पूर्णांक अज्ञात के साथ समस्या

पावलोव्स्काया नीना मिखाइलोव्ना,

गणित के शिक्षक MBOU "माध्यमिक विद्यालय नंबर 92"

केमरोवो

बीजगणितीय समीकरण या पूर्णांक गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली, जिसमें समीकरणों की संख्या से अधिक अज्ञात होते हैं, और जिसके लिए पूर्णांक या तर्कसंगत समाधान मांगे जाते हैं, कहलाते हैं डायोफैंटाइन समीकरण .

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने की समस्या केवल एक अज्ञात के साथ समीकरणों के लिए, पहली डिग्री के समीकरणों के लिए और दो अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री के समीकरणों के लिए पूरी तरह से हल हो गई है। दो या दो से अधिक अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री से ऊपर के समीकरणों के लिए, पूर्णांक समाधानों के अस्तित्व को साबित करने की समस्या भी मुश्किल है। इसके अलावा, यह साबित हो गया है कि कोई एकीकृत एल्गोरिथ्म नहीं है जो एक सीमित संख्या में चरणों में पूर्णांकों में मनमानी डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है।

• सबसे सरल डायोफैंटाइन समीकरण फॉर्म के समीकरण हैं

कुल्हाड़ी + बाय = सी , ए 0; बी 0

यदि एक सी = 0 , तो समाधान स्पष्ट रूप से x = 0, y = 0 है।

यदि एक सी 0 , और समाधान (एक्स 0 ; पर 0 ) , फिर एक पूर्णांक

कुल्हाड़ी 0 +द्वारा 0 द्वारा विभाजित डी = (ए; बी) , इसीलिए साथ एक सामान्य भाजक द्वारा भी विभाज्य होना चाहिए ए और बी .

उदाहरण के लिए: 3x + 6y = 5 का कोई पूर्णांक हल नहीं है, क्योंकि (3; 6) = 3, और c = 5 शेषफल के बिना 3 से विभाज्य नहीं है।

• अगर समीकरण कुल्हाड़ी + बाय = सी एक समाधान है (एक्स 0 ; पर 0 ) , और (ए; बी) = 1 , तो समीकरण के सभी समाधान सूत्रों द्वारा दिए गए हैं एक्स = एक्स 0 +बीएन; वाई = वाई 0 - एक, जहाँ n कोई पूर्णांक हल है।

उदाहरण के लिए: 3x + 5y = 13, (3; 5) = 1, इसलिए समीकरण के अपरिमित रूप से कई हल हैं, एक्स 0 = 1; पर 0 =2

फ़र्मेट्स ग्रेट (महान) प्रमेय कहता है: रूप के समीकरण का प्राकृत संख्याओं में कोई हल नहीं है।

यह प्रमेय 300 साल से भी अधिक समय पहले इतालवी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट द्वारा तैयार किया गया था, और केवल 1993 में सिद्ध किया गया था।

गुणनखंडन विधि .

1) समीकरण को पूर्णांकों में हल करें

एक्स + वाई = एक्सवाई।

फेसला। हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

(एक्स -1)(वाई -1) = 1।

दो पूर्णांकों का गुणनफल केवल 1 के बराबर हो सकता है यदि वे दोनों 1 के बराबर हों। अर्थात, मूल समीकरण समुच्चय के बराबर है

समाधान (0,0) और (2,2) के साथ।

2. समीकरण को पूर्णांकों में हल करें:

3x² + 4xy - 7y² = 13.

फेसला: 3x² - 3xy + 7xy - 7y² \u003d 13,

3x(x - y) + 7y(x - y) = 13,

(एक्स - वाई) (3x + 7y) \u003d 13.

चूँकि 13 में पूर्णांक भाजक ±1 और ±13 हैं,

1. एक्स - वाई \u003d 1, 7x - 7y \u003d 7, x \u003d 2,

3x + 7y = 13; 3x + 7y = 13; जहां से y = 1

2. x - y \u003d 13, 7x - 7y \u003d 91, x \u003d 9.2,

3x + 7y = 1; 3x + 7y = 1; कहाँ से y \u003d - 3.8।

3 . x - y \u003d -1, 7x - 7y \u003d -7, x \u003d -2,

3x + 7y \u003d -13; 3x + 7y = -13; जहां से वाई = -1।

4. x - y \u003d -13, 7x - 7y \u003d -91, x \u003d -9.2,

3x + 7y \u003d -1; 3x + 7y \u003d -1; जहाँ से y = 3.8.

इसलिए, समीकरण के दो पूर्णांक हल हैं: (2;1) और (-2;-1)

3 . पूर्णांकों में समीकरण को हल करें:

9x² + 4x - xy + 3y \u003d 88।

फेसला: 9x² + 4x - 88 \u003d xy - 3y,

9x² + 4x - 88 \u003d y (x - 3)

चूँकि 5 में पूर्णांक भाजक ± 1 और ± 5 हैं, तो

पूर्णांकों में समीकरणदो या दो से अधिक अज्ञात चर और पूर्णांक गुणांक वाले बीजीय समीकरण हैं। इस तरह के समीकरण के समाधान सभी पूर्णांक (कभी-कभी प्राकृतिक या तर्कसंगत) अज्ञात चर के मानों के सेट होते हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। ऐसे समीकरणों को भी कहा जाता है डायोफैंटाइन, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ के सम्मान में, जिन्होंने हमारे युग से पहले कुछ प्रकार के ऐसे समीकरणों की खोज की थी।

हम डायोफैंटाइन समस्याओं के आधुनिक निरूपण का श्रेय फ्रांसीसी गणितज्ञ को देते हैं। यह वह था जिसने यूरोपीय गणितज्ञों के सामने केवल पूर्णांकों में अनिश्चित समीकरणों को हल करने का प्रश्न रखा था। पूर्णांकों में सबसे प्रसिद्ध समीकरण फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय है: समीकरण

सभी प्राकृतिक संख्याओं n > 2 के लिए कोई शून्येतर परिमेय समाधान नहीं है।

पूर्णांकों में समीकरणों में सैद्धांतिक रुचि काफी बड़ी है, क्योंकि ये समीकरण संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं से निकटता से संबंधित हैं।

1970 में, लेनिनग्राद गणितज्ञ यूरी व्लादिमीरोविच मतियासेविच ने साबित किया कि कोई सामान्य विधि नहीं है जो पूर्णांकों में मनमाने ढंग से डायोफैंटाइन समीकरणों को चरणों की एक सीमित संख्या में हल करने की अनुमति देती है, और मौजूद नहीं हो सकती है। इसलिए, विभिन्न प्रकार के समीकरणों के लिए अपने स्वयं के समाधान विधियों को चुनना आवश्यक है।

पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याओं में समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित विधियों को पारंपरिक रूप से प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

विकल्पों की गणना करने का तरीका;

यूक्लिड एल्गोरिथम का अनुप्रयोग;

निरंतर (निरंतर) अंशों के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व;

गुणनखंड;

कुछ चर के संबंध में पूर्णांकों में समीकरणों को वर्ग (या अन्यथा) के रूप में हल करना;

अवशिष्ट विधि;

अनंत वंश विधि।

समाधान के साथ समस्या

1. समीकरण x 2 - xy - 2y 2 \u003d 7 को पूर्णांकों में हल करें।

आइए समीकरण को (x - 2y)(x + y) = 7 के रूप में लिखें।

चूँकि x, y पूर्णांक हैं, हम मूल समीकरण का हल निम्नलिखित चार प्रणालियों के हल के रूप में पाते हैं:

1) x - 2y = 7, x + y = 1;

2) x - 2y = 1, x + y = 7;

3) x - 2y = -7, x + y = -1;

4) x - 2y = -1, x + y = -7।

इन प्रणालियों को हल करने के बाद, हम समीकरण के समाधान प्राप्त करते हैं: (3; -2), (5; 2), (-3; 2) और (-5; -2)।

उत्तर: (3; -2), (5; 2), (-3; 2), (-5; -2)।

क) 20x + 12y = 2013;

बी) 5x + 7y = 19;

ग) 201x - 1999y = 12.

a) चूँकि x और y के किसी भी पूर्णांक मान के लिए, समीकरण का बायाँ भाग दो से विभाज्य है, और दायाँ पक्ष एक विषम संख्या है, तो समीकरण का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

बी) हम पहले एक विशिष्ट समाधान चुनते हैं। पर इस मामले में, यह आसान है, उदाहरण के लिए,

एक्स 0 = 1, वाई 0 = 2।

5x0 + 7y0 = 19,

5(x - x 0) + 7(y - y 0) = 0,

5 (एक्स - एक्स 0) \u003d -7 (वाई - वाई 0)।

चूँकि संख्याएँ 5 और 7 सहअभाज्य हैं, तो

एक्स - एक्स 0 \u003d 7k, वाई - वाई 0 \u003d -5k।

तो सामान्य समाधान है:

एक्स = 1 + 7k, y = 2 - 5k,

जहाँ k एक मनमाना पूर्णांक है।

उत्तर: (1+7k; 2-5k), जहां k एक पूर्णांक है।

ग) इस मामले में चयन द्वारा कुछ विशिष्ट समाधान खोजना काफी कठिन है। आइए 1999 और 201 की संख्या के लिए यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करें:

जीसीडी(1999, 201) = जीसीडी(201, 190) = जीसीडी(190, 11) = जीसीडी(11, 3) = जीसीडी(3, 2) = जीसीडी(2, 1) = 1.

