Sederhananya, ini adalah sayuran yang dimasak dalam air sesuai resep khusus. Saya akan mempertimbangkan dua komponen awal (salad sayuran dan air) dan hasil akhirnya - borscht. Secara geometris, dapat digambarkan sebagai persegi panjang, dengan satu sisi melambangkan selada dan sisi lainnya melambangkan air. Jumlah kedua sisi ini akan menunjukkan borscht. Diagonal dan luas persegi panjang “borscht” adalah konsep matematika murni dan tidak pernah digunakan dalam resep borscht.
Bagaimana selada dan air berubah menjadi borscht dari sudut pandang matematika? Bagaimana cara menjumlahkan dua ruas garis menjadi trigonometri? Untuk memahami hal ini, kita memerlukan fungsi sudut linier.
Anda tidak akan menemukan apa pun tentang fungsi sudut linier di buku teks matematika. Tapi tanpa mereka tidak akan ada matematika. Hukum matematika, seperti hukum alam, bekerja terlepas dari apakah kita mengetahui keberadaannya atau tidak.
Fungsi sudut linier adalah hukum penjumlahan. Lihat bagaimana aljabar berubah menjadi geometri dan geometri berubah menjadi trigonometri.
Apakah mungkin dilakukan tanpa fungsi sudut linier? Hal ini mungkin terjadi, karena matematikawan masih dapat melakukannya tanpa mereka. Trik para ahli matematika adalah mereka selalu memberi tahu kita hanya tentang masalah-masalah yang mereka sendiri tahu cara menyelesaikannya, dan tidak pernah membicarakan masalah-masalah yang tidak dapat mereka selesaikan. Lihat. Jika kita mengetahui hasil penjumlahan dan satu suku, kita menggunakan pengurangan untuk mencari suku lainnya. Semua. Kami tidak mengetahui masalah lain dan tidak mengetahui cara menyelesaikannya. Apa yang harus kita lakukan jika kita hanya mengetahui hasil penjumlahan dan tidak mengetahui kedua sukunya? Dalam hal ini, hasil penjumlahan harus didekomposisi menjadi dua suku menggunakan fungsi sudut linier. Selanjutnya, kita sendiri yang memilih salah satu sukunya, dan fungsi sudut linier menunjukkan berapa suku kedua yang seharusnya agar hasil penjumlahannya sesuai dengan yang kita butuhkan. Pasangan suku seperti itu jumlahnya tidak terbatas. Dalam kehidupan sehari-hari, kita baik-baik saja tanpa menguraikan jumlahnya; pengurangan sudah cukup bagi kita. Namun dalam penelitian ilmiah mengenai hukum alam, menguraikan suatu penjumlahan menjadi komponen-komponennya bisa sangat berguna.
Hukum penjumlahan lain yang tidak suka dibicarakan oleh para ahli matematika (trik mereka yang lain) mengharuskan suku-suku tersebut memiliki satuan pengukuran yang sama. Untuk salad, air, dan borscht, ini bisa berupa satuan berat, volume, nilai, atau satuan pengukuran.
Gambar tersebut menunjukkan dua tingkat perbedaan matematika. Tingkat pertama adalah perbedaan dalam bidang angka yang ditunjukkan A, B, C. Inilah yang dilakukan para ahli matematika. Tingkat kedua adalah perbedaan bidang satuan pengukuran, yang ditunjukkan dalam tanda kurung siku dan ditandai dengan huruf kamu. Inilah yang dilakukan fisikawan. Kita dapat memahami tingkat ketiga - perbedaan luas benda yang dideskripsikan. Benda yang berbeda dapat mempunyai jumlah satuan pengukuran yang sama. Betapa pentingnya hal ini dapat kita lihat pada contoh trigonometri borscht. Jika kita menambahkan subskrip ke satuan yang sama untuk objek yang berbeda, kita dapat mengetahui dengan tepat besaran matematis apa yang mendeskripsikan objek tertentu dan bagaimana perubahannya seiring waktu atau karena tindakan kita. Surat W Saya akan menunjuk air dengan surat S Saya akan menunjuk salad dengan surat B- borscht. Seperti inilah fungsi sudut linier untuk borscht.
Jika kita mengambil sebagian air dan sebagian salad, keduanya akan berubah menjadi satu porsi borscht. Di sini saya sarankan Anda beristirahat sejenak dari borscht dan mengingat masa kecil Anda yang jauh. Ingat bagaimana kita diajari untuk menyatukan kelinci dan bebek? Penting untuk mengetahui berapa banyak hewan yang ada. Apa yang diajarkan kepada kita saat itu? Kami diajari untuk memisahkan satuan ukuran dari angka dan menjumlahkan angka. Ya, satu nomor dapat ditambahkan ke nomor lainnya. Ini adalah jalan langsung menuju autisme matematika modern - kita melakukannya dengan tidak dapat dipahami apa, tidak dapat dipahami mengapa, dan sangat kurang memahami bagaimana hal ini berhubungan dengan kenyataan, karena tiga tingkat perbedaan, ahli matematika beroperasi hanya dengan satu tingkat. Akan lebih tepat jika mempelajari cara berpindah dari satu satuan pengukuran ke satuan pengukuran lainnya.
Kelinci, bebek, dan binatang kecil dapat dihitung satu per satu. Satu satuan pengukuran umum untuk objek yang berbeda memungkinkan kita untuk menjumlahkannya. Ini adalah masalah versi anak-anak. Mari kita lihat tugas serupa untuk orang dewasa. Apa yang Anda dapatkan jika menambahkan kelinci dan uang? Ada dua kemungkinan solusi di sini.
