KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU FEDERASI RUSIA
LEMBAGA PENDIDIKAN UMUM NEGARA
PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI
"LEMBAGA PEDAGOGIS NEGARA USSURIYSK"
Fakultas Fisika dan Matematika
Tugas mata kuliah kalkulus
Topik: "Fungsi kontinu tetapi tidak terdiferensiasi"
Diselesaikan oleh: Ksenia Plyasheshnik
siswa kelompok 131
Kepala: Delyukova Ya.V.
Ussuriysk - 2011
Pendahuluan ................................................. . ........................................ 3
Referensi sejarah................................................................ ......................... empat
Definisi dan teorema dasar .................................................. ................. ....... 5
Contoh fungsi kontinu tanpa turunan .................................. 10
Solusi latihan ................................................... .................. .................. 13
Kesimpulan................................................. .................................................... 21
Daftar Pustaka ................................................. . .......................... 22
pengantar
Pekerjaan kursus dikhususkan untuk mempelajari hubungan antara kontinuitas dan keberadaan turunan dari fungsi satu variabel. Berdasarkan tujuannya, tugas-tugas berikut ditetapkan:
1. Studi literatur pendidikan;
2. Pelajari contoh fungsi kontinu yang tidak memiliki turunan di sembarang titik, yang dibangun oleh van der Waerden;
3. Memecahkan sistem latihan.
Referensi sejarah
Bartel Leendert van der Waerden (Belanda. Bartel Leendert van der Waerden, 2 Februari 1903, Amsterdam, Belanda - 12 Januari 1996, Zurich, Swiss) - matematikawan Belanda.
Ia belajar di Universitas Amsterdam, kemudian di Universitas Göttingen, di mana ia sangat dipengaruhi oleh Emmy Noether.
Karya utamanya adalah di bidang aljabar, geometri aljabar, di mana dia (bersama dengan André Weil dan O. Zarissky) meningkatkan tingkat ketelitian, dan fisika matematika, di mana dia terlibat dalam penerapan teori grup untuk pertanyaan mekanika kuantum (bersama dengan Herman Weil dan J. Wigner). Buku klasiknya Aljabar Modern (1930) menjadi model untuk buku teks selanjutnya tentang aljabar abstrak dan mengalami banyak cetak ulang.
Van der Waerden adalah salah satu spesialis terbesar dalam sejarah matematika dan astronomi di dunia kuno. Ilmu Kebangkitannya (Ontwakende wetenschap 1950, terjemahan Rusia 1959) memberikan penjelasan rinci tentang sejarah matematika dan astronomi di Mesir kuno, Babel dan Yunani. Lampiran terjemahan bahasa Rusia dari buku ini berisi artikel "Doktrin Keselarasan Pythagoras" (1943) - eksposisi mendasar dari pandangan Pythagoras tentang harmoni musik.
Definisi dan teorema dasar
Batas suatu fungsi di suatu titik. Batas kiri dan kanan
Definisi (batas menurut Cauchy, dalam bahasa Bilangan disebut limit suatu fungsi pada suatu titik, jika
Definisi (dalam bahasa tetangga) Suatu bilangan disebut limit suatu fungsi di suatu titik jika untuk sembarang -tetangga dari bilangan tersebut ada -tetangga dari titik tersebut sedemikian sehingga segera setelah 
Definisi (menurut Heine) Suatu bilangan disebut limit suatu fungsi pada suatu titik jika untuk sembarang barisan yang konvergen ke (yaitu, barisan nilai-nilai fungsi yang bersesuaian konvergen ke bilangan 
Definisi Suatu bilangan disebut limit kiri suatu fungsi di suatu titik jika
Definisi Suatu bilangan disebut limit kanan suatu fungsi di suatu titik jika
Teorema (kondisi perlu dan cukup untuk keberadaan limit)
Agar limit fungsi ada di suatu titik, perlu dan cukup bahwa limit kiri dan kanan ada sama satu sama lain.
Konsep turunan. Derivatif satu sisi.
Pertimbangkan fungsi yang didefinisikan pada himpunan
1. Mari kita ambil kenaikannya. Mari kita tingkatkan poinnya.
2. Mari kita hitung nilai fungsi dalam poin . dan
3. .
4. .
apalagi, kenaikan argumen bisa positif dan negatif, maka batas ini disebut turunan pada titik dan dilambangkan dengan . Bisa juga tanpa akhir.
turunan kiri (sisi kiri) dari fungsi di titik , dan jika
ada batas yang terbatas 
maka disebut turunan kanan dari fungsi di titik .
Suatu fungsi memiliki suatu titik jika dan hanya jika turunan kiri dan kanannya berimpit pada suatu titik:
( ( .
Pertimbangkan fungsinya 
Temukan turunan satu sisi di suatu titik
Akibatnya, ( =-1; ( =1 dan ( ( , yaitu, pada suatu titik, fungsi tersebut tidak memiliki turunan.
Berbagai definisi kontinuitas suatu fungsi di suatu titik.
Definisi 1 (dasar) Suatu fungsi disebut kontinu di suatu titik jika limit fungsi di sama dengan nilai fungsi di titik tersebut.
Definisi 2 (dalam bahasa A fungsi disebut kontinu pada suatu titik jika , >0, sehingga .
Definisi 3 (menurut Heine, dalam bahasa barisan) Suatu fungsi disebut kontinu di suatu titik jika untuk sembarang barisan yang konvergen ke suatu titik, barisan nilai fungsi yang sesuai konvergen ke .
Definisi 4 (dalam bahasa inkremen) Suatu fungsi disebut kontinu pada suatu titik jika peningkatan argumen yang sangat kecil sesuai dengan peningkatan fungsi yang sangat kecil.
Konsep fungsi terdiferensiasi
Definisi 1 Suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu himpunan (disebut terdiferensiasi pada suatu titik jika kenaikannya pada titik ini dapat direpresentasikan sebagai (*), di mana A - const , independen dari , - infinitesimal pada
Definisi 2 Suatu fungsi yang terdiferensiasi pada sembarang titik dari suatu himpunan disebut terdiferensiasi pada himpunan tersebut.
Hubungan antara diferensiasi dan kontinuitas
Dalil. Jika suatu fungsi terdiferensial di suatu titik , maka fungsi tersebut kontinu di suatu titik .
Bukti.
Misalkan suatu fungsi diberikan Fungsi tersebut dapat diturunkan pada titik , dimana
Teorema terbalik. Jika suatu fungsi kontinu, maka fungsi tersebut dapat diturunkan.
Teorema kebalikannya tidak benar.
B tidak terdiferensiasi, meskipun kontinu.
Klasifikasi titik istirahat
Definisi Fungsi yang tidak kontinu di suatu titik adalah diskontinu di suatu titik , dan titik itu sendiri disebut titik diskontinuitas.
Ada dua klasifikasi titik diskontinuitas: jenis I dan II.
Definisi Suatu titik disebut titik diskontinuitas jenis pertama jika pada titik ini terdapat limit satu sisi berhingga yang tidak sama satu sama lain.
Definisi Suatu titik disebut titik sekali pakai ya jika , tetapi tidak sama dengan nilai fungsi di titik .
Definisi Suatu titik disebut titik diskontinuitas jenis kedua jika pada titik ini batas satu sisinya sama, atau salah satu batas satu sisinya tidak berhingga, atau tidak ada batas pada titik tersebut.
· – tak berujung;
· – tak berujung atau – tak berujung;
Tanda-tanda konvergensi seragam suatu deret di
Tanda Weierstrass.
Jika anggota deret fungsional (1) memenuhi pertidaksamaan di daerah 
di mana adalah anggota dari beberapa deret numerik konvergen, maka deret (1) konvergen menjadi seragam.
Teorema 1 Biarkan fungsi 
didefinisikan dalam suatu interval dan semuanya kontinu pada beberapa titik dalam interval ini. Jika deret (1) pada interval konvergen beraturan, maka jumlah deret di titik tersebut juga kontinu.
Contoh fungsi kontinu tanpa turunan
Contoh pertama dari jenis ini dibangun oleh Weierstrass; fungsinya didefinisikan berikut:
dimana 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). Deret ini diprioritaskan oleh deret konvergen, oleh karena itu (tanda konvergensi seragam deret), konvergen seragam, dan jumlahnya adalah fungsi kontinu x di mana-mana. Melalui penelitian yang cermat, Weierstrass berhasil menunjukkan bahwa, bagaimanapun, tidak ada turunan yang terbatas.
Di sini kita akan mempertimbangkan contoh van der Waerden yang lebih sederhana, yang pada dasarnya dibangun di atas ide yang sama, hanya kurva berosilasi y = cosωχ yang diganti dengan garis putus-putus berosilasi.
Jadi, kami dilambangkan dengan nilai absolut dari perbedaan antara angka dan bilangan bulat terdekat dengannya. Fungsi ini akan linier di setiap interval bentuk , di mana s adalah bilangan bulat; itu kontinu dan memiliki periode 1. Grafiknya adalah garis putus-putus, ditunjukkan pada Gambar 1; tautan individu dari polyline memiliki kemiringan ±1.
Mari kita, untuk k=1,2,3,…:
Fungsi ini akan linier dalam interval bentuk ; itu juga kontinu dan memiliki periode. Grafiknya juga rusak, tetapi dengan gigi yang lebih kecil; Gambar 1(b), misalnya, menunjukkan grafik fungsi . Dalam semua kasus, koefisien kemiringan tautan individu dari polyline dan di sini sama dengan ±1.
Sekarang mari kita definisikan, untuk semua nilai riil x , fungsi f (x) dengan persamaan
Karena, tentu saja, 0≤ (k =0,1,2,…), sehingga deret tersebut didominasi oleh deret konvergen , maka (seperti dalam kasus fungsi Weierstrass) deret tersebut konvergen seragam, dan fungsinya ada di mana-mana kontinu.
Mari kita berhenti pada nilai berapa pun. Menghitungnya dengan akurasi hingga (di mana n = 0,1,2, ...), dengan kekurangan dan kelebihan, kami akan menyimpulkannya di antara angka-angka dalam bentuk:
, di mana adalah bilangan bulat.
(n=0,1,2,…).
Jelas bahwa interval tertutup berubah menjadi bersarang satu sama lain. Di masing-masing dari mereka ada titik sedemikian rupa sehingga jaraknya dari titik sama dengan setengah panjang interval.
Jelas bahwa ketika n meningkat, varian .
Sekarang mari kita buat rasio kenaikan
=
Tetapi ketika k > n , bilangan tersebut merupakan kelipatan bilangan bulat dari periode fungsi , suku-suku yang bersesuaian dari deret tersebut berubah menjadi 0 dan dapat dihilangkan. Jika k n , maka fungsi , yang linier dalam interval , akan linier dalam interval yang terdapat di dalamnya , dan
(k=0,1,…,n).
Jadi, kami akhirnya memiliki 
dengan kata lain, rasio ini sama dengan bilangan bulat genap ketika n ganjil dan bilangan ganjil ketika n genap. Dari sini jelas bahwa di , rasio kenaikan tidak dapat cenderung ke batas terbatas, jadi fungsi kami tidak memiliki turunan hingga.
Solusi Latihan
Latihan 1 (, #909)
Fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut: . Selidiki kesinambungan dan temukan keberadaan
Na kontinu sebagai polinomial;
Aktif (0;1) 
kontinu sebagai polinomial;
On (1;2) kontinu sebagai polinomial;
Aktif (2; kontinu sebagai fungsi dasar.
Poin yang mencurigakan untuk dilanggar
Karena limit kiri sama dengan limit kanan dan sama dengan nilai fungsi di titik, maka fungsi tersebut kontinu di titik
Karena limit kiri sama dengan nilai fungsi di titik tersebut, maka fungsi tersebut diskontinu di titik .
1 cara. Tidak ada turunan berhingga dari fungsi di suatu titik, misalkan sebaliknya. Misalkan ada turunan terbatas dari fungsi di suatu titik 
kontinu di suatu titik (menurut Teorema 1: Jika suatu fungsi terdiferensiasi pada suatu titik, maka fungsi itu kontinu.
2 jalan. Tentukan limit fungsi satu sisi di titik x =0.
Latihan 2 (, №991)
Tunjukkan fungsi itu 
memiliki turunan diskontinu.
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut.
Batas tidak ada terputus-putus pada suatu titik
Karena merupakan fungsi yang sangat kecil, maka terbatas.
Mari kita buktikan bahwa fungsi 
tidak memiliki batas pada titik.
Untuk membuktikannya, cukup ditunjukkan bahwa ada dua barisan nilai argumen yang konvergen ke 0, yang tidak konvergen ke
Keluaran: fungsi 
tidak memiliki batas pada titik.
Latihan 3 (, #995)
Tunjukkan bahwa fungsi di mana merupakan fungsi kontinu dan tidak memiliki turunan di titik . Apa itu turunan satu sisi?
Batas satu sisi tidak sama dengan fungsi tidak memiliki turunan di titik .
Latihan 4 (, #996)
Buatlah contoh fungsi kontinu yang tidak memiliki turunan fungsi di titik-titik tertentu:
Pertimbangkan fungsi di titik
Mari kita cari batas satu sisi
Batas satu sisi tidak sama dengan fungsi tidak memiliki turunan di titik . Demikian pula, fungsi tidak memiliki turunan di titik lain
Latihan 5 (, 125)
Tunjukkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki turunan di .
Mari kita cari kenaikan fungsi di titik
Tulis rasio kenaikan fungsi pada suatu titik dengan kenaikan argumen
Ayo pergi ke batas
Latihan 6 (, №128)
Tunjukkan fungsi itu 
tidak memiliki turunan di titik .
Mari kita naikkan Mari kita beri kenaikan pada intinya Dapatkan
Tentukan nilai fungsi di titik dan
Mari kita cari kenaikan fungsi di titik
Tulis rasio kenaikan fungsi pada suatu titik dengan kenaikan argumen
Ayo pergi ke batas
Kesimpulan: tidak memiliki turunan berhingga pada titik .
Latihan 7 (, №131)
Selidiki Fungsi untuk Kontinuitas
- titik yang mencurigakan untuk istirahat
Karena limit kiri sama dengan nilai fungsi di titik, fungsi kontinu di titik, ada diskontinuitas jenis pertama.
Kesimpulan
Makalah istilah menyajikan materi yang berkaitan dengan konsep "Fungsi kontinu tetapi tidak dapat dibedakan", tujuan pekerjaan ini telah tercapai, tugas-tugas telah diselesaikan.
Bibliografi
1. B. P. Demidovich, / Kumpulan masalah dalam kursus analisis matematis. Buku teks untuk mahasiswa Fakultas Fisika dan Matematika Institut Pedagogis. - M.: Pencerahan, 1990 -624s.
2. G. N. Berman, / Kumpulan masalah dalam mata kuliah analisis matematis. - M.: Nauka, 1977 - 416s.
3. G. M. Fikhtengolts, / Mata kuliah Kalkulus Diferensial dan Integral jilid II. - M., Nauka, 1970 - 800an.
4. I.A. Vinogradova, / Tugas dan latihan dalam analisis matematika, bagian 1. - M.: Bustard, 2001 - 725s.
5. Sumber daya internet \ http://ru.wikipedia.org/wiki.
6. Sumber daya internet \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.
Mari kita buat set yang menarik di pesawat PADA sebagai berikut: membagi, persegi dengan garis lurus 
menjadi 9 kotak yang sama dan membuang lima di antaranya terbuka, tidak berdekatan dengan simpul dari kotak asli. Kemudian, kami juga membagi masing-masing kotak yang tersisa menjadi 9 bagian, dan membuang lima di antaranya, dan seterusnya. Himpunan yang tersisa setelah jumlah langkah yang dapat dihitung dilambangkan B dan telepon Pemakaman Sierpinski. Hitung luas kotak yang dibuang:
Pemakaman Sierpinski sempurna dan tidak padat.
Perhatikan struktur fraktal dari himpunan.
2.2 Sisir Cantor
Mari kita panggil Sisir Cantor banyak D di permukaan oxy, terdiri dari semua titik 
, yang koordinatnya memenuhi kondisi berikut: 
, di mana 
- Cantor diatur pada sumbu Oy. Sisir Cantor adalah set padat yang sempurna di pesawat. Banyak D terdiri dari semua poin 
kuadrat satuan asli, yang absisnya arbitrer 
, dan ordinat dapat ditulis sebagai pecahan terner yang tidak mengandung satu pun di antara tanda-tanda ternernya.
Apakah mungkin untuk mengatur? B(pemakaman Sierpinski) dan D(sisir Cantor) dinyatakan dalam himpunan Cantor 
dengan bantuan operasi penambahan segmen dan produk Cartesian? Jelas bahwa set B dan D diungkapkan secara sederhana:
B=
x 
D= x 
3 Fungsi penyanyi
Apakah mungkin untuk terus-menerus memetakan beberapa tempat padat pada segmen ke segmen ini sendiri?
Ya, mari kita ambil tempat padat Cantor. Pada langkah pertama konstruksi, kami menetapkan nilai fungsi sama dengan 0,5 pada titik-titik interval yang berdekatan dari jenis pertama. Pada langkah kedua, untuk setiap interval yang berdekatan dari jenis kedua, kami menetapkan nilai fungsi masing-masing menjadi 0,25 dan 0,75. Itu. kami, seolah-olah, membagi setiap segmen menjadi sumbu Oy setengah ( kamu saya) dan atur dalam interval berdekatan yang sesuai nilai fungsi sama dengan nilai yi.
Hasilnya, kami memperoleh fungsi tak menurun (yang dibuktikan dalam kerangka kursus "Bab-bab Analisis Matematika yang Dipilih"), yang didefinisikan pada segmen dan konstanta di beberapa lingkungan setiap titik dari himpunan \ 
. Fungsi yang dibangun 
ditelepon Fungsi penyanyi(Fungsi Cantor), dan grafiknya di bawah ini - "Tangga Sialan".
Perhatikan struktur fraktal dari fungsi:
Fungsi 
memenuhi pertidaksamaan berikut:
Fungsi Cantor kontinu pada interval . Itu tidak berkurang dan himpunan nilainya membentuk seluruh segmen. Oleh karena itu, fungsi 
tidak memiliki lompatan. Dan sejak Jika fungsi monoton tidak dapat memiliki titik diskontinuitas selain lompatan (lihat kriteria kontinuitas fungsi monoton), maka fungsi tersebut kontinu.
Penasaran adalah pengamatan bahwa grafik fungsi Cantor kontinu 
tidak mungkin menggambar "tanpa mengangkat pensil dari kertas"".
Di mana-mana fungsi kontinu tetapi tidak terdiferensiasi di mana-mana
Mari kita membangun fungsi bantu 
pada langkah demi langkah. Pada langkah nol, kami menetapkan dua poin:
dan 
.
Selanjutnya, perbaiki parameternya 
. Pada langkah pertama dan selanjutnya, kami akan menentukan titik sesuai dengan aturan berikut: untuk setiap dua titik yang dibangun sebelumnya berdekatan di sepanjang sumbu absis 
dan 
kami akan membangun dua poin baru 
dan 
simetris terpusat tentang pusat persegi panjang yang ditentukan oleh titik-titik 
dan 
dengan koefisien k. Artinya, pada langkah pertama, dua poin baru ditetapkan:
dan 
, dll.
pada (m+1)- langkah th di samping poin yang dibangun sebelumnya dengan absis
,
dua titik dibangun di semua interval sepanjang sumbu absis antara titik tetangga yang sudah dibangun. Konstruksi ini dilakukan sebagai berikut: celah di sepanjang absis antara titik yang berdekatan (persegi panjang dengan sisi sebuah dan b) dibagi menjadi 3 bagian yang sama besar. Kemudian dua titik baru dibangun sesuai dengan salah satu skema berikut:
Tergantung pada titik tetangga mana 
atau 
di atas, gunakan skema kiri atau kanan. Pada langkah pertama, seperti yang ditunjukkan di atas, kita ambil a=b=1.
Kami mengulangi konstruksi beberapa kali untuk m = 1, 2, 3, … . Akibatnya, kita akan mendapatkan fraktal yang akan serupa, hingga beberapa transformasi affine (ekspansi, kompresi, rotasi) dari setiap bagiannya yang terdapat di setiap strip:
;
Sebagai hasil dari membangun fraktal, kami memperoleh fungsi 
didefinisikan pada himpunan poin
,
;
(*)
yang di mana-mana padat pada segmen.
Properti apa yang dimiliki fungsi yang dibangun?
pada setiap titik formulir (*) baik maksimum ketat atau minimum ketat, yaitu. fungsi g(x) tempat monoton, dan memiliki set padat titik ekstrim yang ketat pada segmen;
fungsi g(x) kontinu, dan bahkan kontinu seragam pada himpunan titik (*);
fungsi yang dibangun kontinu pada segmen tidak memiliki turunan satu sisi pun pada titik mana pun dari segmen yang diberikan;
Sifat-sifat di atas dibuktikan dalam kerangka kursus "Bab Terpilih Analisis Matematika".
Dalam contoh yang dipertimbangkan, kami menetapkan parameter 
. Dengan mengubah nilai parameter ini, Anda bisa mendapatkan keluarga fungsi dengan properti khusus mereka sendiri.
Fungsi kompleks Weierstrass memiliki bentuk
di mana beberapa bilangan real, dan ditulis sebagai , atau sebagai . Bagian real dan imajiner dari suatu fungsi masing-masing disebut cosinus Weierstrass dan sinusoidal.
Fungsinya kontinu tetapi tidak terdiferensiasikan di mana pun. Namun, generalisasi formal untuk kasus ini adalah kontinu dan dapat dibedakan.
Selain fungsi itu sendiri, bagian ini membahas beberapa opsinya; kebutuhan untuk representasi mereka adalah karena makna baru yang diberikan pada fungsi Weierstrass oleh teori fraktal.
Spektrum frekuensi fungsi. Istilah "spektrum", menurut saya, sarat dengan makna. Spektrum frekuensi dipahami sebagai himpunan nilai frekuensi yang diizinkan, terlepas dari amplitudo komponen yang sesuai.
Spektrum frekuensi fungsi periodik adalah barisan bilangan bulat positif. Spektrum frekuensi fungsi Brown adalah . Spektrum frekuensi fungsi Weierstrass adalah barisan diskrit dari sampai .
Spektrum energi fungsi. Spektrum energi dipahami sebagai himpunan nilai frekuensi yang diizinkan bersama dengan nilai energi (kuadrat amplitudo) dari komponen yang sesuai. Untuk setiap nilai frekuensi bentuk dalam fungsi, ada garis spektral energi bentuk 
. Oleh karena itu, nilai total energi pada frekuensi konvergen dan sebanding dengan 
.
Perbandingan dengan gerak Brown fraksional. Energi total proporsional dalam beberapa kasus lain yang kita bahas sebelumnya: fungsi Fourier-Brown-Wiener acak periodik fraksional, frekuensi yang dapat diterima yang memiliki bentuk , dan koefisien Fourier yang sesuai sama dengan ; proses acak dengan kepadatan populasi spektral kontinu sebanding dengan . Proses terakhir tidak lain adalah fungsi Brown fraksional yang dijelaskan dalam Bab 27. Misalnya, di , seseorang dapat menemukan spektrum kumulatif fungsi Weierstrass dalam gerak Brown biasa yang kerapatan spektralnya sebanding dengan . Perbedaan esensial adalah bahwa spektrum Brown benar-benar kontinu, sedangkan spektrum fungsi Fourier-Brown-Wiener dan Weierstrass adalah diskrit.
Non-diferensiasi. Untuk membuktikan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki turunan hingga untuk nilai apa pun, Weierstrass harus menggabungkan dua kondisi berikut: - bilangan bulat ganjil, sebagai akibatnya fungsi tersebut adalah deret Fourier, dan . Kondisi perlu dan cukup ( dan ) diambil dari artikel Hardy.
Konsumsi energi. Bagi fisikawan yang terbiasa dengan spektrum, kondisi Hardy tampak jelas. Menerapkan aturan praktis bahwa turunan dari suatu fungsi dihitung dengan mengalikan koefisien Fourier ke-nya dengan , fisikawan menemukan untuk turunan formal fungsi bahwa kuadrat amplitudo dari koefisien Fourier c adalah 
. Karena energi total pada frekuensi yang lebih besar dari , adalah tak terhingga, menjadi jelas bagi fisikawan bahwa turunan tidak dapat ditentukan.
Sangat menarik untuk dicatat bahwa Riemann, dalam mencari contoh non-diferensiasi, datang ke fungsi 
, yang energi spektrumnya pada frekuensi lebih besar dari , sebanding dengan , di mana . Jadi, dengan menerapkan penalaran heuristik yang sama, kita dapat mengasumsikan bahwa turunannya tidak terdiferensiasi. Kesimpulan ini hanya sebagian benar, karena untuk nilai-nilai tertentu turunannya masih ada (lihat ).
Divergensi/bencana ultraviolet. Istilah "bencana" muncul dalam fisika pada dekade pertama abad ke-20, ketika Rayleigh dan Jeans secara independen mengembangkan teori radiasi benda hitam, yang menurutnya energi rentang frekuensi lebar di sekitar frekuensi proporsional. ke . Ini berarti bahwa energi total dari spektrum pada frekuensi tinggi tidak terbatas - yang ternyata menjadi bencana besar bagi teori tersebut. Karena sumber masalah adalah frekuensi yang terletak di luar bagian spektrum ultraviolet, fenomena ini disebut bencana ultraviolet (UV).
Semua orang tahu bahwa Planck membangun teori kuantumnya di atas reruntuhan tempat teori radiasi diubah secara tepat oleh bencana UV.
Retret bersejarah. Kami mencatat (walaupun saya tidak begitu mengerti mengapa tidak ada yang melakukan ini sebelumnya; bagaimanapun, saya tidak menemukan sesuatu yang serupa dalam sumber yang tersedia bagi saya) bahwa penyebab kematian fisika lama dan matematika lama adalah perbedaan yang sama yang menggerogoti mereka, keyakinan bahwa fungsi-fungsi kontinu harus dapat dibedakan. Fisikawan bereaksi dengan hanya mengubah aturan main, sementara matematikawan harus belajar untuk hidup dengan fungsi yang tidak dapat dibedakan dan turunan formalnya. (Yang terakhir adalah satu-satunya contoh fungsi Schwartz umum yang biasa digunakan dalam fisika.)
Mencari spektrum diskrit skala-invarian. Divergensi inframerah. Meskipun spektrum frekuensi fungsi Brown kontinu, skala-invarian, dan ada untuk , spektrum frekuensi fungsi Weierstrass, sesuai dengan nilai yang sama dari , adalah diskrit dan dibatasi oleh . Kehadiran batas bawah semata-mata disebabkan oleh fakta bahwa bilangan Weierstrass awalnya bilangan bulat, dan fungsinya periodik. Untuk menghilangkan keadaan ini, itu jelas harus diizinkan untuk mengambil nilai apa pun dari hingga . Dan agar spektrum energi menjadi skala-invarian, cukup untuk mengasosiasikan setiap komponen frekuensi dengan amplitudo .
Sayangnya, seri yang dihasilkan menyimpang, dan komponen frekuensi rendah yang harus disalahkan. Cacat seperti itu disebut divergensi inframerah (IR) (atau "bencana"). Bagaimanapun, seseorang harus menerima perbedaan ini, karena jika tidak, batas bawah bertentangan dengan kesamaan diri yang melekat dalam spektrum energi.
Fungsi Weierstrass yang dimodifikasi, self-affine sehubungan dengan waktu fokus. Prosedur paling sederhana untuk memperluas spektrum frekuensi fungsi Weierstrass ke nilai dan menghindari konsekuensi bencana dalam proses terdiri dari dua tahap: pertama, kami memperoleh ekspresi 
, dan hanya kemudian mari kita ambil nilai dari ke . Istilah tambahan yang sesuai dengan nilai konvergen, dan jumlahnya kontinu dan dapat diturunkan. Fungsi dimodifikasi dengan cara ini
masih kontinu, tetapi tidak dapat dibedakan.
Selain itu, skala-invarian dalam arti bahwa
.
Jadi fungsinya 
tidak bergantung pada . Dapat dikatakan berbeda: untuk suatu fungsi 
tidak bergantung pada . Itu fungsinya 
, bagian nyata dan imajinernya saling berhubungan dengan nilai-nilai bentuk dan waktu fokus.
Fungsi acak Gaussian dengan spektrum Weierstrass umum. Langkah selanjutnya menuju realisme dan penerapan yang luas adalah pengacakan fungsi Weierstrass umum. Metode yang paling sederhana dan paling alami adalah mengalikan koefisien Fouriernya dengan variabel acak Gaussian kompleks independen dengan mean nol dan varians unit. Bagian nyata dan imajiner dari fungsi yang dihasilkan dapat dengan tepat disebut fungsi Weierstrass-Gauss (dimodifikasi). Dalam beberapa hal, fungsi-fungsi ini dapat dianggap sebagai fungsi Brown fraksional perkiraan. Ketika nilainya cocok, spektrumnya sama seperti fakta bahwa salah satu spektrum ini kontinu dan diskrit lainnya memungkinkan. Selain itu, hasil Orey dan Marcus (lihat hal. 490) dapat diterapkan pada fungsi Weierstrass-Gauss, dan dimensi fraktal dari set levelnya bertepatan dengan dimensi fraktal dari set level fungsi Brown fraksional.
Mempertimbangkan preseden yang diwakili oleh gerak Brown fraksional, kita dapat mengasumsikan bahwa dimensi himpunan-nol dari fungsi Weierstrass-Rademacher akan sama dengan . Asumsi ini dikonfirmasi dalam , tetapi hanya untuk bilangan bulat.
Singh menyebutkan banyak varian lain dari fungsi Weierstrass. Dimensi nol dari himpunan beberapa di antaranya mudah diperkirakan. Secara umum, topik ini jelas layak untuk dipelajari lebih rinci, dengan mempertimbangkan pencapaian pemikiran teoretis modern.
Mari kita membangun fungsi bantu pada interval langkah demi langkah. Pada langkah nol, kami menetapkan dua poin:
dan 
.
Selanjutnya, perbaiki parameter . Pada langkah pertama dan selanjutnya, kami akan menentukan titik sesuai dengan aturan berikut: untuk setiap dua titik yang dibangun sebelumnya dan berdekatan di sepanjang sumbu absis, kami akan membangun dua titik baru dan secara simetris tentang pusat persegi panjang yang ditentukan oleh titik dan dengan koefisien k. Artinya, pada langkah pertama, dua poin baru ditetapkan:
dan 
, dll.
pada (m+1)- langkah th di samping poin yang dibangun sebelumnya dengan absis
,
dua titik dibangun di semua interval sepanjang sumbu absis antara titik tetangga yang sudah dibangun. Konstruksi ini dilakukan sebagai berikut: celah di sepanjang absis antara titik yang berdekatan (persegi panjang dengan sisi sebuah dan b) dibagi menjadi 3 bagian yang sama besar. Kemudian dua titik baru dibangun sesuai dengan salah satu skema berikut:
Bergantung pada titik tetangga mana atau lebih tinggi, kami menggunakan skema kiri atau kanan. Pada langkah pertama, seperti yang ditunjukkan di atas, kita ambil a=b=1.
Kami mengulangi konstruksi beberapa kali untuk m = 1, 2, 3, … . Akibatnya, kita akan mendapatkan fraktal yang akan serupa, hingga beberapa transformasi affine (ekspansi, kompresi, rotasi) dari setiap bagiannya yang terdapat di setiap strip:
;
Sebagai hasil dari membangun fraktal, kami memperoleh fungsi yang didefinisikan pada sekumpulan titik
yang di mana-mana padat pada segmen.
Properti apa yang dimiliki fungsi yang dibangun?
· di setiap titik formulir (*) ada maksimum ketat atau minimum ketat, mis. fungsi g(x) tempat monoton, dan memiliki set padat titik ekstrim yang ketat pada segmen;
· fungsi g(x) kontinu, dan bahkan kontinu seragam pada himpunan titik (*);
· fungsi yang dibangun kontinu pada segmen tidak memiliki turunan satu sisi pun pada titik mana pun dari segmen yang diberikan;
Sifat-sifat di atas dibuktikan dalam kerangka kursus "Bab Terpilih Analisis Matematika".
Dalam contoh yang dipertimbangkan, kami mengasumsikan parameter . Dengan mengubah nilai parameter ini, Anda bisa mendapatkan keluarga fungsi dengan properti khusus mereka sendiri.
· . Fungsi-fungsi ini terus menerus dan sangat monoton meningkat. Mereka memiliki nol dan turunan tak terbatas (masing-masing, titik belok) pada set titik yang di mana-mana padat pada segmen .
· . Fungsi linier diperoleh y=x
· . Sifat-sifat keluarga fungsi sama dengan nilai k dari rentang pertama.
· . Kami telah memperoleh fungsi Cantor, yang telah kami pelajari secara rinci sebelumnya.
· . Fungsi-fungsi ini kontinu, tidak monoton, memiliki minimum dan maxima yang ketat, nol dan tak terbatas (dari kedua tanda) turunan satu sisi pada himpunan titik yang padat di mana-mana pada segmen .
· . Fungsi ini telah dipelajari oleh kami di atas.
· . Fungsi dari rentang ini memiliki sifat yang sama dengan fungsi untuk .
Kesimpulan.
Dalam pekerjaan saya, saya menerapkan beberapa contoh dari kursus "Bab Terpilih Analisis Matematika". Tangkapan layar dari program yang saya visualisasikan dimasukkan ke dalam karya ini. Bahkan, semuanya interaktif, siswa dapat melihat jenis fungsi pada langkah tertentu, membangunnya secara iteratif dan memperbesarnya. Algoritma konstruksi, serta beberapa fungsi perpustakaan Kerangka dipilih dan ditingkatkan secara khusus untuk jenis masalah ini (kebanyakan fraktal dipertimbangkan).
Materi ini tentunya akan bermanfaat bagi guru dan siswa dan merupakan pelengkap yang baik untuk perkuliahan mata kuliah "Bab-Bab Terpilih Analisis Matematika". Interaktivitas visualisasi ini membantu untuk lebih memahami sifat himpunan yang dibangun dan memfasilitasi proses persepsi materi oleh siswa.
Program yang dijelaskan termasuk dalam perpustakaan modul visual proyek www.visualmath.ru, misalnya, berikut adalah fungsi Cantor yang telah kami pertimbangkan:
Di masa depan, direncanakan untuk memperluas daftar tugas yang divisualisasikan dan meningkatkan algoritme konstruksi untuk pengoperasian program yang lebih efisien. Bekerja di proyek www.visualmath.ru tidak diragukan lagi membawa banyak manfaat dan pengalaman, keterampilan kerja tim, kemampuan untuk mengevaluasi dan menyajikan materi pendidikan sejelas mungkin.
Literatur.
1. B. Gelbaum, J. Olmstead, Contoh Kontra dalam Analisis. M.: Mir.1967.
2. B.M. Makarov et al.Masalah yang dipilih dalam analisis nyata. Dialek Nevsky, 2004.
3. B.Mandelbrot. Geometri fraktal alam. Lembaga Penelitian Komputer, 2002.
4. Yu.S. Ochan, Kumpulan masalah dan teorema pada TFDP. M.: Pencerahan. 1963.
5. V.M. Shibinsky Contoh dan contoh tandingan dalam analisis matematika. Moskow: Sekolah Tinggi, 2007.
6. R.M. Kronover, Fraktal dan kekacauan dalam sistem dinamis, Moskow: Postmarket, 2000.
7. A. A. Nikitin, Bab-bab Analisis Matematika Terpilih // Kumpulan artikel oleh para ilmuwan muda dari fakultas CMC MSU, 2011 / ed. S.A. Lozhkin. M.: Departemen penerbitan fakultas Universitas Negeri Moskow VMK. M.V. Lomonosov, 2011. S. 71-73.
8. R.M. Kronover, Fraktal dan kekacauan dalam sistem dinamis, Moskow: Postmarket, 2000.
9. Fraktal dan konstruksi fungsi tak terdiferensiasi dimana-mana tapi tak terdiferensiasi di mana-mana // XVI International Lomonosov Bacaan: Kumpulan makalah ilmiah. - Arkhangelsk: Universitas Negeri Pomor, 2004. P.266-273.
Gabungan dari sejumlah himpunan terbuka yang dapat dihitung (interval yang berdekatan) adalah terbuka, dan komplemen dari suatu himpunan terbuka adalah tertutup.
Setiap lingkungan dari suatu titik sebuah Set penyanyi, setidaknya ada satu titik di , berbeda dari sebuah.
Itu tertutup dan tidak mengandung titik terisolasi (setiap titik adalah titik batas).
Ada paling banyak satu set yang dapat dihitung di mana-mana padat di .
Himpunan A tidak rapat di ruang R jika sembarang himpunan terbuka dari ruang ini berisi himpunan terbuka lain yang benar-benar bebas dari titik-titik di A.
Suatu titik di lingkungan mana pun yang berisi kumpulan titik yang tidak terhitung dari himpunan yang diberikan.
Kita katakan bahwa suatu himpunan pada bidang tidak padat di ruang metrik R jika ada disk terbuka di ruang ini yang berisi disk terbuka lain yang benar-benar bebas dari titik pada himpunan yang diberikan.
“Apakah pernyataan S benar?” Mungkin pertanyaan yang paling umum dalam matematika, ketika pernyataan memiliki bentuk: “Setiap elemen kelas A juga termasuk kelas B: A B.” Membuktikan pernyataan tersebut benar berarti membuktikan penyertaan A B. Membuktikan salah berarti mencari elemen kelas A yang bukan termasuk kelas B, dengan kata lain, memberikan contoh tandingan. Sebagai contoh, jika pernyataan S adalah: "Setiap fungsi kontinu terdiferensiasi di beberapa titik", maka himpunan A dan B masing-masing terdiri dari semua fungsi kontinu dan semua fungsi terdiferensiasi di beberapa titik. Contoh Weierstrass yang terkenal dari a fungsi kontinu tetapi tidak terdiferensiasi di mana pun f adalah contoh tandingan untuk memasukkan A B, karena f adalah elemen A yang bukan milik B. Dengan risiko penyederhanaan berlebihan, kita dapat mengatakan bahwa matematika (kecuali untuk definisi, pernyataan, dan perhitungan) terdiri dari dua bagian - bukti dan contoh tandingan, dan penemuan matematis terdiri dari menemukan bukti dan membangun contoh tandingan.
Ini menentukan relevansi contoh tandingan selama pembentukan dan pengembangan matematika.
Sebagian besar buku matematika dikhususkan untuk membuktikan pernyataan yang benar.
Secara umum, ada dua jenis contoh dalam matematika - contoh ilustratif dan contoh tandingan. Yang pertama menunjukkan mengapa pernyataan ini atau itu masuk akal, dan yang kedua - mengapa pernyataan ini atau itu tidak ada artinya. Dapat dikatakan bahwa setiap contoh pada saat yang sama merupakan contoh tandingan untuk beberapa pernyataan, yaitu, untuk pernyataan bahwa contoh seperti itu tidak mungkin. Kami tidak ingin memberikan arti universal pada istilah counterexample, tetapi kami berasumsi bahwa maknanya cukup luas untuk mencakup semua contoh yang perannya tidak terbatas pada mengilustrasikan teorema yang benar. Jadi, misalnya, polinomial sebagai contoh fungsi kontinu bukanlah contoh tandingan, tetapi polinomial sebagai contoh fungsi tak terbatas atau non-periodik adalah contoh tandingan. Demikian pula, kelas dari semua fungsi monoton pada interval tertutup terbatas sebagai kelas fungsi yang dapat diintegralkan bukanlah contoh tandingan, tetapi kelas yang sama, sebagai contoh ruang fungsi, tetapi bukan ruang vektor, adalah contoh tandingan.
Tujuan dari makalah ini adalah untuk mempertimbangkan contoh tandingan dan kondisi untuk monotonisitas suatu fungsi dalam analisis.
Untuk mencapai tujuan, tugas-tugas berikut ditetapkan:
1. Pertimbangkan contoh tandingan dalam analisis
2. Tentukan pengertian contoh tandingan
3. Pertimbangkan penggunaan contoh tandingan dalam diferensiasi
4. Tentukan konsep kemonotonan fungsi
5. Karakterisasikan kondisi monotonisitas fungsi
6. Pertimbangkan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem lokal
7. Pertimbangkan kondisi yang cukup untuk ekstrem lokal
1. Contoh tandingan dalam analisis
1.1. Gagasan tentang contoh tandingan
Ungkapan populer: "belajar dari contoh", "kekuatan contoh" tidak hanya memiliki makna duniawi. Kata "contoh" serumpun dengan kata "ukuran", "ukuran", "ukuran", tetapi tidak hanya untuk alasan ini hadir dalam matematika dari awal. Contoh mengilustrasikan konsep, membantu memahami maknanya, menegaskan kebenaran pernyataan dalam manifestasi khususnya; contoh tandingan, menyangkal pernyataan palsu, memiliki nilai pembuktian.
Contoh tandingan adalah contoh yang menyangkal kebenaran beberapa pernyataan.
Membangun contoh tandingan adalah cara umum untuk menyangkal hipotesis. Jika ada pernyataan seperti "Untuk setiap X dari himpunan M, properti A berlaku," maka contoh tandingan untuk pernyataan ini adalah objek X 0 dari himpunan M yang tidak dimiliki oleh properti A.
Contoh tandingan klasik dalam sejarah kalkulus adalah fungsi yang dibangun oleh Bernard Bolzano, yang kontinu pada seluruh sumbu real dan tidak terdiferensialkan pada titik mana pun. Fungsi ini berfungsi sebagai contoh tandingan hipotesis bahwa diferensiasi suatu fungsi adalah konsekuensi alami dari kontinuitasnya.
2.2. Menggunakan contoh tandingan dalam diferensiasi
Bagian ini dipilih karena fakta bahwa diferensiasi merupakan elemen dasar dari analisis matematis.
Dalam beberapa contoh dalam bab ini, istilah turunan juga akan berlaku untuk batas tak hingga.
Namun, istilah fungsi terdiferensiasi hanya digunakan jika fungsi tersebut memiliki turunan hingga di setiap titik domainnya. Suatu fungsi dikatakan terdiferensiasi tak terhingga jika memiliki turunan (terhingga) dari sembarang orde di setiap titik dalam domainnya.
Fungsi eksponensial dengan basis e akan dilambangkan dengan simbol ex atau exp(x).
Diasumsikan bahwa semua himpunan, termasuk domain dan himpunan nilai fungsi, adalah himpunan bagian dari R. Jika tidak, penyempurnaan yang sesuai akan dilakukan.
1. Fungsi non-turunan
Fungsi sgnA: dan secara umum, setiap fungsi dengan diskontinuitas dalam bentuk lompatan tidak memiliki primitif, yaitu, bukan turunan dari fungsi apa pun, karena tidak memiliki properti Cauchy untuk mengambil semua nilai antara, dan ini properti melekat tidak hanya dalam fungsi kontinu, tetapi juga dalam turunan ( lihat, hlm. 84, latihan 40, dan juga, vol. I, hlm. 224). Berikut ini adalah contoh turunan diskontinu.
2. Fungsi yang dapat diturunkan dengan turunan diskontinu
Pertimbangkan fungsinya
turunannya
terputus di titik x = 0.
3. Fungsi diskontinu yang memiliki turunan di mana-mana (belum tentu berhingga)
Untuk memungkinkan contoh seperti itu, definisi turunan harus diperluas dengan memasukkan nilai ± . Maka fungsi diskontinu sgn x (Contoh 1) memiliki turunan
4. Fungsi terdiferensiasi yang turunannya tidak mempertahankan tanda di lingkungan satu sisi mana pun dari titik ekstrem
memiliki minimum absolut pada titik x = 0. Dan turunannya
di setiap lingkungan satu sisi nol mengambil nilai positif dan negatif. Fungsi f tidak monoton di sembarang lingkungan satu sisi dari titik x = 0.
5. Fungsi terdiferensiasi yang turunannya positif pada suatu titik, tetapi fungsi itu sendiri tidak monoton di sembarang lingkungan pada titik ini
memiliki turunan yang sama dengan
Di setiap lingkungan nol, turunan f / (x) memiliki nilai positif dan negatif.
6. Fungsi yang turunannya berhingga tetapi tidak terbatas pada selang tertutup
Pertimbangkan fungsinya
turunannya
tidak terbatas pada [-1, 1].
7. Fungsi yang turunannya ada dan terbatas, tetapi tidak memiliki ekstrem (mutlak) pada interval tertutup
memiliki turunan
Di lingkungan nol mana pun, turunan ini memiliki nilai mendekati 24 dan -24. Sebaliknya, untuk 0 Oleh karena itu, dari pertidaksamaan 0< h
1 следует, что 8. Di mana-mana fungsi kontinu tetapi tidak ada tempat yang dapat dibedakan Fungsi | x | di mana-mana kontinu, tetapi tidak terdiferensiasi pada titik x - 0. Dengan menggunakan pergeseran fungsi ini, seseorang dapat mendefinisikan fungsi kontinu di mana-mana yang tidak terdiferensiasi di setiap titik dari himpunan hingga yang diberikan secara arbitrer. Pada subbab ini, kita akan memberikan contoh menggunakan himpunan tak hingga dari pergeseran fungsi | x |. Mari kita tunjukkan bahwa fungsi tidak dapat dibedakan dimanapun. Misalkan a adalah bilangan real sembarang, dan biarkan untuk sembarang n bilangan h n yang sama dengan 4 -n atau –4 -n dipilih sehingga Maka nilainya memiliki nilai yang sama | h n | untuk semua m n dan nol untuk m > n. Maka perbandingan selisihnya adalah bilangan bulat yang genap untuk n genap dan ganjil untuk n ganjil. Dari sini dapat disimpulkan bahwa batas tidak ada, dan karena itu tidak ada dan Contoh yang diberikan merupakan modifikasi dari contoh yang dibangun oleh B. L. Van der Waerden pada tahun 1930 (lihat, hal. 394). Contoh pertama dari fungsi tak terdiferensiasi tak beraturan yang kontinu dibangun oleh K. W. T. Weierstrass (ahli matematika Jerman, 1815-1897): di mana a adalah bilangan bulat ganjil dan b sedemikian sehingga Saat ini, contoh fungsi kontinu diketahui bahkan tidak memiliki turunan berhingga atau tak hingga satu sisi pada titik mana pun. Contoh-contoh ini dan referensi lebih lanjut dapat ditemukan di (hlm. 392-394), (hlm. 61-62, 115, 126) dan juga dalam (vol. II, hlm. 401-412). Fungsi dari contoh ini tidak monoton pada sembarang interval. Selain itu, ada contoh fungsi yang terdiferensiasi di mana-mana dan tidak monoton di mana-mana (lihat Vol. II, hlm. 412-421). Konstruksi dari contoh ini sangat rumit dan mengarah pada suatu fungsi yang terdiferensialkan di mana-mana dan memiliki himpunan rapat maksima relatif dan himpunan rapat minima relatif. 9. Fungsi terdiferensiasi yang teorema nilai rata-ratanya tidak berlaku Dalam contoh ini, kita kembali dipaksa untuk beralih ke fungsi bernilai kompleks. Fungsi variabel nyata x di mana-mana kontinu dan dapat dibedakan (lihat, hlm. 509-513). Namun, tidak ada interval yang, untuk beberapa, persamaan Jika kita berasumsi bahwa persamaan ini mungkin, maka dengan menyamakan kuadrat modul (nilai absolut) dari kedua bagiannya, kita memperoleh persamaan yang, setelah transformasi dasar, mengambil bentuk Tetapi karena tidak ada bilangan positif h sehingga sin h = h (lihat hal. 78), kita memiliki kontradiksi. 13. Fungsi monotonik terdiferensiasi tak terhingga f sedemikian sehingga Jika monotonisitas tidak diperlukan, maka contoh sepele dari fungsi tersebut adalah, misalnya, (sinx 2)/x. Mari kita buat contoh fungsi monoton dengan properti yang ditunjukkan. Kami menetapkan f(x) sama dengan 1 untuk dan sama pada interval tertutup untuk Pada interval perantara yang tersisa dari bentuk, kami menentukan f(x) menggunakan fungsi menerapkan pergeseran horizontal dan vertikal dan mengalikannya dengan faktor negatif yang sesuai. 2.1. Fungsi monoton Fungsi f (x) disebut meningkat pada interval D jika untuk sembarang bilangan x 1 dan x 2 dari interval D sedemikian rupa sehingga x 1< x 2 , выполняется неравенство
f (x 1) < f (x 2). Fungsi f (x) disebut menurun pada interval D jika untuk sembarang bilangan x 1 dan x 2 dari interval D sedemikian rupa sehingga x 1< x
2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2). Gambar 1. Dalam grafik yang ditunjukkan pada gambar, fungsi y \u003d f (x), meningkat pada setiap interval [ a ; x 1) dan (x 2 ; b ] dan menurun pada interval (x 1 ; x 2) Perhatikan bahwa fungsi meningkat pada setiap interval [ a ; x 1) dan (x 2 ; b ], tetapi tidak pada kesenjangan serikat Jika suatu fungsi naik atau turun pada suatu interval, maka fungsi tersebut disebut monoton pada interval ini. Perhatikan bahwa jika f adalah fungsi monoton pada interval D (f (x)), maka persamaan f (x) = const tidak dapat memiliki lebih dari satu akar pada interval ini. Memang, jika x 1< x 2 – корни этого
уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит
условию монотонности. Kami mencantumkan properti fungsi monoton (kami berasumsi bahwa semua fungsi didefinisikan pada beberapa interval D). Pernyataan serupa juga dapat dibuat untuk fungsi menurun. Beras. 2. Sifat fungsi. Suatu titik a disebut titik maksimum dari suatu fungsi f jika ada tetangga dari titik a sehingga untuk setiap x dari lingkungan ini pertidaksamaan f (a) f (x) berlaku. Suatu titik a disebut titik minimum dari fungsi f jika terdapat suatu tetangga dari titik a sehingga untuk sembarang x dari lingkungan ini pertidaksamaan f (a) f (x) dipenuhi. Titik di mana fungsi maksimum atau minimum tercapai disebut titik ekstrem. Pada titik ekstrem, sifat monotonisitas fungsi berubah. Jadi, di sebelah kiri titik ekstrem, fungsinya bisa bertambah, dan ke kanan bisa berkurang. Menurut definisi, titik ekstrem harus menjadi titik internal dari domain definisi. Jika untuk setiap (x a) pertidaksamaan f (x) f (a) dipenuhi, maka titik a disebut titik nilai terbesar dari fungsi pada himpunan D: Jika untuk setiap (x b) pertidaksamaan f (x) > f (b) dipenuhi, maka titik b disebut titik nilai terkecil dari fungsi pada himpunan D .2. Fungsi monoton
