Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik dalam daerah definisi fungsi di mana nilai fungsi tersebut bernilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik tersebut disebut ekstrem (minimum dan maksimum) dari fungsi tersebut.

Definisi. Dot X1 domain fungsi F(X) disebut titik maksimum dari fungsi tersebut , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan berlaku F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksimum.

Definisi. Dot X2 domain fungsi F(X) disebut titik minimum dari fungsi tersebut, jika nilai fungsi pada titik ini lebih kecil dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan berlaku F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X2 minimum.

Katakanlah titik X1 - titik maksimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X1 fungsi meningkat, oleh karena itu turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ), dan dalam interval setelahnya X1 fungsinya menurun, oleh karena itu, turunan suatu fungsi kurang dari nol ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Mari kita asumsikan juga hal itu X2 - titik minimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X2 fungsinya menurun, dan turunan fungsinya kurang dari nol ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 fungsinya meningkat, dan turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya X2 turunan fungsi tersebut nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (tanda penting keberadaan ekstrem suatu fungsi). Jika intinya X0 - titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) maka pada titik ini turunan fungsinya sama dengan nol ( F "(X) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik yang turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis .

Contoh 1. Mari kita pertimbangkan fungsinya.

Pada intinya X= 0 turunan fungsinya adalah nol, maka intinya X= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti dapat dilihat pada grafik fungsinya, fungsi tersebut meningkat di seluruh domain definisi, begitu pula intinya X= 0 bukan titik ekstrem dari fungsi ini.

Jadi, kondisi bahwa turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol atau tidak ada merupakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan yang memenuhi kondisi ini, tetapi fungsinya tidak memiliki titik ekstrem pada titik yang bersesuaian. Itu sebabnya harus ada bukti yang cukup, memungkinkan seseorang untuk menilai apakah ada titik ekstrem pada titik kritis tertentu dan jenis ekstrem apa itu - maksimum atau minimum.

Teorema (tanda cukup pertama dari keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis X0 F(X) jika melalui titik ini turunan fungsi tersebut berubah tanda, dan jika tandanya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka itu adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka itu adalah poin minimum.

Jika dekat dengan titik tersebut X0 , di kiri dan kanannya turunan tetap bertanda, artinya fungsi tersebut hanya berkurang atau hanya bertambah di lingkungan titik tertentu. X0 . Dalam hal ini, pada intinya X0 tidak ada yang ekstrim.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut :

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik-titik kritis pada garis bilangan dan tentukan tanda-tanda turunan fungsi pada interval yang dihasilkan. Jika tanda turunannya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka titik minimumnya.
4. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2. Temukan ekstrem dari fungsinya .

Larutan. Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Mari kita samakan turunannya dengan nol untuk mencari titik kritis:

.

Karena untuk setiap nilai “x” penyebutnya tidak sama dengan nol, kita samakan pembilangnya dengan nol:

Ada satu poin penting X= 3 . Mari kita tentukan tanda turunannya pada interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam rentang dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsinya berkurang,

pada selang waktu 3 sampai plus tak terhingga terdapat tanda tambah, yaitu fungsinya bertambah.

Artinya, titik X= 3 adalah poin minimum.

Mari kita cari nilai fungsi pada titik minimum:

Jadi, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0), dan itu adalah titik minimum.

Teorema (tanda cukup kedua dari keberadaan fungsi ekstrem). Titik kritis X0 adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) jika turunan kedua fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( F ""(X) ≠ 0 ), dan jika turunan keduanya lebih besar dari nol ( F ""(X) > 0 ), maka titik maksimumnya, dan jika turunan keduanya kurang dari nol ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Catatan 1. Jika pada intinya X0 Jika turunan pertama dan kedua hilang, maka pada titik ini tidak mungkin menilai keberadaan ekstrem berdasarkan kriteria cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk ekstrem suatu fungsi.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi tidak berlaku meskipun turunan pertama tidak ada pada titik stasioner (maka turunan keduanya juga tidak ada). Dalam hal ini, Anda juga perlu menggunakan tanda cukup pertama dari suatu fungsi ekstrem.

Sifat lokal dari fungsi ekstrem

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa ekstrem suatu fungsi bersifat lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai di dekatnya.

Katakanlah Anda melihat penghasilan Anda selama periode satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel, dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan bulan Mei adalah maksimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Namun pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, jadi penghasilan bulan Oktober adalah minimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa nilai maksimum pada bulan April-Mei-Juni kurang dari nilai minimum pada bulan September-Oktober-November.

Secara umum, pada suatu interval suatu fungsi dapat memiliki beberapa ekstrem, dan mungkin saja suatu fungsi minimum lebih besar daripada maksimum apa pun. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, kita tidak boleh berpikir bahwa maksimum dan minimum suatu fungsi masing-masing adalah nilai terbesar dan terkecilnya pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar hanya jika dibandingkan dengan nilai-nilai yang dimilikinya di semua titik cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum mempunyai nilai terkecil hanya jika dibandingkan dengan nilai-nilai tersebut. ​​yang pada semua titiknya cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh karena itu, kita dapat memperjelas konsep titik ekstrem suatu fungsi di atas dan menyebut titik minimum sebagai titik minimum lokal, dan titik maksimum sebagai titik maksimum lokal.

Kami mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 3.

Penyelesaian: Fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada seluruh garis bilangan. Turunannya juga ada pada seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, dalam hal ini, titik kritisnya hanyalah titik di mana, yaitu. , dari mana dan . Titik kritis dan bagi seluruh domain definisi fungsi menjadi tiga interval monotonisitas: . Mari kita pilih satu titik kontrol di masing-masing titik tersebut dan temukan tanda turunannya di titik ini.

Untuk interval, titik kendalinya dapat berupa: temukan. Mengambil satu titik dalam interval, kita mendapatkan, dan mengambil satu titik dalam interval, kita mendapatkan. Jadi, di interval dan , dan di interval . Menurut kriteria cukup pertama untuk suatu ekstrem, tidak ada ekstrem pada suatu titik (karena turunannya tetap memiliki tanda dalam interval), dan pada titik tersebut fungsinya memiliki minimum (karena turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus ketika melewati melalui titik ini). Mari kita cari nilai fungsi yang sesuai: , a . Pada interval fungsi tersebut berkurang, karena pada interval ini , dan pada interval tersebut meningkat, karena pada interval ini .

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kita mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat. Ketika kita memperoleh persamaan yang akar-akarnya adalah dan , yaitu dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi tersebut ditemukan. Dengan menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat contoh di awal).

Untuk pengecekan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Contoh 4. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut dan buat grafiknya.

Daerah asal definisi suatu fungsi adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, yaitu. .

Untuk mempersingkat pembelajaran, Anda dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbunya Oi dan penelitian hanya dapat dilakukan untuk interval.

Menemukan turunannya dan titik kritis dari fungsi tersebut:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi tersebut mengalami diskontinuitas pada titik ini, sehingga tidak dapat menjadi titik ekstrem.

Jadi, fungsi yang diberikan memiliki dua titik kritis: dan . Dengan mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya akan memeriksa titik menggunakan kriteria cukup kedua untuk suatu ekstrem. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan keduanya dan tentukan tandanya di: kita peroleh . Karena dan , ini adalah titik minimum dari fungsi tersebut, dan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang grafik suatu fungsi, mari kita cari tahu perilakunya pada batas domain definisinya:

(di sini simbol menunjukkan keinginan X ke nol dari kanan, dan X tetap positif; sama artinya aspirasi X ke nol dari kiri, dan X tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita temukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik suatu fungsi tidak mempunyai titik potong dengan sumbunya. Gambarnya ada di awal contoh.

Untuk pengecekan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Kami terus mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 8. Temukan ekstrem dari fungsinya.

Larutan. Mari kita cari domain definisi fungsinya. Karena pertidaksamaan harus dipenuhi, maka diperoleh dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi tersebut.

Dalil. (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem) Jika fungsi f(x) terdiferensialkan di titik x = x 1 dan titik x 1 merupakan titik ekstrem, maka turunan fungsi tersebut hilang di titik tersebut.

Bukti. Misalkan fungsi f(x) mempunyai maksimum di titik x = x 1.

Maka untuk Dх>0 positif yang cukup kecil, pertidaksamaan berikut ini benar:

A-priori:

Itu. jika Dх®0, tetapi Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, lalu f¢(x 1) £ 0.

Dan ini hanya mungkin jika pada Dх®0 f¢(x 1) = 0.

Untuk kasus jika fungsi f(x) mempunyai minimum di titik x 2, teorema tersebut dibuktikan dengan cara yang sama.

Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi. Pernyataan sebaliknya tidak benar. Jika turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol, bukan berarti fungsi tersebut mempunyai ekstrem di titik tersebut. Contoh nyata dari hal ini adalah fungsi y = x 3, yang turunannya di titik x = 0 sama dengan nol, tetapi pada titik ini fungsi tersebut hanya mempunyai infleksi, dan bukan maksimum atau minimum.

Definisi. Poin kritis fungsi adalah titik-titik yang turunan fungsi tersebut tidak ada atau sama dengan nol.

Teorema yang dibahas di atas memberi kita kondisi yang diperlukan untuk keberadaan suatu ekstrem, tetapi ini tidak cukup.

Contoh: f(x) = xô Contoh: f(x) =

Y y

Pada titik x = 0 fungsi tersebut mempunyai nilai minimum, tetapi pada titik x = 0 fungsi tersebut tidak mempunyai nilai minimum

tidak memiliki turunan. maksimum, tidak ada minimum, tidak ada produksi

Secara umum, fungsi f(x) mungkin memiliki titik ekstrem di titik-titik yang turunannya tidak ada atau sama dengan nol.

Dalil. (Kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem)

Misalkan fungsi f(x) kontinu pada interval (a, b), yang memuat titik kritis x 1, dan terdiferensiasi di semua titik interval ini (kecuali, mungkin, titik x 1 itu sendiri).

Jika melalui titik x 1 dari kiri ke kanan turunan fungsi f¢(x) berubah tanda dari “+” menjadi “-“, maka pada titik x = x 1 fungsi f(x) mempunyai maksimum, dan jika turunannya berubah tanda dari “-” menjadi “+” - maka fungsinya mempunyai minimum.

Bukti.

Membiarkan

Menurut teorema Lagrange: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), dimana x< e < x 1 .

Maka: 1) Jika x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Jika x > x 1, maka e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Karena jawabannya sama, kita dapat mengatakan bahwa f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Pembuktian teorema titik minimum serupa.

Teorema tersebut telah terbukti.

Berdasarkan penjelasan di atas, Anda dapat mengembangkan prosedur terpadu untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen:

1) Temukan titik kritis dari fungsi tersebut.

2) Temukan nilai fungsi pada titik kritis.

3) Temukan nilai fungsi di ujung-ujung segmen.

4) Pilih nilai terbesar dan terkecil di antara nilai yang diperoleh.

Mempelajari suatu fungsi untuk penggunaan ekstrem

turunan dari orde yang lebih tinggi.

Misalkan di titik x = x 1 f¢(x 1) = 0 dan f¢¢(x 1) ada dan kontinu di suatu lingkungan titik x 1.

Dalil. Jika f¢(x 1) = 0, maka fungsi f(x) di titik x = x 1 mempunyai maksimum jika f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Bukti.

Misalkan f¢(x 1) = 0 dan f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Karena f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 di x x 1 . Artinya ketika melewati titik x = x 1, turunan f¢(x) berubah tanda dari “+” menjadi “-“, yaitu.

pada titik ini fungsi f(x) mencapai maksimum.

Untuk kasus fungsi minimum, teorema dibuktikan dengan cara yang sama.

Jika f¢¢(x) = 0, maka sifat titik kritisnya tidak diketahui. Diperlukan penelitian lebih lanjut untuk menentukannya.

Kecembungan dan kecekungan suatu kurva.

Titik belok.

Definisi. Kurvanya cembung ke atas pada interval (a, b) jika semua titiknya terletak di bawah garis singgung interval tersebut. Kurva yang cembung ke atas disebut cembung, dan kurva yang menghadap ke bawah secara cembung disebut cekung.

pada

Gambar tersebut menunjukkan ilustrasi definisi di atas.

Teorema 1. Jika di semua titik interval (a, b) turunan kedua fungsi f(x) negatif, maka kurva y = f(x) cembung ke atas (cembung).

Bukti. Misalkan x 0 О (a, b). Mari kita menggambar garis singgung kurva pada titik ini.

Persamaan kurva: y = f(x);

Persamaan tangen:

Itu harus dibuktikan.

Berdasarkan teorema Lagrange untuk f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

Menurut teorema Lagrange untuk

Misal x > x 0 lalu x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 dan c – x 0 > 0, dan sebagai tambahan, dengan syarat

Karena itu, .

Biarkan x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Dibuktikan pula bahwa jika f¢¢(x) > 0 pada interval (a, b), maka kurva y=f(x) cekung pada interval (a, b).

Teorema tersebut telah terbukti.

Definisi. Titik yang memisahkan bagian cembung kurva dengan bagian cekung disebut titik belok.

Jelasnya, pada titik belok garis singgung tersebut memotong kurva.

Teorema 2. Biarkan kurva didefinisikan oleh persamaan y = f(x). Jika turunan keduanya f¢¢(a) = 0 atau f¢¢(a) tidak ada dan ketika melewati titik x = a f¢¢(x) berubah tanda, maka titik kurva dengan absis x = a adalah titik belok.

Bukti. 1) Misalkan f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 untuk x > a. Lalu di

X< a кривая выпукла, а при x >a kurvanya cekung, mis. titik x = a – titik belok.

2) Misalkan f¢¢(x) > 0 untuk x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b – cembung ke atas. Maka x = b adalah titik beloknya.

Teorema tersebut telah terbukti.

Asimtot.

Ketika mempelajari fungsi, sering terjadi ketika koordinat x suatu titik pada suatu kurva bergerak hingga tak terhingga, kurva tersebut mendekati garis lurus tertentu tanpa batas waktu.

Definisi. Garis lurus disebut asimtot kurva jika jarak dari titik variabel kurva ke garis lurus ini cenderung nol ketika titik tersebut bergerak hingga tak terhingga.

Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap kurva mempunyai asimtot. Asimtotnya bisa lurus atau miring. Mempelajari fungsi untuk mengetahui keberadaan asimtot sangat penting dan memungkinkan Anda menentukan sifat fungsi dan perilaku grafik kurva dengan lebih akurat.

Secara umum, sebuah kurva, yang mendekati asimtotnya tanpa batas, dapat memotongnya, dan tidak pada satu titik, seperti yang ditunjukkan pada grafik fungsi di bawah ini. . Asimtot miringnya adalah y = x.

Mari kita pertimbangkan lebih detail metode untuk mencari asimtot kurva.

Asimtot vertikal.

Dari definisi asimtot dapat disimpulkan bahwa jika atau atau , maka garis lurus x = a adalah asimtot kurva y = f(x).

Misalnya, untuk suatu fungsi, garis x = 5 merupakan asimtot vertikal.

Asimtot miring.

Misalkan kurva y = f(x) mempunyai asimtot miring y = kx + b.

Mari kita nyatakan titik potong kurva dan tegak lurus asimtot - M, P - titik potong tegak lurus ini dengan asimtot. Mari kita nyatakan sudut antara asimtot dan sumbu Ox sebagai j. Garis tegak lurus MQ terhadap sumbu Ox memotong asimtot di titik N.

Maka MQ = y adalah ordinat titik pada kurva, NQ = adalah ordinat titik N pada asimtotnya.

Sesuai dengan kondisi: , ÐNMP = j, .

Sudut j konstan dan tidak sama dengan 90 0

Kemudian .

Jadi, garis lurus y = kx + b adalah asimtot kurva tersebut. Untuk menentukan garis ini secara akurat, perlu dicari cara menghitung koefisien k dan b.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kita keluarkan x dari tanda kurung:

Karena x®¥, lalu , Karena b = konstanta, maka .

Kemudian , karena itu,

.

Karena , Itu , karena itu,

Perhatikan bahwa asimtot horizontal adalah kasus khusus dari asimtot miring untuk k = 0.

Contoh. .

1) Asimtot vertikal: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, maka x = 0 adalah asimtot vertikal.

2) Asimtot miring:

Jadi, garis lurus y = x + 2 merupakan asimtot miring.

Mari kita plot fungsinya:

Contoh. Temukan asimtotnya dan buat grafik fungsinya.

Garis x = 3 dan x = -3 merupakan asimtot vertikal kurva.

Mari kita cari asimtot miringnya:

y = 0 – asimtot horizontal.

