यह आलेख भिन्नों पर संक्रियाओं से संबंधित है। A B के रूप के भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा, भाग या घातांक के नियम बनाए जाएंगे और उन्हें उचित ठहराया जाएगा, जहां A और B संख्याएं, संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ अभिव्यक्ति हो सकते हैं। अंत में, विस्तृत विवरण वाले समाधानों के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।

सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों के साथ संचालन करने के नियम

सामान्य रूप के संख्यात्मक भिन्नों में एक अंश और एक हर होता है, जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ या संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ होती हैं। यदि हम 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π जैसे भिन्नों पर विचार करें, 2 0 , 5 एलएन 3 , तो यह स्पष्ट है कि अंश और हर में न केवल संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि एक अलग योजना के भाव भी हो सकते हैं।

परिभाषा 1

ऐसे नियम हैं जिनके द्वारा साधारण भिन्नों के साथ क्रियाएँ की जाती हैं। यह सामान्य रूप के भिन्नों के लिए भी उपयुक्त है:

• समान हर वाले भिन्नों को घटाने पर, केवल अंश जोड़े जाते हैं, और हर वही रहता है, अर्थात्: a d ± c d = a ± c d, मान a, c और d ≠ 0 कुछ संख्याएँ या संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं।
• विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय, उन्हें एक सामान्य अंश में घटाना आवश्यक है, और फिर समान संकेतकों के साथ परिणामी भिन्नों को जोड़ना या घटाना आवश्यक है। वस्तुतः, यह इस तरह दिखता है a b ± c d = a p ± c r s , जहां मान a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 वास्तविक संख्याएं हैं, और b p = d r = एस. जब p = d और r = b, तो a b ± c d = a d ± c d b d।
• भिन्नों को गुणा करते समय, अंशों के साथ एक क्रिया की जाती है, जिसके बाद हर के साथ, तब हमें a b c d \u003d a c b d मिलता है, जहाँ a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 वास्तविक संख्याओं के रूप में कार्य करते हैं।
• किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करते समय, हम पहले को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा करते हैं, अर्थात, हम अंश और हर की अदला-बदली करते हैं: a b: c d = a b d c।

नियमों का औचित्य

परिभाषा 2

निम्नलिखित गणितीय बिंदु हैं जिन पर आपको गणना करते समय भरोसा करना चाहिए:

• भिन्नात्मक बार का अर्थ है विभाजन चिह्न;
• किसी संख्या से विभाजन को उसके व्युत्क्रम से गुणा माना जाता है;
• वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं की संपत्ति का अनुप्रयोग;
• भिन्न और संख्यात्मक असमानताओं की मूल संपत्ति का अनुप्रयोग।

उनकी सहायता से, आप प्रपत्र में परिवर्तन कर सकते हैं:

ए डी ± सी डी = ए डी - 1 ± सी डी - 1 = ए ± सी डी - 1 = ए ± सी डी ; ए बी ± सी डी = ए पी बी पी ± सी आर डी आर = ए पी एस ± सी ई एस = ए पी ± सी आर एस; ए बी सी डी = ए डी बी डी बी सी बी डी = ए डी ए डी - 1 बी सी बी डी - 1 = = ए डी बी सी बी डी - 1 बी डी - 1 = ए डी बी सी बी डी बी डी - 1 = = (ए सी) (बी डी) - 1 = ए सी बी डी

उदाहरण

पिछले पैराग्राफ में भिन्नों वाली क्रियाओं के बारे में कहा गया था। इसके बाद भिन्न को सरल बनाने की आवश्यकता है। इस विषय पर भिन्नों को परिवर्तित करने वाले अनुभाग में विस्तार से चर्चा की गई थी।

सबसे पहले, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1

भिन्न 8 2 , 7 और 1 2 , 7 दिए गए हैं तो नियम के अनुसार अंश को जोड़ना और हर को फिर से लिखना आवश्यक है।

समाधान

तब हमें 8 + 1 2 , 7 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। योग करने के बाद, हमें 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। तो 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3।

उत्तर: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

हल करने का एक और तरीका है. आरंभ करने के लिए, एक साधारण भिन्न के रूप में परिवर्तन किया जाता है, जिसके बाद हम सरलीकरण करते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

उदाहरण 2

आइए हम 1 - 2 3 लघुगणक 2 3 लघुगणक 2 5 + 1 से 2 3 3 लघुगणक 2 3 लघुगणक 2 5 + 1 के भिन्नों को घटाएँ।

चूँकि समान हर दिए गए हैं, इसका मतलब है कि हम समान हर वाले भिन्न की गणना कर रहे हैं। हमें वह मिल गया

1 - 2 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की गणना के उदाहरण हैं। एक महत्वपूर्ण बिंदु एक सामान्य भाजक को कम करना है। इसके बिना हम भिन्नों के साथ आगे की कार्रवाई नहीं कर पाएंगे।

यह प्रक्रिया दूर से एक सामान्य भाजक में कमी की याद दिलाती है। अर्थात्, हर में सबसे कम सामान्य भाजक की खोज की जाती है, जिसके बाद लुप्त कारकों को भिन्नों में जोड़ा जाता है।

यदि जोड़े गए भिन्नों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, तो उनका गुणनफल एक हो सकता है।

उदाहरण 3

भिन्नों 2 3 5 + 1 और 1 2 को जोड़ने के उदाहरण पर विचार करें।

समाधान

इस मामले में, उभयनिष्ठ हर हरों का गुणनफल है। तब हमें वह 2 · 3 5 + 1 प्राप्त होता है। फिर, अतिरिक्त गुणनखंड निर्धारित करते समय, हमारे पास यह होता है कि पहले अंश के लिए यह 2 के बराबर है, और दूसरे के लिए 3 5 + 1 के बराबर है। गुणन के बाद भिन्नों को 4 2 3 5 + 1 के रूप में घटाया जाता है। सामान्य कास्ट 1 2 होगी 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . हम परिणामी भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ते हैं और वह प्राप्त करते हैं

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

उत्तर: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

जब हम किसी सामान्य रूप के भिन्नों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो आमतौर पर सबसे छोटा सामान्य हर नहीं होता है। अंशों के गुणनफल को हर के रूप में लेना लाभहीन है। सबसे पहले आपको यह जांचना होगा कि क्या कोई ऐसी संख्या है जिसका मूल्य उनके उत्पाद से कम है।

उदाहरण 4

उदाहरण 1 6 2 1 5 और 1 4 2 3 5 पर विचार करें जब उनका गुणनफल 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 के बराबर है। फिर हम 12 · 2 3 5 को एक सामान्य हर के रूप में लेते हैं।

सामान्य रूप में भिन्नों के गुणन के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 5

ऐसा करने के लिए, 2 + 1 6 और 2 · 5 3 · 2 + 1 को गुणा करना आवश्यक है।

समाधान

नियम का पालन करते हुए अंशों के गुणनफल को हर के रूप में पुनः लिखना और लिखना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1। जब भिन्न को गुणा किया जाता है, तो इसे सरल बनाने के लिए कटौती की जा सकती है। फिर 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10।

एक व्युत्क्रम द्वारा भाग से गुणा में परिवर्तन के नियम का उपयोग करते हुए, हमें दिए गए का व्युत्क्रम प्राप्त होता है। ऐसा करने के लिए, अंश और हर को उलट दिया जाता है। आइए एक उदाहरण देखें:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

उसके बाद, उन्हें गुणन करना होगा और परिणामी भिन्न को सरल बनाना होगा। यदि आवश्यक हो, तो हर में अतार्किकता से छुटकारा पाएं। हमें वह मिल गया

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

उत्तर: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

यह अनुच्छेद तब लागू होता है जब किसी संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति को 1 के बराबर हर वाले भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ऐसे भिन्न के साथ संक्रिया को एक अलग अनुच्छेद माना जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 1 6 7 4 - 1 3 दर्शाता है कि 3 के मूल को किसी अन्य 3 1 व्यंजक से बदला जा सकता है। तब यह रिकॉर्ड 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 के रूप के दो भिन्नों के गुणन जैसा दिखेगा।

चर वाले भिन्नों के साथ एक क्रिया करना

पहले लेख में चर्चा किए गए नियम चर वाले भिन्नों वाले संचालन पर लागू होते हैं। जब हर समान हों तो घटाव नियम पर विचार करें।

यह साबित करना आवश्यक है कि ए, सी और डी (डी शून्य के बराबर नहीं) कोई भी अभिव्यक्ति हो सकता है, और समानता ए डी ± सी डी = ए ± सी डी इसके वैध मानों की सीमा के बराबर है।

ODZ वेरिएबल्स का एक सेट लेना आवश्यक है। फिर A, C, D को संबंधित मान a 0 , c 0 और लेना होगा d0. प्रपत्र A D ± CD के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप a 0 d 0 ± c 0 d 0 के रूप में अंतर आ जाता है, जहाँ, योग नियम के अनुसार, हमें a 0 ± c 0 d 0 के रूप का एक सूत्र प्राप्त होता है। यदि हम अभिव्यक्ति A ± C D को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें a 0 ± c 0 d 0 के रूप का वही भिन्न प्राप्त होता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि चुना गया मान जो ODZ, A ± C D और A D ± C D को संतुष्ट करता है, बराबर माना जाता है।

चरों के किसी भी मान के लिए ये व्यंजक समान होंगे, अर्थात इन्हें सर्वसम समान कहा जाता है। इसका मतलब यह है कि इस अभिव्यक्ति को A D ± C D = A ± C D रूप की सिद्ध समानता माना जाता है।

चर के साथ भिन्नों के जोड़ और घटाव के उदाहरण

जब हर समान हों तो केवल अंशों को जोड़ना या घटाना आवश्यक होता है। इस अंश को सरल बनाया जा सकता है. कभी-कभी आपको उन भिन्नों के साथ काम करना पड़ता है जो समान रूप से समान होते हैं, लेकिन पहली नज़र में यह ध्यान देने योग्य नहीं है, क्योंकि कुछ परिवर्तन किए जाने चाहिए। उदाहरण के लिए, x 2 3 x 1 3 + 1 और x 1 3 + 1 2 या 1 2 पाप 2 α और पाप ए कॉस ए। अक्सर, समान हर को देखने के लिए मूल अभिव्यक्ति के सरलीकरण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 6

गणना करें: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2), x - 1 x - 1 + एक्स एक्स + 1 .

समाधान

1. गणना करने के लिए, आपको उन भिन्नों को घटाना होगा जिनके हर समान हों। तब हम पाते हैं कि x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2। उसके बाद, आप समान पदों की कमी के साथ कोष्ठक खोल सकते हैं। हम पाते हैं कि x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. चूँकि हर समान हैं, इसलिए हर को छोड़कर अंशों को जोड़ना बाकी है: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   जोड़ने का काम पूरा हो चुका है. यह देखा जा सकता है कि अंश को कम किया जा सकता है। इसके अंश को योग वर्ग सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है, तो हमें (l g x + 2) 2 मिलता है संक्षिप्त गुणन सूत्रों से. तब हमें वह मिलता है
   एल जी 2 एक्स + 4 + 2 एल जी एक्स एक्स (एल जी एक्स + 2) = (एल जी एक्स + 2) 2 एक्स (एल जी एक्स + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स
3. विभिन्न हरों के साथ x - 1 x - 1 + x x + 1 के रूप में भिन्न दिए गए हैं। परिवर्तन के बाद, आप जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

आइए दोतरफा समाधान पर विचार करें।

पहली विधि यह है कि पहले अंश के हर को वर्गों का उपयोग करके गुणनखंडन के अधीन किया जाता है, और इसके बाद इसकी कमी की जाती है। हमें फॉर्म का एक अंश मिलता है

एक्स - 1 एक्स - 1 = एक्स - 1 (एक्स - 1) एक्स + 1 = 1 एक्स + 1

तो x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1।

इस मामले में, हर में अतार्किकता से छुटकारा पाना आवश्यक है।

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

दूसरा तरीका यह है कि दूसरे भिन्न के अंश और हर को x - 1 से गुणा करें। इस प्रकार, हम अतार्किकता से छुटकारा पा लेते हैं और समान हर वाले भिन्न को जोड़ने के लिए आगे बढ़ते हैं। तब

एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स - 1 = = एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स - 1 = एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स - 1

उत्तर: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स, 3) एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स - 1।

पिछले उदाहरण में, हमने पाया कि एक सामान्य हर में कमी अपरिहार्य है। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नों को सरल बनाना होगा। जोड़ने या घटाने के लिए, आपको हमेशा एक सामान्य हर की तलाश करनी होगी, जो अंशों में अतिरिक्त कारकों को जोड़ने के साथ हर के उत्पाद की तरह दिखता है।

उदाहरण 7

भिन्नों के मानों की गणना करें: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - पाप x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

समाधान

1. हर को किसी भी जटिल गणना की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए आपको फॉर्म 3 x 7 + 2 2 के उनके उत्पाद को चुनने की आवश्यकता है, फिर पहले अंश के लिए x 7 + 2 2 को एक अतिरिक्त कारक के रूप में चुना जाता है, और 3 को दूसरे के रूप में चुना जाता है। गुणा करने पर, हमें x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = = x x 7 + 2 2 + 3 3 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. यह देखा जा सकता है कि हरों को एक उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसका अर्थ है कि अतिरिक्त परिवर्तन अनावश्यक हैं। उभयनिष्ठ हर x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 के रूप का गुणनफल होगा। यहाँ से x 4 पहले भिन्न का एक अतिरिक्त गुणनखंड है, और ln (x + 1) दूसरे को. फिर हम घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - पाप x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - पाप x एलएन एक्स + 1 एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4) = = एक्स + 1 एक्स 4 - पाप एक्स एलएन (एक्स + 1) एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4) = x x 4 + x 4 - पाप x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4 )
3. भिन्नों के हर के साथ काम करते समय यह उदाहरण समझ में आता है। वर्गों के अंतर और योग के वर्ग के सूत्रों को लागू करना आवश्यक है, क्योंकि वे 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) के रूप की अभिव्यक्ति को पारित करना संभव बना देंगे। ) 2 . यह देखा जा सकता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया गया है। हम पाते हैं कि cos x - x cos x + x 2।

तब हमें वह मिलता है

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos + कॉस x - x कॉस x - x कॉस x + x 2 = = कॉस x + x + कॉस x - x कॉस x - x कॉस x + x 2 = 2 कॉस x कॉस

उत्तर:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - पाप x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - पाप x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2।

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा किया जाता है। फिर आप कमी संपत्ति लागू कर सकते हैं।

उदाहरण 8

भिन्नों x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 syn 2 x - x को गुणा करें।

समाधान

आपको गुणा करना होगा. हमें वह मिल गया

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)

गणना की सुविधा के लिए संख्या 3 को पहले स्थान पर स्थानांतरित किया जाता है, और आप अंश को x 2 से कम कर सकते हैं, फिर हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 पाप (2 x - x)

उत्तर: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 पाप (2 एक्स - एक्स) .

विभाजन

भिन्नों का विभाजन गुणन के समान है, क्योंकि पहले भिन्न को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम भिन्न x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 लें और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 syn 2 x - x से विभाजित करें, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x), फिर x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + के रूप के गुणनफल से प्रतिस्थापित करें 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x)

घातांक

आइए घातांक के साथ सामान्य रूप के भिन्नों के साथ क्रिया पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। यदि प्राकृतिक सूचकांक के साथ कोई डिग्री है, तो क्रिया को समान भिन्नों का गुणन माना जाता है। लेकिन डिग्री के गुणों के आधार पर एक सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। कोई भी अभिव्यक्ति ए और सी, जहां सी बिल्कुल शून्य के बराबर नहीं है, और फॉर्म ए सी आर की अभिव्यक्ति के लिए ओडीजेड पर कोई वास्तविक आर, समानता ए सी आर = ए आर सी आर सत्य है। परिणाम एक घात तक बढ़ा हुआ अंश है। उदाहरण के लिए, विचार करें:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

भिन्नों के साथ संक्रियाओं का क्रम

भिन्नों पर क्रियाएँ कुछ नियमों के अनुसार की जाती हैं। व्यवहार में, हम देखते हैं कि एक अभिव्यक्ति में कई भिन्न या भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ हो सकती हैं। फिर सभी क्रियाओं को एक सख्त क्रम में करना आवश्यक है: एक घात तक बढ़ाना, गुणा करना, विभाजित करना, फिर जोड़ना और घटाना। यदि कोष्ठक हैं, तो पहली क्रिया उनमें की जाती है।

उदाहरण 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x की गणना करें।

समाधान

चूँकि हमारे पास एक ही भाजक है, तो 1 - x cos x और 1 c o s x, लेकिन नियम के अनुसार घटाना असंभव है, पहले कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं, फिर गुणा, और फिर जोड़। फिर, गणना करते समय, हमें वह मिलता है

1 + 1 एक्स = 1 1 + 1 एक्स = एक्स एक्स + 1 एक्स = एक्स + 1 एक्स

व्यंजक को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x। भिन्नों को गुणा करने पर, हमें मिलता है: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x। सभी प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें 1 - x cos x - x + 1 cos x · x प्राप्त होता है। अब आपको उन भिन्नों के साथ काम करने की ज़रूरत है जिनके हर अलग-अलग हैं। हम पाते हैं:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x

उत्तर: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x।

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अनुदेश

सबसे पहले, याद रखें कि भिन्न एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने के लिए एक सशर्त संकेत मात्र है। जोड़ और गुणा के अलावा, दो पूर्णांकों को विभाजित करने पर हमेशा पूर्णांक नहीं बनता है। तो इन दो "विभाज्य" संख्याओं को कॉल करें। जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है वह अंश है, और जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है वह हर है।

भिन्न लिखने के लिए सबसे पहले उसका अंश लिखें, फिर इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचें और रेखा के नीचे हर लिखें। अंश और हर को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा को भिन्नात्मक पट्टी कहा जाता है। कभी-कभी इसे स्लैश "/" या "∕" के रूप में दर्शाया जाता है। इस मामले में, अंश को पंक्ति के बाईं ओर और हर को दाईं ओर लिखा जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न "दो-तिहाई" को 2/3 के रूप में लिखा जाएगा। स्पष्टता के लिए, अंश आमतौर पर पंक्ति के शीर्ष पर लिखा जाता है, और हर नीचे, यानी 2/3 के बजाय, आप पा सकते हैं: ⅔।

यदि किसी भिन्न का अंश उसके हर से बड़ा है, तो ऐसे "अनुचित" भिन्न को आमतौर पर "मिश्रित" भिन्न के रूप में लिखा जाता है। किसी अनुचित भिन्न से मिश्रित भिन्न प्राप्त करने के लिए, बस अंश को हर से विभाजित करें और परिणामी भागफल को लिख लें। फिर भाग के शेष भाग को भिन्न के अंश में रखें और इस भिन्न को भागफल के दाईं ओर लिखें (हर को न छुएं)। उदाहरण के लिए, 7/3 = 2⅓.

समान हर वाली दो भिन्नों को जोड़ने के लिए, बस उनके अंश जोड़ें (हर को छोड़ दें)। उदाहरण के लिए, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. इसी प्रकार, दो भिन्नों को घटाएँ (अंश घटाएँ)। उदाहरण के लिए, 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

भिन्न हर वाले दो भिन्नों को जोड़ने के लिए, पहले भिन्न के अंश और हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें, और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले भिन्न के हर से गुणा करें। परिणामस्वरूप, आपको समान हर वाले दो भिन्नों का योग मिलेगा, जिसका जोड़ पिछले पैराग्राफ में वर्णित है।

उदाहरण के लिए, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 15/12.

यदि भिन्नों के हरों में उभयनिष्ठ भाजक हों, अर्थात वे एक ही संख्या से विभाज्य हों, तो एक ही समय में पहले और दूसरे हर से विभाज्य सबसे छोटी संख्या को उभयनिष्ठ हर के रूप में चुनें। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि पहला हर 6 और दूसरा 8 है, तो एक सामान्य हर के रूप में उनका गुणनफल (48) नहीं, बल्कि संख्या 24 लें, जो 6 और 8 दोनों से विभाज्य है। तब भिन्नों के अंश हैं प्रत्येक भिन्न के हर द्वारा सामान्य हर को विभाजित करने के भागफल से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, हर 6 के लिए यह संख्या 4 - (24/6) होगी, और हर 8 - 3 (24/8) के लिए। यह प्रक्रिया एक विशिष्ट उदाहरण में अधिक स्पष्ट रूप से देखी जाती है:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

अलग-अलग हर वाले भिन्नों का घटाव बिल्कुल उसी तरह से किया जाता है।

अगली क्रिया जो साधारण भिन्नों के साथ की जा सकती है वह है घटाव। इस सामग्री के भाग के रूप में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि समान और भिन्न हर वाले भिन्नों के बीच अंतर की सही गणना कैसे करें, किसी प्राकृतिक संख्या से भिन्न को कैसे घटाएं और इसके विपरीत। सभी उदाहरणों को कार्यों के साथ चित्रित किया जाएगा। आइए पहले ही स्पष्ट कर दें कि हम केवल उन मामलों का विश्लेषण करेंगे जहां भिन्नों के अंतर के परिणामस्वरूप सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है।

समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर कैसे ज्ञात करें

आइए तुरंत एक उदाहरणात्मक उदाहरण से शुरुआत करें: मान लीजिए कि हमारे पास एक सेब है जिसे आठ भागों में विभाजित किया गया है। आइए प्लेट में पांच हिस्से छोड़ दें और उनमें से दो ले लें. इस क्रिया को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

हम 3 आठवें भाग के साथ समाप्त होते हैं क्योंकि 5 − 2 = 3। इससे पता चलता है कि 5 8 - 2 8 = 3 8।

इस सरल उदाहरण से, हमने देखा कि समान हर वाले भिन्नों के लिए घटाव नियम कैसे काम करता है। आइए इसे तैयार करें.

परिभाषा 1

समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको एक के अंश को दूसरे के अंश से घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा। इस नियम को a b - c b = a - c b के रूप में लिखा जा सकता है।

हम इस सूत्र का उपयोग निम्नलिखित में करेंगे।

आइए ठोस उदाहरण लें.

उदाहरण 1

भिन्न 24 15 में से उभयनिष्ठ भिन्न 17 15 घटाएँ।

समाधान

हम देखते हैं कि इन भिन्नों के हर समान हैं। तो हमें बस 24 में से 17 घटाना है। हमें 7 प्राप्त होता है और इसमें एक हर जोड़ने पर हमें 7 15 प्राप्त होता है।

हमारी गणना इस प्रकार लिखी जा सकती है: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

यदि आवश्यक हो, तो गिनती को और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए आप एक जटिल भिन्न को कम कर सकते हैं या किसी अनुचित भिन्न से पूरे भाग को अलग कर सकते हैं।

उदाहरण 2

अंतर ज्ञात कीजिए 37 12 - 15 12।

समाधान

आइए ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करें और गणना करें: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

यह देखना आसान है कि अंश और हर को 2 से विभाजित किया जा सकता है (हमने इस बारे में पहले ही बात की थी जब हमने विभाज्यता के संकेतों का विश्लेषण किया था)। उत्तर को घटाने पर हमें 11 6 प्राप्त होता है। यह एक अनुचित भिन्न है, जिसमें से हम संपूर्ण भाग का चयन करेंगे: 11 6 = 1 5 6।

विभिन्न हर वाले भिन्नों के बीच अंतर कैसे ज्ञात करें

इस तरह की गणितीय संक्रिया को उस स्तर तक कम किया जा सकता है जिसका वर्णन हम पहले ही ऊपर कर चुके हैं। ऐसा करने के लिए, बस वांछित भिन्नों को एक ही हर में लाएँ। आइए परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा 2

भिन्न-भिन्न हर वाले भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको उन्हें एक ही हर में लाना होगा और अंशों के बीच अंतर ज्ञात करना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3

2 9 में से 1 15 घटाइये।

समाधान

हर अलग-अलग हैं, और आपको उन्हें सबसे छोटे सामान्य मान तक कम करने की आवश्यकता है। इस मामले में, एलसीएम 45 है। पहले भिन्न के लिए 5 के अतिरिक्त गुणनखंड की आवश्यकता होती है, और दूसरे के लिए - 3 की।

आइए गणना करें: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

हमें समान हर वाली दो भिन्नें मिलीं, और अब हम पहले वर्णित एल्गोरिदम का उपयोग करके आसानी से उनका अंतर पा सकते हैं: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

समाधान का संक्षिप्त रिकॉर्ड इस तरह दिखता है: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45।

यदि आवश्यक हो तो परिणाम में कमी या उसमें से पूरे भाग के चयन की उपेक्षा न करें। इस उदाहरण में, हमें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 4

अंतर ज्ञात कीजिए 19 9 - 7 36।

समाधान

हम स्थिति में दर्शाए गए भिन्नों को निम्नतम उभयनिष्ठ हर 36 पर लाते हैं और क्रमशः 76 9 और 7 36 प्राप्त करते हैं।

हम उत्तर पर विचार करते हैं: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

परिणाम को 3 से घटाकर 23 12 प्राप्त किया जा सकता है। अंश, हर से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि हम पूरा भाग निकाल सकते हैं। अंतिम उत्तर 1 11 12 है।

संपूर्ण समाधान का सारांश 19 9 - 7 36 = 1 11 12 है।

एक सामान्य भिन्न से एक प्राकृतिक संख्या कैसे घटाएं

ऐसी क्रिया को साधारण भिन्नों के साधारण घटाव तक भी आसानी से घटाया जा सकता है। यह किसी प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करके किया जा सकता है। चलिए एक उदाहरण दिखाते हैं.

उदाहरण 5

अंतर ज्ञात कीजिए 83 21 - 3।

समाधान

3, 3 1 के समान है। फिर आप इस तरह गणना कर सकते हैं: 83 21 - 3 \u003d 20 21।

यदि स्थिति में किसी अनुचित भिन्न से पूर्णांक घटाना आवश्यक हो, तो पहले उसमें से पूर्णांक निकालकर उसे मिश्रित संख्या के रूप में लिखना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर पिछले उदाहरण को अलग तरीके से हल किया जा सकता है।

भिन्न 83 21 से, जब आप पूर्णांक भाग का चयन करते हैं, तो आपको 83 21 = 3 20 21 प्राप्त होता है।

अब बस इसमें से 3 घटा दें: 3 20 21 - 3 = 20 21।

किसी प्राकृत संख्या से भिन्न को कैसे घटाएं

यह क्रिया पिछले वाले की तरह ही की जाती है: हम एक प्राकृतिक संख्या को भिन्न के रूप में फिर से लिखते हैं, दोनों को एक सामान्य हर में लाते हैं और अंतर पाते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करें।

उदाहरण 6

अंतर ज्ञात करें: 7 - 5 3।

समाधान

आइए 7 को एक भिन्न 7 1 बनाएं। हम घटाव करते हैं और अंतिम परिणाम को रूपांतरित करते हैं, इसमें से पूर्णांक भाग निकालते हैं: 7 - 5 3 = 5 1 3।

गणना करने का एक और तरीका है. इसके कुछ फायदे हैं जिनका उपयोग उन मामलों में किया जा सकता है जहां समस्या में भिन्नों के अंश और हर बड़ी संख्या में होते हैं।

परिभाषा 3

यदि घटाया जाने वाला अंश सही है, तो जिस प्राकृतिक संख्या से हम घटा रहे हैं उसे दो संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, जिनमें से एक 1 के बराबर है। उसके बाद, आपको इकाई से वांछित भिन्न को घटाना होगा और उत्तर प्राप्त करना होगा।

उदाहरण 7

अंतर की गणना करें 1 065 - 13 62।

समाधान

घटाया जाने वाला भिन्न सही है, क्योंकि इसका अंश हर से छोटा है। इसलिए, हमें 1065 में से एक घटाना होगा और उसमें से वांछित भिन्न घटाना होगा: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

अब हमें इसका उत्तर ढूंढना होगा. घटाव के गुणों का उपयोग करके, परिणामी अभिव्यक्ति को 1064 + 1 - 13 62 के रूप में लिखा जा सकता है। आइए कोष्ठक में अंतर की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम इकाई को भिन्न 1 1 के रूप में निरूपित करते हैं।

यह पता चला कि 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62।

आइए अब 1064 के बारे में याद करें और उत्तर तैयार करें: 1064 49 62।

हम यह साबित करने के लिए पुराने तरीके का उपयोग करते हैं कि यह कम सुविधाजनक है। यहां वे गणनाएं हैं जो हमें मिलेंगी:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

उत्तर वही है, लेकिन गणनाएँ स्पष्ट रूप से अधिक बोझिल हैं।

हमने उस मामले पर विचार किया जब आपको सही भिन्न को घटाने की आवश्यकता होती है। यदि यह गलत है, तो हम इसे मिश्रित संख्या से बदल देते हैं और परिचित नियमों के अनुसार घटा देते हैं।

उदाहरण 8

अंतर की गणना करें 644 - 73 5।

समाधान

दूसरा अंश अनुचित है, और पूरे हिस्से को इससे अलग किया जाना चाहिए।

अब हम पिछले उदाहरण की तरह ही गणना करते हैं: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

भिन्नों के साथ कार्य करते समय घटाव गुण

प्राकृतिक संख्याओं के घटाव में जो गुण होते हैं, वे साधारण भिन्नों को घटाने के मामलों पर भी लागू होते हैं। आइए देखें कि उदाहरणों को हल करते समय उनका उपयोग कैसे करें।

उदाहरण 9

अंतर ज्ञात कीजिए 24 4 - 3 2 - 5 6।

समाधान

जब हमने किसी संख्या से किसी राशि के घटाव का विश्लेषण किया तो हमने पहले ही ऐसे उदाहरण हल कर लिए हैं, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिदम के अनुसार कार्य करते हैं। सबसे पहले, हम अंतर 25 4 - 3 2 की गणना करते हैं, और फिर इसमें से अंतिम अंश घटाते हैं:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

आइए उत्तर से पूर्णांक भाग निकालकर उसे रूपांतरित करें। परिणाम 3 11 12 है.

संपूर्ण समाधान का संक्षिप्त सारांश:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

यदि अभिव्यक्ति में अंश और प्राकृतिक संख्या दोनों शामिल हैं, तो गणना करते समय उन्हें प्रकारों के आधार पर समूहित करने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 10

अंतर ज्ञात कीजिए 98 + 17 20 - 5 + 3 5।

समाधान

घटाव और जोड़ के मूल गुणों को जानने के बाद, हम संख्याओं को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

आइए गणना पूरी करें: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

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माध्यमिक विद्यालय की 5वीं कक्षा में, भिन्न का प्रतिनिधित्व पेश किया जाता है। भिन्न एक संख्या है जिसमें इकाइयों के भिन्नों की पूरी संख्या शामिल होती है। साधारण भिन्नों को ±m/n के रूप में लिखा जाता है, संख्या m को भिन्न का अंश कहा जाता है, संख्या n इसका हर है। यदि हर मॉड्यूल, अंश मॉड्यूल से बड़ा है, मान लीजिए 3/4, तो भिन्न को सही कहा जाता है, अन्यथा यह गलत है। एक भिन्न में एक पूर्णांक भाग हो सकता है, मान लीजिए 5* (2/3)। भिन्नों के लिए विभिन्न अंकगणितीय संक्रियाओं की अनुमति है।

अनुदेश

1. एक उभयनिष्ठ हर में कमी। मान लीजिए कि भिन्न a/b और c/d दिए गए हैं। - सबसे पहले, भिन्नों के हर के लिए LCM (न्यूनतम समापवर्तक) की संख्या ज्ञात की जाती है। - पहले का अंश और हर भिन्न को LCM/b से गुणा किया जाता है - दूसरे भिन्न के अंश और हर को LCM/d से गुणा किया जाता है। एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है। भिन्नों की तुलना करने के लिए, उन्हें एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, फिर अंशों की तुलना करें। 3/4 कहें< 4/5, см. рисунок.

2. भिन्नों का जोड़ और घटाव। 2 साधारण भिन्नों का योग ज्ञात करने के लिए, उन्हें एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, फिर अंशों को जोड़ें, हर को अपरिवर्तित छोड़ दें। भिन्नों 1/2 और 1/3 को जोड़ने का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है। भिन्नों के बीच का अंतर इसी प्रकार पाया जाता है, उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने के बाद भिन्नों के अंशों को घटा दिया जाता है, चित्र में उदाहरण देखें।

3. भिन्नों का गुणन और विभाजन। साधारण भिन्नों को गुणा करते समय, अंश और हर को एक दूसरे से गुणा किया जाता है। दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने की आवश्यकता होती है, अर्थात। इसके अंश और हर को स्थानों पर बदलें, और फिर परिणामी भिन्नों को गुणा करें।

मापांकअभिव्यक्ति के बिना शर्त मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। किसी मॉड्यूल को नामित करने के लिए कोष्ठक का उपयोग किया जाता है। उनमें कैदियों के मूल्यों को मॉड्यूलो लिया जाता है। मॉड्यूल का समाधान कुछ नियमों के अनुसार मॉड्यूल ब्रैकेट का विस्तार करना और अभिव्यक्ति के मूल्यों का सेट ढूंढना है। ज्यादातर मामलों में, मॉड्यूल को इस तरह से विस्तारित किया जाता है कि सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति को शून्य सहित कई सकारात्मक और नकारात्मक मान प्राप्त होते हैं। मॉड्यूल के इन गुणों के आधार पर, प्रारंभिक अभिव्यक्ति के आगे के समीकरण और असमानताएं संकलित और हल की जाती हैं।

अनुदेश

1. मापांक के साथ प्रारंभिक समीकरण लिखिए। इसे हल करने के लिए, मॉड्यूल का विस्तार करें। किसी भी सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति पर विचार करें। निर्धारित करें कि इसमें शामिल अपरिचित मूल्यों के किस मूल्य पर, मॉड्यूलर कोष्ठक में अभिव्यक्ति गायब हो जाती है।

2. ऐसा करने के लिए, सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण का समाधान ढूंढें। पाए गए मान लिखिए। इसी प्रकार, दिए गए समीकरण में संपूर्ण मॉड्यूल के लिए अपरिचित चर के मान निर्धारित करें।

3. उन मामलों पर विचार करें जहां चर तब मौजूद होते हैं जब वे शून्य से अच्छे होते हैं। ऐसा करने के लिए, प्रारंभिक समीकरण के सभी मॉड्यूल के लिए असमानताओं की एक प्रणाली लिखें। असमानताओं में संख्या रेखा पर चर के सभी मान्य मान शामिल होने चाहिए।

4. एक संख्या रेखा खींचें और परिणामी मानों को उस पर अंकित करें। शून्य मॉड्यूल में चर के मान मॉड्यूलर समीकरण को हल करने में बाधाओं के रूप में काम करेंगे।

5. प्रारंभिक समीकरण में, अभिव्यक्ति के चिह्न को बदलते हुए, मॉड्यूलर कोष्ठक का विस्तार करना आवश्यक है ताकि चर के मान संख्या रेखा पर प्रदर्शित मानों के अनुरूप हों। परिणामी समीकरण को हल करें. मॉड्यूल द्वारा निर्धारित सीमा के विरुद्ध चर के पाए गए मान की जाँच करें। यदि समाधान शर्त को पूरा करता है, तो यह सत्य है। जो जड़ें प्रतिबंधों को पूरा नहीं करतीं उन्हें त्याग देना चाहिए।

6. इसी प्रकार, चिह्न को ध्यान में रखते हुए प्रारंभिक अभिव्यक्ति के मॉड्यूल का विस्तार करें और परिणामी समीकरण की जड़ों की गणना करें। उन सभी प्राप्त मूलों को लिखिए जो बाधा असमानताओं को संतुष्ट करते हैं।

भिन्नात्मक संख्याएँ किसी मात्रा के सटीक मान को विभिन्न रूपों में व्यक्त करने की अनुमति देती हैं। भिन्नों के साथ पूर्णांकों के समान ही गणितीय कार्य करने की अनुमति है: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। निर्णय लेना सीखें अंशों, आपको उनकी कुछ विशेषताओं को याद रखना होगा। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य हर। कुछ अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए बाद में कुल के भिन्नात्मक भाग को कम करने की आवश्यकता होती है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर

अनुदेश

1. इन नंबरों को ध्यान से देखिए. यदि भिन्नों के बीच दशमलव और गलत दोनों हैं, तो कभी-कभी पहले दशमलव के साथ क्रिया करना और फिर उन्हें गलत रूप में अनुवाद करना अधिक आरामदायक होता है। क्या तुम अनुवाद कर सकते हो अंशोंइस रूप में प्रारंभ में अंश में अल्पविराम के बाद मान लिखना और हर में 10 लगाना। यदि आवश्यक हो, तो बार के ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक विभाजक से विभाजित करके भिन्न को कम करें। जिन भिन्नों में पूरा भाग दिया गया है, उन्हें हर से गुणा करने और अंश को योग में जोड़ने से गलत रूप बन जाता है। यह मान नया अंश बन जाएगा अंशों. प्रारंभ में ग़लत से पूरे भाग को उजागर करने के लिए अंशों, अंश को हर से विभाजित करें। के बायीं ओर पूरा योग लिखें अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, हर बन जाता है अंशोंजबकि नहीं बदल रहा है. पूर्णांक भाग वाले भिन्नों के लिए, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए अलग-अलग क्रियाएं करने की अनुमति है। मान लीजिए कि योग 1 2/3 और 2 है? दो तरीकों से गणना की जा सकती है: - भिन्नों को ग़लत रूप में परिवर्तित करना: - 1 2/3 + 2? = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;- पदों के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का अलग-अलग योग: - 1 2/3 + 2 ? = (1 + 2) + (2/3 +?) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12।

2. बार के नीचे विभिन्न मानों वाले अनुचित भिन्नों के लिए, उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें। मान लीजिए 5/9 और 7/12 के लिए उभयनिष्ठ हर 36 है। इसके लिए पहले का अंश और हर अंशोंआपको 4 से गुणा करना होगा (यह 28/36 निकलेगा), और 2 को - 3 से गुणा करना होगा (यह 15/36 निकलेगा)। अब आप आवश्यक गणनाएँ कर सकते हैं.

3. यदि आप भिन्नों के योग या अंतर की गणना करने जा रहे हैं, तो पहले पाए गए सामान्य हर को पंक्ति के नीचे लिखें। अंशों के बीच आवश्यक क्रियाएं करें, और परिणाम को नई पंक्ति पर लिखें अंशों. इस प्रकार, नया अंश मूल भिन्नों के अंशों का अंतर या योग होगा।

4. भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए भिन्नों के अंशों को गुणा करें और अंतिम के अंश के स्थान पर योग लिखें अंशों. हरों के लिए भी ऐसा ही करें. एक को बाँटते समय अंशोंएक भिन्न को दूसरे भिन्न पर लिखें, और फिर उसके अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। उसी समय, पहले का भाजक अंशोंतदनुसार अंश 2 से गुणा किया जाता है। इस मामले में, मूल तख्तापलट 2 अंशों(विभाजक). अंतिम भिन्न में दोनों भिन्नों के अंश और हर को गुणा करने के परिणाम शामिल होंगे। इसे हल करना सीखना आसान है अंशों, "चार मंजिला" के रूप में स्थिति में लिखा गया अंशों. यदि एक रेखा दो को अलग करती है अंशों, उन्हें ":" सीमांकक के साथ फिर से लिखें, और सामान्य विभाजन के साथ जारी रखें।

5. अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंश और हर को एक पूर्णांक से विभाजित करके परिणामी अंश को कम करें, जो इस मामले में सबसे बड़ा स्वीकार्य है। उसी समय, पूर्णांक संख्याएँ रेखा के ऊपर और नीचे होनी चाहिए।

टिप्पणी!
उन भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ न करें जिनके हर भिन्न हों। ऐसी संख्या चुनें कि जब किसी भिन्न के अंश और हर को उससे गुणा किया जाए तो परिणाम स्वरूप दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

मददगार सलाह
भिन्नात्मक संख्याएँ लिखते समय लाभांश रेखा के ऊपर लिखा जाता है। इस मात्रा को भिन्न का अंश कहा जाता है। रेखा के नीचे भिन्न का भाजक या हर लिखा होता है। मान लीजिए कि डेढ़ किलोग्राम चावल को अंश के रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा: 1? किलो चावल. यदि किसी भिन्न का हर 10 है, तो उसे दशमलव भिन्न कहा जाता है। इस मामले में, अंश (लाभांश) को अल्पविराम से अलग किए गए पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना की सुविधा के लिए, ऐसे अंश को हमेशा गलत रूप में लिखने की अनुमति है: 1 2/10 किलो आलू। इसे आसान बनाने के लिए, आप अंश और हर के मान को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके कम कर सकते हैं। इस उदाहरण में, 2 से विभाजन स्वीकार्य है। परिणाम 1 1/5 किलोग्राम आलू है। सुनिश्चित करें कि जिन संख्याओं के साथ आप अंकगणितीय परिचालन करने जा रहे हैं वे उसी तरह प्रस्तुत किए गए हैं।

यदि आप एक टर्म पेपर लिख रहे हैं या गणना भाग वाले किसी अन्य दस्तावेज़ को संकलित कर रहे हैं, तो आप भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों से दूर नहीं रह सकते हैं जिन्हें मुद्रित करने की भी आवश्यकता है। यह कैसे करें, हम आगे विचार करेंगे।

अनुदेश

1. "सम्मिलित करें" मेनू आइटम पर एक बार क्लिक करें, फिर "प्रतीक" आइटम का चयन करें। यह सबसे आदिम सम्मिलित विधियों में से एक है। अंशोंपाठ करने के लिए। यह बाद में ख़त्म हो जाता है. तैयार पात्रों का सेट है अंशों. उनकी संख्या, हमेशा की तरह, छोटी है, लेकिन यदि आपको पाठ में ? लिखना है, न कि 1/2, तो एक समान विकल्प आपके लिए सबसे इष्टतम होगा। इसके अलावा, अंश वर्णों की संख्या फ़ॉन्ट पर भी निर्भर हो सकती है। उदाहरण के लिए, टाइम्स न्यू रोमन फ़ॉन्ट के लिए, अंश समान एरियल की तुलना में थोड़े छोटे होते हैं। जब आदिम अभिव्यक्तियों की बात आती है तो सबसे अच्छा विकल्प खोजने के लिए फ़ॉन्ट में बदलाव करें।

2. मेनू आइटम "इन्सर्ट" पर क्लिक करें और उप-आइटम "ऑब्जेक्ट" चुनें। आपको सम्मिलन के लिए मान्य वस्तुओं की सूची वाली एक विंडो दिखाई देगी। उनमें से Microsoft समीकरण 3.0 चुनें। यह ऐप आपको टाइप करने में मदद करेगा अंशों. और न केवल अंशों, लेकिन विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों और अन्य तत्वों से युक्त कठिन गणितीय अभिव्यक्तियाँ भी। बाईं माउस बटन से इस ऑब्जेक्ट पर डबल-क्लिक करें। आपको एक विंडो दिखाई देगी जिसमें कई अक्षर होंगे।

3. भिन्न को मुद्रित करने के लिए, खाली अंश और हर के साथ भिन्न का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रतीक का चयन करें। बाईं माउस बटन से एक बार उस पर क्लिक करें। की योजना निर्दिष्ट करते हुए एक अतिरिक्त मेनू दिखाई देगा अंशों. कई विकल्प हो सकते हैं. अपने लिए सबसे उपयुक्त चुनें और बाईं माउस बटन से उस पर एक बार क्लिक करें।

4. अंश और हर टाइप करें अंशोंसभी आवश्यक डेटा. यह दस्तावेज़ शीट पर अधिक स्वाभाविक रूप से प्रवाहित होगा। अंश को एक अलग ऑब्जेक्ट के रूप में डाला जाएगा, जिसे यदि आवश्यक हो, तो दस्तावेज़ में किसी भी स्थान पर ले जाया जा सकता है। आप बहुमंजिला प्रिंट कर सकते हैं अंशों. ऐसा करने के लिए, अंश या हर में (जैसा आपको चाहिए) एक और भिन्न रखें जिसे आप उसी एप्लिकेशन की विंडो में पसंद कर सकें।

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एक बीजगणितीय अंश ए / बी रूप की एक अभिव्यक्ति है, जहां अक्षर ए और बी किसी भी संख्यात्मक या वर्णमाला अभिव्यक्ति को दर्शाते हैं। अक्सर बीजगणितीय भिन्नों में अंश और हर का आकार बड़ा होता है, लेकिन ऐसे भिन्नों के साथ संचालन सामान्य अंशों के साथ संचालन के समान नियमों के अनुसार किया जाना चाहिए, जहां अंश और हर नियमित पूर्णांक होते हैं।

अनुदेश

1. अगर मिलाकर दिया जाए अंशों, उन्हें अनियमित में बदलें (एक अंश जिसमें अंश हर से बड़ा होता है): हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें और अंश जोड़ें। तो संख्या 2 1/3 7/3 में बदल जाएगी। ऐसा करने के लिए, 3 को 2 से गुणा करें और एक जोड़ें।

2. यदि आपको दशमलव अंश को अनुचित अंश में बदलने की आवश्यकता है, तो इसे अल्पविराम के बिना एक संख्या को उतने ही शून्य से विभाजित करने के रूप में कल्पना करें जितनी अल्पविराम के बाद संख्याएँ हैं। मान लीजिए कि संख्या 2.5 को 25/10 के रूप में दर्शाया गया है (यदि आप इसे कम करते हैं, तो आपको 5/2 मिलता है), और संख्या 3.61 - 361/100 के रूप में प्रदर्शित की जाती है। मिश्रित या दशमलव भिन्नों की तुलना में अनुचित भिन्नों के साथ काम करना अक्सर आसान होता है।

3. यदि भिन्नों के हर समान हों और आपको उन्हें जोड़ने की आवश्यकता हो, तो अंशों को मूल रूप से जोड़ें; हर अपरिवर्तित रहते हैं.

4. यदि आपको पहली भिन्न के अंश से समान हर वाली भिन्न को घटाना है, तो दूसरी भिन्न के अंश को घटाएँ। हर भी नहीं बदलता.

5. यदि आपको भिन्नों को जोड़ने या एक भिन्न को दूसरे भिन्न से घटाने की आवश्यकता है, और उनके हर अलग-अलग हैं, तो भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ। ऐसा करने के लिए, वह संख्या ज्ञात करें जो दोनों हर या कई का सबसे छोटा सामान्य गुणक (एलसीएम) होगा यदि भिन्न 2 से बड़े हैं। एनओसी वह संख्या है जिसे सभी दिए गए भिन्नों के हरों से विभाजित किया जाएगा। उदाहरण के लिए, 2 और 5 के लिए यह संख्या 10 है।

6. समान चिह्न के बाद एक क्षैतिज रेखा खींचकर इस संख्या (NOC) को हर में लिखें। प्रत्येक पद में अतिरिक्त गुणनखंड जोड़ें - वह संख्या जिससे आपको एलसीएम प्राप्त करने के लिए अंश और हर दोनों को गुणा करना होगा। जोड़ या घटाव के चिह्न को संरक्षित करते हुए अंशों को चरणबद्ध तरीके से योगात्मक गुणनखंडों से गुणा करें।

7. कुल की गणना करें, यदि आवश्यक हो तो इसे कम करें, या पूरे भाग को हाइलाइट करें। उदाहरण के लिए - मोड़ने की आवश्यकता है? और?। दोनों भिन्नों का एलसीएम 12 है। फिर पहले भिन्न का अतिरिक्त गुणनखंड 4 है, दूसरे का - 3। कुल: ?+?=(1 4+1 3)/12=7/12।

8. यदि गुणन का उदाहरण दिया गया है, तो अंशों (यह कुल का अंश होगा) और हर (यह कुल का हर होगा) को एक साथ गुणा करें। इस मामले में, उन्हें एक सामान्य भाजक तक सीमित करने की आवश्यकता नहीं है।

9. किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न को उल्टा करना होगा और भिन्नों को गुणा करना होगा। अर्थात्, ए/बी: सी/डी = ए/बी डी/सी।

10. आवश्यकतानुसार अंश और हर का गुणनखंड करें। मान लीजिए, सार्वभौम गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर स्थानांतरित करें या संक्षिप्त गुणन के सूत्रों के अनुसार इसका विस्तार करें, ताकि उसके बाद, यदि आवश्यक हो, तो अंश और हर को जीसीडी - न्यूनतम सामान्य भाजक द्वारा कम करना संभव हो सके।

टिप्पणी!
संख्याओं को संख्याओं के साथ जोड़ें, एक ही प्रकार के अक्षरों को एक ही प्रकार के अक्षरों के साथ जोड़ें। मान लीजिए कि 3a और 4b को जोड़ना असंभव है, जिसका अर्थ है कि उनका योग या अंतर अंश में रहेगा - 3a±4b।

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भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हाई स्कूल में फ्रैक्शन बहुत कष्टप्रद नहीं होते हैं। उतने समय के लिए। जब तक आपका सामना तर्कसंगत घातांक और लघुगणक वाले घातांक से नहीं हो जाता। पर वहाँ…। आप दबाते हैं, आप कैलकुलेटर दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं का पूरा स्कोरबोर्ड दिखाता है। आपको तीसरी कक्षा की तरह अपने दिमाग से सोचना होगा।

आइए अंततः भिन्नों से निपटें! खैर, आप इनमें कितना उलझ सकते हैं!? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, भिन्न क्या हैं?

भिन्नों के प्रकार. परिवर्तन.

भिन्न तीन प्रकार की होती हैं.

1. सामान्य भिन्न , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी, क्षैतिज रेखा के बजाय, वे एक स्लैश डालते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, ठीक है, और इसी तरह। यहाँ हम अक्सर इसी वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या को कहा जाता है मीटर, निचला - हरयदि आप लगातार इन नामों को भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है ...), तो अपने आप को अभिव्यक्ति के साथ वाक्यांश बताएं: " ज़ज़्ज़याद करना! ज़ज़्ज़हर - बाहर zzzzतुम!" देखो, सब याद रखा जाएगा।)

डैश, जो क्षैतिज है, जो तिरछा है, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से निचली संख्या (हर) तक। और बस! डैश के बजाय, विभाजन चिन्ह - दो बिंदु लगाना काफी संभव है।

जब विभाजन पूर्णतया संभव हो तो ऐसा अवश्य करना चाहिए। अत: भिन्न "32/8" के स्थान पर संख्या "4" लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं भिन्न "4/1" के बारे में बात नहीं कर रहा हूँ। जो भी सिर्फ "4" है. और यदि यह पूरी तरह से विभाजित नहीं होता है, तो हम इसे एक अंश के रूप में छोड़ देते हैं। कभी-कभी आपको इसका उलटा भी करना पड़ता है। किसी पूर्ण संख्या से भिन्न बनाइये। लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि कार्य "बी" के उत्तर लिखना आवश्यक होगा।

3. मिश्रित संख्याएँ , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्याओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से यह जानना होगा कि यह कैसे करना है! और फिर पहेली में ऐसी संख्या सामने आएगी और लटक जाएगी...शुरू से। लेकिन हमें यह प्रक्रिया याद है! थोड़ा नीचे.

सर्वाधिक बहुमुखी सामान्य भिन्न. आइए उनसे शुरुआत करें. वैसे, यदि भिन्न में सभी प्रकार के लघुगणक, ज्या और अन्य अक्षर हैं, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सबकुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएँ सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

भिन्न का मूल गुण.

तो चलते हैं! सबसे पहले तो मैं आपको आश्चर्यचकित कर दूंगा. भिन्न परिवर्तनों की संपूर्ण विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे ही कहा जाता है भिन्न का मूल गुण. याद करना: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलेगी।वे:

यह स्पष्ट है कि आप तब तक आगे लिख सकते हैं, जब तक आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लॉगरिदम को भ्रमित न करें, हम उनसे आगे निपटेंगे। समझने वाली मुख्य बात यह है कि ये सभी विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं वही अंश . 2/3.

और हमें इसकी आवश्यकता है, ये सभी परिवर्तन? और कैसे! अब आप खुद ही देख लेंगे. सबसे पहले, आइए भिन्न के मूल गुण का उपयोग करें अंश संक्षेप. ऐसा लगेगा कि बात प्राथमिक है। हम अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करते हैं और बस इतना ही! गलत होना असंभव है! लेकिन...मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप हर जगह गलतियाँ कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे भिन्न को नहीं, बल्कि सभी प्रकार के अक्षरों के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को कम करना है।

अनावश्यक कार्य किए बिना भिन्नों को सही ढंग से और शीघ्रता से कैसे कम किया जाए, यह विशेष धारा 555 में पाया जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और हर को एक ही संख्या (या अभिव्यक्ति) से विभाजित करने की जहमत नहीं उठाता! वह बस ऊपर और नीचे से सब कुछ समान रूप से काटता है! यदि आप चाहें तो यह वह जगह है जहां एक सामान्य गलती छिपी होती है, एक भूल।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

सोचने की कोई बात नहीं है, हम ऊपर से अक्षर "a" और नीचे से ड्यूस काट देते हैं! हम पाते हैं:

सब कुछ सही है। लेकिन सच में आपने साझा किया पूरा अंश और पूरा हर "ए"। यदि आप केवल काट देने के आदी हैं, तो, जल्दबाजी में, आप अभिव्यक्ति में "ए" को काट सकते हैं

और फिर से प्राप्त करें

जो कि बिल्कुल गलत होगा. क्योंकि यहाँ पूरा"ए" पर अंश पहले से ही सांझा नहीं किया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता. वैसे, ऐसा संक्षिप्त नाम है, उम... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती। यह माफ़ नहीं है! याद करना? कम करते समय विभाजन करना आवश्यक है पूरा अंश और पूरा भाजक!

भिन्नों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं न कहीं एक अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। और अब उसके साथ कैसे काम करें? बिना कैलकुलेटर के? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग करें!? और यदि आप बहुत आलसी नहीं हैं, लेकिन सावधानी से पाँच घटाएँ, और पाँच भी घटाएँ, और यहाँ तक कि... जबकि इसे कम किया जा रहा है, संक्षेप में। हमें 3/8 मिलता है! बहुत अच्छा, है ना?

भिन्न का मूल गुण आपको साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने और इसके विपरीत करने की अनुमति देता है बिना कैलकुलेटर के! यह परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक रूप से दूसरे रूप में कैसे बदलें।

दशमलव के साथ यह आसान है. जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25. यह शून्य बिंदु, पच्चीस सौवां है। तो हम लिखते हैं: 25/100। हम घटाते हैं (अंश और हर को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य भिन्न मिलता है: 1/4। सभी। ऐसा होता है, और कुछ भी कम नहीं होता। जैसे 0.3. यह तीन दसवाँ भाग है, अर्थात्। 3/10.

यदि पूर्णांक शून्येतर हों तो क्या होगा? कोई बात नहीं। संपूर्ण भिन्न लिखिए बिना किसी अल्पविराम केअंश में, और हर में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17. यह पूरे तीन, सत्रह सौवाँ भाग है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं। हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी कम नहीं हुआ, इसका मतलब सब कुछ है। यह उत्तर है. प्राथमिक वाटसन! उपरोक्त सभी से, एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है .

लेकिन रिवर्स रूपांतरण, सामान्य से दशमलव, कुछ लोग कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते। और यह जरूरी है! आप परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे? हम इस प्रक्रिया को ध्यान से पढ़ते हैं और इसमें महारत हासिल करते हैं।

दशमलव भिन्न क्या है? वह हर में है हमेशा 10 या 100 या 1000 या 10000 इत्यादि का मूल्य है। यदि आपके सामान्य भिन्न में ऐसा हर है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4. या 7/100 = 0.07. या 12/10 = 1.2. और यदि अनुभाग "बी" के कार्य के उत्तर में यह 1/2 निकला? हम जवाब में क्या लिखेंगे? दशमलव आवश्यक है...

हम याद रखते हैं भिन्न का मूल गुण ! गणित अनुकूल रूप से आपको अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। वैसे, किसी के लिए भी! बेशक, शून्य को छोड़कर। आइए इस सुविधा का उपयोग अपने लाभ के लिए करें! हर को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (बेशक, छोटा बेहतर है...)? 5, जाहिर है. बेझिझक हर को गुणा करें (यह है)। हमआवश्यक) 5 से। लेकिन, फिर अंश को भी 5 से गुणा किया जाना चाहिए। यह पहले से ही है अंक शास्त्रमाँग! हमें 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, अंश 3/16 गिर जाएगा। इसे आज़माएं, पता लगाएं कि 100 या 1000 प्राप्त करने के लिए 16 को किससे गुणा करना होगा... काम नहीं करता? फिर आप आसानी से 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको एक कोने में, कागज के एक टुकड़े पर विभाजित करना होगा, जैसा कि वे प्राथमिक कक्षाओं में पढ़ाते थे। हमें 0.1875 मिलता है।

और कुछ बहुत ख़राब भाजक हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 1/3 को अच्छे दशमलव में नहीं बदला जा सकता। कैलकुलेटर और कागज के टुकड़े दोनों पर, हमें 0.3333333 मिलता है ... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश में अनुवाद नहीं करता. जैसे 1/7, 5/6 इत्यादि। उनमें से कई अनुवाद योग्य नहीं हैं। इसलिए एक और उपयोगी निष्कर्ष। प्रत्येक सामान्य भिन्न दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। !

वैसे, आत्मनिरीक्षण के लिए यह उपयोगी जानकारी है। उत्तर में अनुभाग "बी" में, आपको एक दशमलव अंश लिखना होगा। और आपको, उदाहरण के लिए, 4/3 मिला। यह अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है. इसका मतलब है कि रास्ते में कहीं न कहीं आपने गलती की है! वापस आएँ, समाधान जाँचें।

तो, साधारण और दशमलव भिन्नों को सुलझा लिया गया। यह मिश्रित संख्याओं से निपटना बाकी है। उनके साथ काम करने के लिए, उन सभी को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है। इसे कैसे करना है? आप छठी कक्षा के विद्यार्थी को पकड़ कर उससे पूछ सकते हैं। लेकिन हमेशा छठी कक्षा का छात्र हाथ में नहीं होगा... हमें इसे स्वयं करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें और भिन्नात्मक भाग का अंश जोड़ें। यह एक उभयनिष्ठ भिन्न का अंश होगा। हर के बारे में क्या? विभाजक वही रहेगा. यह जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में यह काफी सरल है। आइए एक उदाहरण देखें.

जिस समस्या को आपने डरावनी दृष्टि से देखा, उसमें वह संख्या शामिल करें:

शांति से, बिना घबराहट के, हम समझते हैं। संपूर्ण भाग 1. एक है। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। अत: भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह हर साधारण भिन्न का हर होगा। हम अंश को गिनते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (भिन्नात्मक भाग का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 मिलता है। यह एक साधारण भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। गणितीय संकेतन में यह और भी सरल दिखता है:

स्पष्ट रूप से? फिर अपनी सफलता सुरक्षित करें! सामान्य भिन्नों में बदलें. आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, यदि... और यदि आप - हाई स्कूल में नहीं हैं - तो आप विशेष धारा 555 पर गौर कर सकते हैं। वैसे, वहीं आप अनुचित भिन्नों के बारे में भी सीखेंगे।

खैर, लगभग सब कुछ। आपने भिन्नों के प्रकार याद किये और समझे कैसे उन्हें एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित करें। प्रश्न बना हुआ है: किसलिए इसे करें? इस गहन ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मेरे द्वारा जवाब दिया जाता है। कोई भी उदाहरण स्वयं ही आवश्यक कार्यवाही का सुझाव देता है। यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव और यहाँ तक कि मिश्रित संख्याओं को एक समूह में मिला दिया जाए, तो हम हर चीज़ को साधारण भिन्न में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर 0.8 + 0.3 जैसा कुछ लिखा है, तो हम बिना किसी अनुवाद के ऐसा सोचते हैं। हमें अतिरिक्त कार्य की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

यदि कार्य दशमलव भिन्नों से भरा है, लेकिन उम... कुछ प्रकार के बुरे अंश, सामान्य अंशों पर जाएँ, इसे आज़माएँ! देखिये, सब ठीक हो जायेगा. उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना होगा। यदि आपने कैलकुलेटर की आदत नहीं छोड़ी है तो यह इतना आसान नहीं है! आपको न केवल किसी कॉलम में संख्याओं को गुणा करना है, बल्कि यह भी सोचना है कि अल्पविराम कहाँ लगाना है! यह निश्चित रूप से मेरे दिमाग में काम नहीं करता! और यदि आप एक साधारण अंश में जाते हैं?

0.125 = 125/1000. हम 5 से कम करते हैं (यह शुरुआत करने वालों के लिए है)। हमें 25/200 मिलते हैं। एक बार फिर 5 पर। हमें 5/40 मिलता है। ओह, यह सिकुड़ रहा है! 5 पर वापस! हमें 1/8 मिलता है. आसानी से वर्ग करें (अपने दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त करें। सभी!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

1. भिन्न तीन प्रकार के होते हैं। साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव एवं मिश्रित संख्याएँ हमेशासामान्य भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है। उलटा अनुवाद हमेशा नहींउपलब्ध।

3. कार्य के साथ कार्य करने के लिए भिन्नों के प्रकार का चुनाव इसी कार्य पर निर्भर करता है। यदि एक ही कार्य में विभिन्न प्रकार के भिन्न हों, तो सबसे विश्वसनीय बात साधारण भिन्नों पर स्विच करना है।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं. सबसे पहले, इन दशमलव भिन्नों को साधारण अंशों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह उत्तर मिलना चाहिए (अव्यवस्था में!):

इस पर हम समाप्त करेंगे। इस पाठ में, हमने भिन्नों पर मुख्य बिंदुओं पर चर्चा की। हालाँकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है...) यदि कोई पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक इसमें महारत हासिल नहीं की है... तो वे एक विशेष धारा 555 पर जा सकते हैं। सभी मूल बातें वहां विस्तृत हैं। कई अचानक सब समज गयाशुरू कर रहे हैं. और वे तुरंत भिन्नों को हल कर देते हैं)।

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