„ძველ“ სახელმძღვანელოებში მას „ჯაჭვის“ წესსაც უწოდებენ. ასე რომ, თუ y \u003d f (u) და u \u003d φ (x), ე.ი
y \u003d f (φ (x))
კომპლექსი - შედგენილი ფუნქცია (ფუნქციების შედგენა) მაშინ
სადაც 
, გაანგარიშების შემდეგ განიხილება ზე u = φ (x).
გაითვალისწინეთ, რომ აქ ჩვენ ავიღეთ "სხვადასხვა" კომპოზიციები ერთი და იგივე ფუნქციებიდან და დიფერენცირების შედეგი, ბუნებრივია, დამოკიდებული იყო "შერევის" თანმიმდევრობაზე.
ჯაჭვის წესი ბუნებრივად ვრცელდება სამი ან მეტი ფუნქციის შემადგენლობაზე. ამ შემთხვევაში, იქნება სამი ან მეტი "რგოლი" "ჯაჭვში", რომელიც ქმნის წარმოებულს, შესაბამისად. აქ არის ანალოგია გამრავლებასთან: „გვაქვს“ - წარმოებულების ცხრილი; "იქ" - გამრავლების ცხრილი; "ჩვენთან" არის ჯაჭვის წესი და "იქ" არის გამრავლების წესი "სვეტით". ასეთი "რთული" წარმოებულების გამოთვლისას, რა თქმა უნდა, არ არის შემოტანილი დამხმარე არგუმენტები (u¸v და ა. მითითებული ბრძანება.
. აქ ხუთ ოპერაციას ასრულებენ „x“-ით „y“-ს მნიშვნელობის მისაღებად, ანუ ხდება ხუთი ფუნქციის შედგენა: „გარე“ (მათგან უკანასკნელი) - ექსპონენციალური - e ; მაშინ საპირისპირო მიზნით არის ძალაუფლების კანონი. (♦) 2; ტრიგონომეტრიული ცოდვა (); ძალა. () 3 და ბოლოს ლოგარითმული ln.(). Ისე
შემდეგი მაგალითები „მოკლავს ჩიტების წყვილს ერთი ქვით“: ვივარჯიშებთ რთული ფუნქციების დიფერენცირებაში და შევავსებთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილს. Ისე:
4. სიმძლავრის ფუნქციისთვის - y \u003d x α - მისი გადაწერა ცნობილი "ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის" გამოყენებით - b \u003d e ln b - x α \u003d x α ln x სახით ვიღებთ
5. თვითნებური ექსპონენციალური ფუნქციისთვის, იგივე ტექნიკის გამოყენებით, გვექნება
6. თვითნებური ლოგარითმული ფუნქციისთვის, ახალ ბაზაზე გადასვლის კარგად ცნობილი ფორმულის გამოყენებით, თანმიმდევრულად ვიღებთ
.
7. ტანგენტის (კოტანგენტის) დიფერენცირებისთვის ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესს:
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების მისაღებად ვიყენებთ მიმართებას, რომელიც აკმაყოფილებს ორი ურთიერთშებრუნებული ფუნქციის წარმოებულებს, ანუ φ (x) და f (x) ფუნქციებს, რომლებიც დაკავშირებულია ურთიერთობებით:
აქ არის თანაფარდობა
ეს არის ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების ამ ფორმულიდან
და 
,
დასასრულ, ჩვენ ვაჯამებთ ამ და ზოგიერთ სხვა, ისევე ადვილად მიღებულ წარმოებულებს, შემდეგ ცხრილში.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Თუ გ(x) და ვ(u) არის მათი არგუმენტების დიფერენცირებადი ფუნქციები, შესაბამისად, წერტილებში xდა u= გ(x), მაშინ კომპლექსური ფუნქცია ასევე დიფერენცირებადია წერტილში xდა ნაპოვნია ფორმულით
ტიპიური შეცდომა წარმოებულებზე ამოცანების გადაჭრისას არის მარტივი ფუნქციების რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესების ავტომატური გადაცემა. ჩვენ ვისწავლით ამ შეცდომის თავიდან აცილებას.
მაგალითი 2იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
არასწორი გამოსავალი:გამოთვალეთ თითოეული ტერმინის ბუნებრივი ლოგარითმი ფრჩხილებში და იპოვეთ წარმოებულების ჯამი:
სწორი გამოსავალი:ისევ განვსაზღვრავთ სად არის "ვაშლი" და სად "დაფქული ხორცი". აქ ფრჩხილებში გამოთქმის ბუნებრივი ლოგარითმი არის „ვაშლი“, ანუ ფუნქცია შუალედურ არგუმენტზე. u, ხოლო ფრჩხილებში გამოთქმა არის "minced", ანუ შუალედური არგუმენტი uდამოუკიდებელი ცვლადის მიხედვით x.
შემდეგ (ფორმულის გამოყენებით 14 წარმოებულების ცხრილიდან)
ბევრ რეალურ პრობლემაში ლოგარითმით გამოხატვა გარკვეულწილად უფრო რთულია, რის გამოც არის გაკვეთილი
მაგალითი 3იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
არასწორი გამოსავალი:
სწორი გამოსავალი.კიდევ ერთხელ განვსაზღვრავთ სად "ვაშლი" და სად "დაფქული ხორცი". აქ, ფრჩხილებში გამოსახულების კოსინუსი (ფორმულა 7 წარმოებულთა ცხრილში) არის "ვაშლი", ის მომზადებულია 1 რეჟიმში, რომელიც მოქმედებს მხოლოდ მასზე, ხოლო გამოხატულება ფრჩხილებში (ხარისხის წარმოებული - ნომერი 3 in წარმოებულების ცხრილი) არის "დაფქული ხორცი", ის მზადდება 2 რეჟიმში, რაც გავლენას ახდენს მხოლოდ მასზე. და როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვაკავშირებთ ორ წარმოებულს პროდუქტის ნიშნით. შედეგი:
რთული ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული ხშირი ამოცანაა ტესტებში, ამიტომ გირჩევთ, ეწვიოთ გაკვეთილს „ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული“.
პირველი მაგალითები იყო რთული ფუნქციებისთვის, რომელშიც შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელ ცვლადზე იყო მარტივი ფუნქცია. მაგრამ პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად საჭიროა რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნა, სადაც შუალედური არგუმენტი ან თავისთავად რთული ფუნქციაა, ან შეიცავს ასეთ ფუნქციას. რა უნდა გააკეთოს ასეთ შემთხვევებში? იპოვეთ ასეთი ფუნქციების წარმოებულები ცხრილებისა და დიფერენციაციის წესების გამოყენებით. როდესაც შუალედური არგუმენტის წარმოებული იპოვება, ის უბრალოდ ჩანაცვლებულია ფორმულაში სწორ ადგილას. ქვემოთ მოცემულია ორი მაგალითი იმისა, თუ როგორ კეთდება ეს.
გარდა ამისა, სასარგებლოა იცოდეთ შემდეგი. თუ რთული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი ფუნქციის ჯაჭვით
მაშინ მისი წარმოებული უნდა მოიძებნოს, როგორც თითოეული ამ ფუნქციის წარმოებულების ნამრავლი:
ბევრი თქვენი საშინაო დავალება შეიძლება დაგჭირდეთ გაკვეთილების გახსნა ახალ ფანჯრებში. მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან .
მაგალითი 4იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ წარმოებულების ნამრავლში, შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ xარ იცვლება:
ვამზადებთ პროდუქტის მეორე ფაქტორს და ვიყენებთ ჯამის დიფერენცირების წესს:
მეორე ტერმინი არის ფესვი, ასე რომ
ამრიგად, მიღებულ იქნა, რომ შუალედური არგუმენტი, რომელიც არის ჯამი, შეიცავს კომპლექსურ ფუნქციას, როგორც ერთ-ერთ ტერმინს: სიმძლავრე არის რთული ფუნქცია, ხოლო ის, რაც ამაღლებულია ხარისხზე, არის შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელი ცვლადის მიერ. x.
ამიტომ, ჩვენ კვლავ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს:
ჩვენ ვაქცევთ პირველი ფაქტორის ხარისხს ფესვად, ხოლო მეორე ფაქტორის დიფერენცირებისას არ გვავიწყდება, რომ მუდმივის წარმოებული უდრის ნულს:
ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ შუალედური არგუმენტის წარმოებული, რომელიც საჭიროა პრობლემის პირობებში საჭირო რთული ფუნქციის წარმოებულის გამოსათვლელად. წ:
მაგალითი 5იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
პირველ რიგში, ვიყენებთ ჯამის დიფერენცირების წესს:
მიიღეთ ორი რთული ფუნქციის წარმოებულების ჯამი. იპოვნეთ პირველი:
აქ სინუსის ხარისხზე აყვანა რთული ფუნქციაა და თავად სინუსი შუალედური არგუმენტია დამოუკიდებელ ცვლადში. x. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს, გზაზე მულტიპლიკატორის ამოღება ფრჩხილებიდან :
ახლა ჩვენ ვპოულობთ მეორე ტერმინს მათგან, რომლებიც ქმნიან ფუნქციის წარმოებულს წ:
აქ კოსინუსის სიმძლავრემდე აწევა რთული ფუნქციაა ვდა თავად კოსინუსი არის შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში x. კვლავ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს:
შედეგი არის საჭირო წარმოებული:
ზოგიერთი რთული ფუნქციის წარმოებულების ცხრილი
რთული ფუნქციებისთვის, რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის საფუძველზე, მარტივი ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა სხვა ფორმას იღებს.
