उदाहरण। दी गई रेखाओं द्वारा परिबद्ध आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना चित्र का क्षेत्रफल y x2 y 2x

कीवर्ड

तीसरी पीढ़ी के शैक्षिक मानक / तीसरी पीढ़ी के शैक्षिक मानक / शिक्षण में योग्यता-आधारित दृष्टिकोण / शिक्षण में सक्षमता दृष्टिकोण / विश्लेषणात्मक ज्यामिति शिक्षण/ विश्लेषणात्मक ज्यामिति शिक्षण / अंतर-विषयक संबंध / अंतर-विषयक संबंध / अंतःविषय संचार / उच्च गणित पढ़ाना/ गणित का शिक्षण / विमान में घटता / पहले और दूसरे क्रम की सतहें / पहले और दूसरे क्रम के वक्र सतहें/ अंतर संचार

टिप्पणी शिक्षा के विज्ञान पर वैज्ञानिक लेख, वैज्ञानिक कार्य के लेखक - बालाबेवा नताल्या पेत्रोव्ना, एनबॉम एकातेरिना अलेक्जेंड्रोवना

हर साल, अत्यधिक कुशल प्रौद्योगिकियों और विधियों के साथ उच्च योग्य विशेषज्ञों के विभिन्न क्षेत्रों में उद्यमों के लिए प्रशिक्षण का मुद्दा अधिक से अधिक जरूरी हो जाता है। वर्तमान स्थिति में विश्वविद्यालय में सीखने की प्रक्रिया के दृष्टिकोण में गंभीर संशोधन की आवश्यकता है, पढ़ाए जाने वाले विषयों की संरचना और सामग्री में मूलभूत परिवर्तन। तकनीकी क्षेत्रों के स्नातकों के पाठ्यक्रम में, भौतिकी और गणित चक्र के विषयों में व्याख्यान और व्यावहारिक कक्षाओं की संख्या में काफी कमी आई है, बशर्ते कि विषय क्षेत्र की कवरेज की सामग्री और गहराई को संरक्षित करने की आवश्यकता हो। इस स्थिति में, अनुशासन की सामग्री का चयन और संरचना इस तरह से करना महत्वपूर्ण है कि सामग्री को आत्मसात करने की गुणवत्ता शैक्षिक मानक की आधुनिक आवश्यकताओं को पूरा करती है। यह क्षण पहले वर्ष में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, एक विश्वविद्यालय में अध्ययन की शुरुआत में, जब मौलिक ज्ञान की नींव रखी जाती है और अध्ययन और भविष्य की व्यावसायिक गतिविधि के लिए छात्र का दृष्टिकोण बनता है। इस लेख में, इस समस्या को तकनीकी दिशाओं के स्नातकों को पढ़ाने के उदाहरण पर "गणित" पाठ्यक्रम के "विश्लेषणात्मक ज्यामिति" खंड पर विचार किया गया है। लेखक समग्र रूप से "गणित" विषय में कक्षा के घंटों की संख्या में तेज कमी के संदर्भ में विश्लेषणात्मक ज्यामिति में प्रशिक्षण सत्रों के संगठन को बदलने के लिए विशिष्ट तरीकों का प्रस्ताव करते हैं। इन परिवर्तनों का औचित्य अंतःविषय है और, विशेष रूप से, अंतर-विषय संचारउच्च गणित और तकनीकी विषयों के अन्य वर्गों के साथ विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

वैज्ञानिक कार्य का पाठ विषय पर "तीसरी पीढ़ी के संघीय शैक्षिक मानक की आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए, एक तकनीकी विश्वविद्यालय में विश्लेषणात्मक ज्यामिति पढ़ाने के मुख्य पहलू"

तीसरी पीढ़ी के संघीय शैक्षिक मानक की आवश्यकताओं के साथ एक तकनीकी विश्वविद्यालय में विश्लेषणात्मक ज्यामिति पढ़ाने के मुख्य पहलू

बालाबेवा नताल्या पेत्रोव्ना, भौतिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार, एसोसिएट प्रोफेसर, उच्च गणित विभाग के एसोसिएट प्रोफेसर एकातेरिना अलेक्जेंड्रोवना एनबॉम, भौतिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार, एसोसिएट प्रोफेसर,

