निर्माण कार्यों में हम एक ज्यामितीय आकृति के निर्माण पर विचार करेंगे, जो एक रूलर और कम्पास का उपयोग करके किया जा सकता है।

एक रूलर का उपयोग करके आप यह कर सकते हैं:

मनमानी सीधी रेखा;

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा;

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा।

कम्पास का उपयोग करके, आप किसी दिए गए केंद्र से दिए गए त्रिज्या के एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं।

कम्पास का उपयोग करके आप किसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा पर एक खंड खींच सकते हैं।

आइए मुख्य निर्माण कार्यों पर विचार करें।

कार्य 1।दी गई भुजाओं a, b, c से एक त्रिभुज की रचना कीजिए (चित्र 1)।

समाधान। एक रूलर का उपयोग करके, एक मनमाना सीधी रेखा खींचें और उस पर एक मनमाना बिंदु B लें। a के बराबर एक कम्पास छेद का उपयोग करके, हम केंद्र B और त्रिज्या a के साथ एक वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लीजिए C रेखा के साथ इसका प्रतिच्छेदन बिंदु है। सी के बराबर एक कंपास उद्घाटन के साथ, हम केंद्र बी से एक वृत्त का वर्णन करते हैं, और बी के बराबर एक कंपास उद्घाटन के साथ, हम केंद्र सी से एक वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लीजिए कि ए इन वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिभुज ABC की भुजाएँ a, b, c के बराबर हैं।

टिप्पणी। तीन सीधे खंडों को एक त्रिभुज की भुजाओं के रूप में कार्य करने के लिए, यह आवश्यक है कि उनमें से सबसे बड़ा खंड अन्य दो के योग से कम हो (और< b + с).

कार्य 2.

समाधान। शीर्ष A और किरण OM के साथ यह कोण चित्र 2 में दिखाया गया है।

आइए हम एक मनमाना वृत्त बनाएं जिसका केंद्र दिए गए कोण के शीर्ष A पर हो। मान लीजिए B और C कोण की भुजाओं के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (चित्र 3, a)। त्रिज्या AB से हम एक वृत्त खींचते हैं जिसका केंद्र बिंदु O पर है - इस किरण का प्रारंभिक बिंदु (चित्र 3, बी)। आइए हम इस किरण के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को C 1 के रूप में निरूपित करें। आइए केंद्र C1 और त्रिज्या BC वाले एक वृत्त का वर्णन करें। दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन का बिंदु B 1 वांछित कोण के किनारे पर स्थित है। यह समानता Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिह्न) से अनुसरण करता है।

कार्य 3.इस कोण का समद्विभाजक बनाइए (चित्र 4)।

समाधान। किसी दिए गए कोण के शीर्ष A से, केंद्र की तरह, हम मनमानी त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए B और C कोण की भुजाओं के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। बिंदु B और C से हम समान त्रिज्या वाले वृत्तों का वर्णन करते हैं। मान लीजिए कि D उनका प्रतिच्छेदन बिंदु है, जो A से भिन्न है। किरण AD कोण A को समद्विभाजित करती है। यह समानता ΔABD = ΔACD (त्रिकोणों की समानता के लिए तीसरा मानदंड) से अनुसरण करता है।

कार्य 4.इस खंड पर एक माध्यिका लंब खींचिए (चित्र 5)।

समाधान। एक मनमाना लेकिन समान कंपास उद्घाटन (1/2 एबी से बड़ा) का उपयोग करते हुए, हम बिंदु ए और बी पर केंद्रों के साथ दो चापों का वर्णन करते हैं, जो कुछ बिंदुओं सी और डी पर एक दूसरे को काटेंगे। सीधी रेखा सीडी वांछित लंबवत होगी। वास्तव में, जैसा कि निर्माण से देखा जा सकता है, प्रत्येक बिंदु C और D, A और B से समान दूरी पर है; इसलिए, ये बिंदु खंड AB के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होने चाहिए।

कार्य 5.इस भाग को आधा भाग में बाँट लें। इसे समस्या 4 की तरह ही हल किया जाता है (चित्र 5 देखें)।

कार्य 6.किसी दिए गए बिंदु से होकर, दी गई रेखा पर लंबवत एक रेखा खींचें।

समाधान। दो संभावित मामले हैं:

