हम z n को ज्ञात करते हैं न्यूटन का द्विपद सूत्र:

- m द्वारा n तत्वों के संयोजन की संख्या (जिन तरीकों से n तत्वों को m से लिया जा सकता है)।

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

जटिल संख्याओं के लिए उपयोग किया जाता है.

परिणामी अभिव्यक्ति में, आपको i की शक्तियों को उनके मानों से बदलने की आवश्यकता है:

i 0 =1 इसलिए, सामान्य स्थिति में, हम प्राप्त करते हैं: i 4k =1

मैं 1 =मैं मैं 4क+1 =मैं

मैं 2 =-1 और 4क+2 =-1

मैं 3 =-मैं मैं 4k+3 =-मैं

उदाहरण.

मैं 31 = मैं 28 मैं 3 =-मैं

मैं 1063 = मैं 1062 मैं=मैं

2. त्रिकोणमितीय प्रपत्र।

z=r(cos +इसिन ), वह

- डी मोइवरे का सूत्र.

यहाँ n "+" और "-" (पूर्णांक) दोनों हो सकता है।

3. यदि कोई सम्मिश्र संख्या दी गई है ठोस प्रपत्र:

जड़ निष्कर्षण.

समीकरण पर विचार करें:
.

इसका समाधान सम्मिश्र संख्या z का nवाँ मूल है:
.

सम्मिश्र संख्या z के nवें मूल में बिल्कुल n समाधान (मान) हैं। वर्तमान संख्या के nवें मूल का केवल एक ही समाधान है। जटिल में - n समाधान.

यदि कोई सम्मिश्र संख्या दी गई है त्रिकोणमितीय प्रपत्र:

z=r(cos +इसिन ), तो z का nवाँ मूल सूत्र द्वारा पाया जाता है:

, जहां k=0.1…n-1.

पंक्तियाँ। संख्या रेखाएँ.

मान लीजिए कि चर a क्रमिक रूप से a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n मान लेता है। संख्याओं के ऐसे प्रगणित समूह को अनुक्रम कहा जाता है। वह अनंत है.

संख्या श्रृंखला अभिव्यक्ति a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = है . संख्याएँ a 1, a 2, a 3, ..., और n श्रृंखला के सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए।

और 1 श्रृंखला का पहला सदस्य है।

और n श्रृंखला का nवाँ या उभयनिष्ठ सदस्य है।

यदि nth (श्रृंखला का सामान्य पद) ज्ञात हो तो एक श्रृंखला दी गई मानी जाती है।

संख्या श्रृंखला में सदस्यों की अनंत संख्या होती है।

अंशांकक - अंकगणितीय प्रगति (1,3,5,7…).

n-वां सदस्य सूत्र a n = a 1 + d (n-1) द्वारा पाया जाता है; d=a n -a n-1 .

भाजक - ज्यामितीय अनुक्रम. बी एन =बी 1 क्यू एन-1 ;
.

श्रृंखला के प्रथम n पदों के योग पर विचार करें और इसे Sn से निरूपित करें।

Sn=a1+a2+…+a n .

Sn श्रृंखला का nवां आंशिक योग है।

सीमा पर विचार करें:

S श्रृंखला का योग है.

पंक्तियों संमिलित यदि यह सीमा परिमित है (एक परिमित सीमा S मौजूद है)।

पंक्ति विभिन्न यदि यह सीमा अनंत है.

भविष्य में हमारा कार्य इस प्रकार है: किस शृंखला को स्थापित करना।

सबसे सरल लेकिन सबसे आम श्रृंखला में से एक ज्यामितीय प्रगति है।

, सी = स्थिरांक।

ज्यामितीय प्रगति हैअभिसारी पास में, अगर
, और भिन्न यदि
.

यह भी पाया गया हार्मोनिक श्रृंखला(पंक्ति
). यह पंक्ति विभिन्न .

एक सम्मिश्र संख्या निर्धारित करना दो वास्तविक संख्याओं a, b - इस सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों को निर्धारित करने के बराबर है। लेकिन कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में संख्याओं की एक क्रमित जोड़ी को निर्देशांक वाले एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, यह बिंदु एक जटिल संख्या z के लिए एक छवि के रूप में भी काम कर सकता है: जटिल संख्याओं और बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है निर्देशांक तल का. जटिल संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए समन्वय विमान का उपयोग करते समय, ऑक्स अक्ष को आमतौर पर वास्तविक अक्ष कहा जाता है (चूंकि संख्या का वास्तविक भाग बिंदु के भुज के रूप में लिया जाता है), और ओए अक्ष काल्पनिक अक्ष है (काल्पनिक भाग के बाद से) संख्या को बिंदु की कोटि के रूप में लिया जाता है)। एक बिंदु (ए, बी) द्वारा निरूपित सम्मिश्र संख्या z को इस बिंदु का प्रत्यय कहा जाता है। इस मामले में, वास्तविक संख्याएँ वास्तविक अक्ष पर स्थित बिंदुओं द्वारा दर्शायी जाती हैं, और सभी विशुद्ध काल्पनिक संख्याएँ (a = 0 के लिए) काल्पनिक अक्ष पर स्थित बिंदुओं द्वारा दर्शायी जाती हैं। संख्या शून्य को बिंदु O द्वारा दर्शाया जाता है।

अंजीर पर. संख्याओं की 8 निर्मित छवियाँ।

दो जटिल संयुग्म संख्याओं को ऑक्स अक्ष के बारे में सममित बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया है (चित्र 8 में बिंदु)।

अक्सर एक जटिल संख्या के साथ न केवल बिंदु M जुड़ा होता है, जो इस संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, बल्कि वेक्टर OM (आइटम 93 देखें), जो O से M तक ले जाता है; जटिल संख्याओं के जोड़ और घटाव की क्रिया की ज्यामितीय व्याख्या के दृष्टिकोण से वेक्टर द्वारा किसी संख्या का प्रतिनिधित्व सुविधाजनक है।

अंजीर पर. 9, यह दिखाया गया है कि जटिल संख्याओं के योग को दर्शाने वाला वेक्टर, पदों का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के रूप में प्राप्त होता है।

इस वेक्टर जोड़ नियम को समांतर चतुर्भुज नियम के रूप में जाना जाता है (उदाहरण के लिए, भौतिकी पाठ्यक्रम में बल या वेग जोड़ने के लिए)। विपरीत वेक्टर के साथ घटाव को जोड़ में घटाया जा सकता है (चित्र 9बी)।

जैसा कि ज्ञात है (धारा 8), समतल पर एक बिंदु की स्थिति उसके ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा भी निर्दिष्ट की जा सकती है। इस प्रकार, जटिल संख्या - बिंदु का प्रत्यय भी असाइनमेंट द्वारा निर्धारित किया जाता है 10 यह स्पष्ट है कि एक ही समय में जटिल संख्या का मापांक क्या है: संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु का ध्रुवीय त्रिज्या इस संख्या के मापांक के बराबर है।

बिंदु M के ध्रुवीय कोण को इस बिंदु द्वारा निरूपित संख्या का तर्क कहा जाता है। किसी सम्मिश्र संख्या का तर्क (जैसे किसी बिंदु का ध्रुवीय कोण) विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है; यदि इसके मानों में से एक है, तो इसके सभी मान सूत्र द्वारा व्यक्त किये जाते हैं

कुल मिलाकर तर्क के सभी मान प्रतीक द्वारा दर्शाए गए हैं।

इसलिए, किसी भी जटिल संख्या को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी के साथ जोड़ा जा सकता है: मॉड्यूल और दिए गए नंबर का तर्क, और तर्क को अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत, एक दिया गया मापांक और तर्क एक एकल संख्या से मेल खाता है जिसमें दिया गया मापांक और तर्क होता है। संख्या शून्य में विशेष गुण होते हैं: इसका मापांक शून्य होता है, तर्क को कोई विशिष्ट मान नहीं दिया जाता है।

किसी सम्मिश्र संख्या के तर्क की परिभाषा में विशिष्टता प्राप्त करने के लिए तर्क के किसी एक मान को मुख्य कहा जा सकता है। इसे चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है। आमतौर पर, तर्क के मुख्य मूल्य के रूप में, एक मान चुना जाता है जो असमानताओं को संतुष्ट करता है

(अन्य मामलों में, असमानताएँ)।

आइए हम वास्तविक और विशुद्ध काल्पनिक संख्याओं के तर्क के मूल्यों पर भी ध्यान दें:

एक सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग (किसी बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में) सूत्र (8.3) का उपयोग करके इसके मापांक और तर्क (एक बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक) के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं:

और सम्मिश्र संख्या को निम्नलिखित त्रिकोणमितीय रूप में लिखा जा सकता है।