आइए इस प्रक्रिया को उल्टे क्रम में लिखें:

1 = 2 - 1 = 2 - (3 - 2) = 2 2 - 3 = 2 (11 - 3 3) - 3 = 2 11 - 7 3 = 2 11 - 7(190 - 11 17) =

121 11 - 7 190 = 121(201 - 190) - 7 190 = 121 201 - 128 190 =

121 201 - 128(1999 - 9 201) = 1273 201 - 128 1999।

अत: युग्म (1273, 128) समीकरण 201x - 1999y = 1 का हल है। तब संख्याओं का युग्म

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

समीकरण 201x - 1999y = 12 का हल है।

इस समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, जहाँ k एक पूर्णांक है,

या, नाम बदलने के बाद (हम इसका उपयोग करते हैं 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, जहाँ n एक पूर्णांक है।

उत्तर: (1283+1999n, 129+201n), जहां n एक पूर्णांक है।

3. समीकरण को पूर्णांकों में हल करें:

क) x 3 + y 3 = 3333333;

बी) एक्स 3 + वाई 3 = 4 (एक्स 2 वाई + एक्सवाई 2 + 1)।

a) चूँकि x 3 और y 3 केवल 0, 1 और 8 शेषफल दे सकते हैं, जब इसे 9 से विभाजित किया जाता है (खंड में तालिका देखें), x 3 + y 3 केवल 0, 1, 2, 7 और 8 शेषफल दे सकता है। लेकिन संख्या 3333333 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल 3 मिलता है। इसलिए, मूल समीकरण का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

ख) मूल समीकरण को (x + y) 3 = 7 (x 2 y + xy 2) + 4 के रूप में फिर से लिखें क्योंकि पूर्णांकों के घनों को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 0, 1 और 6 मिलता है, लेकिन 4 नहीं, समीकरण के पूर्णांक हल नहीं हैं।

उत्तर: कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं।

ए) अभाज्य संख्याओं में, समीकरण x 2 - 7x - 144 \u003d y 2 - 25y;

बी) पूर्णांकों में, समीकरण x + y \u003d x 2 - xy + y 2।

a) हम इस समीकरण को चर y के संबंध में द्विघात समीकरण के रूप में हल करते हैं। पाना

वाई \u003d एक्स + 9 या वाई \u003d 16 - एक्स।

चूँकि विषम x के लिए संख्या x + 9 सम है, अभाज्य संख्याओं का एकमात्र युग्म जो पहली समानता को संतुष्ट करता है, वह है (2; 11)।

चूँकि x, y सरल हैं, तो समानता y \u003d 16 - x से हमारे पास है

2 x 16.2 पर 16.

विकल्पों की गणना का उपयोग करके, हम शेष समाधान पाते हैं: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3)।

उत्तर: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3)।

बी) इस समीकरण को x के लिए द्विघात समीकरण के रूप में मानें:

x 2 - (y + 1) x + y 2 - y \u003d 0.

इस समीकरण का विभेदक -3y 2 + 6y + 1 है। यह केवल y: 0, 1, 2 के निम्नलिखित मानों के लिए धनात्मक है। इनमें से प्रत्येक मान के लिए, मूल समीकरण से हमें x के लिए द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। , जो आसानी से हल हो जाता है।

उत्तर: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2)।

5. क्या पूर्णांक x, y, z के त्रिगुणों की ऐसी अनंत संख्या है कि x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

आइए ऐसे त्रिगुणों को चुनने का प्रयास करें, जहां y = –z. तब y 3 और z 3 हमेशा एक दूसरे को रद्द कर देंगे, और हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा

x2 + 2y2 = x3

या अन्यथा,

x 2 (x-1) = 2y 2 ।

इस शर्त को पूरा करने के लिए पूर्णांकों (x; y) की एक जोड़ी के लिए, यह पर्याप्त है कि संख्या x–1 पूर्णांक के वर्ग का दोगुना हो। ऐसी असंख्य संख्याएँ हैं, अर्थात् वे सभी संख्याएँ 2n 2 +1 के रूप की हैं। ऐसी संख्या को x 2 (x-1) = 2y 2 में प्रतिस्थापित करने पर, साधारण परिवर्तन के बाद हम प्राप्त करते हैं:

y = xn = n (2n 2 +1) = 2n 3 +n।

इस तरह से प्राप्त सभी त्रिगुणों का रूप (2n 2 +1; 2n 3 + n; -2n 3 - n) होता है।

उत्तर: मौजूद है।

6. पूर्णांक x, y, z, u इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu हो।

संख्या x 2 + y 2 + z 2 + u 2 सम है, इसलिए x, y, z, u संख्याओं में विषम संख्याएँ सम संख्याएँ हैं।

यदि सभी चार संख्याएँ x, y, z, u विषम हैं, तो x 2 + y 2 + z 2 + u 2 4 से विभाज्य है, लेकिन 2xyzu 4 से विभाज्य नहीं है - एक विसंगति।

यदि x, y, z, u में से दो संख्याएँ विषम हैं, तो x 2 + y 2 + z 2 + u 2 4 से विभाज्य नहीं है, लेकिन 2xyzu 4 से विभाज्य है - फिर से एक विसंगति।

इसलिए, सभी संख्याएँ x, y, z, u सम हैं। तब कोई लिख सकता है कि

x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,

और मूल समीकरण का रूप ले लेगा

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .

अब ध्यान दें कि (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 को 8 से विभाजित करने पर 1 शेषफल प्राप्त होता है। इसलिए, यदि सभी संख्याएँ x 1, y 1, z 1, u 1 विषम हैं, तो x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 8 से विभाज्य नहीं है। और यदि इनमें से दो संख्याएँ विषम हैं, तो x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 से भी विभाज्य नहीं है। 4. तो,

x 1 \u003d 2x 2, y 1 \u003d 2y 2, z 1 \u003d 2z 2, u 1 \u003d 2u 2,

और हमें समीकरण मिलता है

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2।

उसी तर्क को फिर से दोहराते हुए, हम पाते हैं कि x, y, z, u सभी प्राकृतिक n के लिए 2 n से विभाज्य हैं, जो केवल तभी संभव है जब x = y = z = u = 0.

उत्तर: (0; 0; 0; 0)।

7. सिद्ध कीजिए कि समीकरण

(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 \u003d 30

पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

आइए निम्नलिखित पहचान का उपयोग करें:

(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 \u003d 3 (x - y) (y - z) (z - x)।

तब मूल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(एक्स - वाई) (वाई - जेड) (जेड - एक्स) = 10।

a = x - y, b = y - z, c = z - x को निरूपित करें और परिणामी समानता को इस प्रकार लिखें

इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि a + b + c = 0। यह देखना आसान है कि, एक क्रमपरिवर्तन तक, यह समानता abc = 10 का अनुसरण करता है कि संख्याएँ |a|, |b|, |c| या तो 1, 2, 5, या 1, 1, 10 हैं। लेकिन इन सभी मामलों में, a, b, c के किसी भी विकल्प के लिए, योग a + b + c गैर-शून्य है। इस प्रकार, मूल समीकरण का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

8. समीकरण 1 को पूर्णांकों में हल करें! +2! +। . . + एक्स! = वाई 2।

जाहिर सी बात है

यदि x = 1, तो y 2 ​​= 1,

यदि x = 3, तो y 2 ​​= 9।

ये मामले संख्याओं के निम्नलिखित जोड़े के अनुरूप हैं:

एक्स 1 = 1, वाई 1 = 1;

एक्स 2 \u003d 1, वाई 2 \u003d -1;

x 3 \u003d 3, y 3 \u003d 3;

x 4 \u003d 3, y 4 \u003d -3।

ध्यान दें कि x = 2 के लिए हमारे पास 1 है! +2! = 3, x = 4 के लिए हमारे पास 1 है! +2! +3! +4! = 33 और न तो 3 और न ही 33 पूर्णांक वर्ग हैं। यदि x > 5, तो, चूंकि

5! +6! +। . . + एक्स! = 10एन,

हम लिख सकते हैं कि

एक! +2! +3! +4! +5! +। . . + एक्स! = 33 + 10एन।

चूँकि 33 + 10n 3 से समाप्त होने वाली संख्या है, यह एक पूर्णांक का वर्ग नहीं है।

उत्तर: (1; 1), (1; -1), (3; 3), (3; -3)।

9. प्राकृतिक संख्याओं में समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

ए 3 - बी 3 - सी 3 \u003d 3abc, ए 2 \u003d 2 (बी + सी)।

3abc > 0, फिर a 3 > b 3 + c 3 ;

इस प्रकार हमारे पास है

इन असमानताओं को जोड़ने पर, हम पाते हैं कि

अंतिम असमानता को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं कि

लेकिन निकाय का दूसरा समीकरण यह भी दर्शाता है कि a एक सम संख्या है। इस प्रकार, ए = 2, बी = सी = 1।

उत्तर: (2; 1; 1)

10. पूर्णांक x और y के सभी युग्म ज्ञात कीजिए जो समीकरण x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y को संतुष्ट करते हैं।

इस समीकरण के दोनों भागों का गुणनखंडन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स (एक्स + 1) = वाई (वाई + 1) (वाई 2 + 1),

एक्स (एक्स + 1) = (वाई 2 + वाई) (वाई 2 + 1)

ऐसी समानता संभव है यदि बाएँ और दाएँ भाग शून्य के बराबर हों, या दो क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल हों। इसलिए, कुछ कारकों को शून्य के बराबर करते हुए, हमें चर के वांछित मूल्यों के 4 जोड़े मिलते हैं:

एक्स 1 = 0, वाई 1 = 0;

एक्स 2 \u003d 0, वाई 2 \u003d -1;

x 3 \u003d -1, y 3 \u003d 0;

x 4 \u003d -1, y 4 \u003d -1।

गुणनफल (y 2 + y) (y 2 + 1) को दो क्रमागत गैर-शून्य पूर्णांकों का गुणनफल तभी माना जा सकता है जब y \u003d 2. इसलिए, x (x + 1) \u003d 30, जहां से x 5 \ u003d 5, x 6 = -6। इसका अर्थ है कि पूर्णांकों के दो और जोड़े हैं जो मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

एक्स 5 = 5, वाई 5 = 2;

x 6 \u003d -6, y 6 \u003d 2.

उत्तर: (0; 0), (0; -1), (-1; 0), (-1; -1), (5; 2), (-6; 2.)

समाधान के बिना समस्या

1. पूर्णांकों में समीकरण को हल करें:

क) xy = x + y + 3;

बी) एक्स 2 + वाई 2 \u003d एक्स + वाई + 2।

2. समीकरण को पूर्णांकों में हल करें:

क) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;

बी) 15x 2 - 7y 2 \u003d 9.

3. समीकरण को प्राकृत संख्याओं में हल करें:

ए) 2 एक्स + 1 \u003d वाई 2;

बी) 3 2 एक्स + 1 \u003d वाई 2।

4. सिद्ध कीजिए कि परिमेय संख्याओं में समीकरण x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz का एक अद्वितीय हल है

5. सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों में समीकरण x 2 + 5 = y 3 का कोई हल नहीं है।

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परिचय।

अध्ययन की वस्तु।

शोध संख्या सिद्धांत की सबसे दिलचस्प शाखाओं में से एक है - पूर्णांक में समीकरणों का समाधान।

अध्ययन का विषय।

एक से अधिक अज्ञात में पूर्णांक गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरणों के पूर्णांकों में समाधान सबसे कठिन और प्राचीन गणितीय समस्याओं में से एक है और स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में पर्याप्त रूप से इसका प्रतिनिधित्व नहीं किया जाता है। अपने काम में, मैं पूर्णांकों में समीकरणों का एक पूर्ण पूर्ण विश्लेषण प्रस्तुत करूंगा, उन्हें हल करने के तरीकों के अनुसार इन समीकरणों का वर्गीकरण, उन्हें हल करने के लिए एल्गोरिदम का विवरण, साथ ही साथ प्रत्येक विधि के आवेदन के व्यावहारिक उदाहरण पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना।

लक्ष्य।

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना सीखें।

कार्य:

शैक्षिक और संदर्भ साहित्य का अध्ययन करें;

समीकरणों को हल करने के तरीके पर सैद्धांतिक सामग्री एकत्र करें;

इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का विश्लेषण करें;

समाधान का वर्णन करें;

इन विधियों का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

परिकल्पना:

ओलंपियाड कार्यों में पूर्णांकों में समीकरणों का सामना करते हुए, मैंने मान लिया कि उन्हें हल करने में कठिनाइयाँ इस तथ्य के कारण हैं कि उन्हें हल करने के सभी तरीके मुझे ज्ञात नहीं हैं।

प्रासंगिकता:

यूएसई कार्यों के अनुमानित रूपों को हल करते समय, मैंने देखा कि पूर्णांकों में पहली और दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए अक्सर कार्य होते हैं। इसके अलावा, विभिन्न स्तरों के ओलंपियाड कार्यों में पूर्णांक में समीकरण या समस्याएँ भी होती हैं जिन्हें पूर्णांक में समीकरणों को हल करने के कौशल का उपयोग करके हल किया जाता है। पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने का तरीका जानने का महत्व मेरे शोध की प्रासंगिकता को निर्धारित करता है।

तलाश पद्दतियाँ

पूर्णांकों में समीकरणों के बारे में वैज्ञानिक साहित्य से जानकारी का सैद्धांतिक विश्लेषण और सामान्यीकरण।

समीकरणों का उनके हल की विधियों के अनुसार पूर्णांकों में वर्गीकरण।

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के तरीकों का विश्लेषण और सामान्यीकरण।

शोध का परिणाम

पेपर समीकरणों को हल करने के तरीकों का वर्णन करता है, फर्मेट के प्रमेय की सैद्धांतिक सामग्री पर विचार करता है, पाइथागोरस प्रमेय, यूक्लिड का एल्गोरिदम, जटिलता के विभिन्न स्तरों की समस्याओं और समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रस्तुत करता है।

2. पूर्णांकों में समीकरणों का इतिहास

डायोफैंटस - एक वैज्ञानिक - प्राचीन ग्रीस के बीजगणित, कुछ स्रोतों के अनुसार, वह 364 ईस्वी तक जीवित रहे। इ। उन्होंने पूर्णांकों में समस्याओं को हल करने में विशेषज्ञता हासिल की। इसलिए डायोफैंटाइन समीकरणों का नाम। डायोफैंटस द्वारा हल की गई सबसे प्रसिद्ध, "दो वर्गों में विघटित होने" की समस्या है। इसके समकक्ष प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय है। डायोफैंटस का जीवन और कार्य अलेक्जेंड्रिया में आगे बढ़े, उन्होंने ज्ञात और नई समस्याओं का संग्रह और समाधान किया। बाद में उन्होंने उन्हें अंकगणित नामक एक बड़े कार्य में मिला दिया। अंकगणित बनाने वाली तेरह पुस्तकों में से केवल छह मध्य युग तक जीवित रहीं और पुनर्जागरण के गणितज्ञों के लिए प्रेरणा का स्रोत बन गईं। डायोफैंटस का अंकगणित समस्याओं का एक संग्रह है, प्रत्येक में एक समाधान और आवश्यक स्पष्टीकरण शामिल है। संग्रह में विभिन्न प्रकार की समस्याएं शामिल हैं, और उनका समाधान अक्सर अत्यधिक सरल होता है। डायोफैंटस केवल सकारात्मक पूर्णांक और तर्कसंगत समाधानों में रुचि रखता है। वह तर्कहीन समाधान "असंभव" कहता है और ध्यान से गुणांक का चयन करता है ताकि वांछित सकारात्मक, तर्कसंगत समाधान प्राप्त हो सकें।

Fermat के प्रमेय का प्रयोग पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। जिसके प्रमाण का इतिहास काफी रोचक है। कई प्रख्यात गणितज्ञों ने ग्रेट थ्योरम के पूर्ण प्रमाण पर काम किया और इन प्रयासों से आधुनिक संख्या सिद्धांत में कई परिणाम सामने आए। यह माना जाता है कि प्रमेय गलत प्रमाणों की संख्या के मामले में पहले स्थान पर है।

उल्लेखनीय फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट ने कहा कि पूर्णांक n 3 के समीकरण का सकारात्मक पूर्णांक x, y, z में कोई हल नहीं है (xyz = 0 को x, y, z की सकारात्मकता से बाहर रखा गया है। मामले n = 3 के लिए, इस प्रमेय को X सदी में मध्य एशियाई गणितज्ञ अल-खोजंडी द्वारा सिद्ध किया गया था, लेकिन उसका प्रमाण संरक्षित नहीं किया गया है। कुछ समय बाद, फ़र्मेट ने स्वयं n = 4 के लिए एक विशेष मामले का प्रमाण प्रकाशित किया।

1770 में यूलर ने मामले n = 3 के लिए प्रमेय को सिद्ध किया, 1825 में n = 5 के लिए डिरिचलेट और लीजेंड्रे, n = 7 के लिए लंगड़ा। कुमेर ने दिखाया कि प्रमेय 37 के संभावित अपवाद के साथ 100 से कम सभी प्राइम के लिए सत्य है। , 59, 67.

1980 के दशक में, समस्या को हल करने के लिए एक नया दृष्टिकोण उभरा। मोर्डेल अनुमान से, 1983 में फाल्टिंग्स द्वारा सिद्ध किया गया, यह इस प्रकार है कि समीकरण

n > 3 के लिए केवल सीमित संख्या में कोप्राइम विलयन हो सकते हैं।

प्रमेय के प्रमाण में अंतिम लेकिन सबसे महत्वपूर्ण कदम सितंबर 1994 में विल्स द्वारा लिया गया था। उनका 130 पन्नों का प्रमाण एनल्स ऑफ मैथमैटिक्स में प्रकाशित हुआ था। प्रमाण जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड फ्रे की इस धारणा पर आधारित है कि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय तानियामा-शिमुरा परिकल्पना का परिणाम है (यह धारणा केन रिबेट द्वारा जे.पी. सेरा की भागीदारी के साथ सिद्ध की गई थी)। विल्स ने पहला प्रकाशित किया 1993 में उनके प्रमाण का संस्करण (7 साल की कड़ी मेहनत के बाद), लेकिन जल्द ही इसमें एक गंभीर अंतर का पता चला; रिचर्ड लॉरेंस टेलर की मदद से यह अंतर जल्दी से बंद हो गया। अंतिम संस्करण 1995 में प्रकाशित हुआ था। 15 मार्च, 2016 एंड्रयू विल्स को एबेल पुरस्कार मिला। वर्तमान में, प्रीमियम 6 मिलियन नॉर्वेजियन क्रोनर है, यानी लगभग 50 मिलियन रूबल। विल्स के अनुसार, यह पुरस्कार उनके लिए "पूर्ण आश्चर्य" के रूप में आया।

3. पूर्णांकों में रैखिक समीकरण

रेखीय समीकरण सभी डायोफैंटाइन समीकरणों में सबसे सरल हैं।

ax=b रूप का एक समीकरण, जहाँ a और b कुछ संख्याएँ हैं और x एक अज्ञात चर है, एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण कहलाता है। यहां समीकरण के केवल पूर्णांक समाधान खोजने की आवश्यकता है। यह देखा जा सकता है कि यदि a 0 है, तो समीकरण का पूर्णांक हल तभी होगा जब b, a से पूर्णतः विभाज्य हो और यह हल x = b/f हो। यदि a=0, तो समीकरण का एक पूर्णांक हल होगा जब b=0 और इस स्थिति में x कोई संख्या है।

क्योंकि 12, 4 से समान रूप से विभाज्य है, तो

क्योंकि a=o और b=0, तो x कोई भी संख्या है

क्योंकि 7 भी 10 से विभाज्य नहीं है, तो कोई हल नहीं है।

4. विकल्पों की गणना करने का तरीका.

विकल्पों की गणना की विधि में, अंतिम गणना की समानता के लिए सभी संभावित विकल्पों पर विचार करने के लिए, संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों को ध्यान में रखना आवश्यक है। इन समस्याओं को हल करने के लिए इस विधि का उपयोग किया जा सकता है:

№1 प्राकृत संख्याओं के सभी युग्मों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जो समीकरण 49x+69y=602 . का हल हैं

हम समीकरण x = से व्यक्त करते हैं

क्योंकि x और y प्राकृत संख्याएँ हैं, तो x = 1, हर से छुटकारा पाने के लिए पूरे समीकरण को 49 से गुणा करें:

602 को बाईं ओर ले जाएँ:

51y 553, व्यक्त y, y= 10

विकल्पों की पूरी गणना से पता चलता है कि समीकरण के प्राकृतिक समाधान x=5, y=7 हैं।

उत्तर: (5,7)।-

№2 समस्या का समाधान करें

संख्या 2, 4, 7 से तीन अंकों की एक संख्या बनानी चाहिए, जिसमें एक भी संख्या दो बार से अधिक न दोहराई जा सके।

आइए संख्या 2 से शुरू होने वाली सभी तीन अंकों वाली संख्याओं की संख्या ज्ञात करें: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - उनमें से 8 हैं।

इसी तरह, हम सभी तीन अंकों की संख्याएँ 4 और 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477) से शुरू करते हैं।

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - ये भी आठ संख्याएँ हैं। केवल 24 संख्याएँ हैं।

उत्तर : 24 वां।

5. सतत भिन्न और यूक्लिड का एल्गोरिथम

एक सतत भिन्न रूप में एक साधारण भिन्न का व्यंजक है

जहाँ q 1 एक पूर्णांक है, और q 2 ,… ,qn प्राकृत संख्याएँ हैं। इस तरह के व्यंजक को निरंतर (परिमित निरंतर) भिन्न कहा जाता है। परिमित और अनंत निरंतर भिन्न हैं।

परिमेय संख्याओं के लिए, निरंतर भिन्न का एक परिमित रूप होता है। इसके अलावा, अनुक्रम a, भागफल का ठीक वह क्रम है जो एक भिन्न के अंश और हर पर यूक्लिडियन एल्गोरिथम को लागू करके प्राप्त किया जाता है।

निरंतर भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करते हुए, मैंने पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने की इस पद्धति के लिए क्रियाओं का एक सामान्य एल्गोरिथ्म संकलित किया।

कलन विधि

1) अज्ञात के लिए गुणांकों के अनुपात को भिन्न के रूप में संकलित करें

2) व्यंजक को अनुचित भिन्न में बदलें

3) एक अनुचित भिन्न के पूर्णांक भाग का चयन करें

4) एक उचित भिन्न को एक समान भिन्न से बदलें

5) हर में प्राप्त गलत भिन्न के साथ 3.4 करो

6) अंतिम परिणाम तक 5 दोहराएं

7) परिणामी व्यंजक में, जारी भिन्न की अंतिम कड़ी को छोड़ दें, परिणामी नई निरंतर भिन्न को एक साधारण भिन्न में बदल दें और इसे मूल भिन्न से घटा दें।

उदाहरण#1 समीकरण को हल करें 127x- 52y+ 1 = 0 पूर्णांकों में

आइए हम अज्ञात में गुणांकों के अनुपात को रूपांतरित करें।

सबसे पहले, हम अनुचित भिन्न के पूर्णांक भाग का चयन करते हैं; = 2 +

एक उचित भिन्न को समान भिन्न से बदलें।

कहाँ = 2+

आइए हर में प्राप्त अनुचित अंश के साथ समान परिवर्तन करें।

अब मूल भिन्न का रूप लेगा: भिन्न के लिए समान तर्क को दोहराते हुए, हम प्राप्त करते हैं

हमें अंतिम निरंतर या निरंतर अंश नामक एक अभिव्यक्ति मिली। इस निरंतर भिन्न के अंतिम लिंक को त्यागने के बाद - पांचवां, हम परिणामी नए निरंतर अंश को एक साधारण अंश में बदल देते हैं और इसे मूल अंश से घटा देते हैं:

आइए हम परिणामी व्यंजक को एक सामान्य हर में लाते हैं और उसे त्याग देते हैं।

जहां से 127∙9-52∙22+1=0. समीकरण 127x- 52y+1 = 0 के साथ परिणामी समानता की तुलना का अर्थ है कि तब x= 9, y= 22 मूल समीकरण का हल है, और प्रमेय के अनुसार, इसके सभी समाधान प्रगति x= में समाहित होंगे। 9+ 52t, y= 22+ 127t , जहां t=(0; ±1; ±2....). , इसके अंतिम लिंक को छोड़ दें और ऊपर दिए गए समान गणना करें।

इस धारणा को सिद्ध करने के लिए, हमें निरंतर भिन्नों के कुछ गुणों की आवश्यकता होगी।

एक अपरिवर्तनीय अंश पर विचार करें। भागफल को q 1 से और r 2 से a को b से भाग देने पर शेष को निरूपित करें। तब हमें मिलता है:

तब b=q 2 r 2 +r 3 ,

एक जैसा

आर 2 \u003d क्यू 3 आर 3 + आर 4, ;

आर 3 \u003d क्यू 4 आर 4 + आर 5,;

………………………………..

मात्राएँ q 1, q 2,… अपूर्ण भागफल कहलाती हैं। अपूर्ण भागफल बनाने की उपरोक्त प्रक्रिया कहलाती है यूक्लिड का एल्गोरिथम. भाग r 2 , r 3 ,… से शेष असमानताओं को संतुष्ट करें

वे। घटती हुई गैर-ऋणात्मक संख्याओं की एक श्रृंखला बनाएँ।

उदाहरण #2 पूर्णांकों में समीकरण 170x+190y=3000 हल करें

10 से कम करने के बाद, समीकरण इस तरह दिखता है,

किसी विशेष समाधान को खोजने के लिए, हम भिन्न के विस्तार का उपयोग निरंतर भिन्न में करते हैं

एक साधारण में इसके लिए उपयुक्त अंतिम अंश को ध्वस्त कर दिया

इस समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप है

एक्स 0 \u003d (-1) 4300 9 \u003d 2700, वाई 0 \u003d (-1) 5300 8 \u003d -2400,

और सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है

x=2700-19k, y=-2400+17k।

जहां से हम पैरामीटर k . पर शर्त प्राप्त करते हैं

वे। के = 142, एक्स = 2, वाई = 14। .

6. फैक्टरिंग विधि

विकल्पों की गणना की विधि एक असुविधाजनक तरीका है, क्योंकि ऐसे मामले हैं जब गणना द्वारा पूर्ण समाधान खोजना असंभव है, क्योंकि ऐसे समाधानों की अनंत संख्या है। गुणनखंडन विधि एक बहुत ही रोचक तकनीक है और यह प्राथमिक गणित और उच्च गणित दोनों में पाई जाती है।

सार समान परिवर्तन में समाहित है। किसी भी समान परिवर्तन का अर्थ है किसी अभिव्यक्ति को उसके सार को संरक्षित करते हुए एक अलग रूप में लिखना। इस पद्धति के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करें।

№1 पूर्णांक y . में समीकरण को हल करें 3 - एक्स 3 = 91.

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम समीकरण के दाहिने हिस्से को कारकों में विघटित करते हैं:

(y - x) (y 2 + xy + x 2) = 91

हम संख्या 91: ± 1 के सभी भाजक लिखते हैं; ± 7; ± 13; ±91

ध्यान दें कि किसी भी पूर्णांक x और y के लिए संख्या

y 2 + yx + x 2 y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 0,

इसलिए, समीकरण के बाईं ओर दोनों कारक सकारात्मक होने चाहिए। तब मूल समीकरण समीकरणों के सिस्टम के समुच्चय के बराबर होता है:

सिस्टम को हल करने के बाद, हम उन जड़ों का चयन करते हैं जो पूर्णांक हैं।

हमें मूल समीकरण के हल मिलते हैं: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4), (-4; 3)।

उत्तर: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4; 3)।

№2 प्राकृत संख्याओं के सभी युग्म ज्ञात कीजिए जो समीकरण x . को संतुष्ट करते हैं 2 -यो 2 = 69

हम समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं और समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:

क्योंकि संख्या 69 के भाजक संख्या 1, 3, 23 और 69 हैं, तो 69 को दो तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है: 69 = 1 69 और 69 = 3 23। उस x-y > 0 को ध्यान में रखते हुए, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ प्राप्त होती हैं, जिन्हें हल करके हम वांछित संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं:

एक चर को व्यक्त करने और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने के बाद, हम समीकरणों की जड़ों को ढूंढते हैं। पहली प्रणाली का समाधान x=35;y=34 है, और दूसरी प्रणाली का समाधान x=13, y=10 है।