1) दिया गया बिंदु O दी गई सीधी रेखा a पर स्थित है (चित्र 6)।

बिंदु O से हम मनमानी त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं जो रेखा a को बिंदु A और B पर काटता है। बिंदु A और B से हम समान त्रिज्या वाले वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए कि O 1 उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु है, जो O से भिन्न है। हमें OO 1 ⊥ AB प्राप्त होता है। वास्तव में, बिंदु O और O 1 खंड AB के सिरों से समान दूरी पर हैं और इसलिए, इस खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित हैं।

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किसी भी ड्राइंग को बनाने या किसी हिस्से को संसाधित करने से पहले उसका समतल अंकन करने के लिए, कई ग्राफिक ऑपरेशन - ज्यामितीय निर्माण करना आवश्यक है।

चित्र में. चित्र 2.1 एक सपाट भाग - एक प्लेट दिखाता है। इसकी ड्राइंग बनाने या बाद के निर्माण के लिए स्टील की पट्टी पर एक समोच्च को चिह्नित करने के लिए, इसे निर्माण विमान पर करना आवश्यक है, जिनमें से मुख्य को सूचक तीरों पर लिखे गए नंबरों से क्रमांकित किया जाता है। संख्या में 1 परस्पर लंबवत रेखाओं का निर्माण, जिसे कई स्थानों पर किया जाना चाहिए, संख्या द्वारा इंगित किया जाता है 2 - संख्याओं में, समानांतर रेखाएँ खींचना 3 - इन समानांतर रेखाओं को एक निश्चित त्रिज्या, एक संख्या के चाप के साथ जोड़ना 4 - एक चाप और किसी दिए गए त्रिज्या के एक सीधे चाप का संयुग्मन, जो इस मामले में 10 मिमी है, संख्या 5 - एक निश्चित त्रिज्या के चाप के साथ दो चापों का संयुग्मन।

इन और अन्य ज्यामितीय निर्माणों को करने के परिणामस्वरूप, भाग की रूपरेखा तैयार की जाएगी।

ज्यामितीय निर्माणकिसी समस्या को हल करने की एक विधि है जिसमें उत्तर बिना किसी गणना के रेखांकन द्वारा प्राप्त किया जाता है। निर्माण यथासंभव सावधानी से ड्राइंग (या अंकन) उपकरणों के साथ किया जाता है, क्योंकि समाधान की सटीकता इस पर निर्भर करती है।

समस्या की स्थितियों, साथ ही निर्माणों द्वारा निर्दिष्ट रेखाओं को ठोस पतला बनाया जाता है, और निर्माण के परिणाम ठोस मुख्य होते हैं।

कोई चित्र बनाना या अंकन करना शुरू करते समय, आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि इस मामले में किस ज्यामितीय निर्माण को लागू करने की आवश्यकता है, अर्थात। छवि की ग्राफिक संरचना का विश्लेषण करें।

चावल। 2.1.

छवि की ग्राफिक संरचना का विश्लेषणकिसी ड्राइंग के निष्पादन को अलग-अलग ग्राफ़िक ऑपरेशनों में विभाजित करने की प्रक्रिया को कहा जाता है।

किसी ड्राइंग के निर्माण के लिए आवश्यक संचालन की पहचान करने से यह चुनना आसान हो जाता है कि इसे कैसे निष्पादित किया जाए। उदाहरण के लिए, यदि आपको चित्र में दिखाई गई प्लेट खींचने की आवश्यकता है। 2.1, फिर इसकी छवि के समोच्च का विश्लेषण हमें इस निष्कर्ष पर ले जाता है कि हमें निम्नलिखित ज्यामितीय निर्माणों को लागू करना चाहिए: पांच मामलों में, परस्पर लंबवत केंद्र रेखाएं खींचें (आंकड़ा 1 एक वृत्त में), चार मामलों में समानांतर रेखाएँ (संख्या) खींचें 2 ), दो संकेंद्रित वृत्त (0 50 और 70 मिमी) बनाएं, छह मामलों में एक दिए गए त्रिज्या के चाप के साथ दो समानांतर सीधी रेखाओं के साथी बनाएं (आंकड़ा 3 ), और चार में - एक चाप और 10 मिमी त्रिज्या के एक सीधे चाप का युग्मन (आंकड़ा)। 4 ), चार मामलों में, 5 मिमी त्रिज्या (एक वृत्त में संख्या 5) के चाप के साथ दो चापों की एक जोड़ी बनाएं।