एसोसिएट प्रोफेसर, उच्च गणित विभाग, वोल्गा राज्य दूरसंचार और सूचना विज्ञान विश्वविद्यालय, समारा (रूस) सार। हर साल, विभिन्न क्षेत्रों में उद्यमों के लिए उच्च योग्य कर्मियों के प्रशिक्षण का मुद्दा - विशेषज्ञ जो अत्यधिक कुशल प्रौद्योगिकियों और विधियों के मालिक हैं - अधिक से अधिक जरूरी हो जाते हैं। वर्तमान स्थिति में विश्वविद्यालय में सीखने की प्रक्रिया के दृष्टिकोण में गंभीर संशोधन की आवश्यकता है, पढ़ाए जाने वाले विषयों की संरचना और सामग्री में मूलभूत परिवर्तन। तकनीकी क्षेत्रों के स्नातकों के पाठ्यक्रम में, भौतिकी और गणित चक्र के विषयों में व्याख्यान और व्यावहारिक कक्षाओं की संख्या में काफी कमी आई है, बशर्ते कि विषय क्षेत्र की कवरेज की सामग्री और गहराई को संरक्षित करने की आवश्यकता हो। इस स्थिति में, अनुशासन की सामग्री का चयन और संरचना इस तरह से करना महत्वपूर्ण है कि सामग्री को आत्मसात करने की गुणवत्ता शैक्षिक मानक की आधुनिक आवश्यकताओं को पूरा करती है। यह क्षण पहले वर्ष में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, एक विश्वविद्यालय में अध्ययन की शुरुआत में, जब मौलिक ज्ञान की नींव रखी जाती है और अध्ययन और भविष्य की व्यावसायिक गतिविधि के लिए छात्र का दृष्टिकोण बनता है। इस लेख में, इस समस्या को तकनीकी दिशाओं के स्नातकों को पढ़ाने के उदाहरण पर "गणित" पाठ्यक्रम के "विश्लेषणात्मक ज्यामिति" खंड पर विचार किया गया है। लेखक समग्र रूप से "गणित" विषय में कक्षा के घंटों की संख्या में तेज कमी के संदर्भ में विश्लेषणात्मक ज्यामिति में प्रशिक्षण सत्रों के संगठन को बदलने के लिए विशिष्ट तरीकों का प्रस्ताव करते हैं। इन परिवर्तनों का औचित्य अंतःविषय और, विशेष रूप से, उच्च गणित और तकनीकी विषयों के अन्य वर्गों के साथ विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अंतःविषय कनेक्शन हैं।

मुख्य शब्द: तीसरी पीढ़ी के शैक्षिक मानक, शिक्षण के लिए क्षमता-आधारित दृष्टिकोण, विश्लेषणात्मक ज्यामिति शिक्षण, अंतर-विषय संचार, अंतर-विषय संचार, उच्च गणित पढ़ाना, एक विमान पर वक्र, पहले और दूसरे क्रम की सतह।

संघीय शैक्षिक मानक तीसरी पीढ़ी की आवश्यकताओं के अधीन तकनीकी विश्वविद्यालय में विश्लेषणात्मक ज्यामिति पढ़ाने के मुख्य पहलू

बालाबेवा नतालिया पेत्रोव्ना, भौतिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार, एसोसिएट प्रोफेसर

उच्च गणित विभाग के एनबॉम एकातेरिना अलेक्जेंड्रोवना, भौतिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार, उच्च गणित विभाग के एसोसिएट प्रोफेसर Povolzhskiy राज्य दूरसंचार और सूचना विज्ञान, समारा (रूस) सार। उच्च दक्षता वाली तकनीकों और विधियों में महारत हासिल करने वाले उच्च योग्यता विशेषज्ञों के कर्मियों के विभिन्न क्षेत्रों में कंपनियों के लिए प्रशिक्षण का सवाल हर साल अधिक जरूरी हो जाता है। आधुनिक स्थिति में विश्वविद्यालय में सीखने की प्रक्रिया के दृष्टिकोण के गंभीर संशोधन की आवश्यकता है, पढ़ाए जाने वाले विषयों की संरचना और सामग्री में आमूल-चूल परिवर्तन। तकनीकी क्षेत्रों में स्नातक के पाठ्यक्रम में विषय क्षेत्र की सामग्री और कवरेज की गहराई को संरक्षित करने की आवश्यकता के अधीन, भौतिकी और गणित चक्र के विषयों में व्याख्यान और व्यावहारिक कक्षाओं की संख्या में काफी कमी आई है। इस स्थिति में शिक्षण सामग्री की गुणवत्ता के लिए अनुशासन की सामग्री का चयन और संरचना करना महत्वपूर्ण है जो शैक्षिक मानक की आधुनिक आवश्यकताओं को पूरा करता है। विशेष रूप से महत्वपूर्ण यह क्षण पहले वर्ष में है, विश्वविद्यालय में अध्ययन की शुरुआत में, जब मौलिक ज्ञान की रूपरेखा और अध्ययन और भविष्य की व्यावसायिक गतिविधि के लिए छात्र के दृष्टिकोण का निर्माण करती है। इस लेख में इस समस्या को स्नातक के शिक्षण के उदाहरण पर माना जाता है गणित में "विश्लेषणात्मक ज्यामिति" पाठ्यक्रम के तकनीकी क्षेत्रों में। सामान्य। इन परिवर्तनों के लिए तर्क अंतःविषय हैं और, विशेष रूप से, उच्च गणित और तकनीकी विषयों के अन्य वर्गों के साथ अंतःविषय संचार विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

कीवर्ड: तीसरी पीढ़ी के शैक्षिक मानक, शिक्षण में क्षमता दृष्टिकोण, विश्लेषणात्मक ज्यामिति शिक्षण, अंतर-संचार, अंतःविषय संचार, गणित का शिक्षण, पहले और दूसरे क्रम की वक्र सतह।

आधुनिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी, साधनों और प्रौद्योगिकियों का तेजी से विकास मानव गतिविधि के हर क्षेत्र को प्रभावित करता है। रूसी संघ का शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय उच्च शिक्षा के लिए नए संघीय राज्य शैक्षिक मानक जारी करके इसका जवाब दे रहा है। स्नातक प्रशिक्षण के इंजीनियरिंग क्षेत्रों के लिए उच्च शिक्षा के संघीय राज्य शैक्षिक मानक में घोषित पेशेवर दक्षताओं के विश्लेषण से उनकी कार्यक्षमता के करीब दक्षताओं की उपस्थिति का पता चला। भविष्य के इंजीनियरों की ये पेशेवर दक्षता इंजीनियरिंग गतिविधियों में आधुनिक आवश्यक व्यावहारिक कौशल के अनुरूप हैं और आगे की वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति को जारी रखने के लिए उच्च योग्य पेशेवरों की आवश्यकता को पूरा करने में सक्षम हैं।

