Rasio antara fungsi trigonometri utama - sinus, kosinus, tangen, dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan karena ada cukup banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini juga menjelaskan banyaknya rumus trigonometri. Beberapa rumus menghubungkan fungsi trigonometri dari sudut yang sama, yang lain - fungsi dari beberapa sudut, yang lain - memungkinkan Anda untuk menurunkan derajat, yang keempat - untuk mengekspresikan semua fungsi melalui garis singgung setengah sudut, dll.
Pada artikel ini, kami mencantumkan secara berurutan semua rumus trigonometri dasar, yang cukup untuk menyelesaikan sebagian besar soal trigonometri. Untuk kemudahan menghafal dan penggunaan, kami akan mengelompokkannya sesuai dengan tujuannya, dan memasukkannya ke dalam tabel.
navigasi halaman.
Identitas trigonometri dasar
Identitas trigonometri dasar mengatur hubungan antara sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen, serta konsep lingkaran satuan. Mereka memungkinkan Anda untuk mengekspresikan satu fungsi trigonometri melalui yang lain.
Untuk penjelasan rinci tentang rumus trigonometri ini, turunannya dan contoh penerapannya, lihat artikelnya.
Formula cor
Formula cor mengikuti sifat-sifat sinus, cosinus, tangen dan kotangen, yaitu mencerminkan sifat periodisitas fungsi trigonometri, sifat simetri, dan juga sifat pergeseran sudut tertentu. Rumus trigonometri ini memungkinkan Anda beralih dari bekerja dengan sudut acak ke bekerja dengan sudut mulai dari nol hingga 90 derajat.
Dasar pemikiran rumus-rumus ini, aturan mnemonik untuk menghafalnya, dan contoh penerapannya dapat dipelajari di artikel.
Rumus Penjumlahan
Rumus penjumlahan trigonometri menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri dari jumlah atau selisih dua sudut dinyatakan dalam fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini. Rumus ini berfungsi sebagai dasar untuk penurunan rumus trigonometri berikut.
Rumus untuk ganda, tiga kali lipat, dll. sudut
Rumus untuk ganda, tiga kali lipat, dll. sudut (mereka juga disebut rumus sudut berganda) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri ganda, tiga kali lipat, dll. sudut () dinyatakan dalam fungsi trigonometri sudut tunggal. Derivasi mereka didasarkan pada formula penjumlahan.
Informasi lebih rinci dikumpulkan dalam rumus artikel untuk dua kali lipat, tiga kali lipat, dll. sudut .
Rumus Setengah Sudut
Rumus Setengah Sudut tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri setengah sudut dinyatakan dalam kosinus sudut bilangan bulat. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut ganda.
Kesimpulan dan contoh penerapannya dapat ditemukan di artikel.
Rumus Pengurangan
Rumus trigonometri untuk menurunkan derajat dirancang untuk memfasilitasi transisi dari kekuatan alami fungsi trigonometri ke sinus dan cosinus pada tingkat pertama, tetapi banyak sudut. Dengan kata lain, mereka memungkinkan seseorang untuk mengurangi pangkat fungsi trigonometri menjadi yang pertama.
Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri
tujuan utama rumus penjumlahan dan selisih untuk fungsi trigonometri terdiri dari transisi ke produk fungsi, yang sangat berguna saat menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus ini juga banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, karena memungkinkan pemfaktoran jumlah dan selisih sinus dan cosinus.
Rumus perkalian sinus, cosinus, dan sinus dengan cosinus
Peralihan dari perkalian fungsi trigonometri ke penjumlahan atau selisih dilakukan melalui rumus perkalian sinus, cosinus, dan sinus dengan cosinus.
Hak cipta oleh siswa pintar
Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh hukum hak cipta. Tidak ada bagian dari www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.
1. Ekspresi sinus melalui cosinus
Catatan: Tanda di depan radikal di sisi kanan tergantung pada seperempat sudutnya. α . Tanda fungsi trigonometri di sisi kiri harus cocok dengan tanda di sisi kanan. Aturan ini juga berlaku untuk rumus lain di bawah ini.
2. Ekspresi sinus melalui garis singgung
3. Ekspresi sinus melalui kotangen
4. Ekspresi cosinus melalui sinus
5. Ekspresi cosinus melalui garis singgung
6. Ekspresi cosinus dalam istilah kotangen
7. Ekspresi garis singgung melalui sinus
8. Ekspresi garis singgung melalui kosinus
9. Ekspresi garis singgung melalui kotangen
10. Ekspresi kotangen melalui sinus
11. Ekspresi kotangen dalam hal kosinus
12. Ekspresi kotangen melalui garis singgung
21. Fungsi trigonometri y=sin x, y=cos x, sifat dan grafiknya.
Y = sin(x)
Grafik fungsi y=sin(x).
Properti dasar:
3. Fungsi ganjil.
Grafik fungsi y=cos(x).
Properti dasar:
1. Luas definisi adalah seluruh sumbu numerik.
2. Fungsinya terbatas. Himpunan nilai adalah segmen [-1;1].
3. Fungsinya genap.
4. Fungsinya periodik dengan periode positif terkecil sama dengan 2*π.
22. Fungsi trigonometri y=tg x, y=ctg x, sifat dan grafiknya.
Grafik fungsi y=tg(x).
Properti dasar:
1. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, kecuali titik-titik berbentuk x=π/2 + π*k, di mana k adalah bilangan bulat.
3. Fungsi ganjil.
Y = ctg(x)
Grafik fungsi y=ctg(x).
Properti dasar:
1. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, kecuali titik-titik berbentuk x=π*k, di mana k adalah bilangan bulat.
2. Fungsinya tidak terbatas. Nilai yang ditetapkan adalah seluruh garis bilangan.
3. Fungsi ganjil.
4. Fungsinya periodik dengan periode positif terkecil sama dengan π.
23. Sifat dasar fungsi trigonometri: genap, ganjil, periodisitas. Tanda-tanda nilai fungsi trigonometri dalam kuartal.
sinus angka A disebut ordinat titik yang menggambarkan angka ini pada lingkaran angka. Sinus sudut di A radian disebut sinus suatu bilangan A.
Sinus- fungsi angka X. Dia domain- Himpunan semua angka, karena untuk angka berapa pun Anda dapat menemukan koordinat titik yang mewakilinya.
Rentang Sinus- segmen dari -1 sebelum 1 , karena bilangan berapa pun dari ruas ini pada sumbu y merupakan proyeksi dari beberapa titik pada lingkaran, tetapi tidak ada titik di luar ruas ini yang merupakan proyeksi dari salah satu titik tersebut.
Periode sinus adalah sama dengan . Lagi pula, setiap kali posisi titik yang mewakili angka tersebut persis diulang.
Tanda sinus:
1.sinus adalah nol di , di mana N- bilangan bulat apapun;
2. sinus positif di , di mana N- bilangan bulat apapun;
3. sinus negatif di
Ya tentu. Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut yang sama saling berhubungan. Setiap hubungan antara ekspresi diberikan dalam matematika dengan rumus. Dalam trigonometri, ada banyak sekali rumus. Tapi di sini kita akan melihat yang paling dasar. Rumus ini disebut: identitas trigonometri dasar. Di sini mereka:
Formula ini perlu mengetahui zat besi. Tanpa mereka, tidak ada yang bisa dilakukan dalam trigonometri sama sekali. Tiga identitas tambahan mengikuti dari identitas dasar ini:
Dalam tugas apa dan bagaimana identitas trigonometri dasar digunakan? Tugas paling populer adalah menemukan beberapa fungsi sudut, jika ada fungsi lain yang diberikan. Dalam ujian, tugas seperti itu hadir dari tahun ke tahun.) Misalnya:
Tentukan nilai sinx jika x sudut lancip dan cosx=0,8.
Tugasnya hampir dasar. Kami mencari formula di mana ada sinus dan cosinus. Inilah rumus itu:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Di sini kami mengganti nilai yang diketahui, yaitu 0,8 alih-alih kosinus:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Yah, kami menganggap, seperti biasa:
sin 2 x + 0,64 = 1
dosa 2 x \u003d 1 - 0,64
Di sini, hampir semuanya. Kami telah menghitung kuadrat dari sinus, tinggal mengekstrak akar kuadrat dan jawabannya sudah siap! Akar dari 0,36 adalah 0,6.
Tugasnya hampir dasar. Tapi kata "hampir" tidak sia-sia disini ... Faktanya jawaban sinx = - 0.6 juga cocok ... (-0.6) 2 juga akan menjadi 0.36.
Dua jawaban berbeda diperoleh. Dan Anda membutuhkannya. Yang kedua salah. Bagaimana menjadi!? Ya, seperti biasa.) Baca tugas dengan cermat. Untuk beberapa alasan dikatakan ... jika x sudut lancip... Dan dalam tugas, setiap kata memiliki arti, ya ... Frasa ini adalah informasi tambahan untuk solusinya.
Sudut lancip adalah sudut yang kurang dari 90°. Dan pada sudut seperti itu Semua fungsi trigonometri - baik sinus maupun kosinus, dan bersinggungan dengan kotangen - positif. Itu. kami hanya membuang jawaban negatif di sini. Kami punya hak.
Sebenarnya, siswa kelas delapan tidak membutuhkan kehalusan seperti itu. Mereka hanya bekerja dengan segitiga siku-siku, di mana sudutnya hanya lancip. Dan mereka tidak tahu, yang bahagia, bahwa ada sudut negatif, dan sudut 1000 ° ... Dan semua sudut mimpi buruk ini memiliki fungsi trigonometrinya sendiri dengan plus dan minus ...
Tetapi untuk siswa sekolah menengah tanpa memperhitungkan tanda - tidak mungkin. Banyak ilmu yang melipatgandakan duka, ya...) Dan untuk solusi yang tepat, tugas tersebut harus berisi informasi tambahan (bila perlu). Misalnya, dapat diberikan sebagai:
Atau cara lain. Anda akan melihat pada contoh di bawah ini.) Untuk menyelesaikan contoh seperti itu, Anda perlu mengetahuinya di kuartal mana sudut yang diberikan x jatuh dan tanda apa yang dimiliki fungsi trigonometri yang diinginkan di kuartal ini.
Dasar-dasar trigonometri ini dibahas dalam pelajaran apa itu lingkaran trigonometri, penghitungan sudut pada lingkaran ini, ukuran radian dari suatu sudut. Terkadang Anda juga perlu mengetahui tabel sinus cosinus dari garis singgung dan kotangen.
Jadi, mari kita perhatikan yang paling penting:
Kiat Praktis:
1. Ingat definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Sangat berguna.
2. Kami berasimilasi dengan jelas: sinus, kosinus, garis singgung, dan kotangen terhubung erat dengan sudut. Kami tahu satu hal, jadi kami tahu sesuatu yang lain.
3. Kami berasimilasi dengan jelas: sinus, kosinus, garis singgung, dan kotangen dari satu sudut saling berhubungan oleh identitas trigonometri dasar. Kami mengetahui satu fungsi, yang berarti kami dapat (jika kami memiliki informasi tambahan yang diperlukan) menghitung yang lainnya.
Dan sekarang mari kita putuskan, seperti biasa. Pertama, tugas dalam volume kelas 8. Tapi siswa sekolah menengah juga bisa ...)
1. Hitung nilai tgA jika ctgA = 0,4.
2. β - sudut dalam segitiga siku-siku. Cari nilai tgβ jika sinβ = 12/13.
3. Temukan nilai ekspresi:
6sin 2 5° - 3 + 6sin 2 5°
4. Temukan nilai ekspresi:
(1-cosx)(1+cosx), jika sinx = 0,3
5. Tentukan sinus sudut lancip x jika tgx \u003d 4/3.
Jawaban (dipisahkan dengan titik koma, berantakan):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Telah terjadi? Besar! Siswa kelas delapan sudah bisa mengikuti nilai A mereka.)
Ini adalah masalah seperti Ujian Negara Bersatu, tetapi dalam versi yang dipreteli. GUNAKAN - ringan). Dan sekarang tugas yang hampir sama, tetapi dalam bentuk yang lengkap. Untuk siswa sekolah menengah yang terbebani pengetahuan.)
6. Cari nilai tgβ jika sinβ = 12/13 dan
7. Tentukan sinx jika tgx = 4/3, dan x termasuk dalam interval (- 540°; - 450°).
8. Temukan nilai ekspresi sinβ cosβ jika ctgβ = 1.
Jawaban (berantakan):
0,8; 0,5; -2,4.
Di sini, di soal 6, sudut diberikan entah bagaimana tidak terlalu jelas... Tapi di soal 8, itu tidak diatur sama sekali! Itu sengaja). Informasi tambahan diambil tidak hanya dari tugas, tetapi juga dari kepala.) Tetapi jika Anda memutuskan - satu tugas yang benar "B" dijamin!
Dalam pelajaran ini, konsep fungsi trigonometri yang sangat terbatas diberikan. Dalam kelas 8. Senior punya pertanyaan...
Misalnya, jika sudut X(lihat gambar kedua di halaman ini) - membuatnya bodoh!? Segitiga akan berantakan! Dan bagaimana menjadi? Tidak akan ada kaki, tidak ada sisi miring ... Sinusnya hilang ...
Jika orang zaman dahulu tidak menemukan jalan keluar dari situasi ini, kita tidak akan memiliki ponsel, TV, atau listrik sekarang. Ya ya! Dasar teoretis dari semua hal ini tanpa fungsi trigonometri adalah nol tanpa tongkat. Tetapi orang-orang kuno tidak mengecewakan. Bagaimana mereka keluar - di pelajaran selanjutnya.
Mari kita coba mencari hubungan antara fungsi trigonometri utama dari sudut yang sama.
Hubungan antara cosinus dan sinus sudut yang sama
Gambar berikut menunjukkan sistem koordinat Oxy dengan bagian ACB setengah lingkaran satuan yang digambarkan di dalamnya, berpusat di titik O. Bagian ini adalah busur lingkaran satuan. Lingkaran satuan dijelaskan oleh persamaan
- x2+y2=1.
Seperti yang sudah diketahui, ordinat y dan absis x dapat direpresentasikan sebagai sinus dan cosinus sudut menggunakan rumus berikut:
- sin(a) = y,
- cos(a) = x.
Mengganti nilai-nilai ini ke dalam persamaan lingkaran satuan, kita memiliki persamaan berikut
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Kesetaraan ini berlaku untuk setiap nilai sudut a. Ini disebut identitas trigonometri dasar.
Dari identitas trigonometri dasar, satu fungsi dapat dinyatakan dalam istilah lain.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Tanda di sebelah kanan rumus ini ditentukan oleh tanda ekspresi di sebelah kiri rumus ini.
Misalnya.
Hitung sin(a) jika cos(a)=-3/5 dan pi Mari kita gunakan rumus di atas: Sejak pi Sekarang, mari kita coba mencari hubungan antara tangen dan kotangen. Menurut definisi, tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a). Mengalikan persamaan ini, kita mendapatkan tg(a)*ctg(a) =1. Dari persamaan ini, satu fungsi dapat dinyatakan dalam istilah yang lain. Kita mendapatkan: Harus dipahami bahwa persamaan ini hanya berlaku jika tg dan ctg ada, yaitu untuk sembarang a, kecuali untuk a = k * pi / 2, untuk sembarang bilangan bulat k. Sekarang mari kita coba menggunakan identitas trigonometri dasar untuk menemukan hubungan antara garis singgung dan cosinus. Bagi identitas trigonometri dasar, dengan (cos(a)) 2 . (cos(a) tidak sama dengan nol, jika tidak, garis singgung tidak akan ada. Kita mendapatkan persamaan berikut ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 . Membagi istilah dengan istilah kita dapatkan: Seperti disebutkan di atas, rumus ini benar jika cos(a) tidak sama dengan nol, yaitu untuk semua sudut a, kecuali a=pi/2 + pi*k, untuk sembarang bilangan bulat k.Rasio antara garis singgung dan kotangen dari sudut yang sama