इन निर्माणों को करने के लिए, आपको पाठ्यपुस्तक से इन्हें बनाने के नियमों को याद रखना या दोहराना होगा।

इस मामले में, ड्राइंग को पूरा करने के लिए तर्कसंगत तरीका चुनने की सलाह दी जाती है। किसी समस्या को हल करने का तर्कसंगत तरीका चुनने से काम पर लगने वाला समय कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करते समय, एक अधिक तर्कसंगत तरीका यह है कि इसे पहले त्रिभुज के शीर्षों को निर्धारित किए बिना 60° के कोण के साथ एक क्रॉसबार और एक वर्ग का उपयोग करके बनाया जाए (चित्र 2.2 देखें)। ए, बी). उसी समस्या को हल करने का एक कम तर्कसंगत तरीका त्रिभुज के शीर्षों के प्रारंभिक निर्धारण के साथ एक कंपास और एक क्रॉसबार का उपयोग करना है (चित्र 2.2 देखें)। वी).

खंडों को विभाजित करना और कोण बनाना

समकोण का निर्माण

एक क्रॉसबार और एक वर्ग का उपयोग करके 90° का कोण बनाना तर्कसंगत है (चित्र 2.2)। ऐसा करने के लिए, एक सीधी रेखा खींचना और एक वर्ग का उपयोग करके उस पर लंबवत पुनर्स्थापित करना पर्याप्त है (चित्र 2.2, ए). झुके हुए खंड पर गति करके लंब बनाना तर्कसंगत है (चित्र 2.2, बी) या मोड़ना (चित्र 2.2, वी) वर्ग।

चावल। 2.2.

अधिक एवं न्यून कोणों का निर्माण

120, 30 और 150, 60 और 120, 15 और 165, 75 और 105.45 और 135° के कोण बनाने की तर्कसंगत विधियाँ चित्र में दिखाई गई हैं। 2.3, जो इन कोणों के निर्माण के लिए वर्गों की स्थिति को दर्शाता है।

चावल। 2.3.

एक कोण को दो बराबर भागों में बाँटना

कोने के शीर्ष से, मनमानी त्रिज्या के एक वृत्त के चाप का वर्णन करें (चित्र 2.4)।

चावल। 2.4.

बिंदुओं से ΜηΝ आधे चाप से बड़े कम्पास समाधान के साथ एक कोण की भुजाओं के साथ एक चाप का प्रतिच्छेदन ΜΝ, एक बिंदु पर दो प्रतिच्छेद करें एसेरिफ़.

प्राप्त बिंदु के माध्यम से एऔर कोण के शीर्ष पर एक सीधी रेखा (कोण का समद्विभाजक) खींचें।

एक समकोण को तीन बराबर भागों में बाँटना

समकोण के शीर्ष से, मनमानी त्रिज्या वाले एक वृत्त के चाप का वर्णन करें (चित्र 2.5)। कम्पास के कोण को बदले बिना, कोण की भुजाओं के साथ चाप के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से निशान बनाएं। प्राप्त अंकों के माध्यम से एमऔर Ν और कोण का शीर्ष सीधी रेखाओं द्वारा खींचा जाता है।

चावल। 2.5.

इस प्रकार केवल समकोण को तीन बराबर भागों में बाँटा जा सकता है।

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना। ऊपर से के बारे मेंएक कोण दिया गया है, मनमानी त्रिज्या का एक चाप बनाएं आर,कोण की भुजाओं को बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना एमऔर एन(चित्र 2.6, ए). फिर एक सीधा खंड बनाएं, जो नए कोण की एक भुजा के रूप में काम करेगा। बिंदु से के बारे मेंसमान त्रिज्या वाली इस सीधी रेखा पर 1 आरएक बिंदु प्राप्त करते हुए एक चाप बनाएं Ν 1 (चित्र 2.6, बी). इस बिंदु से त्रिज्या के एक चाप का वर्णन करें आर 1, राग के बराबर एमएन.चापों का प्रतिच्छेदन एक बिंदु देता है Μ 1, जो एक सीधी रेखा द्वारा नए कोण के शीर्ष से जुड़ा है (चित्र 2.6, बी).

चावल। 2.6.

एक रेखाखंड को दो बराबर भागों में बाँटना। चाप किसी दिए गए खंड के सिरों से खींचे जाते हैं, जिसमें कम्पास का उद्घाटन इसकी लंबाई के आधे से अधिक होता है (चित्र 2.7)। प्राप्त बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा एमऔर Ν, एक रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है और उस पर लंबवत होता है।

चावल। 2.7.

