Artikel mengungkapkan konsep tegak lurus dari garis lurus dan pesawat, memberikan definisi dari garis lurus, pesawat, grafis digambarkan dan menunjukkan penunjukan garis tegak lurus dan pesawat. Mari kita merumuskan tanda tegak lurus garis lurus dengan bidang. Pertimbangkan kondisi di mana garis lurus dan bidang akan tegak lurus dengan persamaan yang diberikan dalam bidang dan ruang tiga dimensi. Semuanya akan ditampilkan dengan contoh.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Garis tegak lurus bidang ketika tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak di bidang ini.

Memang benar bahwa bidang tegak lurus terhadap garis, serta garis terhadap bidang.

Tegak lurus ditunjukkan oleh "⊥". Jika kondisi menentukan bahwa garis c tegak lurus bidang , maka notasinya adalah c .

Misalnya, jika garis tegak lurus terhadap bidang, maka hanya mungkin untuk menggambar satu garis, karena itu dua dinding ruangan yang berdekatan akan berpotongan. Garis dianggap tegak lurus terhadap bidang langit-langit. Tali yang terletak di gym dianggap sebagai segmen garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang, di kasus ini semi.

Jika ada garis tegak lurus terhadap bidang, sudut antara garis dan bidang dianggap siku-siku, yaitu sama dengan 90 derajat.

Tegak lurus garis lurus dan bidang - tanda dan kondisi tegak lurus

Untuk menemukan deteksi tegak lurus, perlu menggunakan kondisi yang cukup untuk tegak lurus garis dan bidang. Ini menjamin bahwa garis dan bidang tegak lurus. Kondisi ini dianggap cukup dan disebut sebagai tanda tegak lurus garis dan bidang.

Teorema 1

Agar suatu garis tegak lurus terhadap suatu bidang, garis tersebut cukup tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut.

Bukti rinci diberikan dalam buku teks geometri kelas 10-11. Teorema ini digunakan untuk memecahkan masalah di mana perlu untuk menetapkan tegak lurus garis dan bidang.

Teorema 2

Asalkan setidaknya salah satu garis sejajar dengan bidang, dianggap bahwa garis kedua juga tegak lurus terhadap bidang ini.

Tanda tegak lurus garis lurus dan bidang telah dipertimbangkan sejak sekolah, ketika diperlukan untuk memecahkan masalah dalam geometri. Mari kita pertimbangkan secara lebih rinci satu lagi kondisi perlu dan cukup di mana garis dan bidang akan tegak lurus.

Teorema 3

Agar garis a tegak lurus terhadap bidang , syarat perlu dan cukup adalah kolinearitas vektor pengarah garis a dan vektor normal bidang .

Bukti

Untuk a → = (a x , a y , a z) adalah vektor garis a , untuk n → = (n x , n y , n z) adalah vektor normal bidang untuk memenuhi tegak lurus, garis a dan bidang termasuk dalam pemenuhan syarat kolinearitas dari vektor a → = (a x , a y , a z) dan n → = (n x , n y , n z) . Oleh karena itu kita mendapatkan bahwa a → = t n → a x = t n x a y = t n y a z = t n z , t adalah bilangan real.

Pembuktian ini didasarkan pada syarat perlu dan cukup tegak lurus garis dan bidang, vektor pengarah garis dan vektor normal bidang.

Kondisi ini berlaku untuk membuktikan tegak lurus sebuah garis lurus dan sebuah bidang, karena cukup dengan mencari koordinat vektor pengarah garis lurus dan koordinat vektor normal dalam ruang tiga dimensi, kemudian melakukan perhitungan. Ini digunakan untuk kasus-kasus ketika garis lurus didefinisikan oleh persamaan garis lurus di ruang angkasa, dan bidang dengan persamaan bidang dari beberapa jenis.

Contoh 1

Buktikan bahwa garis yang diberikan x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 tegak lurus bidang x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

Keputusan

Penyebut persamaan kanonik adalah koordinat vektor arah dari garis yang diberikan. Oleh karena itu kita memiliki bahwa a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) adalah vektor pengarah garis x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 .

Dalam persamaan umum bidang, koefisien di depan variabel x, y, z adalah koordinat vektor normal bidang yang diberikan. Maka n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) adalah vektor normal bidang x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

Hal ini diperlukan untuk memeriksa pemenuhan kondisi. Kami mengerti

2 - 1 \u003d t 1 2 \u003d t 2 (2 + 1) 2 \u003d t (- (5 + 6 2)) t \u003d 2 - 1, maka vektor a → dan n → dihubungkan oleh ekspresi a → = ( ​​2 - 1) n → .

Ini adalah kolinearitas vektor. maka garis x 2 - 1 \u003d y - 1 2 \u003d z + 2 2 - 7 tegak lurus terhadap bidang x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 \u003d 0 .

Menjawab: garis dan bidang tegak lurus.

Contoh 2

Tentukan apakah garis y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 dan bidang x 1 2 + z - 1 2 = 1 tegak lurus.

Keputusan

Untuk menjawab pertanyaan tegak lurus, perlu dipenuhi syarat perlu dan cukup, yaitu, pertama-tama Anda perlu menemukan vektor garis yang diberikan dan vektor normal bidang.

Dari garis lurus y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0, dapat diketahui bahwa vektor arah a → merupakan hasil kali vektor-vektor normal bidang y - 1 = 0 dan x + 4 z - 2 = 0 .

Oleh karena itu kita mendapatkan bahwa a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 i → - k → .

Koordinat vektor a → = (4 , 0 , - 1) .

Persamaan bidang pada segmen x 1 2 + z - 1 2 = 1 setara dengan persamaan bidang 2 x - 2 z - 1 = 0 , yang vektor normalnya sama dengan n → = (2 , 0 , - 2) .

Anda harus memeriksa kolinearitas dari vektor a → = (4 , 0 , - 1) dan n → = (2 , 0 , - 2) .

Untuk melakukan ini, kami menulis:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) t = 2 t ∈ R t t = 1 2

Dari sini kita simpulkan bahwa vektor pengarah garis lurus tidak segaris dengan vektor normal bidang. Jadi y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 adalah garis lurus yang tidak tegak lurus bidang x 1 2 + z - 1 2 .

Menjawab: garis dan bidang tidak tegak lurus.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Garis besar pelajaran geometri di kelas 10 dengan topik "Tegak lurus garis dan bidang"

Tujuan Pelajaran:

pendidikan

pengenalan tanda tegak lurus garis lurus dan bidang;

membentuk gagasan siswa tentang tegak lurus garis lurus dan bidang, sifat-sifatnya;

untuk membentuk kemampuan siswa untuk memecahkan masalah khas pada topik, kemampuan untuk membuktikan pernyataan;

mengembangkan

mengembangkan kemandirian, aktivitas kognitif;

mengembangkan kemampuan menganalisis, menarik kesimpulan, mensistematisasikan informasi yang diterima,

mengembangkan pemikiran logis;

mengembangkan imajinasi spasial.

pendidikan

pendidikan budaya bicara siswa, ketekunan;

menanamkan minat siswa pada mata pelajaran tersebut.

Jenis pelajaran: Pelajaran belajar dan konsolidasi utama pengetahuan.

Bentuk karya siswa: jajak pendapat depan.

Peralatan: komputer, proyektor, layar.

Literatur:"Geometri 10-11", Buku Teks. Atanasyan L.S. dan sebagainya.

(2009, 255 hal.)

Rencana belajar:

Momen organisasi (1 menit);

Memperbarui pengetahuan (5 menit);

Mempelajari materi baru (15 menit);

Konsolidasi primer dari materi yang dipelajari (20 menit);

Menyimpulkan (2 menit);

Pekerjaan rumah (2 menit).

Selama kelas.

Momen organisasi (1 menit)

Salam siswa. Pengecekan kesiapan siswa terhadap pelajaran : pengecekan ketersediaan buku tulis, buku pelajaran. Mengecek absensi.

Pembaruan pengetahuan (5 menit)

Guru. Garis manakah yang disebut tegak lurus bidang?

Murid. Garis yang tegak lurus terhadap sembarang garis yang terletak pada bidang ini disebut garis yang tegak lurus bidang ini.

Guru. Bagaimana lemma tentang dua garis sejajar yang tegak lurus terhadap bunyi ketiga?

Murid. Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus terhadap garis ketiga, maka garis lainnya juga tegak lurus terhadap garis tersebut.

Guru. Teorema tegak lurus dua garis sejajar bidang.

Murid. Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus bidang, maka garis lainnya juga tegak lurus bidang itu.

Guru. Apa invers dari teorema ini?

Murid. Jika dua garis tegak lurus pada bidang yang sama, maka keduanya sejajar.

Memeriksa pekerjaan rumah

Pekerjaan rumah diperiksa jika siswa mengalami kesulitan dalam menyelesaikannya.

Mempelajari materi baru (15 menit)

Guru. Anda dan saya tahu bahwa jika sebuah garis tegak lurus terhadap sebuah bidang, maka itu akan tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak di bidang ini, tetapi dalam definisi, tegak lurus sebuah garis terhadap sebuah bidang diberikan sebagai fakta. Dalam praktiknya, seringkali perlu untuk menentukan apakah garis akan tegak lurus terhadap bidang atau tidak. Contoh-contoh seperti itu dapat diberikan dari kehidupan: selama konstruksi bangunan, tiang pancang didorong tegak lurus ke permukaan bumi, jika tidak, struktur dapat runtuh. Definisi garis lurus yang tegak lurus bidang tidak dapat digunakan dalam kasus ini. Mengapa? Berapa banyak garis yang dapat dibuat pada sebuah bidang?

Murid. Ada tak terhingga banyak garis lurus yang dapat digambar pada sebuah bidang.

Guru. Benar. Dan tidak mungkin untuk memeriksa tegak lurus dari sebuah garis lurus ke masing-masing bidang, karena itu akan memakan waktu yang sangat lama. Untuk memahami apakah suatu garis tegak lurus terhadap suatu bidang, kita mengenalkan tanda tegak lurus suatu garis dan suatu bidang. Tulis di buku catatanmu. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.

entri buku catatan. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Guru. Dengan demikian, kita tidak perlu memeriksa tegak lurus suatu garis untuk setiap bidang lurus, cukup memeriksa tegak lurus hanya untuk dua garis pada bidang ini.

Guru. Mari kita buktikan tanda ini.

Diberikan: p dan q- lurus, p ∩ q = HAI, sebuah⊥ p, sebuah⊥ q, p ϵ α, q ϵ α.

Membuktikan: sebuah⊥ α.

Guru. Namun, sebagai bukti, kami menggunakan definisi garis lurus yang tegak lurus bidang, bagaimana kedengarannya?

Murid. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak pada bidang tersebut.

Guru. Benar. Gambarlah sembarang garis m pada bidang . Tarik garis l m melalui titik O. Pada garis a tandai titik A dan B sehingga titik O adalah titik tengah ruas AB. Mari kita menggambar garis z sedemikian rupa sehingga memotong garis p, q, l, titik-titik perpotongan garis-garis ini akan dilambangkan dengan P, Q, L, masing-masing. Hubungkan ujung-ujung segmen AB dengan titik P, Q dan L.

Guru. Apa yang dapat kita katakan tentang segitiga APQ dan BPQ ?

Murid. Segitiga-segitiga ini akan sama (sesuai dengan kriteria ke-3 untuk persamaan segitiga).

Guru. Mengapa?

Murid. Karena garis p dan q adalah garis-bagi tegak lurus, maka AP = BP , AQ = BQ , dan sisi PQ adalah umum.

Guru. Benar. Apa yang dapat kita katakan tentang segitiga APL dan BPL ?

Murid. Segitiga ini juga akan sama (sesuai dengan 1 tanda persamaan segitiga).

Guru. Mengapa?

Murid. AP = BP, PL- sisi umum APL =  BPL(dari persamaan APQ dan BPQ)

Guru. Benar. Jadi AL = BL. Jadi apa yang akan menjadi ALB ?

Murid. Jadi ALB akan sama kaki.

Guru. LO adalah median dalam ALB, jadi berapakah itu dalam segitiga ini?

Murid. Jadi LO juga akan menjadi tinggi.

Guru. Oleh karena itu garis lurusakuakan tegak lurus terhadap garissebuah. Dan karena garis lurusakuadalah setiap garis yang termasuk dalam bidang , maka menurut definisi garissebuah⊥ sebuah. Q.E.D.

Terbukti dengan presentasi

Guru. Tetapi bagaimana jika garis a tidak memotong titik O, tetapi tetap tegak lurus terhadap garis p dan q? Jika garis a memotong titik lain dari bidang yang diberikan?

Murid. Dimungkinkan untuk membuat garis 1 , yang akan sejajar dengan garis a, akan memotong titik O, dan oleh lemma pada dua garis sejajar yang tegak lurus dengan yang ketiga, kita dapat membuktikan bahwasebuah 1 ⊥ p, sebuah 1 ⊥ q.

Guru. Benar.

Konsolidasi primer dari materi yang dipelajari (20 menit)

Guru. Untuk mengkonsolidasikan materi yang telah kita pelajari, kita akan memecahkan angka 126. Baca tugas.

Murid. Garis MB tegak lurus dengan sisi AB dan BC segitiga ABC. Tentukan jenis segitiga MBD, di mana D adalah titik sembarang dari garis lurus AC.

Gambar.

Diberikan: ABC, MB⊥ BA, MB⊥ SM, D ϵ AC.

Temukan: MBD.

Keputusan.

Guru. Bisakah Anda menggambar bidang melalui titik sudut segitiga?

Murid. Ya kamu bisa. Pesawat dapat ditarik di tiga titik.

Guru. Bagaimana letak garis BA dan CB relatif terhadap bidang ini?

Murid. Garis-garis ini akan terletak di pesawat ini.

Guru. Ternyata kita memiliki sebuah pesawat, dan ada dua garis yang berpotongan di dalamnya. Bagaimana jalur MW berhubungan dengan jalur ini?

Murid. MW langsung VA, MV SM.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. Karena MV VA, MV VS

Guru. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada sebuah bidang, maka garis tersebut termasuk dalam bidang tersebut?

Murid. Garis lurus MB akan tegak lurus terhadap bidang ABC.

ABC.

Guru. Titik D adalah titik sembarang pada ruas AC, jadi bagaimana hubungan garis BD dengan bidang ABC?

Murid. Jadi BD termasuk bidang ABC.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. Karena BD ABC

Guru. Apa yang akan menjadi garis MB dan BD relatif satu sama lain?

Murid. Garis-garis ini akan tegak lurus dengan definisi garis yang tegak lurus terhadap bidang.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. MV⊥ BD

Guru. Jika MB tegak lurus terhadap BD, maka apa yang akan menjadi segitiga MBD?

Murid. Segitiga MBD akan siku-siku.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. MBD – persegi panjang.

Guru. Benar. Mari kita selesaikan nomor 127. Baca tugas.

Murid. Dalam segitigaABC jumlah sudut A dan Bsama dengan 90°. LurusBDtegak lurus bidangABC. Buktikan itu CD⊥ AC.

Siswa pergi ke papan tulis. Menggambar gambar.

Tulis di papan tulis dan di buku catatan.

Diberikan: ABC,  A +  B= 90 °, BD⊥ ABC.

Membuktikan: CD⊥ AC.

Bukti:

Guru. Berapa jumlah sudut segitiga?

Murid. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°.

Guru. Berapakah besar sudut C pada segitiga ABC?

Murid. Besar sudut C pada segitiga ABC adalah 90°.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. C = 180 ° - A- B= 90°

Guru. Jika sudut C adalah 90°, bagaimana garis AC dan BC terletak relatif satu sama lain?

Murid. Berarti AC Matahari.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. AC matahari

Guru. Garis BD tegak lurus bidang ABC. Apa yang mengikuti dari ini?

Murid. Jadi BD tegak lurus terhadap setiap garis dari ABC .

BD⊥ ABC ↔ BDtegak lurus terhadap sembarang garisABC(a-prioritas)

Guru. Sesuai dengan ini, bagaimana hubungan langsung BD dan AC?

Murid. Jadi garis-garis ini tegak lurus.

BD⊥ AC

Guru. AC tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada bidang DBC, tetapi AC tidak melalui titik potong tersebut. Bagaimana memperbaikinya?

Murid. Tarik garis melalui titik B dan sejajar AC. Karena AC tegak lurus BC dan BD, maka a juga tegak lurus BC dan BD oleh lemma.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. Tarik garis melalui titik B a AC a⊥ SM, dan BD

Guru. Jika garis a tegak lurus BC dan BD, maka apa yang dapat dikatakan tentang posisi relatif garis a dan bidang BDC?

Murid. Ini berarti bahwa garis a akan tegak lurus terhadap bidang BDC, dan karenanya garis AC akan tegak lurus terhadap BDC.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. a⊥ bdc AC bdc.

Guru. Jika AC tegak lurus terhadap BDC, lalu bagaimana letak garis AC dan DC relatif terhadap satu sama lain?

Murid. AC dan DC akan tegak lurus menurut definisi garis yang tegak lurus bidang.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. Karena AC⊥ bdc AC DC

Guru. Sudah selesai dilakukan dengan baik. Mari kita selesaikan nomor 129. Baca tugas.

Murid. LurusSAYAtegak lurus bidang persegiABCD, yang diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O. Buktikan bahwa: a) garisBDtegak lurus bidangAMO; b)MO⊥ BD.

Seorang siswa datang ke papan tulis. Menggambar gambar.

Tulis di papan tulis dan di buku catatan.

Diberikan:ABCD- kotak,SAYA⊥ ABCD, AC ∩ BD = HAI

Membuktikan:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Bukti:

Guru. Kita perlu membuktikan bahwaBD⊥ AMO. Kondisi apa yang harus dipenuhi agar ini terjadi?

Murid. Hal ini diperlukan bahwa langsung BD tegak lurus terhadap setidaknya dua garis yang berpotongan dari bidang AMO.

Guru. Kondisi mengatakan bahwa BD tegak lurus dua garis yang berpotongan AMO?

Murid. Tidak.

Guru. Tapi kita tahu itu SAYA tegak lurus ABCD . Kesimpulan apa yang bisa ditarik dari ini?

Murid. Artinya apa SAYA tegak lurus terhadap setiap garis dari bidang ini, yaitu SAYA tegak lurus B.D.

SAYA⊥ ABCD ↔ SAYA⊥ BD(a-prioritas).

Guru. Satu garis tegak lurus BD ada. Perhatikan alun-alun, bagaimana garis akan ditempatkan relatif satu sama lain AC dan BD?

Murid. AC akan tegak lurus BD oleh sifat-sifat diagonal persegi.

Tulis di papan tulis dan di buku catatan. KarenaABCD- persegi, makaAC⊥ BD(dengan sifat-sifat diagonal persegi)

Guru. Kami telah menemukan dua garis berpotongan terletak di pesawat AMO tegak lurus garis BD . Apa yang mengikuti dari ini?

Murid. Artinya apa BD tegak lurus bidang AMO.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan. KarenaAC⊥ BDdanSAYA⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(dengan tanda)

Guru. Garis manakah yang disebut garis tegak lurus bidang?

Murid. Suatu garis dikatakan tegak lurus suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap sembarang garis pada bidang tersebut.

Guru. Bagaimana hubungan garis satu sama lain? BD dan OM?

Murid. Berarti BD tegak lurus om . Q.E.D.

Menulis di papan tulis dan di buku catatan.BD⊥ MO(a-prioritas). Q.E.D.

Debriefing (2 menit)

Guru. Hari ini kita mempelajari tanda tegak lurus garis dan bidang. Bagaimana kedengarannya?

Murid. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Guru. Benar. Kami telah belajar untuk menerapkan fitur ini dalam memecahkan masalah. Siapa yang menjawab di papan tulis dan membantu dari tempat, dilakukan dengan baik.

Pekerjaan rumah (2 menit)

Guru. Paragraf 1, paragraf 15-17, pelajari: lemma, definisi dan semua teorema. Nomor 130, 131.

Agar garis lurus di ruang angkasa menjadi bidang, perlu dan cukup pada diagram proyeksi horizontal garis lurus menjadi dari proyeksi horizontal horizontal, dan proyeksi frontal ke proyeksi frontal bagian depan pesawat ini.

Menentukan jarak dari titik ke bidang(Gbr. 19)

1. Dari titik, turunkan tegak lurus ke bidang (untuk ini, di bidang

tahan h, f);

2. Temukan titik potong garis lurus dengan bidang (lihat Gambar 18);

3.Temukan n.v. segmen tegak lurus (lihat Gambar. 7).

Bagian kedua Metode untuk mengganti bidang proyeksi

(untuk tugas 5, 6.7)

Sosok geometris ini dibiarkan tidak bergerak dalam sistem bidang proyeksi. Bidang proyeksi baru diatur sehingga proyeksi yang diperoleh memberikan solusi rasional untuk masalah yang sedang dipertimbangkan. Selain itu, setiap sistem baru bidang proyeksi harus merupakan sistem ortogonal. Setelah memproyeksikan objek pada bidang, mereka digabungkan menjadi satu dengan memutarnya di sekitar garis lurus umum (sumbu proyeksi) dari setiap pasangan bidang yang saling tegak lurus.

Misalnya, misalkan titik A diatur dalam sistem dua bidang P 1 dan P 2. Mari kita melengkapi sistem dengan satu bidang lagi P 4 (Gbr. 20), P 1 P 4. Ia memiliki garis persekutuan X 14 dengan bidang P 1 . Kami membangun proyeksi A 4 pada P 4.

AA 1 \u003d A 2 A 12 \u003d A 4 A 14.

pada gambar. 21, di mana bidang P 1, P 2 dan P 4 diluruskan, fakta ini ditentukan oleh hasil A 1 A 4 X 14, dan A 14 A 4 A 2 A 12.

Jarak proyeksi titik baru ke sumbu proyeksi baru (A 4 A 14) sama dengan jarak dari proyeksi titik yang diganti ke sumbu yang diganti (A 2 A 12).

Sejumlah besar masalah metrik geometri deskriptif diselesaikan berdasarkan empat masalah berikut:

1. Transformasi garis posisi umum menjadi garis datar (Gbr. 22):

a) P 4 || AB (sumbu X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14;

c) A 4 A 14 \u003d A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2 ;

A 4 B 4 - sekarang

2. Transformasi garis lurus pada posisi umum menjadi garis proyeksi (Gbr. 23):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14;

A 14 A 4 \u003d A 12 A 2;

14V 4 = 12V 2 ;

A 4 B 4 - nv;

b) P 5 AB (X 45 A 4 V 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

A 45 A 5 \u003d B 45 B 5 \u003d A 14 A 1 \u003d B 14 B 1;

3. Transformasi bidang posisi umum menjadi posisi proyeksi (Gbr. 24):

Sebuah pesawat dapat dibawa ke posisi proyeksi jika satu garis lurus pesawat dibuat proyeksi. Mari kita menggambar garis horizontal (h 2 ,h 1) pada bidang ABC, yang dapat dibuat proyektif dalam satu transformasi. Mari kita menggambar bidang P 4 tegak lurus terhadap horizontal; itu diproyeksikan ke bidang ini oleh sebuah titik, dan bidang segitiga diproyeksikan oleh garis lurus.

4. Transformasi bidang generik menjadi bidang datar (Gbr. 25).

Jadikan bidang tersebut sebagai bidang datar menggunakan dua transformasi. Pertama, bidang harus dibuat memproyeksikan (lihat Gambar 25), dan kemudian P 5 || A 4 B 4 C 4, kita mendapatkan A 5 B 5 C 5 - n.v.

Tugas #5

Tentukan jarak dari titik C ke garis lurus pada posisi umum (Gbr. 26).

Solusinya turun ke masalah utama ke-2. Kemudian jarak sepanjang diagram didefinisikan sebagai jarak antara dua titik

A 5 B 5 D 5 dan C 5.

Proyeksi 4 H 4 || X45.

Tugas #6

Tentukan jarak dari ()D ke bidang yang diberikan oleh titik A, B, C (Gbr. 27).

Masalah diselesaikan dengan menggunakan masalah utama ke-2. Jarak (E 4 D 4), dari () ​​D 4 ke garis lurus A 4 C 4 B 4, di mana bidang ABC diproyeksikan, adalah nilai alami dari segmen ED.

Proyeksi D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Bangun D 1 E 1 Anda sendiri.

Bangun D 2 E 2 Anda sendiri.

Tugas #7

Tentukan ukuran sebenarnya dari segitiga ABC (lihat solusi dari masalah utama ke-4) (Gbr. 25)

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

payung. Segmen KL menentukan arah proyeksi garis perpotongan dua bidang yang diberikan.

2.8 Tegak lurus sebuah garis dan sebuah bidang, dua bidang

Syarat tegak lurus suatu garis dan suatu bidang serta tegak lurus dua bidang didasarkan pada teorema proyeksi sudut siku-siku. Mengadaptasi teorema untuk memecahkan masalah metrik untuk menentukan jarak dari suatu titik ke bidang, menentukan jarak dari suatu titik ke garis lurus, atau untuk membangun bidang yang sejajar dengan bidang tertentu pada jarak tertentu, kami merumuskan kondisi tegak lurus dari sebuah garis dan sebuah bidang.

Garis l (l1,l2) tegak lurus bidang , jika tegak lurus terhadap dua garis level yang berpotongan (misalnya, horizontal dan frontal) milik bidang yang diberikan.

l 1 jam 1

l 2f 2

Pertimbangkan contoh pemecahan masalah metrik yang khas pada penerapan kondisi tegak lurus garis lurus dan bidang.

Contoh 1. Tentukan jarak dari titik N ke bidang Q(mIIn) (Gambar 2.35).

Algoritma untuk memecahkan masalah:

1. Menganalisis kondisi masalah. (Jarak terpendek dari suatu titik ke garis ditentukan oleh tegak lurus yang dijatuhkan dari titik N ke bidang Q.)

2. Untuk memenuhi syarat tegak lurus sebuah garis lurus dan sebuah bidang, pertama-tama perlu untuk membangun sebuah horizontal h (h 1, h 2 ) dan sebuah frontal f (f 1 , f 2 ) pada bidang tersebut, dan kemudian buat garis l (l 1 , l 2 ) tegak lurus terhadap bidang Q ( gambar 2.35).

Gambar 2.35 - Garis tegak lurus bidang

3. Temukan alas dari garis tegak lurus, mis. titik perpotongan garis yang dibangun l(l 1 , l 2 ) dengan bidang tertentu Q. Untuk membangun titik K, kita menyertakan, misalnya, proyeksi frontal dari garis l 2 ke bidang proyeksi frontal . Kami menentukan proyeksi garis perpotongan garis l dengan proyeksi yang sesuai dari garis perpotongan dua bidang (Q∩∑). Kami menentukan posisi proyeksi titik K1 dan K2.

4. Tentukan ukuran sebenarnya dari segmen NK sebagai sisi miring dari segitiga siku-siku (Gambar 2.36).

Gambar 2.36 - Proyeksi jarak dari titik ke bidang

Contoh 2. Tentukan jarak dari titik A ke garis n. Algoritma untuk memecahkan masalah:

1. Analisis kondisi masalah. Setelah menganalisis kondisi masalah, kami menyatakan bahwa jarak terpendek dari suatu titik ke garis diukur dengan garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik A ke garis n. Karena garis yang diberikan n (n 1 , n2 ) adalah garis pada posisi umum, maka untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu dilakukan konstruksi tambahan.

2. Melalui proyeksi titik A(A 1 ,А2 ) kita membangun sebuah bidang (h f) tegak lurus terhadap garis n (n1 , n2 ).

3. Tentukan titik potong garis n(n .) 1 , n2 ) dengan bidang (h f) dan tentukan proyeksi ruas garis A1 B1 dan A2 B2 sebagai proyeksi jarak dari titik A ke garis n.

4. Kami membangun nilai alami jarak dari titik A ke garis lurus n (Gambar 2.37).

Gambar 2.37 - Jarak dari titik A ke garis lurus n

Contoh 3. Buatlah sebuah bidang , sejajar dengan bidang (ΔABC), pada jarak 25 mm darinya.

Algoritma untuk memecahkan masalah:

1. Analisis kondisi masalah. Pesawat akan dibangun pada jarak 25 mm dari bidang (ΔABC). Karena itu, Anda perlu membangun tegak lurus terhadap pesawat.

2. Untuk membuat garis yang tegak lurus terhadap bidang, kita menetapkan garis-garis datar pada bidang - horizontal h(h 1 , h2 ) dan frontal f(f1 , f2 ) dan buat garis l(l 1 , l 2 ) tegak lurus terhadap bidang (ΔАВС) (Gambar 2.38).

Gambar 2.38 - Posisi titik L

3. Temukan alas dari garis tegak lurus, mis. titik K (K1, K2) dari perpotongan garis l (l 1, l 2) dengan bidang (ΔABS).

4. Pilih secara online l(l 1 , l 2 ) sembarang titik N(N1 ,N2 ) dan tentukan jarak dari titik yang dipilih ke bidang (N1 Kº).

5. Kami menemukan pada garis lurus l(l 1 , l 2 ) posisi titik L(L1 , L2 ) memiliki jarak dari bidang 25 mm.

6. Melalui titik L(L 1 , L2 ) kita membangun sebuah bidang (m∩n) sejajar dengan bidang yang diberikan (ΔАВС) (Gambar 2.39)

Gambar 2.39 - Bidang sejajar dengan yang diberikan pada jarak yang diperlukan

Pertanyaan untuk pengendalian diri pada topik 2:

1. Bagaimana posisi titik relatif terhadap garis lurus?

2. Kapan suatu titik termasuk dalam garis lurus?

3. Bagaimana garis lurus dapat diatur relatif satu sama lain?

4. Poin apa yang disebut bersaing?

5. Lanjutkan kalimat: Sudut siku-siku diproyeksikan ke bidang proyeksi frontal tanpa distorsi jika dibentuk oleh dua garis lurus yang berpotongan, salah satunya adalah garis lurus pada posisi umum, dan yang kedua ...... ..

6. Bagaimana menentukan ukuran alami segmen garis pada posisi umum?

7. Bagaimana syarat garis lurus dan bidang tegak lurus?

8. Apa syarat dua bidang tegak lurus?

9. Kapan garis sejajar dengan bidang?

10. Kapan dua bidang sejajar?

11. Apa syarat agar garis lurus termasuk dalam bidang datar?

12. Kapan suatu titik termasuk dalam bidang datar?

13. Apa algoritma untuk menemukan titik potong garis lurus dengan bidang?

14. Apa inti dari metode perantara bidang bantu ketika menemukan garis perpotongan dua bidang?

15. Apa itu bidang proyeksi?

3 KONVERSI PROYEKSI

3.1 Esensi dan cara utama mengonversi gambar

Penyelesaian masalah posisi dan metrik dalam geometri deskriptif sangat disederhanakan jika gambar lurus dan datar menempati posisi proyeksi garis dan bidang lurus, atau garis lurus dan bidang datar.

Kondisi yang diperlukan untuk menyederhanakan solusi masalah adalah konstruksi proyeksi tambahan baru, yang memungkinkan untuk memperoleh proyeksi degenerasi elemen individu, atau elemen-elemen ini dalam ukuran penuh. Konstruksi proyeksi tambahan disebut transformasi gambar.

Konversi dapat dilakukan dengan cara berikut:

1. Perubahan (penggantian) bidang proyeksi dengan syarat bahwa objek yang bersangkutan atau elemen-elemennya akan menempati salah satu posisi tertentu relatif terhadap sistem bidang proyeksi yang baru;

2. Rotasi benda-benda geometris dalam ruang di sekitar sumbu proyeksi sehingga mereka menempati setiap posisi tertentu relatif terhadap bidang proyeksi.

3. Gerakan bidang-paralel objek, di mana, metode rotasi di sekitar sumbu proyeksi dan pergerakan objek, mencapai transisi dari objek dengan posisi umum ke objek dengan posisi tertentu;

4. Perputaran benda-benda geometris dalam ruang di sekitar garis datar sehingga menempati posisi garis datar atau bidang datar.

3.2 Teori dan algoritma untuk memecahkan masalah posisi dan metrik dasar

Inti dari metode mengubah bidang proyeksi adalah transisi dari sistem bidang proyeksi tertentu ke yang baru. Dalam hal ini, segmen garis dan gambar datar mempertahankan posisinya, dan proyeksi barunya diperoleh dengan memperkenalkan bidang proyeksi tambahan.

Saat mengubah bidang proyeksi, tegak lurus timbal balik dari dua bidang proyeksi - baru dan tidak dapat diganti - harus dipertahankan.

Pertimbangkan mekanisme untuk mengubah bidang proyeksi menggunakan contoh transformasi dengan titik (Gambar 3.1.).

Gambar 3.1 - Mekanisme untuk mengubah bidang proyeksi P2 ke P4

Dalam diagram, transformasi ini ditunjukkan pada Gambar 3.2. Kami menetapkan dua proyeksi titik A (A1, A2) dalam sistem bidang proyeksi P1 dan P2. Mari kita perkenalkan posisi bidang P4. Dari proyeksi tak tergantikan dari titik A - A1

kami menggambar garis komunikasi tegak lurus dengan garis jejak bidang P4. Karena ketinggian titik tidak berubah ketika bergerak dari sistem bidang proyeksi P1 - P2 ke sistem bidang P1 - P4, ketinggian ini diukur pada bidang P2 dan diendapkan pada bidang P4 dari garis perpotongan garis. pesawat ke arah jalur komunikasi baru.

Gambar 3.2 - Mekanisme transisi dari sistem P1 - P2 ke P1 - P4 pada diagram

Mengganti salah satu bidang proyeksi tidak selalu mengarah pada solusi akhir masalah, oleh karena itu, kami akan mempertimbangkan secara berurutan mekanisme transisi dari sistem bidang proyeksi P1 - P2 ke P1 - P4, dan kemudian ke P4 - P5. (Gambar 3. 3).

Untuk mendapatkan proyeksi titik A pada bidang proyeksi P5, pertama-tama perlu dilakukan pemindahan titik secara berurutan ke bidang P4, kemudian ke bidang P5. Untuk melakukan konstruksi, kami mengganti bidang P2 dengan bidang P4.

Gambar 3.3 - Mekanisme transisi dari sistem P1 - P2 ke P4 - P5 pada diagram

Proyeksi titik A4 diperoleh sebagai berikut: dari proyeksi titik A1 yang tidak dapat diganti, kami menggambar garis sambungan yang tegak lurus terhadap garis perpotongan bidang P1 - P4 dan menyisihkan jarak yang diukur dari proyeksi yang diganti. dari titik ke garis perpotongan bidang P1 - P2. Selama transisi ke sistem bidang proyeksi P4 - P5, bidang P1 digantikan oleh P5. Dari proyeksi titik A4 yang tak tergantikan, kami menggambar garis komunikasi yang tegak lurus dengan garis perpotongan bidang P4 - P5. Dari garis ini kita tunda jarak yang diukur dari proyeksi pengganti titik A1 ke garis perpotongan bidang P1 - P4. Sebagai hasilnya, kami membuat proyeksi titik A5.

Cara lain untuk mengubah gambar adalah metode rotasi. Ini terdiri dari fakta bahwa sistem bidang proyeksi yang diberikan tetap tidak berubah, dan gambar diputar di sekitar sumbu tetap sampai mengambil posisi tertentu relatif terhadap bidang proyeksi, khususnya, menjadi sejajar atau tegak lurus dengan salah satu bidang proyeksi. .

tion. Rotasi dilakukan di sekitar sumbu tegak lurus atau sejajar dengan bidang proyeksi.

Mari kita membahas mekanisme rotasi titik di sekitar sumbu proyeksi. Biarkan titik A berputar di sekitar sumbu proyeksi horizontal i. Dalam hal ini, titik tersebut akan menggambarkan sebuah lingkaran dengan pusat yang melalui sumbu rotasi i (i 1 ,i 2 ). Selama rotasi, lintasan titik A adalah lingkaran, yang bidangnya sejajar dengan bidang proyeksi horizontal (Gambar 3. 4).

Gambar 3. 4 - Rotasi di sekitar sumbu proyeksi horizontal

Pada diagram, proses rotasi titik digambarkan sebagai berikut. Pilih sumbu rotasi i (i1 , i2 ). Pada bidang proyeksi horizontal, sumbu ini diproyeksikan ke titik i1. Dari pusat i1, proyeksi titik A1 menggambarkan lingkaran, berputar pada sudut berapa pun hingga mengambil posisi A1". Proyeksi frontal titik A2 kemudian bergerak sepanjang garis lurus horizontal ke posisi baru titik A2 " .

Jadi, ketika berputar di sekitar horizontal

proyeksi sumbu, proyeksi horizontal titik bergerak sepanjang lingkaran, dan proyeksi frontal bergerak sepanjang garis lurus tegak lurus terhadap proyeksi sumbu rotasi (Gambar 3.5).

Gambar 3.5 - Algoritma rotasi di sekitar sumbu proyeksi horizontal

Ketika sebuah titik berputar di sekitar sumbu proyeksi frontal, titik tersebut menggambarkan lintasan dalam bentuk lingkaran, yang bidangnya sejajar dengan bidang proyeksi frontal (Gambar 3. 6).

Gambar 3.6 - Rotasi di sekitar sumbu proyeksi depan

Ketika berputar di sekitar garis lurus yang menonjol ke depan, proyeksi depan dari titik tersebut menggambarkan sebuah lingkaran, dan yang horizontal bergerak sepanjang garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Algoritma untuk memutar sebuah titik di sekitar sumbu proyeksi frontal ditunjukkan pada Gambar 3.7.

Gambar 3.7 - Algoritma rotasi di sekitar sumbu proyeksi depan

3.3. Metode mengubah bidang proyeksi. Solusi dari tugas utama

Tidak peduli bagaimana gambar dikonversi, tugas utama konversi dapat dikurangi menjadi yang berikut:

1. Transformasi di mana garis lurus generik menjadi garis lurus datar.

2. Transformasi di mana garis level menjadi garis proyeksi.

3. Transformasi di mana bidang generik menjadi bidang proyeksi.

4. Transformasi di mana bidang proyeksi menjadi bidang datar.

Mari kita pertimbangkan solusi dari tugas utama mengubah gambar dengan mengubah bidang proyeksi.

Agar garis posisi umum menjadi garis datar, perlu untuk memperkenalkan bidang proyeksi baru 4 yang akan sejajar dengannya. Mari kita ganti, misalnya, bidang P2 dengan bidang P4 (gambar 3.8).

Bidang P4 terletak sejajar dengan proyeksi tak tergantikan dari segmen garis lurus A1 B1. Proyeksi yang dihasilkan dari segmen garis A4 B4 adalah garis datar, oleh karena itu, proyeksi ini adalah ukuran alami dari segmen tersebut. Solusi dari masalah ini memungkinkan Anda untuk menentukan sudut kemiringan segmen garis lurus AB ke bidang proyeksi horizontal -α.

Gambar 3.8 - Transformasi garis posisi umum menjadi garis level

Agar garis lurus menjadi garis proyeksi (yaitu, diproyeksikan ke beberapa bidang proyeksi oleh suatu titik), bidang proyeksi baru harus tegak lurus terhadapnya.

Tegak lurus dalam gambar kompleks dipertahankan hanya pada garis datar. Oleh karena itu, bidang proyeksi baru P4 dipilih tegak lurus terhadap proyeksi yang sesuai dari garis level, yaitu. dengan ukuran alami segmen AB (Gambar 3.9).

Gambar 3.9 - Mengubah level langsung menjadi level proyeksi

Agar bidang dalam posisi umum menjadi proyektif, sistem baru bidang proyeksi harus tegak lurus terhadapnya. Sebuah bidang akan tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu jika bidang tersebut tegak lurus terhadap sembarang garis datar pada bidang tersebut. Oleh karena itu, untuk memilih posisi bidang baru P4, perlu diputuskan bidang proyeksi mana yang akan diganti. Sebagai contoh, mari kita ganti bidang P2 dengan bidang P4 (Gambar 3.10). Pada bidang proyeksi horizontal, bidang proyeksi horizontal tanpa distorsi.

proyeksi payung dari horizontal h1, jadi kami membangun bidang P4 tegak lurus terhadapnya.

Pada bidang P4, segitiga ABC menempati posisi proyeksi

Gambar 3.10 - Transformasi bidang posisi umum menjadi bidang proyeksi

Agar bidang yang diberikan berubah menjadi bidang datar, perlu untuk menempatkan bidang P4 sejajar dengannya (Gambar 3.11).

Gambar 3.11 - Transformasi bidang proyeksi menjadi bidang datar

Untuk mengubah bidang posisi umum menjadi bidang datar, perlu dilakukan dua transformasi: pertama, ubah bidang posisi umum menjadi bidang proyeksi, dan kemudian, dengan memasukkan bidang lain 5, ubah bidang proyeksi menjadi bidang datar .

3.4 Metode rotasi di sekitar sumbu proyeksi. Solusi dari tugas utama

Tugas 1. Mengubah garis posisi umum menjadi garis level

Untuk menyelesaikan masalah, perlu untuk memilih posisi sumbu rotasi. Mari kita pilih, misalnya, garis yang diproyeksikan secara horizontal sebagai sumbu rotasi. Dalam hal ini, rotasi akan dilakukan pada bidang proyeksi horizontal. Sudut rotasi garis lurus ditentukan oleh kondisi masalah: garis lurus harus diputar ke posisi garis sejajar, dalam hal ini, ke posisi garis garis depan (Gambar 3.12).

Gambar 3.12 - Transformasi garis posisi umum menjadi garis sejajar dengan rotasi

Tugas 2. Mengubah garis level menjadi garis proyeksi.

Saat melakukan rotasi, Anda harus memilih posisi sumbu rotasi. Dalam hal ini, sumbu proyeksi horizontal harus dipilih sebagai sumbu rotasi dan sudut rotasi garis lurus harus ditentukan. Sudut rotasi ditentukan oleh kondisi masalah (Gambar 3.13).

