अंतर समीकरणों का व्यावहारिक मूल्य इस तथ्य के कारण है कि उनका उपयोग करके, आप बुनियादी भौतिक या रासायनिक कानून और अक्सर चर के एक पूरे समूह के बीच एक संबंध स्थापित कर सकते हैं जो तकनीकी मुद्दों के अध्ययन में बहुत महत्व रखते हैं।

परिवर्तनशील परिस्थितियों में होने वाली प्रक्रिया के लिए सबसे सरल भौतिक कानून के आवेदन से भी चर के बीच एक बहुत ही जटिल संबंध हो सकता है।

अंतर समीकरणों की ओर ले जाने वाली भौतिक और रासायनिक समस्याओं को हल करते समय, समीकरण के सामान्य अभिन्न को खोजने के साथ-साथ इस अभिन्न में शामिल स्थिरांक के मूल्यों को निर्धारित करना महत्वपूर्ण है, ताकि समाधान दी गई समस्या से मेल खाता हो .

प्रक्रियाओं का अध्ययन जिसमें सभी आवश्यक मात्राएँ केवल एक स्वतंत्र चर के कार्य हैं, साधारण अंतर समीकरणों की ओर ले जाती हैं।

स्थिर-अवस्था प्रक्रियाएं आंशिक अंतर समीकरणों को जन्म दे सकती हैं।

अधिकांश स्थितियों में, अवकल समीकरणों के हल से समाकल ज्ञात नहीं होते हैं, ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए सन्निकट विधियों का उपयोग करना पड़ता है।

कैनेटीक्स की समस्या को हल करने में अंतर समीकरणों की प्रणाली का उपयोग किया जाता है।

साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए सबसे आम और सार्वभौमिक संख्यात्मक विधि परिमित अंतर की विधि है।

समस्याएँ साधारण अवकल समीकरणों को दी जाती हैं जिनमें आश्रित और स्वतंत्र चरों के बीच के संबंध को परिस्थितियों के तहत खोजना आवश्यक होता है जब बाद वाला लगातार बदलता रहता है। समस्या का समाधान परिमित अंतरों में तथाकथित समीकरणों की ओर ले जाता है।

एक्स की निरंतर भिन्नता के क्षेत्र को नोड्स नामक बिंदुओं के एक समूह द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ये नोड अंतर ग्रिड बनाते हैं। एक निरंतर तर्क का वांछित कार्य लगभग किसी दिए गए ग्रिड पर तर्क के कार्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस फ़ंक्शन को ग्रिड फ़ंक्शन कहा जाता है। एक अंतर समीकरण द्वारा एक अंतर समीकरण के प्रतिस्थापन को इसका ग्रिड सन्निकटन कहा जाता है। मूल अंतर समीकरण और अतिरिक्त प्रारंभिक स्थितियों का अनुमान लगाने वाले अंतर समीकरणों के सेट को अंतर योजना कहा जाता है। एक अंतर योजना को स्थिर कहा जाता है यदि इनपुट डेटा में एक छोटा परिवर्तन समाधान में एक छोटे से परिवर्तन से मेल खाता हो। एक अंतर योजना को सही कहा जाता है यदि उसका समाधान मौजूद है और किसी भी इनपुट डेटा के लिए अद्वितीय है, और यदि यह योजना स्थिर है।

कॉची समस्या को हल करते समय, समीकरण को संतुष्ट करने वाले फ़ंक्शन y=y(x) को ढूंढना आवश्यक है:

और प्रारंभिक स्थिति: x \u003d x 0 के लिए y \u003d y 0।

आइए बिंदुओं x 0 , x 1 , … x n और चरणों h i =x i +1 –x i (i = 0, 1, …) के अनुक्रम का परिचय दें। प्रत्येक बिंदु x i पर, संख्या y i पेश की जाती है, जो सटीक समाधान y का अनुमान लगाती है। परिमित अंतर के अनुपात से मूल समीकरण में व्युत्पन्न को बदलने के बाद, अंतर समस्या से अंतर समस्या में संक्रमण किया जाता है:

y i+1 = F(x i , h i , y i+1 , y i , … y i-k+1),

जहां मैं = 0, 1, 2 ...

इस स्थिति में, k प्राप्त होता है - परिमित अंतरों की चरण विधि। एक-चरण विधियों में, y i +1 की गणना करने के लिए, पिछले चरण y में केवल एक पहले पाया गया मान उपयोग किया जाता है, बहु-चरण विधियों में, कई।

कॉची समस्या को हल करने के लिए सबसे सरल एक-चरणीय संख्यात्मक विधि यूलर विधि है।

y i+1 = y i + h f(x i , y i).

यह योजना सटीकता के पहले क्रम की अंतर योजना है।

अगर समीकरण में y "=f(x, y) दाईं ओर f(x i, y i) और f(x i+1, y i+1) के बीच अंकगणितीय माध्य द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, अर्थात। , तब हमें यूलर विधि की अंतर्निहित अंतर योजना मिलती है:

,

सटीकता का दूसरा क्रम होना।

इस समीकरण में y i+1 को y i + h f(x i , y i ) से प्रतिस्थापित करके, योजना पुनर्गणना के साथ यूलर विधि में गुजरती है, जिसका दूसरा क्रम भी है:

सटीकता के उच्च क्रम की अंतर योजनाओं के बीच, चौथे क्रम की रनगे-कुट्टा पद्धति की योजना व्यापक है:

y i +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), i = 0, 1, …

से 1 = f(x i , y i)

से 2 = f(x i + , y i + )

से 3 = f(x i + , y i + )

के 4 = एफ(एक्स आई + एच, वाई आई + के 3)।

कंप्यूटर समय में उल्लेखनीय वृद्धि के बिना संख्यात्मक समाधान की सटीकता में सुधार करने के लिए, रनगे विधि का उपयोग किया जाता है। इसका सार अलग-अलग चरणों के साथ एक अंतर योजना के अनुसार बार-बार गणना करना है।

गणनाओं की एक श्रृंखला का उपयोग करके परिष्कृत समाधान का निर्माण किया जाता है। यदि आदेश योजना के अनुसार गणना की दो श्रृंखलाएँ की जाती हैं कोक्रमशः चरण h और h/2 के साथ और ग्रिड फ़ंक्शन y h और y h /2 के मान प्राप्त होते हैं, फिर चरण h के साथ ग्रिड नोड पर ग्रिड फ़ंक्शन के परिष्कृत मान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

.

अनुमानित गणना

भौतिक और रासायनिक गणनाओं में, सटीक समाधान देने वाले तरीकों और सूत्रों का उपयोग करना शायद ही कभी आवश्यक होता है। ज्यादातर मामलों में, सटीक परिणाम देने वाले समीकरणों को हल करने के तरीके या तो बहुत जटिल हैं या मौजूद नहीं हैं। आमतौर पर, अनुमानित समस्या समाधान के तरीकों का इस्तेमाल किया जाता है।

प्रायोगिक डेटा के प्रसंस्करण के साथ, रासायनिक कैनेटीक्स से संबंधित भौतिक और रासायनिक समस्याओं को हल करते समय, अक्सर विभिन्न समीकरणों को हल करना आवश्यक हो जाता है। कुछ समीकरणों का सटीक समाधान कई मामलों में बड़ी मुश्किलें पेश करता है। इन मामलों में, अनुमानित समाधान के तरीकों का उपयोग किया जा सकता है, जो कार्य को पूरा करने वाली सटीकता के साथ परिणाम प्राप्त कर सकता है। कई तरीके हैं: स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन की विधि), रैखिक प्रक्षेप विधि, पुनरावृत्ति (पुनरावृत्ति) विधि, आदि।

मान लीजिए एक समीकरण f(x)=0 है, जहां f(x) एक सतत फलन है। मान लें कि ए और बी के मूल्यों को चुनना संभव है जैसे कि एफ(ए) और एफ(बी) के अलग-अलग संकेत हैं, उदाहरण के लिए एफ(ए)>0, एफ(बी)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

समीकरण की जड़ों की आलेखीय खोज। उच्च कोटि के समीकरण को हल करने के लिए आलेखीय विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। मान लीजिए कि समीकरण दिया गया है:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

जहाँ a, b, …, p, q दी गई संख्याएँ हैं।

ज्यामितीय रूप से, समीकरण

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

एक निश्चित वक्र है। मनमाना x-मानों के अनुरूप y-मानों की गणना करके इसके किसी भी अंक का पता लगाया जा सकता है। OX अक्ष के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन का प्रत्येक बिंदु इस समीकरण की जड़ों में से एक का मान देता है। इसलिए, OX अक्ष के साथ संबंधित वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए समीकरण की जड़ों का पता लगाना कम हो जाता है।

पुनरावृत्ति विधि। इस पद्धति में यह तथ्य शामिल है कि हल किए जाने वाले समीकरण f (x) \u003d 0 को एक नए समीकरण x \u003d j (x) में परिवर्तित किया जाता है और, पहला सन्निकटन x 1 दिया जाता है, अधिक सटीक सन्निकटन x 2 \u003d j ( x 1), x 3 क्रमशः पाए जाते हैं =j(x 2) आदि। समाधान किसी भी डिग्री की सटीकता के साथ प्राप्त किया जा सकता है, बशर्ते कि पहले सन्निकटन और समीकरण की जड़ के बीच के अंतराल में | j "(x) |<1.

एक अरैखिक समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:

ए) आधा विभाजन विधि:

एक वास्तविक जड़ के अलगाव अंतराल को हमेशा इसे विभाजित करके कम किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, आधे में, मूल अंतराल के किस भाग की सीमाओं पर निर्धारित करते हुए फ़ंक्शन f(x) परिवर्तन चिह्न। फिर परिणामी अंतराल को फिर से दो भागों में विभाजित किया जाता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया तब तक की जाती है जब तक कि प्रतिक्रिया में संग्रहीत दशमलव स्थान बदलना बंद न हो जाए।

हम अंतराल चुनते हैं जिसमें समाधान संलग्न है। f(a) और f(b) की गणना करें यदि f(a) > 0 और f(b)< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 और f(c) > 0, तो a = c और b = b। अन्यथा, यदि f(a)< 0 и f(c) >0 या f(a) > 0 और f(c)< 0, то a = a и b = c.

बी) स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन विधि):

समीकरण f(x) = 0 की वास्तविक जड़ को खंड पर पृथक होने दें। आइए एक सेगमेंट पर ऐसी संख्या x 0 लें, जिसके लिए f (x 0) का चिह्न f '(x 0) के समान हो। आइए वक्र y = f(x) पर बिंदु M 0 पर एक स्पर्श रेखा खींचें। जड़ के अनुमानित मूल्य के लिए, हम अक्ष ऑक्स के साथ इस स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज लेते हैं। रूट का यह अनुमानित मान सूत्र द्वारा पाया जा सकता है

इस तकनीक को दूसरी बार बिंदु M 1 पर लागू करने पर हमें मिलता है

वगैरह। इस तरह से प्राप्त अनुक्रम x 0 , x 1 , x 2 , ... इसकी सीमा के रूप में वांछित जड़ है। सामान्य तौर पर, इसे इस तरह लिखा जा सकता है:

.

बीजगणितीय समीकरणों की रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए, गॉस-सीडेल पुनरावृत्ति पद्धति का उपयोग किया जाता है। सामग्री और गर्मी संतुलन की गणना के रूप में रासायनिक प्रौद्योगिकी की ऐसी समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए कम हो जाती हैं।

विधि का सार इस तथ्य में निहित है कि सरल परिवर्तनों के माध्यम से, अज्ञात x 1, x 2, ..., x n क्रमशः समीकरण 1,2, ..., n से व्यक्त किए जाते हैं। अज्ञात x 1 = x 1 (0), x 2 = x 2 (0), ..., x n = x n (0) के प्रारंभिक सन्निकटन सेट हैं, इन मानों को अभिव्यक्ति x के दाईं ओर प्रतिस्थापित किया गया है 1 और x 1 (1) की गणना की जाती है। फिर x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) को अभिव्यक्ति x 2 और x 2 (1), आदि के दाईं ओर प्रतिस्थापित किया जाता है। x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1) की गणना के बाद दूसरा पुनरावृत्ति किया जाता है। पुनरावृत्त प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक मान x 1 (k), x 2 (k), ... दिए गए त्रुटि के साथ मान x 1 (k-1), x 2 (k-2) के करीब नहीं हो जाते , ... .

रासायनिक प्रौद्योगिकी की ऐसी समस्याएं, जैसे कि रासायनिक संतुलन की गणना, आदि, गैर-रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए कम हो जाती हैं। गैर-रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए इटरेटिव विधियों का भी उपयोग किया जाता है। जटिल संतुलन की गणना अरैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए कम हो जाती है।

सरल पुनरावृति द्वारा एक प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली गॉस-सीडेल विधि जैसा दिखता है।

सरल पुनरावृति विधि की तुलना में न्यूटन की विधि में अभिसरण तेजी से होता है। यह एक टेलर श्रृंखला में कार्यों F 1 (x 1 , x 2 , ... x n) के विस्तार के उपयोग पर आधारित है। इस मामले में, दूसरे डेरिवेटिव वाले शब्दों को छोड़ दिया जाता है।

पिछले पुनरावृत्ति पर प्राप्त सिस्टम अज्ञात के अनुमानित मान a 1 , a 2 , …a n । कार्य इन मानों में वृद्धि को खोजना है Δx 1, Δx 2, ... Δx n, जिसके कारण अज्ञात के नए मान प्राप्त होंगे:

x 1 \u003d a 1 + Δx 1

एक्स 2 \u003d ए 2 + Δx 2

x n \u003d a n + Δx n।

आइए हम एक टेलर श्रृंखला में समीकरणों के बाएँ हाथ के पक्षों का विस्तार करें, जो रैखिक शब्दों तक सीमित हैं:

चूँकि समीकरण का बायाँ भाग शून्य के बराबर होना चाहिए, हम दाएँ भाग को भी शून्य के बराबर करते हैं। आइए वृद्धि Δх के संबंध में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करें।

मान F 1 , F 2 , … F n और उनके आंशिक डेरिवेटिव की गणना x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , … x n = a n पर की जाती है।

हम इस प्रणाली को मैट्रिक्स के रूप में लिखते हैं:

इस रूप के मैट्रिक्स जी के निर्धारक को जैकोबियन कहा जाता है। ऐसे मैट्रिक्स के निर्धारक को जैकबियन कहा जाता है। सिस्टम के लिए एक अद्वितीय समाधान के अस्तित्व के लिए, यह प्रत्येक पुनरावृत्ति पर शून्य से भिन्न होना चाहिए।

इस प्रकार, न्यूटन विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली के समाधान में प्रत्येक पुनरावृत्ति पर जैकोबी मैट्रिक्स (आंशिक डेरिवेटिव) का निर्धारण करना और वेतन वृद्धि Δx 1, Δx 2, ... Δx n को अज्ञात के मूल्यों पर निर्धारित करना शामिल है रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके प्रत्येक पुनरावृत्ति।

प्रत्येक पुनरावृत्ति पर जैकोबी मैट्रिक्स को खोजने की आवश्यकता को समाप्त करने के लिए, न्यूटन की एक बेहतर विधि प्रस्तावित है। यह विधि पिछले पुनरावृत्तियों पर प्राप्त F 1 , F 2 , … , F n मानों का उपयोग करके जैकोबी मैट्रिक्स के सुधार की अनुमति देती है।

हमने इस खंड को सबसे सरल रूप d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 के अवकल समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए समर्पित करने का निर्णय लिया, जिसमें a 1, b 1, c 1 , a 2 , b 2 , c 2 कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए सबसे प्रभावी एकीकरण विधि है। आइए इस विषय पर एक उदाहरण समाधान पर भी विचार करें।

विभेदक समीकरणों की प्रणाली का समाधान x (t) और y (t) कार्यों की एक जोड़ी होगी, जो सिस्टम के दोनों समीकरणों को एक पहचान में बदलने में सक्षम है।

अवकल समीकरण d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 की प्रणाली को एकीकृत करने की विधि पर विचार करें। पहले समीकरण से अज्ञात फ़ंक्शन x (t) को बाहर करने के लिए हम सिस्टम के दूसरे समीकरण से x को व्यक्त करते हैं:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

आइए हम दूसरे समीकरण को इसके संबंध में विभेदित करें टीऔर d x d t के लिए इसके समीकरण को हल करें:

डी 2 वाई डी टी 2 = ए 2 डी एक्स डी टी + बी 2 डी वाई डी टी ⇒ डी एक्स डी टी = 1 ए 2 डी 2 वाई डी टी 2 - बी 2 डी वाई डी टी

अब पिछली गणनाओं के परिणाम को सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (ए 1 + बी 2) डी वाई डी टी + (ए 1 बी 2 - ए 2 बी 1) y = ए 2 सी 1 - ए 1 सी 2

इस प्रकार, हमने अज्ञात फलन x (t) को समाप्त कर दिया और निरंतर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का एक रैखिक असमघात DE प्राप्त किया। आइए इस समीकरण y (t) का हल खोजें और इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। पता लगाते हैं एक्स (टी). हम मानते हैं कि यह समीकरणों की प्रणाली के समाधान को पूरा करता है।

उदाहरण 1

अवकल समीकरण d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3 के निकाय का हल ज्ञात कीजिए

समाधान

आइए सिस्टम के पहले समीकरण से शुरू करें। आइए इसे x के संबंध में हल करें:

एक्स = डी वाई डी टी - 2 वाई + 3

अब सिस्टम के दूसरे समीकरण का विभेदन करते हैं, जिसके बाद हम इसे d x d t के संबंध में हल करते हैं:

हम गणना के दौरान प्राप्त परिणाम को DE प्रणाली के प्रथम समीकरण में स्थानापन्न कर सकते हैं:

डी एक्स डी टी = एक्स - 1 डी 2 वाई डी टी 2 - 2 डी वाई डी टी = डी वाई डी टी - 2 वाई + 3 - 1 डी 2 वाई डी टी 2 - 3 डी वाई डी टी + 2 वाई = 2

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने स्थिर गुणांक d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 के साथ दूसरे क्रम का एक रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण प्राप्त किया है। यदि हम इसका व्यापक हल ज्ञात कर लें, तो हमें फलन प्राप्त हो जाता है वाई (टी).

हम विशेषता समीकरण k 2 - 3 k + 2 = 0 की जड़ों की गणना करके संबंधित LODE y 0 का सामान्य समाधान पा सकते हैं:

डी \u003d 3 2 - 4 2 \u003d 1 के 1 \u003d 3 - 1 2 \u003d 1 के 2 \u003d 3 + 1 2 \u003d 2

हमें जो जड़ें प्राप्त हुई हैं वे वैध और विशिष्ट हैं। इस संबंध में, LODE के सामान्य समाधान का रूप y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t होगा।

अब आइए रैखिक असमघात DE y~ का एक विशेष हल ज्ञात करें:

डी 2 वाई डी टी 2 - 3 डी वाई डी टी + 2 वाई = 2

समीकरण का दाहिना पक्ष शून्य डिग्री का एक बहुपद है। इसका मतलब यह है कि हम y ~ = A के रूप में एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे, जहां A अनिश्चित गुणांक है।

हम समानता d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2 से अनिश्चित गुणांक निर्धारित कर सकते हैं:
डी 2 (ए) डी टी 2 - 3 डी (ए) डी टी + 2 ए = 2 ⇒ 2 ए = 2 ⇒ ए = 1

इस प्रकार, y ~ = 1 और y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 । हमें एक अज्ञात कार्य मिला।

अब हम DE सिस्टम के दूसरे समीकरण में पाए गए फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करते हैं और नए समीकरण को हल करते हैं एक्स (टी):
डी (सी 1 ई टी + सी 2 ई 2 टी + 1) डी टी = एक्स + 2 (सी 1 ई टी + सी 2 ई 2 टी + 1) - 3 सी 1 ई टी + 2 सी 2 ई 2 टी = एक्स + 2 सी 1 ई टी + 2 सी 2 ई 2 टी - 1 एक्स = - सी 1 ई टी + 1

इसलिए हमने दूसरे अज्ञात फलन x (t) = - C 1 · e t + 1 की गणना की।

उत्तर: x (टी) = - सी 1 ई टी + 1 वाई (टी) = सी 1 ई टी + सी 2 ई 2 टी + 1

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यह बाहर एक उमस भरा समय है, चिनार का फूल उड़ता है, और ऐसा मौसम आराम करने के लिए अनुकूल होता है। स्कूल वर्ष के दौरान, सभी ने थकान जमा कर ली है, लेकिन गर्मी की छुट्टियों / छुट्टियों की उम्मीद से उन्हें परीक्षा और परीक्षण सफलतापूर्वक पास करने के लिए प्रेरित होना चाहिए। वैसे तो टीचर्स भी सीजन के हिसाब से डल होते हैं तो जल्दी ही मैं भी दिमाग उतारने के लिए टाइमआउट लूंगा। और अब कॉफी, सिस्टम यूनिट की मापी हुई गड़गड़ाहट, खिड़की पर कुछ मृत मच्छर और पूरी तरह से काम करने की स्थिति ... ओह, लानत है ... एक कमबख्त कवि।

व्यापार करने के लिए। किसी के लिए यह अलग है, लेकिन मेरे लिए आज 1 जून है, और हम जटिल विश्लेषण की एक और विशिष्ट समस्या पर विचार करेंगे - संक्रियात्मक कलन की विधि द्वारा अवकल समीकरणों के निकाय का विशेष हल ज्ञात करना. आपको क्या जानने की जरूरत है और इसे हल करने का तरीका सीखने में सक्षम होना चाहिए? सबसे पहले, अत्यधिक सिफारिश किया जाता हैपाठ का संदर्भ लें। कृपया परिचयात्मक भाग पढ़ें, विषय की सामान्य सेटिंग, शब्दावली, संकेतन और कम से कम दो या तीन उदाहरणों को समझें। तथ्य यह है कि डिफ्यूज़र सिस्टम के साथ सब कुछ लगभग समान और आसान भी होगा!

बेशक, आपको समझना चाहिए कि क्या अंतर समीकरणों की प्रणाली, जिसका अर्थ है सिस्टम का एक सामान्य समाधान और सिस्टम का एक विशेष समाधान खोजना।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि अंतर समीकरणों की प्रणाली को "पारंपरिक" तरीके से हल किया जा सकता है: उन्मूलन विधिया विशेषता समीकरण का उपयोग करना. परिचालन कलन की विधि, जिस पर चर्चा की जाएगी, नियंत्रण प्रणाली पर लागू होती है जब कार्य निम्नानुसार तैयार किया जाता है:

अवकल समीकरणों की समांगी प्रणाली का विशेष हल ज्ञात कीजिए प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप .

वैकल्पिक रूप से, सिस्टम विषम भी हो सकता है - कार्यों के रूप में और सही भागों में "मेकवेट" के साथ:

लेकिन, दोनों ही मामलों में, आपको स्थिति के दो मूलभूत बिंदुओं पर ध्यान देने की आवश्यकता है:

1) इसके बारे में है केवल एक निजी निर्णय के बारे में.
2) प्रारंभिक स्थितियों के कोष्ठक में हैं सख्ती से शून्य, और कुछ न था।

सामान्य चाल और एल्गोरिदम बहुत समान होंगे एक परिचालन विधि द्वारा एक अंतर समीकरण का समाधान. संदर्भ सामग्री से, वही मूल और छवियों की तालिका.

उदाहरण 1

, ,

समाधान:शुरुआत तुच्छ है: के साथ लाप्लास रूपांतरण टेबलआइए मूल से संबंधित छवियों की ओर बढ़ते हैं। रिमोट कंट्रोल सिस्टम की समस्या में, यह संक्रमण आमतौर पर सरल होता है:

सारणीबद्ध सूत्र №№1,2 का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

"खेल" के साथ क्या करना है? तालिका "x" को "y" में मानसिक रूप से बदलें। उसी परिवर्तन संख्या №№1,2 का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

मूल समीकरण में मिली छवियों को प्रतिस्थापित करें :

अब बायीं तरफ परएकत्र किए जाने वाले समीकरण सभीऐसे शब्द जिनमें या शामिल है। दाहिनी ओरसमीकरणों को "तैयार करने" की आवश्यकता है अन्यशर्तें:

इसके अलावा, प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर, हम ब्रैकेटिंग करते हैं:

इस मामले में, पहली स्थिति में और दूसरी स्थिति में रखा जाना चाहिए:

दो अज्ञात के साथ समीकरणों की परिणामी प्रणाली को आमतौर पर हल किया जाता है क्रैमर के सूत्र के अनुसार. आइए हम सिस्टम के मुख्य निर्धारक की गणना करें:

निर्धारक की गणना के परिणामस्वरूप, एक बहुपद प्राप्त किया गया था।

महत्वपूर्ण तकनीकी टिप!यह बहुपद बेहतर है तुरंतगुणनखंड करने का प्रयास करें। इस उद्देश्य के लिए द्विघात समीकरण को हल करने का प्रयास करना चाहिए , लेकिन, कई पाठकों के लिए, दूसरे वर्ष के लिए प्रशिक्षित आंख इस पर ध्यान देगी .

इस प्रकार, सिस्टम का हमारा मुख्य निर्धारक है:

सिस्टम के साथ आगे की गड़बड़ी, धन्यवाद क्रेमर, मानक है:

नतीजतन, हमें मिलता है सिस्टम के ऑपरेटर निर्णय:

विचाराधीन कार्य का लाभ यह है कि अंश आमतौर पर सरल हो जाते हैं, और कार्यों में अंशों की तुलना में उनसे निपटना बहुत आसान होता है परिचालन विधि द्वारा DE का एक विशेष समाधान खोजना. पूर्वाभास ने आपको धोखा नहीं दिया - अच्छा पुराना अनिश्चित गुणांक की विधि, जिसकी मदद से हम प्रत्येक अंश को प्राथमिक अंशों में विघटित करते हैं:

1) हम पहले अंश से निपटते हैं:

इस प्रकार:

2) हम दूसरे अंश को इसी तरह तोड़ते हैं, जबकि अन्य स्थिरांक (अनिश्चित गुणांक) का उपयोग करना अधिक सही है:

इस प्रकार:

मैं डमीज को निम्नलिखित रूप में विघटित ऑपरेटर समाधान लिखने की सलाह देता हूं:
- तो अंतिम चरण स्पष्ट होगा - व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन।

तालिका के दाहिने स्तंभ का उपयोग करते हुए, आइए छवियों से संबंधित मूल पर जाएँ:

अच्छे गणितीय स्वर के नियमों के अनुसार, हम परिणाम को थोड़ा कम करते हैं:

उत्तर:

उत्तर की जाँच मानक योजना के अनुसार की जाती है, जिसकी चर्चा पाठ में विस्तार से की गई है। अंतर समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?टास्क में बड़ा प्लस स्कोर करने के लिए हमेशा इसे पूरा करने की कोशिश करें।

उदाहरण 2

संक्रियात्मक कलन का प्रयोग करते हुए, दी गई आरंभिक स्थितियों के संगत अवकल समीकरणों के निकाय का विशेष हल ज्ञात कीजिए।
, ,

यह स्वयं करने का उदाहरण है। समस्या के अंतिम डिजाइन का एक अनुमानित नमूना और पाठ के अंत में उत्तर।

विभेदक समीकरणों की एक विषम प्रणाली का समाधान एल्गोरिथम से भिन्न नहीं है, सिवाय इसके कि यह तकनीकी रूप से थोड़ा अधिक जटिल होगा:

उदाहरण 3

संक्रियात्मक कलन का प्रयोग करते हुए, दी गई आरंभिक स्थितियों के संगत अवकल समीकरणों के निकाय का विशेष हल ज्ञात कीजिए।
, ,

समाधान:प्रारंभिक स्थितियों को देखते हुए लाप्लास रूपांतरण तालिका का उपयोग करना , आइए मूल से संबंधित छवियों की ओर बढ़ते हैं:

लेकिन इतना ही नहीं, समीकरणों के दायीं ओर एकांकी स्थिरांक हैं। उन मामलों में क्या करें जब निरंतर अपने आप में अकेला हो? इस पाठ में पहले ही चर्चा की जा चुकी है। परिचालन विधि द्वारा DE को कैसे हल करें. हम दोहराते हैं: एकल स्थिरांक को मानसिक रूप से एक से गुणा किया जाना चाहिए, और निम्नलिखित लाप्लास परिवर्तन को इकाइयों पर लागू किया जाना चाहिए:

मूल प्रणाली में मिली छवियों को बदलें:

बाईं ओर हम उन शर्तों को स्थानांतरित करते हैं जिनमें मौजूद हैं, दाएं भागों में हम शेष शर्तों को रखते हैं:

बाएं भागों में, हम ब्रैकेटिंग करेंगे, इसके अलावा, हम दूसरे समीकरण के दाहिने हिस्से को एक सामान्य भाजक में घटाएंगे:

हम सिस्टम के मुख्य निर्धारक की गणना करते हैं, यह नहीं भूलते कि परिणाम को तुरंत कारक बनाने का प्रयास करना उचित है:
, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

हम आगे बढ़ते हैं:



इस प्रकार, सिस्टम का ऑपरेटर समाधान:

कभी-कभी एक या दोनों अंशों को भी कम किया जा सकता है, और यह इतनी अच्छी तरह से होता है कि व्यावहारिक रूप से कुछ भी नहीं होता है! और कुछ मामलों में, यह तुरंत एक फ्रीबी बन जाता है, वैसे, पाठ का निम्नलिखित उदाहरण एक सांकेतिक उदाहरण होगा।

अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करते हुए, हम प्राथमिक अंशों का योग प्राप्त करते हैं।

पहले अंश को तोड़ना:

और हमें दूसरा मिलता है:

परिणामस्वरूप, ऑपरेटर का निर्णय हमें आवश्यक रूप लेता है:

दाएँ स्तंभ का उपयोग करना मूल और छवियों की तालिकाएँव्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण करें:

आइए प्राप्त छवियों को सिस्टम के ऑपरेटर समाधान में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर:निजी समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक विषम प्रणाली में, एक सजातीय प्रणाली की तुलना में अधिक समय लेने वाली गणना करना आवश्यक है। आइए साइन, कोसाइन के साथ कुछ और उदाहरणों का विश्लेषण करें, और यह पर्याप्त है, क्योंकि लगभग सभी प्रकार की समस्या और समाधान की अधिकांश बारीकियों पर विचार किया जाएगा।

उदाहरण 4

परिचालन कलन की विधि का उपयोग करते हुए, दी गई प्रारंभिक शर्तों के साथ अवकल समीकरणों की प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजें,

समाधान:मैं स्वयं भी इस उदाहरण का विश्लेषण करूँगा, लेकिन टिप्पणियाँ केवल विशेष क्षणों से संबंधित होंगी। मुझे लगता है कि आप पहले से ही समाधान एल्गोरिथ्म में पारंगत हैं।

आइए मूल से संबंधित छवियों की ओर बढ़ते हैं:

आइए मिली छवियों को मूल रिमोट कंट्रोल सिस्टम में बदलें:

हम Cramer के फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं:
, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

परिणामी बहुपद गुणनखंडित नहीं है। ऐसे मामलों में क्या करें? बिल्कुल कुछ भी नहीं। यह भी करेगा।

परिणामस्वरूप, सिस्टम का ऑपरेटर समाधान:

और यहाँ भाग्यशाली टिकट है! अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग बिल्कुल नहीं किया जाना चाहिए! तालिका परिवर्तनों को लागू करने के लिए केवल एक चीज, हम निम्नलिखित रूप में समाधान को फिर से लिखते हैं:

आइए छवियों से संबंधित मूल की ओर बढ़ते हैं:

आइए प्राप्त छवियों को सिस्टम के ऑपरेटर समाधान में प्रतिस्थापित करें:

गणित, भौतिकी और प्रौद्योगिकी की कई समस्याओं में, एक साथ कई कार्यों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है, जो कई अंतर समीकरणों से जुड़े होते हैं। ऐसे समीकरणों के समुच्चय को अवकल समीकरणों का निकाय कहते हैं। विशेष रूप से, ऐसी प्रणालियाँ उन समस्याओं को जन्म देती हैं जिनमें दिए गए बलों की कार्रवाई के तहत अंतरिक्ष में पिंडों की गति का अध्ययन किया जाता है।

उदाहरण के लिए, द्रव्यमान का एक भौतिक बिंदु एक बल F की क्रिया के तहत अंतरिक्ष में एक निश्चित वक्र (L) के साथ चलता है। बिंदु की गति के नियम को निर्धारित करना आवश्यक है, अर्थात समय पर बिंदु के निर्देशांक की निर्भरता।

चलिए मान लेते हैं

गतिमान बिंदु का त्रिज्या वेक्टर। यदि बिंदु के चर निर्देशांक को द्वारा निरूपित किया जाता है, तो

गतिमान बिंदु की गति और त्वरण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

(अध्याय VI, § 5, n. 4 देखें)।

बल एफ, जिसकी क्रिया के तहत एक बिंदु चलता है, आम तौर पर बोलना, समन्वय अक्षों पर समय, बिंदु निर्देशांक और वेग अनुमानों का एक कार्य है:

न्यूटन के द्वितीय नियम के आधार पर किसी बिंदु की गति का समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है:

निर्देशांक अक्ष पर इस समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों पर सदिशों को प्रक्षेपित करने पर, हमें गति के तीन अवकल समीकरण प्राप्त होते हैं:

ये अंतर समीकरण तीन वांछित कार्यों के संबंध में तीन दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है:

भविष्य में, हम स्वयं को केवल वांछित फलनों के संबंध में एक विशेष रूप के प्रथम कोटि के समीकरणों की प्रणाली का अध्ययन करने तक ही सीमित रखेंगे। इस प्रणाली का रूप है

समीकरणों की प्रणाली (95) को सामान्य रूप में एक प्रणाली या एक सामान्य प्रणाली कहा जाता है।

एक सामान्य प्रणाली में, समीकरणों के दाहिने हिस्से में वांछित कार्यों के डेरिवेटिव नहीं होते हैं।

सिस्टम का समाधान (95) इस सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करने वाले कार्यों का सेट है।

नए वांछित कार्यों को शुरू करके दूसरे, तीसरे और उच्च क्रम के समीकरणों के सिस्टम को सामान्य प्रणाली में कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सिस्टम (94) को निम्नानुसार सामान्य रूप में रूपांतरित किया जा सकता है। हम सेट करके नए कार्यों का परिचय देते हैं। तब समीकरण प्रणाली (94) को इस प्रकार लिखा जाएगा:

सिस्टम (96) सामान्य है।

उदाहरण के लिए, तीन अज्ञात कार्यों के साथ तीन समीकरणों की एक सामान्य प्रणाली पर विचार करें:

विभेदक समीकरणों की एक सामान्य प्रणाली के लिए, एक समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के लिए कौशी प्रमेय निम्नानुसार तैयार किया गया है।

प्रमेय। सिस्टम (97) के समीकरणों के दाहिने हाथ की ओर, यानी, कार्य कुछ डोमेन G में सभी चर में निरंतर होते हैं और इसमें निरंतर आंशिक डेरिवेटिव होते हैं। फिर, जो भी मान डोमेन G से संबंधित हैं, वहां सिस्टम का एक अनूठा समाधान है जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है:

सिस्टम (97) को एकीकृत करने के लिए, कोई उस विधि को लागू कर सकता है जिसके द्वारा दी गई प्रणाली में तीन वांछित कार्यों के संबंध में तीन समीकरणों को एक अज्ञात फ़ंक्शन के संबंध में एक तिहाई-क्रम समीकरण में घटाया जाता है। आइए हम इस पद्धति के अनुप्रयोग का एक उदाहरण दिखाते हैं।

सरलता के लिए, हम स्वयं को दो समीकरणों की प्रणाली तक सीमित रखते हैं। चलो समीकरणों की प्रणाली

सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं। हम पाते हैं कि सिस्टम के समीकरणों में से पहले को अलग करना

इस समानता में सिस्टम के दूसरे समीकरण से अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

अंत में, सिस्टम के पहले समीकरण से इसकी अभिव्यक्ति द्वारा फ़ंक्शन y को प्रतिस्थापित करना

हमें एक अज्ञात फलन के संबंध में दूसरे कोटि का रैखिक सजातीय समीकरण प्राप्त होता है:

इस समीकरण का समाकलन करने पर, हम इसका व्यापक हल प्राप्त करते हैं

हम जो समानता पाते हैं, उसे अलग करना

एक्स और समानता में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना और शर्तों को समान करना, हम प्राप्त करते हैं

इस व्यवस्था का समाधान हैं।

इसलिए, दो अंतर समीकरणों की एक सामान्य प्रणाली को एकीकृत करके, हमने दो मनमाना स्थिरांक के आधार पर इसका समाधान प्राप्त किया है। यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य मामले में समीकरणों से युक्त एक सामान्य प्रणाली के लिए, इसका सामान्य समाधान मनमाने स्थिरांक पर निर्भर करेगा।

निरंतर गुणांक वाले साधारण अंतर समीकरणों (SODE) की एक प्रणाली के लिए मैट्रिक्स संकेतन

स्थिर गुणांक $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ के साथ रैखिक सजातीय SODE (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

जहां $y_(1) \बाएं(x\दाएं),\; y_(2) \बाएं(x\दाएं),\; \ ldots, \; y_(n) \बाएं(x\दाएं)$ -- स्वतंत्र चर $x$ के वांछित कार्य, गुणांक $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- हम मैट्रिक्स संकेतन में दी गई वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं:

1. वांछित कार्यों का मैट्रिक्स ldots ) \\ (y_(n) \बाएं(x\दाएं)) \end(सरणी)\दाएं)$;
2. व्युत्पन्न निर्णय मैट्रिक्स $\frac(dY)(dx) =\बाएं(\शुरू (सरणी)(सी) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. SODE गुणांक मैट्रिक्स $A=\left(\begin(सरणी)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$।

अब, मैट्रिक्स गुणन के नियम के आधार पर, इस SODE को मैट्रिक्स समीकरण $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$ के रूप में लिखा जा सकता है।

स्थिर गुणांक वाले SODE को हल करने की सामान्य विधि

कुछ संख्याओं का एक मैट्रिक्स होने दें \ अल्फा _ (एन)) \ अंत (सरणी) \ सही) $।

SODE समाधान निम्न रूप में पाया जाता है: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^( k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $। मैट्रिक्स रूप में: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(सरणी )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \बाएं(\शुरू (सरणी)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\अल्फ़ा _(n) ) \end(array)\right)$.

यहाँ से हमें मिलता है:

अब इस SODE के मैट्रिक्स समीकरण को रूप दिया जा सकता है:

परिणामी समीकरण को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

अंतिम समानता से पता चलता है कि वेक्टर $\alpha $ को मैट्रिक्स $A$ की मदद से वेक्टर $k\cdot \alpha $ में समानांतर में बदल दिया गया है। इसका मतलब यह है कि सदिश $\alpha $ मैट्रिक्स $A$ का आइगेनवेक्टर है जो आइगेनवैल्यू $k$ के अनुरूप है।

संख्या $k$ को समीकरण $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) से निर्धारित किया जा सकता है \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

इस समीकरण को विशेषता कहा जाता है।

विशेषता समीकरण के सभी मूल $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ अलग होने दें। प्रत्येक $k_(i)$ मूल्य के लिए $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \ \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ \ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) ( \alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ मूल्यों का एक मैट्रिक्स परिभाषित किया जा सकता है $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right) )) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\बाएं(i\right)) ) \end(array)\right)$।

इस मैट्रिक्स में मूल्यों में से एक को मनमाने ढंग से चुना जाता है।

अंत में, मैट्रिक्स रूप में इस प्रणाली का समाधान निम्नानुसार लिखा गया है:

$\बाएं(\शुरू(सरणी)(सी) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(सरणी)\दाएं)=\ बायां(\शुरू(सरणी)(सीसीसीसी) (\अल्फा _(1)^(\बाएं(1\दाएं)) ) और (\अल्फा _(1)^(\बाएं(2\दाएं)) ) और (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\बाएं(2\दाएं)) ) और (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\बाएं(n\दाएं)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_) (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(सरणी)\right)$,

जहाँ $C_(i) $ मनमाने स्थिरांक हैं।

काम

प्रणाली को हल करें 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$।

सिस्टम मैट्रिक्स लिखें: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$।

मैट्रिक्स रूप में, यह SODE इस प्रकार लिखा जाता है: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \शुरू (सरणी)(सी) (y_(1)) \\ (y_(2)) \end(सरणी)\दाएं)$।

हमें विशेषता समीकरण मिलता है:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$ यानी $k^( 2) -10\cdot के+9=0$।

विशेषता समीकरण की जड़ें: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$।

हम $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(\alpha _(2)^(\left(\alpha _(1\right))) की गणना के लिए एक प्रणाली बनाते हैं। 1\ दाएँ))) \end(सरणी)\दाएँ)$ के लिए $k_(1) =1$:

\[\बाएं(\शुरू(सरणी)(सीसी) (5-k_(1) ) और (4) \\ (4) और (5-k_(1) ) \end(सरणी)\दाएं)\cdot \ बायां(\शुरू(सरणी)(सी) (\अल्फा _(1)^(\बाएं(1\दाएं)) ) \\ (\अल्फा _(2)^(\बाएं(1\दाएं)) ) \end (सरणी)\दाएं)=0,\]

यानी $\बाएं(5-1\दाएं)\cdot \alpha _(1)^(\बाएं(1\दाएं)) +4\cdot \alpha _(2)^(\बाएं(1\दाएं)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\बाएं(1\दाएं)) +\बाएं(5-1\दाएं)\cdot \alpha _(2)^(\बाएं(1\दाएं) ) =0$।

$\alpha _(1)^(\बाएं(1\दाएं)) =1$ रखने पर, हमें $\alpha _(2)^(\बाएं(1\दाएं)) =-1$ मिलते हैं।

हम $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(\left(\alpha _(2\right))) की गणना के लिए एक प्रणाली बनाते हैं 2\दाएं))) \end(सरणी)\दाएं)$ के लिए $k_(2) =9$:

\[\बाएं(\शुरू(सरणी)(सीसी) (5-k_(2) ) और (4) \\ (4) और (5-k_(2) ) \end(सरणी)\दाएं)\cdot \ बायां(\शुरू (सरणी)(सी) (\अल्फा _(1)^(\बाएं(2\दाएं)) ) \\ (\अल्फा _(2)^(\बाएं(2\दाएं)) ) \end (सरणी)\दाएं)=0, \]

यानी $\बाएं(5-9\दाएं)\cdot \alpha _(1)^(\बाएं(2\दाएं)) +4\cdot \alpha _(2)^(\बाएं(2\दाएं)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\बाएं(2\दाएं)) +\बाएं(5-9\दाएं)\cdot \alpha _(2)^(\बाएं(2\दाएं) ) =0$।

$\alpha _(1)^(\बाएं(2\दाएं)) =1$ रखने पर, हमें $\alpha _(2)^(\बाएं(2\दाएं)) =1$ मिलते हैं।

हम मैट्रिक्स रूप में SODE समाधान प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं(\शुरू(सरणी)(सी) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(सरणी)\दाएं)=\बाएं(\शुरू (सरणी)(सीसी) (1) & (1) \\ (-1) और (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

सामान्य रूप में, SODE समाधान है: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end (सरणी)\दाएँ। $।