एक रेखाखंड के अंत में एक लम्ब का निर्माण। एक मनमाना बिंदु O से खंड पर लिया गया एबी,एक बिंदु से गुजरने वाले वृत्त का वर्णन करें ए(रेखा खंड का अंत) और बिंदु पर रेखा को प्रतिच्छेद करता है एम(चित्र 2.8)।

चावल। 2.8.

प्राप्त बिंदु के माध्यम से एमऔर केंद्र के बारे मेंवृत्त तब तक एक सीधी रेखा खींचते हैं जब तक वे वृत्त की विपरीत दिशा में एक बिंदु पर नहीं मिलते एन।पूर्ण विराम एनएक सीधी रेखा को एक बिंदु से जोड़ें एक।

किसी रेखाखंड को किसी भी संख्या में समान भागों में विभाजित करना। खंड के किसी भी छोर से, उदाहरण के लिए एक बिंदु से ए,इसके न्यूनकोण पर एक सीधी रेखा खींचिए। उस पर, मापने वाले कंपास का उपयोग करके, मनमाने आकार के समान खंडों की आवश्यक संख्या निर्धारित की जाती है (चित्र 2.9)। अंतिम बिंदु दिए गए खंड के दूसरे छोर (बिंदु से) से जुड़ा है में). सभी विभाजन बिंदुओं से, एक रूलर और एक वर्ग का उपयोग करके, सीधी रेखा के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें 9वी,जो खंड AB को दी गई संख्या में समान भागों में विभाजित करेगा।

चावल। 2.9.

चित्र में. चित्र 2.10 दिखाता है कि एक सीधी रेखा पर समान दूरी पर स्थित छिद्रों के केंद्रों को चिह्नित करने के लिए इस निर्माण को कैसे लागू किया जाए।

यह - सबसे पुरानी ज्यामितीय समस्या.

चरण-दर-चरण अनुदेश

पहली विधि. - "सुनहरा" या "मिस्र" त्रिकोण का उपयोग करना. इस त्रिभुज की भुजाओं का पहलू अनुपात है 3:4:5, और कोण बिल्कुल 90 डिग्री है. इस गुण का उपयोग प्राचीन मिस्रवासियों और अन्य प्राचीन संस्कृतियों द्वारा व्यापक रूप से किया जाता था।

बीमार.1. स्वर्ण या मिस्र त्रिभुज का निर्माण

• हम निर्माण करते हैं तीन माप (या रस्सी कम्पास - दो कीलों या खूंटियों पर एक रस्सी) लंबाई 3 के साथ; 4; 5 मीटर. प्राचीन लोग अक्सर माप की इकाइयों के रूप में उनके बीच समान दूरी वाली गांठें बांधने की विधि का उपयोग करते थे। लंबाई की इकाई - " गांठ».
• हम बिंदु O पर एक खूंटी चलाते हैं और उसमें "R3 - 3 समुद्री मील" माप जोड़ते हैं।
• हम रस्सी को ज्ञात सीमा के साथ - प्रस्तावित बिंदु ए की ओर खींचते हैं।
• सीमा रेखा - बिंदु ए पर तनाव के क्षण में, हम एक खूंटी में गाड़ी चलाते हैं।
• फिर - बिंदु O से फिर से, माप R4 को दूसरी सीमा के साथ खींचें। हमने अभी तक खूंटी नहीं गाडी है।
• इसके बाद, हम माप R5 - A से B तक फैलाते हैं।
• हम माप R2 और R3 के चौराहे पर एक खूंटी चलाते हैं। – यह वांछित बिंदु बी है – स्वर्ण त्रिभुज का तीसरा शीर्ष, भुजाओं 3;4;5 और के साथ बिंदु O पर समकोण के साथ.

दूसरी विधि. कम्पास का उपयोग करना.

