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उत्पादन प्रक्रिया के एक-पैरामीटर, स्टोकेस्टिक मॉडल का निर्माण

पीएच.डी. असोक। मोर्दसोव यू.पी.

मैकेनिकल इंजीनियरिंग विश्वविद्यालय, 8-916-853-13-32, [ईमेल संरक्षित]गी

व्याख्या। लेखक ने एक पैरामीटर के आधार पर उत्पादन प्रक्रिया का गणितीय, स्टोकेस्टिक मॉडल विकसित किया है। मॉडल का परीक्षण किया गया है। इसके लिए, यादृच्छिक गड़बड़ी-विफलताओं के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए, उत्पादन, मशीन-निर्माण प्रक्रिया का अनुकरण मॉडल बनाया गया था। गणितीय और सिमुलेशन मॉडलिंग के परिणामों की तुलना गणितीय मॉडल को व्यवहार में लागू करने की समीचीनता की पुष्टि करती है।

मुख्य शब्द: तकनीकी प्रक्रिया, गणितीय, सिमुलेशन मॉडल, परिचालन नियंत्रण, अनुमोदन, यादृच्छिक गड़बड़ी।

एक कार्यप्रणाली विकसित करके परिचालन प्रबंधन की लागत को काफी कम किया जा सकता है जो आपको परिचालन योजना की लागत और वास्तविक उत्पादन प्रक्रियाओं के नियोजित संकेतकों और संकेतकों के बीच विसंगति के परिणामस्वरूप होने वाले नुकसान के बीच इष्टतम खोजने की अनुमति देता है। इसका मतलब फीडबैक लूप में सिग्नल की इष्टतम अवधि खोजना है। व्यवहार में, इसका मतलब विधानसभा इकाइयों को उत्पादन में लॉन्च करने के लिए कैलेंडर शेड्यूल की गणना की संख्या में कमी है और इसके कारण, भौतिक संसाधनों की बचत होती है।

मैकेनिकल इंजीनियरिंग में उत्पादन प्रक्रिया का पाठ्यक्रम प्रकृति में संभाव्य है। लगातार बदलते कारकों का निरंतर प्रभाव अंतरिक्ष और समय में उत्पादन प्रक्रिया के एक निश्चित परिप्रेक्ष्य (महीने, तिमाही) के लिए भविष्यवाणी करना संभव नहीं बनाता है। सांख्यिकीय शेड्यूलिंग मॉडल में, प्रत्येक विशिष्ट बिंदु पर एक भाग की स्थिति को विभिन्न कार्यस्थलों पर होने की उपयुक्त संभावना (संभाव्यता वितरण) के रूप में दिया जाना चाहिए। हालांकि, उद्यम के अंतिम परिणाम के निर्धारण को सुनिश्चित करना आवश्यक है। यह, बदले में, उत्पादन में होने वाले भागों के लिए कुछ शर्तों की योजना बनाने के लिए, नियतात्मक तरीकों का उपयोग करने की संभावना को दर्शाता है। हालांकि, अनुभव से पता चलता है कि वास्तविक उत्पादन प्रक्रियाओं के विभिन्न अंतर्संबंध और पारस्परिक संक्रमण विविध और असंख्य हैं। नियतात्मक मॉडल विकसित करते समय, यह महत्वपूर्ण कठिनाइयाँ पैदा करता है।

उत्पादन के पाठ्यक्रम को प्रभावित करने वाले सभी कारकों को ध्यान में रखने का प्रयास मॉडल को बोझिल बनाता है, और यह योजना, लेखा और विनियमन उपकरण के रूप में कार्य करना बंद कर देता है।

बड़ी संख्या में विभिन्न कारकों पर निर्भर जटिल वास्तविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल के निर्माण के लिए एक सरल विधि, जिसे ध्यान में रखना मुश्किल या असंभव है, स्टोकेस्टिक मॉडल का निर्माण है। इस मामले में, वास्तविक प्रणाली के कामकाज के सिद्धांतों का विश्लेषण करते समय या इसकी व्यक्तिगत विशेषताओं का अवलोकन करते समय, कुछ मापदंडों के लिए संभाव्यता वितरण कार्य बनाए जाते हैं। प्रक्रिया की मात्रात्मक विशेषताओं और उनके छोटे फैलाव की उच्च सांख्यिकीय स्थिरता की उपस्थिति में, निर्मित मॉडल का उपयोग करके प्राप्त परिणाम वास्तविक प्रणाली के प्रदर्शन के साथ अच्छे समझौते में हैं।

आर्थिक प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय मॉडल के निर्माण के लिए मुख्य पूर्वापेक्षाएँ हैं:

संबंधित नियतात्मक मॉडल की अत्यधिक जटिलता और संबद्ध आर्थिक अक्षमता;

वास्तव में कार्य करने वाली वस्तुओं के संकेतकों से मॉडल पर प्रयोग के परिणामस्वरूप प्राप्त सैद्धांतिक संकेतकों के बड़े विचलन।

इसलिए, एक सरल गणितीय उपकरण होना वांछनीय है जो उत्पादन प्रक्रिया की वैश्विक विशेषताओं (वस्तु उत्पादन, प्रगति पर काम की मात्रा, आदि) पर स्टोकेस्टिक गड़बड़ी के प्रभाव का वर्णन करता है। यही है, उत्पादन प्रक्रिया के गणितीय मॉडल का निर्माण करना जो कम संख्या में मापदंडों पर निर्भर करता है और उत्पादन प्रक्रिया के दौरान एक अलग प्रकृति के कई कारकों के कुल प्रभाव को दर्शाता है। एक मॉडल का निर्माण करते समय एक शोधकर्ता को खुद को निर्धारित करने वाला मुख्य कार्य वास्तविक प्रणाली के मापदंडों का निष्क्रिय अवलोकन नहीं है, बल्कि ऐसे मॉडल का निर्माण है, जो गड़बड़ी के प्रभाव में किसी भी विचलन के साथ, प्रदर्शित के मापदंडों को लाएगा। किसी दिए गए मोड में प्रक्रियाएँ। अर्थात्, किसी भी यादृच्छिक कारक की कार्रवाई के तहत, सिस्टम में एक प्रक्रिया स्थापित की जानी चाहिए जो एक नियोजित समाधान में परिवर्तित हो जाती है। वर्तमान में, स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों में, यह कार्य मुख्य रूप से एक व्यक्ति को सौंपा जाता है, जो उत्पादन प्रक्रियाओं के प्रबंधन में प्रतिक्रिया श्रृंखला की कड़ी में से एक है।

आइए हम वास्तविक उत्पादन प्रक्रिया के विश्लेषण की ओर मुड़ें। आमतौर पर, नियोजन अवधि की अवधि (कार्यशालाओं को योजना जारी करने की आवृत्ति) पारंपरिक रूप से स्थापित कैलेंडर समय अंतराल के आधार पर चुनी जाती है: शिफ्ट, दिन, पांच दिन, आदि। वे मुख्य रूप से व्यावहारिक विचारों द्वारा निर्देशित होते हैं। नियोजन अवधि की न्यूनतम अवधि नियोजित निकायों की परिचालन क्षमताओं से निर्धारित होती है। यदि उद्यम का उत्पादन और प्रेषण विभाग दुकानों को समायोजित शिफ्ट कार्यों को जारी करने का सामना करता है, तो प्रत्येक शिफ्ट के लिए गणना की जाती है (अर्थात, नियोजित लक्ष्यों की गणना और विश्लेषण से जुड़ी लागत हर शिफ्ट में खर्च होती है)।

यादृच्छिक के संभाव्यता वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए

"अर्थशास्त्र और प्रबंधन" गड़बड़ी की एक श्रृंखला एक असेंबली इकाई के निर्माण की वास्तविक तकनीकी प्रक्रिया का एक संभाव्य मॉडल तैयार करेगी। इसके बाद, एक असेंबली इकाई के निर्माण की तकनीकी प्रक्रिया का अर्थ है संचालन का एक क्रम (इन भागों या विधानसभाओं के निर्माण के लिए काम करता है), प्रौद्योगिकी में प्रलेखित। तकनीकी मार्ग के अनुसार विनिर्माण उत्पादों का प्रत्येक तकनीकी संचालन पिछले एक के बाद ही किया जा सकता है। नतीजतन, एक विधानसभा इकाई के निर्माण की तकनीकी प्रक्रिया घटनाओं-संचालन का एक क्रम है। विभिन्न स्टोकेस्टिक कारणों के प्रभाव में, एक व्यक्तिगत ऑपरेशन की अवधि बदल सकती है। कुछ मामलों में, इस शिफ्ट जॉब की वैधता के दौरान ऑपरेशन पूरा नहीं हो सकता है। यह स्पष्ट है कि इन घटनाओं को प्राथमिक घटकों में विघटित किया जा सकता है: व्यक्तिगत संचालन का प्रदर्शन और गैर-प्रदर्शन, जिसे प्रदर्शन और गैर-प्रदर्शन की संभावनाओं के अनुरूप भी रखा जा सकता है।

एक विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया के लिए, K संचालन से युक्त अनुक्रम करने की संभावना निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त की जा सकती है:

PC5 \u003d k) \u003d (1-pk + 1) PG \u003d 1P1, (1)

कहा पे: P1 - पहला ऑपरेशन करने की संभावना, अलग से ली गई; r तकनीकी प्रक्रिया में क्रम में संचालन की संख्या है।

इस सूत्र का उपयोग एक विशिष्ट नियोजन अवधि की स्टोकेस्टिक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जब उत्पादन में लॉन्च किए गए उत्पादों की श्रेणी और उन कार्यों की सूची जो किसी दिए गए नियोजन अवधि में किए जाने चाहिए, साथ ही साथ उनकी स्टोकेस्टिक विशेषताओं, जो अनुभवजन्य रूप से निर्धारित की जाती हैं , ज्ञात हैं। व्यवहार में, केवल कुछ प्रकार के बड़े पैमाने पर उत्पादन, जिनमें विशेषताओं की उच्च सांख्यिकीय स्थिरता होती है, सूचीबद्ध आवश्यकताओं को पूरा करते हैं।

एक एकल ऑपरेशन करने की संभावना न केवल बाहरी कारकों पर निर्भर करती है, बल्कि प्रदर्शन किए गए कार्य की विशिष्ट प्रकृति और विधानसभा इकाई के प्रकार पर भी निर्भर करती है।

उपरोक्त सूत्र के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए, असेंबली इकाइयों के अपेक्षाकृत छोटे सेट के साथ, निर्मित उत्पादों की श्रेणी में छोटे बदलावों के साथ, प्रायोगिक डेटा की एक महत्वपूर्ण मात्रा की आवश्यकता होती है, जो महत्वपूर्ण सामग्री और संगठनात्मक लागत का कारण बनती है और इस पद्धति को बनाती है शायद ही लागू होने वाले उत्पादों के निर्बाध उत्पादन की संभावना का निर्धारण।

आइए हम प्राप्त मॉडल को इसके सरलीकरण की संभावना के लिए अध्ययन के अधीन करें। विश्लेषण का प्रारंभिक मूल्य उत्पादों के निर्माण की तकनीकी प्रक्रिया के एक ऑपरेशन के असफल-मुक्त निष्पादन की संभावना है। वास्तविक उत्पादन स्थितियों में, प्रत्येक प्रकार के संचालन की संभावनाएं भिन्न होती हैं। एक विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया के लिए, यह संभावना इस पर निर्भर करती है:

प्रदर्शन किए गए ऑपरेशन के प्रकार से;

एक विशिष्ट विधानसभा इकाई से;

समानांतर में निर्मित उत्पादों से;

बाहरी कारकों से।

आइए हम इस मॉडल का उपयोग करके निर्धारित उत्पादन उत्पादों की उत्पादन प्रक्रिया (वाणिज्यिक उत्पादन की मात्रा, प्रगति पर काम की मात्रा, आदि) की समग्र विशेषताओं पर एक ऑपरेशन करने की संभावना में उतार-चढ़ाव के प्रभाव का विश्लेषण करें। अध्ययन का उद्देश्य औसत मूल्य के साथ एक ऑपरेशन करने की विभिन्न संभावनाओं के मॉडल में बदलने की संभावना का विश्लेषण करना है।

औसत तकनीकी प्रक्रिया के एक ऑपरेशन को करने की औसत ज्यामितीय संभावना की गणना करते समय इन सभी कारकों के संयुक्त प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है। आधुनिक उत्पादन के विश्लेषण से पता चलता है कि इसमें थोड़ा उतार-चढ़ाव होता है: व्यावहारिक रूप से 0.9 - 1.0 के भीतर।

एक ऑपरेशन करने की संभावना कितनी कम है इसका एक स्पष्ट उदाहरण

वॉकी-टॉकी 0.9 के मान से मेल खाती है, निम्नलिखित सार उदाहरण है। मान लीजिए कि हमारे पास बनाने के लिए दस टुकड़े हैं। उनमें से प्रत्येक के निर्माण की तकनीकी प्रक्रियाओं में दस ऑपरेशन होते हैं। प्रत्येक ऑपरेशन करने की संभावना 0.9 है। आइए हम विभिन्न तकनीकी प्रक्रियाओं के लिए समय-सारणी से पिछड़ने की प्रायिकताएँ ज्ञात करें।

एक यादृच्छिक घटना, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि एक असेंबली इकाई के निर्माण की एक विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया अनुसूची के पीछे आ जाएगी, इस प्रक्रिया में कम से कम एक ऑपरेशन के खराब प्रदर्शन से मेल खाती है। यह एक घटना के विपरीत है: बिना असफलता के सभी कार्यों का निष्पादन। इसकी प्रायिकता 1 - 0.910 = 0.65 है। चूंकि शेड्यूल विलंब स्वतंत्र घटनाएं हैं, बर्नौली संभाव्यता वितरण का उपयोग विभिन्न प्रक्रियाओं के लिए शेड्यूल विलंब की संभावना निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। गणना परिणाम तालिका 1 में दिखाए गए हैं।

तालिका एक

तकनीकी प्रक्रियाओं की अनुसूची में पिछड़ने की संभावनाओं की गणना

से C^o0.35k0.651O-k योग

तालिका से पता चलता है कि 0.92 की संभावना के साथ, पांच तकनीकी प्रक्रियाएं शेड्यूल से पीछे हो जाएंगी, यानी आधी। अनुसूची से पिछड़ने वाली तकनीकी प्रक्रियाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा 6.5 होगी। इसका मतलब यह है कि औसतन 10 में से 6.5 असेंबली यूनिट शेड्यूल से पीछे रह जाएगी यानी औसतन 3 से 4 पार्ट्स बिना असफलता के बनाए जाएंगे। लेखक वास्तविक उत्पादन में श्रम संगठन के इतने निम्न स्तर के उदाहरणों से अनजान है। माना गया उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाता है कि विफलताओं के बिना एक ऑपरेशन करने की संभावना के मूल्य पर लगाया गया प्रतिबंध अभ्यास का खंडन नहीं करता है। उपरोक्त सभी आवश्यकताओं को मशीन-निर्माण उत्पादन की मशीन-असेंबली दुकानों की उत्पादन प्रक्रियाओं द्वारा पूरा किया जाता है।

इस प्रकार, उत्पादन प्रक्रियाओं की स्टोकेस्टिक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए, एक तकनीकी प्रक्रिया के परिचालन निष्पादन के लिए एक संभाव्यता वितरण का निर्माण करने का प्रस्ताव है, जो ज्यामितीय औसत संभावना के माध्यम से एक विधानसभा इकाई के निर्माण के लिए तकनीकी संचालन के अनुक्रम को निष्पादित करने की संभावना को व्यक्त करता है। एक ऑपरेशन कर रहा है। इस मामले में K ऑपरेशन करने की संभावना प्रत्येक ऑपरेशन को करने की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होगी, बाकी तकनीकी प्रक्रिया को नहीं करने की संभावना से गुणा किया जाएगा, जो कि (K + T) नहीं करने की संभावना के साथ मेल खाता है। ) -वें ऑपरेशन। इस तथ्य को इस तथ्य से समझाया गया है कि यदि कोई ऑपरेशन नहीं किया जाता है, तो निम्नलिखित को निष्पादित नहीं किया जा सकता है। अंतिम प्रविष्टि बाकी से अलग है, क्योंकि यह पूरी तकनीकी प्रक्रिया की विफलता के बिना पूर्ण पारित होने की संभावना को व्यक्त करती है। तकनीकी प्रक्रिया के पहले संचालन के K के प्रदर्शन की संभावना विशिष्ट रूप से शेष संचालन न करने की संभावना से संबंधित है। इस प्रकार, संभाव्यता वितरण के निम्नलिखित रूप हैं:

पीवाई = 0) = पी डिग्री (1-पी),

(§=1) = р1(1-р), (2)

पी(^=1) = पी1(1-पी),

P(t=u-1) = pn"1(1 - p), P(t=n) = pn,

जहां: ^ - यादृच्छिक मूल्य, प्रदर्शन किए गए कार्यों की संख्या;

p एक ऑपरेशन करने की ज्यामितीय माध्य संभावना है, n तकनीकी प्रक्रिया में संचालन की संख्या है।

प्राप्त एक-पैरामीटर संभाव्यता वितरण के आवेदन की वैधता निम्नलिखित तर्क से सहज रूप से स्पष्ट है। आइए मान लें कि हमने n तत्वों के नमूने पर एक 1 ऑपरेशन करने की संभावना के ज्यामितीय माध्य की गणना की है, जहां n काफी बड़ा है।

p = USHT7P7= tl|n]t=1p!), (3)

कहा पे: Iy - निष्पादन की समान संभावना वाले संचालन की संख्या; ] - संचालन के एक समूह का सूचकांक जिसमें निष्पादन की समान संभावना है; एम - संचालन से युक्त समूहों की संख्या जिनके निष्पादन की समान संभावना है;

^ = - - निष्पादन की संभावना के साथ संचालन की घटना की सापेक्ष आवृत्ति p^।

बड़ी संख्या के कानून के अनुसार, असीमित संख्या में संचालन के साथ, कुछ स्टोकेस्टिक विशेषताओं के साथ संचालन के अनुक्रम में घटना की सापेक्ष आवृत्ति इस घटना की संभावना की संभावना में होती है। जहां से यह इस प्रकार है

दो पर्याप्त रूप से बड़े नमूनों के लिए = , तो:

जहां: t1, t2 - क्रमशः पहले और दूसरे नमूने में समूहों की संख्या;

1*, I2 - क्रमशः पहले और दूसरे नमूने के समूह में तत्वों की संख्या।

इससे यह देखा जा सकता है कि यदि बड़ी संख्या में परीक्षणों के लिए पैरामीटर की गणना की जाती है, तो यह इस बड़े नमूने के लिए गणना किए गए पैरामीटर पी के करीब होगा।

अलग-अलग संख्या में प्रक्रिया संचालन करने की संभावनाओं के वास्तविक मूल्य के लिए अलग-अलग निकटता पर ध्यान दिया जाना चाहिए। वितरण के सभी तत्वों में, अंतिम को छोड़कर, एक कारक (I - P) होता है। चूंकि पैरामीटर P का मान 0.9 - 1.0 की सीमा में है, इसलिए कारक (I - P) 0 - 0.1 के बीच में उतार-चढ़ाव करता है। यह गुणक मूल मॉडल में गुणक (I - p;) से मेल खाता है। अनुभव से पता चलता है कि किसी विशेष संभावना के लिए यह पत्राचार 300% तक की त्रुटि का कारण बन सकता है। हालांकि, व्यवहार में, आमतौर पर किसी भी संख्या में संचालन करने की संभावनाओं में दिलचस्पी नहीं होती है, लेकिन तकनीकी प्रक्रिया की विफलताओं के बिना पूर्ण निष्पादन की संभावना में। इस संभावना में एक कारक (I - P) शामिल नहीं है, और इसलिए, वास्तविक मूल्य से इसका विचलन छोटा है (व्यावहारिक रूप से 3% से अधिक नहीं)। आर्थिक कार्यों के लिए, यह काफी उच्च सटीकता है।

इस तरह से निर्मित एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण एक विधानसभा इकाई की निर्माण प्रक्रिया का एक स्टोकेस्टिक गतिशील मॉडल है। एक ऑपरेशन की अवधि के रूप में समय इसमें निहित रूप से भाग लेता है। मॉडल आपको इस संभावना को निर्धारित करने की अनुमति देता है कि एक निश्चित अवधि (संचालन की इसी संख्या) के बाद एक विधानसभा इकाई के निर्माण की उत्पादन प्रक्रिया बाधित नहीं होगी। मशीन-निर्माण उत्पादन की यांत्रिक असेंबली दुकानों के लिए, एक तकनीकी प्रक्रिया के संचालन की औसत संख्या काफी बड़ी है (15 - 80)। यदि हम इस संख्या को आधार संख्या के रूप में मानते हैं और मान लेते हैं कि, औसतन, एक असेंबली इकाई के निर्माण में, बढ़े हुए प्रकार के काम का एक छोटा सा सेट (मोड़, ताला बनाने वाला, मिलिंग, आदि) का उपयोग किया जाता है।

तब परिणामी वितरण का उत्पादन प्रक्रिया के दौरान स्टोकेस्टिक गड़बड़ी के प्रभाव का आकलन करने के लिए सफलतापूर्वक उपयोग किया जा सकता है।

लेखक ने इस सिद्धांत पर निर्मित एक अनुकरण प्रयोग किया। 0.9 - 1.0 के अंतराल पर समान रूप से वितरित छद्म-यादृच्छिक चर के अनुक्रम को उत्पन्न करने के लिए, एक छद्म-यादृच्छिक संख्या जनरेटर का उपयोग किया गया था, जिसका वर्णन . प्रयोग का सॉफ्टवेयर COBOL एल्गोरिथम भाषा में लिखा गया है।

प्रयोग में, एक विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया के पूर्ण निष्पादन की वास्तविक संभावनाओं का अनुकरण करते हुए, उत्पन्न यादृच्छिक चर के उत्पाद बनते हैं। उनकी तुलना ज्यामितीय माध्य मान का उपयोग करके प्राप्त तकनीकी प्रक्रिया को करने की संभावना से की जाती है, जिसकी गणना समान वितरण के यादृच्छिक संख्याओं के एक निश्चित अनुक्रम के लिए की जाती है। ज्यामितीय माध्य को उत्पाद में कारकों की संख्या के बराबर शक्ति तक बढ़ाया जाता है। इन दो परिणामों के बीच, प्रतिशत में सापेक्ष अंतर की गणना की जाती है। उत्पादों में विभिन्न कारकों और संख्याओं की संख्या के लिए प्रयोग दोहराया जाता है जिसके लिए ज्यामितीय माध्य की गणना की जाती है। प्रयोग के परिणामों का एक अंश तालिका 2 में दिखाया गया है।

तालिका 2

सिमुलेशन प्रयोग के परिणाम:

n ज्यामितीय माध्य की डिग्री है; के - उत्पाद की डिग्री

n उत्पाद विचलन से उत्पाद विचलन से उत्पाद विचलन तक

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

इस सिमुलेशन प्रयोग को स्थापित करते समय, लक्ष्य प्राप्त करने की संभावना का पता लगाना था, संभाव्यता वितरण (2) का उपयोग करके, उत्पादन प्रक्रिया की बढ़ी हुई सांख्यिकीय विशेषताओं में से एक - एक असेंबली इकाई के निर्माण की एक तकनीकी प्रक्रिया को करने की संभावना जिसमें शामिल है विफलताओं के बिना K संचालन। एक विशिष्ट तकनीकी प्रक्रिया के लिए, यह संभावना उसके सभी कार्यों को करने की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है। जैसा कि सिमुलेशन प्रयोग दिखाता है, विकसित संभाव्य मॉडल का उपयोग करके प्राप्त प्रायिकता से इसके सापेक्ष विचलन 9% से अधिक नहीं होते हैं।

चूंकि सिमुलेशन प्रयोग वास्तविक संभाव्यता वितरण की तुलना में अधिक असुविधाजनक है, इसलिए व्यावहारिक विसंगतियां और भी छोटी होंगी। विचलन घटने की दिशा में और औसत विशेषताओं से प्राप्त मूल्य से अधिक होने की दिशा में देखे जाते हैं। यह तथ्य बताता है कि यदि हम एक भी तकनीकी प्रक्रिया के असफल-मुक्त निष्पादन की संभावना के विचलन पर विचार करते हैं, लेकिन कई, तो यह बहुत कम होगा। जाहिर है, यह जितना छोटा होगा, उतनी ही अधिक तकनीकी प्रक्रियाओं पर विचार किया जाएगा। इस प्रकार, सिमुलेशन प्रयोग एक-पैरामीटर गणितीय मॉडल का उपयोग करके प्राप्त संभावना के साथ विनिर्माण उत्पादों की तकनीकी प्रक्रिया की विफलताओं के बिना प्रदर्शन की संभावना के बीच एक अच्छा समझौता दिखाता है।

इसके अलावा, सिमुलेशन प्रयोग किए गए:

संभाव्यता वितरण पैरामीटर अनुमान के सांख्यिकीय अभिसरण का अध्ययन करने के लिए;

विफलताओं के बिना किए गए कार्यों की संख्या की गणितीय अपेक्षा की सांख्यिकीय स्थिरता का अध्ययन करना;

न्यूनतम नियोजन अवधि की अवधि निर्धारित करने और उत्पादन प्रक्रिया के नियोजित और वास्तविक संकेतकों के बीच विसंगति का आकलन करने के तरीकों का विश्लेषण करने के लिए, यदि नियोजित और उत्पादन अवधि समय पर मेल नहीं खाती है।

प्रयोगों ने तकनीकों के उपयोग के माध्यम से प्राप्त सैद्धांतिक डेटा और सिमुलेशन द्वारा प्राप्त अनुभवजन्य डेटा के बीच अच्छा समझौता दिखाया है

श्रृंखला "अर्थशास्त्र और प्रबंधन"

वास्तविक उत्पादन प्रक्रियाओं का कंप्यूटर।

निर्मित गणितीय मॉडल के अनुप्रयोग के आधार पर, लेखक ने परिचालन प्रबंधन की दक्षता में सुधार के लिए तीन विशिष्ट तरीके विकसित किए हैं। उनके अनुमोदन के लिए अलग-अलग अनुकरण प्रयोग किए गए।

1. नियोजन अवधि के लिए उत्पादन कार्य की तर्कसंगत मात्रा निर्धारित करने की पद्धति।

2. परिचालन योजना अवधि की सबसे प्रभावी अवधि निर्धारित करने की पद्धति।

3. नियोजित और उत्पादन अवधि के बीच समय में बेमेल होने की स्थिति में विसंगति का मूल्यांकन।

साहित्य

1. मोर्दसोव यू.पी. कंप्यूटर का उपयोग करते हुए यादृच्छिक गड़बड़ी / आर्थिक-गणितीय और सिमुलेशन मॉडलिंग की कार्रवाई के तहत न्यूनतम परिचालन योजना अवधि की अवधि का निर्धारण। - एम: एमआईयू आईएम। एस। ऑर्डोज़ोनिकिड्ज़, 1984।

2. नायलर टी। आर्थिक प्रणालियों के मॉडल के साथ मशीन सिमुलेशन प्रयोग। -एम: मीर, 1975।

छोटे और मध्यम आकार के व्यवसायों की अर्थव्यवस्था को विकसित करने के लिए एकाग्रता से विविधीकरण में संक्रमण एक प्रभावी तरीका है

प्रो कोज़लेंको एन.एन. मैकेनिकल इंजीनियरिंग विश्वविद्यालय

व्याख्या। यह लेख एक एकाग्रता रणनीति से विविधीकरण रणनीति में संक्रमण के माध्यम से रूसी छोटे और मध्यम आकार के व्यवसायों के सबसे प्रभावी विकास को चुनने की समस्या पर विचार करता है। विविधीकरण की समीचीनता के मुद्दे, इसके फायदे, विविधीकरण के मार्ग को चुनने के मानदंड पर विचार किया जाता है, विविधीकरण रणनीतियों का वर्गीकरण दिया जाता है।

मुख्य शब्द: छोटे और मध्यम व्यवसाय; विविधीकरण; रणनीतिक दृष्टि से उपयुक्त; प्रतिस्पर्धात्मक लाभ।

मैक्रो पर्यावरण के मापदंडों में एक सक्रिय परिवर्तन (बाजार की स्थितियों में परिवर्तन, संबंधित उद्योगों में नए प्रतिस्पर्धियों का उदय, सामान्य रूप से प्रतिस्पर्धा के स्तर में वृद्धि) अक्सर छोटे और मध्यम की नियोजित रणनीतिक योजनाओं को पूरा नहीं करने की ओर जाता है। छोटे व्यवसायों की गतिविधियों के लिए उद्देश्य स्थितियों और उनके प्रबंधन की प्रौद्योगिकी के स्तर के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर के कारण आकार के व्यवसाय, उद्यमों की वित्तीय और आर्थिक स्थिरता का नुकसान।

आर्थिक स्थिरता के लिए मुख्य शर्तें और प्रतिस्पर्धात्मक लाभ बनाए रखने की संभावना प्रबंधन प्रणाली की समयबद्ध तरीके से प्रतिक्रिया करने और आंतरिक उत्पादन प्रक्रियाओं को बदलने की क्षमता है (विविधीकरण को ध्यान में रखते हुए वर्गीकरण को बदलना, उत्पादन और तकनीकी प्रक्रियाओं का पुनर्निर्माण करना, की संरचना को बदलना) संगठन, अभिनव विपणन और प्रबंधन उपकरणों का उपयोग करें)।

उत्पादन प्रकार और सेवा के रूसी छोटे और मध्यम आकार के उद्यमों के अभ्यास के एक अध्ययन ने एकाग्रता से विविधीकरण के लिए छोटे उद्यमों के संक्रमण में वर्तमान प्रवृत्ति के संबंध में निम्नलिखित विशेषताओं और बुनियादी कारण और प्रभाव संबंधों का खुलासा किया है।

अधिकांश एसएमबी स्थानीय या क्षेत्रीय बाजारों की सेवा करने वाले छोटे, एक आकार के सभी व्यवसायों के रूप में शुरू होते हैं। अपनी गतिविधि की शुरुआत में, ऐसी कंपनी की उत्पाद श्रृंखला बहुत सीमित है, इसका पूंजी आधार कमजोर है, और इसकी प्रतिस्पर्धी स्थिति कमजोर है। आमतौर पर, ऐसी कंपनियों की रणनीति बिक्री वृद्धि और बाजार हिस्सेदारी पर केंद्रित होती है, साथ ही

जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, इस प्रकार का मॉडल उन प्रणालियों के विवरण पर केंद्रित है जो सांख्यिकीय रूप से नियमित यादृच्छिक व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, और उनमें समय को असतत मूल्य माना जा सकता है। समय के विवेकीकरण का सार असतत-नियतात्मक मॉडल के समान ही है। इस प्रकार की प्रणालियों के मॉडल दो औपचारिक विवरण योजनाओं के आधार पर बनाए जा सकते हैं। सबसे पहले, ये परिमित-अंतर समीकरण हैं, जिनमें से चर ऐसे कार्य हैं जो यादृच्छिक प्रक्रियाओं को परिभाषित करते हैं। दूसरे, वे संभाव्य ऑटोमेटा का उपयोग करते हैं।

असतत स्टोकेस्टिक प्रणाली के निर्माण का एक उदाहरण।मान लीजिए कि कुछ उत्पादन प्रणाली है, जिसकी संरचना अंजीर में दिखाई गई है। 3.8. इस प्रणाली के ढांचे के भीतर, एक सजातीय सामग्री प्रवाह भंडारण और उत्पादन के चरणों के माध्यम से चलता है।

उदाहरण के लिए, कच्चे माल के प्रवाह में धातु के सिल्लियां होती हैं, जो इनपुट वेयरहाउस में जमा होती हैं। फिर ये डिस्क उत्पादन में जाती हैं, जहां इनसे किसी प्रकार का उत्पाद तैयार किया जाता है। तैयार उत्पादों को आउटपुट वेयरहाउस में संग्रहीत किया जाता है, जहां से उन्हें उनके साथ आगे की कार्रवाई के लिए ले जाया जाता है (उत्पादन के अगले चरणों में या बिक्री के लिए स्थानांतरित किया जाता है)। सामान्य स्थिति में, ऐसी उत्पादन प्रणाली कच्चे माल, सामग्री और अर्ध-तैयार उत्पादों के भौतिक प्रवाह को तैयार उत्पादों के प्रवाह में परिवर्तित करती है।

इस उत्पादन प्रणाली में समय कदम एक (D? = 1) के बराबर होने दें। हम इस प्रणाली के संचालन में परिवर्तन को एक इकाई के रूप में लेंगे। हम मानते हैं कि उत्पाद की निर्माण प्रक्रिया एक बार चलती है।

चावल। 3.8, उत्पादन प्रणाली आरेख

उत्पादन प्रक्रिया को एक विशेष नियामक निकाय द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे उत्पादन की एक निर्देशात्मक तीव्रता के रूप में उत्पादों को जारी करने की योजना दी जाती है (उत्पादों की संख्या जिन्हें प्रति यूनिट समय में निर्मित करने की आवश्यकता होती है, इस मामले में, प्रति खिसक जाना)। हम इस तीव्रता को निरूपित करते हैं घ टी.वास्तव में, यह उत्पादन की दर है। होने देना डी टी \u003d ए + बीटी,यानी एक रैखिक कार्य है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक बाद की पारी के साथ, योजना बढ़ जाती है बी.टी.

चूंकि हम एक सजातीय सामग्री प्रवाह के साथ काम कर रहे हैं, हम मानते हैं कि, औसतन, प्रति यूनिट समय में सिस्टम में प्रवेश करने वाले कच्चे माल की मात्रा, समय की प्रति यूनिट उत्पादन की मात्रा, प्रति यूनिट सिस्टम को छोड़ने वाले तैयार उत्पादों की मात्रा। समय के बराबर होना चाहिए घ टी.

नियामक निकाय के लिए इनपुट और आउटपुट प्रवाह बेकाबू हैं, उनकी तीव्रता (या गति - समय की प्रति इकाई रिक्त स्थान या उत्पादों की संख्या, क्रमशः, सिस्टम में प्रवेश करना और इसे छोड़ना) के बराबर होना चाहिए घ टी.हालांकि, परिवहन के दौरान डिस्क खो सकते हैं, या उनमें से कुछ खराब गुणवत्ता के होंगे, या किसी कारण से आवश्यकता से अधिक आ जाएंगे, आदि। इसलिए, हम मानते हैं कि इनपुट प्रवाह की तीव्रता है:

एक्स टी इन \u003d डी टी +टी इन,

जहां ξ 1 in -15 से +15 तक एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर है।

आउटपुट स्ट्रीम के साथ लगभग समान प्रक्रियाएं हो सकती हैं। इसलिए, आउटपुट प्रवाह में निम्नलिखित तीव्रता है:

एक्स टी एस एक्स \u003d डी टी + . मेंमैं बाहर नहीं हूं,

जहां t आउट शून्य गणितीय अपेक्षा और 15 के बराबर विचरण के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है।

हम मानेंगे कि उत्पादन प्रक्रिया में काम के लिए श्रमिकों की अनुपस्थिति, मशीनों के टूटने आदि से जुड़ी दुर्घटनाएँ होती हैं। इन यादृच्छिकताओं को सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर द्वारा शून्य गणितीय अपेक्षा और 15 के बराबर एक विचरण द्वारा वर्णित किया जाता है। आइए हम इसे ξ t / द्वारा निरूपित करें उत्पादन प्रक्रिया समय की एक इकाई तक चलती है, जिसके दौरान एक्स टीकच्चे माल, फिर इन कच्चे माल को संसाधित किया जाता है और उसी इकाई समय में आउटपुट वेयरहाउस में स्थानांतरित किया जाता है। नियामक निकाय तीन संभावित तरीकों से सिस्टम के संचालन के बारे में जानकारी प्राप्त करता है (उन्हें चित्र 3.8 में संख्या 1, 2, 3 के साथ चिह्नित किया गया है)। हम मानते हैं कि सूचना प्राप्त करने के ये तरीके किसी कारण से सिस्टम में परस्पर अनन्य हैं।

विधि 1।नियामक निकाय केवल इनपुट वेयरहाउस की स्थिति के बारे में जानकारी प्राप्त करता है (उदाहरण के लिए, वेयरहाउस में स्टॉक में बदलाव या उनके मानक स्तर से स्टॉक की मात्रा में विचलन के बारे में) और इससे उत्पादन प्रक्रिया की गति का न्याय करता है ( गोदाम से कच्चे माल की निकासी की गति के बारे में):

1) (तुम में हो - आप टी-1 इंच )- गोदाम में स्टॉक की मात्रा में परिवर्तन (यू टी - समय पर इनपुट गोदाम में कच्चे माल की मात्रा टी);

2) (ù- u t in) - स्टॉक रेट से इनपुट वेयरहाउस में कच्चे माल की मात्रा का विचलन।

मार्ग 2. नियामक सीधे उत्पादन से जानकारी प्राप्त करता है (एक्स टी -वास्तविक उत्पादन तीव्रता) और इसकी तुलना निर्देश तीव्रता से करती है (डीटी-एक्सटी)।

विधि 3.नियामक निकाय को विधि 1 में जानकारी प्राप्त होती है, लेकिन आउटपुट वेयरहाउस से फॉर्म (तुम बाहर हो - आप टी-1 आउट )- या (तुम तुमटी आउट)। वह अप्रत्यक्ष डेटा के आधार पर उत्पादन प्रक्रिया का भी न्याय करता है - तैयार माल के स्टॉक में वृद्धि या कमी।

किसी दी गई उत्पादन दर को बनाए रखने के लिए डी टी,नियामक निकाय निर्णय लेता है वाई टी,(या (वाई टी - वाई टी - 1)),वास्तविक उत्पादन तीव्रता को बदलने के उद्देश्य से एक्स टी।निर्णय के रूप में, नियामक निकाय तीव्रता के मूल्यों के उत्पादन को सूचित करता है जिसके साथ काम करना है, अर्थात। एक्स टी = वाई टी।नियंत्रण समाधान का दूसरा संस्करण - (yt-yt-1),वे। नियामक उत्पादन को बताता है कि उत्पादन की तीव्रता को कितना बढ़ाना या घटाना है (एक्स टी-एक्स टी-1).

जानकारी प्राप्त करने की विधि और नियंत्रण क्रिया का वर्णन करने वाले चर के प्रकार के आधार पर, निम्नलिखित मात्राएँ निर्णय लेने को प्रभावित कर सकती हैं।

1. निर्णय आधार (वह मूल्य जो उत्पादन की वास्तविक तीव्रता के बराबर होना चाहिए यदि कोई विचलन न हो):

इस समय डायरेक्टिव आउटपुट इंटेंसिटी टी (डीटी);

इस समय उत्पादन की प्रत्यक्ष तीव्रता में परिवर्तन की दर टी (डीटी-डीटी -1)।

2. विचलन राशि:

निर्देश से वास्तविक उत्पादन का विचलन (डीटी-एक्सटी);

नियोजित मात्रा से उत्पादन की वास्तविक मात्रा का विचलन

Σ घ - Σ एक्स

इनपुट पर स्टॉक के स्तर में परिवर्तन ( (तुम में हो - यू टी-1 इंच) या आउटपुट

(तुम बाहर हो - यू टी -1 आउट) गोदामों;

इनपुट पर स्टॉक स्तर विचलन (ù- u t इनपुट) या आउटपुट ( तुम तुमटी आउट) मानक स्तर से गोदाम।

सामान्य तौर पर, नियामक निकाय द्वारा किए गए प्रबंधन निर्णय में निम्नलिखित घटक होते हैं:

समाधान उदाहरण:

y t = d t +y (d t-1 -x t-1);

y t = d t -y(ù -uबाहर)

विभिन्न निर्णयों को रूप में लेते हुए, नियामक निकाय मुख्य लक्ष्य को प्राप्त करना चाहता है - वास्तविक उत्पादन तीव्रता को निर्देश के करीब लाना। हालाँकि, वह हमेशा अपने निर्णयों में सीधे निर्देशित नहीं हो सकता है कि यह लक्ष्य किस हद तक हासिल किया गया है। (डीटी - एक्सटी)।अंतिम परिणाम स्थानीय लक्ष्यों की प्राप्ति में व्यक्त किए जा सकते हैं - इनपुट या आउटपुट गोदाम में स्टॉक के स्तर का स्थिरीकरण ( और टीबाहर में) - और टी-1 में (बाहर)) या गोदाम में स्टॉक के स्तर के मानक के अनुमान में (तथा-तथाबाहर में))। प्राप्त किए जाने वाले लक्ष्य के आधार पर, विनियमन के लिए उपयोग किए जाने वाले बेमेल अंश के सामने चिह्न (+ या -) का प्रकार नियंत्रण समाधान में निर्धारित किया जाता है।

हमारे मामले में, नियामक निकाय को इनपुट वेयरहाउस की स्थिति (स्टॉक के स्तर में परिवर्तन) के बारे में जानकारी प्राप्त होती है। यह ज्ञात है कि किसी भी नियंत्रण प्रणाली में समाधान के विकास और कार्यान्वयन में देरी होती है। इस उदाहरण में, इनपुट वेयरहाउस की स्थिति के बारे में जानकारी एक बार कदम की देरी से नियामक निकाय में प्रवेश करती है। इस तरह की देरी को निर्णय विलंब कहा जाता है और इसका मतलब है कि जब तक नियामक निकाय द्वारा जानकारी प्राप्त की जाती है, तब तक इनपुट गोदाम में स्टॉक स्तर की वास्तविक स्थिति पहले से ही अलग होगी। एक बार नियामक ने निर्णय ले लिया है टी परकलाकार के लिए समाधान लाने में भी समय लगेगा (हमारे उदाहरण में यह समय की एक इकाई होगी)। इसका मतलब है कि उत्पादन की वास्तविक तीव्रता नहीं है वाई टी,लेकिन निर्णय के लिए कि शासी निकाय ने समय पहले एक इकाई बनाई थी। यह समाधान के कार्यान्वयन में देरी है।

हमारी उत्पादन प्रणाली का वर्णन करने के लिए, हमारे पास निम्नलिखित समीकरण हैं:

एक्स टीबीएक्स =डी टी +टी इन

एक्स टीबाहर निकलना =डीटी +टी आउट;

वाई टी = डीटी + y(यू-यूटी-2 इंच)

एक्स टी = वाईटी 1 + t

तुमटी इन - तुमटी-1 में = एक्स टीमें - एक्स टी

समीकरणों की यह प्रणाली आपको उत्पादन प्रणाली का एक मॉडल बनाने की अनुमति देती है, जिसमें इनपुट चर होंगे डी टी,टी इन, ξ टी आउट, टी , ए

छुट्टी का दिन - एक्स टी।यह सच है क्योंकि एक बाहरी पर्यवेक्षक हमारे उत्पादन को एक ऐसी प्रणाली के रूप में देखता है जो कच्चे माल को दर पर प्राप्त करती है डीटीऔर तीव्रता के साथ उत्पादों का उत्पादन एक्स टी,यादृच्छिकता के अधीन t in, t out, t । समीकरणों की परिणामी प्रणाली में सभी प्रतिस्थापन करने के बाद, हम गतिकी के एक समीकरण पर पहुँचते हैं जो व्यवहार की विशेषता है एक्स टीनिर्भर करना डी टी,टी इन, ξ टी आउट, टी।

ऊपर विचार किए गए मॉडल में गोदामों की मात्रा और उत्पादन क्षमता पर प्रतिबंध नहीं था। यदि हम मान लें कि इनपुट वेयरहाउस की क्षमता Vx है, आउटपुट वेयरहाउस की क्षमता V BX है, और उत्पादन क्षमता है एम,तो ऐसी अरेखीय उत्पादन प्रणाली के लिए समीकरणों की नई प्रणाली इस प्रकार होगी:

एक्स टीबीएक्स=मिनट((डी टी+ टी इन), (वी इन - तुम t in)) - इनपुट वेयरहाउस में अंतरिक्ष की अनुमति से अधिक डालना असंभव है;

एक्सबाहर निकलना =मिनट((डी टी+ टी आउट),(वी आउट - तुम t out)) - आप आउटपुट वेयरहाउस से अधिक उत्पाद नहीं ले सकते हैं;

वाई टी = डी टी + वाई (यूटी इन यूटी-1 इंच)

एक्स टीबीएक्स = मिनट (( तुमटी इन, ( वाई टी-1+ टी इन), एम,(वी आउट - तुमटी आउट)) - आदेश से अधिक उत्पादों का उत्पादन करना असंभव है, सीमित कारक उपलब्ध रिक्त स्थान की संख्या और आउटपुट वेयरहाउस में खाली स्थान की उपलब्धता हैं;

तुमटी इन यूटी-1 में = एक्स टीबीएक्स-एक्स टी

एक स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण में अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करने वाले समीकरणों का उपयोग करके सिस्टम व्यवहार का विकास, गुणवत्ता मूल्यांकन और अध्ययन शामिल है।

ऐसा करने के लिए, एक वास्तविक प्रणाली के साथ एक विशेष प्रयोग करके प्रारंभिक जानकारी प्राप्त की जाती है। इस मामले में, गणितीय आँकड़ों के ऐसे वर्गों के आधार पर प्रयोग की योजना बनाने, परिणामों के प्रसंस्करण, साथ ही प्राप्त मॉडलों के मूल्यांकन के मानदंडों का उपयोग किया जाता है, जैसे कि फैलाव, सहसंबंध, प्रतिगमन विश्लेषण, आदि।

तकनीकी प्रक्रिया (चित्र 6.1) का वर्णन करने वाले सांख्यिकीय मॉडल के निर्माण के तरीके "ब्लैक बॉक्स" की अवधारणा पर आधारित हैं। इसके लिए इनपुट कारकों के कई माप संभव हैं: x 1 ,x 2 ,…,x kऔर आउटपुट पैरामीटर: वाई 1, वाई 2,…,वाई पी, जिसके परिणामों के अनुसार निर्भरताएँ स्थापित होती हैं:

सांख्यिकीय मॉडलिंग में, समस्या (1) के निर्माण के बाद, कम से कम महत्वपूर्ण कारकों को बड़ी संख्या में इनपुट चर से जांचा जाता है जो प्रक्रिया के पाठ्यक्रम को प्रभावित करते हैं (2)। आगे के शोध के लिए चुने गए इनपुट चर कारकों की एक सूची बनाते हैं x 1 ,x 2 ,…,x kमें (6.1), जिसे नियंत्रित करके आउटपुट मापदंडों को नियंत्रित करना संभव है Y n. प्रयोग और डेटा प्रोसेसिंग की लागत को कम करने के लिए मॉडल आउटपुट की संख्या को भी यथासंभव कम किया जाना चाहिए।

