საერთო ალბათობის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მოვლენის ალბათობა ა, რომელიც შეიძლება მოხდეს მხოლოდ თითოეულ მათგანთან ერთად ნურთიერთგამომრიცხავი მოვლენები, რომლებიც ქმნიან სრულ სისტემას, თუ მათი ალბათობა ცნობილია და პირობითი ალბათობები ივენთი ასისტემის თითოეული მოვლენის მიმართ უდრის .
მოვლენებს ჰიპოთეზებსაც უწოდებენ, ისინი ურთიერთგამომრიცხავია. ამიტომ, ლიტერატურაში ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მათი აღნიშვნა არა ასოებით ბ, მაგრამ წერილით ჰ(ჰიპოთეზა).
ასეთი პირობების პრობლემების გადასაჭრელად აუცილებელია 3, 4, 5 ან ზოგად შემთხვევაში გავითვალისწინოთ ნმოვლენის შესაძლებლობა ა- ყველა მოვლენასთან ერთად.
ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების თეორემების გამოყენებით ვიღებთ სისტემის თითოეული მოვლენის ალბათობის ნამრავლების ჯამს. პირობითი ალბათობა ივენთი ასისტემის თითოეული მოვლენისთვის. ანუ მოვლენის ალბათობა აშეიძლება გამოითვალოს ფორმულით
ან საერთოდ
,
რომელსაც ქვია საერთო ალბათობის ფორმულა .
საერთო ალბათობის ფორმულა: პრობლემის გადაჭრის მაგალითები
მაგალითი 1სამი ერთნაირი გარეგნობის ურნაა: პირველში 2 თეთრი და 3 შავი ბურთია, მეორეში - 4 თეთრი და ერთი შავი, მესამეში - სამი თეთრი ბურთი. ვიღაც შემთხვევით უახლოვდება ერთ-ერთ ურნას და ამოიღებს ერთ ბურთს. უპირატესობის მიღება საერთო ალბათობის ფორმულაიპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ბურთი თეთრია.
გადაწყვეტილება. ღონისძიება ა- თეთრი ბურთის გამოჩენა. ჩვენ წამოვაყენეთ სამი ჰიპოთეზა:
პირველი ურნა არჩეულია;
არჩეულია მეორე ურნა;
მესამე ურნა არჩეულია.
პირობითი მოვლენის ალბათობა ათითოეული ჰიპოთეზისთვის:
,
,
.
ჩვენ ვიყენებთ საერთო ალბათობის ფორმულას, შედეგად - საჭირო ალბათობას:
.
მაგალითი 2პირველ ქარხანაში ყოველი 100 ნათურიდან საშუალოდ იწარმოება 90 სტანდარტული ნათურა, მეორეში - 95, მესამეში - 85 და ამ ქარხნების პროდუქცია შეადგენს 50%-ს, 30%-ს და 20%-ს. შესაბამისად, ყველა ნათურა, რომელიც მიეწოდება გარკვეული ტერიტორიის მაღაზიებს. იპოვეთ სტანდარტული ნათურის შეძენის ალბათობა.
გადაწყვეტილება. მოდით აღვნიშნოთ სტანდარტული ნათურის შეძენის ალბათობა როგორც ა, და მოვლენები, რომ შეძენილი ნათურა დამზადდა პირველ, მეორე და მესამე ქარხნებში, შესაბამისად, მეშვეობით. პირობით, ამ მოვლენების ალბათობა ცნობილია: , და მოვლენის პირობითი ალბათობა ათითოეულ მათგანთან დაკავშირებით: 
,
,
. ეს არის სტანდარტული ნათურის შეძენის ალბათობა, იმ პირობით, რომ იგი წარმოებულია, შესაბამისად, პირველ, მეორე და მესამე ქარხნებში.
ღონისძიება ამოხდება თუ მოვლენა მოხდება ან კ- ნათურა დამზადებულია პირველ ქარხანაში და არის სტანდარტული, ან ღონისძიება ლ- ნათურა დამზადებულია მეორე ქარხანაში და არის სტანდარტული, ან ღონისძიება მ- ნათურა დამზადებულია მესამე ქარხანაში და არის სტანდარტული. მოვლენის დადგომის სხვა შესაძლებლობები აარა. ამიტომ, მოვლენა აარის მოვლენათა ჯამი კ, ლდა მრომლებიც შეუთავსებელია. ალბათობის დამატების თეორემის გამოყენებით, ჩვენ წარმოვადგენთ მოვლენის ალბათობას აროგორც
და ალბათობის გამრავლების თეორემით ვიღებთ
ე.ი. საერთო ალბათობის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა.
ალბათობების ფორმულის მარცხენა მხარეს ჩანაცვლებით, ვიღებთ მოვლენის ალბათობას ა :
მაგალითი 3თვითმფრინავი აეროპორტში დაეშვება. თუ ამინდი საშუალებას იძლევა, პილოტი თვითმფრინავს აფრქვევს, ინსტრუმენტების გარდა, ვიზუალური დაკვირვებითაც. ამ შემთხვევაში, წარმატებული დაშვების ალბათობაა. თუ აეროდრომი მოღრუბლულია დაბალი ღრუბლებით, მაშინ მფრინავი დაჯდება თვითმფრინავზე, ორიენტირებულია მხოლოდ ინსტრუმენტებზე. ამ შემთხვევაში წარმატებული დაშვების ალბათობაა; . მოწყობილობებს, რომლებიც უზრუნველყოფენ ბრმა დაშვებას, აქვთ საიმედოობა (უშეცდომო მუშაობის ალბათობა) პ. დაბალი მოღრუბლული და წარუმატებელი ბრმა სადესანტო ინსტრუმენტების არსებობისას, წარმატებული დაშვების ალბათობაა; . სტატისტიკა აჩვენებს, რომ ქ კდაშვების %, აეროდრომი დაფარულია დაბალი ღრუბლებით. Პოვნა მოვლენის სრული ალბათობა ა- თვითმფრინავის უსაფრთხო დაშვება.
გადაწყვეტილება. ჰიპოთეზები:
არ არის დაბალი ღრუბლის საფარი;
დაბალი ღრუბლის საფარია.
ამ ჰიპოთეზების (მოვლენების) ალბათობა:
;
პირობითი ალბათობა.
პირობითი ალბათობა კვლავ გვხვდება ჰიპოთეზებით მთლიანი ალბათობის ფორმულით
ბრმა სადესანტო მოწყობილობები მუშაობს;
ბრმა სადესანტო ინსტრუმენტები ვერ მოხერხდა.
ამ ჰიპოთეზების ალბათობაა:
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით
მაგალითი 4მოწყობილობას შეუძლია იმუშაოს ორ რეჟიმში: ნორმალური და არანორმალური. ნორმალური რეჟიმი შეინიშნება მოწყობილობის მუშაობის ყველა შემთხვევის 80%-ში, ხოლო არანორმალური - 20%-ში. მოწყობილობის უკმარისობის ალბათობა გარკვეულ დროში ტ 0,1-ის ტოლი; არანორმალურში 0.7. Პოვნა სრული ალბათობამოწყობილობის დროული უკმარისობა ტ.
გადაწყვეტილება. ჩვენ კვლავ აღვნიშნავთ მოწყობილობის გაუმართაობის ალბათობას, როგორც ა. ასე რომ, რაც შეეხება მოწყობილობის მუშაობას თითოეულ რეჟიმში (მოვლენებში), ალბათობა ცნობილია პირობით: ნორმალური რეჟიმისთვის ეს არის 80% (), არანორმალური რეჟიმისთვის - 20% (). მოვლენის ალბათობა ა(ანუ მოწყობილობის გაუმართაობა) პირველ მოვლენის მიხედვით (ნორმალური რეჟიმი) არის 0.1 (); მეორე მოვლენის მიხედვით (არანორმალური რეჟიმი) - 0.7 ( 
). ჩვენ ამ მნიშვნელობებს ვცვლით საერთო ალბათობის ფორმულაში (ანუ სისტემის თითოეული მოვლენის ალბათობის ნამრავლების ჯამი და მოვლენის პირობითი ალბათობა ასისტემის თითოეულ მოვლენასთან დაკავშირებით) და გვაქვს საჭირო შედეგი.
თუ მოვლენა მაგრამშეიძლება მოხდეს მხოლოდ ერთ-ერთ მოვლენასთან ერთად ,, ...,, რომელიც ქმნის შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს (ამ მოვლენებს ჰიპოთეზას უწოდებენ), მაშინ A მოვლენის დადგომის ალბათობა გამოითვლება ფორმულით. სრული ალბათობა :
. (4.1)
მოდი მოვლენა ზემოთ აღწერილ სქემაში მაგრამმოხდა და საჭიროა იმის გარკვევა, რომ ეს მოხდა ერთ-ერთ ჰიპოთეზასთან ერთად. ეს ალბათობა გამოითვლება ბეისის ფორმულები :
,
.
(4.2)
პრობლემის გადაჭრის ნიმუშები
მაგალითი1 ‑ არსებობს სამი იდენტური გარეგნობის ურნა; პირველს აქვს 2 თეთრი და 3 შავი ბურთი, მეორეს აქვს 4 თეთრი და 1 შავი ბურთი, მესამეს აქვს 3 თეთრი ბურთი. ერთ-ერთი ურნა შემთხვევით ირჩევა და მისგან ერთი ბურთი ამოღებულია. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს ბურთი თეთრია.
გადაწყვეტილება
გამოცდილება გვთავაზობს სამ ჰიპოთეზას:
-პირველი ურნის შერჩევა, ;
-მეორე ურნის შერჩევა, ;
-მესამე ურნის შერჩევა, .
განვიხილოთ საინტერესო მოვლენა A - დახატული ბურთი თეთრია. ეს მოვლენა შეიძლება მოხდეს მხოლოდ ერთ-ერთ შემდეგ ჰიპოთეზასთან ერთად:
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით (4.1) ვიღებთ
პასუხი: .
მაგალითი2 ‑ ორი მანქანა აწარმოებს იგივე ნაწილებს, რომლებიც მიეწოდება საერთო კონვეიერს. პირველი აპარატის მოქმედება ორჯერ აღემატება მეორეს. პირველი მანქანა აწარმოებს საშუალოდ შესანიშნავი ხარისხის ნაწილებს 60%, ხოლო მეორე - 84%. შეკრების ხაზიდან შემთხვევით აღებული ნაწილი შესანიშნავი ხარისხის აღმოჩნდა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ეს ნივთი პირველი მანქანამ შექმნა.
გადაწყვეტილება
ორი დაშვების (ჰიპოთეზის) დადგენა შეიძლება: - ნაწილს აწარმოებს პირველი ავტომატი და (რადგან პირველი ავტომატი მეორეზე ორჯერ მეტ ნაწილს აწარმოებს); - ნაწილს მეორე ავტომატი აწარმოებს და .
პირობითი ალბათობა იმისა, რომ ნაწილი იქნება შესანიშნავი ხარისხის, თუ იგი დამზადებულია პირველი მანქანით, თუ იგი დამზადებულია მეორე მანქანით.
ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით მიღებული ნაწილი იქნება შესანიშნავი ხარისხის, საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით (4.1), უდრის:
სასურველი ალბათობა იმისა, რომ აღებული შესანიშნავი ნაწილი წარმოიქმნება პირველი ავტომატის მიერ, ბეიზის ფორმულის მიხედვით, უდრის:
.
პასუხი: .
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის
1 სპორტსმენთა ჯგუფში 20 მოთხილამურე, 6 ველოსიპედისტი და 4 მორბენალია. საკვალიფიკაციო სტანდარტის დაკმაყოფილების ალბათობა ასეთია: მოთხილამურესთვის - 0,9, ველოსიპედისტისთვის - 0,8 და მორბენალისთვის - 0,75. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული სპორტსმენი შეასრულებს ნორმას.
2 ურნადან, რომელიც შეიცავს 5 თეთრ და 3 შავ ბურთს, შემთხვევით იშლება ერთი ბურთი და გადადის მეორე ურნაში, რომელიც ადრე შეიცავდა 2 თეთრ და 7 შავ ბურთულას. გადაცემული ბურთის ფერი არ ფიქსირდება. მეორე ურნადან შემთხვევით ამოღებულია ერთი ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ეს ბურთი თეთრი იყოს?
3 პირამიდაში არის 5 თოფი, რომელთაგან სამი აღჭურვილია ოპტიკური სამიზნით. ალბათობა იმისა, რომ მსროლელი ტელესკოპური სამიზნე თოფიდან გასროლისას მიზანს მოხვდეს არის 0,95; ნორმალური სროლის მქონე შაშხანისთვის ეს ალბათობა არის 0,7. იპოვნეთ სამიზნის დარტყმის ალბათობა, თუ მსროლელმა შემთხვევით აღებული თოფიდან ერთ გასროლას გაისროლა.
4 წინა დავალების პირობებში მსროლელი მიზანში მოხვდა. დაადგინეთ მისი გასროლის ალბათობა: თოფიდან ტელესკოპური სამიზნით; ჩვეულებრივი სამიზნის თოფიდან.
5 სტუდენტთა შესარჩევ სპორტულ შეჯიბრებებში მონაწილეობის მისაღებად კურსის პირველი ჯგუფიდან შეირჩა 4 სტუდენტი, მეორედან 6, ხოლო მესამედან 5. ალბათობა იმისა, რომ პირველი, მეორე და მესამე ჯგუფის სტუდენტი მოხვდება გუნდში. ინსტიტუტი, შესაბამისად, არის 0.9; 0.7 და 0.8. შეჯიბრის შედეგად ეროვნულ გუნდში შემთხვევით შერჩეული მოსწავლე აღმოჩნდა. რომელ ჯგუფს მიეკუთვნებოდა ეს სტუდენტი?
6 პირველი ურნა შეიცავს 10 ბურთულას, რომელთაგან 8 თეთრია; მეორე ურნა შეიცავს 20 ბურთულას, რომელთაგან 4 თეთრია. თითო ურნადან შემთხვევით იშლება ერთი ბურთი, შემდეგ კი ამ ორი ბურთიდან შემთხვევით იშლება ერთი ბურთი. იპოვეთ თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა.
7 გამოცდაზე მოსულ 10 მოსწავლის ჯგუფში 3 იყო წარჩინებული, 4 კარგი, 2 საშუალო და 1 ცუდი. საგამოცდო ფურცლებში 20 კითხვაა. კარგად მომზადებულმა მოსწავლემ იცის 20-ვე კითხვა, კარგად მომზადებულმა იცის 16, საშუალო დონის სტუდენტმა იცის 10 და ცუდმა სტუდენტმა იცის 5. შემთხვევითმა მოსწავლემ უპასუხა შემთხვევით დასმულ სამ კითხვას. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ეს მოსწავლე მომზადებულია: შესანიშნავი; ცუდი.
8 სამი ურნადან თითოეული შეიცავს 6 შავ და 4 თეთრ ბურთულებს. პირველი ურნადან შემთხვევით გამოყვანილია ერთი ბურთი და გადადის მეორე ურნაზე, რის შემდეგაც ერთი ბურთი შემთხვევით გამოდის მეორე ურნადან და გადადის მესამე ურნაზე. იპოვეთ ალბათობა, რომ მესამე ურნადან შემთხვევით გამოყვანილი ბურთი თეთრი იყოს.
9 სამი დამოუკიდებელი გასროლა ხდება ობიექტზე. პირველი გასროლის ალბათობაა 0,4; მეორეზე - 0,5; მესამესთან ერთად - 0,7. სამი დარტყმა, რა თქმა უნდა, საკმარისია ობიექტის გასათიშად, ორი დარტყმით, ის ვერ ხერხდება 0,6 ალბათობით; ერთით - 0,2 ალბათობით. იპოვეთ ალბათობა, რომ სამი გასროლის შედეგად ობიექტი გაითიშება.
10 სამმა ისარმა ზალპად გაისროლა, ორი ტყვია მიზანს მოხვდა. იპოვეთ ალბათობა, რომ მესამე მსროლელმა მიზანში მოხვდა, თუ პირველი, მეორე და მესამე მსროლელის მიერ მიზანში დარტყმის ალბათობა არის 0,6; 0.5 და 0.4.
Საშინაო დავალება.
1 ტესტების გამეორება. ბერნულის და პუასონის ფორმულები. ლაპლასის ლოკალური და ინტეგრალური თეორემები.
2 Პობლემების მოგვარება.
დავალება1 . ორი ურნაა. პირველი ურნა შეიცავს ორ თეთრ და სამ შავ ბურთულას, ხოლო მეორე ურნა შეიცავს სამ თეთრ და ხუთ შავ ბურთს. პირველი და მეორე ურნადან დაუთვალიერებლად იღებენ თითო ბურთულას და ათავსებენ მესამე ურნაში. მესამე ურნაში ბურთები ირევა და მისგან შემთხვევით იღება ერთი ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს ბურთი თეთრია.
დავალება2 . სამი მსროლელიდან ერთ-ერთი გამოძახებულია ცეცხლის ხაზზე და ისვრის გასროლას. მიზანში მოხვდა. ერთი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობა პირველი მსროლელისთვის არის 0,3, მეორის – 0,5, მესამეზე – 0,8. იპოვეთ ალბათობა, რომ გასროლა მეორე მსროლელმა გაისროლა.
დავალება3 . პირველი მანქანიდან 40% მიდის აწყობაზე, მეორედან - 35%, მესამედან ნაწილების 25%. პირველი მანქანის ნაწილებს შორის დეფექტურია 0,2%, მეორე - 0,3%, მესამე - 0,5%. იპოვეთ ალბათობა, რომ:
ა) ასაწყობად მიღებული ნაწილი დეფექტურია;
ბ) ნაწილი, რომელიც აღმოჩნდა დეფექტური, დამზადებულია მეორე მანქანაზე.
დავალება4 . 20 მსროლელთა ჯგუფში ხუთი შესანიშნავია, ცხრა კარგი და ექვსი საშუალო. ერთი გასროლით შესანიშნავი მსროლელი ხვდება მიზანს 0,9 ალბათობით, კარგი 0,8 და საშუალო 0,7 ალბათობით. შემთხვევით შერჩეულმა მსროლელმა ორჯერ გაისროლა; იყო ერთი დარტყმა და ერთი გაცდენა. რომელი მსროლელი იყო ყველაზე მეტად შესანიშნავი, კარგი ან საშუალო?
მაგალითი 1. პირველ ურნაში: სამი წითელი, ერთი თეთრი ბურთი. მეორე ურნაში: ერთი წითელი, სამი თეთრი ბურთი. მონეტა იყრება შემთხვევით: თუ გერბი აირჩევა პირველი ურნადან, წინააღმდეგ შემთხვევაში, მეორედან.
გადაწყვეტილება:
ა) წითელი ბურთის დახატვის ალბათობა
ა - მიიღო წითელი ბურთი
P 1 - გერბი ამოვარდა, P 2 - სხვაგვარად
ბ) არჩეულია წითელი ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ იგი აღებულია პირველი ურნადან, მეორე ურნიდან.
B 1 - პირველი ურნიდან, B 2 - მეორე ურნიდან
,
მაგალითი 2. ყუთში არის 4 ბურთი. შეიძლება იყოს: მხოლოდ თეთრი, მხოლოდ შავი ან თეთრი და შავი. (კომპოზიცია უცნობია).
გადაწყვეტილება:
A არის თეთრი ბურთის გამოჩენის ალბათობა
ა) ყველა თეთრი:
(სავარაუდოა, რომ სამი ვარიანტიდან ერთ-ერთი, სადაც თეთრია, დაიჭირეს)
(თეთრი ბურთის გამოჩენის ალბათობა იქ, სადაც ყველა თეთრია)
ბ) გამოყვანილია იქ, სადაც ყველა შავია
გ) ამოიღეს ვარიანტი, სადაც ყველა თეთრი ან/და შავია
- ერთი მაინც თეთრია
P a + P b + P c =
მაგალითი 3. ურნა შეიცავს 5 თეთრ და 4 შავ ბურთულას. მისგან ზედიზედ ამოიღება 2 ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე ბურთი თეთრია.
გადაწყვეტილება:
5 თეთრი, 4 შავი ბურთი
P(A 1) - დახატული თეთრი ბურთი
P(A 2) არის ალბათობა იმისა, რომ მეორე ბურთიც თეთრი იყოს
P(A) - ზედიზედ შერჩეული თეთრი ბურთები
მაგალითი 3a. შეფუთვაში არის 2 ყალბი და 8 რეალური ბანკნოტი. შეფუთვიდან ზედიზედ ამოიღეს 2 ბანკნოტი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე მცდარია.
გადაწყვეტილება:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
მაგალითი 4. არის 10 ურნა. 9 ურნა შეიცავს 2 შავ და 2 თეთრ ბურთულებს. 1 ურნაში არის 5 თეთრი და 1 შავი. ბურთის ამოღება ხდება შემთხვევით აღებული ურნიდან.
გადაწყვეტილება:
P(A) -? თეთრი ბურთი აღებულია ურნიდან, რომელიც შეიცავს 5 თეთრს
B - ურნადან ამოღების ალბათობა, სადაც 5 თეთრია
, - ამოიღეს სხვებისგან
C 1 - თეთრი ბურთის გამოჩენის ალბათობა lvl 9-ში.
C 2 - თეთრი ბურთის გამოჩენის ალბათობა, სადაც არის 5 მათგანი
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
მაგალითი 5. 20 ცილინდრული ლილვაკი და 15 კონუსური. ამომრჩეველი იღებს 1 როლიკს და შემდეგ მეორეს.
გადაწყვეტილება:
ა) ორივე ლილვაკი ცილინდრულია
P(C1)=; P(C2)=
C 1 - პირველი ცილინდრი, C 2 - მეორე ცილინდრი
P(A)=P(C1)P(C2) =
ბ) ერთი ცილინდრი მაინც
K 1 - პირველი კონუსი.
K 2 - მეორე კონუსი.
P(B)=P(C1)P(K2)+P(C2)P(K1)+P(C1)P(C2)
;
გ) პირველი ცილინდრი, მეორე კი არა
P(C)=P(C1)P(K2)
ე) არც ერთი ცილინდრი.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
ე) ზუსტად 1 ცილინდრი
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)
მაგალითი 6. ყუთში არის 10 სტანდარტული ნაწილი და 5 დეფექტური ნაწილი.
სამი ცალი შედგენილია შემთხვევით.
ა) ერთი მათგანი დეფექტურია
P n (K)=C n k p k q n-k,
P არის დეფექტური პროდუქტების ალბათობა
q არის სტანდარტული ნაწილების ალბათობა
n=3, სამი ნაწილი
ბ) სამი ნაწილიდან ორი დეფექტურია P(2)
გ) ერთი სტანდარტი მაინც
P(0) - არ არის დეფექტი
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ერთი ნაწილი იქნება სტანდარტული
მაგალითი 7 . 1-ლი ურნა შეიცავს 3 თეთრ და 3 შავ ბურთულას, ხოლო მე-2 ურნა შეიცავს 3 თეთრ და 4 შავ ბურთულას. 2 ბურთულა 1-ლი ურნადან მე-2 ურნაზე გადაინაცვლებს შეუხედავად, შემდეგ კი 2 ბურთულას იღებენ მე-2 ურნიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ ისინი სხვადასხვა ფერისაა?
გადაწყვეტილება:
პირველი ურნადან ბურთების გადაცემისას შესაძლებელია შემდეგი ვარიანტები:
ა) ზედიზედ დახატულია 2 თეთრი ბურთი
P WB 1 =
მეორე საფეხურზე ყოველთვის იქნება ერთი ბურთი ნაკლები, რადგან პირველ ეტაპზე ერთი ბურთი უკვე ამოღებულია.
ბ) დახატულია ერთი თეთრი და ერთი შავი ბურთი
სიტუაცია, როდესაც ჯერ თეთრი ბურთი გათამაშდა, შემდეგ კი შავი
P BC =
სიტუაცია, როდესაც ჯერ შავი ბურთი გათამაშდა, შემდეგ კი თეთრი
P BW =
სულ: P CU 1 =
გ) ზედიზედ დახატულია 2 შავი ბურთი
P HH 1 =
ვინაიდან პირველი ურნადან მეორე ურნაზე გადაიტანეს 2 ბურთი, მეორე ურნაში ბურთების საერთო რაოდენობა იქნება 9 (7 + 2). შესაბამისად, ჩვენ ვეძებთ ყველა შესაძლო ვარიანტს:
ა) მეორე ურნიდან ჯერ თეთრი, შემდეგ კი შავი ბურთულა ამოღებულია
P BC 2 P BB 1 - ნიშნავს იმის ალბათობას, რომ ჯერ თეთრი ბურთი იქნა დახატული, შემდეგ შავი ბურთი, იმ პირობით, რომ ზედიზედ პირველი ურნადან 2 თეთრი ბურთი იყო გამოყვანილი. ამიტომ თეთრი ბურთულების რაოდენობა ამ შემთხვევაში არის 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - ნიშნავს იმის ალბათობას, რომ ჯერ თეთრი ბურთი იქნა დახატული, შემდეგ შავი ბურთი, იმ პირობით, რომ თეთრი და შავი ბურთები პირველი ურნადან იყო გამოყვანილი. ამიტომ თეთრი ბურთულების რაოდენობა ამ შემთხვევაში არის 4 (3+1), ხოლო შავი ბურთულების რაოდენობა არის ხუთი (4+1).
P BC 2 P BC 1 - ნიშნავს იმის ალბათობას, რომ ჯერ თეთრი ბურთი იქნა გათამაშებული, შემდეგ შავი ბურთი, იმ პირობით, რომ ორივე შავი ბურთი ზედიზედ პირველი ურნადან ამოიღეს. ამიტომ შავი ბურთების რაოდენობა ამ შემთხვევაში არის 6 (4+2).
ალბათობა იმისა, რომ დახატული 2 ბურთი იყოს სხვადასხვა ფერის, უდრის:
პასუხი: P = 0.54
მაგალითი 7a. 1-ლი ურნადან, რომელიც შეიცავს 5 თეთრ და 3 შავ ბურთულას, 2 ბურთი შემთხვევით გადადის მე-2 ურნაზე, რომელიც შეიცავს 2 თეთრ და 6 შავ ბურთულას. შემდეგ მე-2 ურნადან შემთხვევით იშლება 1 ბურთი.
1) რა არის იმის ალბათობა, რომ ურნა 2-დან ამოღებული ბურთი თეთრი იყოს?
2) მე-2 ურნადან გამოტანილი ბურთი თეთრი აღმოჩნდა. გამოთვალეთ ალბათობა იმისა, რომ სხვადასხვა ფერის ბურთები გადაიტანეს ურნა 1-დან 2-ში.
გადაწყვეტილება.
1) მოვლენა A - მე-2 ურნიდან გამოტანილი ბურთი თეთრი აღმოჩნდა. განიხილეთ ამ მოვლენის დადგომის შემდეგი ვარიანტები.
ა) პირველი ურნადან მეორეში მოთავსებულია ორი თეთრი ბურთი: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
მეორე ურნაში არის 4 თეთრი ბურთი. მაშინ მეორე ურნადან თეთრი ბურთის გამოტანის ალბათობა არის P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
ბ) პირველი ურნადან მეორეში მოთავსებულია თეთრი და შავი ბურთულები: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
მეორე ურნაში 3 თეთრი ბურთია. მაშინ მეორე ურნადან თეთრი ბურთის გამოტანის ალბათობა არის P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
გ) პირველი ურნადან მეორეში მოთავსებულია ორი შავი ბურთი: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
მეორე ურნაში არის 2 თეთრი ბურთი. მაშინ მეორე ურნადან თეთრი ბურთის გამოტანის ალბათობა არის P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
მაშინ ალბათობა, რომ მე-2 ურნადან გამოტანილი ბურთი თეთრი აღმოჩნდა, უდრის:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) მე-2 ურნიდან გამოტანილი ბურთი თეთრი აღმოჩნდა, ე.ი. საერთო ალბათობა არის P(A)=13/32.
ალბათობა იმისა, რომ სხვადასხვა ფერის ბურთები (შავ-თეთრი) გადატანილი იყო მეორე ურნაზე და არჩეული იყო თეთრი: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
მაგალითი 7b. პირველი ურნა შეიცავს 8 თეთრ და 3 შავ ბურთულას, მეორე ურნა შეიცავს 5 თეთრ და 3 შავ ბურთულას. პირველიდან შემთხვევით ირჩევა ერთი ბურთი, მეორედან - ორი. ამის შემდეგ, არჩეული სამი ბურთიდან შემთხვევით იღებენ ერთ ბურთს. ეს ბოლო ბურთი შავი აღმოჩნდა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ თეთრი ბურთი აირჩიეს პირველი ურნადან.
გადაწყვეტილება.
განვიხილოთ A მოვლენის ყველა ვარიანტი - სამი ბურთიდან გათამაშებული ბურთი შავი აღმოჩნდა. როგორ შეიძლება მოხდეს, რომ სამ ბურთს შორის შავი იყო?
ა) პირველი ურნადან გამოყვანილია შავი ბურთი, მეორე ურნადან კი ორი თეთრი ბურთი.
P1 = (3/11) (5/8*4/7) = 15/154
ბ) პირველი ურნადან გამოყვანილია შავი ბურთი, მეორედან კი ორი შავი ბურთი.
P2 = (3/11) (3/8 * 2/7) = 9/308
გ) პირველი ურნადან გამოყვანილია შავი ბურთი, მეორე ურნიდან კი ერთი თეთრი და ერთი შავი ბურთი.
P3 = (3/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
დ) პირველი ურნიდან გამოყვანილია თეთრი ბურთი, მეორედან კი ორი შავი ბურთი.
P4 = (8/11) (3/8 * 2/7) = 6/77
ე) პირველი ურნიდან ამოიღეს თეთრი ბურთი, მეორე ურნიდან ერთი თეთრი და ერთი შავი ბურთი.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
საერთო ალბათობაა: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
ალბათობა იმისა, რომ თეთრი ბურთი აირჩიეს თეთრი ურნადან არის:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
მაშინ ალბათობა იმისა, რომ პირველი ურნადან არჩეული იყო თეთრი ბურთი, იმ პირობით, რომ სამი ბურთიდან შავი იყო არჩეული, უდრის:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57
მაგალითი 7c. პირველი ურნა შეიცავს 12 თეთრ და 16 შავ ბურთულას, მეორე ურნა შეიცავს 8 თეთრ და 10 შავ ბურთულას. ამავდროულად, 1-ლი და მე-2 ურნადან ბურთულას იღებენ, ურევენ და თითო-თითო ურნაზე აბრუნებენ. შემდეგ ყოველი ურნიდან ამოიღება ბურთი. ისინი ერთნაირი ფერის აღმოჩნდა. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ პირველ ურნაში იმდენი თეთრი ბურთია დარჩენილი, რამდენიც იყო დასაწყისში.
გადაწყვეტილება.
მოვლენა A - ამავდროულად, 1-ლი და მე-2 ურნადან ბურთის გატანა ხდება.
პირველი ურნადან თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
პირველი ურნადან შავი ბურთის დახატვის ალბათობა: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
მეორე ურნადან თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა: P2(B) = 8/18 = 4/9
მეორე ურნადან შავი ბურთის დახატვის ალბათობა: P2(H) = 10/18 = 5/9
მოხდა A მოვლენა. მოვლენა B - ყოველი ურნადან ამოღებულია ბურთი. გადარევის შემდეგ, ბურთის თეთრი ან შავი ბურთის ურნაში დაბრუნების ალბათობა არის ½.
განვიხილოთ B მოვლენის ვარიანტები - ისინი ერთნაირი ფერის აღმოჩნდა.
პირველი ურნასთვის
1) პირველ ურნაში მოათავსეს თეთრი ბურთი, ხოლო თეთრი ბურთი დახატეს, იმ პირობით, რომ თეთრი ბურთი ადრე იყო დახატული, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) პირველ ურნაში მოათავსეს თეთრი ბურთი და გათამაშდა თეთრი ბურთი, იმ პირობით, რომ შავი ბურთი ადრე იყო გათამაშებული, P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) პირველ ურნაში მოათავსეს თეთრი ბურთი და დახატეს შავი, იმ პირობით, რომ თეთრი ბურთი ადრე იყო დახატული, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) პირველ ურნაში მოათავსეს თეთრი ბურთი და დახატეს შავი, იმ პირობით, რომ შავი ბურთი ადრე იყო გათამაშებული, P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) პირველ ურნაში მოათავსეს შავი ბურთი და გათამაშდა თეთრი ბურთი, იმ პირობით, რომ თეთრი ბურთი ადრე იყო გათამაშებული, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) პირველ ურნაში მოათავსეს შავი ბურთი და დახატეს თეთრი, იმ პირობით, რომ ადრე იყო დახატული შავი ბურთი, P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) პირველ ურნაში მოათავსეს შავი ბურთი და დახატეს შავი, იმ პირობით, რომ თეთრი ბურთი ადრე იყო დახატული, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) პირველ ურნაში მოათავსეს შავი ბურთი, ხოლო შავი ბურთი დახატეს, იმ პირობით, რომ შავი ბურთი ადრე იყო დახატული, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
მეორე ურნასთვის
1) პირველ ურნაში მოთავსებული იყო თეთრი ბურთი და დახატეს თეთრი, იმ პირობით, რომ თეთრი ბურთი ადრე იყო დახატული, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) პირველ ურნაში მოთავსებული იყო თეთრი ბურთი და გათამაშდა თეთრი ბურთი, იმ პირობით, რომ შავი ბურთი ადრე იყო გათამაშებული, P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) პირველ ურნაში მოათავსეს თეთრი ბურთი და დახატეს შავი, იმ პირობით, რომ თეთრი ბურთი ადრე იყო გათამაშებული, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) პირველ ურნაში მოათავსეს თეთრი ბურთი და დახატეს შავი, იმ პირობით, რომ შავი ბურთი ადრე იყო გათამაშებული, P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) პირველ ურნაში მოათავსეს შავი ბურთი და გათამაშდა თეთრი ბურთი, იმ პირობით, რომ თეთრი ბურთი ადრე იყო გათამაშებული, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) პირველ ურნაში მოათავსეს შავი ბურთი და დახატეს თეთრი, იმ პირობით, რომ ადრე იყო დახატული შავი ბურთი, P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) პირველ ურნაში მოათავსეს შავი ბურთი და დახატეს შავი, იმ პირობით, რომ თეთრი ბურთი ადრე იყო დახატული, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) პირველ ურნაში მოათავსეს შავი ბურთი, ხოლო შავი ბურთი დახატეს, იმ პირობით, რომ შავი ბურთი ადრე იყო დახატული, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
ბურთები ერთი და იგივე ფერის აღმოჩნდა:
ა) თეთრი
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
ბ) შავი
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
მაგალითი 7 გ. პირველი ყუთი შეიცავს 5 თეთრ და 4 ლურჯ ბურთულს, მეორე 3 და 1, ხოლო მესამე 4 და 5, შესაბამისად. შემთხვევით ირჩევა ყუთი და მისგან ამოღებული ბურთი ცისფერი აღმოჩნდება. რა არის ალბათობა, რომ ეს ბურთი მეორე ყუთიდან იყოს?
გადაწყვეტილება.
A - ლურჯი ბუშტის ამოღების ღონისძიება. განიხილეთ ყველა ვარიანტი ასეთი მოვლენის შედეგისთვის.
H1 - გამოყვანილი ბურთი პირველი ყუთიდან,
H2 - გაყვანილი ბურთი მეორე ყუთიდან,
H3 - გათამაშებული ბურთი მესამე ყუთიდან.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
პრობლემის პირობის მიხედვით A მოვლენის პირობითი ალბათობებია:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
ალბათობა იმისა, რომ ეს ბურთი მეორე ყუთიდან არის:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
მაგალითი 8 . ხუთი ყუთი 30 ბურთით შეიცავს 5 წითელ ბურთულას (ეს არის H1 კომპოზიციის ყუთი), ექვსი სხვა ყუთი 20 ბურთით თითოეული შეიცავს 4 წითელ ბურთულას (ეს არის H2 კომპოზიციის ყუთი). იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით დახატული წითელი ბურთი შეიცავდეს პირველი ხუთი ყუთიდან ერთ-ერთს.
ამოხსნა: საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენების ამოცანა.
P(H 1) = 5/11
იმის ალბათობა ნებისმიერიაღებული ბურთი მოთავსებულია ექვსიდან ერთ ყუთში:
P(H 2) = 6/11
მოხდა მოვლენა - გათამაშდა წითელი ბურთი. ამიტომ, ეს შეიძლება მოხდეს ორ შემთხვევაში:
ა) ამოიღეს პირველი ხუთი ყუთიდან.
P 5 = 5 წითელი ბურთი * 5 ყუთი / (30 ბურთი * 5 ყუთი) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
ბ) ექვსი სხვა ყუთიდან ამოღებული.
P 6 = 4 წითელი ბურთი * 6 ყუთი / (20 ბურთი * 6 ყუთი) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
სულ: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
მაშასადამე, ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით დახატული წითელი ბურთი შედის პირველი ხუთი უჯრიდან ერთ-ერთში არის:
პ კ.შ. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
მაგალითი 9 . ურნა შეიცავს 2 თეთრ, 3 შავ და 4 წითელ ბურთულას. სამი ბურთი შედგენილია შემთხვევით. რა არის იმის ალბათობა, რომ სულ მცირე ორი ბურთი ერთნაირი ფერის იყოს?
გადაწყვეტილება. მოვლენების სამი შესაძლო შედეგია:
ა) გათამაშებულ სამ ბურთს შორის ორი მაინც თეთრია.
P b (2) = P 2b
ამ ცდების შესაძლო ელემენტარული შედეგების ჯამური რაოდენობა უდრის იმ გზების რაოდენობას, რომლითაც შესაძლებელია 3 ბურთის გათამაშება 9-დან:
იპოვეთ ალბათობა, რომ 3 ბურთიდან 2 თეთრი იყოს.
არჩევის ვარიანტების რაოდენობა 2 თეთრი ბურთიდან:
7 სხვა ბურთიდან მესამე ბურთის ასარჩევად ვარიანტების რაოდენობა:
ბ) გათამაშებულ სამ ბურთს შორის ორი მაინც შავია (ანუ 2 შავი ან 3 შავი).
იპოვეთ ალბათობა, რომ 3 ბურთიდან 2 შავია.
3 შავი ბურთიდან ასარჩევად ვარიანტების რაოდენობა:
ერთი ბურთის 6 სხვა ბურთიდან ასარჩევად ვარიანტების რაოდენობა:
P 2h = 0.214
იპოვეთ ალბათობა, რომ ყველა არჩეული ბურთი შავია.
Ph (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259
გ) გათამაშებულ სამ ბურთს შორის ორი მაინც წითელია (ანუ 2 წითელი ან 3 წითელი).
ვიპოვოთ ალბათობა, რომ არჩეულ 3 ბურთს შორის 2 არის წითელი.
4 შავი ბურთიდან ასარჩევად ვარიანტების რაოდენობა:
არჩევის ვარიანტების რაოდენობა 5 თეთრი ბურთიდან დარჩენილი 1 თეთრი:
იპოვეთ ალბათობა, რომ ყველა არჩეული ბურთი წითელია.
P-დან (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
მაშინ ალბათობა იმისა, რომ სულ მცირე ორი ბურთი იქნება ერთი და იგივე ფერის არის: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
მაგალითი 10 . პირველი ურნა შეიცავს 10 ბურთულას, რომელთაგან 7 თეთრია; მეორე ურნა შეიცავს 20 ბურთულას, რომელთაგან 5 თეთრია. თითო ურნადან შემთხვევით იშლება ერთი ბურთი, შემდეგ კი ამ ორი ბურთიდან შემთხვევით იშლება ერთი ბურთი. იპოვეთ თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა.
გადაწყვეტილება. ალბათობა იმისა, რომ თეთრი ბურთი იქნა გამოყვანილი პირველი ურნადან არის P(b)1 = 7/10. შესაბამისად, შავი ბურთის დახატვის ალბათობაა P(h)1 = 3/10.
ალბათობა იმისა, რომ მეორე ურნადან თეთრი ბურთი იქნა გამოყვანილი არის P(b)2 = 5/20 = 1/4. შესაბამისად, შავი ბურთის დახატვის ალბათობა არის P(h)2 = 15/20 = 3/4.
მოვლენა A - ორი ბურთიდან იღება თეთრი ბურთი
განვიხილოთ მოვლენის შედეგი A.
- პირველი ურნიდან თეთრი ბურთია გამოყვანილი, მეორე ურნიდან კი თეთრი ბურთი. შემდეგ ამ ორი ბურთიდან თეთრი ბურთი გამოიღეს. P1=7/10*1/4=7/40
- პირველი ურნიდან გამოყვანილია თეთრი ბურთი, მეორე ურნიდან კი შავი ბურთი. შემდეგ ამ ორი ბურთიდან თეთრი ბურთი გამოიღეს. P2 = 7/10 * 3/4 = 21/40
- პირველი ურნიდან გამოყვანილია შავი ბურთი, მეორე ურნიდან კი თეთრი ბურთი. შემდეგ ამ ორი ბურთიდან თეთრი ბურთი გამოიღეს. P3=3/10*1/4=3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
მაგალითი 11 . ყუთში არის n ჩოგბურთის ბურთი. მათგან მ . პირველ თამაშში მათ შემთხვევით აიღეს ორი ბურთი და თამაშის შემდეგ დააბრუნეს. მეორე თამაშში მათ ასევე შემთხვევით აიღეს ორი ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ მეორე თამაში ახალი ბურთებით ჩატარდეს?
გადაწყვეტილება. განვიხილოთ მოვლენა A - თამაში მეორედ ჩატარდა ახალი ბურთებით. ვნახოთ, რა მოვლენებმა შეიძლება გამოიწვიოს ეს.
აღნიშნეთ g = n-m-ით, ახალი ბურთების რაოდენობა ამოღებამდე.
ა) ორი ახალი ბურთი გათამაშდება პირველი თამაშისთვის.
P1 = გ/ნ*(გ-1)/(ნ-1) = გ(გ-1)/(n(n-1))
ბ) პირველ თამაშში მათ ამოიღეს ერთი ახალი ბურთი და ერთი უკვე ნათამაშები.
P2 = გ/ნ*მ/(n-1) + მ/ნ*გ/(n-1) = 2მგ/(n(n-1))
გ) პირველ თამაშში ორი გათამაშებული ბურთი ამოიღეს.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
განვიხილოთ მეორე თამაშის მოვლენები.
ა) გათამაშდა ორი ახალი ბურთი, იმ პირობით, P1: ვინაიდან ახალი ბურთები უკვე გათამაშებული იყო პირველი თამაშისთვის, მეორე თამაშში მათი რაოდენობა შემცირდა 2-ით, გ-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*გ(გ-1)/(n(n-1))
ბ) გათამაშდა ორი ახალი ბურთი, ექვემდებარება P2: რადგან ერთი ახალი ბურთი უკვე გათამაშდა პირველ თამაშში, შემდეგ მეორე თამაშში მათი რაოდენობა შემცირდა 1-ით, გ-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 მგ /(n(n-1))
გ) მათ ამოიღეს ორი ახალი ბურთი, იმ პირობით, P3: რადგან პირველი თამაშისთვის ახალი ბურთები არ იყო გამოყენებული, მათი რიცხვი არ შეცვლილა მეორე თამაშში გ.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
საერთო ალბათობა P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* გ(გ-1)/(n(n-1)) + (გ-1)/ნ*(გ-2)/(n-1)*2მგ/(n(n-1)) + გ/ნ *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
პასუხი: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
მაგალითი 12 . პირველი, მეორე და მესამე ყუთები შეიცავს 2 თეთრ და 3 შავ ბურთულებს, მეოთხე და მეხუთე ყუთები შეიცავს 1 თეთრ და 1 შავ ბურთს. შემთხვევით შეირჩევა ყუთი და მისგან იღება ბურთი. რა არის პირობითი ალბათობა იმისა, რომ მეოთხე ან მეხუთე ყუთი შეირჩეს, თუ დახატული ბურთი თეთრია?
გადაწყვეტილება.
თითოეული ყუთის არჩევის ალბათობა არის P(H) = 1/5.
განვიხილოთ A მოვლენის პირობითი ალბათობა - თეთრი ბურთის დახატვა.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
თეთრი ბურთის დახატვის სრული ალბათობა:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
პირობითი ალბათობა, რომ მეოთხე ველი არჩეულია
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
მეხუთე უჯრის შერჩევის პირობითი ალბათობა
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
ასე რომ, მეოთხე ან მეხუთე ყუთის არჩევის პირობითი ალბათობა არის
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546
მაგალითი 13 . ურნა შეიცავს 7 თეთრ და 4 წითელ ბურთულას. შემდეგ ურნაში ათავსებდნენ თეთრ ან წითელ ან შავი ფერის კიდევ ერთ ბურთულას და შერევის შემდეგ ამოიღეს. წითელი აღმოჩნდა. რა არის იმის ალბათობა, რომ ა) წითელი ბურთი დაიდო? ბ) შავი ბურთი?
გადაწყვეტილება.
ა) წითელი ბურთი
ღონისძიება A - წითელი ბურთის დახატვა. ღონისძიება H - დააყენეთ წითელი ბურთი. ალბათობა იმისა, რომ წითელი ბურთი მოთავსდა ურნაში P(H=K) = 1/3
მაშინ P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
ბ) შავი ბურთი
ღონისძიება A - წითელი ბურთის დახატვა. ღონისძიება H - დადეთ შავი ბურთი.
ურნაში შავი ბურთის მოთავსების ალბათობა არის P(H=H) = 1/3
მაშინ P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111
მაგალითი 14 . არის ორი ურნა ბურთულებით. ერთს აქვს 10 წითელი და 5 ლურჯი ბურთი, მეორეს აქვს 5 წითელი და 7 ლურჯი ბურთი. რა არის ალბათობა იმისა, რომ პირველი ურნადან შემთხვევით გამოყვანილი იქნება წითელი ბურთი, მეორედან კი ლურჯი?
გადაწყვეტილება.მოდით მოვლენა A1 - პირველი ურნადან გამოყვანილია წითელი ბურთი; A2 - მეორე ურნიდან გამოყვანილია ლურჯი ბურთი:
,
მოვლენები A1 და A2 დამოუკიდებელია. A1 და A2 მოვლენების ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა უდრის
მაგალითი 15 . არის ბანქოს დაფა (36 ცალი). ორი კარტი დგება შემთხვევით. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე გათამაშებული კარტი წითელი იყოს?
გადაწყვეტილება.დაე, მოვლენა A 1 იყოს წითელი კოსტუმის პირველი გათამაშებული ბარათი. მოვლენა A 2 - წითელი კოსტუმის მეორე გათამაშებული ბარათი. B - წითელი კოსტუმის ორივე გათამაშებული ბარათი. ვინაიდან A 1 და მოვლენა A 2 უნდა მოხდეს, B = A 1 · A 2 . მოვლენები A 1 და A 2 დამოკიდებულები არიან, შესაბამისად P(B):
,
აქედან
მაგალითი 16 . ორი ურნა შეიცავს ბურთებს, რომლებიც განსხვავდება მხოლოდ ფერით, ხოლო პირველ ურნაში არის 5 თეთრი ბურთი, 11 შავი და 8 წითელი, ხოლო მეორეში, შესაბამისად, 10, 8, 6 ბურთი. ორივე ურნადან შემთხვევით გამოყვანილია ერთი ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე ბურთი ერთნაირი ფერისაა?
გადაწყვეტილება.ინდექსი 1 ნიშნავს თეთრს, ინდექსი 2 შავი; 3 - წითელი ფერი. მოვლენა A i - პირველი ურნადან გამოყვანილია i-ის ფერის ბურთი; მოვლენა B j - მეორე ურნიდან ამოიღეს j-ე ფერის ბურთი; ღონისძიება A - ორივე ბურთი ერთნაირი ფერისაა.
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. მოვლენები A i და B j დამოუკიდებელია, ხოლო A i · B i და A j · B j შეუთავსებელია i ≠ j-სთვის. აქედან გამომდინარე,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
მაგალითი 17 . ურნიდან 3 თეთრი და 2 შავი ბურთულებით იხატება თითო-თითო, სანამ შავი არ გამოჩნდება. რა არის იმის ალბათობა, რომ ურნადან 3 ბურთი გამოვა? 5 ბურთი?
გადაწყვეტილება.
1) ალბათობა იმისა, რომ ურნადან 3 ბურთი იქნება გამოყვანილი (ანუ მესამე ბურთი შავი იქნება, პირველი ორი კი თეთრი).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) ალბათობა იმისა, რომ ურნადან 5 ბურთი იქნება გამოყვანილი
ასეთი ვითარება შეუძლებელია, რადგან მხოლოდ 3 თეთრი ბურთი.
P=0
ორივე მთავარი თეორემის - ალბათობის მიმატების თეორემასა და ალბათობის გამრავლების თეორემის - ეგრეთ წოდებული საერთო ალბათობის ფორმულაა.
დაე, საჭირო გახდეს რაიმე მოვლენის ალბათობის განსაზღვრა, რომელიც შეიძლება მოხდეს ერთ-ერთ მოვლენასთან ერთად:
შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფის ჩამოყალიბება. ამ მოვლენებს ჰიპოთეზებს დავარქმევთ.
მოდით დავამტკიცოთ ეს ამ შემთხვევაში
, (3.4.1)
იმათ. მოვლენის ალბათობა გამოითვლება, როგორც თითოეული ჰიპოთეზის ალბათობისა და ამ ჰიპოთეზის მიხედვით მოვლენის ალბათობის პროდუქტების ჯამი.
ფორმულას (3.4.1) ეწოდება საერთო ალბათობის ფორმულა.
მტკიცებულება. ვინაიდან ჰიპოთეზები ქმნიან სრულ ჯგუფს, მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს მხოლოდ რომელიმე ამ ჰიპოთეზთან ერთად:
ვინაიდან ჰიპოთეზები არათანმიმდევრულია, კომბინაციები 
ასევე შეუთავსებელი; მათზე დამატების თეორემის გამოყენებით, მივიღებთ:
მოვლენაზე გამრავლების თეორემის გამოყენებით მივიღებთ:
,
ქ.ე.დ.
მაგალითი 1. არსებობს სამი იდენტური გარეგნობის ურნა; პირველი ურნა შეიცავს ორ თეთრ და ერთ შავ ბურთულას; მეორეში - სამი თეთრი და ერთი შავი; მესამეში - ორი თეთრი და ორი შავი ბურთი. ვიღაც შემთხვევით ირჩევს ერთ-ერთ ურნას და მისგან გამოაქვს ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს ბურთი თეთრია.
გადაწყვეტილება. განვიხილოთ სამი ჰიპოთეზა:
პირველი ურნის არჩევანი,
მეორე ურნის არჩევანი,
მესამე ურნის არჩევანი
და მოვლენა არის თეთრი ბურთის გამოჩენა.
ვინაიდან ჰიპოთეზები, პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, თანაბრად სავარაუდოა, მაშინ
.
ამ ჰიპოთეზის მიხედვით მოვლენის პირობითი ალბათობა შესაბამისად ტოლია:
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით
.
მაგალითი 2. სამი ერთჯერადი გასროლა ხდება თვითმფრინავზე. პირველი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,4, მეორესთან - 0,5, მესამეზე 0,7. სამი დარტყმა აშკარად საკმარისია თვითმფრინავის გასაუქმებლად; ერთი დარტყმით თვითმფრინავი მარცხდება 0,2 ალბათობით, ორი დარტყმით 0,6 ალბათობით. იპოვეთ ალბათობა, რომ სამი გასროლის შედეგად თვითმფრინავი მწყობრიდან გამოვა.
გადაწყვეტილება. განვიხილოთ ოთხი ჰიპოთეზა:
არც ერთი ჭურვი არ მოხვდა თვითმფრინავს,
ერთი ჭურვი თვითმფრინავს მოხვდა
თვითმფრინავს ორი ჭურვი მოხვდა.
თვითმფრინავს სამი ჭურვი მოხვდა.
შეკრებისა და გამრავლების თეორემების გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ ამ ჰიპოთეზის ალბათობას:
მოვლენის (თვითმფრინავის უკმარისობის) პირობითი ალბათობა ამ ჰიპოთეზების მიხედვით არის:
საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:
გაითვალისწინეთ, რომ პირველი ჰიპოთეზის გათვალისწინება არ შეიძლებოდა, რადგან საერთო ალბათობის ფორმულაში შესაბამისი ტერმინი ქრება. ეს ჩვეულებრივ კეთდება მთლიანი ალბათობის ფორმულის გამოყენებისას, განიხილება არა არათანმიმდევრული ჰიპოთეზების სრული ჯგუფი, არამედ მხოლოდ ისინი, რომლებშიც შესაძლებელია მოცემული მოვლენა.
მაგალითი 3. ძრავის მუშაობას აკონტროლებს ორი რეგულატორი. განიხილება გარკვეული პერიოდი, რომლის განმავლობაშიც სასურველია უზრუნველყოს ძრავის უპრობლემოდ მუშაობა. თუ ორივე რეგულატორია, ძრავა იშლება ალბათობით, თუ მხოლოდ პირველი მუშაობს, ალბათობით, თუ მუშაობს მხოლოდ მეორე, თუ ორივე რეგულატორი იშლება, ალბათობით. რეგულატორებიდან პირველს აქვს საიმედოობა, მეორეს -. ყველა ელემენტი მარცხდება ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. იპოვნეთ ძრავის მთლიანი საიმედოობა (უშეცდომოდ მუშაობის ალბათობა).