| 1. რთული სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული, სადაც u x |  |
| 2. გამოთქმის ფუძის წარმოებული | |
| 3. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული |  |
| 4. ექსპონენციალური ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა | |
| 5. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული თვითნებური დადებითი ფუძით ა |  |
| 6. რთული ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული, სადაც uარის არგუმენტის დიფერენცირებადი ფუნქცია x | |
| 7. სინუსური წარმოებული |  |
| 8. კოსინუსის წარმოებული |  |
| 9. ტანგენტის წარმოებული |  |
| 10. კოტანგენტის წარმოებული |  |
| 11. არქსინის წარმოებული |  |
| 12. რკალის კოსინუსის წარმოებული |  |
| 13. რკალის ტანგენტის წარმოებული |  |
| 14. შებრუნებული ტანგენსის წარმოებული |  |
მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების გადაჭრა აბსოლუტურად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების შესახებ ცოდნის გარეშე. წარმოებული არის მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?
წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა
დაე, იყოს ფუნქცია f(x) , მოცემული გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ) . წერტილები x და x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის ცვლილება - მისი მნიშვნელობების განსხვავება x-x0 . ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის განსხვავება ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ორ წერტილში. წარმოებული განმარტება:
ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.
წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ასე დაიწეროს:
რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? მაგრამ რომელი:
წერტილის ფუნქციის წარმოებული ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.
წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: ბილიკის დროის წარმოებული მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარის ტოლია.
მართლაც, სკოლის დროიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე პირადი გზაა. x=f(t) და დრო ტ . საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:
მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად ერთ დროს t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:
წესი პირველი: ამოიღეთ მუდმივი
მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას, როგორც წესი, მიიღეთ - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, აუცილებლად გაამარტივეთ .
მაგალითი. გამოვთვალოთ წარმოებული:
წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული
ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.
ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.
იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული
ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:
მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
გადაწყვეტილება: 
აქ მნიშვნელოვანია ვთქვათ რთული ფუნქციების წარმოებულების გაანგარიშების შესახებ. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.
ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:
ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამოხატვის წარმოებულის გამოსათვლელად ჯერ განვიხილავთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედური არგუმენტის მიმართ, შემდეგ კი ვამრავლებთ თავად შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.
წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული
ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:
ჩვენ შევეცადეთ ვისაუბროთ დუმების წარმოებულებზე ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლისას.
ამ და სხვა თემებზე ნებისმიერი შეკითხვის შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე დროში ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი კონტროლის გადაჭრაში და ამოცანების შესრულებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასდროს გქონიათ შეხება წარმოებულების გამოთვლასთან.
რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული.
ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული
ჩვენ ვაგრძელებთ დიფერენციაციის ტექნიკის გაუმჯობესებას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაერთიანებთ გაშუქებულ მასალას, განვიხილავთ უფრო რთულ წარმოებულებს და ასევე გავეცნობით წარმოებულის საპოვნელ ახალ ხრიკებს და ხრიკებს, კერძოდ, ლოგარითმული წარმოებულის.
იმ მკითხველებმა, რომლებსაც აქვთ მომზადების დაბალი დონე, უნდა მიმართონ სტატიას როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტის მაგალითებირაც საშუალებას მოგცემთ ამაღლოთ თქვენი უნარები თითქმის ნულიდან. შემდეგი, თქვენ უნდა ყურადღებით შეისწავლოთ გვერდი რთული ფუნქციის წარმოებული, გაგება და გადაწყვეტა ყველაჩემს მიერ მოყვანილი მაგალითები. ეს გაკვეთილი ლოგიკურად ზედიზედ მესამეა და მისი დაუფლების შემდეგ დამაჯერებლად განასხვავებთ საკმაოდ რთულ ფუნქციებს. არასასურველია დარჩეს პოზიცია „სხვაგან სად? დიახ, და ეს საკმარისია! ”, რადგან ყველა მაგალითი და გამოსავალი აღებულია რეალური ტესტებიდან და ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.
დავიწყოთ გამეორებით. გაკვეთილზე რთული ფუნქციის წარმოებულიჩვენ განვიხილეთ არაერთი მაგალითი დეტალური კომენტარებით. დიფერენციალური გამოთვლების და მათემატიკური ანალიზის სხვა განყოფილებების შესწავლის პროცესში, თქვენ მოგიწევთ ძალიან ხშირად დიფერენცირება და ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი (და არა ყოველთვის აუცილებელი) მაგალითების დეტალურად დახატვა. ამიტომ, ჩვენ ვივარჯიშებთ წარმოებულების ზეპირ პოვნაში. ამისათვის ყველაზე შესაფერისი "კანდიდატები" არის უმარტივესი ფუნქციების წარმოებულები, მაგალითად:
რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით 
:
სამომავლოდ მატანის სხვა თემების შესწავლისას ასეთი დეტალური ჩანაწერი ყველაზე ხშირად არ არის საჭირო, ვარაუდობენ, რომ სტუდენტს შეუძლია ავტოპილოტზე მსგავსი წარმოებულების პოვნა. წარმოვიდგინოთ, რომ დილის 3 საათზე ტელეფონმა დარეკა და სასიამოვნო ხმამ იკითხა: "რა არის ორი x-ის ტანგენსის წარმოებული?". ამას უნდა მოჰყვეს თითქმის მყისიერი და თავაზიანი პასუხი: 
.
