Perkenalan kita dengan matematika dimulai dengan aritmatika, ilmu bilangan. Salah satu buku teks aritmatika Rusia pertama, yang ditulis oleh L.F. Magnitsky pada tahun 1703, dimulai dengan kata-kata: “Aritmatika, atau pembilang, adalah seni yang jujur, tidak menyenangkan, dan mudah dipahami oleh semua orang, paling berguna dan banyak dipuji, dari yang paling kuno. dan yang terbaru, yang hidup pada zaman yang berbeda dari para ahli aritmatika paling cantik, menemukan dan menguraikannya.” Dengan aritmatika kita masuk, seperti yang dikatakan M.V. Lomonosov, ke dalam “gerbang pembelajaran” dan memulai jalan kita yang panjang dan sulit, namun menarik dalam memahami dunia.

Kata “aritmatika” berasal dari bahasa Yunani arithmos yang berarti “angka”. Ilmu ini mempelajari operasi bilangan, berbagai aturan penanganannya, dan mengajarkan cara menyelesaikan masalah yang bermuara pada penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan. Aritmatika sering dibayangkan sebagai semacam tahap pertama matematika, berdasarkan mana seseorang dapat mempelajari bagian-bagiannya yang lebih kompleks - aljabar, analisis matematika, dll. Bahkan bilangan bulat - objek utama aritmatika - dirujuk, jika sifat dan pola umumnya dipertimbangkan, ke aritmatika yang lebih tinggi, atau teori bilangan. Pandangan tentang aritmatika ini, tentu saja, mempunyai dasar - ini tetap merupakan “abjad penghitungan”, tetapi alfabet adalah “yang paling berguna” dan “mudah dimengerti.”

Aritmatika dan geometri adalah sahabat lama manusia. Ilmu-ilmu ini muncul ketika muncul kebutuhan untuk menghitung benda, mengukur bidang tanah, membagi harta rampasan, dan mencatat waktu.

Aritmatika berasal dari negara-negara Timur Kuno: Babilonia, Cina, India, Mesir. Misalnya, papirus Kulit Mesir (dinamai menurut pemiliknya G. Rind) berasal dari abad ke-20. SM. Informasi lainnya antara lain memuat penguraian suatu pecahan menjadi penjumlahan pecahan yang pembilangnya sama dengan satu, misalnya:

Khazanah pengetahuan matematika yang terkumpul di negara-negara Timur Kuno dikembangkan dan dilanjutkan oleh para ilmuwan Yunani Kuno. Sejarah telah melestarikan banyak nama ilmuwan yang mempelajari aritmatika di dunia kuno - Anaxagoras dan Zeno, Euclid (lihat Euclid dan Elemennya), Archimedes, Eratosthenes dan Diophantus. Nama Pythagoras (abad VI SM) berkilauan di sini seperti bintang terang. Kaum Pythagoras (siswa dan pengikut Pythagoras) memuja angka, percaya bahwa angka mengandung semua keharmonisan dunia. Nomor individu dan pasangan nomor diberi properti khusus. Angka 7 dan 36 dijunjung tinggi, dan pada saat yang sama perhatian diberikan pada apa yang disebut angka sempurna, angka persahabatan, dll.

Pada Abad Pertengahan, perkembangan aritmatika juga dikaitkan dengan Timur: India, negara-negara Arab dan Asia Tengah. Dari orang India datanglah kepada kami angka-angka yang kami gunakan, nol dan sistem bilangan posisi; dari al-Kashi (abad XV), yang bekerja di Observatorium Samarkand Ulugbek, - pecahan desimal.

Berkat perkembangan perdagangan dan pengaruh budaya oriental sejak abad ke-13. Minat terhadap aritmatika juga meningkat di Eropa. Patut diingat nama ilmuwan Italia Leonardo dari Pisa (Fibonacci), yang karyanya “The Book of Abacus” memperkenalkan orang Eropa pada pencapaian utama matematika Timur dan merupakan awal dari banyak penelitian di bidang aritmatika dan aljabar.

Seiring dengan penemuan percetakan (pertengahan abad ke-15), buku matematika cetak pertama kali muncul. Buku cetak pertama tentang aritmatika diterbitkan di Italia pada tahun 1478. Dalam “Aritmatika Lengkap” karya matematikawan Jerman M. Stiefel (awal abad ke-16) sudah terdapat bilangan negatif dan bahkan gagasan logaritma.

Sejak sekitar abad ke-16. perkembangan pertanyaan aritmatika murni mengalir ke arus utama aljabar - sebagai tonggak penting, kita dapat mencatat munculnya karya ilmuwan Prancis F. Vieta, di mana angka ditunjukkan dengan huruf. Mulai saat ini, aturan dasar aritmatika akhirnya dipahami dari sudut pandang aljabar.

Objek utama aritmatika adalah bilangan. Bilangan asli, mis. angka 1, 2, 3, 4, ... dst, muncul dari penghitungan benda tertentu. Ribuan tahun berlalu sebelum manusia mengetahui bahwa dua burung pegar, dua tangan, dua manusia, dll. bisa disebut dengan kata yang sama “dua”. Tugas penting aritmatika adalah belajar mengatasi arti spesifik dari nama-nama benda yang dihitung, mengalihkan perhatian dari bentuk, ukuran, warna, dll. Fibonacci sudah mempunyai tugas: “Tujuh wanita tua pergi ke Roma. Tiap bagal mempunyai 7 bagal, tiap bagal membawa 7 kantung, tiap kantung berisi 7 roti, tiap roti berisi 7 pisau, tiap pisau mempunyai 7 sarung. Ada berapa banyak?" Untuk mengatasi masalah ini, Anda harus mengumpulkan wanita tua, bagal, tas, dan roti.

Perkembangan konsep bilangan - kemunculan bilangan nol dan negatif, pecahan biasa dan desimal, cara penulisan bilangan (digit, notasi, sistem bilangan) - semua ini memiliki sejarah yang kaya dan menarik.