Pilihan pertama. Kami menentukan nilai pasar kelinci dan menambahkannya ke jumlah uang yang tersedia. Kami mendapatkan nilai total kekayaan kami dalam bentuk uang.
Pilihan kedua. Anda dapat menambahkan jumlah kelinci ke jumlah uang kertas yang kita miliki. Kami akan menerima sejumlah barang bergerak dalam potongan.
Seperti yang Anda lihat, hukum penjumlahan yang sama memungkinkan Anda mendapatkan hasil yang berbeda. Itu semua tergantung pada apa sebenarnya yang ingin kita ketahui.
Tapi mari kita kembali ke borscht kita. Sekarang kita dapat melihat apa yang akan terjadi pada nilai sudut yang berbeda dari fungsi sudut linier.
Sudutnya nol. Kami punya salad, tapi tidak ada air. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht juga nol. Ini tidak berarti bahwa nol borscht sama dengan nol air. Tidak ada borscht dengan nol salad (sudut kanan).
Bagi saya pribadi, ini adalah bukti matematis utama dari fakta bahwa . Nol tidak mengubah angka ketika dijumlahkan. Hal ini terjadi karena penjumlahan sendiri tidak mungkin dilakukan jika hanya ada satu suku dan suku kedua tidak ada. Anda dapat merasakan hal ini sesuka Anda, tetapi ingat - semua operasi matematika dengan nol ditemukan oleh ahli matematika sendiri, jadi buang logika Anda dan dengan bodohnya menjejalkan definisi yang ditemukan oleh ahli matematika: "pembagian dengan nol tidak mungkin", "bilangan apa pun dikalikan dengan nol sama dengan nol”, “di luar titik tusukan nol” dan omong kosong lainnya. Cukup diingat sekali bahwa nol bukanlah suatu bilangan, dan anda tidak akan pernah lagi mempertanyakan apakah nol itu bilangan asli atau bukan, karena pertanyaan seperti itu kehilangan maknanya: bagaimana sesuatu yang bukan bilangan dapat dianggap suatu bilangan? ? Ini seperti menanyakan warna apa yang harus diklasifikasikan sebagai warna yang tidak terlihat. Menambah angka nol pada suatu angka sama saja dengan mengecat dengan cat yang tidak ada. Kami melambaikan kuas kering dan memberi tahu semua orang bahwa “kami melukis”. Tapi saya ngelantur sedikit.
Sudutnya lebih besar dari nol tetapi kurang dari empat puluh lima derajat. Kami punya banyak selada, tapi airnya tidak cukup. Hasilnya, kita akan mendapatkan borscht yang kental.
Sudutnya empat puluh lima derajat. Kami memiliki jumlah air dan salad yang sama. Ini borscht yang sempurna (maafkan saya, koki, ini hanya matematika).
Sudutnya lebih besar dari empat puluh lima derajat, tetapi kurang dari sembilan puluh derajat. Kami punya banyak air dan sedikit salad. Anda akan mendapatkan borscht cair.
Sudut kanan. Kami punya air. Yang tersisa dari salad tersebut hanyalah kenangan, saat kami terus mengukur sudut dari garis yang pernah menandai salad tersebut. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht adalah nol. Dalam hal ini, tunggu dan minumlah air selagi Anda meminumnya)))
Di Sini. Sesuatu seperti ini. Saya dapat menceritakan kisah-kisah lain di sini yang lebih dari pantas di sini.
Dua orang teman mempunyai saham dalam bisnis yang sama. Setelah membunuh salah satu dari mereka, semuanya berpindah ke yang lain.
Munculnya matematika di planet kita.
Semua cerita ini diceritakan dalam bahasa matematika menggunakan fungsi sudut linier. Di lain waktu saya akan menunjukkan kepada Anda kedudukan sebenarnya dari fungsi-fungsi ini dalam struktur matematika. Sementara itu, mari kembali ke trigonometri borscht dan pertimbangkan proyeksinya.
Sabtu, 26 Oktober 2019
Rabu, 7 Agustus 2019
Mengakhiri pembicaraan tentang, kita perlu mempertimbangkan himpunan tak terhingga. Intinya adalah bahwa konsep “tak terhingga” mempengaruhi ahli matematika seperti ular boa mempengaruhi kelinci. Kengerian yang menggetarkan akan ketidakterbatasan menghilangkan akal sehat para matematikawan. Berikut ini contohnya:
Sumber aslinya berada. Alpha adalah singkatan dari bilangan real. Tanda sama dengan pada ekspresi di atas menunjukkan bahwa jika Anda menambahkan angka atau tak terhingga ke tak terhingga, tidak ada yang berubah, hasilnya akan sama tak terhingga. Jika kita mengambil himpunan bilangan asli tak hingga sebagai contoh, maka contoh yang dipertimbangkan dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:
Untuk membuktikan dengan jelas bahwa mereka benar, ahli matematika menemukan banyak metode berbeda. Secara pribadi, saya melihat semua metode ini sebagai dukun yang menari dengan rebana. Pada dasarnya, semuanya bermuara pada fakta bahwa beberapa kamar kosong dan ada tamu baru yang pindah, atau beberapa pengunjung dibuang ke koridor untuk memberi ruang bagi tamu (sangat manusiawi). Saya memaparkan pandangan saya tentang keputusan tersebut dalam bentuk cerita fantasi tentang si Pirang. Berdasarkan apa alasan saya? Merelokasi pengunjung dalam jumlah tak terbatas membutuhkan waktu yang tak terbatas. Setelah kita mengosongkan kamar pertama untuk seorang tamu, salah satu pengunjung akan selalu berjalan menyusuri koridor dari kamarnya ke kamar berikutnya hingga akhir zaman. Tentu saja faktor waktu bisa saja diabaikan begitu saja, namun hal ini akan masuk dalam kategori “tidak ada undang-undang yang ditulis untuk orang bodoh”. Itu semua tergantung pada apa yang kita lakukan: menyesuaikan kenyataan dengan teori matematika atau sebaliknya.
Apa itu “hotel tanpa akhir”? Hotel tak terhingga adalah hotel yang selalu mempunyai jumlah tempat tidur kosong berapa pun, berapa pun jumlah kamar yang ditempati. Jika semua ruangan di koridor "pengunjung" tak berujung terisi, ada koridor tak berujung lainnya dengan kamar "tamu". Jumlah koridor seperti itu tidak terbatas. Terlebih lagi, “hotel tanpa batas” memiliki jumlah lantai yang tidak terbatas pada jumlah bangunan yang tidak terbatas pada jumlah planet yang tidak terbatas dalam jumlah alam semesta yang tidak terbatas yang diciptakan oleh Dewa yang jumlahnya tidak terbatas. Matematikawan tidak bisa menjauhkan diri dari permasalahan sehari-hari yang dangkal: selalu hanya ada satu Tuhan-Allah-Buddha, hanya ada satu hotel, hanya ada satu koridor. Jadi para ahli matematika mencoba mengatur nomor seri kamar hotel, meyakinkan kita bahwa “mendorong hal-hal yang mustahil” adalah mungkin.
Saya akan menunjukkan kepada Anda logika alasan saya menggunakan contoh himpunan bilangan asli tak terhingga. Pertama, Anda perlu menjawab pertanyaan yang sangat sederhana: ada berapa himpunan bilangan asli - satu atau banyak? Tidak ada jawaban yang benar untuk pertanyaan ini, karena kita sendiri yang menemukan angka; angka tidak ada di Alam. Ya, Alam sangat pandai berhitung, tetapi untuk ini ia menggunakan alat matematika lain yang tidak kita kenal. Saya akan memberi tahu Anda apa yang dipikirkan Alam lain kali. Sejak kita menemukan bilangan, kita sendiri yang akan memutuskan berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada. Mari kita pertimbangkan kedua pilihan tersebut, sebagaimana layaknya ilmuwan sejati.
Opsi satu. “Mari kita diberikan” satu set bilangan asli, yang terletak dengan tenang di rak. Kami mengambil set ini dari rak. Itu saja, tidak ada bilangan asli lain yang tersisa di rak dan tidak ada tempat untuk membawanya. Kami tidak dapat menambahkan satu pun ke set ini, karena kami sudah memilikinya. Bagaimana jika Anda benar-benar menginginkannya? Tidak masalah. Kita dapat mengambil satu dari set yang telah kita ambil dan mengembalikannya ke rak. Setelah itu, kita dapat mengambil satu dari rak dan menambahkannya ke sisa yang tersisa. Hasilnya, kita kembali mendapatkan himpunan bilangan asli tak terhingga. Anda dapat menuliskan semua manipulasi kami seperti ini:
Saya menuliskan tindakan dalam notasi aljabar dan notasi teori himpunan, dengan daftar rinci elemen-elemen himpunan. Subskrip menunjukkan bahwa kita mempunyai satu-satunya himpunan bilangan asli. Ternyata himpunan bilangan asli tidak akan berubah hanya jika bilangan tersebut dikurangi satu dan ditambah satuan yang sama.
Opsi dua. Kami memiliki banyak himpunan bilangan asli tak terhingga yang berbeda di rak kami. Saya tekankan - BERBEDA, meskipun faktanya keduanya praktis tidak dapat dibedakan. Mari kita ambil salah satu dari set ini. Kemudian kita ambil satu dari himpunan bilangan asli yang lain dan menjumlahkannya ke himpunan yang telah kita ambil. Kita bahkan dapat menjumlahkan dua himpunan bilangan asli. Inilah yang kami dapatkan:
Subskrip "satu" dan "dua" menunjukkan bahwa unsur-unsur ini termasuk dalam himpunan yang berbeda. Ya, kalau dijumlahkan satu ke himpunan tak hingga, hasilnya juga himpunan tak hingga, tapi tidak akan sama dengan himpunan aslinya. Jika Anda menambahkan himpunan tak hingga lainnya ke satu himpunan tak hingga, hasilnya adalah himpunan tak hingga baru yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan pertama.
Himpunan bilangan asli digunakan untuk menghitung dengan cara yang sama seperti penggaris untuk mengukur. Sekarang bayangkan Anda menambahkan satu sentimeter pada penggaris. Ini akan menjadi garis yang berbeda, tidak sama dengan garis aslinya.
Anda dapat menerima atau tidak menerima alasan saya - itu urusan Anda sendiri. Namun jika Anda pernah menghadapi masalah matematika, pikirkan apakah Anda mengikuti jalur penalaran salah yang telah dilakukan oleh generasi ahli matematika. Lagi pula, mempelajari matematika, pertama-tama, membentuk stereotip berpikir yang stabil dalam diri kita, dan baru kemudian menambah kemampuan mental kita (atau, sebaliknya, menghilangkan kebebasan berpikir kita).
pozg.ru
Minggu, 4 Agustus 2019
Saya sedang menyelesaikan catatan tambahan untuk sebuah artikel tentang dan melihat teks indah ini di Wikipedia:
Kita membaca: "... landasan teori yang kaya dari matematika Babel tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi seperangkat teknik yang berbeda, tanpa sistem dan basis bukti yang sama."
Wow! Seberapa pintar kita dan seberapa baik kita bisa melihat kekurangan orang lain. Apakah sulit bagi kita untuk melihat matematika modern dalam konteks yang sama? Sedikit memparafrasekan teks di atas, saya pribadi mendapatkan yang berikut:
Landasan teori matematika modern yang kaya tidak bersifat holistik dan direduksi menjadi sekumpulan bagian yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti.
Saya tidak akan mengkonfirmasi kata-kata saya jauh-jauh - ia memiliki bahasa dan konvensi yang berbeda dari bahasa dan konvensi banyak cabang matematika lainnya. Nama yang sama pada cabang matematika yang berbeda dapat mempunyai arti yang berbeda. Saya ingin mengabdikan seluruh rangkaian publikasi untuk kesalahan paling nyata dalam matematika modern. Sampai berjumpa lagi.
Sabtu, 3 Agustus 2019
Bagaimana cara membagi suatu himpunan menjadi himpunan bagian? Untuk melakukan ini, Anda perlu memasukkan satuan pengukuran baru yang ada di beberapa elemen himpunan yang dipilih. Mari kita lihat sebuah contoh.
Semoga kita punya banyak A terdiri dari empat orang. Himpunan ini dibentuk atas dasar “orang.” Mari kita nyatakan unsur-unsur himpunan ini dengan huruf A, subskrip dengan nomor akan menunjukkan nomor seri setiap orang dalam kumpulan ini. Mari kita perkenalkan unit pengukuran baru "gender" dan nyatakan dengan huruf B. Karena karakteristik seksual melekat pada semua orang, kami mengalikan setiap elemen dari himpunan tersebut A berdasarkan jenis kelamin B. Perhatikan bahwa kumpulan “orang” kita kini telah menjadi kumpulan “orang dengan karakteristik gender”. Setelah ini kita bisa membagi ciri-ciri seksual menjadi laki-laki bm dan wanita bw karakteristik seksual. Sekarang kita dapat menerapkan filter matematis: kita memilih salah satu dari karakteristik seksual ini, tidak peduli yang mana - pria atau wanita. Kalau ada orang, maka kita kalikan dengan satu, jika tidak ada tandanya, kita kalikan dengan nol. Dan kemudian kami menggunakan matematika sekolah biasa. Lihat apa yang terjadi.
Setelah perkalian, reduksi, dan penataan ulang, kita mendapatkan dua himpunan bagian: himpunan bagian laki-laki Bm dan sebagian perempuan Bw. Para matematikawan bernalar dengan cara yang kira-kira sama ketika mereka menerapkan teori himpunan dalam praktik. Namun mereka tidak memberi tahu kita rinciannya, namun memberi kita hasil akhirnya - “banyak orang terdiri dari sebagian laki-laki dan sebagian perempuan.” Tentu saja, Anda mungkin mempunyai pertanyaan: seberapa benar penerapan matematika dalam transformasi yang diuraikan di atas? Saya berani meyakinkan Anda bahwa pada hakikatnya transformasi telah dilakukan dengan benar, cukup mengetahui dasar matematika aritmatika, aljabar Boolean dan cabang matematika lainnya. Apa itu? Lain kali saya akan menceritakan hal ini kepada Anda.
Sedangkan untuk superset, Anda dapat menggabungkan dua himpunan menjadi satu superset dengan memilih satuan ukuran yang ada pada elemen kedua himpunan tersebut.
Seperti yang Anda lihat, satuan pengukuran dan matematika biasa menjadikan teori himpunan sebagai peninggalan masa lalu. Tanda bahwa teori himpunan tidak berjalan baik adalah para ahli matematika telah menciptakan bahasa dan notasi mereka sendiri untuk teori himpunan. Matematikawan pernah bertindak seperti dukun. Hanya dukun yang tahu bagaimana menerapkan “pengetahuan” mereka dengan “benar”. Mereka mengajari kita “pengetahuan” ini.
Sebagai kesimpulan, saya ingin menunjukkan kepada Anda bagaimana ahli matematika memanipulasi.
Senin, 7 Januari 2019
Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporianya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia “Achilles dan Kura-kura”. Berikut bunyinya:
Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut hingga hari ini; komunitas ilmiah belum dapat mencapai konsensus tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru dilibatkan dalam studi masalah ini ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.
Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya pahami, peralatan matematika untuk menggunakan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika biasa membawa kita ke dalam jebakan. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.
Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”
Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:
Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.
Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ini bukanlah solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan menyelesaikan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.
Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:
Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.
Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke sebuah mobil, Anda memerlukan dua buah foto yang diambil dari titik ruang yang berbeda pada satu titik waktu, namun dari foto tersebut Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakannya (tentunya Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungannya, trigonometri akan membantu Anda ). Yang ingin saya tarik perhatian khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan, karena keduanya memberikan peluang penelitian yang berbeda.
Saya akan menunjukkan prosesnya dengan sebuah contoh. Kami memilih "padat merah dalam jerawat" - ini adalah "keseluruhan" kami. Pada saat yang sama, kita melihat bahwa benda-benda ini ada yang memiliki busur, dan ada yang tidak memiliki busur. Setelah itu, kita pilih bagian dari “keseluruhan” dan membentuk satu set “dengan busur”. Beginilah cara dukun mendapatkan makanannya dengan mengaitkan teori himpunan mereka dengan kenyataan.
Sekarang mari kita lakukan sedikit trik. Mari kita ambil "padat dengan jerawat dengan busur" dan gabungkan "keseluruhan" ini menurut warna, pilih elemen merah. Kami mendapat banyak "merah". Sekarang pertanyaan terakhir: apakah himpunan yang dihasilkan “dengan busur” dan “merah” merupakan himpunan yang sama atau dua himpunan berbeda? Hanya dukun yang tahu jawabannya. Lebih tepatnya, mereka sendiri tidak tahu apa-apa, tetapi seperti yang mereka katakan, memang begitulah adanya.
Contoh sederhana ini menunjukkan bahwa teori himpunan sama sekali tidak berguna jika dikaitkan dengan kenyataan. Apa rahasianya? Kami membentuk satu set "padatan merah dengan jerawat dan busur". Pembentukannya terjadi dalam empat satuan ukuran yang berbeda: warna (merah), kekuatan (padat), kekasaran (berjerawat), hiasan (dengan busur). Hanya seperangkat satuan pengukuran yang memungkinkan kita mendeskripsikan objek nyata secara memadai dalam bahasa matematika. Seperti inilah tampilannya.
Huruf "a" dengan indeks berbeda menunjukkan satuan pengukuran yang berbeda. Unit pengukuran yang membedakan "keseluruhan" pada tahap awal ditandai dalam tanda kurung. Satuan ukuran yang digunakan untuk membentuk himpunan dikeluarkan dari tanda kurung. Baris terakhir menunjukkan hasil akhir - elemen himpunan. Seperti yang Anda lihat, jika kita menggunakan satuan pengukuran untuk membentuk suatu himpunan, maka hasilnya tidak bergantung pada urutan tindakan kita. Dan ini matematika, dan bukan tarian dukun dengan rebana. Dukun dapat “secara intuitif” mendapatkan hasil yang sama, dengan alasan bahwa hal tersebut “jelas”, karena satuan pengukuran bukanlah bagian dari persenjataan “ilmiah” mereka.
Dengan menggunakan satuan ukuran, sangat mudah untuk membagi satu set atau menggabungkan beberapa set menjadi satu superset. Mari kita lihat lebih dekat aljabar dari proses ini.
Kuliah: Sinus, cosinus, tangen, kotangen dari sudut sembarang
Sinus, kosinus dari sudut sembarang
Untuk memahami apa itu fungsi trigonometri, mari kita lihat lingkaran yang berjari-jari satuan. Lingkaran ini mempunyai pusat di titik asal pada bidang koordinat. Untuk menentukan fungsi yang diberikan kita akan menggunakan vektor radius ATAU, yang dimulai dari pusat lingkaran, dan titik R adalah sebuah titik pada lingkaran. Vektor jari-jari ini membentuk sudut alfa dengan sumbu OH. Karena lingkaran mempunyai jari-jari sama dengan satu, maka ATAU = R = 1.
Jika dari intinya R turunkan tegak lurus terhadap sumbu OH, maka kita mendapatkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan satu.
Jika vektor jari-jari bergerak searah jarum jam, maka arah tersebut disebut negatif, jika bergerak berlawanan arah jarum jam - positif.
Sinus sudut ATAU, adalah ordinat titik tersebut R vektor pada lingkaran.
Artinya, untuk memperoleh nilai sinus suatu sudut alfa tertentu, perlu ditentukan koordinatnya kamu di permukaan.
Bagaimana nilai ini diperoleh? Karena kita tahu bahwa sinus sudut sembarang dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sisi miring, kita peroleh bahwa
Dan sejak itu R = 1, Itu dosa(α) = kamu 0 .
Dalam lingkaran satuan, nilai ordinatnya tidak boleh kurang dari -1 dan lebih besar dari 1, artinya
Sinus bernilai positif pada kuarter pertama dan kedua lingkaran satuan, dan bernilai negatif pada kuarter ketiga dan keempat.
Kosinus sudut lingkaran tertentu yang dibentuk oleh vektor jari-jari ATAU, adalah absis intinya R vektor pada lingkaran.
Artinya, untuk memperoleh nilai kosinus suatu sudut alfa tertentu, perlu ditentukan koordinatnya X di permukaan.
Kosinus sudut sembarang pada segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring, kita peroleh bahwa
Dan sejak itu R = 1, Itu cos(α) = x 0 .
Pada lingkaran satuan nilai absisnya tidak boleh kurang dari -1 dan lebih besar dari 1 yang artinya
Kosinus bernilai positif pada kuarter pertama dan keempat lingkaran satuan, dan bernilai negatif pada kuarter kedua dan ketiga.
Garis singgungsudut sewenang-wenang Rasio sinus terhadap kosinus dihitung.
Jika kita menganggap segitiga siku-siku, maka ini adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Jika kita berbicara tentang lingkaran satuan, maka ini adalah perbandingan ordinat terhadap absis.
Dilihat dari hubungan tersebut, dapat dipahami bahwa garis singgung tidak akan ada jika nilai absisnya nol, yaitu membentuk sudut 90 derajat. Garis singgung dapat mengambil semua nilai lainnya.
Garis singgungnya positif pada kuartal pertama dan ketiga lingkaran satuan, dan negatif pada kuartal kedua dan keempat.
Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah sumbu positif (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari).
Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sumbu dan koordinat sumbu. Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Pertimbangkan sebuah segitiga. Berbentuk persegi panjang karena tegak lurus terhadap sumbunya.