घोषित के गठन के लिए सही तंत्र के साथ

उच्च दक्षताओं के साथ, भविष्य के इंजीनियरों को उच्च रचनात्मक क्षमता और आधुनिक उच्च गुणवत्ता वाले ज्ञान के साथ, अपने कर्तव्यों को जल्दी और कुशलता से करने में सक्षम होना चाहिए।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति एक तकनीकी विश्वविद्यालय के छात्रों की स्थानिक सोच के विकास में एक प्रमुख भूमिका निभाती है, और सबसे महत्वपूर्ण बात, पहले और दूसरे क्रम के वक्रों और सतहों के सिद्धांत के स्थिर ज्ञान के निर्माण में। ज्यामिति का अध्ययन छात्रों के स्थानिक प्रतिनिधित्व और स्थानिक कल्पना के विकास में योगदान देता है - लागू तकनीकी समस्याओं को हल करने और उच्च स्तर की इंजीनियरिंग सोच की विशेषता के लिए आवश्यक गुण।

कक्षा के घंटों में कमी अनिवार्य रूप से व्याख्यान में छात्रों द्वारा अध्ययन की गई विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर सामग्री में कमी की ओर ले जाती है और

एक शिक्षक के मार्गदर्शन में व्यावहारिक अभ्यास। छात्रों को अपने दम पर विषयों के एक महत्वपूर्ण हिस्से में महारत हासिल करने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है, जो वैज्ञानिक गणितीय साहित्य के साथ काम करने, सैद्धांतिक सामग्री का विश्लेषण और व्यवस्थित करने की उनकी पहले से गठित क्षमता को मानता है। चूंकि उच्च गणित के इस खंड का अध्ययन अध्ययन के पहले वर्ष के पहले सेमेस्टर में किया जाता है, इसलिए छात्रों के लिए, वास्तव में, कल के स्कूली बच्चों के लिए वैज्ञानिक पाठ से निपटना बहुत मुश्किल है। इसके अलावा, कई स्कूली स्नातकों की गणितीय तैयारी और स्थानिक सोच के विकास का स्तर सामग्री की सफल महारत के लिए अपर्याप्त है। शिक्षक को कम कक्षा के घंटों में विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सिद्धांत और बुनियादी समस्याओं को इस तरह प्रस्तुत करना चाहिए कि विभिन्न गणितीय पृष्ठभूमि वाले छात्रों द्वारा उन्हें सफलतापूर्वक महारत हासिल की जा सके। कम कक्षा के घंटों के कारण शिक्षा की उच्च गुणवत्ता बनाए रखना विभिन्न उच्च शिक्षण संस्थानों के कई शिक्षकों को चिंतित करता है।

इस संबंध में, उन मुद्दों को चुनने की गंभीर समस्या है जिन पर कक्षा में काफी ध्यान दिया जाना चाहिए; जिन मुद्दों पर केवल एक संक्षिप्त विवरण देना पर्याप्त है; और ऐसे प्रश्न जिन्हें स्वतंत्र अध्ययन के लिए छोड़ा जा सकता है।

गणित और अन्य विषयों की विभिन्न शाखाओं के साथ विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अंतर-विषय और अंतर-विषय कनेक्शन के आधार पर, हमारी राय में जिन विषयों पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है, उनका चुनाव किया जाना चाहिए। यह अंतर-विषयक संबंधों का विचार है जो शिक्षा के विभिन्न चरणों में परस्पर संबंधित अवधारणाओं के अध्ययन को व्यवस्थित करना संभव बनाता है। गणित के वर्गों के बीच अंतर-विषयक क्रमिक और पुनरावर्ती लिंक का लगातार निर्माण, छात्रों के ज्ञान में औपचारिकता से बचने की अनुमति देता है, तार्किक और चिंतनशील सोच के विकास में योगदान देता है।

उच्च गणित के खंडों के आगे के अध्ययन में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विभिन्न तथ्यों को लागू करने की आवश्यकता लगातार उत्पन्न होती है, और शिक्षक के पास, निश्चित रूप से, उन्हें विस्तार से समझाने का समय नहीं होता है। उदाहरण के लिए, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग "फ़ील्ड थ्योरी" खंड के अध्ययन में किया जाता है, जब एक वक्रीय अभिन्न का उपयोग करके एक वेक्टर क्षेत्र के संचलन की सीधे गणना की जाती है। इसलिए, इस तरह के समीकरण को संकलित करने का कौशल विशेष रूप से अच्छी तरह से काम किया जाना चाहिए, जबकि एक सीधी रेखा के वेक्टर समीकरण को संकलित करने के कार्यों को छात्रों को स्वयं ही अलग करने की पेशकश की जा सकती है।

एक निश्चित समाकल, बहु और वक्रीय समाकलों के अनुप्रयोगों का अध्ययन करते समय, अध्ययनाधीन मॉडल के ज्यामितीय निरूपण की आवश्यकता होती है। इस संबंध में विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर कक्षा में

दूसरे क्रम के वक्रों के समीकरणों को पहचानने और दिए गए समीकरण के अनुसार इन वक्रों के निर्माण पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए। उसी समय, हमारी राय में, किसी को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विश्लेषण, एक विमान के सामान्य समीकरण और दूसरे क्रम के वक्र के सामान्य समीकरण के दृष्टिकोण से विचार से बाहर नहीं करना चाहिए। गुणांक का ज्यामितीय अर्थ।

