ამ სტატიაში თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენებით. პირველად ასეთი პრობლემის ფორმულირებას ვხვდებით უმაღლეს სკოლაში, როცა გარკვეული ინტეგრალების შესწავლა ახლახან დასრულდა და დროა დავიწყოთ მიღებული ცოდნის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია პრაქტიკაში.
ასე რომ, რა არის საჭირო ინტეგრალების გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის წარმატებით გადასაჭრელად:
- ნახატების სწორად დახატვის უნარი;
- განსაზღვრული ინტეგრალის ამოხსნის უნარი კარგად ცნობილი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით;
- უფრო მომგებიანი გადაწყვეტის „დანახვის“ უნარი - ე.ი. რომ გავიგოთ, როგორ იქნება ამა თუ იმ შემთხვევაში ინტეგრაციის განხორციელება უფრო მოსახერხებელი? x-ღერძის გასწვრივ (OX) თუ y-ღერძი (OY)?
- კარგი, სად სწორი გამოთვლების გარეშე?) ეს მოიცავს იმის გაგებას, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ სხვა ტიპის ინტეგრალები და სწორი რიცხვითი გამოთვლები.
ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:
1. ჩვენ ვქმნით ნახატს. მიზანშეწონილია ამის გაკეთება ქაღალდზე გალიაში, დიდი მასშტაბით. ფანქრით ვაწერთ ხელს ყოველი გრაფიკის ზემოთ ამ ფუნქციის სახელს. გრაფიკების ხელმოწერა კეთდება მხოლოდ შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის. სასურველი ფიგურის გრაფიკის მიღების შემდეგ, უმეტეს შემთხვევაში, მაშინვე გაირკვევა, თუ რომელი ინტეგრაციის ლიმიტები იქნება გამოყენებული. ამრიგად, ჩვენ პრობლემას გრაფიკულად ვხსნით. თუმცა, ეს ხდება, რომ საზღვრების მნიშვნელობები არის წილადი ან ირაციონალური. ამიტომ, შეგიძლიათ გააკეთოთ დამატებითი გამოთვლები, გადადით მეორე ეტაპზე.
2. თუ ინტეგრაციის ლიმიტები ცალსახად არ არის დაყენებული, მაშინ ჩვენ ვპოულობთ გრაფიკების ერთმანეთთან გადაკვეთის წერტილებს და ვნახავთ, ემთხვევა თუ არა ჩვენი გრაფიკული ამოხსნა ანალიტიკურს.
3. შემდეგი, თქვენ უნდა გააანალიზოთ ნახაზი. იმისდა მიხედვით, თუ როგორ არის განლაგებული ფუნქციების გრაფიკები, არსებობს სხვადასხვა მიდგომა ფიგურის ფართობის მოსაძებნად. განვიხილოთ ფიგურის ფართობის პოვნის სხვადასხვა მაგალითები ინტეგრალის გამოყენებით.
3.1. პრობლემის ყველაზე კლასიკური და მარტივი ვერსია არის ის, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ მრგვალი ტრაპეციის ფართობი. რა არის მრუდი ტრაპეცია? ეს არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება x ღერძით (y=0), სწორი x = a, x = bდა ნებისმიერი მრუდი უწყვეტი ინტერვალზე აადრე ბ. ამავდროულად, ეს მაჩვენებელი არაუარყოფითია და მდებარეობს x-ღერძზე დაბალი არ არის. ამ შემთხვევაში, მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით გამოთვლილ განსაზღვრულ ინტეგრალს:
მაგალითი 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
რა ხაზები განსაზღვრავს ფიგურას? ჩვენ გვაქვს პარაბოლა y = x2 - 3x + 3, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ ოჰ, არაუარყოფითია, რადგან ამ პარაბოლის ყველა წერტილი დადებითია. შემდეგი, მოცემულია სწორი ხაზები x = 1და x = 3რომლებიც გადიან ღერძის პარალელურად OU, არის ფიგურის შეზღუდვის ხაზები მარცხნივ და მარჯვნივ. კარგად y = 0, ის არის x-ღერძი, რომელიც ზღუდავს ფიგურას ქვემოდან. შედეგად მიღებული ფიგურა დაჩრდილულია, როგორც ეს ჩანს მარცხნივ სურათზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაიწყოთ პრობლემის მოგვარება. ჩვენს წინაშეა მრუდი ტრაპეციის მარტივი მაგალითი, რომელსაც შემდეგ ვხსნით ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით.
3.2. წინა 3.1 პარაგრაფში გაანალიზებულია შემთხვევა, როდესაც მრუდი ტრაპეცია მდებარეობს x ღერძის ზემოთ. ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც პრობლემის პირობები იგივეა, გარდა იმისა, რომ ფუნქცია x-ღერძის ქვეშ დევს. ნიუტონ-ლაიბნიცის სტანდარტულ ფორმულას ემატება მინუსი. როგორ მოვაგვაროთ ასეთი პრობლემა, შემდგომ განვიხილავთ.
მაგალითი 2 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
ამ მაგალითში გვაქვს პარაბოლა y=x2+6x+2, რომელიც სათავეს იღებს ღერძის ქვეშ ოჰ, სწორი x=-4, x=-1, y=0. Აქ y = 0ზღუდავს სასურველ ფიგურას ზემოდან. პირდაპირი x = -4და x = -1ეს ის საზღვრებია, რომლებშიც გამოითვლება განსაზღვრული ინტეგრალი. ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის გადაჭრის პრინციპი თითქმის მთლიანად ემთხვევა მაგალითს ნომერ 1-ს. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მოცემული ფუნქცია არ არის დადებითი და ყველაფერი ასევე უწყვეტია ინტერვალზე. [-4; -1] . რას არ ნიშნავს პოზიტიური? როგორც ნახატიდან ჩანს, მოცემულ x-ში მოთავსებულ ფიგურას აქვს ექსკლუზიურად „უარყოფითი“ კოორდინატები, რაც უნდა დავინახოთ და დავიმახსოვროთ პრობლემის გადაჭრისას. ჩვენ ვეძებთ ფიგურის ფართობს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, მხოლოდ დასაწყისში მინუს ნიშნით.
სტატია არ არის დასრულებული.
ამ სტატიაში თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენებით. პირველად ასეთი პრობლემის ფორმულირებას ვხვდებით უმაღლეს სკოლაში, როცა გარკვეული ინტეგრალების შესწავლა ახლახან დასრულდა და დროა დავიწყოთ მიღებული ცოდნის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია პრაქტიკაში.
ასე რომ, რა არის საჭირო ინტეგრალების გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის წარმატებით გადასაჭრელად:
- ნახატების სწორად დახატვის უნარი;
- განსაზღვრული ინტეგრალის ამოხსნის უნარი კარგად ცნობილი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით;
- უფრო მომგებიანი გადაწყვეტის „დანახვის“ უნარი - ე.ი. რომ გავიგოთ, როგორ იქნება ამა თუ იმ შემთხვევაში ინტეგრაციის განხორციელება უფრო მოსახერხებელი? x-ღერძის გასწვრივ (OX) თუ y-ღერძი (OY)?
- კარგი, სად სწორი გამოთვლების გარეშე?) ეს მოიცავს იმის გაგებას, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ სხვა ტიპის ინტეგრალები და სწორი რიცხვითი გამოთვლები.
ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:
1. ჩვენ ვქმნით ნახატს. მიზანშეწონილია ამის გაკეთება ქაღალდზე გალიაში, დიდი მასშტაბით. ფანქრით ვაწერთ ხელს ყოველი გრაფიკის ზემოთ ამ ფუნქციის სახელს. გრაფიკების ხელმოწერა კეთდება მხოლოდ შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის. სასურველი ფიგურის გრაფიკის მიღების შემდეგ, უმეტეს შემთხვევაში, მაშინვე გაირკვევა, თუ რომელი ინტეგრაციის ლიმიტები იქნება გამოყენებული. ამრიგად, ჩვენ პრობლემას გრაფიკულად ვხსნით. თუმცა, ეს ხდება, რომ საზღვრების მნიშვნელობები არის წილადი ან ირაციონალური. ამიტომ, შეგიძლიათ გააკეთოთ დამატებითი გამოთვლები, გადადით მეორე ეტაპზე.
2. თუ ინტეგრაციის ლიმიტები ცალსახად არ არის დაყენებული, მაშინ ჩვენ ვპოულობთ გრაფიკების ერთმანეთთან გადაკვეთის წერტილებს და ვნახავთ, ემთხვევა თუ არა ჩვენი გრაფიკული ამოხსნა ანალიტიკურს.
3. შემდეგი, თქვენ უნდა გააანალიზოთ ნახაზი. იმისდა მიხედვით, თუ როგორ არის განლაგებული ფუნქციების გრაფიკები, არსებობს სხვადასხვა მიდგომა ფიგურის ფართობის მოსაძებნად. განვიხილოთ ფიგურის ფართობის პოვნის სხვადასხვა მაგალითები ინტეგრალის გამოყენებით.
3.1. პრობლემის ყველაზე კლასიკური და მარტივი ვერსია არის ის, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ მრგვალი ტრაპეციის ფართობი. რა არის მრუდი ტრაპეცია? ეს არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება x ღერძით (y=0), სწორი x = a, x = bდა ნებისმიერი მრუდი უწყვეტი ინტერვალზე აადრე ბ. ამავდროულად, ეს მაჩვენებელი არაუარყოფითია და მდებარეობს x-ღერძზე დაბალი არ არის. ამ შემთხვევაში, მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით გამოთვლილ განსაზღვრულ ინტეგრალს:
მაგალითი 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
რა ხაზები განსაზღვრავს ფიგურას? ჩვენ გვაქვს პარაბოლა y = x2 - 3x + 3, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ ოჰ, არაუარყოფითია, რადგან ამ პარაბოლის ყველა წერტილი დადებითია. შემდეგი, მოცემულია სწორი ხაზები x = 1და x = 3რომლებიც გადიან ღერძის პარალელურად OU, არის ფიგურის შეზღუდვის ხაზები მარცხნივ და მარჯვნივ. კარგად y = 0, ის არის x-ღერძი, რომელიც ზღუდავს ფიგურას ქვემოდან. შედეგად მიღებული ფიგურა დაჩრდილულია, როგორც ეს ჩანს მარცხნივ სურათზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაიწყოთ პრობლემის მოგვარება. ჩვენს წინაშეა მრუდი ტრაპეციის მარტივი მაგალითი, რომელსაც შემდეგ ვხსნით ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით.
3.2. წინა 3.1 პარაგრაფში გაანალიზებულია შემთხვევა, როდესაც მრუდი ტრაპეცია მდებარეობს x ღერძის ზემოთ. ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც პრობლემის პირობები იგივეა, გარდა იმისა, რომ ფუნქცია x-ღერძის ქვეშ დევს. ნიუტონ-ლაიბნიცის სტანდარტულ ფორმულას ემატება მინუსი. როგორ მოვაგვაროთ ასეთი პრობლემა, შემდგომ განვიხილავთ.
მაგალითი 2 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
ამ მაგალითში გვაქვს პარაბოლა y=x2+6x+2, რომელიც სათავეს იღებს ღერძის ქვეშ ოჰ, სწორი x=-4, x=-1, y=0. Აქ y = 0ზღუდავს სასურველ ფიგურას ზემოდან. პირდაპირი x = -4და x = -1ეს ის საზღვრებია, რომლებშიც გამოითვლება განსაზღვრული ინტეგრალი. ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის გადაჭრის პრინციპი თითქმის მთლიანად ემთხვევა მაგალითს ნომერ 1-ს. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მოცემული ფუნქცია არ არის დადებითი და ყველაფერი ასევე უწყვეტია ინტერვალზე. [-4; -1] . რას არ ნიშნავს პოზიტიური? როგორც ნახატიდან ჩანს, მოცემულ x-ში მოთავსებულ ფიგურას აქვს ექსკლუზიურად „უარყოფითი“ კოორდინატები, რაც უნდა დავინახოთ და დავიმახსოვროთ პრობლემის გადაჭრისას. ჩვენ ვეძებთ ფიგურის ფართობს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, მხოლოდ დასაწყისში მინუს ნიშნით.
სტატია არ არის დასრულებული.
დავალება ნომერი 3. გააკეთეთ ნახაზი და გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
ინტეგრალის გამოყენება გამოყენებული პრობლემების გადასაჭრელად
ფართობის გაანგარიშება
უწყვეტი არაუარყოფითი ფუნქციის f(x) განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად ტოლიამრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მრუდით y \u003d f (x), O x ღერძით და სწორი ხაზებით x \u003d a და x \u003d b. შესაბამისად, ფართობის ფორმულა იწერება შემდეგნაირად:
განვიხილოთ სიბრტყე ფიგურების ფართობის გამოთვლის რამდენიმე მაგალითი.
დავალების ნომერი 1. გამოთვალეთ y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 ხაზებით შემოსაზღვრული ფართობი.
გადაწყვეტილება.მოდით ავაშენოთ ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა გამოვთვალოთ.
y \u003d x 2 + 1 არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, ხოლო პარაბოლა გადაადგილებულია ზემოთ ერთი ერთეულით O y ღერძის მიმართ (სურათი 1).
ნახაზი 1. y = x 2 + 1 ფუნქციის გრაფიკი
დავალების ნომერი 2. გამოთვალეთ y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 ხაზებით შემოსაზღვრული ფართობი 0-დან 1-მდე დიაპაზონში.
 |
გადაწყვეტილება.ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ტოტის პარაბოლა, რომელიც მიმართულია ზევით და პარაბოლა გადაადგილებულია ერთი ერთეულით ქვემოთ O y ღერძის მიმართ (სურათი 2).
სურათი 2. ფუნქციის გრაფიკი y \u003d x 2 - 1
დავალება ნომერი 3. გააკეთეთ ნახაზი და გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
y = 8 + 2x - x 2 და y = 2x - 4.
გადაწყვეტილება.ამ ორი წრფედან პირველი არის პარაბოლა ტოტებით მიმართული ქვევით, ვინაიდან კოეფიციენტი x 2-ზე უარყოფითია, ხოლო მეორე ხაზი არის სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს ორივე კოორდინატულ ღერძს.
პარაბოლის ასაგებად ვიპოვოთ მისი წვერის კოორდინატები: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – წვეროს აბსცისა; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 არის მისი ორდინატი, N(1;9) არის მისი წვერო.
ახლა ჩვენ ვპოულობთ პარაბოლისა და წრფის გადაკვეთის წერტილებს განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:
განტოლების მარჯვენა გვერდების გათანაბრება, რომლის მარცხენა გვერდები ტოლია.
ვიღებთ 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ან x 2 - 12 \u003d 0, საიდანაც 
.
ამრიგად, წერტილები არის პარაბოლისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები (სურათი 1).
სურათი 3 ფუნქციების გრაფიკები y = 8 + 2x – x 2 და y = 2x – 4
ავაგოთ სწორი ხაზი y = 2x - 4. ის გადის კოორდინატთა ღერძებზე (0;-4), (2; 0) წერტილებზე.
პარაბოლას ასაგებად ასევე შეგიძლიათ მისი გადაკვეთის წერტილები გქონდეთ 0x ღერძთან, ანუ განტოლების ფესვები 8 + 2x - x 2 = 0 ან x 2 - 2x - 8 = 0. ვიეტას თეორემით ეს არის ადვილია მისი ფესვების პოვნა: x 1 = 2, x 2 = 4.
3-ზე ნაჩვენებია ფიგურა (პარაბოლური სეგმენტი M 1 N M 2), რომელიც შემოიფარგლება ამ ხაზებით.
პრობლემის მეორე ნაწილი არის ამ ფიგურის ფართობის პოვნა. მისი ფართობი შეიძლება მოიძებნოს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ფორმულის გამოყენებით 
.
ამ პირობასთან დაკავშირებით, ჩვენ ვიღებთ ინტეგრალს: 
2 რევოლუციის სხეულის მოცულობის გამოთვლა
O x ღერძის გარშემო y \u003d f (x) მრუდის ბრუნვის შედეგად მიღებული სხეულის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით:
O y ღერძის გარშემო ბრუნვისას ფორმულა ასე გამოიყურება:
დავალება ნომერი 4. განსაზღვრეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია მრუდი ტრაპეციის ბრუნვის შედეგად, რომელიც შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით x \u003d 0 x \u003d 3 და მრუდი y \u003d O x ღერძის გარშემო.
გადაწყვეტილება.მოდით ავაშენოთ ნახატი (სურათი 4).
ნახაზი 4. y = ფუნქციის გრაფიკი
სასურველი მოცულობა უდრის 
დავალება ნომერი 5. გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია მრუდი ტრაპეციის ბრუნვის შედეგად, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით y = x 2 და სწორი ხაზებით y = 0 და y = 4 O y ღერძის გარშემო.
გადაწყვეტილება.Ჩვენ გვაქვს:
გადახედეთ კითხვებს
ა)
გადაწყვეტილება.
გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტი არის ნახატის აგება.
მოდით დავხატოთ ნახატი:
განტოლება y=0 ადგენს x-ღერძს;
- x=-2 და x=1 - სწორი, ღერძის პარალელურად OU;
- y \u003d x 2 +2 - პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, წვეროთი (0;2) წერტილში.
კომენტარი.პარაბოლის ასაგებად საკმარისია ვიპოვოთ მისი გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან, ე.ი. აყენებს x=0 იპოვნეთ კვეთა ღერძთან OU და შესაბამისი კვადრატული განტოლების ამოხსნით იპოვეთ ღერძთან კვეთა ოჰ .
პარაბოლის წვერო შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით: 
შეგიძლიათ დახაზოთ ხაზები და წერტილი-პუნქტი.
[-2;1] ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი y=x 2 +2 მდებარე ღერძზე მეტი ოქსი , Ამიტომაც:
პასუხი: ს \u003d 9 კვადრატული ერთეული
დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, „თვალით“ ვითვლით ნახატზე უჯრედების რაოდენობას - კარგი, დაახლოებით 9 იქნება აკრეფილი, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.
რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ ოჰ?
ბ)გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y=-e x , x=1 და საკოორდინაციო ღერძები.
გადაწყვეტილება.
მოდით დავხატოთ ნახატი.
თუ მრუდი ტრაპეცია მთლიანად ღერძის ქვეშ ოჰ , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:
პასუხი: S=(e-1) კვ. ერთეული“ 1,72 კვ. ერთეული
ყურადღება! არ აურიოთ ორი ტიპის დავალება:
1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ გარკვეული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.
2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.
პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა მდებარეობს როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში.
თან)იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
გადაწყვეტილება.
ჯერ ნახატი უნდა გააკეთოთ. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. იპოვეთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები 
და პირდაპირი 
ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური.
ჩვენ ვხსნით განტოლებას:
ასე რომ, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი a=0 , ინტეგრაციის ზედა ზღვარი b=3 .
|
ვაშენებთ მოცემულ ხაზებს: 1. პარაბოლა - წვერო (1;1); ღერძის კვეთა ოჰ -ქულები (0;0) და (0;2). 2. სწორი ხაზი - მე-2 და მე-4 კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. ახლა კი ყურადღება! თუ ინტერვალით [ ა;ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია f(x)მეტი ან ტოლი რომელიმე უწყვეტ ფუნქციაზე g(x), მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით: და არ აქვს მნიშვნელობა სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელოვანია, რომელი დიაგრამაა უფრო მაღალი (სხვა სქემასთან შედარებით), და რომელი არის ქვემოთ. განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება |
.შესაძლებელია ხაზების აგება წერტილი – წერტილი, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა, თითქოს „თავისთავად“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ჯერ კიდევ ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური).
სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით ზემოდან და სწორი ხაზით ქვემოდან.
სეგმენტზე 
შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:
პასუხი: ს \u003d 4.5 კვ. ერთეული
დავალება 1(მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოთვლაზე).
დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში xOy მოცემულია ფიგურა (იხ. ფიგურა), რომელიც შემოიფარგლება x ღერძით, სწორი ხაზები x \u003d a, x \u003d b (მრუდი ტრაპეცია. საჭიროა ფართობის გამოთვლა \ მრუდი ტრაპეცია.
გადაწყვეტილება.გეომეტრია გვაძლევს მრავალკუთხედების ფართობის და წრის ზოგიერთი ნაწილის (სექტორი, სეგმენტი) გამოთვლის რეცეპტებს. გეომეტრიული მოსაზრებების გამოყენებით ჩვენ შევძლებთ ვიპოვოთ საჭირო ფართობის მხოლოდ მიახლოებითი მნიშვნელობა, შემდეგნაირად არგუმენტირებულად.
გავყოთ სეგმენტი [a; b] (მრუდი ტრაპეციის ფუძე) n თანაბარ ნაწილად; ეს დანაყოფი შესაძლებელია x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 წერტილების დახმარებით . მოდით გავავლოთ ხაზები ამ წერტილებში y-ღერძის პარალელურად. შემდეგ მოცემული მრუდი ტრაპეცია დაიყოფა n ნაწილად, n ვიწრო სვეტად. მთელი ტრაპეციის ფართობი უდრის სვეტების ფართობების ჯამს.
ცალკე განვიხილოთ k-ე სვეტი, ე.ი. მრგვალი ტრაპეცია, რომლის ფუძე არის სეგმენტი. შევცვალოთ ის მართკუთხედით იგივე ფუძით და სიმაღლით f(x k)-ის ტოლი (იხ. სურათი). მართკუთხედის ფართობი არის \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), სადაც \(\Delta x_k \) არის სეგმენტის სიგრძე; ბუნებრივია, რომ შედგენილი პროდუქტი განიხილებოდეს, როგორც k-ე სვეტის ფართობის სავარაუდო მნიშვნელობა. 
თუ ახლა იგივეს გავაკეთებთ ყველა სხვა სვეტთან, მაშინ მივიღებთ შემდეგ შედეგს: მოცემული მრუდი ტრაპეციის S ფართობი დაახლოებით ტოლია n მართკუთხედისგან შემდგარი საფეხურიანი ფიგურის ფართობის S n (იხ. სურათი):
\(S_n = f(x_0)\დელტა x_0 + \წერტილები + f(x_k)\დელტა x_k + \წერტილები + f(x_(n-1))\დელტა x_(n-1) \)
აქ, აღნიშვნის ერთგვაროვნების მიზნით, მიგვაჩნია, რომ a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\დელტა x_0 \) - სეგმენტის სიგრძე , \(\დელტა x_1 \) - სეგმენტის სიგრძე და ა.შ. ხოლო, როგორც ზემოთ შევთანხმდით, \(\დელტა x_0 = \წერტილები = \დელტა x_(n-1) \)
ასე რომ, \(S \დაახლოებით S_n \), და ეს სავარაუდო ტოლობა რაც უფრო ზუსტია, მით უფრო დიდია n.
განმარტებით, ვარაუდობენ, რომ მრუდი ტრაპეციის სასურველი ფართობი უდრის მიმდევრობის ზღვარს (S n):
$$ S = \lim_(n \ to \infty) S_n $$
დავალება 2(პუნქტის გადატანის შესახებ)
მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზით. სიჩქარის დროზე დამოკიდებულება გამოიხატება ფორმულით v = v(t). იპოვეთ წერტილის გადაადგილება დროის ინტერვალზე [a; ბ].
გადაწყვეტილება.მოძრაობა ერთგვაროვანი რომ ყოფილიყო, მაშინ პრობლემა ძალიან მარტივად გადაიჭრებოდა: s = vt, ე.ი. s = v(b-a). არათანაბარი მოძრაობისთვის უნდა გამოვიყენოთ იგივე იდეები, რომლებსაც ეყრდნობოდა წინა პრობლემის გადაწყვეტა.
1) გაყავით დროის ინტერვალი [a; b] n თანაბარ ნაწილად.
2) განვიხილოთ დროის ინტერვალი და ჩავთვალოთ, რომ ამ დროის ინტერვალის განმავლობაში სიჩქარე იყო მუდმივი, მაგალითად t k დროს. ასე რომ, ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ v = v(t k).
3) იპოვნეთ წერტილის გადაადგილების სავარაუდო მნიშვნელობა დროის ინტერვალზე, ეს მიახლოებითი მნიშვნელობა აღინიშნა s k-ით
\(s_k = v(t_k) \დელტა t_k \)
4) იპოვეთ s-ის გადაადგილების სავარაუდო მნიშვნელობა:
\(s \დაახლოებით S_n \) სადაც
\(S_n = s_0 + \წერტილები + s_(n-1) = v(t_0)\დელტა t_0 + \წერტილები + v(t_(n-1)) \დელტა t_(n-1) \)
5) საჭირო გადაადგილება უდრის მიმდევრობის ზღვარს (S n):
$$ s = \lim_(n \ to \infty) S_n $$
შევაჯამოთ. სხვადასხვა ამოცანების ამონახსნები დაყვანილ იქნა იმავე მათემატიკურ მოდელზე. მრავალი პრობლემა მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა სფეროდან ერთსა და იმავე მოდელამდე მიგვიყვანს გადაჭრის პროცესში. ასე რომ, ეს მათემატიკური მოდელი სპეციალურად უნდა იყოს შესწავლილი.
განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება
მოდით მივცეთ მოდელის მათემატიკური აღწერა, რომელიც აგებულია სამ განხილულ ამოცანაში ფუნქციისთვის y = f(x), რომელიც არის უწყვეტი (მაგრამ არა აუცილებლად არაუარყოფითი, როგორც ეს იყო ვარაუდი განხილულ ამოცანებში) სეგმენტზე [ ა; ბ]:
1) სეგმენტის გაყოფა [a; b] n თანაბარ ნაწილად;
2) ჯამი $$ S_n = f(x_0)\დელტა x_0 + f(x_1)\დელტა x_1 + \წერტილები + f(x_(n-1))\დელტა x_(n-1) $$
3) გამოთვალეთ $$ \lim_(n \ to \infty) S_n $$
მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ ეს ზღვარი არსებობს უწყვეტი (ან ნაწილებად უწყვეტი) ფუნქციის შემთხვევაში. მას ეძახიან y = f(x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი [a; ბ]და აღინიშნება ასე:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
რიცხვებს a და b ეწოდება ინტეგრაციის ზღვრები (ქვედა და ზედა, შესაბამისად).
დავუბრუნდეთ ზემოთ განხილულ ამოცანებს. პრობლემა 1-ში მოცემული ფართობის განმარტება ახლა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
აქ S არის მრგვალი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში. Ეს არის ის, რაც განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.
2-ე ამოცანაში მოცემული t = a-დან t=b-მდე დროის ინტერვალით v = v(t) სწორი ხაზით მოძრავი წერტილის s გადაადგილების განმარტება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
ნიუტონი - ლაიბნიცის ფორმულა
დასაწყისისთვის, მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა კავშირია განსაზღვრულ ინტეგრალსა და ანტიწარმოებულს შორის?
პასუხი შეგიძლიათ იხილოთ ამოცანა 2-ში. ერთის მხრივ, წერტილის გადაადგილება s, რომელიც მოძრაობს სწორი ხაზით v = v(t) სიჩქარით დროის ინტერვალით t = a-დან t = b-მდე და გამოითვლება ფორმულა
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
მეორე მხრივ, მოძრავი წერტილის კოორდინატი არის სიჩქარის ანტიდერივატი - ავღნიშნოთ ის s(t); აქედან გამომდინარე, გადაადგილება s გამოიხატება ფორმულით s = s(b) - s(a). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
სადაც s(t) არის v(t) ანტიწარმოებული.
მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა შემდეგი თეორემა.
თეორემა. თუ ფუნქცია y = f(x) უწყვეტია სეგმენტზე [a; b], შემდეგ ფორმულა
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
სადაც F(x) არის f(x) ანტიწარმოებული.
ამ ფორმულას ჩვეულებრივ უწოდებენ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულაინგლისელი ფიზიკოსის ისააკ ნიუტონის (1643-1727) და გერმანელი ფილოსოფოსის გოტფრიდ ლაიბნიცის (1646-1716) პატივსაცემად, რომლებმაც იგი ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და თითქმის ერთდროულად მიიღეს.
პრაქტიკაში F(b) - F(a) დაწერის ნაცვლად იყენებენ აღნიშვნას \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ზოგჯერ ე.წ. ორმაგი ჩანაცვლება) და, შესაბამისად, გადაწერეთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ამ ფორმით:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \მარცხნივ. F(x)\მარჯვნივ|_a^b \)
განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლით, ჯერ იპოვნეთ ანტიწარმოებული და შემდეგ განახორციელეთ ორმაგი ჩანაცვლება.
ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის საფუძველზე შეიძლება მივიღოთ განსაზღვრული ინტეგრალის ორი თვისება.
საკუთრება 1.ფუნქციების ჯამის ინტეგრალი უდრის ინტეგრალების ჯამს:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
სიბრტყე ფიგურების ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით
ინტეგრალის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ არა მხოლოდ მრუდი ტრაპეციის ფართობი, არამედ უფრო რთული ტიპის სიბრტყე ფიგურები, როგორიცაა ნახატზე ნაჩვენები. P ფიგურა შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით x = a, x = b და უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკები y = f(x), y = g(x) და სეგმენტზე [a; b] უტოლობა \(g(x) \leq f(x) \) მოქმედებს. ასეთი ფიგურის S ფართობის გამოსათვლელად ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
ასე რომ, ფიგურის S ფართობი შემოსაზღვრული სწორი ხაზებით x = a, x = b და y = f(x), y = g(x) ფუნქციების გრაფიკები, უწყვეტი სეგმენტზე და ისეთი, რომ ნებისმიერი x-ისთვის სეგმენტი [ა; b] უტოლობა \(g(x) \leq f(x) \) დაკმაყოფილებულია, გამოითვლება ფორმულით
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
