წარმოებულის გრაფიკი მოცემულია უკიდურესი წერტილების საპოვნელად. წარმოებულის გრაფიკის კითხვა

B8. გამოყენება

1. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, დახატული x0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: 2

პასუხი: -5

ინტერვალზე (–9; 4).

პასუხი: 2

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში პასუხი: 0.5

5. იპოვეთ შეხების წერტილი y = 3x + 8 წრფესა და y = x3+x2-5x-4 ფუნქციის გრაფიკს შორის. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ პუნქტის აბსცისა. პასუხი: -2

განსაზღვრეთ არგუმენტის მთელი მნიშვნელობების რაოდენობა, რომლისთვისაც f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. პასუხი: 4

პასუხი: 2

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y=5–x წრფეს. პასუხი: 3

ინტერვალი (-8; 3).

პირდაპირი y = -20. პასუხი: 2

10.

პასუხი: -0.5

პასუხი: 1

12. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: 0.5

13. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: -0.25

14.

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y = x+7 წრფეს. პასუხი: 4

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: -2

16.

ინტერვალი (-14;9).

იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა [-12;7] ინტერვალზე. პასუხი: 3

ინტერვალზე (-10; 8).

იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა [-9;7] ინტერვალზე. პასუხი: 4

18. y = 5x-7 წრფე ეხება y = 6x2 + bx-1 ფუნქციის გრაფიკს 0-ზე ნაკლები აბსცისის მქონე წერტილში. იპოვეთ b. პასუხი: 17

პასუხი:-0,25

პასუხი: 6

21. იპოვეთ y=x2+6x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი y=5x+11 წრფის პარალელურად. თქვენს პასუხში მიუთითეთ კონტაქტის წერტილის აბსციზა. პასუხი: -0,5

22.

პასუხი: 4

23. ვ "(x) ინტერვალზე (-16; 4).

სეგმენტზე [-11; 0] იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა. პასუხი: 1

B8 ფუნქციების გრაფიკები, ფუნქციების წარმოებულები. ფუნქციის კვლევა . გამოყენება

1. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, დახატული x0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

2. ნახატზე ნაჩვენებია (-6; 5) ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი.

სეგმენტის რომელ წერტილში [-5; -1] f(x) იღებს უმცირეს მნიშვნელობას?

3. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, განსაზღვრული

ინტერვალზე (–9; 4).

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი წრფის პარალელურია.

y = 2x-17 ან იგივე.

4. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში

5. იპოვეთ შეხების წერტილი y = 3x + 8 წრფესა და y = x3+x2-5x-4 ფუნქციის გრაფიკს შორის. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ პუნქტის აბსცისა.

6. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-7; 5) ინტერვალზე.

განსაზღვრეთ არგუმენტის მთელი მნიშვნელობების რაოდენობა, რომლისთვისაც f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია.

7. ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია ინტერვალზე (-8; 8).

იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა, რომელიც მიეკუთვნება [-4; 6].

8. სურათზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია ინტერვალზე (-8; 4).

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y=5–x წრფეს.

9. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი განსაზღვრული

ინტერვალი (-8; 3).

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელია

პირდაპირი y = -20.

10. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

11 . ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-9; 9) ინტერვალზე.

იპოვეთ $f(x)$ ფუნქციის მინიმალური რაოდენობა [-6;8] სეგმენტზე. 1

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

14. ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-6; 8) ინტერვალზე.

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y = x+7 წრფეს.

15 . ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

16. ნახატზე ნაჩვენებია f(x)-ზე განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი

ინტერვალი (-14;9).

იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა [-12;7] ინტერვალზე.

17 . ნახატზე ნაჩვენებია განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი

ინტერვალზე (-10; 8).

იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა [-9;7] ინტერვალზე.

18. y = 5x-7 წრფე ეხება y = 6x2 + bx-1 ფუნქციის გრაფიკს 0-ზე ნაკლები აბსცისის მქონე წერტილში. იპოვეთ b.

19 . ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი აბსცისის x0 წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

20 . იპოვეთ წერტილების რაოდენობა ინტერვალში (-1;12), სადაც გრაფიკზე ნაჩვენები y = f(x) ფუნქციის წარმოებული 0-ის ტოლია.