Gambar 3.13 - Transformasi garis level menjadi garis proyeksi dengan metode rotasi

Tugas 3. Mengubah bidang posisi umum menjadi proyeksi

Penyelesaian masalah dimulai dengan pemilihan sumbu rotasi. Mari kita pilih, misalnya, garis yang diproyeksikan secara horizontal sebagai sumbu rotasi. Dalam hal ini, rotasi harus dilakukan pada bidang proyeksi horizontal. Sudut rotasi bidang segitiga di sekitar sumbu proyeksi horizontal akan mengatur proyeksi horizontal bidang horizontal pada bidang yang diberikan (Gambar 3.14).

Gambar 3.14 - Transformasi bidang posisi umum menjadi bidang proyektif dengan metode rotasi

Tugas 4. Mengubah bidang proyeksi menjadi bidang datar.

Mari kita pilih posisi sumbu rotasi. Dalam hal ini, Anda harus memilih sumbu rotasi yang diproyeksikan secara horizontal. Sudut rotasi objek menentukan rotasi bidang yang ditentukan ke posisi bidang frontal level (Gambar 3.15).

Gambar 3.15 - Transformasi bidang proyeksi menjadi bidang datar dengan metode rotasi

3.5 Metode gerakan bidang-paralel

Metode gerakan bidang-paralel terdiri dari bahwa bidang proyeksi tetap tidak berubah, dan objek diputar di sekitar sumbu proyeksi sampai mengambil posisi tertentu relatif terhadap bidang proyeksi dan dipindahkan. Tergantung pada kondisi tugas, objek harus diubah sehingga terletak tegak lurus atau sejajar dengan bidang proyeksi.

Tugas 1. Mengubah bidang generik menjadi bidang datar.

Gambar 3.16 - Metode gerakan bidang-paralel

Pertanyaan untuk pengendalian diri pada topik 3:

1. Apa inti dari metode mengubah bidang proyeksi?

2. Bisakah garis generik diubah menjadi garis level menggunakan transformasi tunggal?

3. Bagaimana arah proyeksi dipilih untuk mengubah bidang generik menjadi bidang proyeksi?

4. Apa perbedaan antara metode mengubah bidang proyeksi dan metode gerakan bidang-paralel?

5. Berapa kali garis pada posisi umum harus berubah posisinya relatif terhadap bidang proyeksi 1 , P2 menjadi garis lurus yang menonjol ke depan?

6. Apa inti dari metode rotasi di sekitar garis proyeksi?

4 POLIHEDA

4.1 Informasi umum tentang polihedra. Menentukan polyhedra dalam multidrawing

Polyhedra, mewakili bentuk geometris paling sederhana, merupakan dasar dalam desain struktur teknik. Bentuk polihedral banyak digunakan dalam desain bagian-bagian mesin dan mekanisme dalam teknologi, serta dalam berbagai struktur arsitektur.

Yang paling menarik secara praktis adalah prisma, piramida, dan polihedral seragam cembung, semua permukaannya adalah poligon beraturan dan sama - padatan Plato (tetrahedron - 4, oktahedron - 8, ikosahedron - 20 segitiga beraturan; heksahedron (kubus - 6 persegi panjang beraturan); dodecahedron - 12 segi lima biasa). Sebuah polihedron disebut cembung jika terletak di satu sisi bidang dari salah satu wajahnya.

Sebuah polihedron adalah tubuh dibatasi oleh poligon datar. Poligon ini disebut tepi (Gambar 4.1).

Gambar 4.1 - Contoh polihedra

Totalitas semua wajah polihedron disebut permukaannya

Wajah berpotongan sepanjang garis lurus yang disebut tepi. Tepi berpotongan di titik-titik yang disebut simpul.

Gambar polihedra harus dapat dibalik. Ini dapat dicapai jika kondisi tertentu untuk lokasi tepi polihedron dalam proyeksi terpenuhi.

Dalam gambar, polihedra digambarkan sebagai proyeksi dari simpul dan tepinya. Pada Gambar 4.2, diberikan prisma tetrahedral lurus ABCDKLMN dan piramida trihedral SABC. Sebuah prisma disebut lurus jika sisi-sisinya menghadap dan sisi-sisinya tegak lurus alasnya. Prisma siku-siku disebut beraturan jika alasnya berupa poligon beraturan.

Gambar 4.2 - Menentukan polihedra pada diagram

4.2 Perpotongan polihedra oleh bidang dan garis lurus

Garis perpotongan polihedron dengan bidang adalah poligon datar (Gambar 4.3).

Gambar 4.3 - Perpotongan polihedron dengan bidang

Garis potong polihedron oleh bidang dapat dibuat dengan dua cara.

Cara pertama. Temukan simpul dari poligon yang diinginkan sebagai hasil dari perpotongan tepi polihedron dengan bidang potong.

Cara kedua. Temukan sisi poligon yang diinginkan sebagai hasil dari perpotongan wajah polihedron dengan bidang potong.

Dalam kasus pertama, seseorang harus berulang kali memecahkan masalah membangun titik perpotongan garis lurus dengan bidang, dalam kasus kedua, membangun garis perpotongan dua bidang. Dalam kasus di mana bidang potong atau permukaan berada pada posisi tertentu, tugasnya sangat disederhanakan, karena pada salah satu bidang proyeksi proyeksi garis bagian akan bertepatan dengan proyeksi bidang potong (Gambar 4.4), atau dengan proyeksi merosot dari permukaan polihedron (Gambar 4.5).

Untuk membangun garis perpotongan piramida trihedral dengan bidang proyeksi frontal, perlu untuk menemukan titik potong setiap tepi piramida SABC dengan bidang proyeksi frontal . Sebagai hasil dari konstruksi, kami mendapatkan segitiga DFE. Jika permukaan generik berpotongan dengan bidang proyeksi frontal, maka proyeksi frontal dari garis penampang (segitiga) akan bertepatan dengan proyeksi frontal bidang pemotongan 2. Proyeksi frontal dari simpul garis bagian (D2 , F2 , E2 ) didefinisikan sebagai hasil perpotongan setiap tepi piramida dengan bidang potong. Dengan memproyeksikan titik-titik yang menentukan garis bagian ke bidang proyeksi horizontal ke proyeksi tepi yang sesuai, kami memperoleh proyeksi horizontal dari garis bagian yang diinginkan (D1, F1, E1).

Gambar 4.4 - Perpotongan piramida dengan bidang proyeksi

Untuk membuat bagian prisma lurus ABCD dengan bidang generik Q(a||b), Anda perlu membuat sisi poligon yang diinginkan

KLMN sebagai hasil perpotongan muka polihedron dengan bidang Q(a||b) (Gambar 4.5). Untuk melakukan ini, kami menggambar bidang potong tambahan melalui proyeksi wajah B1 C1. Bidang ini akan memotong bidang yang diberikan Q(a||b) sepanjang garis lurus yang melewati titik 11 , 21 . Kami membangun proyeksi garis bagian dari dua bidang di bidang proyeksi depan (12, 22) dan menemukan titik potong segmen ini dengan tepi B dan C - L dan M. Demikian pula, kami membangun garis perpotongan dari wajah AD dengan bidang Q - segmen KN. Di bidang proyeksi frontal, kami menghubungkan proyeksi segmen poligon K2 L2 M2 N2, dengan mempertimbangkan visibilitas wajah

– proyeksi segmen terlihat jika wajah terlihat dalam proyeksi yang diberikan, tidak terlihat – jika proyeksi wajah tidak terlihat. Selain itu, perlu untuk menetapkan visibilitas timbal balik dari tepi prisma dan bidang pemotongan.

Gambar 4.5 - Perpotongan prisma proyeksi dengan bidang posisi umum

Pertimbangkan konstruksi bagian piramida pada posisi umum dengan bidang pada posisi umum (Gambar 4.6).

Gambar 4.6 - Perpotongan piramida dengan bidang pada posisi umum

Untuk menyusun garis perpotongan, kita akan mendefinisikan simpul-simpul bagian tersebut sebagai hasil perpotongan setiap rusuk piramida dengan bidang posisi umum (a||b). Untuk mencari titik potong sisi SA dengan bidang (a||b), perlu melampirkan tepi pada bidang potong Q dan menemukan garis perpotongan dua bidang Q dan - segmen 12 22 ;11 21 . Titik K dibangun sebagai hasil dari perpotongan proyeksi yang sesuai dari proyeksi tepi SA dan segmen 1,2. Titik-titik L dan N ditemukan menurut algoritma yang sama sebagai hasil perpotongan dari sisi-sisi SB dan SC dengan bidang (a||b).

Tugas definisi titik potong polihedron dengan garis lurus diselesaikan berdasarkan metode bidang pemotongan tambahan. Dalam hal ini, salah satu proyeksi garis lurus yang diberikan tertutup dalam bidang proyeksi garis potong. Temukan garis perpotongan dari bantu

memotong bidang dengan polihedron. Proyeksi titik-titik perpotongan garis lurus dengan polihedron ditemukan sebagai hasil perpotongan garis bagian yang dibangun dan proyeksi lain dari garis lurus tertentu dan penentuan selanjutnya posisinya di kedua bidang proyeksi. Temukan titik potong piramida dengan garis lurus pada posisi umum (Gambar 4.7).

Gambar 4.7 - Perpotongan garis lurus dengan piramida

Mari kita simpulkan, misalnya, proyeksi frontal dari garis lurus yang diberikan l 2 ke bidang proyeksi frontal Q2 dan buatlah garis penampang piramida dengan bidang ini. Kami membangun titik-titik persimpangan piramida dengan garis l sebagai hasil dari persimpangan segitiga bagian pertama dengan proyeksi horizontal garis l 1 - K1 dan L1, dan kemudian kami mendapatkan proyeksi frontalnya (K2, L2).

Mari kita tentukan visibilitas timbal balik dari garis l (l 1 ,l 2 ) dengan piramida SABC. Tugas menentukan titik persimpangan polihedra dengan garis disederhanakan jika salah satu elemen berada pada posisi tertentu.

Misalnya, ketika menentukan titik potong garis pada posisi umum dengan prisma menonjol, masalahnya direduksi menjadi menentukan titik potong garis dengan proyeksi merosot dari wajah prisma (Gambar 4.8).

Gambar 4.8 - Perpotongan garis lurus dengan prisma lurus

Ketika menemukan titik persimpangan piramida dengan garis proyeksi, proyeksi horizontal titik persimpangan (K1, N1) ditentukan pada proyeksi degenerasi dari garis lurus, dan kemudian proyeksi frontalnya dijajarkan (K2, N2) dan visibilitas timbal balik mereka ditetapkan (Gambar 4.9).

Gambar 4.9 - Perpotongan piramida dengan garis proyeksi

4.3 Pembangunan pembangunan polihedra

Jika permukaan diberikan sifat-sifat fleksibilitas dan tidak dapat diperpanjang, maka beberapa di antaranya dapat digabungkan dengan bidang tanpa pembentukan lipatan dan patah, yaitu, untuk mendapatkan pengembangan permukaan.

Perkembangan polihedron adalah bangun datar yang diperoleh dengan menggabungkan semua wajah polihedron dengan satu bidang dalam urutan tertentu.

Untuk membangun pengembangan prisma atau piramida, perlu untuk menentukan ukuran sebenarnya dari tepi dan alasnya, dan kemudian membangun pengembangan permukaan (Gambar 4.10 dan 4.11).

Konstruksi pengembangan piramida direduksi menjadi konstruksi berulang dari ukuran alami segitiga yang membatasi permukaannya.

Mari kita membangun pengembangan penuh piramida trihedral (Gambar 4.10). Untuk melakukan ini, kami menentukan ukuran sebenarnya dari setiap tepi menggunakan metode segitiga siku-siku. Tepi SC adalah garis depan level, jadi proyeksinya S2 C2 alami. Dasar piramida adalah bidang datar horizontal, sehingga proyeksi horizontal segitiga ABC adalah nilai alami.

Gambar 4.10 - Perkembangan piramida

Konstruksi pindaian prisma miring direduksi menjadi konstruksi nilai alami wajah polihedron. Membangun ini dapat dilakukan dengan cara berikut:

1. Metode penampang normal, di mana lebar setiap permukaan ditentukan menggunakan bidang potong yang tegak lurus dengan tepi prisma;

2. Metode penggulungan, yang didasarkan pada kombinasi berurutan dari semua permukaan prisma dengan bidang, dengan memutar di sekitar garis datar;

3. Metode triangulasi berdasarkan membagi belah ketupat dengan diagonal menjadi segitiga dan menentukan nilai alami dari sisi segitiga.

Mari kita membahas lebih detail tentang pertimbangan esensi dari metode bagian normal. Mari kita atur posisi prisma sedemikian rupa sehingga ujung-ujungnya, misalnya, pada posisi bagian depan (Gambar 4.11).

Gambar 4.11 - Memindai prisma menggunakan metode bagian normal

Mari kita berpotongan prisma yang diberikan dengan bidang bantu yang tegak lurus dengan tepi prisma, mis. tentukan lebar masing-masing muka prisma tersebut. Mari kita tentukan nilai alami dari bagian normal ini dan buat pengembangan permukaan prisma. Pembangunan pembangunan dimulai dengan pembangunan garis horizontal, di mana kami menyisihkan segmen yang menentukan lebar setiap wajah di sepanjang bagian normalnya.

Melalui titik-titik yang menentukan panjang segmen, kami menggambar garis tegak lurus terhadapnya, di mana kami memplot panjang segmen rusuk yang tertutup antara garis bagian dan alas prisma.

Perkembangan permukaan lateral prisma diperoleh setelah menghubungkan ujung-ujung segmen yang dibangun dengan garis lurus. Untuk membangun sapuan prisma yang lengkap, perlu untuk melengkapi nilai-nilai alami alas prisma.

4.4 Saling berpotongan polihedra

Hasil perpotongan dua polihedra adalah garis tertutup poligonal spasial yang membentang di sepanjang permukaan lateral kedua polihedra.

Tautannya didefinisikan sebagai hasil perpotongan wajah satu polihedron dengan wajah yang lain, dan simpul didefinisikan sebagai titik perpotongan tepi setiap polihedron dengan wajah yang lain. Dengan demikian, masalah membangun garis yang saling berpotongan antara dua polihedra dapat direduksi menjadi menyelesaikan masalah persimpangan dua bidang, atau menjadi perpotongan garis dengan bidang.

Garis perpotongan polihedra dapat dipecah menjadi dua atau lebih cabang, yang dapat berupa garis poligonal spasial tertutup dan poligon datar. Garis perpotongan dapat berada dalam bagian yang sama dari proyeksi kedua permukaan yang berpotongan.

Mari kita bangun garis perpotongan prisma KLMN dengan piramida SABC.

Untuk membangun garis perpotongan, pertama-tama kita cari titik potongnya, misalnya tepi prisma dengan permukaan limas (Gambar 4.12). Dari gambar terlihat bahwa rusuk M, N, L berada di luar bidang tumpang tindih kedua polihedra, sehingga tidak berpotongan dengan piramida. Tepi K terletak di daerah superposisi proyeksi dua wajah piramida CSA dan CSB (ditentukan oleh proyeksi horizontal wajah C1 S1 A1 dan C1 S1 B1 dan tepi K1), jadi kami menentukan titik perpotongan tepi K dengan wajah-wajah ini.

Gambar 4.12 - Menemukan titik potong tepi prisma dengan permukaan piramida

Untuk konstruksi, kami akan menggunakan garis lurus bantu (S1 11 , S1 21 ), yang kami gambar di wajah CSB dan CSA melalui proyeksi titik persimpangan tepi K dengan wajah - titik 3 dan 4 (pertama kita tentukan proyeksi horizontal 31 dan 41 ). Mari kita buat proyeksi frontal titik 3 dan 4 pada perpotongan proyeksi tepi K2 dengan proyeksi garis bantu S2 12 , S2 22 .

Kami menemukan titik persimpangan tepi piramida dengan wajah prisma. Kami akan mulai membangun titik-titik ini dari bidang proyeksi horizontal, karena prisma menempati posisi proyeksi horizontal. Proyeksi tepi S1 A1 memotong dua muka prisma K1 L1 dan L1 N1 pada titik 51 dan 61 . Mari proyeksikan titik-titik ini ke bidang proyeksi depan ke proyeksi tepi S2 B2 dan buat proyeksi 52 dan 62 .

Dengan argumen yang sama, kami membuat proyeksi titik potong tepi SA dan SC dengan permukaan prisma KL, KN dan KM (7,8, 9, 10) (Gambar 4.13).

Gambar 4.13 - Menemukan titik potong tepi piramida dengan permukaan prisma

Hubungkan berturut-turut proyeksi titik-titik persimpangan dengan segmen garis lurus yang secara bersamaan termasuk ke wajah prisma dan piramida. Misalnya, proyeksi titik 7-5-4-9-3-7 terhubung secara berurutan, menghubungkan segmen garis perpotongan dua polihedra di area masuk dan titik 8, 6 dan 10 di area keluar dari​ dua polihedra.

Tahap terakhir konstruksi adalah menentukan visibilitas bagian dari garis persimpangan yang dibangun. Proyeksi ruas garis perpotongan dianggap tampak jika ruas tersebut berada pada proyeksi tampak muka limas dan muka prisma. Jika setidaknya salah satu proyeksi wajah tidak terlihat, maka proyeksi bagian yang dipertimbangkan dari garis persimpangan tidak terlihat. Mari kita hubungkan bagian-bagian dari garis perpotongan dan guratkan gambarnya, dengan mempertimbangkan visibilitas wajah (Gambar 4.14).

Gambar 4.14 - Saling berpotongan polihedra

Pertanyaan untuk pengendalian diri pada topik 4:

1. Apa itu polihedron?

2. Apa yang mendefinisikan permukaan polihedron dalam gambar kompleks?

3. Metode apa yang digunakan untuk membangun bagian polihedron dengan bidang?

4. Bagaimana titik masuk dan keluar dibangun ketika polihedron berpotongan dengan garis lurus?

5. Apa inti dari metode bagian normal ketika membuat sapuan prisma?

6. Metode apa yang digunakan untuk membuat sapuan piramida?

5 KURVA DAN PERMUKAAN

5.1 Garis lengkung

Garis lengkung digunakan dalam desain berbagai permukaan, dalam teori mesin dan mekanisme, dalam bisnis pemodelan dan penandaan, dalam konstruksi diagram keadaan sistem multikomponen.

Garis lengkung adalah himpunan posisi berurutan dari suatu titik yang bergerak dalam ruang.

Garis lengkung, semua titik yang termasuk dalam bidang yang sama, disebut datar, misalnya, garis lurus, lingkaran, elips, parabola, hiperbola, sinusoid, grafik fungsi satu variabel, grafik persamaan dengan dua tidak diketahui, garis lengkung lainnya - spasial, misalnya, garis heliks.

Setiap kurva mencakup elemen geometris yang membentuk determinannya, yaitu. satu set kondisi independen yang secara unik menentukan kurva ini.

Ada cara-cara berikut untuk mendefinisikan kurva:

1. Analitis - kurva diberikan oleh persamaan matematika;

2. Grafis - kurva diatur hanya secara grafis;

3. Tabular - kurva ditentukan oleh koordinat serangkaian titik-titiknya yang berurutan.

Setiap garis lengkung dapat diperoleh dengan memindahkan suatu titik dalam ruang, sebagai akibat dari perpotongan permukaan lengkung dengan bidang dan sebagai hasil dari perpotongan permukaan, paling tidak salah satunya adalah kurva.

Titik-titik garis lengkung datar dibagi menjadi biasa (titik singgung A) dan khusus (titik belok B - pada titik belok, kelengkungan berubah tanda - dari

di satu sisi titik ini, kurvanya cembung, di sisi lain, cekung; cusp C - cusp dari jenis pertama (titik F dari cycloid mengacu pada cusp dari jenis pertama), D - cusp dari jenis ke-2; titik E adalah titik ganda dari strophoid, pada titik ini kurva memiliki dua garis singgung yang berbeda m1 dan m2) (Gambar 5.1).

Gambar 5.1 - Titik biasa dan titik tunggal dari kurva

Garis lengkung beraturan dibagi menjadi aljabar (lingkaran, parabola) dan transendental (sinusoid).

Saat mempelajari garis lengkung datar, sering kali menjadi perlu untuk menentukan urutannya. Urutan garis lengkung datar ditentukan oleh jumlah terbesar titik perpotongannya dengan garis lurus, atau derajat persamaannya. Garis orde pertama adalah garis lurus. Garis lengkung orde kedua - elips (bentuk khususnya adalah lingkaran), parabola, hiperbola.

Lingkaran adalah kurva tertutup, yang semua titiknya berada pada jarak yang sama dari beberapa titik O yang terletak di bidang ini, yang disebut pusat. Persamaan lingkaran: x 2 +y 2 =R 2 .

Elips adalah himpunan semua titik pada bidang, jumlah jarak ke dua titik tertentu F1 dan F2, yang disebut fokus, adalah nilai konstan (2a). Persamaan elips: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 =1.

Gambar 5.2 - Garis orde kedua: lingkaran dan elips

Parabola didefinisikan oleh persamaan y 2 = 2px . Sebuah parabola memiliki satu titik yang tidak tepat, memiliki satu sumbu simetri.

Hiperbola didefinisikan oleh persamaan x2 /a2 – y2 /b2 =1. Sebuah hiperbola memiliki pusat dan dua sumbu simetri, dan memiliki dua titik yang tidak tepat.

Gambar 5.3 - Garis orde kedua: parabola dan hiperbola

Dari garis lengkung spasial, garis heliks silinder dan kerucut adalah kepentingan praktis terbesar.

Heliks silinder - ini adalah garis yang dijelaskan oleh sebuah titik dengan gerakan seragam sepanjang garis lurus, dengan rotasi seragam rotasinya di sekitar sumbu yang sejajar dengannya.

Gambar 5.4 - Heliks

Ketinggian titik A naik dalam satu putaran penuh disebut lapangan heliks.

Proyeksi frontal dari garis heliks silinder adalah sinusoidal, proyeksi horizontal adalah lingkaran.

5.2 Pembentukan permukaan melengkung

Permukaan lengkung adalah seperangkat posisi berurutan dari garis tertentu yang bergerak dalam ruang menurut hukum tertentu.

Permukaan dapat didefinisikan dalam gambar dengan cara berikut:

1. Kinematik - permukaan dianggap sebagai rangkaian posisi garis yang bergerak dalam ruang menurut hukum tertentu.

Garis yang bergerak disebut generatrix dari permukaan, dan garis

di mana generatrix bergerak disebut panduan (Gambar 5.5).

Gambar 5.5 - Cara kinematik untuk mendefinisikan permukaan

2. Gambar rangka - jika tidak mungkin untuk menggambarkan secara matematis, permukaan diatur oleh jaringan garis yang cukup padat milik permukaan ini. Kerangka permukaan dapat terdiri dari kurva tiga dimensi atau keluarga bagian bidang (gambar 5.6).

Gambar 5.6 - Mendefinisikan permukaan dengan bingkai

3. Analitis - permukaan dianggap sebagai kumpulan titik dua dimensi yang berkesinambungan. Koordinat titik-titik himpunan ini memenuhi beberapa persamaan F(x,y,z) = 0.

4. Determinan adalah seperangkat kondisi yang diperlukan dan cukup untuk penetapan permukaan yang unik. Kualifikasi permukaan

terdiri dari bagian geometri dan algoritme D = [G] [A] . Misalnya, permukaan silinder revolusi dapat ditentukan dengan memutar garis lurus a di sekitar sumbu tetap i menggunakan determinan: D = [A]. Bagian geometrik dari determinan diwakili oleh proyeksi frontal dari sumbu dan generatrix. Di bagian algoritmik, "permukaan revolusi" harus ditulis (Gambar 5.7).

Gambar 5.7 - Mendefinisikan permukaan dengan determinan

5. Garis Besar - batas bagian permukaan yang terlihat pada bidang proyeksi yang sesuai. Metode ini adalah yang paling visual dalam memecahkan masalah geometri deskriptif. Misalnya, permukaan silinder melingkar kanan dapat diwakili oleh proyeksi garis horizontal dan frontalnya (Gambar 5.8).

Gambar 5.8 - Mendefinisikan permukaan dengan sketsa

Berbagai macam permukaan, berbagai cara pembentukannya, kompleksitas karakteristik geometris menciptakan kesulitan dalam upaya untuk mengklasifikasikan permukaan.

Semua permukaan melengkung, tergantung pada jenis generator, dibagi menjadi permukaan yang diatur, di mana generatrix adalah garis lurus, dan non-aturan, di mana generatrix adalah kurva.

Permukaan yang diatur terpisah, jika diberi sifat fisik fleksibilitas dan tidak dapat diperpanjang, dapat diperluas agar bertepatan dengan bidang tanpa kerutan atau putus. Permukaan seperti itu disebut dapat digunakan. Permukaan yang diatur yang tidak memenuhi persyaratan yang ditentukan, serta permukaan yang tidak diatur, disebut tidak dapat digunakan.

5.3 Permukaan: rotasi, aturan, heliks, siklik

5.3.1 Permukaan revolusi

Permukaan revolusi adalah permukaan yang digambarkan oleh generatrix kurva (atau garis lurus) ketika berputar di sekitar sumbu tetap.

Setiap titik generator menggambarkan selama rotasinya sebuah lingkaran yang berpusat pada sumbu. Lingkaran ini disebut paralel. Paralel dari jari-jari terbesar disebut ekuator, yang terkecil - tenggorokan (Gambar 5.9).

Kurva yang diperoleh di bagian tubuh revolusi oleh bidang yang melewati sumbu disebut meridian. Meridian yang sejajar dengan bidang proyeksi frontal disebut yang utama.

Gambar 5.9 - Permukaan rotasi

Permukaan yang dibentuk oleh rotasi garis lurus meliputi permukaan berikut:

1. Silinder rotasi - dibentuk oleh rotasi garis lurus di sekitar sumbu-i yang sejajar dengannya.

2. Kerucut rotasi - dibentuk oleh rotasi garis lurus di sekitar sumbu-i yang berpotongan dengannya.

3. Sebuah hiperboloid revolusi satu-lembar diperoleh dengan memutar garis lurus di sekitar sumbu-i berpotongan dengan itu.

Sebuah hiperboloid revolusi juga dapat diperoleh dengan memutar hiperbola di sekitar sumbu imajinernya.

Permukaan yang diberi nama juga merupakan permukaan yang diatur (Gambar 5.10).

Gambar 5.10 - Permukaan revolusi: silinder, kerucut, hiperboloid

Permukaan revolusi yang dibentuk oleh rotasi lingkaran meliputi:

1. Sphere - permukaan yang dibentuk oleh rotasi lingkaran di sekitar diameternya;

2. Torus - permukaan yang dibentuk oleh rotasi lingkaran di sekitar sumbu yang terletak di bidang lingkaran ini, tetapi tidak melewati pusatnya;

3. Cincin - permukaan yang dibentuk oleh rotasi lingkaran di sekitar sumbu yang terletak di luar lingkaran.

Torus adalah permukaan orde keempat.

Setiap permukaan dianggap diberikan jika memungkinkan untuk menentukan posisi setiap titik pada permukaannya. Untuk membangun poin di permukaan

bola atau torus, perlu untuk menggunakan paralel dan meridian dari permukaan ini (Gambar 5.11).

Gambar 5.11 - Permukaan revolusi: bola, torus, cincin

Permukaan revolusi yang dibentuk oleh rotasi elips, parabola dan hiperbola disebut masing-masing: elipsoid revolusi, paraboloid revolusi, hiperboloid revolusi satu lapis (Gambar 5.12).

Gambar 5.12 - Permukaan revolusi: ellipsoid, paraboloid, hiperboloid

5.3.2 Permukaan bergaris

Permukaan yang dibentuk oleh gerakan garis lurus disebut permukaan beraturan.

Permukaan beraturan yang dibentuk oleh pergerakan generatrix bujursangkar yang terus-menerus melewati beberapa titik S dan dalam semua kasus memotong beberapa kurva pemandu disebut kerucut.

Permukaan beraturan yang dibentuk oleh pergerakan generatrix yang sejajar dengan arah tertentu dan berpotongan dengan pemandu disebut permukaan silinder.

Permukaan yang diatur termasuk: permukaan dengan cusp- dibentuk dengan menggerakkan garis lurus sepanjang kurva spasial tertentu, dan generatrix garis lurus tetap pada setiap titik yang bersinggungan dengan pemandu lengkung (Gambar 5.13).

Gambar 5.13 - Permukaan bergaris: kerucut, silindris, permukaan dengan tepi balik

5.3.3 Permukaan heliks

Permukaan heliks dibentuk oleh gerakan heliks dari beberapa garis pembangkit (Gambar 5.14).

Permukaan heliks dengan menghasilkan garis lurus disebut helikoid.

Sebuah helikoid disebut lurus jika garis lurus pembangkit membuat sudut siku-siku dengan sumbu z permukaan. Dalam kasus lain, helicoid disebut miring atau miring.

Gambar 5.14 - Helikoid lurus dan miring

5.3.4 Permukaan siklik

Suatu permukaan disebut siklik jika digambarkan oleh lingkaran dengan jari-jari konstan atau variabel selama gerakannya yang berubah-ubah.

Contoh permukaan siklik dapat berupa permukaan revolusi apa pun. Selain itu, mereka termasuk permukaan saluran dan tabung.

Permukaan saluran dibentuk dengan menggerakkan lingkaran radius variabel sepanjang panduan melengkung.

Permukaan tabung dibentuk dengan menggerakkan lingkaran dengan jari-jari konstan sepanjang pemandu melengkung (Gambar 5.15).

Gambar 5.15 - Permukaan siklik: saluran dan tabung

5.4 Masalah posisi umum

5.4.1 Perpotongan permukaan lengkung dengan bidang

Ketika permukaan melengkung berpotongan dengan bidang, dalam kasus umum, kurva bidang (elips, lingkaran) diperoleh. Ketika melintasi permukaan yang diatur dengan bidang, garis lurus juga dapat diperoleh, dalam kasus tertentu, jika bidang potong diarahkan sepanjang generator atau melewati satu titik (silinder atau kerucut).

Untuk membuat garis perpotongan permukaan lengkung dengan bidang, digunakan metode pemotongan bidang bantu. Bidang bantu dipilih sehingga memotong bidang yang diberikan sepanjang garis lurus, dan permukaan sepanjang garis grafis sederhana (lingkaran atau garis lurus). Titik-titik perpotongan garis-garis ini akan menjadi titik-titik yang diinginkan milik permukaan dan bidang potong.

Konstruksi proyeksi garis bagian permukaan oleh pesawat sangat disederhanakan jika bidang pemotongan menempati posisi proyeksi

zhenie. Dalam hal ini, salah satu proyeksi garis bagian sudah ada pada gambar: itu bertepatan dengan proyeksi bidang. Tugas dikurangi hanya untuk membangun proyeksi lain dari garis ini.

Pertimbangkan konstruksi garis penampang silinder dengan bidang proyeksi (Gambar 5. 16).

Gambar 5.16 - Perpotongan silinder dengan bidang proyeksi

Silinder berpotongan dengan bidang sepanjang elips. Karena silinder menempati posisi proyeksi horizontal, elips merosot ke bidang proyeksi horizontal menjadi lingkaran yang bertepatan dengan garis horizontal silinder. Karena bidang potong menempati posisi proyeksi frontal, proyeksi frontal elips merosot menjadi segmen garis lurus 12 22 .

Pertimbangkan konstruksi garis penampang silinder lingkaran siku-siku dengan bidang pada posisi umum (Gambar 5.17).

Algoritma konstruksi:

1. Menganalisis kondisi masalah. Karena silinder menempati posisi proyeksi horizontal, proyeksi horizontal elips bagian merosot menjadi lingkaran, dan proyeksi depan diproyeksikan menjadi elips.

Sudut pandang A dan B adalah titik yang membagi proyeksi frontal dari bagian elips menjadi bagian yang terlihat dan tidak terlihat. Proyeksi A2 dan B2 ditentukan dengan menggunakan bidang garis potong bantu Q (bidang frontal datar) yang ditarik melalui proyeksi A1 dan B1.

Titik dekat dan jauh C dan D ditentukan dengan menggunakan bidang potong dari tingkat frontal yang ditarik melalui proyeksi C1 dan D1 dan memotong silinder di sepanjang generator dekat dan jauh, dan bidang yang diberikan - di sepanjang front yang sesuai. Proyeksi titik C2 dan D2 ditemukan di perpotongan proyeksi garis yang sesuai.

Gambar 5.17 - Perpotongan silinder dengan bidang posisi umum

Poin tertinggi dan terendah dari bagian K dan L berada pada garis kemiringan yang ditarik melalui sumbu silinder yang tegak lurus terhadap horizontal bidang tertentu. Segmen KL menentukan posisi sumbu utama elips.

Sumbu kecil elips MN terletak tegak lurus terhadap sumbu utama, tegak lurus terhadapnya dan melewati sumbu silinder.

3. Tentukan posisi titik acak. Gunakan bidang garis potong tambahan dari tingkat frontal dan tentukan posisi proyeksi titik-titik acak pada bidang horizontal dan frontal dari proyeksi.

4. Atur visibilitas elips di bidang proyeksi frontal. Atur dalam proyeksi visibilitas timbal balik silinder dan bidang pemotongan.

PADA sebagai hasil dari perpotongan kerucut melingkar kanan dengan bidang, garis dapat diperoleh, yang sifatnya dapat diramalkan tergantung pada lokasi kerucut dan bidang potong. Garis-garis ini dapat berupa: lingkaran, elips, parabola, hiperbola, dan jika bidang potong melewati puncak kerucut, sepasang garis lurus (Gambar 5.18).

Mari kita buat garis bagian kerucut melingkar kanan dengan bidang proyeksi (Gambar 5.19).

Algoritma konstruksi:

1. Menganalisis kondisi masalah.

Bidang potong berada pada posisi proyeksi frontal, oleh karena itu, proyeksi frontal dari penampang elips berdegenerasi pada proyeksi frontal menjadi segmen garis lurus AB.

2. Tentukan posisi titik referensi: titik atas dan bawah dari bagian A dan B menentukan posisi sumbu utama elips. Posisi titik dekat dan titik jauh (C dan D) ditentukan pada sumbu minor elips yang tegak lurus terhadap sumbu mayor dan terletak di tengah ruas AB.

3. Tentukan posisi titik acak: K,L dan M,N. Untuk konstruksinya, bidang pemotongan tambahan dari level digunakan, yang

gandum hitam memotong permukaan kerucut di sepanjang lingkaran dengan jari-jari yang sesuai, dan bidang - di sepanjang garis lurus yang menonjol ke depan.

Gambar 5. 18 - Bagian kerucut (conic)

Gambar 5.19 - Perpotongan kerucut dengan bidang yang menonjol ke depan

5.4.2 Persimpangan permukaan melengkung dengan garis lurus

Hasil perpotongan bidang lengkung dengan garis lurus adalah sepasang titik.

Sepasang titik perpotongan garis lurus dengan permukaan melengkung secara kondisional disebut titik masuk dan titik keluar. Untuk membangun titik-titik ini, metode bidang pemotongan tambahan digunakan.

Algoritma konstruksi:

1. Setiap proyeksi dari garis lurus tertentu tertutup dalam bidang potong. (Biasanya, bidang proyeksi dipilih sebagai bidang bantu.)

2. Bangun proyeksi bagian garis permukaan dengan bidang.

3. Tentukan titik potong garis yang dihasilkan dengan garis lurus yang diberikan

4. Tentukan visibilitas timbal balik dari garis lurus dan permukaan. Pertimbangkan berbagai kasus membangun titik persimpangan kurva

permukaan garis lurus.

Pemecahan masalah disederhanakan jika salah satu elemen (garis atau permukaan) berada pada posisi tertentu (Gambar 5.20). Dalam hal ini, dalam salah satu proyeksi, posisi proyeksi titik-titik perpotongan garis lurus dengan permukaan lengkung ditentukan.

Dengan melampirkan proyeksi frontal dari garis lurus yang diberikan pada bidang potong proyeksi di bagian silinder, kami memperoleh elips, yang diproyeksikan ke bidang proyeksi horizontal dalam bentuk lingkaran yang bertepatan dengan garis horizontal permukaan silinder . Titik potong silinder proyeksi dengan garis lurus ditentukan pada bidang proyeksi horizontal pada perpotongan kontur horizontal silinder dengan proyeksi garis lurus. Visibilitas timbal balik dari garis lurus dan silinder dibuat.

Ketika menemukan titik potong garis posisi tertentu dengan permukaan kerucut pada posisi umum, seseorang dapat menggunakan konstruksi generator milik permukaan kerucut. Bangun titik potong M dan N dan tentukan jarak pandang antara garis dan kerucut.

Gambar 5.20 - Kasus khusus perpotongan permukaan dengan garis lurus

Perhatikan kasus umum perpotongan permukaan lengkung dengan garis lurus pada posisi umum menggunakan contoh perpotongan kerucut dengan garis lurus (Gambar 5.21). Kami akan menyelesaikan masalah ini dengan dua cara.

Dalam kasus pertama, proyeksi frontal dari garis lurus AB tertutup dalam sebuah bidang yang melewati puncak kerucut (bidang ABS). Bidang ini akan memotong kerucut sepanjang garis S1 dan S2. Untuk membuat garis-garis ini, ditemukan garis DC perpotongan bidang ABS dengan bidang alas kerucut dan titik 1 dan 2 perpotongannya dengan lingkaran alas kerucut. Titik potong K dan N garis AB dengan permukaan kerucut didapat dari perpotongan garis CD dengan garis S1 dan S2. Tentukan visibilitas timbal balik dari garis lurus dan kerucut.

Dalam kasus kedua, garis AB diapit oleh bidang proyeksi frontal yang memotong kerucut dalam elips. Titik potong K dan N ditemukan sebagai hasil perpotongan elips yang dibangun dengan garis lurus

AB dan tentukan jarak pandang antara garis lurus dan bidang potong.

Cara pertama untuk memecahkan masalah adalah yang paling rasional.

Gambar 5.21 - Persimpangan kerucut dengan garis lurus pada posisi umum

Untuk menyelesaikan masalah penentuan titik potong bola dengan garis lurus pada posisi umum (Gambar 5.22), lebih rasional untuk menggunakan metode mengubah bidang proyeksi. Dalam kasus ini, misalnya, proyeksi horizontal dari garis lurus AB yang diberikan ke bidang proyeksi horizontal disimpulkan. Di bagian bola oleh bidang ini, diperoleh lingkaran, yang diproyeksikan ke bidang P4 tanpa distorsi dalam bentuk lingkaran,

dan segmen garis A4 B4 - dalam ukuran aslinya. Titik potong C dan D ditentukan pada perpotongan lingkaran dan garis lurus pada bidang P4, dan kemudian proyeksinya pada bidang P1 dan P2 ditentukan. Atur visibilitas proyeksi garis lurus dan bola sesuai dengan visibilitas garis bagian yang dibangun.

Gambar 5.22 - Persimpangan bola dengan garis lurus pada posisi umum

5.4.3 Metode untuk membuat garis perpotongan permukaan lengkung

Dua permukaan lengkung berpotongan dalam kasus umum sepanjang garis lengkung spasial (Gambar 5.23).

Gambar 5.23 - Perpotongan antara permukaan lengkung

Garis perpotongan dua permukaan melengkung dibangun di atas titik-titik individualnya. Titik-titik ini ditentukan dengan bantuan permukaan perantara tambahan. Berpotongan permukaan yang diberikan dengan beberapa permukaan tambahan, garis bagian diperoleh, di persimpangan di mana mereka menemukan titik-titik yang dimiliki secara bersamaan oleh kedua permukaan dan, oleh karena itu, ke garis bagian yang diinginkan.

Bidang atau bola paling sering dipilih sebagai permukaan perantara. Penggunaan permukaan ini ditentukan oleh jenis dan lokasi permukaan yang ditentukan.

5.4.3.1 Metode bidang potong bantu

Metode bidang potong bantu digunakan bila kedua permukaan dapat berpotongan di sepanjang garis grafis sederhana (lingkaran atau garis lurus) dengan seperangkat bidang proyeksi atau bidang datar tertentu (Gambar 5.24).

Gambar 5.24 - Perpotongan kerucut dan silinder

Pertimbangkan penerapan metode pemotongan bidang bantu pada contoh masalah membangun garis persimpangan silinder dan kerucut (Gambar 5.25).

Gambar 5.25 - Metode bidang potong: perpotongan silinder dan kerucut

Mari kita mulai konstruksi dengan menentukan titik referensi (titik atas, bawah, kanan dan kiri dari bagian dan titik visibilitas). Karena permukaan silinder melingkar berada dalam posisi menonjol ke depan, titik-titik ini berada di garis depan permukaan - lingkaran di mana silinder diproyeksikan.

Garis bagian itu sendiri di bidang depan proyeksi akan bertepatan dengan garis depan silinder dan ditentukan oleh luas superposisi proyeksi kedua permukaan.

Konstruksi proyeksi titik atas dan bawah bagian akan dimulai dengan definisi proyeksi frontal 12 dan 22 . Mari kita membangunnya di atas gunung

bidang proyeksi payung ke proyeksi meridian utama dan temukan proyeksi horizontal titik 11 dan 21 .

Untuk membuat proyeksi horizontal dari titik paling kanan dan paling kiri dari bagian tersebut, kita akan menggunakan metode pemotongan bidang datar. Kami memilih posisi bidang bantu sedemikian rupa sehingga secara bersamaan memotong kedua permukaan di sepanjang garis sederhana secara grafis - di sepanjang lingkaran atau garis lurus. Bidang potong bantu - bidang datar horizontal - akan ditarik melalui proyeksi frontal titik 3 dan 4. Dalam hal ini, permukaan silinder melingkar akan berpotongan dengannya dalam garis lurus, dan permukaan kerucut melingkar - dalam lingkaran. Proyeksi horizontal titik 31 dan 41 akan diperoleh pada perpotongan proyeksi horizontal garis penampang.

Titik 3 dan 4 sekaligus merupakan titik pandang proyeksi horizontal garis penampang, yaitu membatasi proyeksi ini menjadi bagian yang terlihat dan tidak terlihat.

Semua titik lain yang termasuk dalam garis bagian akan menjadi tambahan dan pilihannya acak. Jumlah titik acak ditentukan oleh keakuratan konstruksi: semakin banyak, semakin akurat solusi yang dibuat.

Mari kita membahas konstruksi pasangan titik acak 5 dan 6. Untuk melakukan ini, kita memilih sepasang titik bersaing di bidang proyeksi frontal dan menggunakan bidang garis potong bantu dari tingkat horizontal untuk menentukan proyeksi horizontalnya.

Menghubungkan proyeksi titik yang dibangun dengan garis lengkung halus, kami memperoleh proyeksi horizontal dari garis bagian dua permukaan. Dalam hal ini, dalam bidang proyeksi horizontal, kami akan memperhitungkan posisi titik visibilitas. Bagian dari garis bagian di atas poin 3 dan 4,

akan terlihat, dan di bawahnya - tidak terlihat. Proyeksi frontal dari garis ini bertepatan dengan garis frontal dari permukaan silinder, dan, karena simetris, akan terlihat.

Jadi, untuk membangun garis perpotongan permukaan, perlu:

1. Tentukan permukaan mana yang berpotongan dan apakah terdapat proyeksi garis potong pada kondisi masalah.

2. Tentukan posisi titik jangkar.

3. Pilih posisi bidang pemotongan bantu.

4. Temukan posisi sisa referensi dan titik acak menggunakan bidang potong yang dipilih.

5. Gambarlah proyeksi garis bagian yang diinginkan.

6. Tentukan visibilitas.

Untuk membuat garis perpotongan permukaan yang tidak memiliki bidang simetri yang sama, gunakan metode bidang potong (Gambar 5.26). Untuk menentukan posisi titik 1 dan 2, melalui sumbu simetri kerucut kita menggambar bidang tingkat frontal , yang memotong kerucut - di sepanjang meridian utama, dan bola - di sepanjang keliling. Proyeksi frontal titik 12 dan 22 ditentukan, dan kemudian proyeksi 11, 21.

Posisi titik tertinggi dan terendah (3 dan 4) ditentukan dengan menggunakan bidang potong Q, melewati pusat kerucut dan bola dan menjadi bidang simetri dari dua permukaan. Untuk menentukan proyeksi titik 32 , 42 dan 31 , 41, metode rotasi bagian yang diperoleh (meridian kedua permukaan) di sekitar sumbu yang melewati sumbu simetri kerucut digunakan.

Gambar 5.26 - Perpotongan kerucut dan bola - metode pemotongan bidang

Sudut pandang untuk bidang proyeksi horizontal (5.6) ditentukan dengan menggunakan bidang yang ditarik melalui ekuator bola.

Posisi titik acak ditentukan dengan menggunakan bidang potong pada tingkat horizontal.

Sudut pandang untuk bidang proyeksi frontal akan berada di meridian utama bola. Jika kita menggambar bidang potong melalui meridian utama bola, maka di bagian bola akan ada lingkaran, dan di bagian kerucut - hiperbola. Mari kita tentukan perkiraan posisi ini

titik setelah membangun garis bagian umum dari permukaan.

Kami menghubungkan proyeksi titik yang dibangun, dengan mempertimbangkan visibilitas di bidang proyeksi yang sesuai.

5.4.3.2 Metode pemotongan bola bantu

Penggunaan metode bidang garis potong tambahan didasarkan pada sifat yang melekat pada permukaan revolusi. Terdiri dari dua

setiap permukaan koaksial revolusi berpotongan sepanjang lingkaran yang melewati titik perpotongan meridian permukaan.

Dalam hal ini, bidang-bidang lingkaran bagian tegak lurus terhadap sumbu rotasi, dan pusat-pusat lingkaran termasuk dalam sumbu ini. Oleh karena itu, jika sumbu permukaan revolusi sejajar dengan bidang proyeksi, maka pada bidang ini lingkaran bagian diproyeksikan menjadi segmen garis lurus yang tegak lurus terhadap proyeksi sumbu permukaan revolusi, dan pada bidang bidang lain - dalam bentuk lingkaran.

Sebagai permukaan garis potong tambahan, akan lebih mudah untuk menggunakan permukaan bola, yang pusatnya harus dimiliki oleh sumbu permukaan putaran (Gambar 5.27).

Gambar 5.27 - Sifat pemotongan bola

PADA Bergantung pada posisi relatif permukaan, ada dua opsi yang memungkinkan untuk menyelesaikan masalah menggunakan metode bidang garis potong:

1. Sumbu kedua permukaan sejajar dengan bidang proyeksi.

2. Permukaan yang berpotongan memiliki bidang simbol yang sama

PADA dalam kasus pertama, metode bidang garis potong konsentris digunakan (Gambar 5.28), dalam kasus kedua, bidang garis potong eksentrik.

Gambar 5.28 - Metode bidang garis potong konsentris: perpotongan kerucut

Mari kita membahas lebih detail tentang penggunaan metode bidang garis potong konsentris untuk memecahkan masalah konstruksi garis perpotongan dua kerucut (Gambar 5.29).

Pembangunan garis perpotongan dimulai dengan menentukan posisi proyeksi titik-titik acuan. Proyeksi titik 12, 22 dan 32, 42 adalah titik tertinggi dan terendah di area masuk permukaan kerucut dan di area keluarnya. Proyeksi horizontal mereka 11 , 21 , 31 , 41 diperoleh dengan memproyeksikan ke sumbu simetri pada bidang proyeksi horizontal.

Untuk mendapatkan titik sisa dari garis perpotongan permukaan, digunakan metode bola potong konsentris. Pusat bidang garis potong dipilih pada bidang proyeksi frontal pada perpotongan sumbu simetri permukaan. Konstruksi dimulai dengan menentukan jari-jari minimum bola garis potong - nilai yang lebih besar dari dua tegak lurus, diturunkan dari pusat bola ke permukaan generatrix kerucut.

Gambar 5.29 - Metode pemotongan bola konsentris

Mari kita bangun titik-titik yang termasuk dalam garis perpotongan permukaan sebagai hasil dari perpotongan dua tali busur (lingkaran ruang di mana bola bantu memotong kerucut).

Mari kita membangun titik-titik acak milik garis persimpangan - titik 5 dan 6, menggunakan bola potong, yang jari-jarinya dipilih dari kisaran: lebih besar dari minimum dan kurang dari maksimum (dari pusat ke proyeksi titik 22) .

Kami menghubungkan proyeksi garis bagian, dengan mempertimbangkan visibilitasnya dalam proyeksi yang sesuai.

Pertimbangkan untuk menggunakan metode bidang potong eksentrik untuk menyelesaikan masalah penentuan perpotongan kerucut dan bola yang memiliki bidang simetri yang sama (Gambar 5.30).

Gambar 5.30 - Kerucut dan bola koaksial

Kami memulai konstruksi garis persimpangan dengan menentukan posisi titik atas dan bawah bagian (12, 22) di persimpangan sketsa frontal permukaan dan menentukan proyeksi horizontal 11 dan 21 (Gambar 5.31). Titik-titik yang tersisa ditentukan dengan menggunakan bola garis potong yang ditarik dari satu atau berbagai pusat yang terletak pada sumbu simetri kerucut.

Gambar 5.31 - Perpotongan kerucut dan bola - jalan bola

Pasangan titik 3.4 dan 5.6 ditentukan pertama-tama pada bidang proyeksi frontal pada perpotongan tali busur dari bagian yang sesuai dari bola bantu dari permukaan yang diberikan. Kemudian mereka membangun proyeksi horizontal mereka. Visibilitas garis perpotongan ditentukan dalam bidang proyeksi horizontal, menggunakan bidang potong yang melewati ekuator bola. Pada bidang proyeksi frontal, garis bagian, yang simetris, diproyeksikan ke dalam kurva halus yang terlihat.

Metode bidang garis potong eksentrik digunakan ketika membuat garis perpotongan antara torus terbuka dan kerucut terpotong (Gambar 5.32). Titik atas dan bawah bagian A dan B berada pada bidang meridian utama kedua permukaan dan oleh karena itu ditentukan oleh proyeksi frontalnya pada perpotongan garis tepi permukaan. Kemudian proyeksi horizontal mereka A1 dan B1 dibangun.

Gambar 5.32 - Metode bola eksentrik: persimpangan torus dan kerucut

Titik-titik yang tersisa dibangun menggunakan bola garis potong yang memotong permukaan cincin di sepanjang lingkaran meridionalnya. Untuk menemukan pusat-pusat lingkaran garis potong, bidang garis potong digambar yang melewati pusat cincin. Sebuah garis singgung ditarik melalui titik persimpangan bidang ini dan sumbu torus sampai berpotongan dengan sumbu kerucut - titik ini akan menjadi pusat lingkaran garis potong yang umum untuk torus dan kerucut. Proyeksi titik C2 dan D2 ditentukan pada perpotongan akord (lingkaran spasi) pada permukaan torus dan kerucut. Posisi generator ditentukan dan proyeksi C1 dan D1 dibangun di atas proyeksi generator torus yang sesuai.

Sudut pandang untuk proyeksi horizontal dari garis bagian ditentukan pada sumbu simetri kerucut terpotong di bidang depan proyeksi (sebuah bidang datar horizontal digambar) dan proyeksi horizontal dari sudut pandang (L1 dan N1) ditentukan . Pada bidang proyeksi frontal, garis diproyeksikan sebagai kurva yang terlihat.

5.5 Garis singgung dan bidang ke permukaan

Garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dengan kurva dapat berpotongan di dua titik atau lebih. Garis seperti itu disebut garis potong. Jika garis potong digerakkan sehingga panjang busur AB antara dua titik potong mendekati nol, maka pada posisi batas garis potong akan mengambil posisi t dan akan disebut garis singgung (Gambar 5.33).

Garis singgung menunjukkan arah gerakan sepanjang kurva pada setiap titik singgung.

Sebuah bidang yang bersinggungan dengan suatu permukaan memiliki titik yang sama dengan permukaan ini, garis lurus atau garis lengkung datar. Sebuah pesawat dapat menyentuh permukaan di satu tempat dan memotongnya di tempat lain. Garis kontak secara simultan dapat berupa garis perpotongan permukaan dengan bidang.

Gambar 5.33 - Garis singgung kurva

Secara umum, bidang yang bersinggungan dengan permukaan adalah himpunan garis lurus yang bersinggungan dengan kurva apa pun yang termasuk dalam

menekan permukaan dan melewati titik tertentu dari permukaan ini.

Untuk mengatur bidang singgung ke permukaan apa pun, cukup menggambar kurva milik permukaan melalui titik yang diberikan pada permukaan dan membuat garis singgung untuk masing-masing melalui satu titik. Garis-garis lurus ini akan menentukan bidang singgung. Bidang yang bersinggungan dengan permukaan adalah posisi pembatas dari bidang garis potong.

Garis lurus yang melalui titik singgung dan tegak lurus bidang singgung disebut normal permukaan di titik tersebut. Permukaan normal pada suatu titik tertentu menentukan arah bidang singgung ke permukaan pada titik tersebut (Gambar 5.34).

Tidak mungkin membuat bidang singgung di setiap titik di permukaan. Pada beberapa titik, bidang singgung tidak dapat didefinisikan atau tidak unik. Titik-titik seperti itu disebut titik khusus permukaan, misalnya, titik tepi kembalinya permukaan batang tubuh, titik puncak permukaan kerucut, titik permukaan revolusi, di mana meridian dan sumbu tidak berpotongan tegak lurus, dll.

Gambar 5.34 - Bidang singgung

Tugas membangun bidang singgung yang melewati titik tertentu di permukaan dikurangi menjadi sebagai berikut:

1. Setiap dua garis potong ditarik melalui sebuah titik pada permukaan melengkung

pesawat.

2. Temukan garis-garis bagian permukaan oleh bidang-bidang ini.

3. Bangun garis singgung pada titik tertentu ke garis bagian.

Dua garis singgung menentukan bidang yang diinginkan. Saat memilih bidang potong, mereka cenderung mendapatkan bagian yang paling sederhana - garis lurus atau lingkaran.

Pertimbangkan kasus konstruksi bidang singgung melalui titik A, yang termasuk permukaan kerucut revolusi (Gambar 5.35).

Untuk membuat dua bagian yang diperlukan, satu bidang potong digambar melalui titik A tertentu dan bagian atas kerucut. Bidang ini akan memotong permukaan kerucut di sepanjang generatrix yang berfungsi sebagai garis singgung, dan karena itu merupakan salah satu garis lurus yang mendefinisikan bidang singgung. Garis lurus kedua m, menyinggung keliling bagian kerucut oleh bidang datar horizontal yang ditarik melalui titik A. Garis singgung juga dapat ditarik ke keliling alas kerucut.

Gambar 5.35 - Bidang singgung ke permukaan kerucut

5.6 Perkembangan permukaan

Pengembangan permukaan adalah sosok datar yang dibentuk dengan menggabungkan permukaan dengan bidang.

Dari sifat geometris elemen permukaan yang dipertahankan selama pembukaan, dapat dicatat bahwa garis permukaan melewati garis yang tidak dilipat dan bahwa panjang garis, nilai sudut bidang dan area yang dibatasi oleh garis tertutup tetap tidak berubah.

Tidak semua permukaan bisa diratakan dengan tepat. Oleh karena itu, permukaan dibagi menjadi yang dapat dikembangkan dan tidak dapat dikembangkan. Permukaan yang dapat dikembangkan termasuk permukaan yang diatur: silinder, kerucut, dan batang tubuh, karena generator yang berdekatan paralel atau berpotongan, mis. membentuk pesawat.

Untuk membuat sapuan silinder melingkar kanan, Anda perlu membuat persegi panjang dengan alas 2πR, di mana R adalah jari-jari lingkaran alas. Tinggi persegi panjang sama dengan tinggi silinder (Gambar 5.36).

2. Garis apa yang diperoleh ketika pesawat memotong silinder revolusi?

3. Kurva apa yang diperoleh ketika pesawat memotong kerucut revolusi?

4. Apa titik ekstrim dari garis bagian melengkung?

5. Dalam kasus apa direkomendasikan untuk menggunakan metode bidang potong bantu atau metode bidang potong bantu untuk membuat garis perpotongan dua permukaan melengkung?

6 GRAFIS KOMPUTER

6.1 Grafik komputer dan tempatnya dalam desain berbantuan komputer

Grafik komputer mempelajari metode dan sarana untuk membuat dan memproses gambar menggunakan perangkat lunak dan sistem perangkat keras.

Grafik komputer mencakup kompleks berbagai perangkat lunak yang digunakan untuk membentuk, mengubah, dan menampilkan informasi dalam bentuk visual pada perangkat tampilan (display, graph plotter).

Di antara perangkat kerasnya adalah perangkat khusus dan perangkat tujuan umum.

Yang pertama adalah input seperti pena ringan, tablet digital dan keluaran berarti - komplotan(Gambar 6.1).

Gambar 6.1 - Perangkat khusus

Ke yang kedua - Perangkat masukan- manipulator "mouse" dan "joystick", dan perangkat keluaran-tampilan grafik bitmap, printer, keyboard(Gambar 6.2).

Perangkat lunak ini difokuskan pada berikut: jenis utama grafik: bisnis, ilustratif, ilmiah, desain (untuk CAD), kartografi (CAD arsitektur dan pengelolaan lahan), seni rupa dan periklanan.

Grafika komputer berkembang sejalan dengan perkembangan umum teknologi dan perangkat lunak komputer. Awalnya, program dibuat untuk menampilkan grafik sebagai bagian dari paket aplikasi sebagai bagian dari bahasa tingkat tinggi. Misalnya, paket GRAFOR dibuat sebagai bagian dari paket aplikasi bahasa FORTRAN.

Gambar 6.2 - Perangkat serba guna

PADA lebih lanjut, pembuatan program grafis menonjol sebagai arah independen dari perangkat lunak.

PADA Tergantung pada metode pembentukan gambar, grafik komputer dibagi menjadi:

∙ grafik raster;

∙ grafis vektor;

∙ grafik fraktal.

Elemen gambar dalam editor raster adalah sebuah titik. Sebuah titik dapat memiliki beberapa parameter: koordinat, warna, nada, transparansi. Gambar dibuat dengan sistematisasi poin. Dalam hal ini, ada indikator resolusi gambar - jumlah titik per satuan luas gambar. Alat grafis teknik modern memungkinkan Anda membuat gambar dengan resolusi 2540 dpi (dot per inci) atau lebih. Setiap titik memerlukan pengalamatan untuk penyimpanan pada media. Sejumlah besar data yang sedang diproses, serta data yang diperlukan untuk menyimpan gambar, merupakan kelemahan signifikan dari grafik raster.

Kerugian umum dari editor raster adalah ketika gambar diperbesar, poin meningkat sesuai, jadi ketika gambar diperbesar, resolusinya dan, sebagai akibatnya, akurasi hilang; ketidakmampuan untuk bekerja dengan elemen (gambar yang diperbesar) - pikselasi.

Karena elemen gambar adalah sebuah titik, garis akan membutuhkan sistematisasi titik. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pembuatan objek dua dimensi dan tiga dimensi secara signifikan memperumit deskripsi gambar, meningkatkan jumlah data yang diproses dan disimpan.

Editor raster termasuk Paint, Adobe Photoshop, dll. Mereka dirancang untuk membuat gambar seperti gambar artistik, ilustrasi, grafik (Gambar 6.3).

Gambar 6.3 - Contoh penggunaan grafik raster

Dalam grafik vektor, elemen dasarnya adalah garis. Garis digambarkan secara matematis sebagai objek tunggal, dan oleh karena itu jumlah data untuk menampilkan objek dalam grafik vektor secara signifikan lebih rendah daripada grafik raster.

Semua editor grafis yang dipertimbangkan adalah editor paling sederhana, misalnya, Paint, atau berbagai editor.

Tiga blok utama: simulator, blok perhitungan dan sistem pakar - melakukan semua prosedur utama yang mungkin diperlukan selama pekerjaan desain.

Blok kalkulasi dapat menjalankan program apa pun dari paket aplikasi, yang berisi semua program yang diperlukan yang digunakan oleh pengembang. Panggilan program tertentu dilakukan atas permintaan simulator atau sistem ahli, atau konstruktor itu sendiri.

Basis Data

Blok formasi tugas

Pengguna

Gambar 6.5 - Diagram khas CAD B Blok formasi tugas desainer memperkenalkan teknis

design brief, yang menentukan semua tujuan yang ingin dicapai dalam desain dan semua batasan yang tidak dapat dilanggar.

Unit persiapan dokumentasi teknis memungkinkan perancang untuk menyiapkan dokumen yang diperlukan untuk dua tahap terakhir pembuatan produk baru.

Sistem tertentu mungkin menyimpang dari skema tipikal ini.

Pertimbangkan contoh spesifik CAD dan editor grafis teknik dan sistem CAD / CAM / CAE

6.3 Fungsi Modul Pemodelan 2D-3D

Sistem grafis AutoCAD adalah standar de facto dalam sistem grafis teknik. Versi terbaru AutoCAD adalah aplikasi Windows 32-bit modern untuk insinyur dan pengguna CAD. AutoCAD menyediakan lingkungan kerja yang efisien dan dengan demikian memungkinkan desainer untuk lebih berkonsentrasi pada proyek dan menghabiskan lebih sedikit waktu memasukkan parameter dari keyboard.

Fitur seperti Lingkungan Desain Ganda, Pusat Desain AutoCAD, dukungan Intellimouse, dan lainnya mendukung lingkungan kerja yang alami, intuitif, dan efisien.

SOLIDCAM adalah produk dari CADTECH Ltd. - kuat

alat untuk mendapatkan program kontrol untuk mesin CNC saat memproses bagian yang mengandung kompleks

permukaan atau geometri padat. SOLIDCAM menyediakan penggilingan 2,5 dan 3-sumbu dengan jaminan

lelah tidak adanya "memotong", belok

badan revolusi, visualisasi proses pemotongan dengan meniru pemindahan material.

Gambar 6.6 - Menggunakan program SOLIDCAM dalam produksi

Sistem bCAD dikembangkan untuk berbagai aplikasi, sehingga fungsinya cukup fleksibel (Gambar 6.7).

Sistem bCAD dirancang dan dikembangkan sebagai workstation desainer universal, yang memungkinkan untuk melakukan berbagai pekerjaan dalam mode "ujung ke ujung" - dari gambar hingga model tiga dimensi atau, sebaliknya, dari tiga -representasi dimensi ke proyeksi datar. Pada saat yang sama, dimungkinkan untuk menghasilkan dokumentasi teknis sesuai dengan persyaratan standar, memperoleh gambar yang realistis, dan menyiapkan data untuk sistem penyelesaian.

Gambar 6.7 - Jendela sistem bCAD

Gambar raster yang disiapkan dalam bCAD dapat ditulis dalam format GIF, TGA, BMP, JPG, TIFF atau PCX dan digunakan dalam paket penerbitan atau ilustrasi.

Baru-baru ini, ketika mengembangkan dokumentasi desain dalam proses pendidikan universitas teknik, sistem KOMPAS-3D yang dikembangkan oleh perusahaan Rusia ASCON banyak digunakan.

Editor gambar dan desain KOMPAS-3D berisi alat gambar yang memadai untuk membuat gambar dengan kerumitan apa pun dengan dukungan penuh untuk standar Rusia. Antarmuka yang sederhana dan mudah dipahami dari program ini berhasil dikombinasikan dengan fleksibilitas sistem profesional saat membangun, memilih, menghapus objek gambar, mengetik sesuai dengan GOST, mengatur dimensi semua jenis, toleransi bentuk dan lokasi permukaan, posisi, alas, dll. .

KOMPAS-3D dirancang khusus untuk lingkungan operasi MS Windows dan memanfaatkan sepenuhnya semua fitur dan manfaatnya, memberikan efisiensi dan kenyamanan maksimum kepada pengguna dalam bekerja.

Objek grafis berikut ini didukung di KOMPAS-3D.

Objek geometris:						segmen garis lurus
	busur lingkaran,				poligon,		garis putus-putus,
kurva bezier,		kurva NURBS,		menetas,		kurva berjarak sama,
makronutrien.
		ukuran linier,			ukuran sudut,		ukuran radial
	ukuran diametris,			ukuran tinggi.
Sebutan khusus dan teknologi:							banyak baris

teks prasasti, peruntukan dasar, toleransi bentuk dan letak,

Menggambar objek desain: persyaratan teknis, prasasti utama (cap), penunjukan kekasaran permukaan yang tidak ditentukan.

Dokumen utama dalam sistem KOMPAS-3D adalah:

menggambar, fragmen, dokumen teks, spesifikasi, perakitan dan detail.

Tugas utama yang diselesaikan dengan bantuan sistem gambar apa pun adalah pembuatan dan pelepasan berbagai dokumentasi grafis (Gambar 6.10).

Gambar 6.10 - Fragmen gambar detail di KOMPAS-3D

Cara pembuatan yang paling sederhana dan paling mudah dipahami adalah menunjuk langsung ke bidang input dengan kursor. Misalnya, saat membuat segmen, titik awalnya ditetapkan secara berurutan, dan kemudian titik akhirnya.

Cara lain adalah dengan menentukan nilai koordinat yang tepat untuk bergerak ke titik yang diinginkan dan kemudian memperbaikinya. Untuk menampilkan dan memasukkan koordinat, bidang X dan Y khusus disediakan, ditampilkan di sisi kanan Bar Status Saat Ini.

Dan, akhirnya, Bilah Parameter Objek memungkinkan Anda untuk menerapkan kemungkinan seluas-luasnya untuk mengelola objek gambar.

Anda dapat memindahkan objek gambar atau fragmen baik dengan mouse atau menggunakan perintah menu.

Metode kerja dasar adalah: memindahkan objek dengan mouse; menyalin objek dengan mouse; penghapusan sederhana objek grafis; mengedit titik karakteristik objek; mengedit parameter objek.

Sistem KOMPAS-3D mampu menghasilkan model tiga dimensi bagian untuk mentransfer geometri ke berbagai parameter desain atau paket untuk mengembangkan program kontrol untuk peralatan CNC, serta membuat dokumentasi desain untuk bagian yang dikembangkan (Gambar 6.11 ).

Gambar 6.11 Contoh Pekerjaan di KOMPAS-3D

Tugas utama yang dipecahkan KOMPAS-3D adalah pembentukan model tiga dimensi dari suatu bagian untuk mentransfer geometri ke berbagai paket perhitungan atau ke paket untuk mengembangkan program kontrol untuk

CNC ruding, serta pembuatan dokumentasi desain untuk bagian-bagian yang dikembangkan.

Prosedur yang diterima secara umum untuk pemodelan benda tegar adalah eksekusi berurutan dari operasi Boolean (penyatuan, pengurangan dan perpotongan) pada elemen padat (bola, prisma, silinder, kerucut, piramida, dll.). Contoh operasi tersebut ditunjukkan pada Gambar 6.12.

Gambar 6.12 - Contoh melakukan operasi Boolean

Operasi Boolean pada elemen padat: a) silinder; b) kombinasi silinder dan prisma; c) pengurangan prisma; d) pengurangan silinder.

Di KOMPAS-3D, untuk mengatur bentuk elemen volumetrik, perpindahan seperti itu dari sosok datar di ruang angkasa dilakukan, jejak yang menentukan bentuk elemen (misalnya, rotasi busur melingkar di sekitar sumbu membentuk bola atau torus, perpindahan poligon - prisma, dll.). Pembentukan elemen volumetrik: a) prisma, b) torus, c) elemen kinematik (Gambar 6.12).

Gambar 6.12 - Pembentukan elemen volumetrik

Sebuah gambar datar, atas dasar yang tubuh dibentuk, disebut sketsa, dan gerakan membentuk sketsa disebut operasi.

Pertanyaan untuk pengendalian diri pada topik 6:

1. Apa yang termasuk dalam istilah "grafik komputer"?

2. Apa yang termasuk perangkat keras grafis komputer?

3. Sebutkan jenis-jenis grafik utama.

4. Menurut cara pembentukan gambar, grafik komputer dibagi menjadi ……….. Apa perbedaannya?

5. Apa elemen dasar grafik fraktal?

6. Apa elemen dasar dari grafik vektor?

7. Apa saja elemen dari sistem CAD yang khas?

8. Namakan sistem grafis teknik yang Anda kenal.

9. Operasi apa yang digunakan untuk memodelkan benda tegar?

Bibliografi

1. Rynin N.A. Geometri deskriptif. Proyeksi ortogonal. Petrograd, 1918.- 334 hal.

2. Gordon V.O. Kursus geometri deskriptif / V.O. Gordon, M.A. Sementsov-Ogievsky. - M: "Ilmu", 2002. - 382 hal.

3. Vinnitsky I.G. Geometri deskriptif. Buku teks untuk sekolah menengah. - M.: "Higher School", 1975.- 280s., dengan ilustrasi.

4. Porsin Yu.A. Gambar aksonometrik dari bagian-bagian pembuatan mesin. Edisi ke-2, direvisi. dan tambahkan.-L.: "Engineering", 1976.- 232p., dengan sakit.

5. Vinogradov V.N. Geometri deskriptif. Minsk, “Tertinggi. Sekolah", 1977.-308s., dengan sakit.

6. Bubennikov A.V. Geometri deskriptif. Buku teks untuk universitas.- M .:

Lebih tinggi sekolah, 1985.-288s., sakit.

7. Arustamov Kh.A. Kumpulan tugas tentang geometri deskriptif

/ H.A. Arustamov. - M: "Teknik", 1981. - 446s.

8. Teknik Grafis: Kursus Umum: Buku Teks / Ed. N.G. Ivantsivskaya dan V.G. Burova.- Ed. 2, direvisi. dan tambahkan.-M.: Logos, 2004.- 232p.: sakit.

9. Peklich V.A. Geometri Deskriptif / Edisi Edukasi.- M.: Publishing House of the Association of Construction Universities, 2007.-272s., dengan ilustrasi.