Contoh. Temukan asimtotnya dan buat grafik fungsinya .

Garis lurus x = -2 merupakan asimtot vertikal kurva.

Mari kita cari asimtot miringnya.

Secara total, garis lurus y = x – 4 merupakan asimtot miring.

Skema studi fungsi

Proses penelitian fungsi terdiri dari beberapa tahap. Untuk pemahaman yang paling lengkap tentang perilaku fungsi dan sifat grafiknya, perlu dicari:

1) Domain keberadaan fungsi.

Konsep ini mencakup domain nilai dan domain definisi suatu fungsi.

2) Titik puncaknya. (Jika tersedia).

3) Interval kenaikan dan penurunan.

4) Poin maksimum dan minimum.

5) Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada domain definisinya.

6) Daerah cembung dan cekung.

7) Titik belok (jika ada).

8) Asimtot (jika ada).

9) Membangun grafik.

Mari kita lihat penerapan skema ini menggunakan sebuah contoh.

Contoh. Jelajahi fungsi dan buat grafiknya.

Kami menemukan domain keberadaan fungsi tersebut. Jelas sekali domain definisi fungsinya adalah luas (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

Selanjutnya jelas garis lurus x = 1, x = -1 adalah asimtot vertikal bengkok.

Jarak nilai dari fungsi ini adalah interval (-¥; ¥).

Titik istirahat fungsinya adalah titik x = 1, x = -1.

Kami menemukan poin kritis.

Mari kita cari turunan dari fungsinya

Poin kritis: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Mari kita cari turunan kedua dari fungsi tersebut

Mari kita tentukan kecembungan dan kecekungan kurva pada interval tertentu.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, kurva cekung

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, kurva cekung

< x < ¥, y¢¢ >0, kurva cekung

Menemukan celahnya meningkat Dan menurun fungsi. Untuk melakukan ini, kita menentukan tanda-tanda turunan fungsi pada interval.

-¥ < x < - , y¢ >0, fungsinya meningkat

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, fungsinya meningkat

Terlihat bahwa titik x = - merupakan suatu titik maksimum, dan titik x = adalah sebuah titik minimum. Nilai fungsi pada titik-titik ini masing-masing sama dengan -3 /2 dan 3 /2.

Tentang vertikal asimtot sudah dikatakan di atas. Sekarang mari kita temukan asimtot miring.

Secara total, persamaan asimtot miringnya adalah y = x.

Mari kita membangun jadwal Fitur:

Fungsi beberapa variabel

Ketika mempertimbangkan fungsi beberapa variabel, kami akan membatasi diri pada penjelasan rinci tentang fungsi dua variabel, karena semua hasil yang diperoleh akan valid untuk fungsi sejumlah variabel yang berubah-ubah.

Definisi: Jika setiap pasangan bilangan yang saling bebas (x, y) dari suatu himpunan tertentu, menurut suatu aturan, dikaitkan dengan satu atau lebih nilai variabel z, maka variabel z disebut fungsi dari dua variabel.

Definisi: Jika sepasang bilangan (x, y) berkorespondensi dengan satu nilai z, maka fungsinya disebut jelas, dan jika lebih dari satu, maka – berarti banyak.

Definisi: Domain definisi fungsi z adalah himpunan pasangan (x, y) yang fungsi z ada.

Definisi: Lingkungan suatu titik M 0 (x 0, y 0) berjari-jari r adalah himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi syarat .

Definisi: Nomor A dipanggil membatasi fungsi f(x, y) karena titik M(x, y) cenderung ke titik M 0 (x 0, y 0), jika untuk setiap bilangan e > 0 terdapat bilangan r > 0 sedemikian rupa sehingga untuk sembarang titik M (x, y), yang kondisinya benar

kondisinya juga benar .

Tuliskan:

Definisi: Misalkan titik M 0 (x 0, y 0) termasuk dalam domain definisi fungsi f(x, y). Kemudian fungsi z = f(x, y) dipanggil kontinu di titik M 0 (x 0, y 0), jika

(1)

dan titik M(x, y) cenderung ke titik M 0 (x 0, y 0) secara sembarang.

Jika pada suatu titik kondisi (1) tidak terpenuhi, maka titik tersebut disebut titik istirahat fungsi f(x, y). Ini mungkin terjadi dalam kasus berikut:

1) Fungsi z = f(x, y) tidak terdefinisi di titik M 0 (x 0, y 0).

2) Tidak ada batasan.

3) Limit ini ada, tetapi tidak sama dengan f(x 0 , y 0).

Properti. Jika fungsi f(x, y, …) terdefinisi dan kontinu dalam suatu daerah tertutup dan

dibatasi domain D, maka pada domain tersebut paling sedikit terdapat satu titik

N(x 0 , y 0 , …), sehingga pertidaksamaannya benar untuk titik-titik lainnya

f(x 0 , kamu 0 , …) ³ f(x, kamu, …)

serta titik N 1 (x 01, y 01, ...), sehingga untuk semua titik lainnya pertidaksamaannya benar

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

maka f(x 0 , y 0 , …) = M – nilai tertinggi fungsi, dan f(x 01 , y 01 , ...) = m – nilai terkecil fungsi f(x, y, …) di domain D.

Fungsi kontinu dalam domain tertutup dan terbatas D mencapai nilai terbesarnya paling sedikit satu kali dan nilai terkecilnya satu kali.

Properti. Jika fungsi f(x, y, …) terdefinisi dan kontinu dalam domain berbatas tertutup D, dan M dan m masing-masing merupakan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi dalam domain tersebut, maka untuk sembarang titik m О ada benarnya

N 0 (x 0 , y 0 , …) sehingga f(x 0 , y 0 , …) = m.

Sederhananya, fungsi kontinu mengambil semua nilai perantara antara M dan m di domain D. Konsekuensi dari sifat ini adalah kesimpulan bahwa jika bilangan M dan m berbeda tanda, maka pada domain D fungsi tersebut hilang paling sedikit satu kali.

Properti. Fungsi f(x, y, …), kontinu dalam domain berbatas tertutup D, terbatas di wilayah tersebut, jika terdapat bilangan K sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan tersebut benar untuk semua titik di wilayah tersebut .

Properti. Jika suatu fungsi f(x, y, …) terdefinisi dan kontinu dalam daerah berbatas tertutup D, maka fungsi tersebut kontinu secara seragam di daerah ini, yaitu. untuk setiap bilangan positif e terdapat bilangan D > 0 sehingga untuk dua titik (x 1, y 1) dan (x 2, y 2) pada daerah yang jaraknya kurang dari D, pertidaksamaannya berlaku

Sifat-sifat di atas mirip dengan sifat-sifat fungsi suatu variabel yang kontinu pada suatu interval. Lihat Sifat-sifat fungsi kontinu pada suatu interval.

Turunan dan diferensial fungsi

beberapa variabel.

Definisi. Misalkan suatu fungsi z = f(x, y) diberikan dalam suatu domain. Mari kita ambil titik sembarang M(x, y) dan atur kenaikan Dx ke variabel x. Maka besaran D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) disebut kenaikan sebagian fungsi di x.

Anda bisa menuliskannya

.

Lalu disebut turunan parsial fungsi z = f(x, y) di x.

Penamaan:

Turunan parsial suatu fungsi terhadap y ditentukan dengan cara yang sama.

Pengertian geometris turunan parsial (misalkan) adalah garis singgung sudut kemiringan garis singgung yang ditarik di titik N 0 (x 0, y 0, z 0) terhadap penampang permukaan bidang y = y 0.

Kenaikan penuh dan diferensial penuh.

bidang singgung

Misalkan N dan N 0 menjadi titik pada permukaan tersebut. Mari kita menggambar garis lurus NN 0. Bidang yang melalui titik N 0 disebut bidang singgung ke permukaan jika sudut antara garis potong NN 0 dan bidang ini cenderung nol, bila jarak NN 0 cenderung nol.

Definisi. Normal ke permukaan di titik N 0 adalah garis lurus yang melalui titik N 0 tegak lurus bidang singgung permukaan tersebut.

Pada titik mana pun, permukaannya hanya mempunyai satu bidang singgung atau tidak mempunyai bidang singgung sama sekali.

Jika permukaan diberikan oleh persamaan z = f(x, y), di mana f(x, y) adalah fungsi yang terdiferensiasi di titik M 0 (x 0, y 0), bidang singgung di titik N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) ada dan mempunyai persamaan:

Persamaan garis normal permukaan pada titik ini adalah:

Pengertian geometris diferensial total suatu fungsi dua variabel f(x, y) di titik (x 0, y 0) adalah pertambahan penerapan (koordinat z) bidang singgung ke permukaan ketika bergerak dari titik (x 0 , y 0) ke titik (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Seperti yang Anda lihat, makna geometri diferensial total suatu fungsi dua variabel merupakan analogi spasial dari makna geometri diferensial suatu fungsi satu variabel.

Contoh. Temukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan

di titik M(1, 1, 1).

Persamaan bidang singgung:

Persamaan biasa:

Perkiraan perhitungan menggunakan diferensial total.

Diferensial total fungsi u sama dengan:

Nilai pasti dari ungkapan ini adalah 1,049275225687319176.

Turunan parsial dari orde yang lebih tinggi.

Jika suatu fungsi f(x, y) terdefinisi di suatu domain D, maka turunan parsialnya juga akan terdefinisi di domain atau bagian yang sama.

Kami akan menyebutnya turunan turunan parsial orde pertama.

Turunan dari fungsi-fungsi tersebut adalah turunan parsial orde kedua.

Dengan terus mendiferensiasikan persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh turunan parsial dari orde yang lebih tinggi.

Fungsi dan studi tentang fitur-fiturnya menempati salah satu bab penting dalam matematika modern. Komponen utama dari setiap fungsi adalah grafik yang menggambarkan tidak hanya propertinya, tetapi juga parameter turunan dari fungsi tersebut. Mari kita pahami topik sulit ini. Jadi apa cara terbaik untuk mencari titik maksimum dan minimum suatu fungsi?

Fungsi: definisi

Variabel apa pun yang dalam beberapa hal bergantung pada nilai besaran lain dapat disebut fungsi. Misalnya, fungsi f(x 2) adalah kuadrat dan menentukan nilai seluruh himpunan x. Misalkan x = 9, maka nilai fungsi kita sama dengan 9 2 = 81.

Fungsi tersedia dalam berbagai jenis: logika, vektor, logaritma, trigonometri, numerik, dan lain-lain. Mereka dipelajari oleh para pemikir terkemuka seperti Lacroix, Lagrange, Leibniz dan Bernoulli. Karya-karya mereka menjadi andalan dalam cara modern mempelajari fungsi. Sebelum mencari titik minimum, sangat penting untuk memahami pengertian fungsi dan turunannya.

Derivatif dan perannya

Semua fungsi bergantung pada variabelnya, yang berarti nilainya dapat berubah kapan saja. Pada grafik, ini akan digambarkan sebagai kurva yang turun atau naik sepanjang sumbu ordinat (ini adalah himpunan bilangan “y” di sepanjang grafik vertikal). Jadi, penentuan titik maksimum dan minimum suatu fungsi justru berkaitan dengan “osilasi” tersebut. Mari kita jelaskan apa hubungan ini.

Turunan dari suatu fungsi dibuat grafiknya untuk mempelajari karakteristik dasarnya dan menghitung seberapa cepat fungsi tersebut berubah (yaitu mengubah nilainya bergantung pada variabel "x"). Pada saat suatu fungsi meningkat, grafik turunannya juga akan meningkat, tetapi suatu saat fungsi tersebut dapat mulai menurun, dan kemudian grafik turunannya akan menurun. Titik-titik dimana turunannya berubah dari tanda minus menjadi tanda tambah disebut titik minimum. Untuk mengetahui cara mencari poin minimum, sebaiknya Anda lebih memahaminya

Bagaimana cara menghitung turunan?

Definisi dan fungsi menyiratkan beberapa konsep dari Secara umum, definisi turunan dapat dinyatakan sebagai berikut: besaran yang menunjukkan laju perubahan suatu fungsi.

Cara matematis untuk menentukannya tampaknya rumit bagi banyak siswa, namun kenyataannya semuanya jauh lebih sederhana. Anda hanya perlu mengikuti rencana standar untuk mencari turunan fungsi apa pun. Di bawah ini kami jelaskan bagaimana Anda dapat mencari titik minimum suatu fungsi tanpa menerapkan aturan diferensiasi dan tanpa menghafal tabel turunannya.

1. Anda dapat menghitung turunan suatu fungsi menggunakan grafik. Untuk melakukannya, gambarkan fungsi itu sendiri, lalu ambil satu titik di atasnya (titik A pada gambar), tarik garis vertikal ke bawah terhadap sumbu absis (titik x 0), dan di titik A gambarlah garis singgung ke fungsi tersebut. grafik fungsi. Sumbu x dan garis singgung membentuk sudut tertentu a. Untuk menghitung nilai seberapa cepat suatu fungsi bertambah, Anda perlu menghitung garis singgung sudut a ini.
2. Ternyata garis singgung sudut antara garis singgung dan arah sumbu x merupakan turunan fungsi pada luas kecil dengan titik A. Cara ini dianggap sebagai metode geometri untuk menentukan turunannya.

Metode untuk mempelajari fungsi

Dalam kurikulum matematika sekolah, titik minimum suatu fungsi dapat dicari dengan dua cara. Kita sudah membahas cara pertama menggunakan grafik, tetapi bagaimana kita bisa menentukan nilai numerik turunannya? Untuk melakukan ini, Anda perlu mempelajari beberapa rumus yang menjelaskan sifat-sifat turunan dan membantu mengubah variabel seperti “x” menjadi angka. Cara berikut ini bersifat universal, sehingga dapat diterapkan pada hampir semua jenis fungsi (baik geometri maupun logaritma).

1. Fungsi tersebut perlu disamakan dengan fungsi turunan, dan kemudian menyederhanakan ekspresi menggunakan aturan diferensiasi.
2. Dalam beberapa kasus, ketika diberikan suatu fungsi di mana variabel “x” berada pada pembaginya, perlu untuk menentukan kisaran nilai yang dapat diterima, tidak termasuk titik “0” darinya (untuk alasan sederhana bahwa dalam matematika seseorang tidak boleh Dibagi nol).
3. Setelah ini, Anda harus mengubah bentuk asli fungsi tersebut menjadi persamaan sederhana, menyamakan seluruh ekspresi menjadi nol. Misalnya, jika fungsinya seperti ini: f(x) = 2x 3 +38x, maka menurut aturan diferensiasi turunannya sama dengan f"(x) = 3x 2 +1. Kemudian kita ubah persamaan ini menjadi persamaan bentuk berikut: 3x 2 +1 = 0 .
4. Setelah menyelesaikan persamaan dan menemukan titik “x”, Anda harus memplotnya pada sumbu x dan menentukan apakah turunan pada bagian antara titik-titik yang ditandai tersebut positif atau negatif. Setelah penunjukan akan menjadi jelas pada titik mana fungsinya mulai berkurang, yaitu berubah tanda dari minus ke sebaliknya. Dengan cara inilah Anda dapat menemukan poin minimum dan maksimum.

Aturan diferensiasi

Komponen paling dasar dalam mempelajari suatu fungsi dan turunannya adalah pengetahuan tentang kaidah diferensiasi. Hanya dengan bantuan mereka Anda dapat mengubah ekspresi rumit dan fungsi kompleks yang besar. Mari kita berkenalan dengan mereka, jumlahnya cukup banyak, tetapi semuanya sangat sederhana karena sifat alami dari fungsi pangkat dan logaritma.

1. Turunan dari sembarang konstanta sama dengan nol (f(x) = 0). Artinya, turunan f(x) = x 5 + x - 160 berbentuk sebagai berikut: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Turunan dari jumlah dua suku: (f+w)" = f"w + fw".
3. Turunan fungsi logaritma: (log a d)" = d/ln a*d. Rumus ini berlaku untuk semua jenis logaritma.
4. Turunan pangkat: (x n)"= n*x n-1. Misalnya, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Turunan fungsi sinusoidal: (sin a)" = cos a. Jika sin sudut a adalah 0,5, maka turunannya adalah √3/2.

Poin ekstrem

Kita sudah membahas cara mencari titik minimum, namun ada juga konsep titik maksimum suatu fungsi. Jika titik minimum menunjukkan titik-titik di mana fungsi berubah dari tanda minus menjadi tanda plus, maka titik maksimum adalah titik-titik pada sumbu x di mana turunan fungsi tersebut berubah dari plus ke kebalikannya - minus.

Anda dapat menemukannya menggunakan metode yang dijelaskan di atas, tetapi Anda harus ingat bahwa ini menunjukkan area di mana fungsinya mulai menurun, yaitu turunannya akan kurang dari nol.

Dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menggeneralisasi kedua konsep tersebut, menggantinya dengan frasa “titik ekstrem”. Ketika suatu tugas meminta Anda untuk menentukan titik-titik ini, itu berarti Anda perlu menghitung turunan dari suatu fungsi tertentu dan mencari titik minimum dan maksimum.

Dari artikel ini pembaca akan belajar tentang apa itu nilai fungsional ekstrem, serta ciri-ciri penggunaannya dalam kegiatan praktis. Mempelajari konsep seperti itu sangat penting untuk memahami dasar-dasar matematika tingkat tinggi. Topik ini sangat penting untuk mempelajari kursus lebih dalam.

Dalam kontak dengan

Apa itu ekstrem?

Dalam kursus sekolah, banyak definisi tentang konsep “ekstrim” yang diberikan. Artikel ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman terdalam dan jelas tentang istilah tersebut bagi mereka yang tidak mengetahui masalah tersebut. Jadi, istilah tersebut dipahami sejauh mana interval fungsional memperoleh nilai minimum atau maksimum pada suatu himpunan tertentu.

Ekstrem adalah nilai minimum suatu fungsi dan nilai maksimum pada saat yang bersamaan. Ada titik minimum dan titik maksimum, yaitu nilai ekstrim argumen pada grafik. Ilmu-ilmu utama yang menggunakan konsep ini adalah:

• statistik;
• kontrol mesin;
• ekonometrika.

Titik ekstrem berperan penting dalam menentukan barisan suatu fungsi tertentu. Sistem koordinat pada grafik paling baik menunjukkan perubahan posisi ekstrim tergantung pada perubahan fungsi.

Ekstrem dari fungsi turunan

Ada juga fenomena “turunan”. Penting untuk menentukan titik ekstrem. Penting untuk tidak mengacaukan titik minimum dan maksimum dengan nilai tertinggi dan terendah. Ini adalah konsep yang berbeda, meskipun mungkin tampak serupa.

Nilai fungsi merupakan faktor utama dalam menentukan cara mencari titik maksimum. Turunannya tidak terbentuk dari nilai-nilai, tetapi semata-mata dari posisi ekstrimnya dalam suatu tatanan tertentu.

Turunannya sendiri ditentukan berdasarkan titik ekstrem tersebut, dan bukan berdasarkan nilai terbesar atau terkecil. Di sekolah-sekolah Rusia, garis antara kedua konsep ini tidak ditarik dengan jelas, sehingga mempengaruhi pemahaman topik ini secara umum.

Sekarang mari kita pertimbangkan konsep seperti “ekstrim akut”. Saat ini, terdapat nilai minimum akut dan nilai maksimum akut. Definisi tersebut diberikan sesuai dengan klasifikasi titik kritis suatu fungsi Rusia. Konsep titik ekstrem menjadi dasar untuk mencari titik kritis pada suatu grafik.

Untuk mendefinisikan konsep seperti itu, mereka menggunakan teorema Fermat. Ini adalah hal terpenting dalam studi tentang titik-titik ekstrem dan memberikan gambaran yang jelas tentang keberadaannya dalam satu atau lain bentuk. Untuk memastikan ekstremitas, penting untuk menciptakan kondisi tertentu untuk penurunan atau kenaikan grafik.

Untuk menjawab pertanyaan “bagaimana mencari titik maksimal” secara akurat, Anda harus mengikuti pedoman berikut:

1. Menemukan domain definisi yang tepat pada grafik.
2. Mencari turunan suatu fungsi dan titik ekstremnya.
3. Selesaikan pertidaksamaan standar untuk domain tempat argumen ditemukan.
4. Mampu membuktikan fungsi mana yang suatu titik pada suatu grafik terdefinisi dan kontinu.

Perhatian! Pencarian titik kritis suatu fungsi hanya mungkin dilakukan jika terdapat turunan setidaknya orde kedua, yang dijamin dengan adanya titik ekstrem dalam proporsi yang tinggi.

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem suatu fungsi

Agar titik ekstrem ada, penting adanya titik minimum dan maksimum. Jika aturan ini hanya dipatuhi sebagian, maka kondisi keberadaan ekstrem dilanggar.

Setiap fungsi dalam posisi apa pun harus dibedakan untuk mengidentifikasi makna barunya. Penting untuk dipahami bahwa kasus suatu titik menuju nol bukanlah prinsip utama untuk mencari titik terdiferensiasi.

Ekstremum lancip, serta fungsi minimum, merupakan aspek yang sangat penting dalam menyelesaikan masalah matematika menggunakan nilai ekstrem. Untuk lebih memahami komponen ini, penting untuk merujuk pada nilai tabel untuk menentukan fungsionalitas.

Penelitian Makna Penuh

Merencanakan Grafik Nilai

1. Penentuan titik kenaikan dan penurunan nilai. 2. Mencari titik diskontinuitas, titik ekstrim dan perpotongan dengan sumbu koordinat. 3. Proses penentuan perubahan posisi pada suatu grafik. 4. Penentuan indikator dan arah konveksitas dan konveksitas, dengan memperhatikan adanya asimtot. 5. Pembuatan tabel ringkasan penelitian ditinjau dari penentuan koordinatnya. 6. Menemukan interval kenaikan dan penurunan titik ekstrim dan tajam. 7. Penentuan kecembungan dan kecekungan suatu kurva. 8. Merencanakan grafik dengan mempertimbangkan penelitian memungkinkan Anda menemukan nilai minimum atau maksimum.

Elemen utama ketika perlu bekerja dengan titik ekstrem adalah konstruksi grafiknya yang akurat. Guru sekolah seringkali tidak memberikan perhatian yang maksimal terhadap aspek penting tersebut, sehingga merupakan pelanggaran berat terhadap proses pendidikan. Pembuatan grafik hanya terjadi berdasarkan hasil pembelajaran data fungsional, identifikasi ekstrem lancip, serta titik-titik pada grafik. Ekstrem tajam dari fungsi turunan ditampilkan pada plot nilai eksak, menggunakan prosedur standar untuk menentukan asimtot. Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disertai dengan konstruksi grafik yang lebih kompleks. Hal ini disebabkan oleh kebutuhan yang lebih mendalam untuk mengatasi masalah ekstrem akut. Turunan dari fungsi kompleks dan sederhana juga perlu dicari, karena ini adalah salah satu konsep terpenting dalam masalah ekstrem.

Fungsi ekstrem

Untuk menemukan nilai di atas, Anda harus mematuhi aturan berikut:

• menentukan kondisi yang diperlukan untuk hubungan ekstrim;
• memperhitungkan kondisi kecukupan titik-titik ekstrim pada grafik;
• melakukan perhitungan ekstrem akut.

Konsep seperti minimum lemah dan minimum kuat juga digunakan. Ini harus diperhitungkan saat menentukan titik ekstrem dan perhitungan akuratnya. Pada saat yang sama, fungsionalitas akut adalah pencarian dan penciptaan semua kondisi yang diperlukan untuk bekerja dengan grafik suatu fungsi.

Maksimum adalah angka tertinggi atau batas tertinggi yang dapat dicapai. Minimum adalah, seperti yang kita semua ketahui dengan baik, kebalikan dari maksimum, yaitu. ini adalah angka terkecil dan batas terkecil. Kata minimum dan maksimum serta turunannya terdapat dalam ungkapan dan frasa seperti:

Dapatkan hasil maksimal dari komunikasi.

Untuk mempelajari sebuah puisi, Anda perlu membacanya setidaknya 3-4 kali.

Maksimal yang bisa dia lakukan adalah...

Mereka memiliki setidaknya dua teman yang sama.

Dia mendapat skor maksimal.

Manfaatkan peluang Anda sebaik-baiknya!

Ini adalah jumlah minimum yang perlu Anda ketahui.

Upah hidup.

Tekanan atmosfer minimum.

Cuaca dingin minimum/maksimum selama ….. tahun.

Anda memerlukan setidaknya beberapa jam untuk menyelesaikan pekerjaan ini.

Konsep maksimum dan minimum juga dapat ditemukan dalam istilah ilmiah khusus. Misalnya dalam matematika ada konsep maksimum dan minimum suatu fungsi.

Jadi, dalam matematika, nilai maksimum suatu fungsi disebut maksimum. Dalam hal ini, nilai maksimum suatu fungsi lebih besar dari semua nilai tetangganya. Maksimum suatu fungsi adalah nilainya ketika nilainya pertama kali naik dan kemudian segera mulai menurun, sedangkan fungsi tersebut mencapai maksimum pada tempat di mana kenaikan dan penurunan fungsi berpindah dari satu fungsi ke fungsi lainnya. Oleh karena itu, nilai minimum suatu fungsi adalah nilai terkecil dari fungsi tersebut.

Turunan pertama suatu fungsi dapat dianggap positif, jika naik ketika kita menaikkan variabelnya, maka fungsi tersebut dianggap positif. Jika variabel pertama menurun seiring dengan bertambahnya turunan, maka fungsinya dianggap negatif.

Turunan adalah nilai dasar yang digunakan dalam perhitungan diferensial (studi tentang turunan dan diferensial, yang membantu mempelajari fungsi matematika), dapat dipahami sebagai laju perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Semakin besar kecepatannya, semakin besar perubahan fungsinya; semakin kecil kecepatannya, semakin lambat (namun hal ini hanya berlaku jika fungsinya positif). Jadi, laju perubahan fungsi pada suatu titik tertentulah yang menentukan kemiringan dan kecembungannya. Variabel adalah besaran yang dapat berubah nilainya. Dilambangkan dengan x atau waktu.

Variabel dapat dianggap sebagai atribut suatu sistem (baik fisik maupun abstrak) yang dapat mengubah nilainya. Dalam pengertian yang lebih global, suatu variabel dapat disebut waktu, suhu, dan, secara umum, seluruh kehidupan (dapat berubah). Sebuah variabel mempunyai banyak nilai yang dapat diambilnya. Kita dapat berasumsi bahwa himpunan ini adalah variabel.

Sedangkan untuk fungsinya sendiri, harus berpindah dari nilai positif ke negatif melalui nol. Jadi, pada nilai variabel yang sesuai dengan fungsi maksimum, turunannya akan sama dengan nol. Sifat fungsi inilah yang memungkinkan kita menentukan nilai x di mana fungsi tersebut mencapai maksimum. Namun, jika kita menaikkan variabelnya dan, pada saat yang sama, fungsi tersebut mula-mula naik lalu turun, maka fungsi tersebut, ketika berubah dari nilai negatif ke nilai positif (melewati nol), tidak akan mencapai maksimum, tetapi, sebaliknya, nilai minimum. Meskipun secara logika, ini dapat dianggap sebagai nilai maksimum (terletak di bagian atas fungsi).

Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disebut juga titik ekstrem.

Jadi, baik dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam matematika, maksimum dan minimum adalah dua hal yang sangat berlawanan yang berarti sesuatu yang terbesar dan sesuatu yang terkecil.