कम्पास हो सकता है रस्सी या पेडोमीटर. सेमी:

हमारे कंपास पेडोमीटर का चरण 1 मीटर है।

बीमार.2. कम्पास पेडोमीटर

निर्माण - बीमार 1 के अनुसार भी।

• संदर्भ बिंदु - बिंदु O - पड़ोसी के कोने से, केंद्र से प्रत्येक दिशा में (खंड AB) मनमानी लंबाई का एक खंड बनाएं - लेकिन कम्पास की त्रिज्या = 1m से बड़ा -।
• हम कम्पास के पैर को बिंदु O पर रखते हैं।
• हम त्रिज्या (कम्पास पिच) = 1 मीटर के साथ एक वृत्त बनाते हैं। यह छोटे चाप खींचने के लिए पर्याप्त है - प्रत्येक 10-20 सेंटीमीटर, चिह्नित खंड के साथ चौराहे पर (बिंदु ए और बी के माध्यम से)। इस क्रिया से हमने पाया केंद्र से समदूरस्थ बिंदु- ए और बी। यहां केंद्र से दूरी कोई मायने नहीं रखती। आप बस इन बिंदुओं को एक टेप माप से चिह्नित कर सकते हैं।
• इसके बाद, आपको बिंदु A और B पर केंद्रों के साथ चाप खींचने की आवश्यकता है, लेकिन R=1m से थोड़ा (मनमाने ढंग से) बड़े त्रिज्या के साथ। यदि हमारे कंपास में समायोज्य पिच है तो आप इसे बड़े दायरे में पुन: कॉन्फ़िगर कर सकते हैं। लेकिन इतने छोटे वर्तमान कार्य के लिए, मैं इसे "खींचना" नहीं चाहूंगा। या जब कोई समायोजन न हो. आधे मिनट में किया जा सकता है रस्सी दिशा सूचक यंत्र.
• हम पहली कील (या 1 मीटर से अधिक त्रिज्या वाले कम्पास के पैर) को बारी-बारी से बिंदु ए और बी पर रखते हैं। और दूसरी कील के साथ दो चाप खींचते हैं - रस्सी की तनी हुई स्थिति में - ताकि वे प्रत्येक के साथ प्रतिच्छेद करें अन्य। यह दो बिंदुओं पर संभव है: सी और डी, लेकिन एक पर्याप्त है - सी। और फिर, बिंदु सी पर चौराहे पर छोटे सेरिफ़ पर्याप्त होंगे।
• बिंदु C और D से होकर एक सीधी रेखा (खंड) खींचें।
• सभी! परिणामी खंड, या सीधी रेखा, है सटीक दिशाउत्तर पर:). क्षमा मांगना, - एक समकोण पर.
• यह आंकड़ा पड़ोसी की संपत्ति में सीमा विसंगति के दो मामलों को दर्शाता है। चित्र 3ए एक ऐसा मामला दिखाता है जहां पड़ोसी की बाड़ उसके नुकसान के लिए वांछित दिशा से दूर चली जाती है। 3बी पर - वह आपकी साइट पर चढ़ गया। स्थिति 3ए में, दो "मार्गदर्शक" बिंदु बनाना संभव है: सी और डी दोनों। स्थिति 3बी में, केवल सी।
• कोने O पर एक खूंटी और बिंदु C पर एक अस्थायी खूंटी रखें, और C से साइट की पिछली सीमा तक एक रस्सी खींचें। - ताकि कॉर्ड मुश्किल से खूंटी ओ को छू सके। बिंदु ओ से - दिशा डी में, सामान्य योजना के अनुसार पक्ष की लंबाई को मापने पर, आपको साइट का एक विश्वसनीय पिछला दायां कोना मिलेगा।

बीमार.3. एक कंपास-पेडोमीटर और एक रस्सी कंपास का उपयोग करके, पड़ोसी के कोण से एक समकोण का निर्माण करना

यदि आपके पास कम्पास-पेडोमीटर है, तो आप रस्सी के बिना भी पूरी तरह से काम कर सकते हैं. पिछले उदाहरण में, हमने पेडोमीटर की तुलना में बड़े त्रिज्या के चाप खींचने के लिए रस्सी का उपयोग किया था। अधिक इसलिए क्योंकि ये चाप कहीं न कहीं अवश्य प्रतिच्छेद करते होंगे। उनके प्रतिच्छेदन की गारंटी के साथ समान त्रिज्या - 1 मीटर के साथ एक पेडोमीटर के साथ चाप खींचने के लिए, यह आवश्यक है कि बिंदु ए और बी आर = 1 मीटर के साथ सर्कल के अंदर हों।

• फिर इन समदूरस्थ बिंदुओं को मापें रूले- केंद्र से अलग-अलग दिशाओं में, लेकिन हमेशा लाइन एबी (पड़ोसी की बाड़ रेखा) के साथ। बिंदु A और B केंद्र के जितने करीब होंगे, मार्गदर्शक बिंदु C और D उससे उतने ही दूर होंगे, और माप उतना ही अधिक सटीक होगा। चित्र में, यह दूरी पेडोमीटर त्रिज्या = 260 मिमी का लगभग एक चौथाई ली गई है।

बीमार.4. पेडोमीटर और टेप माप का उपयोग करके समकोण बनाना

• किसी भी आयत, विशेष रूप से आयताकार नींव के समोच्च का निर्माण करते समय कार्यों की यह योजना कम प्रासंगिक नहीं है। आपको यह पूर्ण रूप से प्राप्त होगा. बेशक, इसके विकर्णों की जाँच की जानी चाहिए, लेकिन क्या प्रयास कम नहीं हो जाते? - इसकी तुलना में जब नींव के समोच्च के विकर्णों, कोनों और किनारों को तब तक आगे-पीछे किया जाता है जब तक कि कोने मिल न जाएं।

दरअसल, हमने जमीन पर ज्यामितीय समस्या का समाधान कर लिया है। साइट पर अपने कार्यों को और अधिक विश्वसनीय बनाने के लिए, नियमित कम्पास का उपयोग करके कागज पर अभ्यास करें। जो मूलतः अलग नहीं है.

पाठ मकसद:

• अध्ययन की गई सामग्री का विश्लेषण करने की क्षमता और समस्याओं को हल करने के लिए इसे लागू करने के कौशल का गठन;
• अध्ययन की जा रही अवधारणाओं का महत्व दिखाएँ;
• ज्ञान प्राप्त करने में संज्ञानात्मक गतिविधि और स्वतंत्रता का विकास;
• विषय में रुचि और सौंदर्य की भावना पैदा करना।

पाठ मकसद:

• स्केल रूलर, कंपास, प्रोट्रैक्टर और त्रिकोण बनाने का उपयोग करके दिए गए कोण के बराबर कोण बनाने में कौशल विकसित करें।
• छात्रों की समस्या-समाधान कौशल का परीक्षण करें।

शिक्षण योजना:

1. दोहराव.
2. दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना।
3. विश्लेषण।
4. निर्माण उदाहरण पहले.
5. निर्माण उदाहरण दो.

दोहराव.

कोना।

समतल कोण- एक बिंदु (कोण के शीर्ष) से ​​निकलने वाली दो किरणों (कोण की भुजाओं) से बनी एक असीमित ज्यामितीय आकृति।

कोण को इन किरणों के बीच घिरे समतल के सभी बिंदुओं से बनी एक आकृति भी कहा जाता है (सामान्यतया, दो ऐसी किरणें दो कोणों के अनुरूप होती हैं, क्योंकि वे समतल को दो भागों में विभाजित करती हैं। इनमें से एक कोण को पारंपरिक रूप से आंतरिक कहा जाता है, और अन्य - बाहरी.
कभी-कभी, संक्षिप्तता के लिए, कोण को कोणीय माप कहा जाता है।

कोण को दर्शाने के लिए एक आम तौर पर स्वीकृत प्रतीक है:, जिसे 1634 में फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे एरिगॉन द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

कोनाएक ज्यामितीय आकृति (चित्र 1) है, जो एक बिंदु O (कोण के शीर्ष) से ​​निकलने वाली दो किरणों OA और OB (कोण की भुजाएँ) से बनती है।

एक कोण को एक प्रतीक और तीन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है जो किरणों के सिरों और कोण के शीर्ष को दर्शाता है: AOB (और शीर्ष का अक्षर मध्य वाला होता है)। कोणों को शीर्ष O के चारों ओर किरण OA के घूर्णन की मात्रा से मापा जाता है जब तक कि किरण OA स्थिति OB पर न चली जाए। कोणों को मापने के लिए दो व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली इकाइयाँ हैं: रेडियन और डिग्री। कोणों के रेडियन माप के लिए, नीचे पैराग्राफ "चाप लंबाई" के साथ-साथ अध्याय "त्रिकोणमिति" में देखें।

कोणों को मापने के लिए डिग्री प्रणाली।

यहां माप की इकाई एक डिग्री है (इसका पदनाम ° है) - यह पूर्ण क्रांति के 1/360 तक बीम का घूर्णन है। इस प्रकार, बीम का पूर्ण घूर्णन 360° है। एक डिग्री को 60 मिनट में विभाजित किया गया है (नोटेशन '); एक मिनट - क्रमशः 60 सेकंड के लिए (पदनाम)। 90° का कोण (चित्र 2) समकोण कहलाता है; 90° से कम का कोण (चित्र 3) न्यूनकोण कहलाता है; 90° (चित्र 4) से बड़ा कोण अधिक कोण कहलाता है।

