Totalitas statistik terdiri dari satu set unit, objek atau fenomena yang homogen dalam beberapa hal dan pada saat yang sama berbeda dalam fitur besarnya. Nilai fitur dari setiap objek ditentukan baik oleh kesamaan untuk semua unit populasi, dan oleh fitur individualnya.
Menganalisis deret distribusi terurut (peringkat, interval, dll.), kita dapat melihat bahwa elemen populasi statistik terkonsentrasi dengan jelas di sekitar beberapa nilai pusat. Konsentrasi nilai individual dari suatu fitur di sekitar beberapa nilai sentral, sebagai suatu peraturan, terjadi di semua distribusi statistik. Kecenderungan nilai-nilai individu dari fitur yang dipelajari untuk mengelompok di sekitar pusat distribusi frekuensi disebut tren sentral. Untuk mengkarakterisasi tren sentral distribusi, digunakan indikator generalisasi, yang disebut nilai rata-rata.
Nilai rata-rata dalam statistik, mereka menyebut indikator generalisasi yang mencirikan ukuran khas fitur dalam populasi yang homogen secara kualitatif di bawah kondisi tempat dan waktu tertentu dan mencerminkan nilai fitur variabel per unit populasi. Nilai rata-rata dihitung dalam banyak kasus dengan membagi total volume fitur dengan jumlah unit yang memiliki fitur ini. Jika, misalnya, tagihan upah bulanan dan jumlah pekerja per bulan diketahui, maka upah bulanan rata-rata dapat ditentukan dengan membagi tagihan upah dengan jumlah pekerja.
Nilai rata-rata adalah indikator seperti rata-rata lama hari kerja, minggu, tahun, kategori upah rata-rata pekerja, tingkat rata-rata produktivitas tenaga kerja, pendapatan nasional rata-rata per kapita, hasil panen rata-rata dalam negeri, konsumsi makanan rata-rata per kapita, dll. .d.
Nilai rata-rata dihitung dari nilai absolut dan relatif, mereka diberi nama indikator dan diukur dalam unit pengukuran yang sama dengan atribut rata-rata. Mereka mencirikan nilai populasi yang diteliti dengan satu nomor. Nilai rata-rata mencerminkan tingkat objektif dan khas dari fenomena dan proses sosial-ekonomi.
Setiap rata-rata mencirikan populasi yang diteliti menurut salah satu dari beberapa tanda, tetapi untuk mengkarakterisasi populasi apa pun, menggambarkan ciri khas dan ciri kualitatifnya, diperlukan sistem indikator rata-rata. Oleh karena itu, dalam praktik statistik domestik, untuk mempelajari fenomena sosial-ekonomi, biasanya digunakan sistem rata-rata. Jadi, misalnya, indikator upah rata-rata dievaluasi bersama dengan indikator produktivitas tenaga kerja (output rata-rata per unit waktu kerja), rasio modal-tenaga kerja dan konservasi energi, tingkat mekanisasi dan otomatisasi kerja, dll.
Dalam ilmu dan praktik statistik, rata-rata sangat penting. Metode rata-rata adalah salah satu metode statistik yang paling penting, dan rata-rata adalah salah satu kategori utama ilmu statistik. Teori rata-rata menempati salah satu tempat sentral dalam teori statistik. Nilai rata-rata adalah dasar untuk menghitung indikator variasi (Bagian 5), kesalahan pengambilan sampel (Bagian 6), ANOVA (Bagian 8) dan analisis korelasi (Bagian 9).
juga tidak mungkin menyajikan statistik tanpa indeks, dan yang terakhir pada dasarnya adalah rata-rata. Penggunaan metode pengelompokan statistik juga mengarah pada penggunaan nilai rata-rata.
Seperti yang telah disebutkan, metode pengelompokan adalah salah satu metode utama statistik. Metode rata-rata yang dikombinasikan dengan metode pengelompokan merupakan bagian integral dari metodologi statistik yang dikembangkan secara ilmiah. Indikator rata-rata secara organik melengkapi metode pengelompokan statistik.
Nilai rata-rata digunakan untuk mengkarakterisasi perubahan fenomena dari waktu ke waktu, untuk menghitung rata-rata pertumbuhan dan tingkat pertumbuhan. Misalnya, perbandingan tingkat pertumbuhan rata-rata indikator produktivitas tenaga kerja dan pembayarannya untuk periode tertentu (beberapa tahun) mengungkapkan sifat perkembangan fenomena selama periode waktu yang dipelajari, secara terpisah produktivitas tenaga kerja dan secara terpisah upah. Perbandingan tingkat pertumbuhan kedua fenomena ini memberikan gambaran tentang sifat dan kekhasan rasio pertumbuhan atau penurunan produktivitas tenaga kerja relatif terhadap pembayarannya untuk periode waktu tertentu.
Dalam semua kasus, ketika perlu untuk mengkarakterisasi dengan satu angka totalitas nilai karakteristik yang berubah, nilai rata-rata digunakan.
Dalam populasi statistik, nilai atribut berubah dari objek ke objek, yaitu bervariasi. Dengan merata-ratakan nilai-nilai ini dan memberikan tingkat nilai atribut untuk setiap anggota populasi, kami mengabstraksi dari nilai individu atribut, dengan demikian, seolah-olah, mengganti rangkaian distribusi nilai atribut dengan nilai yang sama dengan nilai rata-rata. Namun, abstraksi semacam itu dibenarkan hanya jika rata-rata tidak mengubah properti utama dalam kaitannya dengan fitur yang diberikan secara keseluruhan. Ini adalah properti utama dari populasi statistik, yang terkait dengan nilai-nilai individual dari sifat tersebut, dan yang, ketika dirata-ratakan, harus dijaga agar tidak berubah, disebut sifat yang menentukan dari rata-rata dalam kaitannya dengan sifat yang sedang dipelajari. Dengan kata lain, rata-rata, menggantikan nilai individu dari atribut, tidak boleh mengubah total volume fenomena, mis. persamaan wajib seperti itu: volume fenomena sama dengan produk nilai rata-rata dengan ukuran populasi. Misalnya, jika dari tiga nilai hasil jelai (x, = 20,0; 23,3; 23,6 sen / ha), rata-rata (20,0 + 23,3 + 23,6) dihitung: 3 = 22,3 sen / ha, maka menurut properti yang ditentukan dari mean, persamaan berikut harus diperhatikan:
Seperti dapat dilihat dari contoh di atas, hasil rata-rata jelai tidak sesuai dengan hasil panen individu, karena tidak ada satu pun pertanian yang menghasilkan 22,3 c/ha. Namun, jika kita membayangkan bahwa setiap pertanian menerima 22,3 c/ha, maka total hasil tidak akan berubah dan akan sama dengan 66,9 c/ha. Akibatnya, rata-rata, menggantikan nilai aktual dari indikator individu individu, tidak dapat mengubah ukuran seluruh jumlah nilai dari sifat yang dipelajari.
