बीजगणित में जिन विभिन्न भावों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदीय योगों का एक महत्वपूर्ण स्थान है। यहाँ ऐसी अभिव्यक्तियों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। मोनोमियल को बहुपद भी कहा जाता है, एक मोनोमियल को एक बहुपद के रूप में माना जाता है जिसमें एक सदस्य होता है।
उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।
हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.
पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेता है। इसलिए, द्विपद \(12a^2b - 7b \) की तीसरी घात है, और त्रिपद \(2b^2 -7b + 6 \) की दूसरी घात है।
आमतौर पर, एक चर वाले बहुपदों के मानक रूप के पदों को उसके घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।
कभी-कभी एक बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करना। चूँकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:
यदि + चिह्न कोष्ठक के पहले लगाया जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को उन्हीं चिह्नों से लिखा जाता है।
यदि कोष्ठकों के सामने "-" चिन्ह लगा दिया जाए तो कोष्ठकों में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों से लिखा जाता है।
एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)।
गुणन के वितरणात्मक गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में रूपांतरित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
एक एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।
यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।
एक एकपदी को बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।
योग से गुणा करने के लिए हमने बार-बार इस नियम का प्रयोग किया है।
बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के उत्पाद का परिवर्तन (सरलीकरण)।
व्यापक रूप से, दो बहुपदों का गुणनफल समान रूप से एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
आमतौर पर निम्नलिखित नियम का प्रयोग करें।
बहुपद को बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे पद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी गुणनफल को जोड़ना होगा।
संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग
बीजगणितीय रूपांतरों में कुछ व्यंजकों को दूसरों की तुलना में अधिक बार निपटाया जाना चाहिए। शायद सबसे आम भाव हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा है कि इन व्यंजकों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से केवल योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग का वर्ग है ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, अक्षर a और b के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।
अभिव्यक्तियाँ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((ए + बी)^2 = (ए + बी)(ए + बी) = ए^2 + एबी + बीए + बी^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
परिणामी सर्वसमिका बिना मध्यवर्ती गणनाओं के याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती है। लघु मौखिक योग इसमें मदद करते हैं।
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग वर्गों और दोहरे गुणनफल के योग के बराबर होता है।
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणनफल को दोगुना किए बिना वर्गों का योग होता है।
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर होता है।
ये तीन पहचान परिवर्तनों को अपने बाएं हिस्से को दाएं से बदलने की अनुमति देती हैं और इसके विपरीत - दाएं हिस्से को बाएं से। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित भावों को देखें और समझें कि चर a और b को उनमें क्या बदला गया है। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।
इस पाठ में, हम इस विषय की मुख्य परिभाषाओं को याद करेंगे और कुछ विशिष्ट कार्यों पर विचार करेंगे, अर्थात्, एक बहुपद को एक मानक रूप में लाना और दिए गए चर मानों के लिए एक संख्यात्मक मान की गणना करना। हम कई उदाहरण हल करेंगे जिनमें विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए मानक रूप में कमी लागू की जाएगी।
विषय:बहुपद। मोनोमियल पर अंकगणितीय संचालन
पाठ:एक बहुपद को एक मानक रूप में घटाना। विशिष्ट कार्य
मूल परिभाषा को याद करें: एक बहुपद एकपदी का योग होता है। प्रत्येक एकपदी जो एक पद के रूप में बहुपद का भाग होता है, उसका सदस्य कहलाता है। उदाहरण के लिए:
द्विपद;
बहुपद;
द्विपद;
चूँकि बहुपद में एकपदी होते हैं, बहुपद के साथ पहली क्रिया यहाँ से होती है - आपको सभी एकपदों को मानक रूप में लाने की आवश्यकता है। याद रखें कि इसके लिए आपको सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करने की आवश्यकता है - एक संख्यात्मक गुणांक प्राप्त करें, और संबंधित शक्तियों को गुणा करें - अक्षर भाग प्राप्त करें। इसके अलावा, आइए शक्तियों के उत्पाद पर प्रमेय पर ध्यान दें: जब शक्तियों को गुणा करते हैं, तो उनके प्रतिपादक जुड़ जाते हैं।
एक महत्वपूर्ण संक्रिया पर विचार करें - एक बहुपद को एक मानक रूप में लाना। उदाहरण:
टिप्पणी: बहुपद को मानक रूप में लाने के लिए, आपको उन सभी एकपदी को मानक रूप में लाने की आवश्यकता है जो इसका हिस्सा हैं, उसके बाद, यदि समान एकपदी हैं - और ये समान अक्षर वाले एकपदी हैं - क्रियाएं करें उनके साथ।
इसलिए, हमने पहली विशिष्ट समस्या पर विचार किया है - एक बहुपद को एक मानक रूप में लाना।
अगला विशिष्ट कार्य इसमें शामिल चरों के दिए गए संख्यात्मक मानों के लिए एक बहुपद के विशिष्ट मान की गणना करना है। आइए पिछले उदाहरण पर विचार करना जारी रखें और चर के मान निर्धारित करें:
टिप्पणी: याद रखें कि किसी भी प्राकृतिक शक्ति में एक एक के बराबर होता है, और किसी भी प्राकृतिक शक्ति में शून्य शून्य के बराबर होता है, इसके अलावा, हम याद करते हैं कि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर हमें शून्य मिलता है।
एक बहुपद को एक मानक रूप में लाने और उसके मूल्य की गणना करने के विशिष्ट संचालन के कई उदाहरणों पर विचार करें:
उदाहरण 1 - मानक रूप में लाना:
टिप्पणी: पहली क्रिया - हम मोनोमियल्स को मानक रूप में लाते हैं, आपको पहले, दूसरे और छठे को लाने की आवश्यकता है; दूसरी क्रिया - हम समान सदस्य देते हैं, अर्थात, हम उन पर दिए गए अंकगणितीय कार्य करते हैं: पहले को पाँचवें में जोड़ा जाता है, दूसरे को तीसरे में, बाकी को बिना बदलाव के फिर से लिखा जाता है, क्योंकि उनके पास समान नहीं होते हैं।
उदाहरण 2 - चर के मान दिए गए उदाहरण 1 से बहुपद के मान की गणना करें:
टिप्पणी: गणना करते समय, यह याद रखना चाहिए कि किसी भी प्राकृतिक डिग्री में एक इकाई एक इकाई है, यदि दो की शक्तियों की गणना करना कठिन है, तो आप पावर टेबल का उपयोग कर सकते हैं।
उदाहरण 3 - एक तारक के बजाय, ऐसा एक मोनोमियल लगाएं ताकि परिणाम में एक चर न हो:
टिप्पणी: कार्य की परवाह किए बिना, पहली क्रिया हमेशा समान होती है - बहुपद को मानक रूप में लाने के लिए। हमारे उदाहरण में, इस क्रिया को सदस्यों की तरह कास्ट करने तक सीमित कर दिया गया है। उसके बाद, आपको फिर से स्थिति को ध्यान से पढ़ना चाहिए और सोचना चाहिए कि हम एकपदी से कैसे छुटकारा पा सकते हैं। यह स्पष्ट है कि इसके लिए आपको उसी मोनोमियल को इसमें जोड़ना होगा, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ -। फिर हम तारांकन चिह्न को इस एकपदी से बदल देते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि हमारा निर्णय सही है।
एक बहुपद एकपदी का योग होता है। यदि बहुपद के सभी पदों को मानक रूप में लिखा जाता है (आइटम 51 देखें) और समान पदों की कमी की जाती है, तो मानक रूप का बहुपद प्राप्त होगा।
किसी भी पूर्णांक अभिव्यक्ति को मानक रूप के बहुपद में परिवर्तित किया जा सकता है - यह पूर्णांक अभिव्यक्तियों के परिवर्तन (सरलीकरण) का उद्देश्य है।
उन उदाहरणों पर विचार करें जिनमें संपूर्ण व्यंजक को एक बहुपद के मानक रूप में संक्षिप्त किया जाना चाहिए।
समाधान। सबसे पहले, हम बहुपद के पदों को मानक रूप में लाते हैं। हम प्राप्त करते हैं समान पदों को घटाने के बाद, हमें मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त होता है
समाधान। यदि कोष्ठक के सामने एक धन चिह्न है, तो कोष्ठक में संलग्न सभी शब्दों के चिह्नों को बनाए रखते हुए, कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है। कोष्ठक खोलने के लिए इस नियम का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
समाधान। यदि कोष्ठकों के सामने एक ज़िक "ऋण" है, तो कोष्ठकों में संलग्न सभी शब्दों के चिह्नों को बदलकर कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है। इस कोष्ठक से बचने के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
समाधान। वितरण कानून के अनुसार, एक एकपदी और बहुपद का गुणनफल, इस एकपदी और बहुपद के प्रत्येक सदस्य के गुणनफल के योग के बराबर होता है। हम पाते हैं
समाधान। अपने पास
समाधान। अपने पास
यह समान शर्तें देने के लिए बनी हुई है (वे रेखांकित हैं)। हम पाते हैं:
53. संक्षिप्त गुणन के सूत्र।
कुछ मामलों में, संपूर्ण व्यंजक को बहुपद के मानक रूप में कम करने के लिए सर्वसमिकाओं का उपयोग किया जाता है:
इन सर्वसमिकाओं को संक्षिप्त गुणन सूत्र कहा जाता है,
आइए उन उदाहरणों पर विचार करें जिनमें किसी दिए गए व्यंजक को myogles के मानक रूप में बदलना आवश्यक है।
उदाहरण 1। ।
समाधान। सूत्र (1) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 2. .