एक उदाहरण के रूप में, एक समस्या पर विचार करें जो वक्र के समीकरणों, उनकी ज्यामितीय छवियों और अभिन्न कलन (चित्रा 1) का उपयोग करके एक आकृति के क्षेत्र की गणना के बीच संबंध को दर्शाता है।

कार्य 1. रेखाओं से बंधे हुए आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y2 - 6y + x2 = 0, y2 - 10y + x2 = 0,

समाधान। वह आकृति जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, वृत्त x2 + (y _ 3) 2 = 9 और के बीच संलग्न तल का एक भाग है।

x2 + (y _ 5)2 = 25 बिंदुओं पर क्रमशः केंद्रों के साथ

(0; 3) और (0; 5), और त्रिज्या आर = 3 और आर = 5, अक्ष ओए और

पहली तिमाही का द्विभाजक (चित्र 1)।

हम एक डबल इंटीग्रल का उपयोग करके इसके क्षेत्र की गणना करते हैं, जिसमें ध्रुवीय निर्देशांक x = p cos f, y = p sin f पर स्विच करना उचित है:

एस = dxdy = рdрdф = | डीएफ | पीडीपी = 4 (एन + 2)।

डी डी एल / 4 6sin f

आप इस क्षेत्र को दो वक्रीय क्षेत्रों के क्षेत्रों के बीच के अंतर के रूप में मान सकते हैं और सूत्र 1 का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके इसकी गणना कर सकते हैं

एस = 2 |पी2 (एफ)डी एफ।

स्वतंत्र कार्य के लिए, छात्रों को एक अधिक जटिल कार्य की पेशकश की जा सकती है, ताकि इसके समाधान के लिए एक मानक नहीं, बल्कि एक सामान्यीकृत ध्रुवीय समन्वय प्रणाली की शुरूआत की आवश्यकता हो। इस मुद्दे के सिद्धांत पर समय की कमी के कारण कक्षा में विचार करना संभव नहीं है, छात्रों को अनुशंसित साहित्य का उपयोग करके स्वयं इसका अध्ययन करने की आवश्यकता है। वास्तव में, पहले से ही शिक्षा के इस स्तर पर, छात्र अनुसंधान कार्य में शामिल हैं, जो कि, संघीय राज्य शैक्षिक मानक की भी आवश्यकता है।

समस्या 2. प्लेट बी असमानताओं द्वारा दिया गया है

1 < х 716 + у2 /4 < 4, х >0, y\u003e x / 2, q \u003d x / y - सतह घनत्व। प्लेट का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

समाधान। प्लेट डी हिस्सा है

दीर्घवृत्त x716 + y 74 = 1, x2/64 + y 716 = 1, ओए अक्ष, सीधी रेखा y = x/2 के बीच संलग्न विमान, पहली तिमाही में स्थित है (चित्र।

2))। सामान्यीकृत ध्रुवीय समन्वय प्रणाली का रूप है: x = 4 p cos f, y = 2 p sin f। इस समन्वय प्रणाली में, दीर्घवृत्त के समीकरण होते हैं: p \u003d 1,_ p \u003d 2, और सीधी रेखाएँ -

= n / 4 और φ = n / 2। जैकोबी निर्धारक की गणना की जाती है

काफी सरल:

डीएक्स/डीएफ डीएक्स/डॉ डीएन/डीएफ डीएन/डीआर

4p sin f 4cos f 2p cos f 2sin f

चर के इस तरह के परिवर्तन के साथ, समन्वय प्रणाली में दोहरे अभिन्न की गणना अधिक तर्कसंगत रूप से की जाती है:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति सिखाने के लिए इस दृष्टिकोण के साथ, गणितीय विश्लेषण के दौरान समस्या 3 को हल करना: रेखाओं से बंधे एक आकृति का क्षेत्र ज्ञात करें

एक्स \u003d 6 - एल / 36 - y2, x + ^6 - y2 \u003d 0,

छात्रों का ध्यान इस ओर होना चाहिए

संबंधित बल्कि जटिल इंटीग्रल की गणना पर केंद्रित है, और डेटा प्रकार के घटता (सर्कल, परवलय, दीर्घवृत्त) की परिभाषा और उनके निर्माण में अब कठिनाइयों का कारण नहीं होना चाहिए।

चूँकि समतल पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान, बड़ी संख्या में वक्रों का अध्ययन किया जाता है, जो कार्तीय समन्वय प्रणाली में स्पष्ट रूप से और पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट होते हैं और

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में स्पष्ट और निहित समीकरणों द्वारा दिए गए, जो गणित, भौतिकी, प्रौद्योगिकी में बहुत महत्व रखते हैं, छात्रों को एक स्वतंत्र कार्य के रूप में "वक्रों के एल्बम" को पूरा करने की सलाह दी जाती है।

यह शिक्षक द्वारा प्रस्तावित वक्रों को उनके समीकरणों के संकेत के साथ, गणित के आगे के अध्ययन के लिए आवश्यक बनाता है।

जैसा कि अनुभव से पता चलता है, छात्र इस प्रकार के असाइनमेंट में रुचि रखते हैं। कई प्रथम वर्ष के छात्र कंप्यूटर पर लागू गणितीय पैकेजों में ग्राफिक्स का प्रदर्शन करते हैं, जो निस्संदेह एक तकनीकी विश्वविद्यालय में स्वागत योग्य है।

कुछ छात्र एल्बम में इस बारे में जानकारी प्रदान करते हैं कि प्रौद्योगिकी में इन वक्रों का उपयोग कहाँ किया जाता है। शिक्षक द्वारा भी इसका स्वागत किया जाता है, क्योंकि वास्तव में ऐसी जानकारी की खोज शोध गतिविधि का एक तत्व है। उदाहरण के लिए, बर्नौली लेम्निस्केट (चित्र 3) का उपयोग सड़कों और रेलवे के डिजाइन में एक संक्रमण वक्र के रूप में किया जाता है - एक रेखा जिसकी वक्रता धीरे-धीरे प्रारंभिक मूल्य से बढ़ती है, एक सर्कल के विपरीत, जब चलती है जिसके साथ केन्द्रापसारक बल बढ़ता है तीव्र, जो असुरक्षित है।

गणित के आगे के अध्ययन के साथ, ऐसा "वक्रों का एल्बम" बहुत उपयोगी है। जब गणितीय विश्लेषण के पाठों में "अनंत सीमाओं के साथ अनुचित समाकलन और असीमित कार्यों के अनुचित समाकलन" विषय पर विचार किया जाता है, तो यह सलाह दी जाती है कि न केवल अनुचित समाकलों के अभिसरण की जांच की जाए, बल्कि उनके कुछ ज्यामितीय और भौतिक अनुप्रयोगों पर भी विचार किया जाए; उदाहरण के लिए, निम्नलिखित कार्यों को हल करें:

कार्य 4. y \u003d 1 / x, x \u003d 1, y \u003d 0. रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। प्राप्त आयतन ज्ञात कीजिए

इस आकृति के ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमने से (चित्र 4)।

समाधान के दौरान, यह साबित हो गया कि इस समतल आकृति का कोई क्षेत्रफल नहीं है, क्योंकि इस क्षेत्र को व्यक्त करने वाला अनुचित समाकलन विचलन करता है। लेकिन ऑक्स अक्ष के चारों ओर निर्दिष्ट क्षेत्र के घूर्णन से प्राप्त असीमित शरीर में है

आयतन के बराबर: V \u003d n G - \u003d n घन इकाइयाँ।

समस्या 5. अग्निसी वक्र y \u003d 1 (1 + x2) और इसकी क्षैतिज विषमता से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-

पोटा अनिश्चित काल तक दायीं और बायीं ओर फैली हुई आकृति का वांछित क्षेत्रफल किसके बराबर होता है: ^ = ex

इस विषय पर एक शिक्षक के मार्गदर्शन में छात्रों के स्वतंत्र कार्य के लिए, ऐसे कार्यों का प्रस्ताव किया जा सकता है जिनके लिए न केवल विश्लेषणात्मक ज्यामिति के ज्ञान की आवश्यकता होती है, अभिसरण के लिए पहली और दूसरी तरह के अनुचित इंटीग्रल का अध्ययन करने का कौशल, बल्कि अध्ययन करने की क्षमता भी। मोनोटोनिसिटी, एक्स्ट्रेमा, उत्तलता, अवतलता, विभक्ति बिंदु और स्पर्शोन्मुख के लिए पहले और दूसरे डेरिवेटिव का उपयोग करके कार्य करें।

समस्या 6. वक्र y = 1 (x2 + 2 x) और x > 1 के लिए क्षैतिज अनंतस्पर्शी के बीच संलग्न आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

टास्क 7. एक समतल आकृति के ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए, जो एक अंतर-

वक्र y \u003d 1Y4 - x, इसका लंबवत स्पर्शोन्मुख और खंड पर ऑक्स अक्ष।

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति का अध्ययन करते समय, पहले और दूसरे क्रम की सतहों पर विस्तार से विचार करना आवश्यक है। जैसा कि आप जानते हैं, सतहें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वस्तुओं की एक विशाल विविधता बनाती हैं, और मानव इंजीनियरिंग गतिविधियां सीधे विभिन्न सतहों के डिजाइन और निर्माण से संबंधित होती हैं। चूंकि, फिर से, हम समय सीमा से बहुत सीमित हैं, एक कार्यप्रणाली समस्या उत्पन्न होती है: कक्षा के व्याख्यान और व्यावहारिक अभ्यास और स्वतंत्र कार्य के बीच सामग्री को कैसे वितरित किया जाए। हमारी राय में, सतही समीकरणों के अध्ययन पर ध्यान देने की सलाह दी जाती है, क्योंकि भविष्य में, छात्रों को तुरंत इन समीकरणों के रूप में एक सिलेंडर, परवलयिक, शंकु, अतिपरवलयिक, आदि को पहचानना चाहिए, और, इसके अलावा, विचाराधीन सतहों की सममिति अक्षों की स्थिति ज्ञात कीजिए। कक्षा के घंटों में कमी इस तथ्य की ओर नहीं ले जानी चाहिए कि छात्रों के पास बेलनाकार है

सतह को केवल एक सही गोलाकार सिलेंडर (क्रांति की बेलनाकार सतह) की सतह के रूप में माना जा सकता है, शंक्वाकार सतह - क्रांति की शंक्वाकार सतह के रूप में। हमारी राय में, पाठ्यक्रम का अध्ययन करते समय जटिल सतहों की उपेक्षा नहीं करनी चाहिए और उन पर बिल्कुल भी विचार नहीं करना चाहिए। इससे इंजीनियरों के स्नातकों की शिक्षा की गुणवत्ता में कमी आ सकती है, क्योंकि लागू ज्यामिति के अधिकांश कार्य जटिल तकनीकी सतहों के डिजाइन, गणना और प्रजनन के लिए कम हो जाते हैं। आधुनिक परिस्थितियों में सतहों का डिजाइन विज्ञान में बहुत रुचि रखता है, इन अध्ययनों का मुख्य लक्ष्य नवीन इंजीनियरिंग परियोजनाओं के कार्यान्वयन में भौतिक सतह के ज्यामितीय मॉडल का निर्माण है। इसके उदाहरण हैं: कार बॉडीज, शिप हल्स, एयरक्राफ्ट फ्यूजलेज और विंग्स इत्यादि का विकास और उत्पादन। ग्राउंड नेविगेशन की लागू समस्याओं को हल करने के लिए इलाके की सतह के मॉडलिंग के तरीकों और तकनीकों का विकास भी बहुत महत्वपूर्ण है (उदाहरण के लिए, किसी न किसी इलाके में वाहनों के लिए चलने योग्य मार्ग डालना)। वास्तुकला में विभिन्न सतहों का उपयोग व्यापक रूप से जाना जाता है। सतहों को आकार देने और प्रदर्शित करने के तरीके आधुनिक ग्राफिक संपादकों के त्रि-आयामी मॉडलिंग का आधार बनते हैं। वर्तमान में, सॉफ्टवेयर सिस्टम विकसित किए गए हैं जो वांछित आकार की घुमावदार चिकनी सतहों को मॉडलिंग करने की अनुमति देते हैं। लेकिन उनका उपयोग उपयोगकर्ता की तैयारी, एक उपयुक्त ज्यामितीय संस्कृति और गणितीय विद्वता की उपस्थिति पर गंभीर आवश्यकताओं को लागू करता है। यही है, उपयोगकर्ता को जटिल सतहों को समझना चाहिए और यह जानना चाहिए कि उन्हें कैसे आकार देना है।

समस्या 8. सतहों से घिरे शरीर के आयतन की गणना करें x2 + y 2 + 2y12 y \u003d 0, r \u003d x2 + y 2 - 4,

आर = 0 (आर> 0)।

समाधान। शरीर अंतरिक्ष का एक हिस्सा है जो एक गोलाकार सिलेंडर से घिरा होता है जिसमें समरूपता की धुरी अनुप्रस्थ अक्ष के समानांतर होती है, एक अण्डाकार परवलयिक बिंदु (0, 0, -4) पर एक शीर्ष के साथ और एक समन्वय विमान у। आइए हम ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग करके वॉल्यूम की गणना करें, जिसमें, शरीर के रूप को देखते हुए, सिलेक्स 2 + y 2 - 4 निर्देशांक पर जाना समीचीन है: V = [[[ dxdydz = |Г dxdy [ dz =

7 पी / 4 - 2 एल / 2 डब्ल्यू एफ आर 2 - 4

| डीएफ | पीडीआर | डीजेड = 4 | bsh2 2fdf = n.

समस्या 9. सतहों से घिरे शरीर की मात्रा की गणना करें y = 17^2 x, y = 2^2 x, x + r = 12,

समाधान। इन समीकरणों का विश्लेषण करते समय, छात्रों को यह समझना चाहिए कि अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी शरीर पर विचार किया जा रहा है, इसलिए समीकरण एक विमान पर परवलय के लिए नहीं, बल्कि परवलयिक सिलेंडर के लिए दिए गए हैं (चित्र 5)।

1/2 17 डीजी 1/2- x 12

वी = | डीएक्स | डाई | dz = 15 |(1/2 - x2 xdx = 1.

स्वतंत्र शोध कार्य के कार्यों के रूप में, छात्रों को निम्नलिखित अधिक जटिल कार्यों की पेशकश की जा सकती है:

समस्या 10. सतहों y + r = 0, x2 - y + r2 = 0 से घिरे किसी पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

Y2 + (आर - आर)2< R2.

समस्या 11. 2 2 + xz k द्वारा प्राप्त रेखा b के अनुदिश सतहों से घिरे एक पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए

पहले अष्टक में निर्देशांक विमानों के साथ परवलयिक r = 1 - x2 - y2 का प्रतिच्छेदन।

समाधान। लाइन बी में तीन खंड एबी, बीसी, सीए होते हैं। इसलिए, दिए गए सदिश क्षेत्र का संचलन

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

ओ=| xy dx + yzdy + xzdz == +| +| .

एल एबी बीसी सीए

खंड AB पर: r = 0, x2 + y2 =1; हम इस वृत्त के समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में लिखते हैं:

x = cos t, y = sin t, z = 0, 0< t < 2 п, следовательно,

जे एफ डॉ = जे कॉस्टिंट (- सिंट) डीटी = -

प्लॉट बीसी पर: x=0, z=1-y2,1< y < 0, тогда

J F-dr = Jy(l - y2)dy = (y72 - y2/4)|0

सीए सेक्शन पर: y = 0, z = 1 - x2, 0< х < 1, следо-

वीजी - ए 1 / ई एल और। ओ 4,

जे एफ डॉ \u003d -2 Jx2 (1-x2) dx \u003d -2 (x3 / 3 -x75) | ओ \u003d - -।

\u003d - 13 - 14 - 4/15 \u003d - 5160।

उच्च शिक्षा के संघीय राज्य मानक द्वारा कार्यान्वित क्षमता-आधारित दृष्टिकोण शैक्षिक प्रक्रिया के सभी घटकों - सामग्री, शैक्षणिक प्रौद्योगिकियों, नियंत्रण और मूल्यांकन के साधनों पर गंभीर मांग करता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति, उच्च गणित के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक के रूप में, अन्य प्राकृतिक विज्ञान, सामान्य इंजीनियरिंग और विशेष विषयों की नींव के रूप में कार्य करता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति पढ़ाने के प्रभावी तरीकों की खोज, कम कक्षा के घंटों की स्थितियों में आगे की शिक्षा के लिए सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं और विधियों के उच्च स्तर को आत्मसात करना, उच्च गणित के शिक्षक के सबसे महत्वपूर्ण लक्ष्यों में से एक है।

ग्रंथ सूची:

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एक)

समाधान।

निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण क्षण एक चित्र का निर्माण है.

आइए एक चित्र बनाएं:

समीकरण वाई = 0 एक्स-अक्ष सेट करता है;

- एक्स = -2 तथा एक्स = 1 - सीधे, अक्ष के समानांतर कहां;

- वाई \u003d एक्स 2 +2 - एक परवलय जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, एक बिंदु (0; 2) पर एक शीर्ष के साथ।

टिप्पणी।एक परवलय का निर्माण करने के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, अर्थात। डाल एक्स = 0 अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए कहां और संबंधित द्विघात समीकरण को हल करते हुए, अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करें ओह .

एक परवलय का शीर्ष सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

आप रेखाएँ खींच सकते हैं और बिंदु से बिंदु बना सकते हैं।

अंतराल पर [-2;1] फलन का ग्राफ वाई = एक्स 2 +2 स्थित अक्ष के ऊपर बैल , इसीलिए:

उत्तर: एस \u003d 9 वर्ग इकाइयां

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास, उत्तर, कहते हैं: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो, जाहिर है, कहीं न कहीं एक गलती की गई थी - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक प्रश्न में आकृति में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

अगर कर्विलिनियर ट्रेपोजॉइड स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे ओह?

बी)रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए वाई=-ई एक्स , एक्स = 1 और कुल्हाड़ियों का समन्वय करें।

समाधान।

आइए एक ड्राइंग बनाएं।

यदि एक वक्रीय समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे ओह , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

उत्तर: एस = (ई -1) वर्ग इकाई" 1.72 वर्ग इकाई

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

1) यदि आपको बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकल को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह ऋणात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक निश्चित समाकल का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है! यही कारण है कि माइनस अभी विचार किए गए फॉर्मूले में दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे विमानों दोनों में स्थित होता है।

साथ)रेखाओं द्वारा परिबद्ध समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x।

समाधान।

सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की जरूरत है। सामान्यतया, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। यह दो तरह से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है।

हम समीकरण हल करते हैं:

तो एकीकरण की निचली सीमा ए = 0 , एकीकरण की ऊपरी सीमा ख = 3 .

हम दी गई रेखाओं का निर्माण करते हैं: 1. परवलय - बिंदु पर शीर्ष (1;1); अक्ष चौराहा ओह -अंक (0;0) और (0;2)। 2. सीधी रेखा - दूसरे और चौथे समन्वय कोणों का द्विभाजक। और अब ध्यान! यदि अंतराल पर [ ए;बी] कुछ निरंतर कार्य एफ (एक्स)किसी सतत फलन से बड़ा या उसके बराबर जी (एक्स), तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: .

और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आंकड़ा कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन यह महत्वपूर्ण है कि कौन सा चार्ट उच्च है (दूसरे चार्ट के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है। विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

बिंदु-दर-बिंदु रेखाओं का निर्माण संभव है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जाती है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)।

वांछित आंकड़ा ऊपर से एक परवलय और नीचे से एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।

खंड पर, संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: एस \u003d 4.5 वर्ग इकाइयाँ

एक आकृति के क्षेत्र की गणनायह शायद क्षेत्र सिद्धांत की सबसे कठिन समस्याओं में से एक है। स्कूल ज्यामिति में, उन्हें बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों को खोजने के लिए सिखाया जाता है जैसे, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज, एक समचतुर्भुज, एक आयत, एक समलम्ब, एक वृत्त, आदि। हालांकि, किसी को अक्सर अधिक जटिल आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना से निपटना पड़ता है। ऐसी समस्याओं को हल करने में ही समाकलन कलन का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है।

परिभाषा।

वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजकुछ आकृति G को y = f(x), y = 0, x = a और x = b रेखाओं से घिरा हुआ कहा जाता है, और फलन f(x) खंड [a; b] और उस पर अपना चिन्ह नहीं बदलता (चित्र एक)।एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल S(G) द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

फलन f(x) के लिए निश्चित समाकल ʃ a b f(x)dx, जो खंड [a; बी], और इसी वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्र है।

अर्थात्, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a और x \u003d b द्वारा बंधी हुई आकृति G के क्षेत्र को खोजने के लिए, गणना करना आवश्यक है निश्चित समाकल a b f (x) dx.

इस तरह, एस (जी) = ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।

यदि फलन y = f(x) [a; पर धनात्मक नहीं है; बी], फिर वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है एस (जी) = -ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।

उदाहरण 1

y \u003d x 3 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 1; एक्स = 2.

समाधान।

दी गई रेखाएं आकृति ABC बनाती हैं, जिसे हैचिंग करके दिखाया गया है चावल। 2.

वांछित क्षेत्र वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज DACE और वर्ग DABE के क्षेत्रों के बीच के अंतर के बराबर है।

सूत्र S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) का प्रयोग करके हम समाकलन की सीमाएँ ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते हैं:

(वाई \u003d एक्स 3,
(वाई = 1.

इस प्रकार, हमारे पास x 1 \u003d 1 - निचली सीमा और x \u003d 2 - ऊपरी सीमा है।

तो, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (वर्ग इकाइयाँ)।

उत्तर: 11/4 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 2

y \u003d √x रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें; वाई = 2; एक्स = 9.

समाधान।

दी गई रेखाएं आकृति ABC बनाती हैं, जो ऊपर से फलन के ग्राफ द्वारा परिबद्ध है

y \u003d √x, और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे से y \u003d 2. परिणामी आकृति को हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। 3.

वांछित क्षेत्र S = a b (√x - 2) के बराबर है। आइए एकीकरण की सीमाएँ ज्ञात करें: b = 9, a खोजने के लिए, हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

(वाई = x,
(वाई = 2.

इस प्रकार, हमारे पास x = 4 = a निचली सीमा है।

तो, एस = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (वर्ग इकाइयाँ)।

उत्तर: एस = 2 2/3 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 3

y \u003d x 3 - 4x की रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 0; एक्स 0.

समाधान।

आइए फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 4x x 0 के लिए प्लॉट करें। ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न y ' पाते हैं:

y' = 3x 2 - 4, y' = 0 पर = ±2/√3 ≈ 1.1 क्रांतिक बिंदु हैं।

यदि हम वास्तविक अक्ष पर क्रांतिक बिंदु खींचते हैं और अवकलज के चिह्न लगाते हैं, तो हम पाते हैं कि फलन शून्य से घटकर 2/√3 हो जाता है और 2/√3 से धन अनंत तक बढ़ जाता है। तब x = 2/√3 न्यूनतम बिंदु है, फलन y का न्यूनतम मान न्यूनतम = -16/(3√3) ≈ -3 है।

आइए निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें:

यदि x \u003d 0, तो y \u003d 0, जिसका अर्थ है कि A (0; 0) ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है;

यदि y \u003d 0, तो x 3 - 4x \u003d 0 या x (x 2 - 4) \u003d 0, या x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, जहां से x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (उपयुक्त नहीं, क्योंकि x 0)।

अंक A(0; 0) और B(2; 0) ऑक्‍स अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

दी गई रेखाएँ OAB आकृति बनाती हैं, जिसे हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। चार।

चूंकि फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 4x (0; 2) पर ऋणात्मक मान लेता है, तब

एस = |ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx|।

हमारे पास है: 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2/2)| 0 2 \u003d -4, जहां से एस \u003d 4 वर्ग मीटर। इकाइयों

उत्तर: एस = 4 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 4

परवलय y \u003d 2x 2 - 2x + 1, सीधी रेखाएँ x \u003d 0, y \u003d 0 और इस परवलय की स्पर्शरेखा द्वारा बिंदु पर भुज x 0 \u003d के साथ परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 2.

समाधान।

सबसे पहले, हम परवलय y \u003d 2x 2 - 2x + 1 के स्पर्शरेखा के समीकरण को भुज x₀ \u003d 2 के साथ बिंदु पर बनाते हैं।

चूँकि अवकलज y' = 4x - 2 है, तो x 0 = 2 के लिए हमें k = y'(2) = 6 प्राप्त होता है।

स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5।

इसलिए, स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: y - 5 \u003d 6 (x - 2) या y \u003d 6x - 7।

आइए रेखाओं से घिरी एक आकृति बनाएं:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - परवलय। समन्वय अक्षों के साथ चौराहे के बिंदु: ए(0; 1) - ओए अक्ष के साथ; ऑक्स अक्ष के साथ - कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, क्योंकि समीकरण 2x 2 - 2x + 1 = 0 का कोई हल नहीं है (D .)< 0). Найдем вершину параболы:

एक्स बी \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, यानी परवलय बिंदु B के शीर्ष में निर्देशांक B (1/2; 1/2) है।

अत: जिस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, उसे हैचिंग द्वारा दर्शाया गया है चावल। 5.

हमारे पास है: एस ओ ए बी डी \u003d एस ओएबीसी - एस एडीबीसी।

शर्त से बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

6x - 7 = 0, अर्थात्। x \u003d 7/6, फिर DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6।

हम सूत्र S ADBC = 1/2 · DC · BC का उपयोग करके त्रिभुज DBC का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इस तरह,

एस एडीबीसी = 1/2 5/6 5 = 25/12 वर्ग। इकाइयों

एस ओएबीसी = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (वर्ग इकाइयाँ)।

अंत में हमें मिलता है: एस ओ ए बी डी \u003d एस ओएबीसी - एस एडीबीसी \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (वर्ग इकाइयाँ)।

उत्तर: एस = 1 1/4 वर्ग। इकाइयों

हमने उदाहरणों की समीक्षा की है दी गई रेखाओं से घिरी हुई आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करना. ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको एक समतल पर कार्यों की रेखाएँ और ग्राफ़ बनाने, रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजने, क्षेत्र को खोजने के लिए एक सूत्र लागू करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कुछ इंटीग्रल की गणना करने की क्षमता और कौशल।

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