“Ilmu bilangan mengacu pada dua ilmu: praktis dan teoritis. Studi praktis tentang angka sejauh kita berbicara tentang angka yang dapat dihitung. Ilmu ini digunakan dalam urusan pasar dan sipil. Ilmu teoretis tentang angka mempelajari angka dalam arti absolut, yang diabstraksikan oleh pikiran dari tubuh dan segala sesuatu yang dapat dihitung di dalamnya.” al-Farabi

Dalam aritmatika, bilangan dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dan dibagi. Seni melakukan operasi ini dengan cepat dan akurat pada bilangan apa pun telah lama dianggap sebagai tugas aritmatika yang paling penting. Saat ini, di kepala kita atau di selembar kertas, kita hanya melakukan perhitungan yang paling sederhana, semakin mempercayakan pekerjaan komputasi yang lebih kompleks kepada mikrokalkulator, yang secara bertahap menggantikan perangkat seperti sempoa, mesin penjumlah (lihat Teknologi komputer), dan slide. aturan. Namun, pengoperasian semua komputer - sederhana dan kompleks - didasarkan pada operasi paling sederhana - penambahan bilangan asli. Ternyata perhitungan yang paling rumit dapat direduksi menjadi penjumlahan, namun operasi ini harus dilakukan jutaan kali. Namun di sini kita menyerang bidang matematika lain, yang berasal dari aritmatika - matematika komputasi.

Operasi aritmatika pada bilangan mempunyai sifat yang bermacam-macam. Sifat-sifat tersebut dapat diuraikan dengan kata-kata, misalnya: “Jumlahnya tidak berubah dengan perubahan tempat suku-sukunya,” dapat ditulis dengan huruf: , dapat dinyatakan dalam istilah-istilah khusus.

Misalnya, sifat penjumlahan ini disebut hukum komutatif atau komutatif. Kita sering kali menerapkan hukum aritmatika karena kebiasaan, tanpa kita sadari. Seringkali siswa di sekolah bertanya: “Untuk apa mempelajari semua hukum komutatif dan kombinasional ini, karena sudah jelas cara menjumlahkan dan mengalikan bilangan?” Pada abad ke-19 matematika mengambil langkah penting - ia mulai secara sistematis menjumlahkan dan mengalikan tidak hanya angka, tetapi juga vektor, fungsi, perpindahan, tabel angka, matriks, dan banyak lagi, dan bahkan hanya huruf, simbol, tanpa terlalu mempedulikan arti spesifiknya. Dan di sini ternyata yang terpenting adalah hukum apa yang dipatuhi oleh operasi ini. Studi tentang operasi yang ditentukan pada objek sembarang (tidak harus pada bilangan) sudah merupakan bidang aljabar, meskipun tugas ini didasarkan pada aritmatika dan hukum-hukumnya.

Aritmatika mengandung banyak aturan untuk menyelesaikan masalah. Di buku-buku lama Anda dapat menemukan masalah tentang "aturan rangkap tiga", tentang "pembagian proporsional", tentang "metode skala", tentang "aturan yang salah", dll. Sebagian besar peraturan ini sekarang sudah ketinggalan zaman, meskipun masalah yang diselesaikan dengan bantuan mereka tidak dapat dianggap ketinggalan jaman. Masalah terkenal tentang kolam renang yang diisi beberapa pipa setidaknya sudah berusia dua ribu tahun, dan masih tidak mudah bagi anak sekolah. Namun jika sebelumnya untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu diketahui aturan khusus, kini anak-anak sekolah yang lebih muda diajarkan untuk menyelesaikan masalah tersebut dengan memasukkan huruf penunjukan besaran yang diinginkan. Jadi, soal aritmatika menyebabkan perlunya menyelesaikan persamaan, dan ini lagi-lagi merupakan soal aljabar.

PYTHAGORAS (c. 570-c. 500 SM) Tidak ada dokumen tertulis yang tersisa tentang Pythagoras dari Samos, dan dari bukti-bukti selanjutnya sulit untuk merekonstruksi gambaran sebenarnya tentang kehidupan dan pencapaiannya. Diketahui bahwa Pythagoras meninggalkan pulau asalnya Samos di Laut Aegea di lepas pantai Asia Kecil sebagai tanda protes terhadap tirani penguasa dan sudah pada usia dewasa (menurut legenda, pada usia 40 tahun) ia muncul di kota Crotone Yunani di Italia selatan. Pythagoras dan para pengikutnya - Pythagoras - membentuk aliansi rahasia yang memainkan peran penting dalam kehidupan koloni Yunani di Italia. Orang Pythagoras mengenali satu sama lain dengan pentagon berbentuk bintang - pentagram. Ajaran Pythagoras sangat dipengaruhi oleh filsafat dan agama Timur. Dia banyak bepergian di negara-negara Timur: dia berada di Mesir dan Babilonia. Di sana Pythagoras juga berkenalan dengan matematika timur. Matematika menjadi bagian dari pengajarannya, dan bagian terpenting. Penganut Pythagoras percaya bahwa rahasia dunia tersembunyi dalam pola numerik. Dunia angka menjalani kehidupan khusus bagi Pythagoras; angka memiliki makna kehidupan khusus mereka sendiri. Bilangan yang sama dengan jumlah pembaginya dianggap sempurna (6, 28, 496, 8128); Ramah adalah pasangan bilangan yang masing-masing sama dengan jumlah pembagi bilangan lainnya (misalnya 220 dan 284). Pythagoras adalah orang pertama yang membagi bilangan menjadi genap dan ganjil, sederhana dan komposit, dan memperkenalkan konsep bilangan berpola. Di sekolahnya, kembar tiga bilangan asli Pythagoras diperiksa secara rinci, di mana kuadrat salah satu bilangan sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya (lihat teorema terakhir Fermat). Pythagoras dipuji karena mengatakan: “Segala sesuatu adalah angka.” Dia ingin mereduksi seluruh dunia, dan matematika khususnya, menjadi angka-angka (yang dia maksud hanyalah bilangan asli). Namun di sekolah Pythagoras sendiri ditemukan penemuan yang melanggar keharmonisan tersebut. Telah terbukti bahwa ini bukan bilangan rasional, yaitu. tidak dapat dinyatakan dalam bilangan asli. Tentu saja, geometri Pythagoras berada di bawah aritmatika; hal ini jelas termanifestasi dalam teorema yang menyandang namanya dan yang kemudian menjadi dasar penggunaan metode numerik dalam geometri. (Kemudian, Euclid kembali mengedepankan geometri, mensubordinasikan aljabar ke dalamnya.) Rupanya, orang Pythagoras mengetahui padatan yang benar: tetrahedron, kubus, dan dodecahedron. Pythagoras dikreditkan dengan pengenalan sistematis bukti ke dalam geometri, penciptaan planimetri bangun datar, dan doktrin kesamaan. Nama Pythagoras dikaitkan dengan doktrin proporsi aritmatika, geometri dan harmonik, rata-rata. Perlu dicatat bahwa Pythagoras menganggap Bumi sebagai bola yang bergerak mengelilingi Matahari. Ketika pada abad ke-16 Gereja mulai menganiaya ajaran Copernicus dengan keras, ajaran ini dengan keras kepala disebut Pythagoras.

ARCHIMEDES (c. 287-212 SM) Lebih banyak yang diketahui tentang Archimedes, ahli matematika dan mekanik hebat, dibandingkan ilmuwan kuno lainnya. Pertama-tama, tahun kematiannya dapat diandalkan - tahun jatuhnya Syracuse, ketika ilmuwan tersebut tewas di tangan seorang tentara Romawi. Namun, sejarawan kuno Polybius, Livy, dan Plutarch tidak banyak bicara tentang kemampuan matematikanya; dari mereka, informasi tentang penemuan luar biasa ilmuwan yang dibuat selama pelayanannya kepada Raja Hieron II telah sampai ke zaman kita. Ada cerita terkenal tentang mahkota emas raja. Archimedes memeriksa kemurnian komposisinya menggunakan hukum gaya apung yang ditemukannya, dan seruannya “Eureka!”, yaitu. "Ditemukan!". Legenda lain mengatakan bahwa Archimedes membangun sistem balok yang dengannya seseorang dapat meluncurkan kapal besar Syracosia. Kata-kata Archimedes yang diucapkan kemudian menjadi bersayap: “Beri aku titik tumpu, dan aku akan membalikkan Bumi.” Kejeniusan teknik Archimedes memanifestasikan dirinya dengan kekuatan khusus selama pengepungan Syracuse, sebuah kota perdagangan kaya di pulau Sisilia. Para prajurit konsul Romawi Marcellus ditahan untuk waktu yang lama di tembok kota dengan mesin yang belum pernah terjadi sebelumnya: ketapel yang kuat menargetkan balok batu, mesin pelempar dipasang di celah, melemparkan hujan bola meriam, derek pantai diputar ke luar tembok dan melemparkan batu dan balok timah ke kapal musuh, kait mengambil kapal dan Mereka melemparkannya dari ketinggian, sistem cermin cekung (dalam beberapa cerita - perisai) membakar kapal. Dalam “The History of Marcellus,” Plutarch menggambarkan kengerian yang terjadi di barisan tentara Romawi: “Begitu mereka menyadari ada tali atau batang kayu muncul dari balik tembok benteng, mereka melarikan diri, berteriak bahwa Archimedes telah menemukan mesin baru untuk kehancuran mereka.” . Kontribusi Archimedes terhadap perkembangan matematika juga sangat besar. Spiral Archimedes (lihat Spiral), digambarkan oleh sebuah titik yang bergerak dalam lingkaran yang berputar, berdiri terpisah di antara banyak kurva yang diketahui orang-orang sezamannya. Kurva yang ditentukan secara kinematis berikutnya - sikloid - hanya muncul pada abad ke-17. Archimedes belajar menemukan garis singgung spiralnya (dan para pendahulunya hanya mampu menggambar garis singgung pada bagian kerucut), menemukan luas belokannya, serta luas elips, permukaan kerucut dan bola, volume bola, dan ruas bola. Dia sangat bangga dengan rasio yang dia temukan tentang volume bola dan silinder yang dibatasi di sekelilingnya, yang sama dengan 2:3 (lihat Gambar Tertulis dan Dibatasi). Archimedes juga banyak mengerjakan masalah mengkuadratkan lingkaran (lihat Masalah kuno yang terkenal). Ilmuwan menghitung perbandingan keliling dengan diameter (angka) dan menemukan bahwa itu antara dan. Metode yang ia ciptakan untuk menghitung keliling dan luas suatu bangun merupakan langkah signifikan menuju penciptaan kalkulus diferensial dan integral, yang baru muncul 2000 tahun kemudian. Archimedes juga menemukan jumlah barisan geometri tak hingga dengan penyebut. Dalam matematika, ini adalah contoh pertama deret tak hingga. Peran utama dalam pengembangan matematika dimainkan oleh esainya "Psammit" - "Tentang Jumlah Butir Pasir", di mana ia menunjukkan bagaimana dengan menggunakan sistem bilangan yang ada seseorang dapat menyatakan bilangan besar secara sembarang. Sebagai dasar penalarannya, ia menggunakan masalah penghitungan jumlah butiran pasir di alam semesta tampak. Dengan demikian, pendapat yang ada saat itu tentang keberadaan “angka terbesar” yang misterius terbantahkan.

Di antara konsep penting yang diperkenalkan aritmatika adalah proporsi dan persentase. Sebagian besar konsep dan metode aritmatika didasarkan pada perbandingan berbagai ketergantungan antar bilangan. Dalam sejarah matematika, proses penggabungan aritmatika dan geometri terjadi selama berabad-abad.

Seseorang dapat dengan jelas menelusuri “geometrisasi” aritmatika: aturan dan pola kompleks yang diungkapkan oleh rumus menjadi lebih jelas jika dapat digambarkan secara geometris. Peran penting dalam matematika itu sendiri dan penerapannya dimainkan oleh proses sebaliknya - penerjemahan informasi visual dan geometris ke dalam bahasa angka (lihat Perhitungan grafis). Terjemahan ini didasarkan pada gagasan filsuf dan matematikawan Perancis R. Descartes tentang mendefinisikan titik-titik pada suatu bidang berdasarkan koordinat. Tentu saja ide ini sudah pernah digunakan sebelumnya, misalnya dalam bidang kelautan, ketika diperlukan untuk menentukan lokasi suatu kapal, serta dalam bidang astronomi dan geodesi. Namun dari Descartes dan murid-muridnyalah penggunaan bahasa koordinat dalam matematika secara konsisten berasal. Dan di zaman kita, ketika mengendalikan proses yang kompleks (misalnya, penerbangan pesawat ruang angkasa), mereka lebih suka memiliki semua informasi dalam bentuk angka, yang diproses oleh komputer. Jika perlu, mesin membantu seseorang menerjemahkan akumulasi informasi numerik ke dalam bahasa gambar.

Anda lihat, berbicara tentang aritmatika, kita selalu melampaui batasnya - ke dalam aljabar, geometri, dan cabang matematika lainnya.

Bagaimana kita bisa menggambarkan batas-batas aritmatika itu sendiri?

Dalam arti apa kata ini digunakan?

Kata "aritmatika" dapat dipahami sebagai:

mata pelajaran akademis yang terutama berhubungan dengan bilangan rasional (bilangan bulat dan pecahan), operasinya, dan masalah yang diselesaikan dengan bantuan operasi ini;

bagian dari bangunan bersejarah matematika, yang telah mengumpulkan berbagai informasi tentang perhitungan;

“aritmatika teoretis” adalah bagian dari matematika modern yang berhubungan dengan konstruksi berbagai sistem numerik (alami, bilangan bulat, rasional, nyata, bilangan kompleks dan generalisasinya);

“Aritmatika formal” adalah bagian dari logika matematika (lihat Logika matematika), yang berhubungan dengan analisis teori aksiomatik aritmatika;

"aritmatika yang lebih tinggi", atau teori bilangan, merupakan bagian matematika yang berkembang secara independen.

Di satu sisi, ini adalah pertanyaan yang sangat sederhana. Di sisi lain, anak-anak sekolah, dan banyak orang dewasa, sering bingung antara aritmatika dan matematika dan tidak begitu mengetahui apa perbedaan kedua mata pelajaran tersebut. Matematika adalah konsep paling luas yang mencakup semua operasi dengan angka. Aritmatika hanyalah salah satu cabang matematika. Aritmatika meliputi pengenalan bilangan, penghitungan sederhana, dan operasi bilangan. Dahulu pelajaran di sekolah disebut aritmatika, dan baru lama kelamaan mulai menyandang nama matematika, yang lancar mengalir ke aljabar. Pada dasarnya, aljabar dimulai ketika angka-angka yang tidak diketahui muncul dalam contoh dan huruf digunakan sebagai gantinya. Artinya, secara sederhana, operasi dengan X Dan kamu.

Ketentuan "hitung" berasal dari kata Yunani "aritmos", yang berarti "angka". Pada abad 14-15, istilah ini diterjemahkan di Inggris dengan tidak sepenuhnya benar - "seni metrik", yang pada dasarnya berarti "seni metrik", lebih cocok untuk geometri daripada penghitungan sederhana dan operasi sederhana dengan angka.

Salah satu alasan mengapa konsep “aritmatika” tidak digunakan di sekolah adalah karena dalam pelajaran sekolah dasar pun, selain bilangan, mereka juga mempelajari bentuk-bentuk geometri dan satuan ukuran (sentimeter, meter, dan lain-lain), begitu seterusnya. di luar akun biasa. Namun, pembelajaran aritmatika mental sampai batas tertentu terjadi secara alami dalam kehidupan seorang anak, dalam proses mengenal dunia di sekitarnya. Ketentuan "aritmatika mental" berarti kemampuan untuk melakukan matematika mental. Setuju, kita masing-masing mempelajari hal ini pada suatu saat dalam hidup kita, dan tidak hanya melalui pelajaran sekolah.

Saat ini terdapat banyak metode untuk mengembangkan keterampilan aritmatika mental kecepatan anak-anak. Misalnya, yang paling populer adalah pelatihan Sempoa kuno, yang didasarkan pada kemampuan menghitung sempoa khusus (berbeda dari sempoa biasa dengan puluhan). Sempoa diterjemahkan dari bahasa Inggris adalah "sempoa", makanya nama tekniknya terdengar sama. Orang Jepang menyebut teknik ini latihan Soroban, karena... dalam bahasa mereka, sempoa disebut dengan soroban.

Aritmatika menggunakan empat operasi dasar - penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Tidak masalah apakah contoh menggunakan bilangan bulat atau desimal dan pecahan. Anda dapat mengenalkan anak Anda pada angka sejak usia dini, dan melakukannya dengan santai dan melalui permainan. Orang tua akan terbantu dalam hal ini tidak hanya melalui imajinasi mereka, tetapi juga oleh berbagai materi pendidikan khusus yang dapat ditemukan di toko mana pun.

Menurut persyaratan modern untuk kelas satu, seorang anak harus sudah menghitung setidaknya sampai sepuluh (dan sebaiknya sampai 20), dan juga melakukan operasi dasar dengan angka-angka yang sudah dikenal - menambah dan menguranginya. Penting juga agar anak dapat membandingkan angka mana yang lebih besar, mana yang lebih kecil, dan mana yang sama. Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa aritmatika adalah hal yang harus diketahui seorang anak bahkan sebelum masuk sekolah.

Persyaratan seperti itu diberlakukan tidak hanya di Rusia, tetapi di seluruh dunia, karena Laju kehidupan semakin cepat, dan volume pengetahuan meningkat setiap hari. Apa yang cukup diketahui dalam kurikulum sekolah 20-30 tahun yang lalu saat ini hanya mencakup tidak lebih dari 50% informasi yang diajarkan oleh guru. Bagaimanapun, aritmatika akan selalu menjadi dasar untuk mempelajari angka dan berhitung, serta matematika tingkat awal, yang tanpanya tidak mungkin mempelajari tugas dan keterampilan yang lebih kompleks.

Hitung

Hitung Dan.
1.

Cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat bilangan paling sederhana, cara penulisannya, dan pengoperasiannya.

2.

Suatu mata pelajaran akademik yang memuat dasar-dasar bagian matematika ini.

3. penguraian

Buku teks yang menguraikan isi mata pelajaran akademis tertentu.

Kamus Penjelasan oleh Efremova. T.F.Efremova. 2000.

Sinonim:

Lihat apa itu "Aritmatika" di kamus lain:

- (dari angka aritmos Yunani, dan seni toche). Ilmu yang berhubungan dengan angka. Kamus kata-kata asing yang termasuk dalam bahasa Rusia. Chudinov A.N., 1910. ARITHMETIKA dari bahasa Yunani. arithmos, bilangan, dan techne, seni. Ilmu angka...... Kamus kata-kata asing dari bahasa Rusia

Perempuan, Yunani doktrin berhitung, ilmu notasi; dasar dari semua matematika (ilmu tentang besaran, tentang yang terukur); tua berhitung atau kebijaksanaan numerik; penghitungan, perhitungan, perhitungan numerik, perhitungan. Aritmatika, aritmatika, berkaitan dengannya. Ahli aritmatika... ... Kamus Penjelasan Dahl

Bisnis digital, ilmu digital, digital, menghitung Kamus sinonim Rusia. aritmatika tsifir (usang) Kamus sinonim bahasa Rusia. Panduan praktis. M.: bahasa Rusia. Z.E.Alexandrova. 2011… Kamus sinonim

- (dari kata Yunani ariJmoV number dan tecnh art) bagian dari matematika yang mempelajari sifat-sifat besaran tertentu; dalam arti lebih dekat, aritmatika adalah ilmu tentang bilangan yang dinyatakan dalam bilangan, dan berkaitan dengan operasi bilangan. Bisakah saya… … Ensiklopedia Brockhaus dan Efron

Ensiklopedia modern

- (dari bilangan aritmos Yunani) bagian dari matematika; mempelajari sifat-sifat bilangan yang paling sederhana, terutama bilangan asli (bilangan bulat positif) dan pecahan, serta operasinya. Perkembangan ilmu aritmatika menyebabkan terpisahnya ilmu aljabar dan teori bilangan... Kamus Ensiklopedis Besar

ARITHMETIKA, suatu metode perhitungan dengan menggunakan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Dasar aksiomatik formal untuk operasi ini diberikan oleh Giuseppe Peano pada akhir abad ke-19. Berdasarkan beberapa postulat, misalnya, hanya ada satu... ... Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

ARITHMETIKA, aritmatika, banyak. tidak, perempuan (Aritmatika Yunani). Ilmu yang mempelajari bilangan yang dinyatakan dengan angka dan operasinya. Kamus penjelasan Ushakov. D.N. Ushakov. 1935 1940 … Kamus Penjelasan Ushakov

ARITHMETIKA, dan, perempuan. 1. Cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat paling sederhana dari bilangan yang dinyatakan dengan angka dan operasinya. 2. pemindahan Sama seperti berhitung (dalam 2 angka) (bahasa sehari-hari). Kami memeriksa pengeluarannya dan ternyata mengecewakan. | adj. aritmatika, ah, ... ... Kamus Penjelasan Ozhegov

hitung- - [AS Goldberg. Kamus energi Inggris-Rusia. 2006] Topik energi secara umum EN aritmatika... Panduan Penerjemah Teknis

Hitung- (dari bilangan aritmos Yunani), bagian matematika yang mempelajari sifat-sifat paling sederhana dari bilangan bulat dan pecahan serta operasinya. Itu muncul di zaman kuno dari kebutuhan praktis menghitung, mengukur jarak, waktu, dll. Perbaikan... ... Kamus Ensiklopedis Bergambar

Buku

• Aritmatika, Kiselev Andrey Petrovich. Tahun 2017 menandai peringatan 165 tahun kelahiran A.P. Kiselyov. Buku teks sekolah pertamanya tentang aritmatika diterbitkan pada tahun 1884. Pada tahun 1938, buku tersebut disetujui sebagai buku teks aritmatika untuk 5-6...

Aritmatika adalah cabang matematika yang pokok bahasannya adalah bilangan, sifat-sifatnya, dan hubungannya.

Namanya berasal dari bahasa Yunani: dalam bahasa Hellas kuno kata “ aritmos"(diucapkan juga sebagai" aritmos") cara " nomor».

Hitung mempelajari aturan perhitungan dan sifat-sifat bilangan yang paling sederhana. Di bagian yang disebut teori bilangan (atau aritmatika yang lebih tinggi), sifat-sifat bilangan bulat individu dipelajari.

Hitung paling erat hubungannya dengan teori bilangan, aljabar, dan geometri, dan merupakan salah satu ilmu matematika utama, sekaligus yang paling kuno.

Mata pelajaran utama aritmatika adalah operasi bilangan, sifat-sifatnya, serta himpunan bilangan. Selain itu, ilmu aritmatika mempelajari permasalahan seperti asal usul dan perkembangan konsep bilangan, teknik pengukuran dan penghitungan.

Operasi bilangan yang menjadi pokok bahasan aritmatika adalah penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian. Ini juga mencakup operasi seperti ekstraksi akar, eksponensial, dan penyelesaian berbagai persamaan numerik.

Selain itu, secara historis telah berkembang bahwa operasi aritmatika mencakup, selain perkalian, penggandaan; selain pembagian, pembagian dengan sisa dan dua; memeriksa; menghitung jumlah barisan geometri dan aritmatika. Selain itu, semua operasi aritmatika memiliki hierarkinya sendiri, di mana level tertinggi ditempati oleh ekstraksi akar dan eksponensial, level terendah ditempati oleh perkalian dan pembagian, dan kemudian oleh penjumlahan dan pengurangan.

Perlu dicatat bahwa pengukuran dan perhitungan matematis yang banyak diterapkan secara praktis (misalnya, persentase, proporsi, dll.) termasuk dalam apa yang disebut aritmatika yang lebih rendah, dan konsep bilangan serta analisis logisnya termasuk dalam aritmatika teoretis.

Hitung sangat erat hubungannya dengan aljabar, yang pokok bahasannya adalah berbagai operasi bilangan yang tidak memperhitungkan sifat dan cirinya. Pada saat yang sama, mengekstraksi akar dan eksponensial adalah bagian teknis dari aljabar.

Karena dalam kehidupan sehari-hari hitung digunakan hampir dimana-mana, maka tentunya setiap orang membutuhkan ilmu tertentu dalam ilmu ini. Sepanjang hidup, operasi seperti menghitung, menghitung volume, luas, kecepatan, interval waktu dan panjang harus sangat sering dilakukan.

Untuk menguasai profesi apa pun, Anda harus memiliki pengetahuan dasar aritmatika, dan ini terutama berlaku untuk spesialisasi yang berkaitan dengan ekonomi, teknologi, dan ilmu pengetahuan alam.

Hitung (Aritmatika Yunani, dari arithmys - angka)

ilmu bilangan, terutama tentang bilangan asli (bilangan bulat positif) dan pecahan (rasional), serta operasinya.

Kepemilikan konsep bilangan asli yang cukup berkembang dan kemampuan melakukan operasi bilangan diperlukan untuk aktivitas praktis dan budaya seseorang. Oleh karena itu, A. merupakan unsur pendidikan prasekolah anak dan mata pelajaran wajib kurikulum sekolah.

Banyak konsep matematika yang dibangun menggunakan bilangan asli (misalnya konsep dasar analisis matematika adalah bilangan real). Dalam hal ini, matematika merupakan salah satu ilmu matematika yang utama. Ketika penekanan ditempatkan pada analisis logis dari konsep bilangan (Lihat Bilangan), istilah aritmatika teoretis kadang-kadang digunakan. Aljabar berkaitan erat dengan aljabar (lihat Aljabar), di mana, khususnya, operasi bilangan dipelajari tanpa memperhitungkan sifat masing-masingnya. Sifat-sifat individual bilangan bulat membentuk pokok bahasan teori bilangan (Lihat Teori bilangan).

Referensi sejarah. Muncul pada zaman dahulu dari kebutuhan praktis berhitung dan pengukuran sederhana, aritmatika berkembang sehubungan dengan semakin kompleksnya kegiatan ekonomi dan hubungan sosial, perhitungan moneter, masalah pengukuran jarak, waktu, luas, dan tuntutan ilmu-ilmu lain. dia.

Munculnya berhitung dan tahap-tahap awal pembentukan konsep aritmatika biasanya dinilai dari pengamatan yang berkaitan dengan proses berhitung pada masyarakat primitif, dan secara tidak langsung dengan mempelajari jejak-jejak tahapan serupa yang dilestarikan dalam bahasa masyarakat budaya dan diamati. selama perolehan konsep-konsep ini oleh anak-anak. Data tersebut menunjukkan bahwa perkembangan unsur-unsur aktivitas mental yang mendasari proses berhitung melewati beberapa tahap peralihan. Hal tersebut antara lain: kemampuan mengenali objek yang sama dan membedakan objek dalam sekumpulan objek yang akan dihitung; kemampuan untuk melakukan penguraian menyeluruh dari totalitas ini menjadi unsur-unsur yang dapat dibedakan satu sama lain dan pada saat yang sama sama dalam penghitungan (menggunakan “satuan” penghitungan yang disebut); kemampuan untuk menjalin korespondensi antara unsur-unsur dua himpunan, mula-mula secara langsung, kemudian dengan membandingkannya dengan unsur-unsur suatu kumpulan benda yang terurut sekali dan untuk selamanya, yaitu kumpulan benda-benda yang terletak dalam urutan tertentu. Unsur-unsur himpunan terurut standar tersebut adalah kata-kata (angka) yang digunakan dalam menghitung benda-benda yang bersifat kualitatif apa pun dan sesuai dengan pembentukan konsep abstrak bilangan. Dalam berbagai kondisi, seseorang dapat mengamati ciri-ciri serupa dari kemunculan bertahap dan peningkatan keterampilan yang terdaftar serta konsep aritmatika yang terkait dengannya.

Pada awalnya, penghitungan ternyata hanya mungkin dilakukan untuk kumpulan sejumlah objek yang relatif kecil, di luar itu perbedaan kuantitatif disadari secara samar-samar dan dicirikan oleh kata-kata yang sinonim dengan kata “banyak”; dalam hal ini alat penghitungnya adalah takik pada pohon (“penghitungan tag”), penghitung kerikil, tasbih, jari, dan lain-lain, serta himpunan yang memuat jumlah unsur yang tetap, misalnya: “mata” - sebagai a sinonim untuk angka "dua", tangan ("metacarpus") - sebagai sinonim dan dasar sebenarnya dari angka "lima", dll.

Penghitungan ordinal verbal (satu, dua, tiga, dst.), yang ketergantungan langsungnya pada penghitungan jari (pengucapan berurutan dari nama-nama jari, bagian-bagian tangan) dalam beberapa kasus dapat ditelusuri secara langsung, selanjutnya dikaitkan dengan kelompok penghitungan berisi sejumlah objek tertentu. Angka ini membentuk dasar dari sistem bilangan yang bersesuaian, biasanya sebagai hasil penghitungan dengan jari dua tangan, sama dengan 10. Namun, ada juga pengelompokan 5, 20 (bahasa Prancis 80 “quatre-vingt” = 4 × 20 ), 40, 12 (“puluhan”), 60 dan bahkan 11 (Selandia Baru). Di era hubungan dagang yang sudah maju, cara-cara penomoran (baik lisan maupun tulisan) tentu saja menunjukkan kecenderungan ke arah keseragaman antar suku dan bangsa yang berkomunikasi satu sama lain; keadaan ini memainkan peran yang menentukan dalam pembentukan dan penyebaran sistem yang digunakan saat ini. waktu sistem penomoran (notasi (Lihat Notasi)), prinsip tempat (bitwise) makna bilangan dan metode melakukan operasi aritmatika. Rupanya, alasan serupa menjelaskan kesamaan nama angka dalam berbagai bahasa: misalnya, two - dva (Sansekerta), δυο (Yunani), duo (Latin), two (Inggris).

Sumber informasi terpercaya pertama tentang keadaan pengetahuan aritmatika di era peradaban kuno adalah dokumen tertulis Dr. Mesir (Papirus Matematika), ditulis sekitar 2 ribu tahun SM. e. Ini adalah kumpulan masalah yang menunjukkan solusinya, aturan pengoperasian bilangan bulat dan pecahan dengan tabel tambahan, tanpa penjelasan teoretis apa pun. Beberapa masalah dalam kumpulan ini pada dasarnya diselesaikan dengan menyiapkan dan menyelesaikan persamaan; Perkembangan aritmatika dan geometri juga ditemukan.

Tentang tingkat budaya aritmatika bangsa Babilonia yang cukup tinggi selama 2-3 ribu tahun SM. e. memungkinkan menilai teks matematika Cuneiform. Penomoran tertulis orang Babilonia dalam teks paku merupakan kombinasi khusus dari sistem desimal (untuk bilangan kurang dari 60) dengan sistem seksagesimal, dengan satuan angka 60, 60 2, dst. Indikator paling signifikan dari tingkat aritmatika yang tinggi adalah penggunaan pecahan seksagesimal dengan sistem penomoran yang sama, mirip dengan pecahan desimal modern. Teknik aritmatika orang Babilonia, yang secara teoritis mirip dengan teknik konvensional dalam sistem desimal, diperumit oleh kebutuhan untuk menggunakan tabel perkalian yang ekstensif (untuk angka dari 1 hingga 59). Dalam bahan-bahan paku yang masih ada, yang tampaknya merupakan alat bantu pengajaran, terdapat juga tabel bilangan timbal balik yang sesuai (dua digit dan tiga digit, yaitu dengan ketelitian 1/60 2 dan 1/60 3), yang digunakan dalam divisi.

Di kalangan orang Yunani kuno, sisi praktis arsitektur tidak dikembangkan lebih lanjut; sistem penomoran tertulis yang mereka gunakan menggunakan huruf alfabet kurang cocok untuk perhitungan rumit dibandingkan sistem Babilonia (khususnya, para astronom Yunani kuno lebih suka menggunakan sistem seksagesimal). Di sisi lain, para ahli matematika Yunani kuno meletakkan dasar bagi perkembangan teoritis aritmatika dalam hal doktrin bilangan asli, teori proporsi, pengukuran besaran dan, dalam bentuk implisit, juga teori bilangan irasional. Dalam Elemen Euclid (abad ke-3 SM) terdapat bukti tak terhingga banyaknya bilangan prima, teorema dasar pembagian, dan algoritma untuk mencari ukuran persekutuan dua ruas dan pembagi terbesar persekutuan dua bilangan, yang tetap mempertahankan maknanya. dan masih signifikan (lihat algoritma Euclid), bukti tidak adanya bilangan rasional yang kuadratnya 2 (irasionalitas bilangan √2), dan teori proporsi yang dinyatakan dalam bentuk geometris. Soal-soal teori bilangan yang dipertimbangkan antara lain soal bilangan sempurna (Lihat bilangan sempurna) (Euclid), tentang bilangan Pythagoras (Lihat bilangan Pythagoras), dan juga - sudah di era selanjutnya - algoritma untuk mengisolasi bilangan prima (saringan Eratosthenes) dan menyelesaikan sejumlah persamaan tak tentu derajat ke-2 dan lebih tinggi (Diophantus).

Peran penting dalam pembentukan konsep deret bilangan alami tak hingga dimainkan oleh “Psammit” dari Archimedes (abad ke-3 SM), yang membuktikan kemungkinan penamaan dan penunjukan bilangan besar yang sewenang-wenang. Karya-karya Archimedes menunjukkan seni yang cukup tinggi dalam memperoleh nilai perkiraan besaran yang diinginkan: mengekstraksi akar bilangan multi-digit, menemukan perkiraan rasional untuk bilangan irasional, misalnya

Bangsa Romawi tidak memajukan teknologi perhitungan; namun, mereka meninggalkan sistem penomoran yang bertahan hingga hari ini (angka Romawi), yang kurang cocok untuk operasi dan sekarang digunakan hampir secara eksklusif untuk menunjukkan bilangan urut.

Sulit untuk menelusuri kesinambungan perkembangan matematika dalam kaitannya dengan budaya sebelumnya yang lebih kuno; namun, tahapan yang sangat penting dalam perkembangan Afrika terkait dengan budaya India, yang mempengaruhi negara-negara Asia Barat dan Eropa, serta negara-negara Timur. Asia (Cina, Jepang). Selain penerapan aljabar untuk memecahkan masalah konten aritmatika, pencapaian paling signifikan orang India adalah pengenalan sistem bilangan posisi (menggunakan sepuluh digit, termasuk nol untuk menunjukkan tidak adanya satuan di salah satu digit), yang memungkinkan untuk mengembangkan aturan yang relatif sederhana untuk melakukan operasi aritmatika dasar.

Para ilmuwan di Timur abad pertengahan tidak hanya melestarikan warisan matematikawan Yunani kuno dalam terjemahannya, tetapi juga berkontribusi pada penyebaran dan pengembangan lebih lanjut pencapaian orang India. Metode untuk melakukan operasi aritmatika, sebagian besar masih jauh dari modern, tetapi sudah menggunakan keunggulan sistem bilangan posisional, sejak abad ke-10. N. e. mulai secara bertahap merambah ke Eropa, terutama ke Italia dan Spanyol.

Kemajuan arsitektur yang relatif lambat pada Abad Pertengahan digantikan oleh awal abad ke-17. peningkatan pesat metode perhitungan sehubungan dengan meningkatnya tuntutan praktis pada teknologi komputasi (masalah astronomi bahari, mekanika, perhitungan komersial yang semakin kompleks, dll.). Pecahan dengan penyebut 10, yang digunakan oleh orang India (saat mengekstraksi akar kuadrat) dan berulang kali menarik perhatian para ilmuwan Eropa, pertama kali digunakan dalam bentuk implisit dalam tabel trigonometri (dalam bentuk bilangan bulat yang menyatakan panjang garis) sinus, tangen, dan seterusnya dengan jari-jari diambil 10 5). Untuk pertama kalinya (1427), al-Kashi menjelaskan secara rinci sistem pecahan desimal dan aturan pengoperasiannya. Notasi pecahan desimal, yang pada hakikatnya sama dengan notasi modern, ditemukan dalam karya S. Stevin pada tahun 1585 dan sejak saat itu tersebar luas. Penemuan logaritma pada awal abad ke-17 dimulai pada era yang sama. J.Napier om. Pada awal abad ke-18. teknik untuk melakukan dan mencatat perhitungan menjadi modern.

Di Rusia hingga awal abad ke-17. penomoran yang mirip dengan bahasa Yunani digunakan; Sistem penomoran lisan berkembang dengan baik dan unik, mencapai angka ke-50. Dari manual aritmatika Rusia pada awal abad ke-18. Yang paling penting adalah Aritmatika L.F. Magnitsky, yang sangat dihargai oleh M.V. Lomonosov (Lihat Magnitsky) (1703). Ini berisi definisi A. berikut: “Aritmatika, atau pembilang, adalah seni yang jujur, tidak menyenangkan, dan mudah dipahami oleh semua orang, paling berguna, dan paling terpuji, ditemukan dan diuraikan oleh ahli aritmatika paling kuno dan modern yang hidup di berbagai negara. waktu." Selain soal-soal penomoran, pemaparan teknik perhitungan bilangan bulat dan pecahan (termasuk desimal) dan soal-soal terkait, buku pedoman ini juga memuat unsur aljabar, geometri dan trigonometri, serta sejumlah informasi praktis terkait perhitungan komersial dan soal navigasi. Presentasi A. kurang lebih mengambil bentuk modern dari L. Euler dan murid-muridnya.

Pertanyaan teoritis aritmatika. Perkembangan teoritis persoalan-persoalan yang berkaitan dengan doktrin bilangan dan doktrin pengukuran besaran tidak dapat dipisahkan dari perkembangan matematika secara keseluruhan: tahapan-tahapan penentunya dikaitkan dengan momen-momen yang sama-sama menentukan perkembangan aljabar, geometri dan analisis. Yang paling penting harus dipertimbangkan penciptaan doktrin umum Besaran, doktrin abstrak yang sesuai tentang bilangan (Lihat Bilangan) (bilangan bulat, rasional dan irasional) dan peralatan alfabet aljabar.

Pentingnya aritmatika sebagai ilmu yang cukup untuk mempelajari berbagai jenis besaran kontinu baru disadari menjelang akhir abad ke-17. sehubungan dengan dimasukkannya konsep bilangan irasional dalam aritmatika, yang ditentukan oleh barisan perkiraan rasional. Peran penting dalam hal ini dimainkan oleh peralatan pecahan desimal dan penggunaan logaritma, yang memperluas jangkauan operasi yang dilakukan dengan akurasi yang diperlukan pada bilangan real (irasional dan rasional).

Konstruksi Grassmann selanjutnya diselesaikan oleh karya G. Peano, yang di dalamnya ditonjolkan dengan jelas suatu sistem konsep-konsep dasar (tidak didefinisikan melalui konsep-konsep lain), yaitu: konsep bilangan asli, konsep suatu bilangan yang segera mengikuti bilangan lain dalam suatu deret alami, dan konsep anggota awal suatu bilangan asli. seri (yang dapat diambil sebagai 0 atau 1). Konsep-konsep ini saling berhubungan oleh lima aksioma, yang dapat dianggap sebagai definisi aksiomatik dari konsep-konsep dasar tersebut.

Aksioma Peano: 1) 1 adalah bilangan asli; 2) bilangan asli selanjutnya adalah bilangan asli; 3) 1 tidak mengikuti bilangan asli apa pun; 4) jika bilangan asli A mengikuti bilangan asli B dan melampaui bilangan asli Dengan, Itu B Dan Dengan identik; 5) jika suatu proposisi terbukti untuk 1 dan jika dari asumsi benar untuk suatu bilangan asli N, maka hal berikut ini benar P bilangan asli, maka kalimat ini berlaku untuk semua bilangan asli. Aksioma ini - aksioma induksi lengkap - memungkinkan untuk lebih lanjut menggunakan definisi aksi Grassmann dan membuktikan sifat umum bilangan asli.

Konstruksi ini, yang memberikan solusi terhadap masalah pembuktian pernyataan formal aritmatika, mengesampingkan pertanyaan tentang struktur logis aritmatika bilangan asli dalam arti kata yang lebih luas, termasuk operasi yang mendefinisikan penerapan aritmatika baik dalam matematika. itu sendiri dan dalam aplikasi praktis kehidupan. Analisis dari sisi persoalan ini, setelah memperjelas isi konsep bilangan pokok, sekaligus menunjukkan bahwa persoalan pembenaran aritmatika berkaitan erat dengan persoalan mendasar yang lebih umum dari analisis metodologis disiplin matematika. Jika proposisi matematika yang paling sederhana, yang berkaitan dengan penghitungan dasar suatu benda dan merupakan generalisasi dari pengalaman umat manusia yang berusia berabad-abad, secara alami masuk ke dalam skema logika yang paling sederhana, maka matematika, sebagai disiplin matematika yang mempelajari kumpulan bilangan asli yang tak terhingga. , memerlukan studi tentang konsistensi sistem aksioma yang sesuai dan analisis yang lebih rinci tentang makna yang dihasilkan dari usulan umumnya.

menyala.: Klein F., Matematika dasar dari sudut pandang yang lebih tinggi, trans. dengan dia. jilid 3 edisi, jilid 1, M.-L., 1935; Arnold I.V., Aritmatika teoretis, edisi ke-2, M., 1939; Bellustin V.K., Bagaimana orang secara bertahap mencapai aritmatika nyata, M., 1940; Grebencha M.K., Aritmatika, edisi ke-2, M., 1952; Berman G.N., Bilangan dan ilmunya, edisi ke-3, M., 1960; Deptyaan I. Ya., Sejarah aritmatika, edisi ke-2, M., 1965; Vygodsky M.Ya., Aritmatika dan aljabar di Dunia Kuno, edisi ke-2, M., 1967.

I.V.Arnold.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Sinonim:

Lihat apa itu "Aritmatika" di kamus lain:

- (dari angka aritmos Yunani, dan seni toche). Ilmu yang berhubungan dengan angka. Kamus kata-kata asing yang termasuk dalam bahasa Rusia. Chudinov A.N., 1910. ARITHMETIKA dari bahasa Yunani. arithmos, bilangan, dan techne, seni. Ilmu angka...... Kamus kata-kata asing dari bahasa Rusia