Segitiga itu sama dengan apa? Itu benar. Selain itu kita mengetahui bahwa itu adalah jari-jari lingkaran satuan yang artinya . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:
Segitiga itu sama dengan apa? Tentu saja! Gantikan nilai radius ke dalam rumus ini dan dapatkan:
Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik yang termasuk dalam lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadarinya dan itu hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai? Tentu saja koordinatnya! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Benar, koordinat! Jadi, titik.
Lalu apa yang dimaksud dan disamakan? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai dari tangen dan kotangen dan dapatkan, a.
Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:
Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga siku-siku: sudut (yang berdekatan dengan sudut). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:
Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.
Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah sumbu positif. Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.
Jadi, kita mengetahui bahwa seluruh putaran vektor jari-jari mengelilingi lingkaran adalah atau. Apakah mungkin untuk memutar vektor jari-jari ke atau ke? Ya, tentu saja bisa! Oleh karena itu, dalam kasus pertama, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.
Dalam kasus kedua, yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.
Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar atau (jika ada bilangan bulat) berhubungan dengan posisi vektor jari-jari yang sama.
Gambar di bawah menunjukkan sebuah sudut. Gambar yang sama berhubungan dengan sudut, dll. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum atau (dimana bilangan bulatnya)
Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:
Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:
Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:
Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut di berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat, oleh karena itu:
Tidak ada;
Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudut di masing-masing bersesuaian dengan titik-titik dengan koordinat. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.
Jawaban:
Tidak ada
Tidak ada
Tidak ada
Tidak ada
Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:
Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:
Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan pada tabel di bawah, harus diingat:
Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan satu contohnya cukup sederhana untuk mengingat nilai-nilai yang sesuai:
Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, memulihkan seluruh tabel cukup sederhana - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:
Mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya. Pembilang " " akan cocok dan penyebut " " akan cocok. Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat semua nilai dari tabel.
Koordinat suatu titik pada lingkaran
Apakah mungkin menemukan suatu titik (koordinatnya) pada lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya dan sudut putarannya?
Ya, tentu saja bisa! Mari kita keluarkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik.
Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:
Diketahui bahwa titik adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Koordinat suatu titik perlu dicari dengan memutar titik tersebut sebesar derajat.
Terlihat dari gambar, koordinat titik sesuai dengan panjang ruas. Panjang ruas sesuai dengan koordinat pusat lingkaran, yaitu sama. Panjang suatu segmen dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:
Lalu kita punya itu untuk koordinat titik.
Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik tersebut. Dengan demikian,
Jadi, secara umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:
Koordinat pusat lingkaran,
Jari-jari lingkaran,
Sudut rotasi jari-jari vektor.
Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:
Baiklah, mari kita coba rumus-rumus tersebut dengan berlatih mencari titik pada lingkaran?
1. Temukan koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.
2. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.
3. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.
4. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.
5. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.
Kesulitan mencari koordinat suatu titik pada lingkaran?
Pecahkan lima contoh ini (atau jadilah ahli dalam memecahkannya) dan Anda akan belajar menemukannya!
1.
Anda bisa memperhatikannya. Tapi kita tahu apa yang berhubungan dengan revolusi penuh dari titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:
2. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:
Anda bisa memperhatikannya. Kita tahu apa yang berhubungan dengan dua putaran penuh pada titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:
Sinus dan kosinus adalah nilai tabel. Kami mengingat maknanya dan mendapatkan:
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
3. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:
Anda bisa memperhatikannya. Mari kita gambarkan contoh yang dimaksud pada gambar:
Jari-jari membuat sudut sama dengan dan terhadap sumbu. Mengetahui bahwa nilai tabel cosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahwa kosinus di sini bernilai negatif dan sinus bernilai positif, kita memperoleh:
Contoh-contoh tersebut dibahas lebih rinci ketika mempelajari rumus-rumus pengurangan fungsi trigonometri pada topik.
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
4.
Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi)
Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang bersesuaian, kita membuat lingkaran dan sudut satuan:
Seperti yang Anda lihat, nilainya positif, dan nilainya negatif. Mengetahui nilai tabel dari fungsi trigonometri yang bersesuaian, kita memperoleh bahwa:
Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus kita dan temukan koordinatnya:
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan rumus dalam bentuk umum, dimana
Koordinat pusat lingkaran (dalam contoh kita,
Jari-jari lingkaran (sesuai syarat)
Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi).
Mari kita substitusikan semua nilai ke dalam rumus dan dapatkan:
dan - nilai tabel. Mari kita ingat dan substitusikan ke dalam rumus:
Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.
RINGKASAN DAN FORMULA DASAR
Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (jauh) dengan sisi miring.
Kosinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.
Garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).
Kotangen suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan (dekat) dengan sisi yang berhadapan (jauh).
Mari kita mengingat kembali pelajaran matematika sekolah dan membahas tentang apa itu garis singgung dan cara mencari garis singgung suatu sudut. Pertama, mari kita definisikan apa yang disebut garis singgung. Pada segitiga siku-siku, garis singgung suatu sudut lancip adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Kaki yang berdekatan adalah kaki yang ikut serta dalam pembentukan sudut, kaki yang berhadapan adalah kaki yang letaknya berhadapan dengan sudut.
Selain itu, garis singgung sudut lancip adalah perbandingan sinus sudut tersebut dengan kosinusnya. Untuk memahaminya, mari kita ingat kembali apa itu sinus dan kosinus suatu sudut. Sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring, cosinus adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring.
Ada juga kotangen, kebalikan dari garis singgung. Kotangen adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan dan, dengan demikian, perbandingan kosinus sudut terhadap sinusnya.
Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen adalah fungsi trigonometri suatu sudut; keduanya menunjukkan hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga serta membantu menghitung sisi-sisi segitiga.
Hitung garis singgung sudut lancip
Bagaimana cara mencari garis singgung segitiga? Agar tidak membuang waktu mencari garis singgung, Anda dapat menemukan tabel khusus yang menunjukkan fungsi trigonometri banyak sudut. Dalam soal geometri sekolah, sudut tertentu sangat umum, dan guru diminta untuk menghafalkan nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangennya. Kami menawarkan Anda piring kecil dengan nilai sudut yang diperlukan.
Jika sudut yang ingin dicari garis singgungnya tidak disajikan dalam tabel ini, maka Anda dapat menggunakan dua rumus yang telah kami sajikan di atas dalam bentuk verbal.
Cara menghitung garis singgung suatu sudut yang pertama adalah dengan membagi panjang kaki yang berhadapan dengan panjang kaki yang berdekatan. Katakanlah sisi seberangnya adalah 4, dan sisi yang berdekatan adalah 8. Untuk mencari garis singgungnya, Anda memerlukan 4:8. Garis singgung sudutnya adalah ½ atau 0,5.
Cara kedua untuk menghitung tangen adalah dengan membagi nilai sinus suatu sudut dengan nilai kosinusnya. Misalnya kita diberi sudut 45 derajat. Dosanya = akar dua dibagi dua; cosnya sama dengan bilangan yang sama. Sekarang kita membagi sinus dengan cosinus dan mendapatkan garis singgung yang sama dengan satu.
Kebetulan Anda perlu menggunakan rumus ini, tetapi hanya satu elemen yang diketahui - baik sinus atau kosinus. Dalam hal ini, akan berguna untuk mengingat rumusnya
sin2 α + cos2 α = 1. Ini adalah identitas dasar trigonometri. Dengan menyatakan unsur yang tidak diketahui dalam unsur yang diketahui, Anda dapat mengetahui maknanya. Dan mengetahui sinus dan kosinus, tidak sulit mencari garis singgungnya.
Dan jika geometri jelas bukan panggilan Anda, tetapi Anda masih perlu mengerjakan pekerjaan rumah Anda, Anda dapat menggunakan kalkulator online untuk menghitung garis singgung suatu sudut.
Kami telah memberi tahu Anda menggunakan contoh sederhana cara mencari garis singgung. Namun, kondisi tugas bisa jadi lebih sulit dan tidak selalu mungkin untuk mengetahui semua data yang diperlukan dengan cepat. Dalam hal ini, teorema Pythagoras dan berbagai fungsi trigonometri akan membantu Anda.
Tabel berisi nilai tangen dari 0° hingga 360°.
Tabel garis singgung diperlukan jika Anda tidak memiliki kalkulator. Untuk mengetahui apa itu garis singgung suatu sudut, lihat saja pada tabel. Pertama, versi singkat dari tabel:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov - uchim.org
Tabel singgung untuk 0°-180°
|
|
|
Tabel singgung 180° - 360°
|
|
|
Berikut juga tabel fungsi trigonometri geometri: tabel sinus, tabel kosinus, dan tabel kotangen.
Semuanya untuk dipelajari » Matematika di sekolah » Tabel garis singgung sudut (sudut, nilai)
Untuk menandai halaman, tekan Ctrl+D.
Grup dengan banyak informasi berguna (berlangganan jika Anda memiliki Ujian Negara Bersatu atau Ujian Negara Bersatu):
Tanda-tanda fungsi trigonometri
Tanda fungsi trigonometri hanya bergantung pada kuadran koordinat tempat argumen numerik berada.
Terakhir kali kita belajar mengubah argumen dari ukuran radian menjadi ukuran derajat (lihat pelajaran “Radian dan ukuran derajat suatu sudut”), dan kemudian menentukan seperempat koordinat yang sama. Sekarang mari kita tentukan tanda sinus, cosinus dan tangen.
sudut α adalah ordinat (koordinat y) suatu titik pada lingkaran trigonometri yang terjadi jika jari-jarinya diputar sudut α.
sudut α adalah absis (koordinat x) suatu titik pada lingkaran trigonometri yang terjadi jika jari-jarinya diputar sudut α.
sudut α adalah perbandingan sinus dan cosinus.
Atau yang sama saja perbandingan koordinat y dengan koordinat x.
Notasi: sin α = y ; karena α = x ; tg α = y: x .
Semua definisi ini familiar bagi Anda dari aljabar sekolah menengah. Namun, kami tidak tertarik pada definisi itu sendiri, tetapi pada konsekuensi yang timbul pada lingkaran trigonometri. Lihatlah:
Warna biru menunjukkan arah positif sumbu OY (sumbu ordinat), warna merah menunjukkan arah positif sumbu OX (sumbu absis).
Pada "radar" ini tanda-tanda fungsi trigonometri menjadi jelas. Secara khusus:
- sin α > 0 jika sudut α terletak pada kuadran koordinat I atau II. Hal ini karena menurut definisi, sinus adalah suatu ordinat (koordinat y).
Dan koordinat y akan bernilai positif tepatnya pada kuarter koordinat I dan II;
- cos α > 0, jika sudut α terletak pada kuadran koordinat 1 atau 4. Karena hanya di sana koordinat x (alias absis) akan lebih besar dari nol;
- tan α > 0 jika sudut α terletak pada kuadran koordinat I atau III. Berikut definisinya: lagipula, tan α = y: x, oleh karena itu bernilai positif hanya jika tanda x dan y berimpit.
Hal ini terjadi pada kuarter koordinat pertama (di sini x > 0, y > 0) dan kuarter koordinat ketiga (x< 0, y < 0).
Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan tanda-tanda setiap fungsi trigonometri - sinus, kosinus, dan tangen - pada "radar" yang terpisah. Kami mendapatkan gambar berikut:
Catatan: dalam diskusi saya, saya tidak pernah berbicara tentang fungsi trigonometri keempat - kotangen.
Faktanya adalah bahwa tanda-tanda kotangen bertepatan dengan tanda-tanda tangen - tidak ada aturan khusus di sana.
Sekarang saya mengusulkan untuk mempertimbangkan contoh yang mirip dengan soal B11 dari uji coba Ujian Negara Bersatu matematika, yang berlangsung pada tanggal 27 September 2011. Bagaimanapun, cara terbaik untuk memahami teori adalah dengan praktik. Disarankan untuk banyak berlatih. Tentu saja, kondisi pelaksanaan tugas sedikit berubah.
Tugas. Tentukan tanda-tanda fungsi dan ekspresi trigonometri (nilai fungsi itu sendiri tidak perlu dihitung):
- dosa(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Rencana tindakannya adalah ini: pertama-tama kita ubah semua sudut dari ukuran radian ke derajat (π → 180°), lalu lihat di seperempat koordinat mana angka yang dihasilkan berada.
Mengetahui tempat tinggalnya, kita dapat dengan mudah menemukan tanda-tandanya - sesuai dengan aturan yang baru saja dijelaskan. Kita punya:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Karena 135° ∈ , ini merupakan sudut dari kuadran koordinat II. Namun sinus pada kuarter kedua adalah positif, jadi sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Karena 210° ∈ , ini adalah sudut dari kuadran koordinat ketiga, yang semua kosinusnya negatif.
Oleh karena itu cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Sejak 300° ∈ , kita berada pada kuarter IV, dimana garis singgung bernilai negatif. Oleh karena itu tan (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Mari kita bahas sinusnya: karena 135° ∈ , ini adalah kuarter kedua yang sinusnya positif, yaitu.
sin (3π/4) > 0. Sekarang kita mengerjakan cosinus: 150° ∈ - lagi-lagi kuartal kedua, cosinusnya negatif. Oleh karena itu cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Kita lihat cosinusnya: 120° ∈ adalah koordinat seperempat II, jadi cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Garis singgungnya positif, jadi tan (π/4) > 0. Sekali lagi kita mendapatkan hasil kali yang faktor-faktornya mempunyai tanda berbeda. Karena “minus dengan plus menghasilkan minus”, kita mendapatkan: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Kita bekerja dengan sinus: sejak 150° ∈ , kita berbicara tentang kuarter koordinat II, yang sinusnya positif.
Oleh karena itu, sin (5π/6) > 0. Demikian pula, 315° ∈ adalah seperempat koordinat IV, kosinusnya positif.
Oleh karena itu cos (7π/4) > 0. Kita memperoleh hasil kali dua bilangan positif - ekspresi seperti itu selalu positif. Kita simpulkan: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°.
Tetapi sudut 135° ∈ adalah kuarter kedua, yaitu. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Karena “minus dengan plus memberikan tanda minus”, kita mendapatkan: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Kita melihat argumen kotangen: 240° ∈ adalah kuarter koordinat III, oleh karena itu ctg (4π/3) > 0. Demikian pula, untuk garis singgung yang kita miliki: 30° ∈ adalah kuarter koordinat I, yaitu. sudut paling sederhana. Oleh karena itu tan (π/6) > 0. Sekali lagi kita mempunyai dua ekspresi positif - hasil kali keduanya juga positif.
Oleh karena itu cot (4π/3) tg (π/6) > 0.
Terakhir, mari kita lihat beberapa masalah yang lebih kompleks. Selain mencari tahu tanda fungsi trigonometri, Anda juga harus melakukan sedikit perhitungan di sini - persis seperti yang dilakukan pada soal nyata B11. Pada prinsipnya, ini adalah soal-soal yang hampir nyata yang sebenarnya muncul dalam Unified State Examination dalam matematika.
Carilah sin α jika sin2 α = 0,64 dan α ∈ [π/2; π].
Karena sin2 α = 0,64, kita mendapatkan: sin α = ±0,8.
Yang tersisa hanyalah memutuskan: plus atau minus? Dengan syarat, sudut α ∈ [π/2; π] adalah koordinat kuarter II, yang semua sinusnya positif. Akibatnya, sin α = 0,8 - ketidakpastian tanda dihilangkan.
Tugas. Carilah cos α jika cos2 α = 0,04 dan α ∈ [π; 3π/2].
Kami bertindak serupa, mis.
ambil akar kuadrat: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Dengan syarat, sudut α ∈ [π; 3π/2], yaitu Kita berbicara tentang koordinat kuartal ketiga. Semua cosinusnya negatif, jadi cos α = −0.2.
Tugas. Carilah sin α jika sin2 α = 0,25 dan α ∈ .
Kita mempunyai: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5.
Fungsi trigonometri sudut mana pun
Kita lihat sudutnya lagi: α ∈ adalah seperempat koordinat IV, yang seperti kita ketahui, sinusnya akan bernilai negatif. Jadi, kita menyimpulkan: sin α = −0,5.
Tugas. Carilah tan α jika tan2 α = 9 dan α ∈ .
Semuanya sama, hanya garis singgungnya saja.
Ekstrak akar kuadratnya: tan2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Namun menurut kondisi, sudut α ∈ adalah koordinat I kuarter. Semua fungsi trigonometri, termasuk. tangen, ada yang positif, jadi tan α = 3. Selesai!