समाधान।
उदाहरण 3. .
समाधान। सूत्र (3) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 4
समाधान। सूत्र (4) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
54. बहुपदों का गुणनखंडन।
कभी-कभी आप एक बहुपद को कई कारकों - बहुपद या उपपदों के गुणनफल में बदल सकते हैं। इस तरह के एक पहचान परिवर्तन को बहुपद का गुणन कहा जाता है। इस मामले में, बहुपद को इनमें से प्रत्येक कारक से विभाज्य कहा जाता है।
बहुपदों का गुणनखंडन करने के कुछ तरीकों पर विचार करें,
1) कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना। यह परिवर्तन वितरण कानून का प्रत्यक्ष परिणाम है (स्पष्टता के लिए, इस कानून को "दाएं से बाएं" फिर से लिखना आवश्यक है):
उदाहरण 1. बहुपद का गुणनखण्ड करना
समाधान। .
आमतौर पर, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालते समय, बहुपद के सभी सदस्यों में शामिल प्रत्येक चर को सबसे छोटे घातांक के साथ निकाला जाता है जो इस बहुपद में होता है। यदि बहुपद के सभी गुणांक पूर्णांक हैं, तो बहुपद के सभी गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक सामान्य कारक के गुणांक के रूप में लिया जाता है।
2) संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग। सूत्र (1) - (7) पैराग्राफ 53 से, "दाएं से बाएं" पढ़ा जा रहा है, कई मामलों में बहुपदों को विभाजित करने के लिए उपयोगी साबित होता है।
उदाहरण 2. गुणनखण्ड करना ।
समाधान। अपने पास । सूत्र (1) (वर्गों का अंतर) लागू करके, हम प्राप्त करते हैं। को लागू करने
अब सूत्र (4) और (5) (घनों का योग, घनों का अंतर), हमें मिलता है:
उदाहरण 3. .
समाधान। पहले कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखण्ड निकालते हैं। ऐसा करने के लिए, हम गुणांक 4, 16, 16 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक और सबसे छोटा घातांक पाते हैं जिसके साथ वेरिएबल्स ए और बी इस बहुपद को बनाने वाले मोनोमियल में शामिल हैं। हम पाते हैं:
3) ग्रुपिंग विधि। यह इस तथ्य पर आधारित है कि योग के क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम आपको एक बहुपद की शर्तों को विभिन्न तरीकों से समूहित करने की अनुमति देते हैं। कभी-कभी ऐसा समूहीकरण संभव होता है कि प्रत्येक समूह में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को कोष्ठकों में रखने के बाद, एक और समान बहुपद कोष्ठकों में रह जाते हैं, जिन्हें एक सामान्य कारक के रूप में, कोष्ठकों में रखा जा सकता है। बहुपद के गुणनखंडन के उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण 4.
समाधान। आइए इसे इस तरह समूहित करें:
पहले समूह में हम दूसरे समूह में उभयनिष्ठ गुणनखण्ड निकालते हैं - सार्व गुणनखंड 5।
उदाहरण 5
समाधान। .