Nilai utama dari nilai rata-rata adalah fungsi generalisasinya, mis. dalam mengganti seperangkat nilai individu yang berbeda dari suatu sifat dengan nilai rata-rata yang menjadi ciri seluruh rangkaian fenomena. Properti rata-rata untuk mengkarakterisasi bukan unit individu, tetapi untuk mengekspresikan tingkat atribut per setiap unit populasi adalah kemampuannya yang khas. Fitur ini membuat rata-rata menjadi indikator generalisasi tingkat berbagai fitur, mis. suatu indikator yang diabstraksikan dari nilai individu dari nilai atribut dalam satuan individu populasi. Tetapi fakta bahwa rata-rata itu abstrak tidak menghilangkannya dari penelitian ilmiah. Abstraksi adalah tingkat yang diperlukan dari setiap penelitian ilmiah. Dalam nilai rata-rata, seperti dalam abstraksi apa pun, kesatuan dialektis individu dan umum diwujudkan. Hubungan antara nilai rata-rata dan individu dari fitur rata-rata adalah ekspresi dari hubungan dialektis antara individu dan umum.
Penggunaan rata-rata harus didasarkan pada pemahaman dan interkoneksi kategori dialektis umum dan individu, massa dan individu.
Nilai rata-rata mencerminkan umum yang terbentuk pada setiap individu, objek tunggal. Karena itu, rata-rata menjadi sangat penting untuk mengungkapkan pola-pola yang melekat pada fenomena sosial massa dan tidak terlihat dalam fenomena tunggal.
Kebutuhan dikombinasikan dengan kesempatan dalam pengembangan fenomena. Oleh karena itu, rata-rata terkait dengan hukum bilangan besar. Inti dari hubungan ini terletak pada kenyataan bahwa ketika menghitung nilai rata-rata, fluktuasi acak dengan arah yang berbeda, karena operasi hukum bilangan besar, saling seimbang, dibatalkan, dan keteraturan utama, kebutuhan, dan pengaruh. kondisi umum karakteristik populasi ini ditampilkan dengan jelas dalam nilai rata-rata. Rata-rata mencerminkan tingkat yang khas dan nyata dari fenomena yang dipelajari. Memperkirakan tingkat ini dan mengubahnya dalam ruang dan waktu adalah salah satu masalah utama rata-rata. Jadi, melalui rata-rata, misalnya, terwujud pola peningkatan produktivitas tenaga kerja, hasil panen, dan produktivitas ternak. Akibatnya, nilai rata-rata adalah indikator generalisasi di mana tindakan kondisi umum, keteraturan fenomena yang diteliti, menemukan ekspresinya.
Dengan bantuan nilai rata-rata, mereka mempelajari perubahan fenomena dalam ruang dan waktu, tren dalam perkembangannya, koneksi dan ketergantungan antara fitur, efektivitas berbagai bentuk organisasi produksi, tenaga kerja dan teknologi, pengenalan kemajuan ilmiah dan teknologi. , identifikasi yang baru, progresif dalam perkembangan fenomena dan proses sosial dan ekonomi tertentu.
Nilai rata-rata banyak digunakan dalam analisis statistik fenomena sosial-ekonomi, karena di dalamnya hukum dan tren perkembangan fenomena sosial massa yang bervariasi baik dalam ruang dan waktu menemukan manifestasinya. Jadi, misalnya, pola peningkatan produktivitas tenaga kerja dalam perekonomian tercermin dalam pertumbuhan produksi rata-rata per pekerja yang dipekerjakan dalam produksi, peningkatan hasil kotor - dalam pertumbuhan hasil panen rata-rata, dll.
Nilai rata-rata memberikan karakteristik umum dari fenomena yang diteliti hanya pada satu dasar, yang mencerminkan salah satu aspek terpentingnya. Berkaitan dengan hal tersebut, untuk analisis yang komprehensif terhadap fenomena yang diteliti, perlu dibangun suatu sistem nilai rata-rata untuk sejumlah ciri esensial yang saling berkaitan dan saling melengkapi.
Agar rata-rata mencerminkan apa yang benar-benar khas dan alami dalam fenomena sosial yang dipelajari, ketika menghitungnya, perlu mematuhi kondisi seperti itu.
1. Tanda yang digunakan untuk menghitung rata-rata harus signifikan. Jika tidak, akan diperoleh rata-rata yang tidak signifikan atau terdistorsi.
2. Rata-rata harus dihitung hanya untuk populasi yang homogen secara kualitatif. Oleh karena itu, perhitungan rata-rata secara langsung harus didahului dengan pengelompokan statistik, yang memungkinkan untuk membagi populasi yang diteliti menjadi kelompok-kelompok yang homogen secara kualitatif. Dalam kaitan ini, dasar ilmiah dari metode rata-rata adalah metode pengelompokan statistik.
Pertanyaan tentang homogenitas populasi tidak boleh diputuskan secara formal dalam bentuk distribusinya. Ini, serta pertanyaan tentang kekhasan rata-rata, harus diselesaikan atas dasar penyebab dan kondisi yang membentuk agregat. Agregat juga homogen, unit-unit yang terbentuk di bawah pengaruh penyebab dan kondisi utama umum yang menentukan tingkat umum fitur ini, karakteristik seluruh agregat.
3. Perhitungan nilai rata-rata harus didasarkan pada cakupan semua unit dari jenis tertentu atau kumpulan objek yang cukup besar sehingga fluktuasi acak saling menyeimbangkan satu sama lain dan keteraturan, ukuran khas dan karakteristik dari sifat yang dipelajari muncul.
4. Persyaratan umum dalam perhitungan setiap jenis rata-rata adalah pelestarian wajib dari total volume atribut dalam agregat ketika mengganti nilai individualnya dengan nilai rata-rata (yang disebut properti yang menentukan dari rata-rata).
Nilai rata-rata adalah indikator generalisasi yang mencirikan tingkat khas fenomena. Ini mengungkapkan nilai atribut, terkait dengan unit populasi.
Nilai rata-ratanya adalah:
1) nilai atribut yang paling khas untuk populasi;
2) volume tanda populasi, didistribusikan secara merata di antara unit-unit populasi.
Karakteristik yang nilai rata-ratanya dihitung disebut "rata-rata" dalam statistik.
Rata-rata selalu menggeneralisasikan variasi kuantitatif dari sifat tersebut, yaitu dalam nilai rata-rata, perbedaan individu dalam unit populasi karena keadaan acak dibatalkan. Berbeda dengan rata-rata, nilai absolut yang mencirikan tingkat fitur dari unit individu populasi tidak memungkinkan membandingkan nilai fitur untuk unit milik populasi yang berbeda. Jadi, jika Anda perlu membandingkan tingkat remunerasi pekerja di dua perusahaan, maka Anda tidak dapat membandingkan dua karyawan dari perusahaan yang berbeda atas dasar ini. Upah pekerja yang dipilih untuk perbandingan mungkin tidak khas untuk perusahaan-perusahaan ini. Jika kita membandingkan ukuran dana upah di perusahaan yang dipertimbangkan, maka jumlah karyawan tidak diperhitungkan dan, oleh karena itu, tidak mungkin untuk menentukan di mana tingkat upah lebih tinggi. Pada akhirnya, hanya rata-rata yang dapat dibandingkan, mis. Berapa penghasilan rata-rata satu pekerja di setiap perusahaan? Oleh karena itu, perlu dilakukan penghitungan nilai rata-rata sebagai ciri umum populasi.
Penting untuk dicatat bahwa dalam proses rata-rata, nilai agregat dari tingkat atribut atau nilai akhirnya (dalam hal menghitung tingkat rata-rata dalam deret waktu) harus tetap tidak berubah. Dengan kata lain, ketika menghitung nilai rata-rata, volume sifat yang diteliti tidak boleh terdistorsi, dan ekspresi yang dibuat saat menghitung rata-rata harus masuk akal.
Menghitung rata-rata adalah salah satu teknik generalisasi yang umum; Indikator rata-rata mengingkari yang bersifat umum (tipikal) untuk semua satuan populasi yang diteliti, sekaligus mengabaikan perbedaan antar satuan individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya terdapat kombinasi antara kebetulan dan kebutuhan. Saat menghitung rata-rata, karena pengoperasian hukum bilangan besar, keacakan membatalkan satu sama lain, menyeimbangkan, oleh karena itu dimungkinkan untuk abstrak dari fitur-fitur yang tidak signifikan dari fenomena tersebut, dari nilai-nilai kuantitatif atribut di setiap spesifik kasus. Dalam kemampuan untuk mengabstraksi dari keacakan nilai-nilai individu, fluktuasi, terletak nilai ilmiah rata-rata sebagai karakteristik umum dari agregat.
Agar rata-rata benar-benar mencirikan, itu harus dihitung dengan mempertimbangkan prinsip-prinsip tertentu.
Mari kita membahas beberapa prinsip umum untuk penerapan rata-rata.
1. Rata-rata harus ditentukan untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang homogen secara kualitatif.
2. Rata-rata harus dihitung untuk populasi yang terdiri dari jumlah unit yang cukup besar.
3. Rata-rata harus dihitung untuk populasi, yang unit-unitnya berada dalam keadaan normal dan alami.
4. Rata-rata harus dihitung dengan mempertimbangkan kandungan ekonomi dari indikator yang diteliti.
5.2. Jenis rata-rata dan metode untuk menghitungnya
Sekarang mari kita pertimbangkan jenis rata-rata, fitur perhitungannya dan area penerapannya. Nilai rata-rata dibagi menjadi dua kelas besar: rata-rata daya, rata-rata struktural.
Rata-rata hukum daya termasuk jenis yang paling terkenal dan umum digunakan, seperti rata-rata geometrik, rata-rata aritmatika, dan rata-rata kuadrat.
Modus dan median dianggap sebagai rata-rata struktural.
Mari kita memikirkan rata-rata daya. Rata-rata daya, tergantung pada penyajian data awal, bisa sederhana dan berbobot. rata-rata sederhana dihitung dari data yang tidak dikelompokkan dan memiliki bentuk umum berikut:
,
di mana X i adalah varian (nilai) dari fitur rata-rata;
n adalah jumlah opsi.
Rata-rata tertimbang dihitung dengan data yang dikelompokkan dan memiliki bentuk umum
,
di mana X i adalah varian (nilai) fitur rata-rata atau nilai tengah interval di mana varian diukur;
m adalah eksponen dari mean;
f i - frekuensi yang menunjukkan berapa kali nilai i-e dari fitur rata-rata muncul.
Jika kita menghitung semua jenis rata-rata untuk data awal yang sama, maka nilainya tidak akan sama. Di sini aturan utama rata-rata berlaku: dengan peningkatan eksponen m, nilai rata-rata yang sesuai juga meningkat:
Dalam praktik statistik, lebih sering daripada jenis rata-rata tertimbang lainnya, rata-rata tertimbang aritmatika dan harmonik digunakan.
Jenis Sarana Daya
|
Jenis kekuatan |
Indeks |
Rumus perhitungan |
|
|
Sederhana |
tertimbang |
||
|
harmonis |
|||
|
Geometris |
|
|
|
|
Hitung |
|||
|
kuadrat |
|||
|
kubik |
|||
Rata-rata harmonik memiliki struktur yang lebih kompleks daripada rata-rata aritmatika. Rata-rata harmonik digunakan untuk perhitungan ketika bobot bukan unit populasi - pembawa sifat, tetapi produk dari unit-unit ini dan nilai sifat (yaitu m = Xf). Waktu henti harmonik rata-rata harus digunakan dalam kasus penentuan, misalnya, biaya rata-rata tenaga kerja, waktu, bahan per unit produksi, per bagian untuk dua (tiga, empat, dll.) perusahaan, pekerja yang terlibat dalam pembuatan jenis produk yang sama, bagian yang sama, produk.
Syarat utama rumus untuk menghitung nilai rata-rata adalah bahwa semua tahapan perhitungan memiliki justifikasi yang benar-benar bermakna; nilai rata-rata yang dihasilkan harus menggantikan nilai individu dari atribut untuk setiap objek tanpa memutuskan hubungan antara indikator individu dan ringkasan. Dengan kata lain, nilai rata-rata harus dihitung sedemikian rupa sehingga ketika setiap nilai individu dari indikator rata-rata diganti dengan nilai rata-ratanya, beberapa indikator ringkasan akhir, yang dihubungkan dengan satu atau lain cara dengan rata-rata, tetap tidak berubah. Hasil ini disebut menentukan karena sifat hubungannya dengan nilai individu menentukan formula khusus untuk menghitung nilai rata-rata. Mari kita tunjukkan aturan ini pada contoh mean geometrik.
Rumus rata-rata geometris
paling sering digunakan saat menghitung nilai rata-rata nilai relatif individu dari dinamika.
Rata-rata geometrik digunakan jika urutan nilai dinamika relatif rantai diberikan, yang menunjukkan, misalnya, peningkatan produksi dibandingkan dengan tingkat tahun sebelumnya: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Jelas, volume produksi pada tahun terakhir ditentukan oleh tingkat awal (q 0) dan pertumbuhan selanjutnya selama bertahun-tahun:
q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .
Mengambil q n sebagai indikator yang menentukan dan mengganti nilai individual dari indikator dinamika dengan yang rata-rata, kami sampai pada hubungan
Dari sini
Jenis nilai rata-rata khusus - rata-rata struktural - digunakan untuk mempelajari struktur internal dari rangkaian distribusi nilai atribut, serta untuk memperkirakan nilai rata-rata (tipe daya), jika, menurut data statistik yang tersedia, perhitungannya tidak dapat dilakukan (misalnya, jika tidak ada data dalam contoh yang dipertimbangkan) dan pada volume produksi, dan pada jumlah biaya oleh kelompok perusahaan).
Indikator paling sering digunakan sebagai rata-rata struktural. mode - nilai fitur yang paling sering diulang - dan median - nilai suatu ciri yang membagi urutan nilainya menjadi dua bagian yang sama jumlahnya. Akibatnya, di satu setengah dari unit populasi, nilai atribut tidak melebihi tingkat median, dan di setengah lainnya tidak kurang dari itu.
Jika fitur yang diteliti memiliki nilai diskrit, maka tidak ada kesulitan khusus dalam menghitung modus dan median. Jika data nilai atribut X disajikan dalam bentuk interval terurut perubahannya (deret interval), maka perhitungan modus dan median menjadi agak lebih rumit. Karena nilai median membagi seluruh populasi menjadi dua bagian yang sama jumlahnya, nilai tersebut berakhir di salah satu interval fitur X. Dengan menggunakan interpolasi, nilai median ditemukan dalam interval median ini:
,
di mana X Me adalah batas bawah interval median;
h Me adalah nilainya;
(Jumlah m) / 2 - setengah dari jumlah total pengamatan atau setengah dari volume indikator yang digunakan sebagai pembobotan dalam rumus untuk menghitung nilai rata-rata (secara absolut atau relatif);
S Me-1 adalah jumlah pengamatan (atau volume fitur pembobotan) yang diakumulasikan sebelum awal interval median;
m Me adalah jumlah pengamatan atau volume fitur pembobotan dalam interval median (juga dalam istilah absolut atau relatif).
Saat menghitung nilai modal fitur menurut data seri interval, perlu memperhatikan fakta bahwa intervalnya sama, karena indikator frekuensi nilai fitur X tergantung pada ini. deret interval dengan interval yang sama, nilai modus ditentukan sebagai
,
di mana X Mo adalah nilai yang lebih rendah dari interval modal;
m Mo adalah jumlah pengamatan atau volume fitur pembobotan dalam interval modal (secara absolut atau relatif);
m Mo-1 - sama untuk interval sebelum modal;
m Mo+1 - sama untuk interval setelah modal;
h adalah nilai selang waktu perubahan sifat dalam kelompok.
TUGAS 1
Data berikut tersedia untuk kelompok perusahaan industri untuk tahun pelaporan:
|
№ perusahaan |
Volume produksi, juta rubel |
Jumlah rata-rata karyawan, pers. |
Untung, ribuan rubel |
|
|
197,7 |
10,0 |
13,5 |
||
|
22,8 |
1500 |
136,2 |
||
|
465,5 |
18,4 |
1412 |
97,6 |
|
|
296,2 |
12,6 |
1200 |
44,4 |
|
|
584,1 |
22,0 |
1485 |
146,0 |
|
|
480,0 |
119,0 |
1420 |
110,4 |
|
|
57805 |
21,6 |
1390 |
138,7 |
|
|
204,7 |
30,6 |
|||
|
466,8 |
19,4 |
1375 |
111,8 |
|
|
292,2 |
113,6 |
1200 |
49,6 |
|
|
423,1 |
17,6 |
1365 |
105,8 |
|
|
192,6 |
30,7 |
|||
|
360,5 |
14,0 |
1290 |
64,8 |
|
|
280,3 |
10,2 |
33,3 |
Diperlukan untuk melakukan pengelompokan perusahaan untuk pertukaran produk, dengan interval berikut:
dari 400 hingga 600 juta rubel
Untuk setiap kelompok dan untuk semua bersama-sama, tentukan jumlah perusahaan, volume produksi, jumlah rata-rata karyawan, output rata-rata per karyawan. Hasil pengelompokan harus disajikan dalam bentuk tabel statistik. Merumuskan kesimpulan.
LARUTAN
Mari kita membuat pengelompokan perusahaan untuk pertukaran produk, perhitungan jumlah perusahaan, volume produksi, jumlah rata-rata karyawan sesuai dengan rumus rata-rata sederhana. Hasil pengelompokan dan perhitungan dirangkum dalam sebuah tabel.
Kelompokkan berdasarkan volume produksi
№
perusahaan
Volume produksi, juta rubel
Biaya tahunan rata-rata aset tetap, juta rubel
rata-rata tidur
jumlah karyawan yang menarik, pers.
Untung, ribuan rubel
Output rata-rata per pekerja
1 grup
hingga 200 juta rubel
1,8,12
197,7
204,7
192,6
10,0
9,4
8,8
900
817
13,5
30,6
30,7
28,2
2567
74,8
0,23
Level rata-rata
198,3
24,9
2 grup
dari 200 hingga 400 juta rubel
4,10,13,14
196,2
292,2
360,5
280,3
12,6
113,6
14,0
10,2
1200
1200
1290
44,4
49,6
64,8
33,3
1129,2
150,4
4590
192,1
0,25
Level rata-rata
282,3
37,6
1530
64,0
3 grup
dari 400 sampai
600 juta
2,3,5,6,7,9,11
592
465,5
584,1
480,0
578,5
466,8
423,1
22,8
18,4
22,0
119,0
21,6
19,4
17,6
1500
1412
1485
1420
1390
1375
1365
136,2
97,6
146,0
110,4
138,7
111,8
105,8
3590
240,8
9974
846,5
0,36
Level rata-rata
512,9
34,4
1421
120,9
Total secara agregat
5314,2
419,4
17131
1113,4
0,31
Rata-rata agregat
379,6
59,9
1223,6
79,5
Kesimpulan. Jadi, secara agregat yang dipertimbangkan, jumlah terbesar perusahaan dalam hal output jatuh ke dalam kelompok ketiga - tujuh, atau setengah dari perusahaan. Nilai rata-rata nilai tahunan aset tetap juga dalam kelompok ini, serta nilai besar dari jumlah rata-rata karyawan - 9974 orang, perusahaan dari kelompok pertama adalah yang paling tidak menguntungkan.
TUGAS 2
Kami memiliki data berikut tentang perusahaan perusahaan:
Jumlah perusahaan milik perusahaan
saya seperempat
kuartal II
Keluaran, ribuan rubel
Dikerjakan oleh working man-days
Output rata-rata per pekerja per hari, gosok.
59390,13
hingga 200 juta rubel
dari 200 hingga 400 juta rubel
Nilai rata-rata adalah yang paling berharga dari sudut pandang analitis dan bentuk universal dari ekspresi indikator statistik. Rata-rata yang paling umum - rata-rata aritmatika - memiliki sejumlah sifat matematika yang dapat digunakan dalam perhitungannya. Pada saat yang sama, ketika menghitung rata-rata tertentu, selalu disarankan untuk mengandalkan rumus logisnya, yang merupakan rasio volume atribut dengan volume populasi. Untuk setiap mean, hanya ada satu rasio referensi yang benar, yang, tergantung pada data yang tersedia, mungkin memerlukan bentuk mean yang berbeda. Namun, dalam semua kasus di mana sifat nilai rata-rata menyiratkan adanya bobot, tidak mungkin menggunakan rumus tak berbobotnya alih-alih rumus rata-rata tertimbang.
Nilai rata-rata adalah nilai yang paling khas dari atribut untuk populasi dan ukuran atribut populasi yang didistribusikan dalam bagian yang sama antara unit-unit populasi.
Karakteristik yang nilai rata-ratanya dihitung disebut rata-rata .
Nilai rata-rata adalah indikator yang dihitung dengan membandingkan nilai absolut atau relatif. Nilai rata-ratanya adalah
Nilai rata-rata mencerminkan pengaruh semua faktor yang mempengaruhi fenomena yang diteliti, dan merupakan resultan bagi mereka. Dengan kata lain, membayar penyimpangan individu dan menghilangkan pengaruh kasus, nilai rata-rata, yang mencerminkan ukuran umum dari hasil tindakan ini, bertindak sebagai pola umum dari fenomena yang diteliti.
Ketentuan penggunaan rata-rata:
homogenitas populasi yang diteliti. Jika beberapa elemen populasi yang dipengaruhi faktor acak memiliki nilai yang berbeda secara signifikan dari sifat yang dipelajari dari yang lain, maka elemen-elemen ini akan mempengaruhi ukuran rata-rata untuk populasi ini. Dalam hal ini, rata-rata tidak akan mengungkapkan nilai paling khas dari fitur untuk populasi. Jika fenomena yang diteliti bersifat heterogen, maka perlu dipecah menjadi kelompok-kelompok yang mengandung unsur-unsur homogen. Dalam hal ini, rata-rata kelompok dihitung - rata-rata kelompok, yang menyatakan nilai paling khas dari fenomena di setiap kelompok, dan kemudian nilai rata-rata keseluruhan untuk semua elemen dihitung, yang mencirikan fenomena secara keseluruhan. Dihitung sebagai rata-rata rata-rata kelompok, dibobot dengan jumlah elemen populasi yang termasuk dalam setiap kelompok;
jumlah unit yang cukup dalam agregat;
nilai maksimum dan minimum sifat dalam populasi yang diteliti.
Nilai rata-rata (indikator)- ini adalah karakteristik kuantitatif umum dari suatu sifat dalam populasi sistematis di bawah kondisi tempat dan waktu tertentu.
Dalam statistik, bentuk (jenis) rata-rata berikut digunakan, yang disebut kekuatan dan struktural:
Ø rata-rata aritmatika(sederhana dan berbobot);
sederhana
PEKERJAAN KURSUS
TEORI STATISTIK
Pada topik: Rata-rata
Diisi oleh: Nomor grup: STP - 72
Yunusova Gulnazia Chamilevna
Diperiksa oleh: Anting Lyudmila Konstantinovna
pengantar
1. Inti dari rata-rata, prinsip umum penerapan
2. Jenis rata-rata dan cakupannya
2.1 Rata-rata daya
2.1.1 Rata-rata aritmatika
2.1.2 Rata-rata harmonik
2.1.3 Rata-rata geometrik
2.1.4 RMS
2.2. Rata-rata struktural
2.2.1 Median
3. Persyaratan metodologis dasar untuk perhitungan rata-rata yang benar
Kesimpulan
Daftar literatur yang digunakan
pengantar
Sejarah penerapan praktis rata-rata kembali ke puluhan abad. Tujuan utama dari menghitung rata-rata adalah untuk mempelajari proporsi antara kuantitas. Pentingnya menghitung rata-rata telah meningkat sehubungan dengan perkembangan teori probabilitas dan statistik matematika. Solusi dari banyak masalah teoretis dan praktis tidak mungkin dilakukan tanpa menghitung rata-rata dan menilai fluktuasi nilai individu atribut.
Para ilmuwan dari arah yang berbeda berusaha untuk menentukan rata-rata. Misalnya, matematikawan Prancis terkemuka O. L. Cauchy (1789 - 1857) percaya bahwa rata-rata beberapa besaran adalah nilai baru, yang berada di antara besaran terkecil dan terbesar.
Namun, ahli statistik Belgia A. Quetelet (1796 - 1874) harus dianggap sebagai pencipta teori rata-rata. Dia berusaha menentukan sifat nilai rata-rata dan keteraturan yang dimanifestasikan di dalamnya. Menurut Quetelet, penyebab permanen bertindak dengan cara yang sama (permanen) pada setiap fenomena yang diteliti. Merekalah yang membuat fenomena ini mirip satu sama lain, menciptakan pola umum untuk mereka semua.
Konsekuensi dari ajaran A. Quetelet tentang penyebab umum dan individu adalah alokasi nilai rata-rata sebagai metode utama analisis statistik. Dia menekankan bahwa rata-rata statistik bukan hanya ukuran pengukuran matematis, tetapi kategori realitas objektif. Dia mengidentifikasi tipikal, rata-rata yang benar-benar ada dengan nilai sebenarnya, penyimpangan dari mana hanya bisa acak.
Ekspresi yang jelas dari pandangan rata-rata yang dinyatakan adalah teorinya tentang "orang rata-rata", yaitu. seseorang dengan tinggi rata-rata, berat badan, kekuatan, volume dada rata-rata, kapasitas paru-paru, ketajaman visual rata-rata dan kulit normal. Rata-rata mencirikan tipe "sejati" seseorang, semua penyimpangan dari tipe ini menunjukkan keburukan atau penyakit.
Pandangan A. Quetelet dikembangkan lebih lanjut dalam karya ahli statistik Jerman V. Lexis (1837 - 1914).
Versi lain dari teori rata-rata idealis didasarkan pada filosofi Machisme. Pendirinya adalah ahli statistik Inggris A. Bowley (1869 - 1957). Secara rata-rata, ia melihat cara paling sederhana untuk menggambarkan karakteristik kuantitatif suatu fenomena. Dalam mendefinisikan arti rata-rata, atau, seperti yang dia katakan, "fungsi mereka", Bowley mengedepankan prinsip pemikiran Machia. Dengan demikian, ia menulis bahwa fungsi rata-rata jelas: itu terdiri dalam mengekspresikan kelompok kompleks dengan bantuan beberapa bilangan prima. Pikiran tidak dapat segera menangkap besaran jutaan statistik; mereka harus dikelompokkan, disederhanakan, dirata-ratakan.
Pengikut A. Quetelet adalah ahli statistik Italia C. Gini (1884-1965), penulis monografi besar "Nilai Rata-rata". K.Gini mengkritik definisi rata-rata yang diberikan oleh ahli statistik Soviet A.Ya. . Boyarsky, dan merumuskannya sendiri: “Rata-rata dari beberapa nilai adalah hasil tindakan yang dilakukan pada nilai-nilai ini menurut aturan tertentu, dan merupakan salah satu dari nilai-nilai ini, yang tidak lebih dan tidak kurang dari semua lainnya (rata-rata nyata atau efektif), atau beberapa nilai baru antara yang terkecil dan terbesar dari nilai yang diberikan (rata-rata penghitung).
Dalam pekerjaan kursus ini, kami akan mempertimbangkan secara rinci masalah utama teori rata-rata. Dalam bab pertama, kami akan mengungkapkan esensi dari rata-rata dan prinsip umum penerapannya. Pada bab kedua, kita akan mempertimbangkan jenis rata-rata dan ruang lingkup penerapannya menggunakan contoh spesifik. Bab ketiga akan mempertimbangkan persyaratan metodologis utama untuk menghitung rata-rata.
1. Inti dari rata-rata, prinsip umum penerapan
Rata-rata adalah salah satu statistik ringkasan yang paling umum. Mereka bertujuan untuk mengkarakterisasi dengan satu nomor populasi statistik yang terdiri dari minoritas unit. Nilai rata-rata terkait erat dengan hukum bilangan besar.Inti dari ketergantungan ini terletak pada kenyataan bahwa dengan sejumlah besar pengamatan, penyimpangan acak dari statistik umum membatalkan satu sama lain dan, rata-rata, keteraturan statistik adalah lebih jelas termanifestasi.
Nilai rata-rata adalah indikator generalisasi yang mencirikan tingkat khas fenomena dalam kondisi tempat dan waktu tertentu. Ini mengungkapkan tingkat karakteristik, khas untuk setiap unit populasi.
Rata-rata adalah karakteristik objektif hanya untuk fenomena homogen. Rata-rata untuk populasi heterogen disebut sweeping dan hanya dapat digunakan dalam kombinasi dengan rata-rata parsial dari populasi homogen.
Rata-rata digunakan dalam studi statistik untuk menilai tingkat fenomena saat ini, untuk membandingkan beberapa populasi atas dasar yang sama satu sama lain, untuk mempelajari dinamika perkembangan fenomena yang diteliti dari waktu ke waktu, untuk mempelajari hubungan fenomena.
Rata-rata banyak digunakan dalam berbagai perencanaan, perkiraan, perhitungan keuangan.
Nilai utama dari nilai rata-rata adalah fungsi generalisasinya, mis. penggantian satu set nilai individu yang berbeda dari suatu fitur dengan nilai rata-rata yang menjadi ciri seluruh rangkaian fenomena. Semua orang tahu ciri-ciri perkembangan orang modern, yang dimanifestasikan, antara lain, dalam pertumbuhan anak laki-laki yang lebih tinggi dibandingkan dengan ayah, anak perempuan dibandingkan dengan ibu pada usia yang sama. Tapi bagaimana mengukur fenomena ini?
Dalam keluarga yang berbeda, ada rasio yang sangat berbeda dari pertumbuhan generasi yang lebih tua dan yang lebih muda. Tidak setiap anak laki-laki lebih tinggi dari ayahnya, dan tidak setiap anak perempuan lebih tinggi dari ibunya. Tetapi jika kita mengukur tinggi rata-rata ribuan orang, maka dengan tinggi rata-rata anak laki-laki dan ayah, anak perempuan dan ibu, seseorang dapat secara akurat menetapkan fakta percepatan dan peningkatan rata-rata tipikal dalam pertumbuhan dalam satu generasi.
Untuk produksi jumlah barang yang sama dari jenis dan kualitas tertentu, produsen yang berbeda (pabrik, perusahaan) menghabiskan jumlah tenaga kerja dan sumber daya material yang tidak sama. Tetapi pasar merata-ratakan biaya ini, dan harga pokok ditentukan oleh konsumsi rata-rata sumber daya untuk produksi.
Cuaca di titik tertentu di dunia pada hari yang sama di tahun yang berbeda bisa sangat berbeda. Misalnya, di St. Petersburg pada tanggal 31 Maret, suhu udara selama lebih dari seratus tahun pengamatan berkisar antara -20,1° pada tahun 1883 hingga +12,24° pada tahun 1920. Kira-kira fluktuasi yang sama terjadi pada hari-hari lain dalam setahun. Menurut data cuaca individu seperti itu pada tahun yang sewenang-wenang, tidak mungkin untuk mendapatkan gambaran tentang iklim St. Petersburg. Karakteristik iklim adalah karakteristik cuaca rata-rata dalam jangka waktu yang lama - suhu udara, kelembaban, kecepatan angin, jumlah curah hujan, jumlah jam sinar matahari per minggu, bulan dan sepanjang tahun, dll.
Jika nilai rata-rata menggeneralisasi nilai-nilai yang secara kualitatif homogen dari suatu sifat, maka itu adalah karakteristik khas suatu sifat dalam populasi tertentu. Jadi, kita dapat berbicara tentang mengukur pertumbuhan khas gadis-gadis Rusia yang lahir pada tahun 1973 ketika mereka mencapai usia 20 tahun. Ciri khasnya adalah produksi susu rata-rata dari sapi Hitam-Putih pada tahun pertama laktasi dengan laju pemberian pakan 12,5 unit pakan per hari.
Akan tetapi, adalah salah untuk mereduksi peran nilai rata-rata hanya pada karakteristik nilai tipikal fitur dalam populasi yang homogen dalam hal fitur ini. Dalam praktiknya, lebih sering statistik modern menggunakan nilai rata-rata yang menggeneralisasi fenomena yang jelas heterogen, seperti, misalnya, hasil semua tanaman biji-bijian di seluruh Rusia. Atau pertimbangkan rata-rata seperti rata-rata konsumsi daging per kapita: lagi pula, di antara populasi ini ada anak-anak di bawah satu tahun yang tidak mengonsumsi daging sama sekali, dan vegetarian, dan orang utara, dan orang selatan, penambang, atlet, dan pensiunan. Yang lebih jelas lagi adalah atipikal dari indikator rata-rata seperti pendapatan nasional rata-rata yang dihasilkan per kapita.
Pendapatan nasional rata-rata per kapita, rata-rata hasil biji-bijian di seluruh negeri, konsumsi rata-rata berbagai bahan makanan - ini adalah karakteristik negara sebagai sistem ekonomi tunggal, inilah yang disebut rata-rata sistem.
Rata-rata sistem dapat mengkarakterisasi sistem spasial atau objek yang ada secara bersamaan (negara, industri, wilayah, planet Bumi, dll.) dan sistem dinamis yang diperpanjang dalam waktu (tahun, dekade, musim, dll.).
Contoh rata-rata sistem yang mencirikan periode waktu adalah suhu udara rata-rata di St. Petersburg untuk tahun 1992, sama dengan +6,3°. Rata-rata ini merangkum suhu yang sangat heterogen dari siang dan malam musim dingin yang membekukan, hari-hari musim panas yang panas, musim semi dan musim gugur. 1992 adalah tahun yang hangat, suhu rata-rata tidak khas untuk St. Petersburg. Sebagai tipikal suhu udara tahunan rata-rata di kota, seseorang harus menggunakan rata-rata jangka panjang, katakanlah, selama 30 tahun dari 1963 hingga 1992, yang sama dengan +5,05°. Rata-rata ini adalah rata-rata tipikal, karena menggeneralisasi jumlah yang homogen; suhu tahunan rata-rata dari titik geografis yang sama, bervariasi selama 30 tahun dari +2,90 ° pada tahun 1976 hingga +7,44 ° pada tahun 1989
Pada tahap pemrosesan statistik, berbagai tugas penelitian dapat ditetapkan, untuk solusinya perlu memilih rata-rata yang sesuai. Dalam hal ini, perlu dipandu oleh aturan berikut: nilai-nilai yang mewakili pembilang dan penyebut rata-rata harus secara logis terkait satu sama lain.
- rata-rata daya;
- rata-rata struktural.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
Nilai yang rata-ratanya dihitung;
Rata-rata, di mana garis di atas menunjukkan bahwa rata-rata nilai individu terjadi;
Frekuensi (pengulangan nilai sifat individu).
Berbagai sarana diturunkan dari rumus daya rata-rata umum:
(5.1)
untuk k = 1 - rata-rata aritmatika; k = -1 - rata-rata harmonik; k = 0 - rata-rata geometrik; k = -2 - akar rata-rata kuadrat.
Rata-rata baik sederhana atau tertimbang.
rata-rata tertimbang disebut besaran yang memperhitungkan bahwa beberapa varian nilai atribut mungkin memiliki angka yang berbeda, dan oleh karena itu setiap varian harus dikalikan dengan angka ini. Dengan kata lain, "bobot" adalah jumlah unit populasi dalam kelompok yang berbeda, mis. setiap opsi "ditimbang" berdasarkan frekuensinya. Frekuensi f disebut bobot statistik atau berat rata-rata.
Diketahui bahwa transaksi dilakukan dalam waktu 5 hari (5 transaksi), jumlah saham yang dijual dengan kurs penjualan dibagikan sebagai berikut:
1 - 800ac. - 1010 rubel
2 - 650 ac. - 990 gosok.
3 - 700 k. - 1015 rubel.
4 - 550 ac. - 900 gosok.
5 - 850 ak. - 1150 rubel.
Rasio awal untuk menentukan harga saham rata-rata adalah rasio jumlah total transaksi (TCA) dengan jumlah saham yang dijual (KPA):
OSS = 1010 800 + 990 650 + 1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;
BPA = 800+650+700+550+850=3550.
Dalam hal ini, harga rata-rata saham adalah sama dengan:
Penting untuk mengetahui sifat-sifat rata-rata aritmatika, yang sangat penting baik untuk penggunaannya maupun untuk perhitungannya. Ada tiga sifat utama yang sebagian besar menyebabkan meluasnya penggunaan rata-rata aritmatika dalam perhitungan statistik dan ekonomi.
Properti satu (nol): jumlah deviasi positif dari nilai individu suatu sifat dari nilai rata-ratanya sama dengan jumlah deviasi negatif. Ini adalah properti yang sangat penting, karena ini menunjukkan bahwa setiap penyimpangan (baik dengan + dan dengan -) karena penyebab acak akan dibatalkan bersama.
Bukti:
Properti dua (minimum): jumlah deviasi kuadrat dari nilai-nilai individual sifat dari rata-rata aritmatika kurang dari dari angka lain (a), mis. adalah jumlah minimal.
Bukti.
Tulis jumlah deviasi kuadrat dari variabel a:
(5.4)
Untuk menemukan ekstrem dari fungsi ini, perlu untuk menyamakan turunannya terhadap a ke nol:
Dari sini kita mendapatkan:
(5.5)
Oleh karena itu, ekstrem dari jumlah deviasi kuadrat dicapai di . Ekstrem ini adalah minimum, karena fungsi tidak dapat memiliki maksimum.
Properti tiga: rata-rata aritmatika dari suatu konstanta sama dengan konstanta ini: pada a = const.
Selain tiga sifat terpenting dari rata-rata aritmatika ini, ada yang disebut properti desain, yang secara bertahap kehilangan signifikansinya karena penggunaan komputer elektronik:
- jika nilai individu dari atribut setiap unit dikalikan atau dibagi dengan angka konstan, maka rata-rata aritmatika akan bertambah atau berkurang dengan jumlah yang sama;
- mean aritmatika tidak akan berubah jika bobot (frekuensi) dari setiap nilai fitur dibagi dengan angka konstan;
- jika nilai individu dari atribut setiap unit dikurangi atau ditingkatkan dengan jumlah yang sama, maka rata-rata aritmatika akan berkurang atau bertambah dengan jumlah yang sama.
Harmonik rata-rata. Rata-rata ini disebut rata-rata aritmatika timbal balik, karena nilai ini digunakan ketika k = -1.
Arti harmonik sederhana digunakan ketika bobot nilai karakteristiknya sama. Rumusnya dapat diturunkan dari rumus dasar dengan mensubstitusi k = -1:
Misalnya, kita perlu menghitung kecepatan rata-rata dua mobil yang menempuh jalan yang sama, tetapi dengan kecepatan yang berbeda: yang pertama dengan kecepatan 100 km/jam, yang kedua dengan kecepatan 90 km/jam.
Dengan menggunakan metode rata-rata harmonik, kami menghitung kecepatan rata-rata:
Dalam praktik statistik, pembobotan harmonik lebih sering digunakan, yang rumusnya adalah:
Rumus ini digunakan dalam kasus di mana bobot (atau volume fenomena) untuk setiap atribut tidak sama. Dalam rasio asli, pembilangnya diketahui untuk menghitung rata-rata, tetapi penyebutnya tidak diketahui.
Misalnya, ketika menghitung harga rata-rata, kita harus menggunakan rasio jumlah yang terjual dengan jumlah unit yang terjual. Kita tidak tahu jumlah unit yang terjual (kita berbicara tentang barang yang berbeda), tetapi kita tahu jumlah penjualan barang yang berbeda ini.
Misalkan Anda ingin mengetahui harga rata-rata barang yang dijual:
Kita mendapatkan
Jika Anda menggunakan rumus rata-rata aritmatika di sini, Anda bisa mendapatkan harga rata-rata yang tidak realistis:
Rata-rata geometris. Paling sering, rata-rata geometris menemukan penerapannya dalam menentukan tingkat pertumbuhan rata-rata (tingkat pertumbuhan rata-rata), ketika nilai-nilai individu dari sifat tersebut disajikan sebagai nilai relatif. Ini juga digunakan jika perlu untuk menemukan rata-rata antara nilai minimum dan maksimum suatu karakteristik (misalnya, antara 100 dan 1000000). Ada rumus untuk mean geometrik sederhana dan tertimbang.
Untuk mean geometrik sederhana:
Untuk mean geometrik tertimbang:
RM. Ruang lingkup utama penerapannya adalah pengukuran variasi suatu sifat dalam populasi (perhitungan standar deviasi).
Rumus kuadrat rata-rata akar sederhana:
Rumus kuadrat rata-rata tertimbang:
(5.11)
Akibatnya, kita dapat mengatakan bahwa solusi yang berhasil dari masalah penelitian statistik tergantung pada pilihan yang tepat dari jenis nilai rata-rata dalam setiap kasus tertentu.
Pilihan rata-rata mengasumsikan urutan berikut:
a) penetapan indikator generalisasi populasi;
b) penentuan rasio nilai matematis untuk indikator generalisasi yang diberikan;
c) penggantian nilai individu dengan nilai rata-rata;
d) perhitungan rata-rata menggunakan persamaan yang sesuai.