21. იპოვეთ y=x2+6x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი y=5x+11 წრფის პარალელურად. თქვენს პასუხში მიუთითეთ კონტაქტის წერტილის აბსციზა.

22. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. იპოვეთ მთელი რიცხვების რაოდენობა იმ ინტერვალში (-2;11), სადაც f(x) ფუნქციის წარმოებული დადებითია.

23. ნახატზე ნაჩვენებია y= ფუნქციის გრაფიკივ "(x) ინტერვალზე (-16; 4).

სეგმენტზე [-11; 0] იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა.

ნახატზე ნაჩვენებია [–5, ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 6]. იპოვეთ f (x) გრაფიკის წერტილების რაოდენობა, რომელთაგან თითოეულში ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსი ემთხვევა ან პარალელურია x ღერძს.

ნახატზე ნაჩვენებია დიფერენცირებადი ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი y = f(x).

იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის წერტილების რაოდენობა, რომლებიც მიეკუთვნება სეგმენტს [–7; 7], რომელშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის y = –3x განტოლებით მოცემული სწორი ხაზის პარალელურად.

მატერიალური წერტილი M იწყებს მოძრაობას A წერტილიდან და მოძრაობს სწორი ხაზით 12 წამის განმავლობაში. გრაფიკი აჩვენებს, თუ როგორ შეიცვალა მანძილი A წერტილიდან M წერტილამდე დროთა განმავლობაში. აბსციზა აჩვენებს t დროს წამებში, ორდინატი აჩვენებს s მანძილს მეტრებში. დაადგინეთ, მოძრაობისას რამდენჯერ მივიდა M წერტილის სიჩქარე ნულამდე (უგულებელყოთ მოძრაობის დასაწყისი და დასასრული).

ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკის მონაკვეთები და მასზე ტანგენსი აბსცისის x \u003d 0 წერტილში. ცნობილია, რომ ეს ტანგენსი პარალელურია სწორი ხაზის, რომელიც გადის წერტილებში. გრაფიკი აბსციებით x \u003d -2 და x \u003d 3. ამის გამოყენებით იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა f "(o).

ნახატზე ნაჩვენებია გრაფიკი y = f'(x) - f(x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული სეგმენტზე (−11; 2). იპოვეთ იმ წერტილის აბსციზა, რომელშიც y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია x ღერძის ან ემთხვევა მას.

მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორხაზოვნად კანონის მიხედვით x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან მეტრებში, t არის გაზომილი დრო წამებში. მოძრაობის დაწყებიდან. დროის რომელ მომენტში (წამებში) იყო მისი სიჩქარე 2 მ/წმ-ის ტოლი?

მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზის გასწვრივ საწყისიდან საბოლოო პოზიციამდე. ნახატზე ნაჩვენებია მისი მოძრაობის გრაფიკი. აბსციზა აჩვენებს დროს წამებში, ორდინატი გვიჩვენებს მანძილს წერტილის საწყისი პოზიციიდან (მეტრებში). იპოვეთ წერტილის საშუალო სიჩქარე. მიეცით პასუხი მეტრებში წამში.

ფუნქცია y \u003d f (x) განისაზღვრება ინტერვალზე [-4; 4]. ნახატზე ნაჩვენებია მისი წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკში, ტანგენსი, რომელშიც Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით ქმნის 45 ° კუთხეს.

ფუნქცია y \u003d f (x) განისაზღვრება სეგმენტზე [-2; 4]. ნახატზე ნაჩვენებია მისი წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკის წერტილის აბსცისა, რომელშიც ის იღებს უმცირეს მნიშვნელობას სეგმენტზე [-2; -0.001].

ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, შედგენილი x0 წერტილში. ტანგენსი მოცემულია განტოლებით y = -2x + 15. იპოვეთ y = -(1/4)f(x) + 5 ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

დიფერენცირებადი ფუნქციის y = f(x) გრაფიკზე აღინიშნება შვიდი წერტილი: x1,..,x7. იპოვეთ ყველა მონიშნული წერტილი, სადაც f(x) ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე მეტი. ჩაწერეთ ამ ქულების რაოდენობა თქვენს პასუხში.

ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი y \u003d f "(x), რომელიც განსაზღვრულია ინტერვალზე (-10; 2). იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზეც ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე. f (x) პარალელურია y \u003d -2x-11 წრფის ან ემთხვევა მას.

სურათზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული. x ღერძზე აღინიშნება ცხრა წერტილი: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7. , x8, x9.
ამ წერტილებიდან რამდენი ეკუთვნის f(x) კლებადი ფუნქციის ინტერვალებს?

ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, შედგენილი x0 წერტილში. ტანგენსი მოცემულია განტოლებით y = 1.5x + 3.5. იპოვეთ y \u003d 2f (x) - 1 ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიწარმოებულის y=F(x) გრაფიკი. გრაფიკზე მონიშნულია ექვსი წერტილი აბსცისებით x1, x2, ..., x6. ამ წერტილებიდან რამდენზე იღებს ფუნქცია y=f(x) უარყოფით მნიშვნელობებს?

ფიგურაში ნაჩვენებია მანქანის განრიგი მარშრუტის გასწვრივ. დრო გამოსახულია აბსცისის ღერძზე (საათებში), ორდინატთა ღერძზე - გავლილი მანძილი (კილომებში). იპოვეთ მანქანის საშუალო სიჩქარე ამ მარშრუტზე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში

მატერიალური წერტილი მართკუთხედად მოძრაობს კანონის მიხედვით x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან (მეტრებში), t არის დრო. მოძრაობის (წამებში). იპოვეთ მისი სიჩქარე (მეტრებში წამში) t=6 წმ დროს

ნახატზე ნაჩვენებია ზოგიერთი ფუნქციის y \u003d f (x) ანტიწარმოებული y \u003d F (x) გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია ინტერვალზე (-6; 7). ფიგურის გამოყენებით განსაზღვრეთ f(x) ფუნქციის ნულების რაოდენობა მოცემულ ინტერვალში.

ნახატზე ნაჩვენებია (-7; 5) ინტერვალზე განსაზღვრული ზოგიერთი ფუნქციის f(x) ერთ-ერთი ანტიწარმოებულის y = F(x) გრაფიკი. ნახატის გამოყენებით განსაზღვრეთ f(x) = 0 განტოლების ამონახსნების რაოდენობა სეგმენტზე [- 5; 2].

ნახატზე ნაჩვენებია დიფერენცირებადი ფუნქციის y=f(x) გრაფიკი. x ღერძზე აღინიშნება ცხრა წერტილი: x1, x2, ... x9. იპოვეთ ყველა მონიშნული წერტილი, სადაც f(x)-ის წარმოებული უარყოფითია. ჩაწერეთ ამ ქულების რაოდენობა თქვენს პასუხში.

მატერიალური წერტილი მართკუთხედად მოძრაობს კანონის მიხედვით x(t)=12t^3−3t^2+2t, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან მეტრებში, t არის დრო წამებში გაზომილი მოძრაობის დაწყებიდან. იპოვეთ მისი სიჩქარე (მეტრებში წამში) t=6 წმ დროს.

ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და x0 წერტილში დახატული ამ გრაფიკის ტანგენსი. ტანგენტის განტოლება ნაჩვენებია სურათზე. იპოვეთ y=4*f(x)-3 ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

B9 ამოცანაში მოცემულია ფუნქციის ან წარმოებულის გრაფიკი, საიდანაც საჭიროა განისაზღვროს შემდეგი სიდიდეებიდან ერთ-ერთი:

წარმოებულის მნიშვნელობა რაღაც მომენტში x 0,
მაღალი ან დაბალი ქულები (ექსტრემალური წერტილები),
მზარდი და კლებადი ფუნქციების ინტერვალები (ერთფეროვნების ინტერვალები).

ამ პრობლემაში წარმოდგენილი ფუნქციები და წარმოებულები ყოველთვის უწყვეტია, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოსავალს. იმისდა მიუხედავად, რომ დავალება მათემატიკური ანალიზის განყოფილებას განეკუთვნება, ის საკმაოდ სუსტი სტუდენტებისთვისაც კი ძალუძს, რადგან აქ ღრმა თეორიული ცოდნა არ არის საჭირო.

წარმოებულის, ექსტრემალური წერტილებისა და ერთფეროვნების ინტერვალების მნიშვნელობის საპოვნელად არსებობს მარტივი და უნივერსალური ალგორითმები - ყველა მათგანი ქვემოთ იქნება განხილული.

ყურადღებით წაიკითხეთ B9 პრობლემის მდგომარეობა, რათა არ დაუშვათ სულელური შეცდომები: ზოგჯერ საკმაოდ მოცულობითი ტექსტები გვხვდება, მაგრამ არსებობს რამდენიმე მნიშვნელოვანი პირობა, რომელიც გავლენას ახდენს გადაწყვეტის კურსზე.

წარმოებულის ღირებულების გაანგარიშება. ორი წერტილის მეთოდი

თუ პრობლემას მოცემულია f(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ტანგენტია ამ გრაფიკზე რაღაც წერტილში x 0, და საჭიროა ამ ეტაპზე წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

იპოვეთ ორი "ადეკვატური" წერტილი ტანგენტის გრაფიკზე: მათი კოორდინატები უნდა იყოს მთელი რიცხვი. ავღნიშნოთ ეს წერტილები A (x 1 ; y 1) და B (x 2 ; y 2). ჩაწერეთ კოორდინატები სწორად - ეს არის ამოხსნის მთავარი წერტილი და ნებისმიერი შეცდომა აქ იწვევს არასწორ პასუხს.
კოორდინატების ცოდნით ადვილია არგუმენტის Δx = x 2 − x 1 ნამატის და Δy = y 2 − y 1 ფუნქციის ნამატის გამოთვლა.
საბოლოოდ, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას D = Δy/Δx. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაყოთ ფუნქციის ზრდა არგუმენტის ზრდაზე - და ეს იქნება პასუხი.

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ: A და B წერტილები ზუსტად უნდა ვეძებოთ ტანგენსზე და არა f(x) ფუნქციის გრაფიკზე, როგორც ეს ხშირად ხდება. ტანგენსი აუცილებლად შეიცავს მინიმუმ ორ ასეთ წერტილს, წინააღმდეგ შემთხვევაში პრობლემა არასწორად არის ჩამოყალიბებული.

განვიხილოთ წერტილები A (−3; 2) და B (−1; 6) და იპოვეთ ნამატები:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

ვიპოვოთ წარმოებულის მნიშვნელობა: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი აბსცისის x 0 წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 3) და B (3; 0), იპოვეთ ნამატები:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

ახლა ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი აბსცისის x 0 წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 2) და B (5; 2) და იპოვეთ ნამატები:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

რჩება წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

ბოლო მაგალითიდან შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ წესი: თუ ტანგენსი პარალელურია OX ღერძისა, შეხების წერტილში ფუნქციის წარმოებული ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში, თქვენ არც კი გჭირდებათ რაიმეს გამოთვლა - უბრალოდ შეხედეთ გრაფიკს.

მაღალი და დაბალი ქულების გამოთვლა

ზოგჯერ B9 ამოცანაში ფუნქციის გრაფიკის ნაცვლად მოცემულია წარმოებული გრაფიკი და საჭიროა ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილის პოვნა. ამ სცენარში ორპუნქტიანი მეთოდი გამოუსადეგარია, მაგრამ არსებობს სხვა, კიდევ უფრო მარტივი ალგორითმი. პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ტერმინოლოგია:

x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≥ f(x).
x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≤ f(x).

წარმოებულის გრაფიკზე მაქსიმალური და მინიმალური ქულების საპოვნელად საკმარისია შემდეგი ნაბიჯების შესრულება:

გადახაზეთ წარმოებულის გრაფიკი, წაშალეთ ყველა არასაჭირო ინფორმაცია. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, დამატებითი მონაცემები მხოლოდ გადაწყვეტილებას ერევა. აქედან გამომდინარე, ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნულებს კოორდინატთა ღერძზე - და ეს არის ის.
გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებზე. თუ x 0 წერტილისთვის ცნობილია, რომ f'(x 0) ≠ 0, მაშინ შესაძლებელია მხოლოდ ორი ვარიანტი: f'(x 0) ≥ 0 ან f'(x 0) ≤ 0. წარმოებულის ნიშანია მარტივია ორიგინალური ნახაზის დადგენა: თუ წარმოებული გრაფიკი დევს OX ღერძის ზემოთ, მაშინ f'(x) ≥ 0. პირიქით, თუ წარმოებული გრაფიკი მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, მაშინ f'(x) ≤ 0.
ჩვენ კვლავ ვამოწმებთ წარმოებულის ნულებს და ნიშნებს. სადაც ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე, არის მინიმალური წერტილი. პირიქით, თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსზე, ეს არის მაქსიმალური წერტილი. დათვლა ყოველთვის კეთდება მარცხნიდან მარჯვნივ.

ეს სქემა მუშაობს მხოლოდ უწყვეტი ფუნქციებისთვის - B9 პრობლემაში სხვა არ არის.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−5] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 5]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოვიშოროთ ზედმეტი ინფორმაცია - დავტოვებთ მხოლოდ საზღვრებს [−5; 5] და x = −3 და x = 2,5 წარმოებულის ნულები. ასევე გაითვალისწინეთ ნიშნები:

ცხადია, x = −3 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. ეს არის მინიმალური წერტილი.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოდით გადავახაზოთ გრაფიკი და დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−3; 7] და წარმოებულის ნულები x = −1.7 და x = 5. მიღებულ გრაფიკზე გაითვალისწინეთ წარმოებულის ნიშნები. Ჩვენ გვაქვს:

ცხადია, x = 5 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე - ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−6] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 4]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა, რომლებიც მიეკუთვნება [−4; 3].

ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ საკმარისია გრაფის მხოლოდ სეგმენტით შემოსაზღვრული ნაწილის განხილვა [−4; 3]. ამიტომ ვაშენებთ ახალ გრაფიკს, რომელზედაც აღვნიშნავთ მხოლოდ საზღვრებს [−4; 3] და მის შიგნით წარმოებულის ნულები. კერძოდ, წერტილები x = −3.5 და x = 2. მივიღებთ:

ამ გრაფიკზე არის მხოლოდ ერთი მაქსიმალური წერტილი x = 2. სწორედ მასში იცვლება წარმოებულის ნიშანი პლუსიდან მინუსამდე.

მცირე შენიშვნა არამთლიანი კოორდინატების მქონე წერტილების შესახებ. მაგალითად, ბოლო ამოცანაში განიხილებოდა წერტილი x = −3,5, მაგრამ იგივე წარმატებით შეგვიძლია ავიღოთ x = −3,4. თუ პრობლემა სწორად არის ჩამოყალიბებული, ასეთი ცვლილებები არ უნდა იმოქმედოს პასუხზე, ვინაიდან პუნქტები „ფიქსირებული საცხოვრებელი ადგილის გარეშე“ უშუალოდ არ არის ჩართული პრობლემის გადაჭრაში. რა თქმა უნდა, მთელი რიცხვებით, ასეთი ხრიკი არ იმუშავებს.

ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების პოვნა

ასეთ პრობლემაში, ისევე როგორც მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები, შემოთავაზებულია იპოვოთ უბნები, რომლებშიც თავად ფუნქცია იზრდება ან მცირდება წარმოებულის გრაფიკიდან. ჯერ განვსაზღვროთ რა არის აღმავალი და დაღმავალი:

ფუნქცია f(x) ეწოდება სეგმენტზე მზარდი, თუ რომელიმე ორი წერტილის x 1 და x 2 ამ სეგმენტიდან დებულება მართალია: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო დიდია არგუმენტის მნიშვნელობა, მით უფრო დიდია ფუნქციის მნიშვნელობა.
f(x) ფუნქციას სეგმენტზე კლებადი ეწოდება, თუ ამ სეგმენტის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 დებულება მართალია: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). იმათ. არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

ჩვენ ვაყალიბებთ საკმარის პირობებს გაზრდისა და შემცირებისთვის:

იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე გაიზარდოს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს დადებითი, ე.ი. f'(x) ≥ 0.
იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე შემცირდეს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს უარყოფითი, ე.ი. f'(x) ≤ 0.

ჩვენ ვიღებთ ამ განცხადებებს მტკიცებულების გარეშე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სქემას ზრდისა და შემცირების ინტერვალების საპოვნელად, რომელიც მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია ექსტრემალური წერტილების გამოთვლის ალგორითმს:

წაშალეთ ყველა ზედმეტი ინფორმაცია. წარმოებულის თავდაპირველ გრაფიკზე ჩვენ პირველ რიგში გვაინტერესებს ფუნქციის ნულები, ამიტომ ვტოვებთ მხოლოდ მათ.
მონიშნეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებში. სადაც f'(x) ≥ 0, ფუნქცია იზრდება, ხოლო სადაც f'(x) ≤ 0, მცირდება. თუ პრობლემას აქვს შეზღუდვები x ცვლადზე, ჩვენ დამატებით აღვნიშნავთ მათ ახალ დიაგრამაზე.
ახლა, როდესაც ჩვენ ვიცით ფუნქციის ქცევა და შეზღუდვა, რჩება პრობლემის საჭირო მნიშვნელობის გამოთვლა.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7.5]. იპოვეთ f(x) კლებადი ფუნქციის ინტერვალები. თქვენს პასუხში ჩაწერეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი რიცხვების ჯამი.

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ხელახლა ვხატავთ გრაფიკს და აღვნიშნავთ საზღვრებს [−3; 7.5], ასევე x = −1.5 და x = 5.3 წარმოებულის ნულები. შემდეგ ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნიშნებს. Ჩვენ გვაქვს:

ვინაიდან წარმოებული უარყოფითია ინტერვალზე (− 1.5), ეს არის კლების ფუნქციის ინტერვალი. რჩება ამ ინტერვალის შიგნით მყოფი ყველა რიცხვის შეჯამება:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−10] სეგმენტზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 4]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები. თქვენს პასუხში ჩაწერეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

მოვიშოროთ ზედმეტი ინფორმაცია. ვტოვებთ მხოლოდ საზღვრებს [−10; 4] და წარმოებულის ნულები, რომლებიც ამჯერად ოთხი აღმოჩნდა: x = −8, x = −6, x = −3 და x = 2. გაითვალისწინეთ წარმოებულის ნიშნები და მიიღეთ შემდეგი სურათი:

ჩვენ გვაინტერესებს ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები, ე.ი. სადაც f'(x) ≥ 0. გრაფიკზე ორი ასეთი ინტერვალია: (−8; −6) და (−3; 2). გამოვთვალოთ მათი სიგრძე:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

ვინაიდან საჭიროა ყველაზე დიდი ინტერვალების სიგრძის პოვნა, პასუხად ვწერთ მნიშვნელობას l 2 = 5.

y=3x+2 წრფე tangentა y=-12x^2+bx-10 ფუნქციის გრაფიკზე. იპოვეთ b, იმის გათვალისწინებით, რომ შეხების წერტილის აბსციზა ნულზე ნაკლებია.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოდით x_0 იყოს y=-12x^2+bx-10 ფუნქციის გრაფიკის წერტილის აბსცისა, რომლითაც გადის ამ გრაფიკის ტანგენსი.

წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში ტოლია ტანგენსის დახრილობის, ანუ y"(x_0)=-24x_0+b=3. მეორეს მხრივ, ტანგენტის წერტილი ეკუთვნის როგორც ფუნქციის გრაფიკს, ასევე ტანგენსი, ანუ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. ვიღებთ განტოლებათა სისტემას \ დასაწყისი (შემთხვევები) -24x_0+b=3, \\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \დასრულება (შემთხვევები)

ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ x_0^2=1, რაც ნიშნავს x_0=-1 ან x_0=1. აბსცისის მდგომარეობის მიხედვით შეხების წერტილები ნულზე ნაკლებია, შესაბამისად x_0=-1, შემდეგ b=3+24x_0=-21.

უპასუხე

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი (რომელიც არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება სამი სწორი ხაზისგან). ფიგურის გამოყენებით გამოთვალეთ F(9)-F(5), სადაც F(x) არის f(x-ის ერთ-ერთი ანტიდერივატი).

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით, სხვაობა F(9)-F(5), სადაც F(x) არის f(x) ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი, უდრის მრუდი ტრაპეციის შემოსაზღვრული ფართობის. y=f(x) ფუნქციის გრაფიკით, სწორი წრფეები y=0 , x=9 და x=5. გრაფიკის მიხედვით ვადგენთ, რომ მითითებული მრგვალი ტრაპეცია არის ტრაპეცია 4-ისა და 3-ის ტოლი ფუძით და 3-ის სიმაღლით.

მისი ფართობი უდრის \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული ინტერვალზე (-4; 10). იპოვეთ კლებადი ფუნქციის ინტერვალები f (x). თქვენს პასუხში , მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოგეხსენებათ, f (x) ფუნქცია მცირდება იმ ინტერვალებზე, რომელთა თითოეულ წერტილში წარმოებული f "(x) არის ნულზე ნაკლები. თუ გავითვალისწინებთ, რომ აუცილებელია მათგან ყველაზე დიდის სიგრძის პოვნა, სამი ასეთი ინტერვალი. ბუნებრივად გამოირჩევიან ფიგურისგან: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

მათგან ყველაზე დიდი - (5; 9) სიგრძე 4-ის ტოლია.

უპასუხე

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული ინტერვალზე (-8; 7). იპოვეთ f (x) ფუნქციის კუთვნილი მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა. ინტერვალით [-6; -2].

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

გრაფიკზე ნაჩვენებია, რომ f (x) ფუნქციის f "(x) წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე (ასეთ წერტილებში იქნება მაქსიმუმი) ზუსტად ერთ წერტილში (-5-დან -4-ს შორის) ინტერვალიდან [. -6; -2 ამიტომ, არის ზუსტად ერთი მაქსიმალური წერტილი [-6;-2] ინტერვალზე.

უპასუხე

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია (-2; 8) ინტერვალზე განსაზღვრული y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. განსაზღვრეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის წარმოებული 0-ის ტოლია.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

თუ წერტილის წარმოებული ტოლია ნულის, მაშინ ამ წერტილში დახატული ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად. მაშასადამე, ჩვენ ვპოულობთ ისეთ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად. ამ სქემაზე ასეთი პუნქტები არის ექსტრემალური წერტილები (მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები). როგორც ხედავთ, არის 5 ექსტრემალური წერტილი.

უპასუხე

მდგომარეობა

y=-3x+4 წრფე პარალელურია y=-x^2+5x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტისა. იპოვეთ შეხების წერტილის აბსციზა.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

წრფის დახრილობა y=-x^2+5x-7 ფუნქციის გრაფიკისკენ თვითნებურ x_0 წერტილში არის y"(x_0). მაგრამ y"=-2x+5, ამიტომ y"(x_0)=- 2x_0+5. პირობით y=-3x+4 წრფის კოეფიციენტი კუთხურია -3. პარალელურ ხაზებს აქვთ იგივე დახრილობა.ამიტომ ვპოულობთ ისეთ მნიშვნელობას x_0 რომ =-2x_0 +5=-3.

ვიღებთ: x_0 = 4.

უპასუხე

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მონიშნულია წერტილები -6, -1, 1, 4 x ღერძზე. ამ წერტილებიდან რომელზეა წარმოებულის მნიშვნელობა ყველაზე მცირე? გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ ეს წერტილი.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

წარმოებულის ღირებულების გაანგარიშება. ორი წერტილის მეთოდი

მაღალი და დაბალი ქულების გამოთვლა

ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების პოვნა

გადაწყვეტილება

უპასუხე

მდგომარეობა

გადაწყვეტილება

უპასუხე

მდგომარეობა

გადაწყვეტილება

უპასუხე

მდგომარეობა

გადაწყვეტილება

უპასუხე

მდგომარეობა

გადაწყვეტილება

უპასუხე

მდგომარეობა

გადაწყვეტილება

უპასუხე

მდგომარეობა

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