समकोण बनाने वाली सीधी रेखाओं को परस्पर लंबवत कहा जाता है। यदि रेखाएँ AB और MK लंबवत हैं, तो इसे दर्शाया जाता है: AB MK।

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना।

निर्माण शुरू करने या किसी भी समस्या को हल करने से पहले, विषय की परवाह किए बिना, आपको कार्यान्वित करने की आवश्यकता है विश्लेषण. समझें कि असाइनमेंट क्या कहता है, इसे सोच-समझकर और धीरे-धीरे पढ़ें। यदि पहली बार के बाद आपको संदेह है या कुछ स्पष्ट या स्पष्ट नहीं है, लेकिन पूरी तरह से नहीं, तो इसे दोबारा पढ़ने की सलाह दी जाती है। यदि आप कक्षा में कोई असाइनमेंट कर रहे हैं, तो आप शिक्षक से पूछ सकते हैं। अन्यथा, आपका कार्य, जिसे आपने गलत समझा था, सही ढंग से हल नहीं किया जा सकता है, या आपको कुछ ऐसा मिल सकता है जो आपसे अपेक्षित नहीं है, और इसे गलत माना जाएगा और आपको इसे फिर से करना होगा। जहां तक ​​मेरा प्रश्न है - कार्य को दोबारा करने की तुलना में कार्य का अध्ययन करने में थोड़ा अधिक समय व्यतीत करना बेहतर है.

विश्लेषण।

मान लीजिए कि शीर्ष A के साथ दी गई किरण a है, और कोण (ab) वांछित है। आइए किरणों ए और बी पर क्रमशः बिंदु बी और सी चुनें। बिंदु B और C को जोड़ने पर हमें त्रिभुज ABC प्राप्त होता है। सर्वांगसम त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं और यहीं पर निर्माण की विधि अपनाई जाती है। यदि किसी दिए गए कोण के किनारों पर हम कुछ सुविधाजनक तरीके से बिंदु सी और बी का चयन करते हैं, और एक दी गई किरण से दिए गए आधे-तल में हम एबीसी के बराबर एक त्रिकोण एबी 1 सी 1 बनाते हैं (और यह किया जा सकता है यदि हम जानते हैं त्रिभुज की सभी भुजाएँ), तो समस्या हल हो जाएगी।

कोई भी कार्य करते समय कंस्ट्रक्शनअत्यधिक सावधान रहें और सभी निर्माण सावधानीपूर्वक करने का प्रयास करें। चूँकि किसी भी विसंगति के परिणामस्वरूप कुछ प्रकार की त्रुटियाँ, विचलन हो सकते हैं, जिससे उत्तर गलत हो सकता है। और यदि इस प्रकार का कोई कार्य पहली बार किया जाता है, तो त्रुटि को ढूंढना और ठीक करना बहुत कठिन होगा।

निर्माण उदाहरण पहले.

आइए इस कोण के शीर्ष पर केंद्र रखकर एक वृत्त बनाएं। मान लीजिए कि B और C, कोण की भुजाओं के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। त्रिज्या AB के साथ हम एक वृत्त खींचते हैं जिसका केंद्र बिंदु A 1 है - इस किरण का प्रारंभिक बिंदु। आइए हम इस किरण के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को B 1 के रूप में निरूपित करें। आइए हम एक वृत्त का वर्णन करें जिसका केंद्र B1 और त्रिज्या BC है। संकेतित अर्ध-तल में निर्मित वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु C 1 वांछित कोण के किनारे पर स्थित है।

त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 तीन भुजाओं पर बराबर हैं। कोण A और A 1 इन त्रिभुजों के संगत कोण हैं। इसलिए, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

अधिक स्पष्टता के लिए, आप समान निर्माणों पर अधिक विस्तार से विचार कर सकते हैं।

निर्माण उदाहरण दो.

कार्य किसी दी गई अर्ध-रेखा से दिए गए कोण के बराबर एक कोण को दिए गए अर्ध-तल में अलग करना भी रहता है।

निर्माण।

स्टेप 1।आइए एक मनमाना त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं जिसका केंद्र किसी दिए गए कोण के शीर्ष A पर हो। मान लीजिए कि B और C, कोण की भुजाओं के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। और आइए खंड BC बनाएं।

चरण दो।आइए त्रिज्या AB का एक वृत्त बनाएं जिसका केंद्र बिंदु O है - इस अर्ध-रेखा का प्रारंभिक बिंदु। आइए हम किरण के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को B 1 के रूप में निरूपित करें।

चरण 3।अब हम केंद्र B1 और त्रिज्या BC वाले एक वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लीजिए बिंदु C 1 संकेतित अर्ध-तल में निर्मित वृत्तों का प्रतिच्छेदन है।

चरण 4।आइए बिंदु O से बिंदु C 1 तक एक किरण खींचें। कोण C 1 OB 1 वांछित होगा।

सबूत।

त्रिभुज ABC और OB 1 C 1 संगत भुजाओं वाले सर्वांगसम त्रिभुज हैं। और इसलिए कोण CAB और C 1 OB 1 बराबर हैं।

दिलचस्प तथ्य:

संख्या में.

आसपास की दुनिया की वस्तुओं में, आप सबसे पहले उनके व्यक्तिगत गुणों पर ध्यान देते हैं जो एक वस्तु को दूसरे से अलग करते हैं।

विशेष, व्यक्तिगत गुणों की प्रचुरता सभी वस्तुओं में निहित सामान्य गुणों को अस्पष्ट कर देती है, और इसलिए ऐसे गुणों का पता लगाना हमेशा अधिक कठिन होता है।

वस्तुओं के सबसे महत्वपूर्ण सामान्य गुणों में से एक यह है कि सभी वस्तुओं को गिना और मापा जा सकता है। हम वस्तुओं के इस सामान्य गुण को संख्या की अवधारणा में दर्शाते हैं।

लोगों ने अपने अस्तित्व के लिए लगातार संघर्ष करते हुए, सदियों से, गिनती की प्रक्रिया, यानी संख्या की अवधारणा, में बहुत धीरे-धीरे महारत हासिल की।

गिनने के लिए, किसी के पास न केवल ऐसी वस्तुएं होनी चाहिए जिन्हें गिना जा सके, बल्कि संख्या को छोड़कर उनके अन्य सभी गुणों से इन वस्तुओं पर विचार करते समय पहले से ही अमूर्त करने की क्षमता भी होनी चाहिए, और यह क्षमता अनुभव के आधार पर एक लंबे ऐतिहासिक विकास का परिणाम है .

प्रत्येक व्यक्ति अब बचपन में संख्याओं की मदद से गिनती करना सीखता है, लगभग उसी समय जब वह बोलना शुरू करता है, लेकिन यह गिनती, जो हम से परिचित है, विकास के एक लंबे रास्ते से गुजर चुकी है और विभिन्न रूप ले चुकी है।

एक समय था जब वस्तुओं को गिनने के लिए केवल दो अंकों का उपयोग किया जाता था: एक और दो। संख्या प्रणाली के और विस्तार की प्रक्रिया में, मानव शरीर के अंग शामिल थे, मुख्य रूप से उंगलियाँ, और यदि इस प्रकार की "संख्याएँ" पर्याप्त नहीं थीं, तो लाठी, कंकड़ और अन्य चीज़ें भी शामिल थीं।

एन. एन. मिकलौहो-मैकलेउसकी किताब में "यात्राएँ"न्यू गिनी के मूल निवासियों द्वारा उपयोग की जाने वाली गिनती की एक मज़ेदार विधि के बारे में बात करता है:

प्रशन:

1. कोण को परिभाषित करें?
2. कोण कितने प्रकार के होते हैं?
3. व्यास और त्रिज्या में क्या अंतर है?

प्रयुक्त स्रोतों की सूची:

1. मजूर के.आई. "एम.आई. स्कानवी द्वारा संपादित संग्रह के गणित में मुख्य प्रतिस्पर्धात्मक समस्याओं का समाधान"
2. गणितीय समझ रखने वाला. बी ० ए। कोर्डेम्स्की। मास्को.
3. एल. एस. अतानास्यान, वी. एफ. बुटुज़ोव, एस. बी. कदोमत्सेव, ई. जी. पॉज़्न्याक, आई. आई. युदिना "ज्यामिति, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक"

पाठ पर काम किया:

लेवचेंको वी.एस.

पोटर्नक एस.ए.

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