एक सांख्यिकीय मॉडल विकसित करते समय, इसकी संरचना (3) आमतौर पर प्रयोगात्मक डेटा का अनुमान लगाने वाले सुविधाजनक-से-उपयोग कार्यों के रूप में मनमाने ढंग से सेट की जाती है, और फिर मॉडल की पर्याप्तता के आकलन के आधार पर परिष्कृत किया जाता है।

मॉडल के बहुपद रूप का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। तो, एक द्विघात कार्य के लिए:

(6.2)

कहाँ पे बी 0, बी आई, बी आईजे, बी iiप्रतिगमन गुणांक हैं।

आमतौर पर, हम पहले खुद को सबसे सरल रैखिक मॉडल तक सीमित रखते हैं, जिसके लिए (6.2) ख ii = 0, ख ij =0. इसकी अपर्याप्तता के मामले में, मॉडल उन शर्तों की शुरूआत से जटिल है जो कारकों की बातचीत को ध्यान में रखते हैं एक्स मैं, एक्स जेऔर (या) द्विघात शब्द।

चल रहे प्रयोगों से सूचना के निष्कर्षण को अधिकतम करने और उनकी संख्या को कम करने के लिए, प्रयोगों की योजना बनाई गई है (4) अर्थात। किसी दिए गए सटीकता के साथ समस्या को हल करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त प्रयोग करने के लिए संख्या और शर्तों का चयन।

सांख्यिकीय मॉडल बनाने के लिए, दो प्रकार के प्रयोगों का उपयोग किया जाता है: निष्क्रिय और सक्रिय। निष्क्रिय प्रयोगयह एक अनियंत्रित प्रक्रिया के पाठ्यक्रम के दीर्घकालिक अवलोकन के रूप में किया जाता है, जिससे सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए डेटा की एक विस्तृत श्रृंखला एकत्र करना संभव हो जाता है। पर सक्रिय प्रयोगप्रयोगों की स्थितियों को नियंत्रित करना संभव है। जब इसे किया जाता है, तो सबसे प्रभावी एक निश्चित योजना के अनुसार सभी कारकों के परिमाण की एक साथ भिन्नता होती है, जिससे कारकों की बातचीत की पहचान करना और प्रयोगों की संख्या को कम करना संभव हो जाता है।

प्रयोगों (5) के परिणामों के आधार पर, प्रतिगमन गुणांक (6.2) की गणना की जाती है और उनके सांख्यिकीय महत्व का अनुमान लगाया जाता है, जो मॉडल (6) के निर्माण को पूरा करता है। मॉडल (7) की पर्याप्तता का माप विचरण है, अर्थात। प्रयोगात्मक से परिकलित मूल्यों का मानक विचलन। प्राप्त विचरण की तुलना प्रयोगों की प्राप्त सटीकता के साथ स्वीकार्य के साथ की जाती है।

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डेमिडोवा अनास्तासिया व्याचेस्लावोवनास एक-चरण प्रक्रियाओं के स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण की विधि: शोध प्रबंध ... भौतिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार: 05.13.18 / डेमिडोवा अनास्तासिया व्याचेस्लावोवना; [रक्षा का स्थान: रूस की पीपुल्स फ्रेंडशिप यूनिवर्सिटी]।- मॉस्को, 2014.- 126 पी।

परिचय

अध्याय 1. शोध प्रबंध के विषय पर कार्यों की समीक्षा 14

1.1. जनसंख्या गतिकी मॉडल का अवलोकन 14

1.2. स्टोकेस्टिक जनसंख्या मॉडल 23

1.3. स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन 26

1.4. स्टोकेस्टिक कलन पर जानकारी 32

अध्याय 2 वन-स्टेप प्रोसेस मॉडलिंग मेथड 39

2.1. एक कदम प्रक्रिया। कोलमोगोरोव-चैपमैन समीकरण। मूल गतिज समीकरण 39

2.2. बहुआयामी एक-चरणीय प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए विधि। 47

2.3. संख्यात्मक अनुकरण 56

अध्याय 3 एक-चरणीय प्रक्रियाओं के मॉडलिंग की विधि का अनुप्रयोग 60

3.1. जनसंख्या गतिकी के स्टोकेस्टिक मॉडल 60

3.2. विभिन्न अंतर- और अंतःविशिष्ट अंतःक्रियाओं के साथ जनसंख्या प्रणालियों के स्टोकेस्टिक मॉडल 75

3.3. नेटवर्क वर्म्स के प्रसार का स्टोकेस्टिक मॉडल। 92

3.4. पीयर-टू-पीयर प्रोटोकॉल के स्टोकेस्टिक मॉडल 97

निष्कर्ष 113

साहित्य 116

स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण

शोध प्रबंध के उद्देश्यों में से एक प्रणाली के लिए एक स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण लिखने का कार्य है ताकि स्टोकेस्टिक शब्द अध्ययन के तहत प्रणाली की संरचना से जुड़ा हो। इस समस्या का एक संभावित समाधान एक ही समीकरण से स्टोकेस्टिक और नियतात्मक भागों को प्राप्त करना है। इन उद्देश्यों के लिए, बुनियादी गतिज समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है, जिसे फोककर-प्लैंक समीकरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिसके लिए, आप लैंग्विन समीकरण के रूप में एक समान स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण लिख सकते हैं।

धारा 1.4. इसमें स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन और फोककर-प्लैंक समीकरण के साथ-साथ स्टोकेस्टिक कैलकुलस की बुनियादी अवधारणाओं के बीच संबंध को इंगित करने के लिए आवश्यक बुनियादी जानकारी शामिल है।

दूसरा अध्याय यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत से बुनियादी जानकारी प्रदान करता है और इस सिद्धांत के आधार पर, एक-चरणीय प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए एक विधि तैयार की जाती है।

खंड 2.1 यादृच्छिक एक-चरणीय प्रक्रियाओं के सिद्धांत से बुनियादी जानकारी प्रदान करता है।

एक-चरणीय प्रक्रियाओं को निरंतर समय के साथ मार्कोव प्रक्रियाओं के रूप में समझा जाता है, पूर्णांक के क्षेत्र में मान लेते हैं, जिनमें से संक्रमण मैट्रिक्स केवल आसन्न वर्गों के बीच संक्रमण की अनुमति देता है।

हम एक बहुआयामी एक-चरणीय प्रक्रिया पर विचार करते हैं Х() = (i(),2(), ...,n()) = (j(), = 1, ) , (0.1) , उस समय अंतराल की लंबाई कहाँ है जिस पर X() प्रक्रिया निर्दिष्ट है। सेट G \u003d (x, \u003d 1, NQ x NQ1 असतत मानों का सेट है जो एक यादृच्छिक प्रक्रिया ले सकता है।

इस एक-चरणीय प्रक्रिया के लिए, क्रमशः राज्य Xj से राज्य Xj__i और Xj_i में प्रति इकाई समय s+ और s संक्रमण की संभावनाओं को पेश किया जाता है। इस मामले में, यह माना जाता है कि राज्य x से दो या अधिक चरणों में प्रति इकाई समय में संक्रमण की संभावना बहुत कम है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि सिस्टम का स्टेट वेक्टर Xj लंबाई के चरणों में बदलता है (और फिर x से Xj+i और Xj_i में संक्रमण के बजाय, हम क्रमशः X से X + і और X - і में संक्रमण पर विचार कर सकते हैं। .

जब मॉडलिंग सिस्टम जिसमें सिस्टम तत्वों की बातचीत के परिणामस्वरूप अस्थायी विकास होता है, तो मुख्य गतिज समीकरण का उपयोग करके वर्णन करना सुविधाजनक होता है (दूसरा नाम मास्टर समीकरण है, और अंग्रेजी साहित्य में इसे मास्टर समीकरण कहा जाता है)।

इसके बाद, सवाल उठता है कि अध्ययन के तहत प्रणाली का विवरण कैसे प्राप्त किया जाए, एक-चरण प्रक्रियाओं द्वारा वर्णित, मूल गतिज समीकरण से लैंगविन समीकरण के रूप में एक स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण की सहायता से। औपचारिक रूप से, केवल स्टोकेस्टिक फ़ंक्शन वाले समीकरणों को स्टोकेस्टिक समीकरणों के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए। इस प्रकार, केवल लैंग्विन समीकरण ही इस परिभाषा को संतुष्ट करते हैं। हालांकि, वे सीधे अन्य समीकरणों से संबंधित हैं, अर्थात् फोककर-प्लैंक समीकरण और मूल गतिज समीकरण। इसलिए, इन सभी समीकरणों पर एक साथ विचार करना तर्कसंगत लगता है। इसलिए, इस समस्या को हल करने के लिए, फोककर-प्लैंक समीकरण द्वारा मुख्य गतिज समीकरण का अनुमान लगाने का प्रस्ताव है, जिसके लिए लैंग्विन समीकरण के रूप में एक समान स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण लिखना संभव है।

खंड 2.2 बहुआयामी एक-चरणीय प्रक्रियाओं द्वारा वर्णित प्रणालियों के वर्णन और स्टोकेस्टिक मॉडलिंग के लिए एक विधि तैयार करता है।

इसके अलावा, यह दिखाया गया है कि फोककर-प्लैंक समीकरण के गुणांक को अध्ययन के तहत सिस्टम के लिए लिखने के तुरंत बाद प्राप्त किया जा सकता है बातचीत योजना, राज्य परिवर्तन वेक्टर आर और संक्रमण संभावनाओं के लिए अभिव्यक्तियां s+ और s-, यानी। इस पद्धति के व्यावहारिक अनुप्रयोग में, मुख्य गतिज समीकरण को लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है।

धारा 2.3. स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए रनगे-कुट्टा पद्धति पर विचार किया जाता है, जिसका उपयोग तीसरे अध्याय में प्राप्त परिणामों को स्पष्ट करने के लिए किया जाता है।

तीसरा अध्याय दूसरे अध्याय में वर्णित स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण की विधि के अनुप्रयोग का एक उदाहरण प्रस्तुत करता है, जिसमें "शिकारी-शिकार", सहजीवन, प्रतियोगिता और उनके जैसे परस्पर क्रिया करने वाली आबादी के विकास की गतिशीलता का वर्णन करने वाली प्रणालियों के उदाहरण का उपयोग किया गया है। संशोधन उद्देश्य उन्हें स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन के रूप में लिखना और सिस्टम के व्यवहार पर स्टोकेस्टिक्स को शुरू करने के प्रभाव की जांच करना है।

खंड 3.1 में। दूसरे अध्याय में वर्णित विधि के अनुप्रयोग को "शिकारी-शिकार" मॉडल के उदाहरण पर चित्रित किया गया है। "शिकारी-शिकार" प्रकार की दो प्रकार की आबादी की परस्पर क्रिया वाले सिस्टम का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है, जो पहले से ही ज्ञात लोगों के साथ प्राप्त परिणामों की तुलना करना संभव बनाता है।

प्राप्त समीकरणों के विश्लेषण से पता चला है कि प्रणाली के नियतात्मक व्यवहार का अध्ययन करने के लिए, प्राप्त स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण के बहाव वेक्टर ए का उपयोग किया जा सकता है, अर्थात। विकसित पद्धति का उपयोग स्टोकेस्टिक और नियतात्मक व्यवहार दोनों का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, यह निष्कर्ष निकाला गया कि स्टोकेस्टिक मॉडल सिस्टम के व्यवहार का अधिक यथार्थवादी विवरण प्रदान करते हैं। विशेष रूप से, नियतात्मक मामले में "शिकारी-शिकार" प्रणाली के लिए, समीकरणों के समाधान का एक आवधिक रूप होता है और चरण मात्रा संरक्षित होती है, जबकि मॉडल में स्टोकेस्टिक्स की शुरूआत चरण मात्रा में एक नीरस वृद्धि देती है, जो एक या दोनों आबादी की अपरिहार्य मृत्यु को इंगित करता है। प्राप्त परिणामों की कल्पना करने के लिए, संख्यात्मक सिमुलेशन किया गया था।

धारा 3.2. विकसित पद्धति का उपयोग जनसंख्या की गतिशीलता के विभिन्न स्टोकेस्टिक मॉडल प्राप्त करने और उनका विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जैसे कि "शिकारी-शिकार" मॉडल, शिकार, सहजीवन, प्रतियोगिता और तीन आबादी की बातचीत के मॉडल के बीच अंतर-विशिष्ट प्रतिस्पर्धा को ध्यान में रखते हुए।

स्टोकेस्टिक कलन पर जानकारी

यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत के विकास ने प्राकृतिक घटनाओं के अध्ययन में नियतात्मक अभ्यावेदन और जनसंख्या की गतिशीलता के मॉडल से संभाव्य लोगों के लिए एक संक्रमण का नेतृत्व किया और परिणामस्वरूप, गणितीय जीव विज्ञान में स्टोकेस्टिक मॉडलिंग के लिए समर्पित बड़ी संख्या में कार्यों का उदय हुआ। , रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र, आदि।

नियतात्मक जनसंख्या मॉडल पर विचार करते समय, प्रणाली के विकास पर विभिन्न कारकों के यादृच्छिक प्रभाव जैसे महत्वपूर्ण बिंदुओं को उजागर नहीं किया जाता है। जनसंख्या की गतिशीलता का वर्णन करते समय, किसी को व्यक्तियों के प्रजनन और अस्तित्व की यादृच्छिक प्रकृति, साथ ही समय के साथ पर्यावरण में होने वाले यादृच्छिक उतार-चढ़ाव और सिस्टम मापदंडों में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव को ध्यान में रखना चाहिए। इसलिए, इन क्षणों को प्रतिबिंबित करने वाले संभाव्य तंत्र को जनसंख्या गतिशीलता के किसी भी मॉडल में पेश किया जाना चाहिए।

स्टोकेस्टिक मॉडलिंग सभी नियतात्मक कारकों और यादृच्छिक प्रभावों को ध्यान में रखते हुए, जनसंख्या विशेषताओं में परिवर्तनों का अधिक संपूर्ण विवरण देता है जो नियतात्मक मॉडल से निष्कर्षों को महत्वपूर्ण रूप से बदल सकते हैं। दूसरी ओर, उनका उपयोग जनसंख्या व्यवहार के गुणात्मक रूप से नए पहलुओं को प्रकट करने के लिए किया जा सकता है।

जनसंख्या राज्यों में परिवर्तन के स्टोकेस्टिक मॉडल को यादृच्छिक प्रक्रियाओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। कुछ मान्यताओं के तहत, हम यह मान सकते हैं कि जनसंख्या का व्यवहार, उसकी वर्तमान स्थिति को देखते हुए, इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि यह राज्य कैसे प्राप्त हुआ (अर्थात, एक निश्चित वर्तमान के साथ, भविष्य अतीत पर निर्भर नहीं करता है)। उस। जनसंख्या की गतिशीलता की प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए, मार्कोव जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं और संबंधित नियंत्रण समीकरणों का उपयोग करना सुविधाजनक है, जिन्हें पेपर के दूसरे भाग में विस्तार से वर्णित किया गया है।

एन.एन. कालिंकिन ने अपने कार्यों में इंटरैक्टिंग तत्वों के साथ सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाओं को चित्रित करने के लिए इंटरेक्शन योजनाओं का उपयोग किया है और इन योजनाओं के आधार पर, मार्कोव प्रक्रियाओं की शाखाओं के तंत्र का उपयोग करके इन प्रणालियों के मॉडल बनाता है। इस दृष्टिकोण के अनुप्रयोग को रासायनिक, जनसंख्या, दूरसंचार और अन्य प्रणालियों में मॉडलिंग प्रक्रियाओं के उदाहरण द्वारा चित्रित किया गया है।

पेपर संभाव्य जनसंख्या मॉडल पर विचार करता है, जिसके निर्माण के लिए जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के तंत्र का उपयोग किया जाता है, और अंतर-अंतर समीकरणों के परिणामी सिस्टम यादृच्छिक प्रक्रियाओं के लिए गतिशील समीकरण होते हैं। पेपर इन समीकरणों के समाधान खोजने के तरीकों पर भी विचार करता है।

आप स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण के लिए समर्पित कई लेख पा सकते हैं जो आबादी की संख्या में परिवर्तन की गतिशीलता को प्रभावित करने वाले विभिन्न कारकों को ध्यान में रखते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, लेखों में एक जैविक समुदाय के आकार की गतिशीलता का एक मॉडल बनाया और विश्लेषण किया जाता है, जिसमें व्यक्ति हानिकारक पदार्थों वाले खाद्य संसाधनों का उपभोग करते हैं। और जनसंख्या विकास के मॉडल में, लेख आबादी के प्रतिनिधियों को उनके आवास में बसने के कारक को ध्यान में रखता है। मॉडल स्व-संगत व्लासोव समीकरणों की एक प्रणाली है।

यह उन कार्यों पर ध्यान देने योग्य है जो उतार-चढ़ाव के सिद्धांत और प्राकृतिक विज्ञान, जैसे भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, आदि जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं में स्टोकेस्टिक विधियों के अनुप्रयोग के लिए समर्पित हैं।

कोई "शिकारी-शिकार" मॉडल को जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं की प्राप्ति के रूप में मान सकता है। इस व्याख्या में, उनका उपयोग विज्ञान के कई क्षेत्रों में मॉडल के लिए किया जा सकता है। 1970 के दशक में, एम। दोई ने सृजन-विनाश ऑपरेटरों (दूसरे परिमाणीकरण के साथ सादृश्य द्वारा) के आधार पर ऐसे मॉडलों के अध्ययन के लिए एक विधि का प्रस्ताव रखा। यहां आप काम को चिह्नित कर सकते हैं। इसके अलावा, इस पद्धति को अब M. M. Gnatich के समूह में सक्रिय रूप से विकसित किया जा रहा है।

जनसंख्या गतिकी के मॉडलिंग और अध्ययन के लिए एक अन्य दृष्टिकोण इष्टतम नियंत्रण के सिद्धांत से जुड़ा है। यहां आप काम को चिह्नित कर सकते हैं।

यह ध्यान दिया जा सकता है कि जनसंख्या प्रक्रियाओं के स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण के लिए समर्पित अधिकांश कार्य अंतर-अंतर समीकरण और बाद में संख्यात्मक कार्यान्वयन प्राप्त करने के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं के तंत्र का उपयोग करते हैं। इसके अलावा, लैंग्विन रूप में स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, जिसमें सिस्टम के व्यवहार के बारे में सामान्य विचारों से स्टोकेस्टिक शब्द जोड़ा जाता है और इसका उद्देश्य यादृच्छिक पर्यावरणीय प्रभावों का वर्णन करना है। मॉडल का आगे का अध्ययन उनका गुणात्मक विश्लेषण या संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके समाधान खोजना है।

स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन परिभाषा 1. एक स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन एक डिफरेंशियल इक्वेशन है जिसमें एक या एक से अधिक टर्म्स एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करते हैं। स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला और प्रसिद्ध उदाहरण एक शब्द के साथ एक समीकरण है जो सफेद शोर का वर्णन करता है और इसे वीनर प्रक्रिया Wt, t 0 के रूप में देखा जा सकता है।

स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण गतिशील प्रणालियों के अध्ययन और मॉडलिंग में एक महत्वपूर्ण और व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण हैं जो विभिन्न यादृच्छिक गड़बड़ी के अधीन हैं।

प्राकृतिक घटनाओं के स्टोकेस्टिक मॉडलिंग की शुरुआत को ब्राउनियन गति की घटना का विवरण माना जाता है, जिसे 1827 में आर ब्राउन ने खोजा था, जब उन्होंने एक तरल में पौधे पराग के आंदोलन का अध्ययन किया था। इस घटना की पहली कठोर व्याख्या स्वतंत्र रूप से ए. आइंस्टीन और एम. स्मोलुचोव्स्की द्वारा दी गई थी। यह उन लेखों के संग्रह पर ध्यान देने योग्य है जिसमें ब्राउनियन गति पर ए आइंस्टीन और एम। स्मोलुचोव्स्की के कार्यों को एकत्र किया जाता है। इन अध्ययनों ने ब्राउनियन गति के सिद्धांत के विकास और इसके प्रायोगिक सत्यापन में महत्वपूर्ण योगदान दिया है। ए आइंस्टीन ने ब्राउनियन गति के मात्रात्मक विवरण के लिए एक आणविक गतिज सिद्धांत बनाया। 1908-1909 में जे पेरिन के प्रयोगों द्वारा प्राप्त सूत्रों की पुष्टि की गई थी।

बहुआयामी एक-चरणीय प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए विधि।

परस्पर क्रिया करने वाले तत्वों के साथ प्रणालियों के विकास का वर्णन करने के लिए, दो दृष्टिकोण हैं - यह नियतात्मक या स्टोकेस्टिक मॉडल का निर्माण है। नियतात्मक के विपरीत, स्टोकेस्टिक मॉडल अध्ययन के तहत प्रणालियों में होने वाली प्रक्रियाओं की संभाव्य प्रकृति को ध्यान में रखते हैं, साथ ही बाहरी वातावरण के प्रभाव जो मॉडल मापदंडों में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव का कारण बनते हैं।

अध्ययन का विषय सिस्टम है, जिसमें होने वाली प्रक्रियाएं एक-चरणीय प्रक्रियाओं का उपयोग करके वर्णित की जा सकती हैं और जिनमें एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण सिस्टम तत्वों की बातचीत से जुड़ा हुआ है। एक उदाहरण ऐसे मॉडल हैं जो परस्पर क्रिया करने वाली आबादी के विकास की गतिशीलता का वर्णन करते हैं, जैसे कि "शिकारी-शिकार", सहजीवन, प्रतियोगिता और उनके संशोधन। उद्देश्य ऐसी प्रणालियों के लिए एसडीई लिखना और नियतात्मक व्यवहार का वर्णन करने वाले समीकरण के समाधान के व्यवहार पर स्टोकेस्टिक भाग की शुरूआत के प्रभाव की जांच करना है।

रासायनिक गतिकी

परस्पर क्रिया करने वाले तत्वों के साथ प्रणालियों का वर्णन करते समय उत्पन्न होने वाले समीकरणों की प्रणालियाँ कई तरह से विभेदक समीकरणों की प्रणालियों के समान होती हैं जो रासायनिक प्रतिक्रियाओं के कैनेटीक्स का वर्णन करती हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, लोटका-वोल्टेरा प्रणाली को मूल रूप से लोटका द्वारा कुछ काल्पनिक रासायनिक प्रतिक्रिया का वर्णन करने वाली प्रणाली के रूप में लिया गया था, और बाद में वोल्टेरा ने इसे "शिकारी-शिकार" मॉडल का वर्णन करने वाली प्रणाली के रूप में घटाया।

रासायनिक कैनेटीक्स तथाकथित स्टोइकोमेट्रिक समीकरणों की मदद से रासायनिक प्रतिक्रियाओं का वर्णन करता है - एक रासायनिक प्रतिक्रिया के अभिकारकों और उत्पादों के मात्रात्मक अनुपात को दर्शाने वाले समीकरण और निम्नलिखित सामान्य रूप होते हैं: जहां प्राकृतिक संख्याएं और यू को स्टोइकोमेट्रिक गुणांक कहा जाता है। यह एक रासायनिक प्रतिक्रिया का एक प्रतीकात्मक रिकॉर्ड है जिसमें अभिकर्मक Xi के ti अणु, अभिकर्मक Xh के ni2 अणु, ..., अभिकर्मक Xp के tr अणु, प्रतिक्रिया में प्रवेश करके, पदार्थ Yї के अणु बनाते हैं, u पदार्थ के अणु I2, ..., nq पदार्थ Yq के अणु क्रमशः।

रासायनिक कैनेटीक्स में, यह माना जाता है कि एक रासायनिक प्रतिक्रिया केवल अभिकर्मकों की सीधी बातचीत के साथ हो सकती है, और रासायनिक प्रतिक्रिया की दर को प्रति इकाई समय प्रति इकाई मात्रा में कणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।

रासायनिक कैनेटीक्स का मुख्य अभिधारणा द्रव्यमान क्रिया का नियम है, जो कहता है कि रासायनिक प्रतिक्रिया की दर उनके स्टोइकोमेट्रिक गुणांक की शक्तियों में अभिकारकों की सांद्रता के उत्पाद के सीधे आनुपातिक होती है। इसलिए, यदि हम XI और y I द्वारा संबंधित पदार्थों की सांद्रता को निरूपित करते हैं, तो हमारे पास रासायनिक प्रतिक्रिया के परिणामस्वरूप समय के साथ किसी भी पदार्थ की सांद्रता में परिवर्तन की दर के लिए एक समीकरण है:

इसके अलावा, उन प्रणालियों का वर्णन करने के लिए रासायनिक कैनेटीक्स के मूल विचारों का उपयोग करने का प्रस्ताव है, जिनका समय में विकास किसी दिए गए सिस्टम के तत्वों के एक दूसरे के साथ बातचीत के परिणामस्वरूप होता है, जिससे निम्नलिखित मुख्य परिवर्तन होते हैं: 1. प्रतिक्रिया दर नहीं माना जाता है, लेकिन संक्रमण की संभावनाएं; 2. यह प्रस्तावित है कि एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण की संभावना, जो एक बातचीत का परिणाम है, इस प्रकार की संभावित बातचीत की संख्या के समानुपाती है; 3. इस पद्धति में प्रणाली का वर्णन करने के लिए, मुख्य गतिज समीकरण का उपयोग किया जाता है; 4. नियतात्मक समीकरणों को स्टोकेस्टिक समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ऐसी प्रणालियों के विवरण के लिए एक समान दृष्टिकोण कार्यों में पाया जा सकता है। सिम्युलेटेड सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए, जैसा कि ऊपर बताया गया है, मार्कोव वन-स्टेप प्रक्रियाओं का उपयोग करना चाहिए।

एक प्रणाली पर विचार करें जिसमें विभिन्न प्रकार के तत्व शामिल हैं जो एक दूसरे के साथ विभिन्न तरीकों से बातचीत कर सकते हैं। -वें प्रकार के एक तत्व द्वारा निरूपित करें, जहां = 1, और द्वारा - -वें प्रकार के तत्वों की संख्या।

होने देना (), ।

आइए मान लें कि फ़ाइल में एक भाग होता है। इस प्रकार, फ़ाइल को डाउनलोड करने के इच्छुक नए नोड और फ़ाइल को वितरित करने वाले नोड के बीच बातचीत के एक चरण में, नया नोड पूरी फ़ाइल को डाउनलोड करता है और वितरण नोड बन जाता है।

चलो नए नोड का पदनाम है, वितरण नोड है, और अंतःक्रियात्मक गुणांक है। नए नोड तीव्रता के साथ सिस्टम में प्रवेश कर सकते हैं, और वितरण नोड्स इसे तीव्रता के साथ छोड़ सकते हैं। फिर इंटरेक्शन स्कीम और वेक्टर r इस तरह दिखेगा:

लैंग्विन रूप में एक स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण को संबंधित सूत्र (1.15) का उपयोग करके 100 प्राप्त किया जा सकता है। इसलिये बहाव वेक्टर ए पूरी तरह से सिस्टम के नियतात्मक व्यवहार का वर्णन करता है, आप साधारण अंतर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त कर सकते हैं जो नए ग्राहकों और बीजों की संख्या की गतिशीलता का वर्णन करते हैं:

इस प्रकार, मापदंडों की पसंद के आधार पर, एकवचन बिंदु का एक अलग चरित्र हो सकता है। इस प्रकार, /3A 4/I2 के लिए, एकवचन बिंदु एक स्थिर फोकस है, और व्युत्क्रम संबंध के लिए, यह एक स्थिर नोड है। दोनों ही मामलों में, एकवचन बिंदु स्थिर है, क्योंकि गुणांक मूल्यों की पसंद, सिस्टम चर में परिवर्तन दो प्रक्षेपवक्रों में से एक के साथ हो सकता है। यदि एकवचन बिंदु एक फोकस है, तो सिस्टम में नए और वितरण नोड्स की संख्या में नम दोलन होते हैं (चित्र 3.12 देखें)। और नोडल मामले में, स्थिर मानों के लिए संख्याओं का सन्निकटन कंपन रहित मोड में होता है (चित्र 3.13 देखें)। दो मामलों में से प्रत्येक के लिए सिस्टम के चरण पोर्ट्रेट क्रमशः ग्राफ़ (3.14) और (3.15) में दिखाए जाते हैं।