उदाहरण 6
समाधान। यहाँ, कोई भी समूहीकरण सभी समूहों में समान बहुपद की उपस्थिति की ओर नहीं ले जाएगा। ऐसे मामलों में, कभी-कभी बहुपद के किसी भी पद को योग के रूप में प्रस्तुत करना उपयोगी होता है, और फिर समूहीकरण विधि को लागू करने के लिए पुनः प्रयास करें। हमारे उदाहरण में, हमें प्राप्त राशि के रूप में प्रतिनिधित्व करना उचित है
उदाहरण 7
समाधान। हम एकपदी को जोड़ते और घटाते हैं, हमें मिलता है
55. एक चर में बहुपद।
बहुपद, जहाँ a, b चर संख्याएँ हैं, प्रथम घात का बहुपद कहलाता है; एक बहुपद जहां ए, बी, सी चर संख्याएं हैं, को दूसरी डिग्री का बहुपद या वर्ग ट्रिनोमियल कहा जाता है; एक बहुपद जहाँ a, b, c, d संख्याएँ हैं, एक चर को तीसरी डिग्री का बहुपद कहा जाता है।
व्यापक रूप से, यदि 0 एक चर है, तो एक बहुपद है
lshomogeneal डिग्री (x के संबंध में) कहा जाता है; , बहुपद की एम-शर्तें, गुणांक, बहुपद का प्रमुख पद, और अग्रणी पद का गुणांक है, बहुपद का मुक्त पद। आमतौर पर, बहुपद को चर की घटती शक्तियों में लिखा जाता है, अर्थात, चर की डिग्री धीरे-धीरे घटती है, विशेष रूप से, वरिष्ठ पद पहले स्थान पर है, और मुक्त पद अंतिम में है। बहुपद की घात अग्रणी पद की घात है।
उदाहरण के लिए, पाँचवीं डिग्री का बहुपद जिसमें प्रमुख पद, 1, बहुपद का मुक्त पद है।
बहुपद का मूल वह मान है जिस पर बहुपद लुप्त हो जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 2 बहुपद का मूल है क्योंकि
हमने कहा कि मानक और गैर-मानक दोनों बहुपद होते हैं। उसी स्थान पर, हमने नोट किया कि कोई भी बहुपद से मानक रूप. इस लेख में, हम सबसे पहले यह पता लगाएंगे कि इस वाक्यांश का क्या अर्थ है। इसके बाद, हम उन चरणों को सूचीबद्ध करते हैं जो आपको किसी भी बहुपद को मानक रूप में बदलने की अनुमति देते हैं। अंत में, विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करें। बहुपदों को मानक रूप में लाते समय उत्पन्न होने वाली सभी बारीकियों से निपटने के लिए हम समाधानों का बहुत विस्तार से वर्णन करेंगे।
पेज नेविगेशन।
बहुपद को मानक रूप में लाने का क्या अर्थ है?
पहले आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि एक बहुपद को एक मानक रूप में लाने का क्या अर्थ है। इससे निपटते हैं।
बहुपद, किसी भी अन्य व्यंजक की तरह, समान परिवर्तनों के अधीन हो सकते हैं। इस तरह के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, ऐसे भाव प्राप्त होते हैं जो मूल अभिव्यक्ति के समान ही होते हैं। तो गैर-मानक रूप के बहुपदों के साथ कुछ परिवर्तनों का प्रदर्शन हमें उन बहुपदों को पास करने की अनुमति देता है जो समान रूप से उनके बराबर हैं, लेकिन पहले से ही मानक रूप में लिखे गए हैं। इस तरह के संक्रमण को बहुपद को मानक रूप में घटाना कहा जाता है।
इसलिए, बहुपद को मानक रूप में लाना- इसका मतलब है कि मूल बहुपद को उसके समान मानक रूप के बहुपद से बदलना, मूल रूप से समान परिवर्तन करके प्राप्त करना।
बहुपद को मानक रूप में कैसे लाया जाए?
आइए इस बारे में सोचें कि बहुपद को एक मानक रूप में लाने में कौन से परिवर्तन हमारी मदद करेंगे। हम मानक रूप के बहुपद की परिभाषा से प्रारंभ करेंगे।
परिभाषा के अनुसार, एक मानक रूप बहुपद का प्रत्येक पद एक मानक रूप का एकपदी होता है, और एक मानक रूप बहुपद में ऐसी कोई शर्तें नहीं होती हैं। बदले में, गैर-मानक रूप में लिखे गए बहुपदों में गैर-मानक रूप में मोनोमियल शामिल हो सकते हैं और इसमें समान शब्द हो सकते हैं। यह तार्किक रूप से निम्नलिखित नियम की ओर ले जाता है। बहुपद को मानक रूप में कैसे बदलें:
- पहले आपको मूल बहुपद बनाने वाले एकपदी को मानक रूप में लाना होगा,
- और फिर समान सदस्यों की कमी करें।
नतीजतन, एक मानक रूप बहुपद प्राप्त होगा, क्योंकि इसके सभी सदस्यों को मानक रूप में लिखा जाएगा, और इसमें ऐसे सदस्य नहीं होंगे।
उदाहरण, समाधान
बहुपदों को मानक रूप में लाने के उदाहरणों पर विचार करें। हल करते समय, हम पिछले पैराग्राफ से नियम द्वारा तय किए गए चरणों का पालन करेंगे।
यहाँ हम ध्यान देते हैं कि कभी-कभी किसी बहुपद के सभी पदों को मानक रूप में एक साथ लिखा जाता है, ऐसी स्थिति में समान पदों को लाना पर्याप्त होता है। कभी-कभी, बहुपद की शर्तों को मानक रूप में कम करने के बाद, कोई समान सदस्य नहीं होते हैं, इसलिए इस मामले में ऐसे सदस्यों को कम करने का चरण छोड़ दिया जाता है। सामान्य तौर पर, आपको दोनों करना होगा।
उदाहरण।
बहुपदों को मानक रूप में व्यक्त करें: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0.8+2 ए 3 0.6−बी ए बी 4 बी 5और ।
समाधान।
बहुपद 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 के सभी सदस्यों को मानक रूप में लिखा गया है, इसमें ऐसा कोई सदस्य नहीं है, इसलिए, यह बहुपद पहले से ही मानक रूप में प्रस्तुत है।
आइए अगले बहुपद पर चलते हैं 0.8+2 ए 3 0.6−बी ए बी 4 बी 5. इसका रूप मानक नहीं है, जैसा कि गैर-मानक रूप के 2·a 3 ·0.6 और -b·a·b 4 ·b 5 शब्दों से प्रमाणित होता है। आइए इसे मानक रूप में प्रदर्शित करें।
मूल बहुपद को मानक रूप में लाने के पहले चरण में, हमें इसके सभी सदस्यों को मानक रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। इसलिए, हम एकपदी 2 a 3 0.6 को मानक रूप में घटाते हैं, हमारे पास 2 a 3 0.6=1.2 a 3 है, जिसके बाद एकपदी −b a b 4 b 5 है, हमारे पास है −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. इस प्रकार, । परिणामी बहुपद में, सभी पद मानक रूप में लिखे गए हैं; इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि इसमें ऐसे पद नहीं हैं। इसलिए, यह मूल बहुपद को मानक रूप में घटाना पूरा करता है।
यह दिए गए बहुपदों के अंतिम मानक रूप में प्रतिनिधित्व करने के लिए रहता है। इसके सभी सदस्यों को मानक रूप में लाने के बाद इसे इस प्रकार लिखा जाएगा 
. इसमें सदस्य पसंद हैं, इसलिए आपको सदस्यों की तरह कास्ट करने की आवश्यकता है: 
अतः मूल बहुपद ने −x y+1 का मानक रूप ले लिया।
उत्तर:
5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – पहले से ही मानक रूप में, 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 =0.8+1.2 a 3 −a b 10, .
अक्सर, एक बहुपद को एक मानक रूप में लाना समस्या के प्रश्न का उत्तर देने में केवल एक मध्यवर्ती कदम होता है। उदाहरण के लिए, किसी बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए मानक रूप में उसका प्रारंभिक निरूपण शामिल होता है।
उदाहरण।
बहुपद लाओ 
मानक रूप में, इसकी डिग्री इंगित करें और शर्तों को चर की अवरोही शक्तियों में व्यवस्थित करें।
समाधान।
सबसे पहले, हम बहुपद के सभी पदों को मानक रूप में लाते हैं: 
.
अब हम समान सदस्य देते हैं: 
इसलिए हमने मूल बहुपद को मानक रूप में लाया, यह हमें बहुपद की डिग्री निर्धारित करने की अनुमति देता है, जो इसमें शामिल मोनोमियल की सबसे बड़ी डिग्री के बराबर है। जाहिर है यह 5 है।
यह चरों की घटती शक्तियों में बहुपद की शर्तों को व्यवस्थित करने के लिए बनी हुई है। ऐसा करने के लिए, केवल आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए, मानक रूप के परिणामी बहुपद में शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करना आवश्यक है। शब्द z 5 की उच्चतम घात है, पदों की घात −0.5·z 2 और 11 क्रमशः 3 , 2 और 0 के बराबर हैं। इसलिए, चर की घटती शक्तियों में व्यवस्थित शब्दों वाले बहुपद का रूप होगा 
.
उत्तर:
बहुपद की डिग्री 5 है, और चर की घटती शक्तियों में इसकी शर्तों की व्यवस्था के बाद, यह रूप लेती है .
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ZLP के गणितीय मॉडल को मानक कहा जाता है, यदि इसमें बाधाओं को रैखिक असमानताओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और उद्देश्य फ़ंक्शन को न्यूनतम या अधिकतम किया जाता है।
सेवा कार्य. ऑनलाइन कैलकुलेटर को मैट्रिक्स a को पहचान एक में परिवर्तित करके QZLP को SZLP में बदलने के लिए डिज़ाइन किया गया है। दो मानक रूप उपलब्ध हैं:
- पहला मानक रूप ax ≥ b , F(X) → min.
- दूसरा मानक रूप ax ≤ b , F(X) → max.
निर्देश। चरों की संख्या और पंक्तियों की संख्या (प्रतिबंधों की संख्या) का चयन करें। परिणामी समाधान एक Word फ़ाइल में सहेजा गया है।
कैनोनिकल रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को मानक रूप में कैसे लाया जाएकैनोनिकल रूप में कनवर्ट करें
उदाहरण। रैखिक प्रोग्रामिंग की मुख्य समस्या दी गई है। बाधा प्रणाली के गुणांक के मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, समस्या को एक मानक रूप में लाएं और इसे एक ज्यामितीय विधि का उपयोग करके हल करें या साबित करें कि इसकी कोई इष्टतम योजना नहीं है।
इस समस्या की बाधाओं-समानताओं की प्रणाली का विस्तारित मैट्रिक्स:
|
आइए जॉर्डन ट्रांसफॉर्मेशन की विधि द्वारा सिस्टम को आइडेंटिटी मैट्रिक्स में कम करें।
1. हम x 1 को आधार चर के रूप में चुनते हैं।
अनुमेय तत्व आरई = 1।
चर x 1 से संबंधित रेखा x 1 के सभी तत्वों को हल करने वाले तत्व RE = 1 द्वारा विभाजित करके प्राप्त की जाती है
कॉलम x 1 की शेष कोशिकाओं में हम शून्य लिखते हैं।
ऐसा करने के लिए, पुरानी योजना से चार संख्याओं का चयन करें, जो आयत के शीर्ष पर स्थित हैं और हमेशा आरई के सक्षम करने वाले तत्व को शामिल करें।
एनई \u003d एसई - (ए * बी) / आरई
एसटीई - पुरानी योजना का तत्व, आरई - हल करने वाला तत्व (1), ए और बी - पुरानी योजना के तत्व, एसटीई और आरई के तत्वों के साथ एक आयत बनाते हैं।
| 1: 1 | 6: 1 | -1: 1 | -1: 1 | -1: 1 | 2: 1 |
| 5-(1 5):1 | -12-(6 5):1 | -1-(-1 5):1 | 2-(-1 5):1 | 0-(-1 5):1 | -4-(2 5):1 |
| 3-(1 3):1 | -1-(6 3):1 | -2-(-1 3):1 | 0-(-1 3):1 | -1-(-1 3):1 | -7-(2 3):1 |
2. हम x 2 को आधार चर के रूप में चुनते हैं।
अनुमेय तत्व आरई = -42।
चर x 2 के अनुरूप रेखा, रेखा x 2 के सभी तत्वों को हल करने वाले तत्व RE=-42 से विभाजित करके प्राप्त की जाती है
सक्षम करने वाले तत्व के स्थान पर, हमें 1 मिलता है।
कॉलम x 2 की शेष कोशिकाओं में हम शून्य लिखते हैं।
अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित होते हैं।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:
| 1-(0 6):-42 | 6-(-42 6):-42 | -1-(4 6):-42 | -1-(7 6):-42 | -1-(5 6):-42 | 2-(-14 6):-42 |
| 0: -42 | -42: -42 | 4: -42 | 7: -42 | 5: -42 | -14: -42 |
| 0-(0 -19):-42 | -19-(-42 -19):-42 | 1-(4 -19):-42 | 3-(7 -19):-42 | 2-(5 -19):-42 | -13-(-14 -19):-42 |
हमें एक नया मैट्रिक्स मिलता है:
| 1 | 0 | -3 / 7 | 0 | -2 / 7 | 0 |
| 0 | 1 | -2 / 21 | -1 / 6 | -5 / 42 | 1 / 3 |
| 0 | 0 | -17 / 21 | -1 / 6 | -11 / 42 | -20 / 3 |
3. हम x 3 को आधार चर के रूप में चुनते हैं।
अनुमेय तत्व आरई = -17/21।
चर x 3 के संगत रेखा, रेखा x 3 के सभी तत्वों को हल करने वाले तत्व RE= -17 / 21 से विभाजित करके प्राप्त की जाती है
सक्षम करने वाले तत्व के स्थान पर, हमें 1 मिलता है।
कॉलम x 3 की शेष कोशिकाओं में हम शून्य लिखते हैं।
अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित होते हैं।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:
| 1-(0 -3 / 7): -17 / 21 | 0-(0 -3 / 7): -17 / 21 | -3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21 | 0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21 | -2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21 | 0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21 |
| 0-(0 -2 / 21): -17 / 21 | 1-(0 -2 / 21): -17 / 21 | -2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21 | -1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21 | -5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21 | 1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21 |
| 0: -17 / 21 | 0: -17 / 21 | -17 / 21: -17 / 21 | -1 / 6: -17 / 21 | -11 / 42: -17 / 21 | -6 2 / 3: -17 / 21 |
हमें एक नया मैट्रिक्स मिलता है:
| 1 | 0 | 0 | 3 / 34 | -5 / 34 | 60 / 17 |
| 0 | 1 | 0 | -5 / 34 | -3 / 34 | 19 / 17 |
| 0 | 0 | 1 | 7 / 34 | 11 / 34 | 140 / 17 |
चूंकि प्रणाली में एक पहचान मैट्रिक्स है, हम X = (1,2,3) को मूल चर के रूप में लेते हैं।
संगत समीकरण हैं:
x 1 + 3/34 x 4 - 5/34 x 5 = 3 9/17
x 2 - 5/34 x 4 - 3/34 x 5 = 1 2/17
x 3 + 7/34 x 4 + 11/34 x 5 = 8 4/17
हम मूल चर को बाकी के संदर्भ में व्यक्त करते हैं:
x 1 = - 3/34 x 4 + 5/34 x 5 +3 9/17
x 2 = 5/34 x 4 + 3/34 x 5 +1 2/17
एक्स 3 \u003d - 7/34 x 4 - 11/34 x 5 +8 4/17
उन्हें उद्देश्य समारोह में बदलें:
एफ (एक्स) = - 3 (- 3/34 x 4 + 5/34 x 5 +3 9/17) + 13 (5/34 x 4 + 3/34 x 5 +1 2/17) + (- 7 / 34 x 4 - 11/34 x 5 +8 4/17) - 2x 4
या
असमानताओं की प्रणाली:
- 3/34 x 4 + 5/34 x 5 +3 9/17 ≥ 0
5/34 x 4 + 3/34 x 5 +1 2/17 ≥ 0
- 7/34 x 4 - 11/34 x 5 +8 4/17 ≥ 0
हम असमानताओं की प्रणाली को निम्नलिखित रूप में लाते हैं:
3/34 x 4 - 5/34 x 5 ≤ 3 9/17
- 5/34 x 4 - 3/34 x 5 ≤ 1 2/17
7/34 x 4 + 11/34 x 5 ≤ 8 4/17
एफ (एक्स) = - 1/34 x 4 + 13/34 x 5 +12 3/17 → अधिकतम
आइए सिस्टम को सरल करें।
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 ≤ 38
7x1 + 11x2 ≤ 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → अधिकतम