პირველი მაგალითი დაუყოვნებლივ იქნება განკუთვნილი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.
მაგალითი 1
იპოვეთ შემდეგი წარმოებულები ზეპირად, ერთი ნაბიჯით, მაგალითად: . დავალების შესასრულებლად, თქვენ მხოლოდ უნდა გამოიყენოთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი(თუ მას უკვე არ ახსოვდა). თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, გირჩევთ გაკვეთილის ხელახლა წაკითხვას რთული ფუნქციის წარმოებული.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
პასუხები გაკვეთილის ბოლოს
რთული წარმოებულები
წინასწარი საარტილერიო მომზადების შემდეგ, ფუნქციების 3-4-5 დანართი მაგალითები ნაკლებად საშინელი იქნება. შესაძლოა, შემდეგი ორი მაგალითი ზოგს რთულად მოეჩვენოს, მაგრამ თუ მათი გაგება (ვიღაც ზარალდება), მაშინ დიფერენციალურ გამოთვლებში თითქმის ყველაფერი ბავშვის ხუმრობად მოეჩვენება.
მაგალითი 2
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული 
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას, პირველ რიგში, აუცილებელია უფლებაინვესტიციების გაგება. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს ეჭვები, შეგახსენებთ სასარგებლო ხრიკს: ჩვენ ვიღებთ ექსპერიმენტულ მნიშვნელობას "x", მაგალითად, და ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზზე) ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა "საშინელი გამოხატულებით".
1) ჯერ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატულება, ასე რომ ჯამი არის ყველაზე ღრმა ბუდე.
2) შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლოგარითმი:
4) შემდეგ კუბური კოსინუსი:
5) მეხუთე საფეხურზე განსხვავება:
6) და ბოლოს, ყველაზე გარე ფუნქცია არის კვადრატული ფესვი: 
კომპლექსური ფუნქციის დიფერენციაციის ფორმულა 
გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით, ყველაზე გარე ფუნქციიდან შინაგანამდე. Ჩვენ ვწყვეტთ:
როგორც ჩანს, შეცდომა არ არის...
(1) ვიღებთ კვადრატული ფესვის წარმოებულს.
(2) ჩვენ ვიღებთ სხვაობის წარმოებულს წესის გამოყენებით 
(3) სამეულის წარმოებული ტოლია ნულის. მეორე წევრში ვიღებთ ხარისხის წარმოებულს (კუბი).
(4) ვიღებთ კოსინუსის წარმოებულს.
(5) ვიღებთ ლოგარითმის წარმოებულს.
(6) და ბოლოს, ჩვენ ავიღებთ ყველაზე ღრმა ბუდეების წარმოებულს.
შეიძლება ძალიან რთული ჩანდეს, მაგრამ ეს არ არის ყველაზე სასტიკი მაგალითი. აიღეთ, მაგალითად, კუზნეცოვის კოლექცია და თქვენ დააფასებთ გაანალიზებული წარმოებულის მთელ ხიბლს და სიმარტივეს. შევამჩნიე, რომ მოსწონთ გამოცდაზე მსგავსი რამის მიცემა, რათა შეამოწმონ, ესმის თუ არა სტუდენტს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნა, თუ არ ესმის.
შემდეგი მაგალითი არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.
მაგალითი 3
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
მინიშნება: პირველ რიგში ვიყენებთ წრფივობის წესებს და პროდუქტის დიფერენციაციის წესს
სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
დროა გადავიდეთ უფრო კომპაქტურ და ლამაზზე.
იშვიათი არაა სიტუაცია, როდესაც მაგალითში მოცემულია არა ორი, არამედ სამი ფუნქციის ნამრავლი. როგორ მოვძებნოთ სამი ფაქტორის ნამრავლის წარმოებული?
მაგალითი 4
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული 
ჯერ ვუყურებთ, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა სამი ფუნქციის ნამრავლის ორი ფუნქციის ნამრავლად გადაქცევა? მაგალითად, თუ ჩვენ გვქონდა ორი მრავალწევრი ნამრავლში, მაშინ შეგვიძლია გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ ამ მაგალითში ყველა ფუნქცია განსხვავებულია: ხარისხი, მაჩვენებელი და ლოგარითმი.
ასეთ შემთხვევებში აუცილებელია თანმიმდევრულადგამოიყენეთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესი 
ორჯერ
ხრიკი ის არის, რომ "y"-სთვის ჩვენ აღვნიშნავთ ორი ფუნქციის ნამრავლს: , ხოლო "ve" -სთვის - ლოგარითმს:. რატომ შეიძლება ამის გაკეთება? Ეს არის 
- ეს არ არის ორი ფაქტორის პროდუქტი და წესი არ მუშაობს?! არაფერია რთული:
ახლა რჩება წესის მეორედ გამოყენება 
ფრჩხილებში:
მაინც შეიძლება გარყვნილება და ფრჩხილებიდან რაღაცის ამოღება, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჯობია პასუხი ამ ფორმით დატოვო - უფრო ადვილი იქნება შემოწმება.
ზემოთ მოყვანილი მაგალითი შეიძლება მოგვარდეს მეორე გზით: 
ორივე გამოსავალი აბსოლუტურად ექვივალენტურია.
მაგალითი 5
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, ნიმუშში ის წყდება პირველი გზით.
განვიხილოთ მსგავსი მაგალითები წილადებით.
მაგალითი 6
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული 
აქ შეგიძლიათ რამდენიმე გზით წასვლა:
ან ასე:
მაგრამ ამონახსნი შეიძლება უფრო კომპაქტურად დაიწეროს, თუ პირველ რიგში გამოვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესს. 
მთელი მრიცხველის აღებით:
პრინციპში, მაგალითი მოგვარებულია და ამ ფორმით თუ დარჩა, შეცდომა არ იქნება. მაგრამ თუ დრო გაქვთ, ყოველთვის მიზანშეწონილია შეამოწმოთ პროექტი, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა პასუხის გამარტივება? მრიცხველის გამოსახულებას მივყავართ საერთო მნიშვნელთან და მოიშორეთ სამსართულიანი წილადი:
დამატებითი გამარტივების მინუსი არის ის, რომ არსებობს შეცდომის დაშვების რისკი არა წარმოებულის პოვნისას, არამედ ბანალური სკოლის გარდაქმნებისას. მეორეს მხრივ, მასწავლებლები ხშირად უარყოფენ დავალებას და სთხოვენ წარმოებულის „გახსენებას“.
უფრო მარტივი მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:
მაგალითი 7
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
ჩვენ ვაგრძელებთ წარმოებულის პოვნის ტექნიკის დაუფლებას და ახლა განვიხილავთ ტიპიურ შემთხვევას, როდესაც დიფერენციაციისთვის შემოთავაზებულია "საშინელი" ლოგარითმი.
მაგალითი 8
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
აქ შეგიძლიათ გრძელი გზა გაიაროთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის გამოყენებით:
მაგრამ პირველივე ნაბიჯი მაშინვე გიბიძგებს სასოწარკვეთილებაში - თქვენ უნდა აიღოთ წილადი ხარისხის უსიამოვნო წარმოებული, შემდეგ კი წილადიდან.
Ისე ადრეროგორ ავიღოთ "ლამაზი" ლოგარითმის წარმოებული, ის ადრე გამარტივებულია ცნობილი სკოლის თვისებების გამოყენებით:
! თუ ხელთ გაქვთ სავარჯიშო რვეული, დააკოპირეთ ეს ფორმულები იქვე. თუ რვეული არ გაქვთ, დახატეთ ისინი ფურცელზე, რადგან გაკვეთილის დანარჩენი მაგალითები ამ ფორმულების გარშემო ტრიალებს.
თავად გამოსავალი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:
მოდით გარდავქმნათ ფუნქცია:
ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს: 
თავად ფუნქციის წინასწარმა ტრანსფორმაციამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა გამოსავალი. ამრიგად, როდესაც მსგავსი ლოგარითმი შემოთავაზებულია დიფერენციაციისთვის, ყოველთვის მიზანშეწონილია მისი "დაშლა".
ახლა კი რამდენიმე მარტივი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
მაგალითი 9
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული 
მაგალითი 10
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
ყველა ტრანსფორმაცია და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
ლოგარითმული წარმოებული
თუ ლოგარითმების წარმოებული ასეთი ტკბილი მუსიკაა, მაშინ ჩნდება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა ზოგიერთ შემთხვევაში ლოგარითმის ხელოვნურად ორგანიზება? შეიძლება! და აუცილებელიც კი.
მაგალითი 11
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული 
მსგავსი მაგალითები ჩვენ ახლახან განვიხილეთ. Რა უნდა ვქნა? შეიძლება თანმიმდევრულად გამოიყენოს კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი, შემდეგ კი პროდუქტის დიფერენცირების წესი. ამ მეთოდის მინუსი ის არის, რომ თქვენ მიიღებთ უზარმაზარ სამსართულიან წილადს, რომელსაც საერთოდ არ გსურთ გამკლავება.
მაგრამ თეორიასა და პრაქტიკაში არის ისეთი მშვენიერი რამ, როგორიცაა ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები შეიძლება ხელოვნურად დალაგდეს ორივე მხრიდან მათი „დაკიდებით“:
შენიშვნა
: იმიტომ ფუნქციას შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მოდულები: 
, რომლებიც ქრება დიფერენცირების შედეგად. თუმცა, ამჟამინდელი დიზაინიც მისაღებია, სადაც სტანდარტულად კომპლექსიღირებულებები. მაგრამ თუ მთელი სიმკაცრით, მაშინ ორივე შემთხვევაში აუცილებელია ამის დაჯავშნა.
ახლა თქვენ უნდა "დაარღვიოთ" მარჯვენა მხარის ლოგარითმი მაქსიმალურად (ფორმულები თქვენს თვალწინ?). მე დეტალურად აღვწერ ამ პროცესს:
დავიწყოთ დიფერენცირებით.
ორივე ნაწილს ვასრულებთ ინსულტით:
მარჯვენა მხარის წარმოებული საკმაოდ მარტივია, მასზე კომენტარს არ გავაკეთებ, რადგან თუ კითხულობთ ამ ტექსტს, უნდა შეგეძლოთ დარწმუნებით გაუმკლავდეთ მას.
რაც შეეხება მარცხენა მხარეს?
მარცხენა მხარეს გვაქვს რთული ფუნქცია. მე ვგეგმავ კითხვას: "რატომ, არის ერთი ასო "y" ლოგარითმის ქვეშ?".
ფაქტია, რომ ეს "ერთი ასო y" - არის ფუნქცია თავისთავად(თუ ეს არ არის ძალიან ნათელი, იხილეთ სტატია ირიბად მითითებული ფუნქციის წარმოებული). მაშასადამე, ლოგარითმი არის გარეგანი ფუნქცია, ხოლო "y" არის შიდა ფუნქცია. და ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს 
:
მარცხენა მხარეს, თითქოს ჯადოსნურად, გვაქვს წარმოებული. გარდა ამისა, პროპორციის წესის მიხედვით, ჩვენ ვყრით "y"-ს მარცხენა მხარის მნიშვნელიდან მარჯვენა მხარის ზევით:
ახლა კი გვახსოვს, რა სახის "თამაშის" ფუნქციაზე ვისაუბრეთ დიფერენცირებისას? მოდით შევხედოთ მდგომარეობას: 
საბოლოო პასუხი: 
მაგალითი 12
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამ ტიპის მაგალითის ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს.
ლოგარითმული წარმოებულის დახმარებით შესაძლებელი გახდა 4-7 მაგალითის ამოხსნა, სხვა საქმეა, რომ ფუნქციები იქ უფრო მარტივია და, შესაძლოა, ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება არც თუ ისე გამართლებული იყოს.
ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული
ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ამ ფუნქციას. ექსპონენციალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს და ხარისხი და ბაზა დამოკიდებულია "x"-ზე. კლასიკური მაგალითი, რომელიც მოგცემთ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ან ლექციაზე:
როგორ მოვძებნოთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული?
აუცილებელია გამოვიყენოთ ახლახან განხილული ტექნიკა - ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები ორივე მხარეს ვკიდებთ:
როგორც წესი, ხარისხი ამოღებულია ლოგარითმის ქვეშ მარჯვენა მხარეს:
შედეგად, მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფუნქციის პროდუქტი, რომელიც დიფერენცირებული იქნება სტანდარტული ფორმულის მიხედვით. 
.
ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს, ამისათვის ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხების ქვეშ:
შემდეგი ნაბიჯები მარტივია:
საბოლოოდ: 
თუ ზოგიერთი ტრანსფორმაცია ბოლომდე გასაგები არ არის, გთხოვთ, ყურადღებით წაიკითხოთ მაგალითი 11-ის განმარტებები.
პრაქტიკულ ამოცანებში ექსპონენციალური ფუნქცია ყოველთვის უფრო რთული იქნება, ვიდრე განხილული ლექციის მაგალითი.
მაგალითი 13
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმულ წარმოებულს. 
მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფაქტორის - "x" და "x-ის ლოგარითმის ლოგარითმი" მუდმივი და ნამრავლი (ლოგარითმის ქვეშ მოთავსებულია სხვა ლოგარითმი). მუდმივის დიფერენცირებისას, როგორც გვახსოვს, სჯობს მაშინვე გამოვიყვანოთ წარმოებულის ნიშნიდან, რათა ხელი არ შეუშვას; და, რა თქმა უნდა, გამოიყენეთ ნაცნობი წესი 
:
რთული ფუნქციები ყოველთვის არ ერგება რთული ფუნქციის განმარტებას. თუ არსებობს y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 ფორმის ფუნქცია, მაშინ ის არ შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად, განსხვავებით y \u003d sin 2 x.
ამ სტატიაში ნაჩვენები იქნება რთული ფუნქციის კონცეფცია და მისი იდენტიფიკაცია. მოდით ვიმუშაოთ წარმოებულის საპოვნელ ფორმულებთან დასკვნაში ამონახსნების მაგალითებით. წარმოებულების ცხრილის გამოყენება და დიფერენციაციის წესები მნიშვნელოვნად ამცირებს წარმოებულის პოვნის დროს.
ძირითადი განმარტებები
განმარტება 1რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტიც ასევე ფუნქციაა.
იგი აღინიშნება ასე: f (g (x)) . გვაქვს, რომ g (x) ფუნქცია ითვლება f (g (x)) არგუმენტად.
განმარტება 2
თუ არსებობს f ფუნქცია და არის კოტანგენტური ფუნქცია, მაშინ g(x) = ln x არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქცია. მივიღებთ, რომ კომპლექსური ფუნქცია f (g (x)) დაიწერება როგორც arctg (lnx). ან ფუნქცია f, რომელიც არის ფუნქცია ამაღლებული მე-4 ხარისხში, სადაც g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 ითვლება მთელ რაციონალურ ფუნქციად, მივიღებთ, რომ f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .
ცხადია, g(x) შეიძლება იყოს სახიფათო. მაგალითიდან y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, ჩანს, რომ g-ის მნიშვნელობას აქვს კუბური ფესვი წილადით. ეს გამონათქვამი შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც y = f (f 1 (f 2 (x))) . საიდანაც გვაქვს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია, ხოლო f 1 არის ფუნქცია, რომელიც მდებარეობს კვადრატული ფესვის ქვეშ, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 არის წილადი რაციონალური ფუნქცია.
განმარტება 3
ბუდობის ხარისხი განისაზღვრება ნებისმიერი ნატურალური რიცხვით და იწერება როგორც y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .
განმარტება 4
ფუნქციის შემადგენლობის კონცეფცია ეხება ჩადგმული ფუნქციების რაოდენობას პრობლემის განცხადების მიხედვით. ამოხსნისთვის, ფორმის რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ფორმულა
(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)
მაგალითები
მაგალითი 1იპოვეთ y = (2 x + 1) 2 ფორმის რთული ფუნქციის წარმოებული.
გადაწყვეტილება
პირობითად, f არის კვადრატის ფუნქცია და g(x) = 2 x + 1 ითვლება წრფივ ფუნქციად.
ჩვენ ვიყენებთ წარმოებული ფორმულას რთული ფუნქციისთვის და ვწერთ:
f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 გ (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( გ(x)) გ"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4
აუცილებელია ფუნქციის გამარტივებული საწყისი ფორმის მქონე წარმოებულის პოვნა. ჩვენ ვიღებთ:
y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1
ამიტომ გვაქვს ეს
y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4
შედეგები დაემთხვა.
ამ სახის ამოცანების გადაჭრისას მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, სად განთავსდება ფორმის f და g (x) ფუნქცია.
მაგალითი 2
თქვენ უნდა იპოვოთ y \u003d sin 2 x და y \u003d sin x 2 ფორმის რთული ფუნქციების წარმოებულები.
გადაწყვეტილება
ფუნქციის პირველი ჩანაწერი ამბობს, რომ f არის კვადრატის ფუნქცია და g(x) არის სინუსური ფუნქცია. მაშინ მივიღებთ ამას
y "= (ცოდვა 2 x)" = 2 ცოდვა 2 - 1 x (ცოდვა x)" = 2 ცოდვა x cos x
მეორე ჩანაწერი აჩვენებს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია და g (x) = x 2 აღნიშნავს სიმძლავრის ფუნქციას. აქედან გამომდინარეობს, რომ რთული ფუნქციის პროდუქტი შეიძლება დაიწეროს როგორც
y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)
y \u003d f წარმოებულის ფორმულა (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) დაიწერება როგორც y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2" (f 3 (. . . (f n (x ))))). . . f n "(x)
მაგალითი 3
იპოვეთ y = sin ფუნქციის წარმოებული (ln 3 a r c t g (2 x)) .
გადაწყვეტილება
ეს მაგალითი გვიჩვენებს ჩაწერის სირთულეს და ფუნქციების ადგილმდებარეობის განსაზღვრას. მაშინ y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) აღვნიშნავთ, სადაც f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) არის სინუსური ფუნქცია, ფუნქცია 3 გრადუსამდე აწევის ფუნქცია ლოგარითმით და ფუძით e, რკალის ტანგენსის ფუნქცია და წრფივი.
რთული ფუნქციის განსაზღვრის ფორმულიდან გვაქვს ეს
y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)
იმის მიღება, თუ რა უნდა იპოვო
- f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) როგორც სინუსის წარმოებული წარმოებულების ცხრილში, შემდეგ f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x )))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
- f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) როგორც სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული, შემდეგ f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
- f 2 "(f 3 (f 4 (x))) როგორც ლოგარითმული წარმოებული, შემდეგ f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a rc t g (2 x) .
- f 3 "(f 4 (x)) როგორც რკალის ტანგენტის წარმოებული, შემდეგ f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
- f 4 (x) \u003d 2 x წარმოებულის პოვნისას, აიღეთ 2 წარმოებულის ნიშნიდან, დენის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყენებით, მაჩვენებლით, რომელიც არის 1, შემდეგ f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.
ჩვენ ვაკავშირებთ შუალედურ შედეგებს და ვიღებთ ამას
y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a rc t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)
ასეთი ფუნქციების ანალიზი წააგავს მობუდულ თოჯინებს. დიფერენციაციის წესები ყოველთვის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცალსახად წარმოებული ცხრილის გამოყენებით. ხშირად საჭიროა რთული ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ფორმულა.
არსებობს გარკვეული განსხვავებები კომპლექსურ ხედსა და კომპლექსურ ფუნქციას შორის. ამის გარჩევის მკაფიო უნარით, წარმოებულების პოვნა განსაკუთრებით ადვილი იქნება.
მაგალითი 4
ასეთი მაგალითის მოყვანაზე ფიქრი აუცილებელია. თუ არსებობს y = t g 2 x + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია, მაშინ ის შეიძლება ჩაითვალოს ფორმის კომპლექსურ ფუნქციად g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. . ცხადია, აუცილებელია რთული წარმოებულის ფორმულის გამოყენება:
f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 გ (x)) " + 1 " == 2 გ 2 - 1 (x) + 3 გ "(x) + 0 \u003d 2 გ (x) + 3 1 გ 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 გ (x) + 3 \u003d 2 ტ გ x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 ტ გ x + 3) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x
y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია არ ითვლება კომპლექსურად, რადგან მას აქვს ჯამი t g x 2, 3 t g x და 1. თუმცა, t g x 2 განიხილება კომპლექსურ ფუნქციად, შემდეგ ვიღებთ g (x) \u003d x 2 და f ფორმის სიმძლავრის ფუნქციას, რომელიც არის ტანგენტის ფუნქცია. ამისათვის თქვენ უნდა განასხვავოთ თანხის მიხედვით. ჩვენ ამას მივიღებთ
y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x
მოდით გადავიდეთ რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნაზე (t g x 2) ":
f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)
მივიღებთ, რომ y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x
რთული ფუნქციები შეიძლება შევიდეს რთულ ფუნქციებში, ხოლო თავად რთული ფუნქციები შეიძლება იყოს რთული ფორმის კომპოზიტური ფუნქციები.
მაგალითი 5
მაგალითად, განვიხილოთ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) ფორმის რთული ფუნქცია.
ეს ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც y = f (g (x)) , სადაც f-ის მნიშვნელობა არის 3 ბაზის ლოგარითმის ფუნქცია, ხოლო g (x) ითვლება h (x) = ფორმის ორი ფუნქციის ჯამად. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 და k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . ცხადია, y = f (h (x) + k (x)) .
განვიხილოთ ფუნქცია h(x) . ეს არის თანაფარდობა l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 მ (x) = e x 2 + 3 3
გვაქვს, რომ l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი n (x) = x 2 + 7 და p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , სადაც p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) არის რთული ფუნქცია 3 რიცხვითი კოეფიციენტით, ხოლო p 1 არის კუბი ფუნქცია, p 2 კოსინუს ფუნქცია, p 3 (x) = 2 x + 1 - წრფივი ფუნქცია.
ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი q (x) = e x 2 და r (x) = 3 3, სადაც q (x) = q 1 (q 2 (x)) არის რთული ფუნქცია, q 1 არის ფუნქცია მაჩვენებლით, q 2 (x) = x 2 არის სიმძლავრის ფუნქცია.
ეს აჩვენებს, რომ h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ფორმის გამოხატულებაზე გადასვლისას ცხადია, რომ ფუნქცია წარმოდგენილია როგორც კომპლექსი s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) მთელი რაციონალური t (x) = x 2 + 1, სადაც s 1 არის კვადრატის ფუნქცია და s 2 (x) = ln x არის ლოგარითმული ფუძით ე.
აქედან გამომდინარეობს, რომ გამოთქმა მიიღებს k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .
მაშინ მივიღებთ ამას
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
ფუნქციის სტრუქტურების მიხედვით, გაირკვა, თუ როგორ და რა ფორმულები უნდა იქნას გამოყენებული გამოხატვის გასამარტივებლად, როდესაც ის დიფერენცირებულია. ასეთი პრობლემების გასაცნობად და მათი გადაწყვეტის გასაგებად, აუცილებელია მივმართოთ ფუნქციის დიფერენცირების პუნქტს, ანუ მისი წარმოებულის პოვნას.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
