მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების გადაჭრა აბსოლუტურად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების შესახებ ცოდნის გარეშე. წარმოებული არის მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?

წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა

დაე, იყოს ფუნქცია f(x) , მოცემული გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ) . წერტილები x და x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის ცვლილება - მისი მნიშვნელობების განსხვავება x-x0 . ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის განსხვავება ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ორ წერტილში. წარმოებული განმარტება:

ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.

წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ასე დაიწეროს:

რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? მაგრამ რომელი:

წერტილის ფუნქციის წარმოებული ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: ბილიკის დროის წარმოებული მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარის ტოლია.

მართლაც, სკოლის დროიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე პირადი გზაა. x=f(t) და დრო ტ . საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:

მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად ერთ დროს t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:

წესი პირველი: ამოიღეთ მუდმივი

მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას, როგორც წესი, მიიღეთ - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, აუცილებლად გაამარტივეთ .

მაგალითი. გამოვთვალოთ წარმოებული:

წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული

ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.

ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული

ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

გადაწყვეტილება:

აქ მნიშვნელოვანია ვთქვათ რთული ფუნქციების წარმოებულების გაანგარიშების შესახებ. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:

ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამოხატვის წარმოებულის გამოსათვლელად ჯერ განვიხილავთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში, შემდეგ კი ვამრავლებთ თავად შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.

წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:

ჩვენ შევეცადეთ ვისაუბროთ დუმების წარმოებულებზე ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ჟღერს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლისას.

ამ და სხვა თემებზე ნებისმიერი შეკითხვის შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე დროში ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი კონტროლის გადაჭრაში და ამოცანების შესრულებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასდროს გქონიათ საქმე წარმოებულების გამოთვლასთან.

ფუნქციის კვლევა. ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ამოცანებზე, რომლებშიც განიხილება ფუნქციები და იმ პირობით, რომ არსებობს კითხვები მათ შესწავლასთან. განიხილეთ ძირითადი თეორიული პუნქტები, რომლებიც უნდა იცოდეთ და გაიგოთ მათი გადასაჭრელად.

ეს არის მათემატიკაში გამოცდაში ჩართული დავალებების მთელი ჯგუფი. ჩვეულებრივ სვამს კითხვას მაქსიმალური (მინიმუმის) წერტილების პოვნაზე ან მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის განსაზღვრაზე.განიხილება:

— ძალა და ირაციონალური ფუნქციები.

- რაციონალური ფუნქციები.

— სამუშაოების შესწავლა და კერძო.

- ლოგარითმული ფუნქციები.

- ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

თუ გესმით ლიმიტების თეორია, წარმოებულის ცნება, წარმოებულის თვისებები ფუნქციების გრაფიკების შესასწავლად და მისი , მაშინ ასეთი პრობლემები არანაირ სირთულეს არ შეგიქმნით და მათ მარტივად მოაგვარებთ.

ქვემოთ მოცემული ინფორმაცია არის თეორიული პუნქტები, რომელთა გაგება შესაძლებელს გახდის გააცნობიეროს, თუ როგორ უნდა გადაჭრას ასეთი პრობლემები. შევეცდები განვაცხადო ისინი ისე, რომ მათაც კი, ვინც ეს თემა გამოტოვა ან ცუდად შეისწავლა, დიდი სირთულის გარეშე გადაჭრას მსგავსი პრობლემები.

ამ ჯგუფის ამოცანებში, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, საჭიროა იპოვოთ ფუნქციის ან მინიმალური (მაქსიმალური) წერტილი, ან ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა.

მინიმალური და მაქსიმალური ქულები.წარმოებული თვისებები.

განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკი:

წერტილი A არის მაქსიმალური წერტილი, O-დან A-მდე ინტერვალზე ფუნქცია იზრდება, A-დან B-მდე მცირდება.

წერტილი B არის მინიმალური წერტილი, A-დან B-მდე ინტერვალზე ფუნქცია მცირდება, B-დან C-მდე ის იზრდება.

ამ წერტილებში (A და B) წარმოებული ქრება (უდრის ნულს).

ამ წერტილებში ტანგენტები ღერძის პარალელურია ხარი.

დავამატებ, რომ წერტილებს, რომლებზეც ფუნქცია ცვლის თავის ქცევას გაზრდიდან კლებამდე (და პირიქით, კლებიდან მატებამდე) ექსტრემას უწოდებენ.

მნიშვნელოვანი წერტილი:

1. გაზრდის ინტერვალებზე წარმოებულს აქვს დადებითი ნიშანი (nმნიშვნელობის ინტერვალიდან წარმოებულში ჩანაცვლებისას მიიღება დადებითი რიცხვი).

ეს ნიშნავს, რომ თუ წარმოებულს გარკვეული ინტერვალიდან გარკვეულ წერტილში აქვს დადებითი მნიშვნელობა, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი იზრდება.

2. კლების ინტერვალებზე წარმოებულს აქვს უარყოფითი ნიშანი (ინტერვალიდან მნიშვნელობის წარმოებულ გამოსახულებაში ჩანაცვლებისას მიიღება უარყოფითი რიცხვი).

ასე რომ, თუ წარმოებულს გარკვეული ინტერვალიდან გარკვეულ წერტილში აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი მცირდება.

ეს გასაგები უნდა იყოს!

ამრიგად, წარმოებულის გამოთვლით და ნულთან გათანაბრებით, შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილები, რომლებიც ყოფენ რეალურ ღერძს ინტერვალებად.თითოეულ ამ ინტერვალზე შეგიძლიათ განსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი და შემდეგ გამოიტანოთ დასკვნა მისი გაზრდის ან შემცირების შესახებ.

* ცალკე უნდა ითქვას იმ წერტილებზე, რომლებზეც წარმოებული არ არსებობს. მაგალითად, შეგვიძლია მივიღოთ წარმოებული, რომლის მნიშვნელი ქრება გარკვეულ x-ზე. ნათელია, რომ ასეთი x-სთვის წარმოებული არ არსებობს. ასე რომ, გაზრდის (კლების) ინტერვალების განსაზღვრისას ეს პუნქტიც გასათვალისწინებელია.

ფუნქცია იმ წერტილებში, სადაც წარმოებული ნულის ტოლია, ყოველთვის არ ცვლის თავის ნიშანს. ეს იქნება ცალკე სტატია. თავად USE-ში ასეთი ამოცანები არ იქნება.

ზემოაღნიშნული თვისებები აუცილებელია ფუნქციის ქცევის გაზრდისა და შემცირებაში შესასწავლად.

კიდევ რა უნდა იცოდეთ მითითებული ამოცანების გადასაჭრელად: წარმოებულების ცხრილი და დიფერენცირების წესები. ამის გარეშე არაფერი. ეს არის ძირითადი ცოდნა წარმოებულის თემაში. ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები კარგად უნდა იცოდე.

რთული ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლავ(გ(x)), წარმოიდგინეთ ფუნქციაგ(x) არის ცვლადი და შემდეგ გამოთვალეთ წარმოებულივ’(გ(x)) ტაბულური ფორმულებით, როგორც ცვლადის ჩვეულებრივი წარმოებული. შემდეგ გავამრავლოთ შედეგი ფუნქციის წარმოებულზეგ(x) .

უყურეთ მაქსიმ სემენიხინის ვიდეო გაკვეთილს რთული ფუნქციის შესახებ:

პრობლემები მაქსიმალური და მინიმალური ქულების პოვნაში

ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილების პოვნის ალგორითმი:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული ვ’(x).

2. იპოვეთ წარმოებულის ნულები (წარმოებულის ნულის ტოლობით ვ’(x)=0 და ამოხსენით მიღებული განტოლება). ჩვენ ასევე ვპოულობთ წერტილებს, სადაც წარმოებული არ არსებობს(კერძოდ, ეს ეხება წილად-რაციონალურ ფუნქციებს).

3. ჩვენ აღვნიშნავთ მიღებულ მნიშვნელობებს რიცხვთა ხაზზე და განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს ამ ინტერვალებზე, მნიშვნელობების ინტერვალებიდან წარმოებული გამოსახულებით ჩანაცვლებით.

გამომავალი იქნება ორიდან ერთი:

1. მაქსიმალური ქულა არის წერტილირომელშიც წარმოებული იცვლება დადებითიდან უარყოფითში.

2. მინიმალური წერტილი არის წერტილირომელშიც წარმოებული იცვლება უარყოფითიდან პოზიტიურად.

პრობლემები ყველაზე დიდი ან უმცირესი მნიშვნელობის პოვნაში

ფუნქციონირებს ინტერვალზე.

სხვა ტიპის პრობლემის დროს საჭიროა მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა.

ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის პოვნის ალგორითმი:

1. დაადგინეთ არის თუ არა მაქსიმალური (მინიმალური) ქულები. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს ვ’(x) , შემდეგ გადაჭრით ვ’(x)=0 (1 და 2 პუნქტები წინა ალგორითმიდან).

2. განვსაზღვრავთ, მიეკუთვნება თუ არა მოცემული ქულები მოცემულ ინტერვალს და ვწერთ მის შიგნით მყოფებს.

3. ჩვენ ვცვლით საწყის ფუნქციაში (არა წარმოებულში, არამედ მოცემულ მდგომარეობაში) მოცემული ინტერვალის საზღვრებს და ინტერვალში მდებარე წერტილებს (მაქსიმუმ-მინიმუმს) (პუნქტი 2).

4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს.

5. მიღებულიდან ვირჩევთ უდიდეს (უმცირეს) მნიშვნელობას იმისდა მიხედვით, თუ რა კითხვა იყო დასმული ამოცანაში და შემდეგ ვიწერთ პასუხს.

კითხვა: რატომ არის საჭირო ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის პოვნის ამოცანებში მაქსიმალური (მინიმალური) ქულების მოძიება?

პასუხი საუკეთესოდ არის ილუსტრირებული, იხილეთ ფუნქციებით მოცემული გრაფიკების სქემატური წარმოდგენა:

1 და 2 შემთხვევებში საკმარისია ინტერვალის საზღვრების ჩანაცვლება ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობის დასადგენად. მე-3 და მე-4 შემთხვევებში აუცილებელია ფუნქციის ნულების (მაქსიმუმ-მინიმალური ქულების) პოვნა. თუ შევცვლით ინტერვალის საზღვრებს (ფუნქციის ნულების აღმოჩენის გარეშე), მივიღებთ არასწორ პასუხს, ეს ჩანს გრაფიკებიდან.

და საქმე ის არის, რომ ჩვენ ვერ ვხედავთ, როგორ გამოიყურება დიაგრამა ინტერვალზე (აქვს მაქსიმუმი თუ მინიმუმი ინტერვალში) მოცემული ფუნქციის გამოყენებით. მაშასადამე, იპოვეთ ფუნქციის ნულები უშეცდომოდ!!!

თუ განტოლება ვ'(x)=0 არ ექნება გამოსავალი, ეს ნიშნავს, რომ არ არის მაქსიმუმ-მინიმალური ქულები (სურათი 1.2) და იმისათვის, რომ იპოვო დასახული დავალება, ამ ფუნქციაში ჩანაცვლებულია მხოლოდ ინტერვალის საზღვრები.

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გახსოვდეთ, რომ პასუხი უნდა იყოს მთელი რიცხვი ან საბოლოო ათობითი. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის გამოთვლისას მიიღებთ გამონათქვამებს e და pi რიცხვით, ასევე გამოსახულებებს ფესვით. გახსოვდეთ, რომ მათი ბოლომდე გამოთვლა არ გჭირდებათ და ცხადია, რომ ასეთი გამოთქმების შედეგი არ იქნება პასუხი. თუ არსებობს ასეთი მნიშვნელობის გამოთვლის სურვილი, მაშინ გააკეთე ეს (ნომრები: e ≈ 2.71 Pi ≈ 3.14).

ბევრი დავწერე, ალბათ დაბნეული? კონკრეტული მაგალითებით ნახავთ, რომ ყველაფერი მარტივია.

შემდეგი, მინდა გითხრათ პატარა საიდუმლო. ფაქტია, რომ მრავალი ამოცანის ამოხსნა შესაძლებელია წარმოებულის თვისებების ცოდნისა და დიფერენცირების წესების გარეშეც კი. ამ ნიუანსებზე აუცილებლად გეტყვით და გაჩვენებთ როგორ კეთდება? არ გამოტოვოთ!

მაგრამ მაშინ რატომ გამოვთქვი თეორია საერთოდ და ისიც ვთქვი, რომ ეს აუცილებლად უნდა იყოს ცნობილი. ეს ასეა - თქვენ უნდა იცოდეთ. თუ ეს გესმით, მაშინ ამ თემაში არცერთი დავალება არ დაგაბნევთ.

ის „ხრიკები“, რომელთა შესახებაც გაეცნობით, დაგეხმარებათ კონკრეტული (ზოგიერთი) პროტოტიპის პრობლემების გადაჭრაში. რომროგორც დამატებითი ინსტრუმენტი, ეს ტექნიკა, რა თქმა უნდა, მოსახერხებელია გამოსაყენებლად. პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს 2-3-ჯერ უფრო სწრაფად და დაზოგოთ დრო C ნაწილის გადასაჭრელად.

Ყველაფერი საუკეთესო!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული.

შესავალი.

ეს მეთოდოლოგიური განვითარება განკუთვნილია სამრეწველო და სამოქალაქო ინჟინერიის ფაკულტეტის სტუდენტებისთვის. ისინი შედგენილია მათემატიკის კურსის პროგრამასთან მიმართებაში განყოფილებაში „ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გამოთვლა“.

განვითარება არის ერთიანი მეთოდოლოგიური გზამკვლევი, რომელიც მოიცავს: მოკლე თეორიულ ინფორმაციას; „ტიპიური“ ამოცანები და სავარჯიშოები ამ ამონახსნებისთვის დეტალური ამონახსნებითა და ახსნა-განმარტებით; კონტროლის პარამეტრები.

დამატებითი სავარჯიშოები ყოველი აბზაცის ბოლოს. განვითარების ასეთი სტრუქტურა მათ შესაფერისს ხდის განყოფილების დამოუკიდებელი ათვისებისთვის მასწავლებლის ყველაზე მინიმალური დახმარებით.

§ერთი. წარმოებულის განმარტება.

მექანიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა

წარმოებული.

წარმოებულის ცნება მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა, ის წარმოიშვა ჯერ კიდევ მე-17 საუკუნეში. წარმოებულის ცნების ჩამოყალიბება ისტორიულად დაკავშირებულია ორ პრობლემასთან: ცვლადი მოძრაობის სიჩქარის პრობლემასთან და მრუდის ტანგენტის პრობლემასთან.

ეს ამოცანები, მიუხედავად მათი განსხვავებული შინაარსისა, მივყავართ ერთსა და იმავე მათემატიკურ ოპერაციამდე, რომელიც უნდა შესრულდეს ფუნქციაზე.ამ ოპერაციამ მათემატიკაში განსაკუთრებული სახელი მიიღო. მას ფუნქციის დიფერენცირების ოპერაციას უწოდებენ. დიფერენციაციის ოპერაციის შედეგს წარმოებული ეწოდება.

ასე რომ, y=f(x) ფუნქციის წარმოებული x0 წერტილში არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი (თუ ის არსებობს) არგუმენტის ზრდასთან.
ზე
.

წარმოებული ჩვეულებრივ აღინიშნება შემდეგნაირად:
.

ასე რომ, განსაზღვრებით

სიმბოლოები ასევე გამოიყენება წარმოებულის აღსანიშნავად
.

წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა.

თუ s=s(t) არის მატერიალური წერტილის მართკუთხა მოძრაობის კანონი, მაშინ
არის ამ წერტილის სიჩქარე t დროში.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

თუ ფუნქციას y=f(x) აქვს წარმოებული წერტილში , შემდეგ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობა
უდრის
.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
წერტილში =2:

1) მოდით მივცეთ წერტილი =2 მატება
. გაითვალისწინეთ, რომ.

2) იპოვეთ ფუნქციის ნამატი წერტილში =2:

3) შეადგინეთ ფუნქციის ზრდის შეფარდება არგუმენტის ზრდასთან:

მოდი ვიპოვოთ ურთიერთობის ზღვარი at
:

.

ამრიგად,
.

§ 2. ზოგიერთის წარმოებულები

უმარტივესი ფუნქციები.

მოსწავლემ უნდა ისწავლოს კონკრეტული ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლა: y=x,y= და ზოგადად y= .

იპოვეთ y=x ფუნქციის წარმოებული.

იმათ. (x)′=1.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული

წარმოებული

დაე იყოს
მაშინ

ძალის ფუნქციის წარმოებულების გამონათქვამებში მარტივია ნიმუშის შემჩნევა
n=1,2,3-ზე.

აქედან გამომდინარე,

. (1)

ეს ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერი რეალური n-ისთვის.

კერძოდ, ფორმულის გამოყენებით (1) გვაქვს:

;

.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

.

.

ეს ფუნქცია ფორმის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევაა

ზე
.

ფორმულის გამოყენებით (1) გვაქვს

.

y=sin x და y=cos x ფუნქციების წარმოებულები.

მოდით y=sinx.

გავყოთ ∆x-ზე, მივიღებთ

ზღვრამდე, როგორც ∆x→0, გვაქვს

მოდით y=cosx.

ლიმიტზე, როგორც ∆x→0, მივიღებთ

;
. (2)

§3. დიფერენცირების ძირითადი წესები.

განვიხილოთ დიფერენცირების წესები.

თეორემა1 . თუ u=u(x) და v=v(x) ფუნქციები დიფერენცირებადია მოცემულ x წერტილში, მაშინ მათი ჯამი ასევე დიფერენცირებადია ამ წერტილში, ხოლო ჯამის წარმოებული ტოლია მიღებული ტერმინების ჯამის: (u+v)"=u"+v".(3)

დადასტურება: განიხილეთ ფუნქცია y=f(x)=u(x)+v(x).

x არგუმენტის Δx ნამატს შეესაბამება u და v ფუნქციების ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). შემდეგ ფუნქცია y გაიზრდება

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

აქედან გამომდინარე,

ასე რომ, (u+v)"=u"+v".

თეორემა2. თუ u=u(x) და v=v(x) ფუნქციები დიფერენცირებადია მოცემულ x წერტილში, მაშინ მათი ნამრავლიც დიფერენცირებადია იმავე წერტილში.ამ შემთხვევაში ნამრავლის წარმოებული იპოვება შემდეგი ფორმულით. : (uv) "=u" v + uv ". (4)

დადასტურება: მოდით y=uv, სადაც u და v არის x-ის ზოგიერთი დიფერენცირებადი ფუნქცია. დავუშვათ x გაიზრდება ∆x-ით, შემდეგ u გაიზრდება ∆u-ით, v გაიზრდება ∆v-ით და y გაიზრდება ∆y-ით.

გვაქვს y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ან

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

ამიტომ, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

აქედან

გადავიდეთ ლიმიტზე, როგორც ∆x→0 და იმის გათვალისწინებით, რომ u და v არ არის დამოკიდებული ∆x-ზე, გვაქვს

თეორემა 3. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მნიშვნელი უდრის გამყოფის კვადრატს, ხოლო მრიცხველი არის სხვაობა გამყოფის მიერ დივიდენდის წარმოებულის ნამრავლსა და გამყოფის ნამრავლს შორის. დივიდენდი გამყოფის წარმოებულით, ე.ი.

Თუ
მაშინ
(5)

თეორემა 4.მუდმივის წარმოებული არის ნული, ე.ი. თუ y=C, სადაც С=const, მაშინ y"=0.

თეორემა 5.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან, ე.ი. თუ y=Cu(x), სადაც С=const, მაშინ y"=Cu"(x).

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

.

ამ ფუნქციას აქვს ფორმა
, სადაც u=x,v=cosx. დიფერენცირების წესის (4) გამოყენებით ვხვდებით

.

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (5).

Აქ
;
.

Დავალებები.

იპოვეთ შემდეგი ფუნქციების წარმოებულები:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

შეადგინეთ თანაფარდობა და გამოთვალეთ ლიმიტი.

სად გააკეთა წარმოებულების ცხრილი და დიფერენციაციის წესები? ერთი ლიმიტის წყალობით. როგორც ჩანს, ჯადოქრობაა, მაგრამ სინამდვილეში - ხელის სისწრაფე და არა თაღლითობა. გაკვეთილზე რა არის წარმოებული?დავიწყე კონკრეტული მაგალითების განხილვა, სადაც განმარტების გამოყენებით ვიპოვე წრფივი და კვადრატული ფუნქციის წარმოებულები. შემეცნებითი გახურების მიზნით ჩვენ გავაგრძელებთ შეწუხებას წარმოებული ცხრილიალგორითმის და ტექნიკური გადაწყვეტილებების დახვეწა:

მაგალითი 1

ფაქტობრივად, საჭიროა დენის ფუნქციის წარმოებულის განსაკუთრებული შემთხვევის დამტკიცება, რომელიც ჩვეულებრივ ჩანს ცხრილში: .

გადაწყვეტილებატექნიკურად გაფორმებულია ორი გზით. დავიწყოთ პირველი, უკვე ნაცნობი მიდგომით: კიბე იწყება ფიცრით, ხოლო წარმოებული ფუნქცია იწყება წარმოებულით წერტილში.

განიხილეთ ზოგიერთიკუთვნილი (კონკრეტული) წერტილი დომენებიფუნქცია, რომელსაც აქვს წარმოებული. დააყენეთ ნამატი ამ ეტაპზე (რა თქმა უნდა, არა მიღმაო/ო -ᲛᲔ)და შეადგინეთ ფუნქციის შესაბამისი ზრდა:

მოდით გამოვთვალოთ ლიმიტი:

გაურკვევლობა 0:0 აღმოიფხვრება სტანდარტული ტექნიკით, რომელიც ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე პირველ საუკუნეში ითვლება. გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი მიმდებარე გამოსახულებით :

ასეთი ლიმიტის ამოხსნის ტექნიკა დეტალურად არის განხილული შესავალ გაკვეთილზე. ფუნქციების საზღვრების შესახებ.

ვინაიდან ინტერვალის ნებისმიერი წერტილი შეიძლება ავირჩიოთ, როგორც, ჩანაცვლებით მივიღებთ:

უპასუხე

კიდევ ერთხელ გავიხაროთ ლოგარითმებით:

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წარმოებულის განმარტების გამოყენებით

გადაწყვეტილება: განვიხილოთ განსხვავებული მიდგომა ერთი და იგივე ამოცანის პოპულარიზაციისთვის. ზუსტად იგივეა, მაგრამ დიზაინის თვალსაზრისით უფრო რაციონალურია. იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ ამოიღოთ ხელმოწერა გადაწყვეტის დასაწყისში და გამოიყენოთ ასო ასოს ნაცვლად.

განიხილეთ თვითნებურიკუთვნილი წერტილი დომენებიფუნქცია (ინტერვალი) და დააყენეთ მასში ნამატი. და აქ, სხვათა შორის, როგორც უმეტეს შემთხვევაში, შეგიძლიათ გააკეთოთ ყოველგვარი დათქმის გარეშე, რადგან ლოგარითმული ფუნქცია დიფერენცირებადია განსაზღვრების დომენის ნებისმიერ წერტილში.

მაშინ შესაბამისი ფუნქციის ზრდა არის:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:

დიზაინის სიმარტივე დაბალანსებულია იმ დაბნეულობით, რომელიც შეიძლება განიცადონ დამწყებთათვის (და არა მხოლოდ). ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ მიჩვეულები ვართ, რომ ასო "X" იცვლება ლიმიტში! მაგრამ აქ ყველაფერი სხვაგვარადაა: - ანტიკური ქანდაკება და - ცოცხალი სტუმარი, რომელიც მხიარულად დადის მუზეუმის დერეფანში. ანუ "x" არის "მუდმივის მსგავსი".

მე კომენტარს გავაკეთებ გაურკვევლობის აღმოფხვრაზე ეტაპობრივად:

(1) გამოიყენეთ ლოგარითმის თვისება .

(2) ფრჩხილებში ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს მნიშვნელზე ტერმინით.

(3) მნიშვნელში, ჩვენ ხელოვნურად ვამრავლებთ და ვყოფთ "x"-ზე, რომ ვისარგებლოთ მშვენიერი ლიმიტი , ხოლო როგორც უსასრულოდ მცირეგამოირჩევა.

უპასუხე: წარმოებულის განმარტებით:

ან მოკლედ:

მე ვთავაზობ დამოუკიდებლად ავაშენოთ კიდევ ორი ​​ცხრილი ფორმულა:

მაგალითი 3

ამ შემთხვევაში, შედგენილი ნამატი დაუყოვნებლივ მოსახერხებელია საერთო მნიშვნელამდე დასაყვანად. დავალების სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს (პირველი მეთოდი).

მაგალითი 3:გადაწყვეტილება : განიხილეთ რაღაც წერტილი , ფუნქციის ფარგლებს მიეკუთვნება . დააყენეთ ნამატი ამ ეტაპზე და შეადგინეთ ფუნქციის შესაბამისი ზრდა:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული ერთ წერტილში :


ვინაიდან როგორც შეგიძლიათ აირჩიოთ ნებისმიერი წერტილი ფუნქციის ფარგლები , მაშინ და
უპასუხე : წარმოებულის განმარტებით

მაგალითი 4

იპოვნეთ წარმოებული განსაზღვრებით

და აქ ყველაფერი უნდა შემცირდეს მშვენიერი ლიმიტი. ხსნარი ჩარჩოშია მეორე გზით.

ანალოგიურად, რიგი სხვა ცხრილის წარმოებულები. სრული სია შეგიძლიათ ნახოთ სასკოლო სახელმძღვანელოში, ან, მაგალითად, ფიხტენჰოლცის 1 ტომში. მე ვერ ვხედავ დიდ აზრს წიგნებიდან გადაწერაში და დიფერენცირების წესების მტკიცებულებებში - ისინი ასევე წარმოიქმნება ფორმულით.

მაგალითი 4:გადაწყვეტილება , საკუთრებაში და დააყენეთ მასში ნამატი

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:

მშვენიერი ლიმიტის გამოყენება

უპასუხე : ა-პრიორიტეტი

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული , წარმოებულის განმარტების გამოყენებით

გადაწყვეტილება: გამოიყენეთ პირველი ვიზუალური სტილი. განვიხილოთ რაღაც პუნქტის კუთვნილება, დავადგინოთ მასში არგუმენტის ზრდა. მაშინ შესაბამისი ფუნქციის ზრდა არის:

შესაძლოა ზოგიერთ მკითხველს ჯერ ბოლომდე არ ესმოდეს პრინციპი, რომლითაც უნდა მოხდეს ზრდა. ვიღებთ წერტილს (ნომერს) და ვპოულობთ მასში ფუნქციის მნიშვნელობას: , ანუ ფუნქციაში იმის მაგივრად"x" უნდა შეიცვალოს. ახლა ჩვენ ასევე ვიღებთ ძალიან კონკრეტულ რიცხვს და ასევე ვცვლით მას ფუნქციაში იმის მაგივრად"x": . ჩვენ ვწერთ განსხვავებას, მაშინ როცა ეს აუცილებელია ფრჩხილებში მთლიანად.

შედგენილი ფუნქციის ზრდა მომგებიანია დაუყოვნებლივ გამარტივება. Რისთვის? გააადვილეთ და შეამცირეთ შემდგომი ლიმიტის ამოხსნა.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს, ვხსნით ფრჩხილებს და ვამცირებთ ყველაფერს, რისი შემცირებაც შესაძლებელია:

ინდაური გაფუჭებულია, შემწვარი პრობლემა არ არის:

საბოლოოდ:

ვინაიდან ხარისხად შეიძლება ნებისმიერი რეალური რიცხვის არჩევა, ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას და ვიღებთ .

უპასუხე: ა-პრიორიტეტი.

გადამოწმების მიზნით, ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს გამოყენებით დიფერენცირების წესები და ცხრილები:

ყოველთვის სასარგებლო და სასიამოვნოა სწორი პასუხის წინასწარ ცოდნა, ამიტომ სჯობს გონებრივად ან მონახაზზე შემოთავაზებული ფუნქცია „სწრაფად“ განვასხვავოთ ამოხსნის დასაწყისშივე.

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წარმოებულის განსაზღვრებით

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. შედეგი დევს ზედაპირზე:

მაგალითი 6:გადაწყვეტილება : განიხილეთ რაღაც წერტილი , საკუთრებაში და დააყენეთ მასში არგუმენტის მატება . მაშინ შესაბამისი ფუნქციის ზრდა არის:


მოდით გამოვთვალოთ წარმოებული:


ამრიგად:
რადგან როგორც ნებისმიერი რეალური რიცხვის არჩევა შეიძლება და
უპასუხე : ა-პრიორიტეტი.

დავუბრუნდეთ #2 სტილს:

მაგალითი 7

მოდით, სასწრაფოდ გავარკვიოთ, რა უნდა მოხდეს. ავტორი რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი:

გადაწყვეტილება: განიხილეთ თვითნებური პუნქტი, რომელიც ეკუთვნის , დააყენეთ მასში არგუმენტის ზრდა და შეადგინეთ ფუნქციის ზრდა:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:


(1) გამოყენება ტრიგონომეტრიული ფორმულა .

(2) სინუსის ქვეშ ვხსნით ფრჩხილებს, კოსინუსის ქვეშ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

(3) სინუსში ვამცირებთ წევრებს, კოსინუსში მრიცხველს ვყოფთ მნიშვნელზე ტერმინით.

(4) სინუსის უცნაურობის გამო ვიღებთ „მინუსს“. კოსინუსის ქვეშ ჩვენ მივუთითებთ, რომ ტერმინი .

(5) ჩვენ ხელოვნურად ვამრავლებთ მნიშვნელს გამოსაყენებლად პირველი მშვენიერი ლიმიტი. ამრიგად, გაურკვევლობა აღმოფხვრილია, ჩვენ ვვარცხნით შედეგს.

უპასუხე: ა-პრიორიტეტი

როგორც ხედავთ, განსახილველი პრობლემის მთავარი სირთულე ემყარება თავად ლიმიტის სირთულეს + შეფუთვის მცირე ორიგინალობას. პრაქტიკაში, დიზაინის ორივე მეთოდი გვხვდება, ამიტომ ორივე მიდგომას რაც შეიძლება დეტალურად აღვწერ. ისინი ეკვივალენტურია, მაგრამ მაინც, ჩემი სუბიექტური შთაბეჭდილებით, უფრო მიზანშეწონილია, რომ დუიმებმა დაიცვან 1 ვარიანტი "X ნულთან".

მაგალითი 8

განმარტების გამოყენებით იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 8:გადაწყვეტილება : განიხილეთ თვითნებური წერტილი , საკუთრებაში , მოდით დავაყენოთ მასში ნამატი და გააკეთეთ ფუნქციის ზრდა:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:

ჩვენ ვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფორმულას და პირველი მნიშვნელოვანი ზღვარი:

უპასუხე : ა-პრიორიტეტი

მოდით გავაანალიზოთ პრობლემის უფრო იშვიათი ვერსია:

მაგალითი 9

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში წარმოებულის განმარტების გამოყენებით.

პირველი, რა უნდა იყოს ბოლო ხაზი? ნომერი

მოდით გამოვთვალოთ პასუხი სტანდარტული გზით:

გადაწყვეტილება: სიცხადის თვალსაზრისით, ეს ამოცანა ბევრად უფრო მარტივია, რადგან ფორმულა განიხილავს კონკრეტულ მნიშვნელობას.

ჩვენ ვაყენებთ ნამატს წერტილში და ვადგენთ ფუნქციის შესაბამის ნამატს:

გამოთვალეთ წარმოებული წერტილში:

ჩვენ ვიყენებთ ძალიან იშვიათ ფორმულას ტანგენტების სხვაობისთვის და კიდევ ერთხელ შეამცირეთ ხსნარი პირველი მშვენიერი ლიმიტი:

უპასუხე: წარმოებულის განსაზღვრებით წერტილში.

ამოცანის ამოხსნა არც ისე რთულია და „ზოგადად“ - საკმარისია ჩანაცვლება ან უბრალოდ, დიზაინის მეთოდის მიხედვით. ამ შემთხვევაში, რა თქმა უნდა, თქვენ მიიღებთ არა რიცხვს, არამედ წარმოებულ ფუნქციას.

მაგალითი 10

განმარტების გამოყენებით იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში (ერთ-ერთი შეიძლება აღმოჩნდეს უსასრულო), რაზეც მე უკვე ვისაუბრე ზოგადად თეორიული გაკვეთილი წარმოებულის შესახებ.

ზოგიერთი ცალმხრივ განსაზღვრული ფუნქცია ასევე დიფერენცირებადია გრაფიკის „შეერთების“ წერტილებში, მაგალითად, catdog აქვს საერთო წარმოებული და საერთო ტანგენსი (აბსცისა) წერტილში. მრუდი, დიახ დიფერენცირებადი ! მსურველებს შეუძლიათ ამის გადამოწმება ახლად ამოხსნილი მაგალითის მოდელზე.

©2015-2019 საიტი
ყველა უფლება ეკუთვნის მათ ავტორებს. ეს საიტი არ აცხადებს ავტორობას, მაგრამ უზრუნველყოფს უფასო გამოყენებას.
გვერდის შექმნის თარიღი: 2017-06-11

სამუშაოს ტიპი: 7

მდგომარეობა

y=3x+2 წრფე tangentა y=-12x^2+bx-10 ფუნქციის გრაფიკზე. იპოვეთ b, იმის გათვალისწინებით, რომ შეხების წერტილის აბსციზა ნულზე ნაკლებია.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოდით x_0 იყოს y=-12x^2+bx-10 ფუნქციის გრაფიკის წერტილის აბსცისა, რომლითაც გადის ამ გრაფიკის ტანგენსი.

წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში ტოლია ტანგენსის დახრილობის, ანუ y"(x_0)=-24x_0+b=3. მეორეს მხრივ, ტანგენტის წერტილი ეკუთვნის როგორც ფუნქციის გრაფიკს, ასევე ტანგენსი, ანუ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. ვიღებთ განტოლებათა სისტემას \ დასაწყისი (შემთხვევები) -24x_0+b=3, \\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \დასრულება (შემთხვევები)

ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ x_0^2=1, რაც ნიშნავს x_0=-1 ან x_0=1. აბსცისის მდგომარეობის მიხედვით შეხების წერტილები ნულზე ნაკლებია, შესაბამისად x_0=-1, შემდეგ b=3+24x_0=-21.

უპასუხე

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

y=-3x+4 წრფე პარალელურია y=-x^2+5x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტისა. იპოვეთ შეხების წერტილის აბსციზა.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

წრფის დახრილობა y=-x^2+5x-7 ფუნქციის გრაფიკისკენ თვითნებურ x_0 წერტილში არის y"(x_0). მაგრამ y"=-2x+5, ამიტომ y"(x_0)=- 2x_0+5. პირობით y=-3x+4 წრფის კოეფიციენტი კუთხურია -3. პარალელურ ხაზებს აქვთ იგივე დახრილობა.ამიტომ ვპოულობთ ისეთ მნიშვნელობას x_0 რომ =-2x_0 +5=-3.

ვიღებთ: x_0 = 4.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ფიგურიდან ვადგენთ, რომ ტანგენსი გადის A(-6; 2) და B(-1; 1) წერტილებზე. აღნიშნეთ C(-6; 1) წრფეების გადაკვეთის წერტილი x=-6 და y=1, ხოლო \alpha-ით ABC კუთხე (სურათზე ჩანს, რომ ის მკვეთრია). შემდეგ AB წრფე ქმნის ბლაგვ კუთხეს \pi -\alpha Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით.

მოგეხსენებათ, tg(\pi -\alpha) იქნება f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში. შეამჩნია, რომ tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.აქედან, შემცირების ფორმულებით, ვიღებთ: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

y=-2x-4 წრფე tangentა y=16x^2+bx+12 ფუნქციის გრაფიკზე. იპოვეთ b, იმის გათვალისწინებით, რომ შეხების წერტილის აბსციზა ნულზე მეტია.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოდით x_0 იყოს y=16x^2+bx+12 ფუნქციის გრაფიკის წერტილის აბსციზა

არის ტანგენტი ამ გრაფიკზე.

წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში უდრის ტანგენტის დახრილობას, ანუ y"(x_0)=32x_0+b=-2. მეორეს მხრივ, ტანგენტის წერტილი ეკუთვნის როგორც ფუნქციის გრაფიკს, ასევე ტანგენსი, ანუ 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 ვიღებთ განტოლებათა სისტემას \ დასაწყისი (შემთხვევები) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \დასრულება (შემთხვევები)

სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ x_0^2=1, რაც ნიშნავს x_0=-1 ან x_0=1. აბსცისის მდგომარეობის მიხედვით შეხების წერტილები მეტია ნულზე, შესაბამისად x_0=1, შემდეგ b=-2-32x_0=-34.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია (-2; 8) ინტერვალზე განსაზღვრული y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. განსაზღვრეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია სწორი y=6-ის.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

წრფე y=6 პარალელურია Ox ღერძის. მაშასადამე, ჩვენ ვპოულობთ ისეთ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად. ამ სქემაზე ასეთი პუნქტები არის ექსტრემალური წერტილები (მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები). როგორც ხედავთ, არის 4 ექსტრემალური წერტილი.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

y=4x-6 წრფე პარალელურია y=x^2-4x+9 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტისა. იპოვეთ შეხების წერტილის აბსციზა.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

y \u003d x ^ 2-4x + 9 ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის დახრილობა თვითნებურ x_0 წერტილში არის y "(x_0). მაგრამ y" \u003d 2x-4, რაც ნიშნავს y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. პირობით განსაზღვრული ტანგენსის y \u003d 4x-7 დახრილობა 4-ის ტოლია. პარალელურ ხაზებს აქვთ იგივე დახრილობა. ამიტომ ვპოულობთ ისეთ მნიშვნელობას x_0 რომ 2x_0-4 \u003d 4. ვიღებთ : x_0 \u003d 4.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის ტანგენტის გრაფიკი

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x_0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x_0 წერტილში.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ფიგურიდან ვადგენთ, რომ ტანგენსი გადის A(1; 1) და B(5; 4) წერტილებზე. აღნიშნეთ C(5; 1) წრფეების გადაკვეთის წერტილი x=5 და y=1, ხოლო \alpha-ით BAC კუთხე (ნახაზზე ჩანს, რომ ის მკვეთრია). შემდეგ AB წრფე ქმნის კუთხეს \ალფა Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით.