बरनौली सूत्र- संभाव्यता सिद्धांत में एक सूत्र जो आपको किसी घटना के होने की संभावना का पता लगाने की अनुमति देता है ए (\displaystyle ए)स्वतंत्र परीक्षणों में। बर्नौली सूत्र आपको बड़ी संख्या में गणनाओं से छुटकारा पाने की अनुमति देता है - संभावनाओं का जोड़ और गुणा - पर्याप्त बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ। उत्कृष्ट स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली के नाम पर, जिन्होंने इस सूत्र को प्राप्त किया।

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✪ संभाव्यता सिद्धांत। 22. बरनौली सूत्र। समस्या को सुलझाना

✪ बर्नौली सूत्र

✪ 20 दोहराएँ परीक्षण Bernoulli सूत्र

उपशीर्षक

शब्दों

प्रमेय।यदि संभावना पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी)आयोजन ए (\displaystyle ए)प्रत्येक परीक्षण में स्थिर है, तो प्रायिकता पी के , एन (\displaystyle P_(k,n))वह घटना ए (\displaystyle ए)बिल्कुल आता है के (\डिस्प्लेस्टाइल के)एक बार एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)स्वतंत्र परीक्षण इसके बराबर है: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), कहाँ क्यू = 1 − पी (\displaystyle q=1-p).

सबूत

इसे आयोजित होने दो एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)स्वतंत्र परीक्षण, और यह ज्ञात है कि प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप एक घटना होती है ए (\displaystyle ए)संभावना के साथ आता है पी (ए) = पी (\displaystyle P\left(A\right)=p)और इसलिए संभाव्यता के साथ नहीं होता है P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). चलो, संभाव्यता परीक्षणों के दौरान भी पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी)और क्यू (\डिस्प्लेस्टाइल क्यू)अपरिवर्तित ही रहेंगे। क्या संभावना है कि एक परिणाम के रूप में एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)स्वतंत्र परीक्षण, घटना ए (\displaystyle ए)बिल्कुल आता है के (\डिस्प्लेस्टाइल के)एक बार?

यह पता चला है कि परीक्षण परिणामों के "सफल" संयोजनों की संख्या की सटीक गणना करना संभव है जिसके लिए घटना ए (\displaystyle ए)है आता है के (\डिस्प्लेस्टाइल के)एक बार एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)स्वतंत्र परीक्षण, बिल्कुल संख्या संयोजन  का है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)द्वारा के (\डिस्प्लेस्टाइल के) :

सी एन (के) = एन! क! (एन - के) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

साथ ही, चूंकि सभी परीक्षण स्वतंत्र हैं और उनके परिणाम असंगत हैं (event ए (\displaystyle ए)या तो होता है या नहीं), तो "सफल" संयोजन प्राप्त करने की संभावना बिल्कुल है:।

अंत में, संभावना खोजने के लिए कि एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)स्वतंत्र परीक्षण घटना ए (\displaystyle ए)बिल्कुल आता है के (\डिस्प्लेस्टाइल के)बार, आपको सभी "सफल" संयोजनों को प्राप्त करने की संभावनाओं को जोड़ना होगा। सभी "सफल" संयोजन प्राप्त करने की संभावनाएं समान और समान हैं p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), "सफल" संयोजनों की संख्या है सी एन (के) (\displaystyle C_(n)(k)), तो हम अंत में प्राप्त करते हैं:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( के)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

अंतिम अभिव्यक्ति कुछ और नहीं बल्कि बर्नौली सूत्र है। यह नोट करना भी उपयोगी है कि, घटनाओं के समूह की पूर्णता के कारण, यह सत्य होगा:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).

संभाव्यता के सिद्धांत के व्यावहारिक अनुप्रयोग में, अक्सर समस्याओं का सामना करना पड़ता है जिसमें एक ही प्रयोग या समान प्रयोग एक से अधिक बार दोहराए जाते हैं। प्रत्येक अनुभव के परिणामस्वरूप, कोई घटना प्रकट हो भी सकती है और नहीं भी। ए, और हम प्रत्येक व्यक्तिगत प्रयोग के परिणाम में रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन कुल दिखावेआयोजन एप्रयोगों की एक श्रृंखला के परिणामस्वरूप। उदाहरण के लिए, यदि शॉट्स के एक समूह को एक ही लक्ष्य पर निकाल दिया जाता है, तो हम प्रत्येक शॉट के परिणाम में रुचि नहीं रखते हैं, बल्कि हिट की कुल संख्या में रुचि रखते हैं। यदि प्रयोग हों तो ऐसी समस्याएं काफी सरलता से हल हो जाती हैं स्वतंत्र.

परिभाषा. परीक्षण जो घटना ए से स्वतंत्र हैं वे हैं जिनमें प्रत्येक परीक्षण में घटना ए की संभावना अन्य परीक्षणों के परिणामों से स्वतंत्र है।

उदाहरण।डेक से एक कार्ड के कई क्रमिक चित्र स्वतंत्र प्रयोग हैं, बशर्ते कि निकाला गया कार्ड हर बार डेक पर वापस आ जाए और कार्डों को फेंटा जाए; अन्यथा, वे निर्भर अनुभव हैं।

उदाहरण. कई शॉट केवल स्वतंत्र प्रयोग होते हैं यदि प्रत्येक शॉट से पहले फिर से निशाना लगाया जाता है; इस मामले में जब पूरी फायरिंग से पहले एक बार निशाना लगाया जाता है या फायरिंग के दौरान लगातार किया जाता है (एक विस्फोट में फायरिंग, एक श्रृंखला में बमबारी), शॉट्स निर्भर प्रयोग हैं।

स्वतंत्र परीक्षण समान या भिन्न परिस्थितियों में किए जा सकते हैं। पहले मामले में, घटना की संभावना एसभी प्रयोगों में समान, दूसरे मामले में घटना की संभावना एअनुभव से अनुभव में भिन्न होता है। पहला मामला विश्वसनीयता सिद्धांत, शूटिंग सिद्धांत की कई समस्याओं से जुड़ा है और तथाकथित की ओर जाता है बरनौली योजना, जो इस प्रकार है:

1) अनुक्रम किया जाता है एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना एप्रकट हो भी सकता है और नहीं भी;

2) किसी घटना के घटित होने की संभावना एप्रत्येक परीक्षण में स्थिर और बराबर है, साथ ही साथ इसके न होने की संभावना भी है .

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए बरनौली का सूत्र ए केएक बार एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना एसंभावना के साथ प्रकट होता है पी:

. (1)

टिप्पणी 1. बढ़ते हुए एनऔर कबर्नौली सूत्र का अनुप्रयोग कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ा है, इसलिए सूत्र (1) का उपयोग मुख्य रूप से किया जाता है यदि क 5 से अधिक नहीं है और एनमहान नहीं।

टिप्पणी 2।इस तथ्य के कारण कि रूप में संभावनाएँ द्विपद विस्तार के सदस्य हैं, प्रपत्र (1) का संभाव्यता वितरण कहा जाता है द्विपदवितरण।

उदाहरण. लक्ष्य को एक शॉट से मारने की संभावना 0.8 है। छह शॉट के साथ पांच हिट की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।के बाद से , इसके अलावा और। बर्नौली सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण. अलग-अलग दूरियों से एक ही लक्ष्य पर चार स्वतंत्र शॉट दागे जाते हैं। इन शॉट्स के लिए हिट संभावनाएं क्रमशः हैं:

कोई नहीं, एक, दो, तीन और चार हिट की संभावनाएं खोजें:

समाधान।हम जनरेटिंग फ़ंक्शन बनाते हैं:

उदाहरण. 0.2 की हिट संभावना के साथ एक लक्ष्य पर पांच स्वतंत्र शॉट दागे जाते हैं। लक्ष्य को नष्ट करने के लिए तीन हिट पर्याप्त हैं। लक्ष्य के नष्ट हो जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।लक्ष्य के विनाश की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण. लक्ष्य पर दस स्वतंत्र शॉट दागे जाते हैं, इसे एक शॉट से मारने की संभावना 0.1 है। लक्ष्य को भेदने के लिए एक वार ही काफी है। लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।कम से कम एक हिट की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

3. स्थानीय मोइवर-लाप्लास प्रमेय

अनुप्रयोगों में, घटना की घटनाओं की संख्या से संबंधित विभिन्न घटनाओं की संभावनाओं की गणना करना अक्सर आवश्यक होता है एनबड़े मूल्यों पर बर्नौली योजना का परीक्षण एन. इस स्थिति में, सूत्र (1) द्वारा परिकलन करना कठिन हो जाता है। मुश्किलें तब बढ़ जाती हैं जब इन संभावनाओं को जोड़ना होता है। गणना में कठिनाइयाँ छोटे मूल्यों के लिए भी उत्पन्न होती हैं पीया क्यू.

लाप्लास ने किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता के लिए एक महत्वपूर्ण सन्निकट सूत्र प्राप्त किया एबिल्कुल एमबार, यदि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या है, अर्थात जब .

स्थानीय डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय. यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और शून्य और एक से भिन्न है, , मान समान रूप से m और n में बंधा हुआ है, तो n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के ठीक m बार होने की संभावना लगभग बराबर है

मान लीजिए कि घटना A के संबंध में n परीक्षण किए गए हैं। आइए निम्नलिखित घटनाओं का परिचय दें: Аk -- घटना А को k-वें परीक्षण के दौरान महसूस किया गया था, $ k=1,2,\dots , n$। तब $\bar(A)_(k) $ विपरीत घटना है (घटना A k-वें परीक्षण के दौरान घटित नहीं हुई, $k=1,2,\dots , n$)।

सहकर्मी और स्वतंत्र परीक्षण क्या हैं

परिभाषा

घटना ए के संबंध में परीक्षण उसी प्रकार के कहलाते हैं यदि घटनाओं की संभावनाएं $A1, A2, \dots , An$ समान हैं: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (यानी, एक परीक्षण में घटना ए की घटना की संभावना सभी परीक्षणों में स्थिर है)।

जाहिर है, इस मामले में, विपरीत घटनाओं की संभावनाएं भी मेल खाती हैं: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( ए) _(एन))$।

परिभाषा

घटना A के संबंध में परीक्षणों को स्वतंत्र कहा जाता है यदि घटनाएँ $A1, A2, \dots , An$ स्वतंत्र हैं।

इस मामले में

इस मामले में, समानता तब बनी रहती है जब किसी घटना Ak को $\bar(A)_(k) $ से बदल दिया जाता है।

घटना ए के संबंध में एन समान स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला आयोजित की जाने दें। हम अंकन करते हैं: पी - एक परीक्षण में घटना ए की संभावना; क्यू विपरीत घटना की संभावना है। इस प्रकार P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ किसी भी k और p+q=1 के लिए।

संभावना है कि n परीक्षणों की एक श्रृंखला में घटना A ठीक k बार घटित होगी (0 ≤ k ≤ n) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

समानता (1) को बर्नौली सूत्र कहा जाता है।

संभावना है कि एक ही प्रकार की घटना ए के n स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में कम से कम k1 बार और अधिकतम k2 बार सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(के) क्यू^(एन-के) $ (2)

एन के बड़े मूल्यों के लिए बर्नौली सूत्र का उपयोग बोझिल गणनाओं की ओर जाता है, इसलिए इन मामलों में अन्य सूत्रों का उपयोग करना बेहतर होता है - स्पर्शोन्मुख वाले।

बर्नौली योजना का सामान्यीकरण

बरनौली योजना के सामान्यीकरण पर विचार करें। यदि n स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में, जिनमें से प्रत्येक में m जोड़ीदार असंगत और संभावित परिणाम ak संगत संभावनाओं के साथ Рk= рk(Аk) है। तब बहुपद वितरण सूत्र मान्य है:

उदाहरण 1

महामारी के दौरान फ्लू होने की संभावना 0.4 है। कंपनी के 6 कर्मचारियों में से बीमार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

1. बिल्कुल 4 कर्मचारी;
2. 4 से अधिक कर्मचारी नहीं।

समाधान। 1) जाहिर है, इस समस्या को हल करने के लिए, बरनौली सूत्र लागू होता है, जहाँ n=6; के = 4; पी = 0.4; क्यू=1-पी=0.6। सूत्र (1) लागू करने पर, हमें मिलता है: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \लगभग 0.138$।

इस समस्या को हल करने के लिए सूत्र (2) लागू है, जहाँ k1=0 और k2=4 है। अपने पास:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( क) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \\ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ लगभग 0.959.) \end(सरणी)\]

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विपरीत घटना का उपयोग करके इस कार्य को हल करना आसान है - 4 से अधिक कर्मचारी बीमार पड़ गए। फिर, विपरीत घटनाओं की संभावनाओं पर सूत्र (7) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर: $\ $0.959।

उदाहरण 2

एक कलश में 20 सफेद और 10 काली गेंदें हैं। 4 गेंदें निकाली जाती हैं, और निकाली गई प्रत्येक गेंद को कलश में लौटा दिया जाता है, इससे पहले कि अगली गेंद निकाली जाती है और कलश में गेंदों को मिलाया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चित्र 1 में निकाली गई चार गेंदों में से 2 सफेद गेंदें होंगी।

चित्र 1।

समाधान। माना घटना A यह है कि -- एक सफेद गेंद निकाली जाती है। फिर संभावनाएं $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $।

बर्नौली सूत्र के अनुसार आवश्यक प्रायिकता $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \बाएं(\frac(2)(3) \दाएं)^(2) \बाएं(\frac) है (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

उत्तर: $\frac(8)(27) $।

उदाहरण 3

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 5 बच्चों वाले परिवार में 3 से अधिक लड़कियां नहीं होंगी। लड़का और लड़की होने की संभावनाएं समान मानी जाती हैं।

समाधान। लड़की होने की संभावना $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $- लड़का होने की संभावना। एक परिवार में तीन से अधिक लड़कियां नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि या तो एक, या दो, या तीन लड़कियां पैदा हुई हैं, या परिवार में सभी लड़के हैं।

संभावना खोजें कि परिवार में कोई लड़की नहीं है, एक, दो या तीन लड़कियों का जन्म हुआ: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

इसलिए, आवश्यक संभावना है $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

उत्तर: $\frac(13)(16)$।

उदाहरण 4

एक शॉट वाला पहला शूटर 0.6 की संभावना के साथ शीर्ष दस में, 0.3 की संभावना के साथ नौ और 0.1 की संभावना के साथ आठ हिट कर सकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि 10 शॉट्स के साथ, वह दस छह बार, नौ तीन बार और आठ आठ बार मारेगा?

बर्नौली योजना के अनुसार n प्रयोग सफलता p की संभावना के साथ किए जाते हैं। बता दें कि X सफलताओं की संख्या है। यादृच्छिक चर X की सीमा (0,1,2,...,n) है। इन मूल्यों की संभावनाएं सूत्र द्वारा पाई जा सकती हैं: जहां सी एम एन एन से एम तक संयोजनों की संख्या है।
वितरण श्रृंखला का रूप है:

एक्स	0	1	...	एम	एन
पी	(1-पी) एन	एनपी (1-पी) एन-1	...	सी एम एन पी एम (1-पी) एन-एम	पी एन

इस वितरण नियम को द्विपद कहते हैं।

सेवा कार्य. प्लॉट करने के लिए एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग किया जाता है द्विपद वितरण श्रृंखलाऔर श्रृंखला की सभी विशेषताओं की गणना: गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन। निर्णय के साथ एक रिपोर्ट वर्ड फॉर्मेट (उदाहरण) में तैयार की जाती है।

परीक्षणों की संख्या:एन = , संभावना पी =
एक छोटी संभावना पी और बड़ी संख्या में एन (एनपी पॉइसन फॉर्मूला।

वीडियो निर्देश

बरनौली परीक्षण योजना

द्विपद नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं

यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, द्विपद नियम के अनुसार वितरित।
एम [एक्स] = एनपी

एक यादृच्छिक चर एक्स का फैलाव, द्विपद कानून के अनुसार वितरित।
डी [एक्स] = एनपीक्यू

उदाहरण 1। उत्पाद प्रायिकता p = 0.3 प्रत्येक के साथ दोषपूर्ण हो सकता है। एक बैच से तीन आइटम चुने जाते हैं। एक्स चयनित भागों में से दोषपूर्ण भागों की संख्या है। खोजें (दशमलव अंशों के रूप में सभी उत्तर दर्ज करें): ए) वितरण श्रृंखला एक्स; बी) वितरण समारोह एफ(एक्स) ।
समाधान. रैंडम वेरिएबल X की रेंज (0,1,2,3) है।
आइए वितरण श्रृंखला एक्स खोजें।
पी 3 (0) = (1-पी) एन = (1-0.3) 3 = 0.34
पी 3 (1) = एनपी (1-पी) एन-1 = 3 (1-0.3) 3-1 = 0.44

पी 3 (3) = पी एन = 0.3 3 = 0.027

एक्स मैं	0	1	2	3
अनुकरणीय	0.34	0.44	0.19	0.027

गणितीय अपेक्षा सूत्र M[X]= np = 3*0.3 = 0.9 द्वारा पाई जाती है
इंतिहान:एम = ∑ एक्स मैं पी मैं।
गणितीय अपेक्षा एम [एक्स].
एम[एक्स] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9
फैलाव सूत्र द्वारा पाया जाता है D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
इंतिहान:डी = ∑x 2 आई पी आई - एम [एक्स] 2।
फैलाव डी [एक्स].
डी[एक्स] = 0 2 *0.34 + 1 2 *0.44 + 2 2 *0.19 + 3 2 *0.027 - 0.9 2 = 0.63
मानक विचलन σ(x).

वितरण समारोह एफ (एक्स).
एफ(xF(0F(1F(2F(x>3)) = 1

1. एक परीक्षण में होने वाली घटना की प्रायिकता 0.6 है। 5 टेस्ट किए गए हैं। एक यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम की रचना करें - किसी घटना की घटनाओं की संख्या।
2. यदि एक शॉट के साथ लक्ष्य को हिट करने की संभावना 0.8 है, तो चार शॉट्स के साथ हिट की संख्या के यादृच्छिक चर एक्स के वितरण के कानून की रचना करें।
3. एक सिक्का 7 बार उछाला जाता है। हथियारों के कोट के दिखावे की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का पता लगाएं। नोट: यहां हथियारों के कोट के दिखने की संभावना p = 1/2 है (क्योंकि सिक्के के दो पहलू हैं)।

उदाहरण #2। एकल परीक्षण में घटित होने वाली घटना की प्रायिकता 0.6 है। बर्नौली के प्रमेय को लागू करते हुए, स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या निर्धारित करें, जिसमें से किसी घटना की आवृत्ति के पूर्ण मूल्य में इसकी संभावना से विचलन की संभावना 0.1 से कम है, 0.97 से अधिक है। (उत्तर: 801)

उदाहरण #3। छात्र कंप्यूटर विज्ञान वर्ग में परीक्षण करते हैं। कार्य में तीन कार्य होते हैं। एक अच्छा ग्रेड प्राप्त करने के लिए, आपको कम से कम दो समस्याओं के सही उत्तर खोजने होंगे। प्रत्येक समस्या के 5 उत्तर हैं, जिनमें से केवल एक ही सही है। छात्र यादृच्छिक रूप से एक उत्तर चुनता है। क्या संभावना है कि उसे एक अच्छा ग्रेड मिलेगा?
समाधान. प्रश्न का सही उत्तर देने की प्रायिकता: p=1/5=0.2; एन = 3।
ये डेटा कैलकुलेटर में दर्ज किया जाना चाहिए। उत्तर के लिए P(2)+P(3) देखें।

उदाहरण #4। शूटर द्वारा एक शॉट से निशाना साधने की प्रायिकता (m+n)/(m+n+2) है। n + 4 शॉट दागे जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह दो बार से अधिक नहीं चूकेगा।

टिप्पणी. संभावना है कि वह दो बार से अधिक नहीं चूकेगा, इसमें निम्नलिखित घटनाएं शामिल हैं: कभी भी P(4) नहीं चूकता, एक बार P(3) चूकता है, दो बार P(2) चूकता है।

उदाहरण संख्या 5। यदि 4 वायुयान उड़ते हैं तो असफल वायुयानों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। विमान के गैर-विफलता संचालन की संभावना Р=0.99। प्रत्येक सॉर्टी में विफल होने वाले विमानों की संख्या को द्विपद नियम के अनुसार वितरित किया जाता है।

यदि कई परीक्षण किए जाते हैं, और प्रत्येक परीक्षण में घटना A की प्रायिकता अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है, तो ऐसे परीक्षण कहलाते हैं घटना ए के संबंध में स्वतंत्र .

अलग-अलग स्वतंत्र परीक्षणों में, घटना A की या तो भिन्न संभावनाएँ हो सकती हैं या समान संभावना हो सकती है। आगे हम केवल ऐसे स्वतंत्र परीक्षणों पर विचार करेंगे जिनमें घटना A की समान संभावना हो।

नीचे हम अवधारणा का उपयोग करते हैं जटिल घटनाओं, इसके द्वारा समझ कई अलग-अलग घटनाओं का संयोजन, जिन्हें कहा जाता है सरल .

इसे उत्पादित किया जाए एन स्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक घटना में A घटित हो भी सकता है और नहीं भी। आइए मान लें कि प्रत्येक परीक्षण में घटना ए की संभावना समान है, अर्थात् यह बराबर है आर . इसलिए, प्रत्येक परीक्षण में घटना ए के न होने की संभावना भी स्थिर और बराबर है क्यू = 1 - पी .

आइए हम खुद को संभावना की गणना करने का कार्य निर्धारित करें एनपरीक्षण, घटना ए बिल्कुल घटित होगी क बार और, इसलिए, महसूस नहीं किया जाएगा एन-के एक बार। इस बात पर जोर देना महत्वपूर्ण है कि यह आवश्यक नहीं है कि घटना A ठीक-ठीक दोहराई जाए क कई बार एक निश्चित क्रम में।

उदाहरण के लिए, यदि हम किसी घटना के घटित होने की बात कर रहे हैं एचार परीक्षणों में तीन बार, निम्नलिखित जटिल घटनाएँ संभव हैं: एएए, एएए, एएए, एएए. रिकॉर्डिंग एएएइसका मतलब है कि पहले, दूसरे और तीसरे ट्रायल में इवेंट एआई, लेकिन चौथे टेस्ट में नहीं आई, यानी विपरीत हुआ ए;अन्य प्रविष्टियों का एक समान अर्थ है।

वांछित संभावना को निरूपित करें आर पी (के) . उदाहरण के लिए, प्रतीक आर 5 (3) इसका मतलब है कि संभावना है कि पांच परीक्षणों में घटना ठीक 3 बार घटित होगी और इसलिए, 2 बार घटित नहीं होगी।

तथाकथित बर्नौली सूत्र का उपयोग करके समस्या को हल किया जा सकता है।

बरनौली सूत्र की व्युत्पत्ति. एक यौगिक घटना की संभावना इस तथ्य में शामिल है कि में पी परीक्षण घटना एआएगा क एक बार और नहीं आएगा एन - के बार, स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के बराबर है पी के क्यू एन - के . ऐसी अनेक जटिल घटनाएँ हो सकती हैं, जिनके संयोजन हों पी तत्वों द्वारा क तत्व, अर्थात् सी एन के .

इन जटिल घटनाओं के बाद से असंगत, वह असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के प्रमेय के अनुसार वांछित संभावना सभी संभावित जटिल घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है. चूंकि इन सभी जटिल घटनाओं की संभावनाएं समान हैं, वांछित संभावना (घटना की क घटना के समय ए वी पी परीक्षण) एक जटिल घटना की संभावना के बराबर है, उनकी संख्या से गुणा:

परिणामी सूत्र कहा जाता है बरनौली सूत्र .

उदाहरण 1. संभावना है कि एक दिन के दौरान बिजली की खपत स्थापित मानदंड से अधिक नहीं होगी पी = 0.75 . प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले 6 दिनों में 4 दिनों तक बिजली की खपत मानक से अधिक नहीं होगी।

समाधान. 6 दिनों में से प्रत्येक के दौरान बिजली की सामान्य खपत की संभावना स्थिर और बराबर है पी = 0.75 . इसलिए, हर दिन बिजली के अधिक व्यय की संभावना भी स्थिर और बराबर है क्यू \u003d 1 - पी \u003d 1 - 0.75 \u003d 0.25।

बर्नौली सूत्र के अनुसार वांछित संभाव्यता इसके बराबर है: