ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

„პითაგორას თეორემის გაკვეთილი“ - პითაგორას თეორემა. ოთხკუთხა KMNP-ის ტიპის განსაზღვრა. Გახურება. თეორემის შესავალი. სამკუთხედის ტიპის განსაზღვრა: გაკვეთილის გეგმა: ისტორიული დიგრესია. მარტივი პრობლემების გადაჭრა. და იპოვნეთ 125 ფუტის სიგრძის კიბე. გამოთვალეთ ABCD ტრაპეციის CF სიმაღლე. მტკიცებულება. სურათების ჩვენება. თეორემის დადასტურება.

„პრიზმის მოცულობა“ - პრიზმის ცნება. პირდაპირი პრიზმა. საწყისი პრიზმის მოცულობა უდრის ნამრავლს S · h. როგორ მოვძებნოთ სწორი პრიზმის მოცულობა? პრიზმა შეიძლება დაიყოს h სიმაღლის სწორ სამკუთხა პრიზმებად. დახაზეთ ABC სამკუთხედის სიმაღლე. პრობლემის გადაწყვეტა. გაკვეთილის მიზნები. ძირითადი ნაბიჯები პირდაპირი პრიზმის თეორემის დასამტკიცებლად? პრიზმის მოცულობის თეორემის შესწავლა.

"პრიზმული პოლიედრები" - განსაზღვრეთ პოლიედონი. DABC არის ტეტრაედონი, ამოზნექილი პოლიედონი. პრიზმების გამოყენება. სად გამოიყენება პრიზმები? ABCDMP არის რვააედონი, რომელიც შედგება რვა სამკუთხედისგან. ABCDA1B1C1D1 არის პარალელეპიპედი, ამოზნექილი პოლიედონი. ამოზნექილი პოლიედონი. პოლიედრონის კონცეფცია. პოლიედონი A1A2..AnB1B2..Bn არის პრიზმა.

"პრიზმის კლასი 10" - პრიზმა არის პოლიედონი, რომლის სახეები პარალელურ სიბრტყეშია. პრიზმის გამოყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში. Sside = Pbased. + h სწორი პრიზმისთვის: Sp.p = Pmain. h + 2 Smain. დახრილი. სწორი. პირდაპირ. პრიზმა. ფართობის პოვნის ფორმულები. პრიზმის გამოყენება არქიტექტურაში. Sp.p \u003d S მხარე + 2 S დაფუძნებული.

"პითაგორას თეორემის მტკიცებულება" - გეომეტრიული მტკიცებულება. პითაგორას თეორემის მნიშვნელობა. Პითაგორას თეორემა. ევკლიდეს მტკიცებულება. „მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს“. თეორემის მტკიცებულებები. თეორემის მნიშვნელობა ის არის, რომ გეომეტრიის თეორემების უმეტესი ნაწილი შეიძლება გამოიტანოს მისგან ან მისი დახმარებით.

მყარი გეომეტრიის კურსის სასკოლო სასწავლო გეგმაში სამგანზომილებიანი ფიგურების შესწავლა ჩვეულებრივ იწყება მარტივი გეომეტრიული სხეულით - პრიზმული პოლიედრონით. მისი ფუძეების როლს ასრულებს 2 თანაბარი მრავალკუთხედი, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში. განსაკუთრებული შემთხვევაა რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა. მისი ფუძეები არის 2 იდენტური რეგულარული ოთხკუთხედი, რომლებზეც გვერდები პერპენდიკულარულია, პარალელოგრამების (ან მართკუთხედების თუ პრიზმის დახრილობის გარეშე) ფორმის მქონე.

რას ჰგავს პრიზმა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეებზე არის 2 კვადრატი, ხოლო გვერდითი სახეები წარმოდგენილია ოთხკუთხედებით. ამ გეომეტრიული ფიგურის კიდევ ერთი სახელია სწორი პარალელეპიპედი.

ფიგურა, რომელიც ასახავს ოთხკუთხა პრიზმას, ნაჩვენებია ქვემოთ.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ სურათზე ყველაზე მნიშვნელოვანი ელემენტები, რომლებიც ქმნიან გეომეტრიულ სხეულს. მათ ჩვეულებრივ მოიხსენიებენ, როგორც:

ზოგჯერ გეომეტრიის პრობლემებში შეგიძლიათ იპოვოთ მონაკვეთის კონცეფცია. განმარტება ასე ჟღერს: მონაკვეთი არის მოცულობითი სხეულის ყველა წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ჭრის სიბრტყეს. მონაკვეთი პერპენდიკულარულია (ფიგურის კიდეებს კვეთს 90 გრადუსიანი კუთხით). მართკუთხა პრიზმისთვის ასევე განიხილება დიაგონალური მონაკვეთი (სექციების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც შეიძლება აშენდეს არის 2), რომელიც გადის 2 კიდეზე და ფუძის დიაგონალებზე.

თუ მონაკვეთი ისეა დახატული, რომ ჭრის სიბრტყე არ იყოს პარალელურად არც ფუძეებთან და არც გვერდითი გვერდებთან, შედეგი არის შეკვეცილი პრიზმა.

შემცირებული პრიზმული ელემენტების საპოვნელად გამოიყენება სხვადასხვა კოეფიციენტები და ფორმულები. ზოგიერთი მათგანი ცნობილია პლანიმეტრიის კურსიდან (მაგალითად, პრიზმის ფუძის ფართობის საპოვნელად, საკმარისია გავიხსენოთ კვადრატის ფართობის ფორმულა).

ზედაპირის ფართობი და მოცულობა

ფორმულის გამოყენებით პრიზმის მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობი:

V = Sprim h

ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი გვერდით ა,თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ფორმულა უფრო დეტალური ფორმით:

V = a² სთ

თუ ვსაუბრობთ კუბზე - ჩვეულებრივ პრიზმაზე თანაბარი სიგრძით, სიგანე და სიმაღლე, მოცულობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა იპოვოთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ მისი გადახვევა.

ნახატიდან ჩანს, რომ გვერდითი ზედაპირი შედგება 4 თანაბარი ოთხკუთხედისგან. მისი ფართობი გამოითვლება ფუძის პერიმეტრისა და ფიგურის სიმაღლის ნამრავლით:

Sside = Pos h

ვინაიდან კვადრატის პერიმეტრი არის P = 4a,ფორმულა იღებს ფორმას:

გვერდი = 4ა სთ

კუბისთვის:

გვერდი = 4a²

პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, დაამატეთ 2 ბაზის ფართობი გვერდით ფართობზე:

Sfull = Side + 2Sbase

როგორც ოთხკუთხა რეგულარულ პრიზმაზე გამოიყენება, ფორმულას აქვს ფორმა:

სავსე = 4a h + 2a²

კუბის ზედაპირის ფართობისთვის:

სავსე = 6a²

მოცულობის ან ზედაპირის ფართობის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ გეომეტრიული სხეულის ცალკეული ელემენტები.

პრიზმის ელემენტების მოძიება

ხშირად არის პრობლემები, რომლებშიც მოცემულია მოცულობა ან ცნობილია გვერდითი ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობა, სადაც აუცილებელია ფუძის მხარის სიგრძის ან სიმაღლის დადგენა. ასეთ შემთხვევებში, ფორმულები შეიძლება გამოვიდეს:

• ბაზის მხარის სიგრძე: a = გვერდითი / 4სთ = √(V / სთ);
• სიმაღლე ან გვერდითი ნეკნის სიგრძე: h = გვერდი / 4a = V / a²;
• ბაზის ფართობი: სპრიმი = V / სთ;
• გვერდითი სახის ფართობი: მხარე გრ = გვერდი / 4.

იმის დასადგენად, თუ რამდენი ფართობი აქვს დიაგონალურ მონაკვეთს, უნდა იცოდეთ დიაგონალის სიგრძე და ფიგურის სიმაღლე. კვადრატისთვის d = a√2.ამიტომ:

Sdiag = ah√2

პრიზმის დიაგონალის გამოსათვლელად გამოიყენება ფორმულა:

dპრიზი = √(2a² + h²)

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული კოეფიციენტები, შეგიძლიათ ივარჯიშოთ და გადაჭრათ რამდენიმე მარტივი ამოცანა.

პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით

აქ არის რამდენიმე დავალება, რომელიც ჩნდება მათემატიკაში სახელმწიფო ფინალურ გამოცდებზე.

სავარჯიშო 1.

ქვიშა შეედინება ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პრიზმის ფორმის ყუთში. მისი დონის სიმაღლეა 10 სმ. როგორი იქნება ქვიშა, თუ მას იმავე ფორმის, მაგრამ ძირის სიგრძით 2-ჯერ მეტი ჭურჭელში გადაიტანთ?

ამის მტკიცება შემდეგნაირად უნდა მოხდეს. პირველ და მეორე კონტეინერებში ქვიშის რაოდენობა არ შეცვლილა, ანუ მისი მოცულობა მათში იგივეა. თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ბაზის სიგრძე როგორც ა. ამ შემთხვევაში, პირველი ყუთისთვის, ნივთიერების მოცულობა იქნება:

V1 = ha² = 10a²

მეორე ყუთისთვის, ბაზის სიგრძეა 2ა, მაგრამ ქვიშის დონის სიმაღლე უცნობია:

V₂ = h(2a)² = 4ჰა²

Იმდენად, რამდენადაც V1 = V2, გამონათქვამები შეიძლება გაიგივდეს:

10a² = 4ჰა²

განტოლების ორივე მხარის a²-ით შემცირების შემდეგ მივიღებთ:

შედეგად, ახალი ქვიშის დონე იქნება სთ = 10 / 4 = 2,5სმ.

დავალება 2.

ABCDA1B1C1D1 არის რეგულარული პრიზმა. ცნობილია, რომ BD = AB₁ = 6√2. იპოვნეთ სხეულის მთლიანი ზედაპირი.

იმისათვის, რომ გაიგოთ, რომელი ელემენტებია ცნობილი, შეგიძლიათ დახაზოთ ფიგურა.

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ რეგულარულ პრიზმაზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფუძე არის კვადრატი, რომლის დიაგონალია 6√2. გვერდითი სახის დიაგონალს აქვს იგივე მნიშვნელობა, შესაბამისად, გვერდით სახეს ასევე აქვს კვადრატის ფორმა, რომელიც ტოლია ფუძისა. გამოდის, რომ სამივე განზომილება - სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე - თანაბარია. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ABCDA1B1C1D1 არის კუბი.

ნებისმიერი კიდის სიგრძე განისაზღვრება ცნობილი დიაგონალის საშუალებით:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გვხვდება კუბის ფორმულით:

სავსე = 6a² = 6 6² = 216

დავალება 3.

ოთახის რემონტი მიმდინარეობს. ცნობილია, რომ მის იატაკს აქვს კვადრატის ფორმა 9 მ² ფართობით. ოთახის სიმაღლეა 2,5 მ. რა ღირს ოთახის შპალერების დახატვა, თუ 1 მ² ღირს 50 მანეთი?

ვინაიდან იატაკი და ჭერი არის კვადრატები, ანუ რეგულარული ოთხკუთხედები და მისი კედლები ჰორიზონტალური ზედაპირების პერპენდიკულარულია, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს არის რეგულარული პრიზმა. აუცილებელია განისაზღვროს მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ოთახის სიგრძე არის a = √9 = 3მ.

მოედანი შპალერით დაიფარება გვერდი = 4 3 2.5 = 30 მ².

ამ ოთახისთვის ფონის ყველაზე დაბალი ღირებულება იქნება 50 30 = 1500რუბლი.

ამრიგად, მართკუთხა პრიზმაზე ამოცანების გადასაჭრელად საკმარისია კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობისა და პერიმეტრის გამოთვლა, აგრეთვე მოცულობისა და ზედაპირის ფართობის პოვნის ფორმულების ცოდნა.

როგორ მოვძებნოთ კუბის ფართობი

პრიზმა. პარალელეპიპედი

პრიზმაეწოდება პოლიედრონს, რომლის ორი სახე ტოლია n-გონებით (საფუძვლები) , დევს პარალელურ სიბრტყეზე, ხოლო დარჩენილი n სახე პარალელოგრამებია (გვერდითი სახეები) . გვერდითი ნეკნი პრიზმა არის გვერდითი სახის მხარე, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძეს.

პრიზმა, რომლის გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძეების სიბრტყეზე, ეწოდება სწორი პრიზმა (სურ. 1). თუ გვერდითი კიდეები არ არის პერპენდიკულარული ფუძეების სიბრტყეზე, მაშინ პრიზმა ეწოდება ირიბი . სწორი პრიზმა არის სწორი პრიზმა, რომლის ფუძეები არის რეგულარული მრავალკუთხედები.

სიმაღლეპრიზმა ეწოდება მანძილი ფუძეების სიბრტყეებს შორის. დიაგონალი პრიზმა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წვეროს, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს. დიაგონალური განყოფილება პრიზმის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს, ეწოდება. პერპენდიკულარული მონაკვეთი ეწოდება პრიზმის მონაკვეთს პრიზმის გვერდითი კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყით.

გვერდითი ზედაპირის ფართობი პრიზმა არის ყველა მხარის ფართობის ჯამი. სრული ზედაპირის ფართობი პრიზმის ყველა სახის ფართობების ჯამს ეწოდება (ე.ი. გვერდითა და ფუძეების ფართობების ჯამი).

თვითნებური პრიზმისთვის, ფორმულები მართალია:

სადაც ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე;

პ

ქ

S მხარე

S სავსე

S მთავარიარის ბაზების ფართობი;

ვარის პრიზმის მოცულობა.

სწორი პრიზმისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე.

პარალელეპიპედიპრიზმა, რომლის ფუძე პარალელოგრამია, ეწოდება. პარალელეპიპედს, რომლის გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია, ეწოდება პირდაპირი (ნახ. 2). თუ გვერდითი კიდეები არ არის ფუძეების პერპენდიკულარული, მაშინ პარალელეპიპედი ეწოდება ირიბი . მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის ფუძე არის მართკუთხედი, ეწოდება მართკუთხა. მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება კუბი.

პარალელეპიპედის სახეებს, რომლებსაც საერთო წვეროები არ აქვთ, ეწოდება საწინააღმდეგო . ერთი წვეროდან გამომავალი კიდეების სიგრძეს უწოდებენ გაზომვები პარალელეპიპედი. ვინაიდან ყუთი არის პრიზმა, მისი ძირითადი ელემენტები განისაზღვრება ისევე, როგორც ისინი განისაზღვრება პრიზმებისთვის.

თეორემები.

1. პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და ორად კვეთენ მას.

2. მართკუთხა პარალელეპიპედში დიაგონალის სიგრძის კვადრატი მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამის ტოლია:

3. მართკუთხა პარალელეპიპედის ოთხივე დიაგონალი ერთმანეთის ტოლია.

თვითნებური პარალელეპიპედისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე;

პარის პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრი;

ქ- პერპენდიკულარული მონაკვეთის ფართობი;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S მთავარიარის ბაზების ფართობი;

ვარის პრიზმის მოცულობა.

მარჯვენა პარალელეპიპედისთვის ჭეშმარიტია შემდეგი ფორმულები:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰარის მარჯვენა პარალელეპიპედის სიმაღლე.

მართკუთხა პარალელეპიპედისთვის შემდეგი ფორმულები მართალია:

(3)

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ჰ- სიმაღლე;

დ- დიაგონალი;

ა, ბ, გ- პარალელეპიპედის გაზომვები.

კუბის სწორი ფორმულებია:

სადაც აარის ნეკნის სიგრძე;

დარის კუბის დიაგონალი.

მაგალითი 1მართკუთხა კუბოიდის დიაგონალი არის 33 დმ და მისი ზომები დაკავშირებულია 2:6:9. იპოვეთ კუბოიდის ზომები.

გადაწყვეტილება.პარალელეპიპედის ზომების საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (3), ე.ი. ის ფაქტი, რომ კუბოიდის ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის მისი ზომების კვადრატების ჯამს. აღნიშნეთ მიერ კპროპორციულობის კოეფიციენტი. მაშინ პარალელეპიპედის ზომები იქნება 2-ის ტოლი კ, 6კდა 9 კ. ჩვენ ვწერთ ფორმულას (3) პრობლემის მონაცემებისთვის:

ამ განტოლების ამოხსნა კ, ვიღებთ:

აქედან გამომდინარე, პარალელეპიპედის ზომებია 6 დმ, 18 დმ და 27 დმ.

პასუხი: 6 დმ, 18 დმ, 27 დმ.

მაგალითი 2იპოვეთ დახრილი სამკუთხა პრიზმის მოცულობა, რომლის ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი გვერდით 8 სმ, თუ გვერდითი კიდე უდრის ფუძის მხარეს და დახრილია ფუძის მიმართ 60º კუთხით.

გადაწყვეტილება . დავხატოთ ნახატი (სურ. 3).

იმისათვის, რომ იპოვოთ დახრილი პრიზმის მოცულობა, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობი. ამ პრიზმის ფუძის ფართობი არის ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი, რომლის გვერდია 8 სმ. გამოთვალეთ:

პრიზმის სიმაღლე არის მანძილი მის ფუძეებს შორის. Ზევიდან მაგრამზედა ბაზის 1 ჩვენ ვამცირებთ პერპენდიკულარულს ქვედა ბაზის სიბრტყეზე მაგრამ 1 დ. მისი სიგრძე იქნება პრიზმის სიმაღლე. განვიხილოთ დ მაგრამ 1 ახ.წ: ვინაიდან ეს არის გვერდითი ნეკნის დახრის კუთხე მაგრამ 1 მაგრამსაბაზო სიბრტყემდე მაგრამ 1 მაგრამ= 8 სმ. ამ სამკუთხედიდან ვპოულობთ მაგრამ 1 დ:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ მოცულობას ფორმულის გამოყენებით (1):

პასუხი: 192 სმ3.

მაგალითი 3რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის გვერდითი კიდეა 14 სმ. ყველაზე დიდი დიაგონალური მონაკვეთის ფართობია 168 სმ 2. იპოვეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 4)

ყველაზე დიდი დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი აა 1 DD 1, დიაგონალიდან ახ.წრეგულარული ექვსკუთხედი ABCDEFარის ყველაზე დიდი. პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად აუცილებელია ვიცოდეთ ფუძის მხარე და გვერდითი ნეკნის სიგრძე.

დიაგონალური მონაკვეთის (მართკუთხედის) ფართობის გაცნობით, ჩვენ ვპოულობთ ფუძის დიაგონალს.

Მას შემდეგ

Მას შემდეგ AB= 6 სმ.

მაშინ ბაზის პერიმეტრი არის:

იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობი 6 სმ გვერდით არის:

იპოვეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი:

პასუხი:

მაგალითი 4მარჯვენა პარალელეპიპედის ფუძე არის რომბი. დიაგონალური მონაკვეთების ფართობია 300 სმ 2 და 875 სმ 2. იპოვეთ პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 5).

აღნიშნეთ რომბის გვერდი ა, რომბის დიაგონალები დ 1 და დ 2, ყუთის სიმაღლე თ. მარჯვენა პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საპოვნელად საჭიროა ფუძის პერიმეტრის გამრავლება სიმაღლეზე: (ფორმულა (2)). ბაზის პერიმეტრი p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, როგორც Ა Ბ Გ Დ- რომბი. H = AA 1 = თ. რომ. საჭიროა მოძებნა ადა თ.

განვიხილოთ დიაგონალური მონაკვეთები. აა 1 SS 1 - მართკუთხედი, რომლის ერთი მხარე არის რომბის დიაგონალი AC = დ 1, მეორე - გვერდითი კიდე აა 1 = თ, მაშინ

ანალოგიურად განყოფილებისთვის BB 1 DD 1 ვიღებთ:

პარალელოგრამის ისეთი თვისების გამოყენებით, რომ დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის მისი ყველა გვერდის კვადრატების ჯამს, მივიღებთ ტოლობას ვიღებთ შემდეგს.

პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. გამარჯობა! ამ პუბლიკაციაში ჩვენ გავაანალიზებთ სტერეომეტრიის დავალებების ჯგუფს. განვიხილოთ სხეულების კომბინაცია - პრიზმა და ცილინდრი. ამ დროისთვის, ეს სტატია ავსებს სტატიების მთელ სერიას, რომლებიც დაკავშირებულია სტერეომეტრიაში ამოცანების ტიპების განხილვასთან.

თუ ამოცანების ბანკში ახალი ამოცანები გამოჩნდება, მაშინ, რა თქმა უნდა, მომავალში ბლოგზე დამატებები იქნება. მაგრამ ის, რაც უკვე არსებობს, სავსებით საკმარისია იმისათვის, რომ გამოცდის ფარგლებში გაიგოთ, თუ როგორ უნდა მოაგვაროთ ყველა პრობლემა მოკლე პასუხით. მასალა საკმარისი იქნება წლების განმავლობაში (მათემატიკაში პროგრამა სტატიკურია).

წარმოდგენილი ამოცანები დაკავშირებულია პრიზმის ფართობის გამოთვლასთან. მე აღვნიშნავ, რომ ქვემოთ განვიხილავთ სწორ პრიზმას (და, შესაბამისად, სწორ ცილინდრის).

რაიმე ფორმულის ცოდნის გარეშე, ჩვენ გვესმის, რომ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი არის მისი ყველა გვერდითი სახე. სწორ პრიზმაში გვერდითი სახეები მართკუთხედია.

ასეთი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის მისი ყველა გვერდითი სახის (ანუ მართკუთხედების) ფართობების ჯამს. თუ ვსაუბრობთ ჩვეულებრივ პრიზმაზე, რომელშიც ცილინდრია ჩაწერილი, მაშინ ცხადია, რომ ამ პრიზმის ყველა სახე თანაბარი მართკუთხედია.

ფორმალურად, რეგულარული პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

27064. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა შემოხაზულია ცილინდრით, რომლის ფუძის რადიუსი და სიმაღლე უდრის 1-ს. იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი შედგება ოთხი თანაბარი მართკუთხედისგან. სახის სიმაღლე არის 1, პრიზმის ფუძის კიდე არის 2 (ეს არის ცილინდრის ორი რადიუსი), ასე რომ, გვერდითი სახის ფართობია:

გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

73023. იპოვეთ ცილინდრის გარშემო შემოხაზული რეგულარული სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის რადიუსი არის √0,12 და სიმაღლე 3.

ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის სამი გვერდითი სახის (მართკუთხედების) ფართობების ჯამს. გვერდითი სახის ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი სიმაღლე და ბაზის კიდეების სიგრძე. სიმაღლე სამია. იპოვეთ ფუძის კიდის სიგრძე. განიხილეთ პროექცია (ზედა ხედი):

გვაქვს წესიერი სამკუთხედი, რომელშიც ჩაწერილია წრე √0,12 რადიუსით. მართკუთხა სამკუთხედიდან AOC შეგვიძლია ვიპოვოთ AC. და შემდეგ AD (AD=2AC). ტანგენტის განმარტებით:

ასე რომ, AD \u003d 2AC \u003d 1.2. ამრიგად, გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის:

27066. იპოვეთ რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ცილინდრის გარშემო, რომლის ფუძის რადიუსი არის √75 და სიმაღლე 1.

სასურველი ფართობი უდრის ყველა მხარის ფართობების ჯამს. რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმისთვის, გვერდითი სახეები თანაბარი ოთხკუთხედია.

სახის ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი სიმაღლე და ბაზის კიდეების სიგრძე. სიმაღლე ცნობილია, ის უდრის 1-ს.

იპოვეთ ფუძის კიდის სიგრძე. განიხილეთ პროექცია (ზედა ხედი):

გვაქვს რეგულარული ექვსკუთხედი, რომელშიც ჩაწერილია √75 რადიუსის წრე.

განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABO. ჩვენ ვიცით ფეხი OB (ეს არის ცილინდრის რადიუსი). ასევე შეგვიძლია განვსაზღვროთ AOB კუთხე, ის უდრის 300-ს (სამკუთხედი AOC ტოლგვერდაა, OB ბისექტრია).

მოდით გამოვიყენოთ ტანგენსის განმარტება მართკუთხა სამკუთხედში:

AC \u003d 2AB, რადგან OB არის მედიანა, ანუ ის ყოფს AC-ს შუაზე, რაც ნიშნავს AC \u003d 10.

ამრიგად, გვერდითი სახის ფართობი არის 1∙10=10 და გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

76485. იპოვეთ ცილინდრში ჩაწერილი რეგულარული სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის რადიუსია 8√3 და სიმაღლე 6.

სამი თანაბარი ზომის სამი სახის (მართკუთხედები) მითითებული პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ფართობის საპოვნელად საჭიროა იცოდეთ პრიზმის ფუძის კიდის სიგრძე (სიმაღლე ვიცით). თუ გავითვალისწინებთ პროექციას (ზედა ხედი), მაშინ გვაქვს წრეში ჩაწერილი რეგულარული სამკუთხედი. ამ სამკუთხედის გვერდი გამოიხატება რადიუსის მიხედვით:

ამ ურთიერთობის დეტალები. ასე რომ თანაბარი იქნება

მაშინ გვერდითი სახის ფართობი უდრის: 24∙6=144. და საჭირო ფართობი:

245354. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა შემოხაზულია ცილინდრის მახლობლად, რომლის ფუძის რადიუსი არის 2. პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის 48. იპოვეთ ცილინდრის სიმაღლე.