अपेक्षित मूल्य। गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर एक्स, मानों की एक सीमित संख्या लेते हुए एक्समैंसंभावनाओं के साथ आरमैं, राशि कहलाती है:

गणितीय अपेक्षानिरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसके मूल्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग कहा जाता है एक्ससंभाव्यता वितरण घनत्व पर एफ(एक्स):

(6बी)

अनुचित अभिन्न (6 बी) को बिल्कुल अभिसरण माना जाता है (अन्यथा वे कहते हैं कि गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) मौजूद नहीं होना)। गणितीय अपेक्षा की विशेषता है औसत मूल्यअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स. इसका आयाम यादृच्छिक चर के आयाम से मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा के गुण:

फैलाव. झगड़ाअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सनंबर कहा जाता है:

भिन्नता है बिखरने की विशेषतायादृच्छिक चर मान एक्सइसके औसत मूल्य के सापेक्ष एम(एक्स). विचरण का आयाम यादृच्छिक चर वर्ग के आयाम के बराबर है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए विचरण (8) और गणितीय अपेक्षा (5) और एक सतत यादृच्छिक चर के लिए (6) की परिभाषाओं के आधार पर, हम विचरण के लिए समान अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

(9)

यहाँ एम = एम(एक्स).

फैलाव गुण:

मानक विचलन:

(11)

चूँकि मानक विचलन का आयाम यादृच्छिक चर के समान होता है, इसलिए इसे अक्सर विचरण की तुलना में फैलाव के माप के रूप में उपयोग किया जाता है।

वितरण के क्षण. गणितीय अपेक्षा और फैलाव की अवधारणाएँ यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के लिए अधिक सामान्य अवधारणा के विशेष मामले हैं - वितरण क्षण. एक यादृच्छिक चर के वितरण के क्षणों को एक यादृच्छिक चर के कुछ सरल कार्यों की गणितीय अपेक्षाओं के रूप में पेश किया जाता है। तो, आदेश का क्षण कबिंदु के सापेक्ष एक्स 0 को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है एम(एक्स–एक्स 0 )क. उत्पत्ति के बारे में क्षण एक्स= 0 कहलाते हैं प्रारंभिक क्षणऔर नामित हैं:

(12)

पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण विचाराधीन यादृच्छिक चर के वितरण का केंद्र है:

(13)

वितरण के केंद्र के बारे में क्षण एक्स= एमकहा जाता है केंद्रीय बिंदुऔर नामित हैं:

(14)

(7) से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रथम क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है:

केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के मूल्यों की उत्पत्ति पर निर्भर नहीं करते हैं, जब से एक स्थिर मूल्य द्वारा स्थानांतरित किया जाता है साथइसका वितरण केंद्र उसी मान से बदलता है साथ, और केंद्र से विचलन नहीं बदलता है: एक्स – एम = (एक्स – साथ) – (एम – साथ).
अब यह स्पष्ट है कि फैलाव- यह दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण:

विषमता. तीसरा क्रम केंद्रीय क्षण:

(17)

मूल्यांकन के लिए कार्य करता है वितरण विषमताएँ. यदि वितरण बिंदु के बारे में सममित है एक्स= एम, तो तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होगा (विषम क्रम के सभी केंद्रीय क्षणों की तरह)। इसलिए, यदि तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य से भिन्न है, तो वितरण सममित नहीं हो सकता है। विषमता के परिमाण का आकलन आयामहीन का उपयोग करके किया जाता है विषमता गुणांक:

(18)

असममिति गुणांक का चिह्न (18) दाएं तरफा या बाएं तरफा विषमता को दर्शाता है (चित्र 2)।

चावल। 2. वितरण विषमता के प्रकार.

अधिकता। चौथा क्रम केंद्रीय क्षण:

(19)

तथाकथित का मूल्यांकन करने का कार्य करता है अधिकता, जो सामान्य वितरण वक्र के संबंध में वितरण के केंद्र के निकट वितरण वक्र की स्थिरता (शिखरता) की डिग्री निर्धारित करता है। चूँकि सामान्य वितरण के लिए, कर्टोसिस के रूप में लिया गया मान है:

(20)

चित्र में. चित्र 3 विभिन्न कर्टोसिस मानों के साथ वितरण वक्रों के उदाहरण दिखाता है। सामान्य वितरण के लिए इ= 0. जो वक्र सामान्य से अधिक नुकीले होते हैं उनमें सकारात्मक कर्टोसिस होता है, जो अधिक सपाट-शीर्ष वाले होते हैं उनमें नकारात्मक कर्टोसिस होता है।

चावल। 3. अलग-अलग डिग्री की स्थिरता (कर्टोसिस) के साथ वितरण वक्र।

उच्च क्रम के क्षणों का उपयोग आमतौर पर गणितीय सांख्यिकी के इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में नहीं किया जाता है।

पहनावा अलगएक यादृच्छिक चर इसका सबसे संभावित मान है। पहनावा निरंतरएक यादृच्छिक चर उसका मान है जिस पर संभाव्यता घनत्व अधिकतम होता है (चित्र 2)। यदि वितरण वक्र में एक अधिकतम है, तो वितरण कहा जाता है unimodal. यदि किसी वितरण वक्र में एक से अधिक अधिकतम हों तो वितरण कहलाता है बहुविध. कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनके वक्रों में अधिकतम के बजाय न्यूनतम होता है। ऐसे वितरण कहलाते हैं मॉडल विरोधी. सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का मोड और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती है। विशेष मामले में, के लिए मॉडल, अर्थात। एक मोड, सममित वितरण होना और बशर्ते कि गणितीय अपेक्षा हो, बाद वाला वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

मंझला अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स- यही इसका अर्थ है हुंह, जिसके लिए समानता रखती है: यानी यह समान रूप से संभावित है कि यादृच्छिक चर एक्सकम या ज्यादा होगा हुंह. ज्यामितीय MEDIANउस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र के नीचे का क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)। सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका, मोड और गणितीय अपेक्षा समान हैं।

मोड एक यादृच्छिक चर का सबसे संभावित मान है। माध्य के सापेक्ष एक सममित वितरण के साथ, मोड गणितीय अपेक्षा से मेल खाता है। यदि यादृच्छिक चर के मान दोहराए नहीं जाते हैं, तो कोई मोड नहीं है।

वितरण घनत्व वक्र के अधिकतम के अनुरूप x-अक्ष पर बिंदु को मोड कहा जाता है, अर्थात, मोड यादृच्छिक चर का सबसे संभावित मान है। हालाँकि, सभी वितरणों में एक मोड नहीं होता है। एक उदाहरण समान वितरण है. इस मामले में, वितरण के केंद्र को एक मोड के रूप में निर्धारित करना असंभव है। मोडा को आमतौर पर मो कहा जाता है।

यादृच्छिक चर के बहुलक और माध्यिका की अवधारणाएँ हैं।

जाहिर है, एक सममित माध्यिका के मामले में, यह मोड और गणितीय अपेक्षा से मेल खाता है।

इस तथ्य के आधार पर कि मोड एकल मापों पर आधारित नहीं है, बल्कि बड़ी मात्रा में अवलोकनों पर आधारित है, इसे यादृच्छिक चर नहीं माना जा सकता है। मोड की भयावहता कार्य में विभिन्न प्रकार की देरी और इसकी सामान्य गति के नुकसान से प्रभावित नहीं होती है।

कभी-कभी, अनुभवजन्य वितरण का विश्लेषण करते समय, वितरण के मोड और माध्यिका की अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है, "...मोड एक यादृच्छिक चर का सबसे संभावित मान है,

लॉटरी घटना की एक व्यापक संभाव्यता-सैद्धांतिक व्याख्या एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण की अवधारणा है। इसकी मदद से, संभावनाएं निर्धारित की जाती हैं कि एक यादृच्छिक चर अपने संभावित मूल्यों में से एक या दूसरे को लेगा। आइए हम यादृच्छिक चर को y से और उसके संभावित मानों को y से निरूपित करें। फिर एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, जो संभावित मान Y, y2, VZ, ले सकता है। .., yn संभाव्यता वितरण का एक सुविधाजनक रूप निर्भरता P(y = y) माना जाना चाहिए, जिसे आमतौर पर संभाव्यता श्रृंखला, एक वितरण श्रृंखला कहा जाता है। व्यवहार में, जोखिम मूल्यों के संभाव्य वितरण के त्वरित सामान्यीकृत मूल्यांकन के लिए, यादृच्छिक परिणामों के वितरण की तथाकथित संख्यात्मक और अन्य विशेषताओं का अक्सर उपयोग किया जाता है: गणितीय अपेक्षा, फैलाव, माध्य वर्ग (मानक) विचलन, भिन्नता का गुणांक, मोड, माध्यिका, आदि (उदाहरण के लिए देखें, आदि)। दूसरे शब्दों में, एक त्वरित और समग्र धारणा के लिए, उद्यमी प्रयास करता है (या बस

औसत प्रति व्यक्ति कुल आय द्वारा जनसंख्या के वितरण पर यूएसएसआर राज्य सांख्यिकी समिति के आंकड़ों के आधार पर, हम औसत, औसत और मोडल आय (तालिका 1) के संकेतकों की तुलना करने का प्रयास करेंगे। तालिका से पता चलता है कि पूर्ण मूल्य में औसत आय औसत और मोडल आय से अधिक है, और इसकी वृद्धि मुख्य रूप से उच्च आय वाले लोगों के अनुपात में वृद्धि के कारण होती है, अर्थात, औसत आय संकेतक के उपयोग से एक महत्वपूर्ण अतिमूल्यांकन होता है। जनसंख्या के बड़े हिस्से की आय का स्तर और काफी हद तक उनके विभेदीकरण की प्रक्रिया को छुपाता है। मोडल आय मूल्य वितरण के निचले समूहों की ओर बढ़ते हैं और औसत आय से नीचे की ओर विचलन करते हैं। हालाँकि, एक या दूसरे अंतराल में एक मोड की घटना अक्सर यादृच्छिक होती है; वितरण में एक छोटे से बदलाव के कारण मोड आसन्न अंतराल में दिखाई देगा। उदाहरण के लिए, 1989 में, सबसे आम आय स्तर 100 से 125 रूबल तक था (16.1% आबादी को ऐसी आय प्राप्त हुई), हालाँकि, 1989-1990 में हुई आय में मामूली बदलाव के कारण, सबसे आम अंतराल निम्नलिखित था अंतराल (125-150 रूबल) , और फैशन के मूल्य में 15.6 रूबल की वृद्धि हुई। इसके अलावा, मोडल आय सीमा में जनसंख्या का हिस्सा अन्य शेयरों से थोड़ा ही अधिक हो सकता है।

लघुगणकीय रूप से सामान्य यादृच्छिक चर a के वितरण के केंद्र को चिह्नित करने के लिए, आप पहले से गणना की गई गणितीय अपेक्षा Ma के साथ, मोड (स्थानीय अधिकतम घनत्व /(a a)) toc1a = exp(t-st2) और का उपयोग कर सकते हैं।

मोड - फैशन. किसी यादृच्छिक चर का सबसे संभावित मान.

फैशन - अवधारणा

गणितीय अपेक्षा और फैलाव के अलावा, संभाव्यता सिद्धांत कई संख्यात्मक विशेषताओं का भी उपयोग करता है जो वितरण की कुछ विशेषताओं को दर्शाते हैं।

परिभाषा। यादृच्छिक चर X का मोड Mo(X) इसका सबसे संभावित मान है(जिसके लिए संभावना आर जीया संभाव्यता घनत्व

यदि संभाव्यता या संभाव्यता घनत्व एक नहीं, बल्कि कई बिंदुओं पर अधिकतम तक पहुँच जाता है, तो वितरण कहा जाता है बहुविध(चित्र 3.13)।

पहनावा मॉस),किस संभावना पर आर (या संभाव्यता घनत्व (पी(एक्स) वैश्विक अधिकतम तक पहुंचता है) कहा जाता है सबसे अधिक संभावना अर्थयादृच्छिक चर (चित्र 3.13 में यह है मो(एक्स) 2).

परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर X का माध्य Ме(Х) इसका मान है, जिसके लिए

वे। संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्समाध्यिका से कम मान लेगा छाल)या उससे अधिक, वही है और 1/2 के बराबर है। ज्यामितीय रूप से लंबवत सीधी रेखा एक्स = छाल), भुज के बराबर एक बिंदु से गुजरना छाल), वितरण वक्र के आकृति आयोडीन के क्षेत्र को दो बराबर भागों में विभाजित करता है (चित्र 3.14)। जाहिर है, बिंदु पर एक्स = छाल)वितरण फलन 1/2 के बराबर है, अर्थात। पी(मी(एक्स))= 1/2 (चित्र 3.15)।

आइए हम एक यादृच्छिक चर के माध्यिका के एक महत्वपूर्ण गुण पर ध्यान दें: स्थिर मान C से यादृच्छिक चर X के विचलन के निरपेक्ष मान की गणितीय अपेक्षा न्यूनतम है, जब यह स्थिरांक C माध्यिका Me(X) = m के बराबर हो, अर्थात।

(संपत्ति किसी यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से विचलन के न्यूनतम वर्ग की संपत्ति (3.10") के समान है)।

हे उदाहरण 3.15. किसी यादृच्छिक चर का बहुलक, माध्यिका और गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स एस xx के लिए संभाव्यता घनत्व f(x) = 3x 2।

समाधान।वितरण वक्र चित्र में दिखाया गया है। 3.16. जाहिर है, संभाव्यता घनत्व φ(x) अधिकतम है एक्स= मो(एक्स) = 1.

मंझला छाल) = बी हम स्थिति (3.28) से पाते हैं:

कहाँ

आइए सूत्र (3.25) का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

अंकों की पारस्परिक व्यवस्था एम(एक्स)>मी(एक्स) और काई) भुज को आरोही क्रम में चित्र में दिखाया गया है। 3.16. ?

ऊपर उल्लिखित संख्यात्मक विशेषताओं के साथ, मात्राओं और प्रतिशत बिंदुओं की अवधारणा का उपयोग यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा। मात्रात्मक स्तर y-मात्रा )

यादृच्छिक चर का यह मान x q कहलाता है , जिस पर इसका वितरण फलन बराबर मान लेता है मरना।

कुछ मात्राओं को एक विशेष नाम प्राप्त हुआ है। जाहिर है, ऊपर पेश किया गया MEDIAN यादृच्छिक चर 0.5 स्तर का एक क्वांटाइल है, अर्थात। मी(एक्स) = एक्स 05. मात्राओं dg 0 2 5 और x 075 को क्रमशः नामित किया गया था निचला और ऊपरी चतुर्थकK

क्वांटाइल की अवधारणा से निकटता से संबंधित अवधारणा है फ़ीसदी।अंतर्गत युओउहो-नोय बिंदु मात्रा निहित है एक्स एक्स (( , वे। एक यादृच्छिक चर का ऐसा मान एक्स, जिस पर

0 उदाहरण 3.16. उदाहरण 3.15 में डेटा के आधार पर, मात्रा ज्ञात कीजिए x 03 और यादृच्छिक चर का 30% बिंदु एक्स।

समाधान। सूत्र (3.23) के अनुसार, वितरण फलन

हम समीकरण (3.29) से परिमाण 0 s ज्ञात करते हैं, अर्थात्। एक्स$ 3 =0.3, जहां से L "oz -0.67। आइए यादृच्छिक चर का 30% बिंदु ज्ञात करें एक्स, या क्वांटाइल x 0 7, समीकरण से। x$ 7 = 0.7, जहाँ से x 0 7 «0.89. ?

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं में, क्षण - प्रारंभिक और केंद्रीय - विशेष महत्व के हैं।

परिभाषा। आरंभिक क्षणएक यादृच्छिक चर X का kth क्रम इस मात्रा की kth शक्ति की गणितीय अपेक्षा है :

परिभाषा। केंद्रीय क्षणएक यादृच्छिक चर X का kth क्रम एक यादृच्छिक चर:

असतत यादृच्छिक चर (मान लेते हुए) के लिए क्षणों की गणना के लिए सूत्र एक्स 1 संभावनाओं के साथ पी,) और निरंतर (संभावना घनत्व सीपी (एक्स) के साथ) तालिका में दिए गए हैं। 3.1.

तालिका 3.1

यह नोटिस करना आसान है कि कब क = 1 यादृच्छिक चर का पहला प्रारंभिक क्षण एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा है, अर्थात एच एक्स = एम[एक्स) = ए,पर को= 2 सेकंड केंद्रीय क्षण - फैलाव, यानी पी 2= टी)(एक्स).

केंद्रीय क्षण p A को प्रारंभिक क्षणों के माध्यम से लेकिन सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

वगैरह।

उदाहरण के लिए, सी 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (व्युत्पत्ति के दौरान हमने इस बात को ध्यान में रखा ए = एम(एक्स)= V, एक गैर-यादृच्छिक मान है)। ?

यह ऊपर उल्लेख किया गया था कि गणितीय अपेक्षा एम(एक्स),या पहला प्रारंभिक क्षण, औसत मूल्य या स्थिति को दर्शाता है, एक यादृच्छिक चर के वितरण का केंद्र एक्ससंख्या अक्ष पर; फैलाव ओह),या दूसरा केंद्रीय क्षण पी 2, - एस टी एस - वितरण फैलाव स्टंप एक्सअपेक्षाकृत एम(एक्स).वितरण के अधिक विस्तृत विवरण के लिए, उच्च ऑर्डर के क्षणों का उपयोग किया जाता है।

तीसरा केंद्रीय बिंदुपी 3 वितरण की विषमता (तिरछापन) को चिह्नित करने का कार्य करता है। इसमें एक यादृच्छिक घन का आयाम है। एक आयामहीन मात्रा प्राप्त करने के लिए, इसे o 3 से विभाजित किया जाता है, जहां a यादृच्छिक चर का मानक विचलन है एक्स।परिणामी मूल्य एबुलाया एक यादृच्छिक चर का विषमता गुणांक।

यदि वितरण गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष सममित है, तो विषमता गुणांक A = 0.

चित्र में. चित्र 3.17 दो वितरण वक्र दिखाता है: I और II। वक्र I में सकारात्मक (दाहिनी ओर) विषमता (L > 0) है, और वक्र II में ऋणात्मक (बाएं ओर) विषमता (L) है

चौथा केंद्रीय बिंदु पी 4 वितरण की स्थिरता (तीक्ष्णता या सपाटता) को चिह्नित करने का कार्य करता है।

पहनावा- अवलोकनों के एक सेट में मूल्य जो सबसे अधिक बार होता है

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),

यहां X Mo मोडल अंतराल की बाईं सीमा है, h Mo मोडल अंतराल की लंबाई है, f Mo-1 प्रीमोडल अंतराल की आवृत्ति है, f Mo मोडल अंतराल की आवृत्ति है, f Mo+1 है पोस्ट-मोडल अंतराल की आवृत्ति.

बिल्कुल सतत वितरण का मोड वितरण घनत्व के स्थानीय अधिकतम का कोई भी बिंदु है। असतत वितरण के लिए, एक मोड को कोई भी मान माना जाता है जिसकी संभावना पी पड़ोसी मूल्यों की संभावनाओं से अधिक है

मंझलानिरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसका मान Me कहा जाता है जिसके लिए यह समान रूप से संभावना है कि यादृच्छिक चर कम या अधिक होगा हुंह, अर्थात।

एम ई =(एन+1)/2 पी(एक्स < मी) = पी(एक्स > हुंह)

समान रूप से वितरित एनएसवी

वर्दी वितरण।एक सतत यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित कहा जाता है () यदि इसका वितरण घनत्व कार्य करता है (चित्र 1.6, ए) का रूप है:

पदनाम:- SW को समान रूप से वितरित किया जाता है।

तदनुसार, खंड पर वितरण कार्य (चित्र 1.6, बी):

चावल। 1.6. एक यादृच्छिक चर के कार्यों को समान रूप से वितरित किया जाता है [ ए,बी]: ए– संभाव्यता घनत्व एफ(एक्स); बी– वितरण एफ(एक्स)

किसी दिए गए एसवी की गणितीय अपेक्षा और फैलाव अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

घनत्व फ़ंक्शन की समरूपता के कारण, यह माध्यिका के साथ मेल खाता है। मोड का कोई समान वितरण नहीं है

उदाहरण 4. टेलीफोन कॉल के उत्तर के लिए प्रतीक्षा समय एक यादृच्छिक चर है जो 0 से 2 मिनट की सीमा में एक समान वितरण कानून का पालन करता है। इस यादृच्छिक चर के अभिन्न और विभेदक वितरण फलन ज्ञात कीजिए।

27. संभाव्यता वितरण का सामान्य नियम

एक निरंतर यादृच्छिक चर x में मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण होता है: m,s > 0, यदि संभाव्यता वितरण घनत्व का रूप है:

कहां: एम - गणितीय अपेक्षा, एस - मानक विचलन।

जर्मन गणितज्ञ गॉस के नाम पर सामान्य वितरण को गॉसियन भी कहा जाता है। तथ्य यह है कि एक यादृच्छिक चर में पैरामीटर के साथ एक सामान्य वितरण होता है: एम, निम्नानुसार दर्शाया गया है: एन (एम, एस), जहां: एम = ए = एम [एक्स];

अक्सर सूत्रों में गणितीय अपेक्षा को निरूपित किया जाता है ए . यदि किसी यादृच्छिक चर को नियम N(0,1) के अनुसार वितरित किया जाता है, तो इसे सामान्यीकृत या मानकीकृत सामान्य चर कहा जाता है। इसके लिए वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

सामान्य वितरण का घनत्व ग्राफ, जिसे सामान्य वक्र या गाऊसी वक्र कहा जाता है, चित्र 5.4 में दिखाया गया है।

चावल। 5.4. सामान्य वितरण घनत्व

गुणसामान्य वितरण नियम वाला यादृच्छिक चर।

1. यदि , तो किसी दिए गए अंतराल में इस मान के गिरने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए ( एक्स 1 ; एक्स 2) सूत्र का उपयोग किया जाता है:

2. किसी यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन मान (निरपेक्ष मान में) से अधिक नहीं होने की प्रायिकता इसके बराबर है:

3. "तीन सिग्मा नियम". यदि एक यादृच्छिक चर है, तो यह लगभग निश्चित है कि इसके मान अंतराल () में समाहित हैं। (इन सीमाओं से परे जाने की संभावना 0.0027 है।) नियम पैरामीटर (और) को जानकर, यादृच्छिक चर के व्यावहारिक मूल्यों के अंतराल को लगभग निर्धारित करने की अनुमति देता है।

घातांकी रूप से वितरण

एक यादृच्छिक चर X में एक पैरामीटर के साथ एक घातीय वितरण होता है यदि उसके घनत्व का रूप होता है

घनत्व को एकीकृत करके, हम घातीय वितरण फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं:

घातीय वितरण की मुख्य विशेषताएं:

घनत्व प्लॉट और परिणामी घातीय वितरण के कार्य