उत्तर: (35; 34), (13; 10)।

№3 समीकरण x + y \u003d xy को पूर्णांकों में हल करें:

हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

आइए समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें। पाना

दो पूर्णांकों का गुणनफल केवल दो स्थितियों में 1 के बराबर हो सकता है: यदि वे दोनों 1 या -1 के बराबर हों। हमें दो सिस्टम मिलते हैं:

पहली प्रणाली का समाधान x=2, y=2, और दूसरी प्रणाली का समाधान x=0, y=0 है। उत्तर: (2; 2), (0; 0)।

№4 सिद्ध कीजिए कि समीकरण (x - y) 3 + (वाई - जेड) 3 + (जेड - एक्स) 3 = 30 का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

हम समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करते हैं, परिणामस्वरूप हमें समीकरण मिलता है:

(एक्स - वाई) (वाई - जेड) (जेड - एक्स) = 10

10 के भाजक ±1, ±2, ±5, ±10 संख्याएं हैं। यह भी ध्यान दें कि समीकरण के बाईं ओर के कारकों का योग 0 के बराबर है। यह जांचना आसान है कि संख्या 10 के भाजक के सेट में से किन्हीं तीन संख्याओं का योग, उत्पाद में 10 देने वाला नहीं होगा। बराबर 0. इसलिए, मूल समीकरण का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

7. अवशेषों की विधि

विधि का मुख्य कार्य प्राप्त परिणामों के आधार पर समीकरण के दोनों भागों के विभाजन के शेष भाग को एक पूर्णांक द्वारा ज्ञात करना है। अक्सर प्राप्त जानकारी समीकरण के समाधान सेट की संभावनाओं को कम कर देती है। उदाहरणों पर विचार करें:

№1 सिद्ध कीजिए कि समीकरण x 2 = 3y + 2 का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

प्रमाण।

उस स्थिति पर विचार करें जहां x, y N. दोनों पक्षों के शेषफलों को 3 से विभाजित करने पर विचार करें। समीकरण का दायां पक्ष y के किसी भी मान के लिए 3 से विभाजित करने पर 2 का शेष देता है। बाईं ओर, जो एक प्राकृत संख्या का वर्ग है, जब 3 से विभाजित किया जाता है, तो हमेशा 0 या 1 शेषफल मिलता है। इसके आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्राकृत संख्याओं में इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

उस स्थिति पर विचार करें जब संख्याओं में से एक 0 के बराबर हो। तब, स्पष्ट रूप से, पूर्णांकों में कोई हल नहीं होता है।

वह स्थिति जब y एक ऋणात्मक पूर्णांक है, उसका कोई हल नहीं है, क्योंकि दायां पक्ष नकारात्मक होगा और बायां पक्ष सकारात्मक होगा।

वह स्थिति जब x एक ऋणात्मक पूर्णांक है, उसका भी कोई हल नहीं है, क्योंकि इस तथ्य के कारण पहले विचार किए गए मामलों में से एक के अंतर्गत आता है कि (-x) 2 = (x) 2।

यह पता चला है कि संकेतित समीकरण का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

№2 पूर्णांकों में हल कीजिए एक्स = 1 + y 2 .

यह देखना कठिन नहीं है कि (0; 0) इस समीकरण का हल है। यह साबित करना बाकी है कि समीकरण की कोई अन्य पूर्णांक जड़ें नहीं हैं।

मामलों पर विचार करें:

1) यदि x∈N, y∈N, तो Z बिना शेषफल के तीन से विभाज्य है, और 1 + y 2 को 3 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है

शेषफल या तो 1 या 2 है। इसलिए, धनात्मक पूर्णांकों के लिए समानता

x, y का मान असंभव है।

2) यदि x एक ऋणात्मक पूर्णांक है, y∈Z , तो 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

समानता भी असंभव है। इसलिए, (0; 0) ही है

उत्तर: (0; 0)।

№3 समीकरण को हल करें 2x 2 -2xy+9x+y=2 पूर्णांकों में:

आइए हम समीकरण से उस अज्ञात को व्यक्त करें जो इसे केवल पहली डिग्री में प्रवेश करता है, अर्थात चर y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, कहाँ से

हम एक बहुपद को एक बहुपद "कोण" से विभाजित करने के नियम का उपयोग करके भिन्न के पूर्णांक भाग का चयन करते हैं। हम पाते हैं:

जाहिर है, 2x-1 का अंतर केवल -3, -1, 1, और 3 के मानों पर ही लागू हो सकता है।

इन चार मामलों की गणना करना बाकी है, जिसके परिणामस्वरूप हम समाधान प्राप्त करते हैं: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

उत्तर: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. पूर्णांकों में दो चरों वाले समीकरणों को एक चर के संबंध में वर्ग के रूप में हल करने का एक उदाहरण

№1 समीकरण 5x को पूर्णांकों में हल करें 2 +5वर्ष 2 + 8xy+2y-2x +2=0

इस समीकरण को गुणनखंडन विधि द्वारा हल किया जा सकता है, हालाँकि, इस समीकरण पर लागू होने वाली यह विधि काफी श्रमसाध्य है। आइए अधिक तर्कसंगत तरीके पर विचार करें।

हम चर x के संबंध में समीकरण को द्विघात के रूप में लिखते हैं:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

हम इसकी जड़ें खोजते हैं।

इस समीकरण का एक हल है यदि और केवल यदि विवेचक

इस समीकरण का शून्य के बराबर है, अर्थात। - 9(y+1) 2 =0, इसलिए y= - 1.

यदि y=-1, तो x=1.

उत्तर: (1; - 1)।

9. पूर्णांकों में समीकरणों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने का एक उदाहरण।

№ 1. समीकरण को प्राकृत संख्याओं में हल करें : जहां n>m

आइए वेरिएबल n को वेरिएबल m के पदों में व्यक्त करें:

आइए संख्या 625 के भाजक ज्ञात करें: यह 1 है; 5; 25; 125; 625

1) यदि m-25 =1, तो m=26, n=25+625=650

2) एम-25 =5, फिर एम=30, एन=150

3) एम-25 =25, फिर एम=50, एन=50

4) एम-25 =125, फिर एम=150, एन=30

5) एम-25 =625, फिर एम=650, एन=26

उत्तर: एम=150, एन=30

№ 2. समीकरण को प्राकृत संख्याओं में हल करें: mn +25 = 4m

हल: एमएन +25 = 4 एम

1) चर 4m को n के रूप में व्यक्त करें:

2) संख्या 25 के प्राकृतिक भाजक ज्ञात कीजिए: यह 1 है; 5; 25

अगर 4-एन = 1, फिर एन = 3, एम = 25

4-एन = 5, फिर एन = -1, एम = 5; 4-n =25, फिर n=-21, m=1 (विदेशी मूल)

उत्तर: (25;3)

पूर्णांक में समीकरण को हल करने के कार्यों के अलावा, इस तथ्य को साबित करने के लिए कार्य हैं कि समीकरण में पूर्णांक जड़ें नहीं हैं।

ऐसी समस्याओं को हल करते समय, विभाज्यता के निम्नलिखित गुणों को याद रखना आवश्यक है:

1) यदि एन जेड; n 2 से विभाज्य है, तो n = 2k, k Z।

2) यदि एन जेड; n 2 से विभाज्य नहीं है, तो n = 2k+1, k Z.

3) यदि एन जेड; n 3 से विभाज्य है, तो n = 3k, k Z।

4) यदि एन जेड; n 3 से विभाज्य नहीं है, तो n = 3k±1, k Z.

5) यदि एन जेड; n 4 से विभाज्य नहीं है, तो n = 4k+1; एन = 4k+2; एन = 4k+3। के जेड।

6) यदि एन जेड; n(n+1) 2 से विभाज्य है, फिर n (n+1)(n+2) 2;3;6 से विभाज्य है।

7) एन; n+1 कोप्राइम हैं।

№3 सिद्ध कीजिए कि समीकरण x 2 - 3y = 17 का कोई पूर्णांक हल नहीं है।

प्रमाण:

मान लीजिए x; y - समीकरण के समाधान

एक्स 2 \u003d 3 (वाई + 6) -1 y ∈ Z तो y+6 ∈ Z , इसलिए 3(y+6) 3 से विभाज्य है, इसलिए 3(y+6)-1 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए x 2 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए x नहीं है 3 से विभाज्य है, इसलिए x = 3k±1, k Z.

इसे मूल समीकरण में बदलें।

हमें एक विरोधाभास मिला। इसका मतलब है कि समीकरण का कोई संपूर्ण समाधान नहीं है, जिसे साबित करना आवश्यक था।

10.पीक फॉर्मूला

पिक के सूत्र की खोज ऑस्ट्रियाई गणितज्ञ जॉर्ज पिक ने 1899 में की थी। सूत्र पूर्णांकों में समीकरणों से संबंधित है जिसमें केवल पूर्णांक नोड्स बहुभुज से लिए जाते हैं, साथ ही समीकरणों में पूर्णांक भी।

इस सूत्र का उपयोग करके, आप एक सेल (त्रिकोण, वर्ग, समलम्बाकार, आयत, बहुभुज) में एक शीट पर बनी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

इस सूत्र में, हम बहुभुज के अंदर और उसकी सीमा पर पूर्णांक बिंदु पाएंगे।

परीक्षा में होने वाले कार्यों में कार्यों का एक पूरा समूह होता है जिसमें एक सेल में एक शीट पर बहुभुज बनाया जाता है और क्षेत्र खोजने के बारे में एक प्रश्न होता है। सेल स्केल एक वर्ग सेंटीमीटर है।

उदाहरण 1

एम - त्रिभुज की सीमा पर नोड्स की संख्या (पक्षों और कोने पर)

N त्रिभुज के अंदर नोड्स की संख्या है।

*"गाँठ" के अंतर्गत हमारा तात्पर्य रेखाओं के प्रतिच्छेदन से है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

नोड्स पर ध्यान दें:

एम = 15 (लाल रंग में दर्शाया गया है)

एन = 34 (नीले रंग में चिह्नित)

उदाहरण #2

बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: नोड्स पर ध्यान दें:

एम = 14 (लाल रंग में दर्शाया गया है)

एन = 43 (नीले रंग में चिह्नित)

12.डिसेंट विधि

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के तरीकों में से एक - अवरोही विधि - फ़र्मेट के प्रमेय पर आधारित है।

अवरोही विधि एक ऐसी विधि है जिसमें असीमित रूप से घटते धनात्मक z वाले समाधानों के अनंत अनुक्रम के लिए एक समाधान का निर्माण होता है।

हम एक विशिष्ट समीकरण को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके इस पद्धति के एल्गोरिथ्म पर विचार करेंगे।

उदाहरण 1. समीकरण को पूर्णांक 5x + 8y = 39 में हल कीजिए।

1) आइए अज्ञात को चुनें जिसमें सबसे छोटा गुणांक है (हमारे मामले में, यह x है), और इसे किसी अन्य अज्ञात के रूप में व्यक्त करें:

2) पूर्णांक भाग का चयन करें: स्पष्ट रूप से, x पूर्णांक होगा यदि व्यंजक पूर्णांक बन जाता है, जो बदले में तब होगा जब संख्या 4 - 3y शेष के बिना 5 से विभाज्य है।

3) आइए एक अतिरिक्त पूर्णांक चर z को निम्नानुसार प्रस्तुत करें: 4 -3y = 5z। नतीजतन, हम मूल के समान प्रकार का समीकरण प्राप्त करते हैं, लेकिन छोटे गुणांक के साथ।

4) हम इसे पहले से ही चर y के संबंध में हल करते हैं, जैसा कि पैराग्राफ 1, 2 में बिल्कुल वैसा ही तर्क देते हुए, पूर्णांक भाग का चयन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

5) पिछले एक के समान तर्क देते हुए, हम एक नया चर u: 3u = 1 - 2z पेश करते हैं।

6) अज्ञात को सबसे छोटे गुणांक से व्यक्त करें, इस स्थिति में चर z: । यह आवश्यक है कि यह एक पूर्णांक हो, हम प्राप्त करते हैं: 1 - u = 2v, जहाँ से u = 1 - 2v। कोई और भिन्न नहीं हैं, अवरोहण समाप्त हो गया है (हम प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि अगले चर के लिए व्यंजक में कोई अंश शेष न रह जाए)।

7) अब आपको "ऊपर जाने" की जरूरत है। चर v के माध्यम से पहले z, फिर y और फिर x के माध्यम से व्यक्त करें:

8) सूत्र x = 3+8v और y = 3 - 5v, जहां v एक मनमाना पूर्णांक है, पूर्णांकों में मूल समीकरण के सामान्य हल का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इस प्रकार, वंश विधि में एक चर की दूसरे के माध्यम से पहली अनुक्रमिक अभिव्यक्ति शामिल है, जब तक कि चर के प्रतिनिधित्व में कोई अंश नहीं बचा है, और फिर, समीकरण का एक सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए समानता की श्रृंखला के साथ अनुक्रमिक "चढ़ाई"।

12.निष्कर्ष

अध्ययन के परिणामस्वरूप, परिकल्पना की पुष्टि की गई थी कि पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने में कठिनाइयाँ इस तथ्य के कारण हैं कि उन्हें हल करने के सभी तरीके मुझे ज्ञात नहीं थे। शोध के दौरान, मैं पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के लिए अल्पज्ञात तरीकों को खोजने और उनका वर्णन करने में कामयाब रहा, उन्हें उदाहरणों के साथ चित्रित किया। मेरे शोध के परिणाम गणित में रुचि रखने वाले सभी छात्रों के लिए उपयोगी हो सकते हैं।

13. ग्रंथ सूची

पुस्तक संसाधन:

1. एन। हां। विलेनकिन एट अल।, बीजगणित और गणितीय विश्लेषण / ग्रेड 10, ग्रेड 11 // एम।, "प्रोवेशचेनी", 1998;

2. ए एफ इवानोव एट अल।, गणित। परीक्षा की तैयारी के लिए शैक्षिक और प्रशिक्षण सामग्री // वोरोनिश, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gel'fond, गणित, संख्या सिद्धांत // पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना // LIBROCOM बुक हाउस

इंटरनेट संसाधन:

4. गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की नियंत्रण माप सामग्री के प्रदर्शन संस्करण http://fipi.ru/

5. पूर्णांकों में समीकरणों के समाधान के उदाहरण http://reshuege.ru

6. पूर्णांकों में समीकरणों के समाधान के उदाहरण http://mat-ege.ru

7. डायोफैंटाइन समीकरणों का इतिहास http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. डायोफैंटस का इतिहास % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 -% D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9. डायोफैंटाइन समीकरणों का इतिहासhttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. डायोफैंटस का इतिहास http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

हेनरिक जी.एन. एफएमएसएच नंबर 146, पर्म

54 6 × 5≡ 2 (मॉड 7),

55 2 × 5≡ 3 (मॉड 7), 56 3 × 5≡ 1 (मॉड 7)।

k को घात करने पर, हमें किसी भी प्राकृतिक k के लिए 56k 1(mod 7) प्राप्त होता है। इसलिए 5555 = 56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7)।

(ज्यामितीय रूप से, इस समानता का अर्थ है कि हम वृत्त के चारों ओर घूमते हैं, 5 से शुरू होकर, निन्यानवे चक्र और तीन और संख्याएँ)। इस प्रकार संख्या 222555 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 6 प्राप्त होता है।

पूर्णांकों में समीकरणों का हल।

निस्संदेह, गणित के दिलचस्प विषयों में से एक डायोफैंटाइन समीकरणों का समाधान है। इस विषय का अध्ययन 8वीं, और फिर 10वीं और 11वीं कक्षा में किया जाता है।

कोई भी समीकरण जिसे पूर्णांकों में हल करने की आवश्यकता होती है, डायोफैंटाइन समीकरण कहलाता है। इनमें से सबसे सरल रूप ax + by \u003d c का समीकरण है, जहां a, b और cÎ Z. इस समीकरण को हल करते समय निम्नलिखित प्रमेय का प्रयोग किया जाता है।

प्रमेय। एक रेखीय डायोफैंटाइन समीकरण ax+by=c, जहाँ a, b और cÎ Z का एक हल है यदि और केवल यदि c संख्याओं a और b के gcd से विभाज्य है। यदि d=gcd (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d और (x0 , y0) समीकरण ax+by=c का कुछ हल है, तो सभी समाधान x= द्वारा दिए गए हैं x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, जहाँ t एक मनमाना पूर्णांक है।

1. पूर्णांकों में समीकरणों को हल करें:

	3xy–6x2 = y–2x+4;
	(x-2)(xy+4)=1;		वाई-एक्स-एक्सवाई = 2;
	2x2 + xy = x + 7;		3xy+2x+3y=0;
	х2 –xy–х+y=1;
	x2 -3xy=x-3y+2;	10. x2 - xy - y = 4।

2. इस विषय पर गणित में परीक्षा की तैयारी में स्नातकों के साथ निम्नलिखित कार्यों पर विचार किया गया।

एक)। समीकरण को पूर्णांकों में हल करें: xy + 3y + 2x + 6 = 13. समाधान:

आइए हम समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें। हम पाते हैं:

y(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

चूँकि x,yО Z, हमें समीकरणों के निकाय का एक सेट प्राप्त होता है:

हेनरिक जी.एन.

	एम एक्स +
	एम एक्स +
	एम एक्स +
एक्स +

एफएमएसएच नंबर 146, पर्म

		एम एक्स =
		एम एक्स =
		एम एक्स =
	एक्स =

उत्तर: (-2; 11), (10; -1), (-4; -15), (-15, -3)

2))। समीकरण को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें: 3x + 4y \u003d 5z।

नौ)। प्राकृत संख्याओं m और n के सभी युग्म ज्ञात कीजिए जिनके लिए समानता 3m +7=2n सत्य है।

दस)। प्राकृतिक संख्याओं k, m और n के सभी त्रिगुण ज्ञात कीजिए जिनके लिए समानता सत्य है: 2∙k!=m! -2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

ग्यारह)। परिमित अनुक्रम के सभी सदस्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इस क्रम का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, या तो पिछले वाले से 14 गुना बड़ा या 14 गुना छोटा होता है। अनुक्रम के सभी पदों का योग 4321 है।

ग) एक अनुक्रम में सबसे बड़ी संख्या कितनी हो सकती है? फेसला:

a) मान लीजिए a1 = x, फिर a2 = 14x या a1 = 14x, फिर a2 = x। फिर, शर्त के अनुसार, a1 + a2 = 4321। हमें मिलता है: x + 14x = 4321, 15x = 4321, लेकिन 4321 15 का गुणज नहीं है, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम में दो सदस्य नहीं हो सकते।

बी) मान लीजिए a1 =x, फिर a2 = 14x, a3 =x, या 14x+x+14x=4321, या x+14x+x=4321। 29x=4321, फिर x=149, 14x=2086। तो अनुक्रम में तीन शब्द हो सकते हैं। दूसरी स्थिति में 16x=4321, लेकिन तब x एक प्राकृत संख्या नहीं है।

कोई जवाब नहीं; बी) हाँ; सी) 577।

हेनरिक जी.एन.

एफएमएसएच नंबर 146, पर्म

12)। परिमित अनुक्रम के सभी सदस्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इस क्रम का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, या 10 में; पिछले वाले की तुलना में कई गुना अधिक, या 10 गुना कम। अनुक्रम के सभी सदस्यों का योग 1860 है।

क) क्या एक अनुक्रम में दो सदस्य हो सकते हैं? बी) क्या एक अनुक्रम में तीन सदस्य हो सकते हैं?

ग) एक अनुक्रम में सबसे बड़ी संख्या कितनी हो सकती है?

यह स्पष्ट है कि कोई भी पूर्णांकों की विभाज्यता के बारे में बात कर सकता है और इस विषय पर समस्याओं पर अंतहीन विचार कर सकता है। मैंने इस विषय पर इस प्रकार विचार करने का प्रयास किया कि विद्यार्थियों में अधिक रुचि हो, इस दृष्टि से उन्हें गणित का सौंदर्य भी दिखाया जा सके।

हेनरिक जी.एन.

एफएमएसएच नंबर 146, पर्म

ग्रंथ सूची:

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परिचय

गणित के ऐसे अनेक प्रश्न हैं जिनके उत्तर के रूप में एक या अधिक पूर्ण संख्याएँ होती हैं। एक उदाहरण के रूप में, हम पूर्णांकों में हल की गई चार शास्त्रीय समस्याओं का हवाला दे सकते हैं - वजन की समस्या, संख्या को विभाजित करने की समस्या, विनिमय की समस्या और चार वर्गों की समस्या। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि, इन समस्याओं के सरल सूत्रीकरण के बावजूद, गणितीय विश्लेषण और कॉम्बिनेटरिक्स के तंत्र का उपयोग करके उन्हें हल करना बहुत मुश्किल है। पहली दो समस्याओं को हल करने के विचार स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) के हैं। हालांकि, अक्सर आप उन समस्याओं को पा सकते हैं जिनमें समीकरण को पूर्णांक (या प्राकृतिक) संख्याओं में हल करने का प्रस्ताव है। इनमें से कुछ समीकरण चयन विधि द्वारा काफी आसानी से हल हो जाते हैं, लेकिन यह एक गंभीर समस्या पैदा करता है - यह साबित करना आवश्यक है कि इस समीकरण के सभी समाधान चयनित लोगों द्वारा समाप्त हो गए हैं (अर्थात, ऐसे कोई समाधान नहीं हैं जो इससे भिन्न हों चुने हुए)। इसके लिए मानक और कृत्रिम दोनों प्रकार की तकनीकों की आवश्यकता हो सकती है। अतिरिक्त गणितीय साहित्य के विश्लेषण से पता चलता है कि इस तरह के कार्य विभिन्न वर्षों और विभिन्न स्तरों के गणित ओलंपियाड में और साथ ही गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा (प्रोफाइल स्तर) के कार्य 19 में काफी सामान्य हैं। इसी समय, इस विषय को स्कूल गणित पाठ्यक्रम में व्यावहारिक रूप से नहीं माना जाता है, इसलिए स्कूली बच्चों, गणितीय ओलंपियाड में भाग लेने या गणित में प्रोफाइल परीक्षा देने वाले, आमतौर पर ऐसे कार्यों को पूरा करने में महत्वपूर्ण कठिनाइयों का सामना करते हैं। इस संबंध में, पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीकों की एक प्रणाली को एकल करने की सलाह दी जाती है, खासकर जब से इस मुद्दे पर अध्ययन किए गए गणितीय साहित्य में स्पष्ट रूप से चर्चा नहीं की गई है। वर्णित समस्या ने इस कार्य के उद्देश्य को निर्धारित किया: पूर्णांक में समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों को उजागर करना। इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक था:

1) ओलंपियाड सामग्री, साथ ही गणित में प्रोफाइल परीक्षा की सामग्री का विश्लेषण करें;

2) पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने की विधियाँ निर्दिष्ट करें और प्रचलित समीकरणों को हाइलाइट करें;

3) उदाहरणों के साथ प्राप्त परिणामों को स्पष्ट करें;

4) इस विषय पर कई प्रशिक्षण कार्यों की रचना करें;

5) विकसित कार्यों का उपयोग करते हुए, ऐसी समस्याओं को हल करने और व्यावहारिक निष्कर्ष निकालने के लिए एमबीओयू माध्यमिक विद्यालय संख्या 59 के नौवीं कक्षा के छात्रों की तत्परता की डिग्री निर्धारित करें।

मुख्य हिस्सा

विभिन्न गणितीय साहित्य के विश्लेषण से पता चलता है कि पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के तरीकों में से निम्नलिखित को मुख्य के रूप में प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

1. कुछ पूर्णांक के बराबर कई कारकों के उत्पाद के रूप में समीकरण का प्रतिनिधित्व;
2. कुछ पूर्णांक के बराबर कई पदों के वर्गों के योग के रूप में समीकरण का प्रतिनिधित्व;
3. विभाज्यता, भाज्य और सटीक वर्गों के गुणों का उपयोग करना;
4. Fermat's Little and Great Theorems का उपयोग;
5. अनंत वंश विधि;
6. एक अज्ञात की दूसरे के माध्यम से अभिव्यक्ति;
7. अज्ञात में से किसी एक के संबंध में समीकरण को द्विघात के रूप में हल करना;
8. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से भाग देने पर प्राप्त शेषफलों पर विचार करना।

तुरंत यह निर्दिष्ट करना आवश्यक है कि समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियों से हमारा क्या तात्पर्य है। हम सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले तरीकों को मुख्य कहेंगे, जो निश्चित रूप से, समय-समय पर नए "अप्रत्याशित" तरीकों का उपयोग करने की संभावना को बाहर नहीं करता है। इसके अलावा, अधिकांश मामलों में, उनके विभिन्न संयोजनों का उपयोग किया जाता है, अर्थात कई विधियां संयुक्त होती हैं।
विधियों के संयोजन के उदाहरण के रूप में, 2013 में गणित में USE में प्रस्तावित समीकरण पर विचार करें (कार्य C6)।

काम।प्राकृतिक संख्याओं में समीकरण हल करें एन! + 5एन + 13 = क 2 .

फेसला।ध्यान दें कि यह शून्य पर समाप्त होता है एन> 4. इसके अलावा, किसी भी n N के लिए, या तो अंक 0 या अंक 5 के साथ समाप्त होता है। इसलिए, के लिए एन> 4 समीकरण का बायां पक्ष या तो संख्या 3 या संख्या 8 के साथ समाप्त होता है। लेकिन यह सटीक वर्ग के बराबर भी है, जो इन संख्याओं के साथ समाप्त नहीं हो सकता है। तो चुनने के लिए केवल चार विकल्प हैं: एन = 1, एन = 2, एन = 3, एन = 4.

अतः समीकरण का एक अद्वितीय प्राकृतिक हल है एन = 2, क = 5.

इस समस्या में सटीक वर्गों के गुण, फैक्टोरियल के गुण और समीकरण के दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करने के शेष का उपयोग किया गया था।

कार्य 1। एन 2 - 4आप! = 3.

फेसला। सबसे पहले, हम मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं: एन 2 = 4आप! + 3. यदि आप इस संबंध को विभाजन प्रमेय की दृष्टि से शेषफल के साथ देखें, तो आप देख सकते हैं कि समीकरण के बाईं ओर का सटीक वर्ग 4 से विभाजित करने पर 3 का शेष देता है, जो असंभव है . वास्तव में, किसी भी पूर्णांक को निम्नलिखित चार रूपों में से एक में दर्शाया जा सकता है:

इस प्रकार, पूर्ण वर्ग को 4 से विभाजित करने पर शेषफल 0 या 1 प्राप्त होता है। इसलिए, मूल समीकरण का कोई हल नहीं है।

मुख्य विचार- सटीक वर्गों के गुणों का अनुप्रयोग।

कार्य 2. 8जेड 2 = (टी!) 2 + 2.

फेसला। प्रत्यक्ष सत्यापन से पता चलता है कि टी= 0 और टी= 1 समीकरण का हल नहीं है। यदि एक टी> 1, तो टी! एक सम संख्या है, अर्थात इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है टी! = 2एस. इस मामले में, समीकरण को फॉर्म 4 . में बदला जा सकता है जेड 2 = 2एस 2 + 1. हालांकि, परिणामी समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि बाईं ओर एक सम संख्या है, और दाईं ओर एक विषम संख्या है।

मुख्य विचार- फैक्टोरियल के गुणों का अनुप्रयोग।

कार्य 3. समीकरण x 2 + y 2 - 2x + 6y + 5 = 0 को पूर्णांकों में हल कीजिए।

फेसला। मूल समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: ( एक्स – 1) 2 + (आप + 3) 2 = 5.

यह इस शर्त से होता है कि ( एक्स – 1), (आप+ 3) पूर्णांक हैं। इसलिए, यह समीकरण निम्नलिखित सेट के बराबर है:

अब हम समीकरण के सभी संभावित पूर्णांक हल लिख सकते हैं।

कार्य 4. पूर्णांकों में समीकरण हल करें zt + टी – 2जेड = 7.

फेसला। मूल समीकरण को रूप में बदला जा सकता है ( जेड + 1) (टी- 2) = 5. संख्याएं ( जेड + 1), (टी- 2) पूर्णांक हैं, इसलिए निम्नलिखित विकल्प होते हैं:

तो, समीकरण के ठीक चार पूर्णांक हल हैं।

मुख्य विचार- एक पूर्णांक के बराबर उत्पाद के रूप में समीकरण का प्रतिनिधित्व।

कार्य 5. पूर्णांकों में समीकरण हल करें एन(एन + 1) = (2क+ 1)‼

फेसला। संख्या 2 क+ 1)‼ सभी गैर-ऋणात्मक मानों के लिए विषम है कपरिभाषा के अनुसार (नकारात्मक के साथ कयह बिल्कुल परिभाषित नहीं है)। दूसरी ओर, यह बराबर है एन(एन+ 1), जो सभी पूर्णांक मानों के लिए सम है क. अंतर्विरोध।

मुख्य विचार- समीकरण के सम/विषम भागों का प्रयोग।

कार्य 6. पूर्णांकों में समीकरण हल करें xy + एक्स + 2आप = 1.

फेसला। परिवर्तन द्वारा, समीकरण को निम्न में घटाया जा सकता है:

प्रतिस्थापन के बाद से, इस परिवर्तन ने समीकरण में शामिल अज्ञातों के ODZ को नहीं बदला आप= -1 मूल समीकरण में बेतुका समानता की ओर जाता है -2 = 1. शर्त के अनुसार, एक्सएक पूर्णांक है। दूसरे शब्दों में, एक पूर्णांक भी। लेकिन तब संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए। एक भिन्न एक पूर्ण संख्या होती है यदि और केवल यदि अंश हर से विभाज्य हो। संख्या 3: 1.3 -1, -3 के भाजक। इसलिए, अज्ञात के लिए चार संभावित मामले हैं: आप = 0, आप = 2, आप= -2, y = -4। अब हम अज्ञात के संबंधित मूल्यों की गणना कर सकते हैं एक्स. तो, समीकरण के ठीक चार पूर्णांक हल हैं: (-5;0), (-5;2), (1;-2), (1;–4)।

मुख्य विचारदूसरे के संदर्भ में एक अज्ञात की अभिव्यक्ति है।

टास्क 7. एम= एन 2 + 2.

फेसला। यदि एक एम= 0, तब समीकरण रूप लेता है एन 2 = -1। इसका कोई संपूर्ण समाधान नहीं है। यदि एक एम < 0, то левая часть уравнения, а значит, и एन, एक पूर्णांक नहीं होगा। माध्यम, एम> 0. तब समीकरण का दायां पक्ष (साथ ही बाईं ओर) 5 का गुणज होगा, लेकिन इस मामले में एन 2 को 5 से विभाजित करने पर शेष 3 देना चाहिए, जो असंभव है (यह शेषफलों की गणना करने की विधि से सिद्ध होता है, जिसका वर्णन समस्या 1 को हल करने में किया गया था)। इसलिए, इस समीकरण का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

मुख्य विचार- समीकरण के दोनों भागों को किसी प्राकृत संख्या से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करना।

टास्क 8. पूर्णांकों में समीकरण हल करें ( एक्स!) 4 + (आप – 1) 4 = (जेड + 1) 4 .

फेसला। ध्यान दें कि, चूंकि घातांक सम हैं, समीकरण निम्नलिखित के बराबर है: ( एक्स!) 4 + |आप – 1| 4 = |जेड+ 1| 4. फिर एक्स!, |आप – 1|, |जेड+ 1| - पूर्णांक। हालाँकि, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के अनुसार, ये प्राकृतिक संख्याएँ मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकती हैं। इस प्रकार, पूर्णांकों में समीकरण हल करने योग्य नहीं है।

मुख्य विचार- Fermat के अंतिम प्रमेय का प्रयोग।

कार्य 9. पूर्णांकों में समीकरण हल करें एक्स 2 + 4आप 2 = 16xy.

फेसला। यह समस्या की स्थिति से निम्नानुसार है कि एक्स- सम संख्या। फिर एक्स 2 = 4एक्स 12. समीकरण को रूप में परिवर्तित किया जाता है एक्स 1 2 + आप 2 = 8एक्स 1 आप. इससे यह पता चलता है कि संख्याएँ एक्स 1 , आपसमान समानता रखते हैं। आइए दो मामलों पर विचार करें।

1 मामला. रहने दो एक्स 1 , आप- विषम संख्या। फिर एक्स 1 = 2टी + 1, आप = 2एस+ 1. इन व्यंजकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

आइए संबंधित परिवर्तन करें:

परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं?

बाईं ओर एक विषम संख्या है, और दाईं ओर एक सम संख्या है। अंतर्विरोध। तो 1 मामला असंभव है।

2 केस. रहने दो एक्स 1 , आप- सम संख्या। फिर एक्स 1 = 2एक्स 2 + 1, आप = 2आपएक । इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, एक समीकरण प्राप्त होता है, ठीक उसी तरह जैसा कि पिछले चरण में था। इसकी जांच इसी तरह से की जाती है, इसलिए अगले चरण में हम समीकरण प्राप्त करते हैं आदि। वास्तव में, अज्ञात की समता के आधार पर इन परिवर्तनों को करते हुए, हम निम्नलिखित विस्तार प्राप्त करते हैं: . लेकिन मात्रा एनऔर कसीमित नहीं हैं, क्योंकि किसी भी चरण पर (एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या के साथ) हम पिछले एक के बराबर एक समीकरण प्राप्त करेंगे। यानी इस प्रक्रिया को रोका नहीं जा सकता। दूसरे शब्दों में, संख्या एक्स, आपअनंत रूप से कई गुना 2 से विभाज्य हैं। लेकिन यह केवल इस शर्त के तहत होता है कि एक्स = आप= 0. इस प्रकार, समीकरण का ठीक एक पूर्णांक हल (0; 0) है।

मुख्य विचार- अनंत वंश विधि का उपयोग।

कार्य 10. समीकरण 5 को पूर्णांकों में हल करें एक्स 2 – 3xy + आप 2 = 4.

फेसला। आइए इस समीकरण को 5 . के रूप में फिर से लिखें एक्स 2 – (3एक्स)आप + (आप 2 - 4) = 0. इसे अज्ञात के संबंध में एक वर्ग माना जा सकता है एक्स. आइए इस समीकरण के विवेचक की गणना करें:

समीकरण के हल होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि, अर्थात्, हमारे पास निम्नलिखित संभावनाएं हैं आप: आप = 0, आप = 1, आप = –1, आप= 2, आप= –2.

तो, समीकरण के ठीक 2 पूर्णांक हल हैं: (0;2), (0;-2)।

मुख्य विचार- अज्ञात में से एक के संबंध में समीकरण को द्विघात के रूप में माना जाता है।

लेखक द्वारा संकलित कार्यों का प्रयोग प्रयोग में किया गया था, जिसमें निम्नलिखित शामिल थे। इस विषय पर बच्चों की तैयारी के स्तर की पहचान करने के लिए नौवीं कक्षा के सभी छात्रों को विकसित कार्यों की पेशकश की गई थी। प्रत्येक विद्यार्थी को समीकरणों के पूर्णांक हल ज्ञात करने के लिए एक विधि प्रस्तुत करनी थी। प्रयोग में 64 विद्यार्थियों ने भाग लिया। प्राप्त परिणाम तालिका 1 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका नंबर एक

नौकरी का नंबर	कार्य पूरा करने वाले छात्रों की संख्या (प्रतिशत)

ये संकेतक बताते हैं कि इस विषय पर नौवीं कक्षा के छात्रों की तैयारी का स्तर बहुत कम है। इसलिए, एक विशेष पाठ्यक्रम "पूर्णांक में समीकरण" आयोजित करना समीचीन लगता है, जिसका उद्देश्य इस क्षेत्र में छात्रों के ज्ञान में सुधार करना होगा। सबसे पहले, ये वे छात्र हैं जो व्यवस्थित रूप से गणितीय प्रतियोगिताओं और ओलंपियाड में भाग लेते हैं, और गणित में विशेष परीक्षा देने की योजना भी बनाते हैं।

जाँच - परिणाम

इस कार्य के दौरान:

1) ओलंपियाड सामग्री का विश्लेषण किया गया, साथ ही गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की सामग्री;

2) पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने की विधियों को दर्शाया गया है और प्रचलित विधियों को हाइलाइट किया गया है;

3) प्राप्त परिणाम उदाहरणों के साथ सचित्र हैं;

4) नौवीं कक्षा के छात्रों के लिए संकलित प्रशिक्षण कार्य;

5) नौवीं कक्षा के छात्रों की इस विषय पर तैयारी के स्तर की पहचान करने के लिए एक प्रयोग स्थापित किया गया था;

6) प्रयोग के परिणामों का विश्लेषण किया जाता है और गणितीय विशेष पाठ्यक्रम में पूर्णांकों में समीकरणों के अध्ययन की समीचीनता के बारे में निष्कर्ष निकाले जाते हैं।

इस अध्ययन के दौरान प्राप्त परिणामों का उपयोग गणितीय ओलंपियाड की तैयारी, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के साथ-साथ गणितीय सर्कल में कक्षाएं आयोजित करने में किया जा सकता है।

ग्रन्थसूची

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शब्दकोष

अनंत वंश विधि- फ्रांसीसी गणितज्ञ पी। फ़र्मेट (1601-1665) द्वारा विकसित एक विधि, जिसमें प्राकृतिक संख्याओं के असीम रूप से घटते क्रम का निर्माण करके एक विरोधाभास प्राप्त करना शामिल है। विरोधाभास द्वारा एक प्रकार का प्रमाण।

सटीक (पूर्ण) वर्गएक पूर्णांक का वर्ग है।

एक प्राकृतिक संख्या का भाज्य एन 1 से . तक की सभी प्राकृत संख्याओं का गुणनफल है एनसहित।