Definisi standar: "Vektor adalah ruas garis berarah." Ini biasanya merupakan batas pengetahuan lulusan tentang vektor. Siapa yang butuh semacam "segmen terarah"?
Namun sebenarnya, apa itu vektor dan mengapa demikian?
Prakiraan Cuaca. "Angin barat laut, kecepatan 18 meter per detik." Setuju, arah angin (dari mana ia bertiup) dan modul (yaitu, nilai absolut) dari kecepatannya juga penting.
Besaran yang tidak memiliki arah disebut skalar. Massa, kerja, muatan listrik tidak diarahkan ke mana pun. Mereka hanya dicirikan oleh nilai numerik - "berapa kilogram" atau "berapa joule".
Besaran fisika yang tidak hanya memiliki nilai mutlak, tetapi juga arah disebut besaran vektor.
Kecepatan, gaya, akselerasi - vektor. Bagi mereka, penting "berapa" dan penting "di mana". Misalnya, percepatan jatuh bebas diarahkan ke permukaan bumi, dan nilainya 9,8 m/s 2 . Momentum, kuat medan listrik, induksi medan magnet juga merupakan besaran vektor.
Anda ingat bahwa besaran fisik dilambangkan dengan huruf, Latin atau Yunani. Panah di atas huruf menunjukkan bahwa kuantitas adalah vektor:
Ini contoh lainnya.
Mobil bergerak dari A ke B. Hasil akhirnya adalah pergerakannya dari titik A ke titik B, yaitu pergerakan oleh vektor 
.
Sekarang jelas mengapa vektor adalah segmen terarah. Perhatikan, ujung vektor adalah tempat panah berada. Panjang vektor disebut panjang segmen ini. Ditunjuk: atau
Sejauh ini, kami telah bekerja dengan besaran skalar, sesuai dengan aturan aritmatika dan aljabar dasar. Vektor adalah konsep baru. Ini adalah kelas lain dari objek matematika. Mereka punya aturan sendiri.
Dahulu kala, kami bahkan tidak tahu tentang angka. Kenalan dengan mereka dimulai di kelas dasar. Ternyata angka bisa dibandingkan satu sama lain, ditambah, dikurangi, dikalikan dan dibagi. Kami belajar bahwa ada angka satu dan angka nol.
Sekarang kita mengenal vektor.
Konsep "lebih besar dari" dan "kurang dari" tidak ada untuk vektor - lagipula, arahnya bisa berbeda. Anda hanya dapat membandingkan panjang vektor.
Tetapi konsep kesetaraan untuk vektor adalah.
Setara adalah vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama. Ini berarti vektor dapat dipindahkan sejajar dengan dirinya sendiri ke titik mana pun di bidang.
lajang disebut vektor yang panjangnya 1 . Nol - vektor yang panjangnya sama dengan nol, yaitu permulaannya bertepatan dengan akhir.
Paling mudah bekerja dengan vektor dalam sistem koordinat persegi panjang - di mana kita menggambar grafik fungsi. Setiap titik dalam sistem koordinat sesuai dengan dua angka - koordinat x dan y, absis, dan ordinatnya.
Vektor juga diberikan oleh dua koordinat:
Di sini koordinat vektor ditulis dalam tanda kurung - dalam x dan dalam y.
Mereka mudah ditemukan: koordinat ujung vektor dikurangi koordinat awalnya.
Jika koordinat vektor diberikan, panjangnya ditemukan dengan rumus
Penambahan vektor
Ada dua cara untuk menambahkan vektor.
1 . aturan jajaran genjang. Untuk menjumlahkan vektor dan , kita tempatkan asal keduanya pada titik yang sama. Kami menyelesaikan jajaran genjang dan menggambar diagonal jajaran genjang dari titik yang sama. Ini akan menjadi jumlah vektor dan .
Ingat dongeng tentang angsa, kanker, dan tombak? Mereka berusaha sangat keras, tetapi mereka tidak pernah memindahkan gerobaknya. Lagi pula, jumlah vektor dari gaya yang diterapkan oleh mereka ke gerobak sama dengan nol.
2. Cara kedua untuk menjumlahkan vektor adalah aturan segitiga. Mari kita ambil vektor yang sama dan . Kami menambahkan awal yang kedua ke akhir vektor pertama. Sekarang mari kita hubungkan awal dari yang pertama dan akhir dari yang kedua. Ini adalah jumlah dari vektor dan .
Dengan aturan yang sama, Anda dapat menambahkan beberapa vektor. Kami melampirkannya satu per satu, lalu menghubungkan awal yang pertama hingga akhir yang terakhir.
Bayangkan Anda pergi dari titik A ke titik B, dari B ke C, dari C ke D, lalu ke E dan kemudian ke F. Hasil akhir dari tindakan ini adalah perpindahan dari A ke F.
Saat menambahkan vektor dan kami mendapatkan:
Pengurangan vektor
Vektor diarahkan berlawanan dengan vektor . Panjang vektor dan sama.
Sekarang sudah jelas apa itu pengurangan vektor. Perbedaan dari vektor dan adalah jumlah dari vektor dan vektor .
Kalikan vektor dengan angka
Mengalikan vektor dengan bilangan k menghasilkan vektor yang panjangnya k kali berbeda dari panjang . Searah dengan vektor jika k lebih besar dari nol, dan diarahkan sebaliknya jika k lebih kecil dari nol.
Produk titik vektor
Vektor dapat dikalikan tidak hanya dengan angka, tetapi juga dengan satu sama lain.
Produk skalar vektor adalah hasil kali panjang vektor dan kosinus sudut di antaranya.
Perhatikan - kami mengalikan dua vektor, dan kami mendapat skalar, yaitu angka. Misalnya, dalam fisika, kerja mekanis sama dengan produk skalar dari dua vektor - gaya dan perpindahan:
Jika vektor tegak lurus, perkalian titiknya adalah nol.
Dan inilah cara perkalian skalar dinyatakan dalam koordinat vektor dan:
Dari rumus perkalian skalar, Anda dapat menemukan sudut antara vektor:
Formula ini sangat nyaman dalam stereometri. Misalnya, dalam soal 14 Profil USE dalam matematika, Anda perlu menemukan sudut antara garis yang berpotongan atau antara garis dan bidang. Masalah 14 sering diselesaikan beberapa kali lebih cepat daripada masalah klasik.
Dalam kurikulum sekolah dalam matematika, hanya produk skalar dari vektor yang dipelajari.
Ternyata selain skalar juga terdapat perkalian vektor, yaitu diperoleh vektor sebagai hasil perkalian dua vektor. Siapa yang lulus ujian fisika, tahu apa itu gaya Lorentz dan gaya Ampere. Rumus untuk menemukan gaya-gaya ini termasuk produk vektor yang tepat.
Vektor adalah alat matematika yang sangat berguna. Anda akan diyakinkan tentang hal ini pada kursus pertama.
Pertama-tama, perlu membongkar konsep vektor. Untuk memperkenalkan definisi vektor geometris, mari kita ingat apa itu segmen. Kami memperkenalkan definisi berikut.
Definisi 1
Ruas adalah bagian dari garis lurus yang memiliki dua batas berupa titik-titik.
Segmen dapat memiliki 2 arah. Untuk menunjukkan arah, kita akan menyebut salah satu batas segmen sebagai permulaan, dan batas lainnya - ujungnya. Arah ditunjukkan dari awal hingga akhir segmen.
Definisi 2
Vektor atau segmen terarah adalah segmen yang diketahui batas segmen mana yang dianggap sebagai awal dan mana yang merupakan akhirnya.
Notasi: Dua huruf: $\overline(AB)$ – (di mana $A$ adalah awal dan $B$ adalah akhir).
Dalam satu huruf kecil: $\overline(a)$ (Gambar 1).
Kami sekarang memperkenalkan, secara langsung, konsep panjang vektor.
Definisi 3
Panjang vektor $\overline(a)$ adalah panjang segmen $a$.
Notasi: $|\overline(a)|$
Konsep panjang vektor dikaitkan, misalnya, dengan konsep persamaan dua vektor.
Definisi 4
Dua vektor disebut sama jika memenuhi dua syarat: 1. Searah; 1. Panjangnya sama (Gbr. 2).
Untuk mendefinisikan vektor, masukkan sistem koordinat dan tentukan koordinat vektor dalam sistem yang dimasukkan. Seperti yang kita ketahui, vektor apa pun dapat diperluas sebagai $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan real, dan $\overline(i )$ dan $\overline(j)$ masing-masing adalah vektor satuan pada sumbu $Ox$ dan $Oy$.
Definisi 5
Koefisien muai vektor $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ akan disebut koordinat vektor ini dalam sistem koordinat yang diperkenalkan. Secara matematis:
$\overline(c)=(m,n)$
Bagaimana menemukan panjang vektor?
Untuk mendapatkan rumus untuk menghitung panjang vektor arbitrer yang diberikan koordinatnya, pertimbangkan masalah berikut:
Contoh 1
Diberikan: vektor $\overline(α)$ dengan koordinat $(x,y)$. Temukan: panjang vektor ini.
Mari kita perkenalkan sistem koordinat Cartesian $xOy$ di pesawat. Sisihkan $\overline(OA)=\overline(a)$ dari asal sistem koordinat yang diperkenalkan. Mari kita buat proyeksi $OA_1$ dan $OA_2$ dari vektor yang dibuat masing-masing pada sumbu $Ox$ dan $Oy$ (Gbr. 3).
Vektor $\overline(OA)$ yang kita buat akan menjadi vektor radius untuk titik $A$, oleh karena itu, ia akan memiliki koordinat $(x,y)$, yang berarti
$=x$, $[OA_2]=y$
Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan panjang yang diinginkan menggunakan teorema Pythagoras, kita dapatkan
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Jawaban: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Kesimpulan: Untuk mencari panjang vektor yang koordinatnya diberikan, Anda perlu mencari akar kuadrat dari jumlah koordinat tersebut.
Contoh tugas
Contoh 2
Temukan jarak antara titik $X$ dan $Y$, yang masing-masing memiliki koordinat berikut: $(-1,5)$ dan $(7,3)$.
Setiap dua titik dapat dengan mudah dikaitkan dengan konsep vektor. Pertimbangkan, misalnya, vektor $\overline(XY)$. Seperti yang telah kita ketahui, koordinat vektor semacam itu dapat ditemukan dengan mengurangkan koordinat titik awal yang sesuai ($X$) dari koordinat titik akhir ($Y$). Kami mengerti itu
1. Definisi vektor. Panjang vektor. Collinearity, kesamaan vektor.
Segmen berarah disebut vektor. Panjang atau modulus vektor adalah panjang segmen terarah yang sesuai.
modulus vektor A ditunjukkan. Vektor A disebut tunggal jika . Vektor disebut collinear jika mereka sejajar dengan garis yang sama. Vektor disebut koplanar jika sejajar dengan bidang yang sama.
2. Mengalikan vektor dengan angka. Properti operasi.
Mengalikan vektor dengan angka menghasilkan vektor yang berlawanan arah yang panjangnya dua kali. Mengalikan suatu vektor dengan suatu bilangan dalam bentuk koordinat dilakukan dengan mengalikan semua koordinat dengan bilangan tersebut:
Berdasarkan definisi tersebut, diperoleh ekspresi untuk modulus vektor dikalikan dengan angka:
Sama seperti angka, operasi penambahan vektor ke dirinya sendiri dapat ditulis sebagai perkalian dengan angka:
Dan pengurangan vektor dapat ditulis ulang melalui penjumlahan dan perkalian:
Berdasarkan fakta bahwa perkalian dengan tidak mengubah panjang vektor, tetapi hanya mengubah arah, dan memberikan definisi vektor, kita mendapatkan:
3. Penambahan vektor, pengurangan vektor.
Dalam representasi koordinat, vektor penjumlahan diperoleh dengan menjumlahkan koordinat yang sesuai dari suku-suku:
Berbagai aturan (metode) digunakan untuk menyusun vektor penjumlahan secara geometris, tetapi semuanya memberikan hasil yang sama. Penggunaan aturan ini atau itu dibenarkan oleh masalah yang sedang dipecahkan.
aturan segitiga
Aturan segitiga mengikuti paling alami dari pemahaman vektor sebagai terjemahan. Jelas bahwa hasil penerapan dua transfer berturut-turut dan pada titik tertentu akan sama dengan penerapan satu transfer sekaligus, sesuai dengan aturan ini. Untuk menambahkan dua vektor dan sesuai aturan segi tiga kedua vektor ini dipindahkan sejajar dengan dirinya sendiri sehingga permulaan salah satunya bertepatan dengan ujung yang lain. Kemudian vektor penjumlahan diberikan oleh sisi ketiga dari segitiga yang terbentuk, dan permulaannya bertepatan dengan awal vektor pertama, dan diakhiri dengan akhir vektor kedua.
Aturan ini secara langsung dan alami digeneralisasikan ke penambahan sejumlah vektor, berubah menjadi aturan garis putus-putus:
aturan poligon
Awal vektor kedua bertepatan dengan akhir yang pertama, awal yang ketiga - dengan akhir yang kedua, dan seterusnya, jumlah vektor adalah vektor, dengan awal bertepatan dengan awal yang pertama dan ujungnya bertepatan dengan ujung yang pertama (yaitu, digambarkan sebagai segmen terarah yang menutup garis putus-putus) . Juga disebut aturan garis putus-putus.
aturan jajaran genjang
Untuk menambahkan dua vektor dan sesuai aturan genjang kedua vektor ini ditransfer sejajar dengan dirinya sendiri sehingga asalnya bertepatan. Kemudian vektor penjumlahan diberikan oleh diagonal jajaran genjang yang dibangun di atasnya, yang berasal dari asal yang sama. (Mudah dilihat bahwa diagonal ini sama dengan sisi ketiga segitiga jika menggunakan aturan segitiga).
Aturan jajaran genjang sangat nyaman ketika ada kebutuhan untuk menggambarkan jumlah vektor yang langsung dilampirkan ke titik yang sama di mana kedua suku dilampirkan - yaitu, untuk menggambarkan ketiga vektor yang memiliki asal yang sama.
Modulus penjumlahan vektor
Modulus jumlah dua vektor dapat dihitung dengan menggunakan teorema kosinus:
Di mana cosinus sudut antara vektor.
Jika vektor digambar sesuai dengan aturan segitiga dan sudut diambil sesuai dengan gambar - antara sisi segitiga - yang tidak sesuai dengan definisi sudut antara vektor yang biasa, dan karenanya dengan sudut di atas rumus, maka suku terakhir memperoleh tanda minus, yang sesuai dengan teorema cosinus dalam susunan kata langsungnya.
Untuk jumlah dari sejumlah vektor yang berubah-ubah rumus serupa berlaku, di mana ada lebih banyak suku dengan kosinus: satu suku seperti itu ada untuk setiap pasangan vektor dari himpunan yang dapat dijumlahkan. Misalnya, untuk tiga vektor, rumusnya terlihat seperti ini:
Pengurangan vektor
Dua vektor dan vektor selisihnya
Untuk mendapatkan perbedaan dalam bentuk koordinat, kurangi koordinat vektor yang sesuai:
Untuk mendapatkan vektor selisih, awal vektor dihubungkan dan awal vektor akan menjadi akhir, dan akhir akan menjadi akhir. Jika ditulis menggunakan titik vektor, maka.
Modul perbedaan vektor
Tiga vektor, sebagai tambahan, membentuk segitiga, dan ekspresi untuk modulus selisihnya serupa:
di mana cosinus sudut antara vektor
Selisih dari rumus modulus penjumlahan pada tanda di depan cosinus, sementara itu perlu dipantau dengan cermat sudut mana yang diambil (varian rumus modulus penjumlahan dengan sudut antara sisi-sisi segitiga, bila dijumlahkan sesuai dengan aturan segitiga, tampilannya tidak berbeda dari rumus ini untuk modulus perbedaan, tetapi Anda harus memiliki maksud bahwa sudut yang berbeda diambil untuk di sini: dalam kasus penjumlahan, sudut diambil ketika vektor dipindahkan ke ujung vektor, ketika model perbedaan dicari, sudut antara vektor yang diterapkan pada satu titik diambil; ekspresi untuk modulus penjumlahan menggunakan sudut yang sama seperti pada ekspresi yang diberikan untuk modulus perbedaan, berbeda tanda di depan titik kosinus).
| " |
Panjang vektor a → akan dilambangkan dengan a → . Notasi ini mirip dengan modulus suatu bilangan, sehingga panjang suatu vektor disebut juga dengan modulus suatu vektor.
Untuk mencari panjang vektor pada bidang dengan koordinatnya, sistem koordinat Cartesian persegi panjang harus dipertimbangkan O x y . Biarkan itu berisi beberapa vektor a → dengan koordinat a x ; ay . Kami memperkenalkan rumus untuk menemukan panjang (modulus) vektor a → dalam koordinat a x dan a y .
Sisihkan vektor OA → = a → dari titik asal. Mari kita definisikan proyeksi yang sesuai dari titik A ke sumbu koordinat sebagai A x dan A y . Sekarang perhatikan persegi panjang O A x A A y dengan diagonal O A .
Dari teorema Pythagoras mengikuti persamaan O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , dimana O A = O A x 2 + O A y 2 . Dari definisi koordinat vektor yang sudah diketahui dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang, kami memperoleh bahwa O A x 2 = a x 2 dan O A y 2 = a y 2 , dan dengan konstruksi, panjang O A sama dengan panjang vektor O A → , oleh karena itu, O A → = O A x 2 + O A y 2.
Oleh karena itu ternyata rumus mencari panjang vektor a → = a x ; a y memiliki bentuk yang sesuai: a → = a x 2 + a y 2 .
Jika vektor a → diberikan sebagai perluasan dalam koordinat vektor a → = a x i → + a y j → , maka panjangnya dapat dihitung menggunakan rumus yang sama a → = a x 2 + a y 2 , dalam hal ini koefisien a x dan a y adalah sebagai koordinat vektor a → dalam sistem koordinat yang diberikan.
Contoh 1
Hitung panjang vektor a → = 7 ; e , diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang.
Larutan
Untuk mencari panjang vektor, kita akan menggunakan rumus mencari panjang vektor dengan koordinat a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Menjawab: a → = 49 + e .
Rumus mencari panjang vektor a → = a x ; ay ; a z dengan koordinatnya dalam sistem koordinat Cartesian Oxyz di ruang angkasa, diturunkan mirip dengan rumus untuk kasus di bidang (lihat gambar di bawah)
Dalam hal ini, O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (karena OA adalah diagonal dari paralelepiped persegi panjang), maka O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2. Dari definisi koordinat vektor, kita dapat menuliskan persamaan berikut O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , dan panjang OA sama dengan panjang vektor yang kita cari, oleh karena itu, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Oleh karena itu, panjang vektor a → = a x ; ay ; a z sama dengan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Contoh 2
Hitung panjang vektor a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , di mana i → , j → , k → adalah vektor satuan dari sistem koordinat persegi panjang.
Larutan
Diberi dekomposisi vektor a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , koordinatnya adalah a → = 4 , - 3 , 5 . Menggunakan rumus di atas, kita mendapatkan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .
Menjawab: a → = 5 2 .
Panjang vektor dalam kaitannya dengan koordinat titik awal dan titik akhirnya
Di atas, rumus diturunkan yang memungkinkan Anda menemukan panjang vektor dengan koordinatnya. Kami telah mempertimbangkan kasus di pesawat dan di ruang tiga dimensi. Mari gunakan mereka untuk menemukan koordinat vektor dengan koordinat titik awal dan akhirnya.
Jadi, titik-titik yang diberikan dengan koordinat tertentu A (a x; a y) dan B (b x; b y), maka vektor A B → memiliki koordinat (b x - a x; b y - a y), yang artinya panjangnya dapat ditentukan dengan rumus: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2
Dan jika titik diberikan dengan koordinat A (a x; a y; a z) dan B (b x; b y; b z) dalam ruang tiga dimensi, maka panjang vektor A B → dapat dihitung dengan rumus
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
Contoh 3
Tentukan panjang vektor A B → jika dalam sistem koordinat persegi panjang A 1 , 3 , B - 3 , 1 .
Larutan
Dengan menggunakan rumus mencari panjang vektor dari koordinat titik awal dan titik akhir pada bidang, kita mendapatkan A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
Solusi kedua menyiratkan penerapan rumus ini secara bergantian: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -
Menjawab: A B → = 20 - 2 3 .
Contoh 4
Tentukan untuk nilai berapa panjang vektor A B → sama dengan 30 jika A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2) .
Larutan
Pertama, tulis panjang vektor A B → sesuai dengan rumus: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2
Kemudian kami menyamakan ekspresi yang dihasilkan dengan 30, dari sini kami menemukan λ yang diinginkan:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 dan l dan λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Menjawab: λ 1 \u003d - 2, λ 2 \u003d 2, λ 3 \u003d 0.
Mencari panjang vektor menggunakan hukum kosinus
Sayangnya, koordinat vektor tidak selalu diketahui dalam tugas, jadi mari pertimbangkan cara lain untuk mencari panjang vektor.
Biarkan panjang dua vektor A B → , A C → dan sudut di antara mereka (atau kosinus sudut) diberikan, dan diperlukan untuk menemukan panjang vektor B C → atau C B → . Dalam hal ini, Anda harus menggunakan teorema cosinus dalam segitiga △ A B C , menghitung panjang sisi B C , yang sama dengan panjang vektor yang diinginkan.
Mari pertimbangkan kasus seperti itu dalam contoh berikut.
Contoh 5
Panjang vektor A B → dan A C → masing-masing sama dengan 3 dan 7, dan sudut di antara keduanya sama dengan π 3 . Hitung panjang vektor B C → .
Larutan
Panjang vektor B C → dalam hal ini sama dengan panjang sisi B C dari segitiga △ A B C . Panjang sisi A B dan A C segitiga diketahui dari kondisi (sama dengan panjang vektor yang sesuai), sudut antara mereka juga diketahui, sehingga kita dapat menggunakan teorema kosinus: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Jadi, B C → = 37 .
Menjawab: B C → = 37 .
Jadi, untuk mencari panjang vektor dengan koordinat, ada rumus berikut a → = a x 2 + a y 2 atau a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, sesuai dengan koordinat titik awal dan akhir dari vektor A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 atau A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, dalam beberapa kasus teorema kosinus seharusnya digunakan.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter
Oksi
TENTANG A OA.
, Di mana 
OA 
.
Dengan demikian, 
.
Pertimbangkan sebuah contoh.
Contoh.
Larutan.
:
Menjawab:
Oxyz di ruang hampa.
A OA akan menjadi diagonal.
Dalam hal ini (karena OA 
OA 
.
Dengan demikian, panjang vektor 
.
Contoh.
Hitung Panjang Vektor 
Larutan.
, karena itu, 
Menjawab:
Garis lurus di pesawat
Persamaan Umum
Kapak + Oleh + C ( > 0).
Vektor = (A;B) adalah vektor garis normal.
Dalam bentuk vektor: + C = 0, di mana adalah vektor jari-jari dari sembarang titik pada garis lurus (Gbr. 4.11).
Kasus khusus:
1) Dengan + C = 0- garis lurus sejajar dengan sumbu Sapi;
2) Ax+C=0- garis lurus sejajar dengan sumbu Oy;
3) Kapak + Oleh = 0- garis melewati titik asal;
4) y=0- sumbu Sapi;
5) x=0- sumbu Oy.
Persamaan garis lurus dalam segmen
Di mana a, b- ukuran segmen yang dipotong oleh garis lurus pada sumbu koordinat.
Persamaan normal garis lurus(Gbr. 4.11)
dimana sudut yang terbentuk normal terhadap garis dan sumbu Sapi; P adalah jarak dari asal koordinat ke garis.
Membawa persamaan umum garis lurus ke bentuk normal:
Inilah faktor normalisasi dari garis langsung; tanda dipilih berlawanan dengan tanda C, jika dan sewenang-wenang, jika C=0.
Menemukan panjang vektor dengan koordinat.
Panjang vektor akan dilambangkan dengan . Karena notasi ini, panjang vektor sering disebut sebagai modulus vektor.
Mari kita mulai dengan mencari panjang vektor pada bidang dengan koordinatnya.
Kami memperkenalkan di pesawat sistem koordinat Cartesian persegi panjang Oksi. Biarkan vektor diberikan di dalamnya dan memiliki koordinat . Mari dapatkan rumus yang memungkinkan Anda menemukan panjang vektor melalui koordinat dan .
Sisihkan dari asal koordinat (dari titik TENTANG) vektor . Tunjukkan proyeksi titik A pada sumbu koordinat sebagai dan masing-masing dan pertimbangkan persegi panjang dengan diagonal OA.
Berdasarkan teorema Pythagoras, persamaan , Di mana . Dari definisi koordinat vektor dalam sistem koordinat persegi panjang, kita dapat menegaskan bahwa dan , dan dengan konstruksi, panjangnya OA sama dengan panjang vektor, oleh karena itu, .
Dengan demikian, rumus mencari panjang vektor dalam koordinatnya di pesawat memiliki bentuk .
Jika vektor direpresentasikan sebagai dekomposisi dalam koordinat vektor , maka panjangnya dihitung dengan rumus yang sama , karena dalam hal ini koefisien dan adalah koordinat vektor dalam sistem koordinat yang diberikan.
Pertimbangkan sebuah contoh.
Contoh.
Temukan panjang vektor yang diberikan dalam koordinat Cartesian.
Larutan.
Segera terapkan rumus untuk mencari panjang vektor dengan koordinat :
Menjawab:
Sekarang kita mendapatkan rumus untuk mencari panjang vektor dengan koordinatnya dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz di ruang hampa.
Sisihkan vektor dari asal dan tunjukkan proyeksi titik A pada sumbu koordinat serta . Kemudian kita bisa membangun di sisi dan persegi panjang paralelepiped di mana OA akan menjadi diagonal.
Dalam hal ini (karena OA adalah diagonal dari sebuah persegi panjang paralelepiped), di mana . Menentukan koordinat vektor memungkinkan kita untuk menulis persamaan , dan panjangnya OA sama dengan panjang vektor yang diinginkan, oleh karena itu, .
Dengan demikian, panjang vektor dalam ruang sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya, yaitu ditemukan dengan rumus .
Contoh.
Hitung Panjang Vektor , dimana orts dari sistem koordinat persegi panjang.
Larutan.
Kami diberi perluasan vektor dalam bentuk vektor koordinat , karena itu, . Kemudian, menurut rumus untuk mencari panjang vektor dengan koordinat, kita punya .
