ამ სტატიაში იწყება მოქმედებების შესწავლა ალგებრული წილადებით: ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ ისეთ მოქმედებებს, როგორიცაა ალგებრული წილადების შეკრება და გამოკლება. გავაანალიზოთ ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლების სქემა როგორც ერთიდაიგივე მნიშვნელებით, ასევე განსხვავებული წილადებით. ისწავლეთ როგორ დაამატოთ ალგებრული წილადი მრავალწევრს და როგორ გამოვაკლოთ ისინი. ჩვენ ავხსნით პრობლემების გადაჭრის ძიების თითოეულ საფეხურს კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

შეკრებისა და გამოკლების მოქმედებები ერთი და იგივე მნიშვნელებით

ჩვეულებრივი წილადების დამატების სქემა ასევე გამოიყენება ალგებრულ წილადებზე. ჩვენ ვიცით, რომ ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ჩვეულებრივი წილადების შეკრებისას ან გამოკლებისას აუცილებელია მათი მრიცხველების დამატება ან გამოკლება, მნიშვნელი კი იგივე რჩება.

მაგალითად: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 და 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.

შესაბამისად, იგივე მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესი იწერება ანალოგიურად:

განმარტება 1

იმავე მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების დასამატებლად ან გამოკლებისთვის, თქვენ უნდა დაამატოთ ან გამოკლოთ ორიგინალური წილადების მრიცხველები, შესაბამისად, და დაწეროთ მნიშვნელი უცვლელად.

ეს წესი შესაძლებელს ხდის დავასკვნათ, რომ ალგებრული წილადების შეკრების ან გამოკლების შედეგი არის ახალი ალგებრული წილადი (კონკრეტულ შემთხვევაში: მრავალწევრი, მონომი ან რიცხვი).

მოვიყვანოთ ჩამოყალიბებული წესის გამოყენების მაგალითი.

მაგალითი 1

მოცემული ალგებრული წილადები: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 და 3 - x y x 2 y - 2 . აუცილებელია მათი დამატების განხორციელება.

გადაწყვეტილება

თავდაპირველი წილადები შეიცავს იგივე მნიშვნელებს. წესის მიხედვით დავამატებთ მოცემული წილადების მრიცხველებს, ხოლო მნიშვნელს უცვლელად დავტოვებთ.

მრავალწევრების დამატება, რომლებიც ორიგინალური წილადების მრიცხველია, მივიღებთ: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

მაშინ საჭირო თანხა დაიწერება: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

პრაქტიკაში, როგორც ბევრ შემთხვევაში, გამოსავალი მოცემულია თანასწორობის ჯაჭვით, რომელიც ნათლად აჩვენებს ამოხსნის ყველა ეტაპს:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

პასუხი: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2 .

შეკრების ან გამოკლების შედეგი შეიძლება იყოს შემცირებული წილადი, ამ შემთხვევაში ოპტიმალურია მისი შემცირება.

მაგალითი 2

ალგებრულ წილადს x x 2 - 4 y 2 უნდა გამოვაკლოთ წილადი 2 y x 2 - 4 y 2.

გადაწყვეტილება

თავდაპირველი წილადების მნიშვნელები ტოლია. შევასრულოთ მოქმედებები მრიცხველებით, კერძოდ: გამოვაკლოთ მეორე მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს, რის შემდეგაც ვწერთ შედეგს და მნიშვნელს უცვლელად ვტოვებთ:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

ჩვენ ვხედავთ, რომ მიღებული ფრაქცია მცირდება. მოდით შევამციროთ იგი მნიშვნელის გარდაქმნით კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

პასუხი: x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = 1 x + 2 y.

იგივე პრინციპით, სამი ან მეტი ალგებრული წილადი ემატება ან კლდება ერთი და იგივე მნიშვნელებით. Მაგალითად:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

შეკრებისა და გამოკლების მოქმედებები სხვადასხვა მნიშვნელით

მოდით კვლავ მივმართოთ მოქმედებების სქემას ჩვეულებრივი წილადებით: იმისათვის, რომ დაამატოთ ან გამოკლოთ ჩვეულებრივი წილადები სხვადასხვა მნიშვნელებით, თქვენ უნდა მიიყვანოთ ისინი საერთო მნიშვნელთან და შემდეგ დაამატოთ მიღებული წილადები იგივე მნიშვნელებით.

მაგალითად, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 ან 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

ასევე, ანალოგიით, ჩვენ ვაყალიბებთ სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების მიმატებისა და გამოკლების წესს:

განმარტება 2

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების დასამატებლად ან გამოკლებისთვის, თქვენ უნდა:

• თავდაპირველი წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან;
• ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება ან გამოკლება.

ცხადია, აქ მთავარი იქნება ალგებრული წილადების საერთო მნიშვნელამდე მიყვანის უნარი. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ.

ალგებრული წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე

ალგებრული წილადების საერთო მნიშვნელამდე დასაყვანად აუცილებელია მოცემული წილადების იდენტური გარდაქმნა, რის შედეგადაც თავდაპირველი წილადების მნიშვნელები ერთნაირი ხდება. აქ ოპტიმალურია ვიმოქმედოთ შემდეგი ალგორითმის მიხედვით ალგებრული წილადების საერთო მნიშვნელამდე შეყვანისთვის:

• ჯერ ვადგენთ ალგებრული წილადების საერთო მნიშვნელს;
• შემდეგ ვპოულობთ დამატებით ფაქტორებს თითოეული წილადისთვის საერთო მნიშვნელის საწყისი წილადების მნიშვნელებზე გაყოფით;
• ბოლო მოქმედებით მოცემული ალგებრული წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება შესაბამის დამატებით ფაქტორებზე.

მაგალითი 3

ალგებრული წილადები მოცემულია: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 , a + 3 3 a 2 - 6 a და a + 1 4 a 5 - 16 a 3 . აუცილებელია მათი საერთო მნიშვნელის მიყვანა.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვმოქმედებთ ზემოაღნიშნული ალგორითმის მიხედვით. განვსაზღვროთ თავდაპირველი წილადების საერთო მნიშვნელი. ამ მიზნით ვანაწილებთ მოცემული წილადების მნიშვნელებს: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) და 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). აქედან შეგვიძლია დავწეროთ საერთო მნიშვნელი: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ დამატებითი მულტიპლიკატორები. ნაპოვნი საერთო მნიშვნელი ალგორითმის მიხედვით ვყოფთ თავდაპირველი წილადების მნიშვნელებად:

• პირველი წილადისთვის: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (2 a 2 (a − 2)) = 6 a (a + 2) ;
• მეორე წილადისთვის: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (3 a (a − 2)) = 4 a 2 (a + 2);
• მესამე წილადისთვის: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

შემდეგი ნაბიჯი არის მოცემული წილადების მრიცხველების და მნიშვნელების გამრავლება ნაპოვნი დამატებით ფაქტორებზე:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 = (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3 ) 3 = 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2)

პასუხი: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) ; a + 3 3 a 2 - 6 a = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2) ; a + 1 4 a 5 - 16 a 3 = 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2) .

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ საწყისი წილადები საერთო მნიშვნელამდე. საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ შემდეგ მიღებული შედეგი გადაიყვანოთ ალგებრული წილადების სახით მრიცხველებსა და მნიშვნელებში მრავალწევრებისა და მონომების გამრავლებით.

ჩვენ ასევე განვმარტავთ ამ საკითხს: ოპტიმალურია ნაპოვნი საერთო მნიშვნელის დატოვება ნამრავლის სახით იმ შემთხვევაში, თუ საჭირო იქნება საბოლოო წილადის შემცირება.

ჩვენ დეტალურად განვიხილეთ ორიგინალური ალგებრული წილადების საერთო მნიშვნელამდე მიყვანის სქემა, ახლა შეგვიძლია გადავიდეთ მაგალითების ანალიზზე სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების მიმატებისა და გამოკლების შესახებ.

მაგალითი 4

მოცემული ალგებრული წილადები: 1 - 2 x x 2 + x და 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 . აუცილებელია მათი დამატების მოქმედების განხორციელება.

გადაწყვეტილება

თავდაპირველ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ პირველი ნაბიჯი არის მათი საერთო მნიშვნელამდე მიყვანა. ჩვენ გამოვყოფთ მნიშვნელებს: x 2 + x \u003d x (x + 1) და x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) ,რადგან კვადრატული ტრინომის ფესვები x 2 + 3 x + 2ისინი რიცხვებია: - 1 და - 2 . დაადგინეთ საერთო მნიშვნელი: x (x + 1) (x + 2), მაშინ დამატებითი მამრავლები იქნება: x+2და - xპირველი და მეორე წილადებისთვის, შესაბამისად.

ამრიგად: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) და 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2)

ახლა დაამატეთ წილადები, რომლებიც შევამცირეთ საერთო მნიშვნელზე:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

შედეგად მიღებული ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს საერთო ფაქტორით x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

და ბოლოს, ჩვენ ვწერთ შედეგს ალგებრული წილადის სახით, ვცვლით ნამრავლს მნიშვნელში მრავალწევრით:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

ჩვენ მოკლედ ვწერთ ამოხსნის კურსს თანასწორობის ჯაჭვის სახით:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

პასუხი: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

ყურადღება მიაქციეთ ამ დეტალს: ალგებრული წილადების დამატებამდე ან გამოკლებამდე, თუ შესაძლებელია, სასურველია მათი გადაყვანა გამარტივებისთვის.

მაგალითი 5

აუცილებელია წილადების გამოკლება: 2 1 1 3 x - 2 21 და 3 x - 1 1 7 - 2 x.

გადაწყვეტილება

ჩვენ გარდაქმნით თავდაპირველ ალგებრულ წილადებს შემდგომი ამოხსნის გასამარტივებლად. მნიშვნელში ამოვიღოთ ცვლადების რიცხვითი კოეფიციენტები:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 და 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

ამ ტრანსფორმაციამ ცალსახად მოგვცა სარგებელი: ჩვენ აშკარად ვხედავთ საერთო ფაქტორის არსებობას.

მოვიშოროთ რიცხვითი კოეფიციენტები მნიშვნელებში. ამისათვის ვიყენებთ ალგებრული წილადების ძირითად თვისებას: ვამრავლებთ პირველი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს 3 4-ზე, ხოლო მეორეს - 1 2-ზე, შემდეგ მივიღებთ:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 და 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 - 2 x - 1 14 = - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 .

მოდით შევასრულოთ მოქმედება, რომელიც საშუალებას მოგვცემს თავი დავაღწიოთ წილადის კოეფიციენტებს: გავამრავლოთ მიღებული წილადები 14-ზე:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 და - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 x + 7 14 x - 1 .

ბოლოს ვასრულებთ ამოცანის პირობით საჭირო მოქმედებას - გამოკლებას:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 x + 14 14 x - 1

პასუხი: 2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 x + 14 14 x - 1.

ალგებრული წილადისა და მრავალწევრის შეკრება და გამოკლება

ეს მოქმედება ასევე მცირდება ალგებრული წილადების დამატებამდე ან გამოკლებამდე: აუცილებელია ორიგინალური მრავალწევრის წარმოდგენა წილადის სახით მნიშვნელით 1.

მაგალითი 6

აუცილებელია მრავალწევრის დამატება x 2 - 3ალგებრული წილადით 3 · x x + 2 .

გადაწყვეტილება

მრავალწევრს ვწერთ ალგებრულ წილადად 1-ის მნიშვნელით: x 2 - 3 1

ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ შეკრება სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების წესის მიხედვით:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 x + 2 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2

პასუხი: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მოქმედებები წილადებთან.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

მაშ, რა არის წილადები, წილადების ტიპები, გარდაქმნები - გავიხსენეთ. მოდი, შევეხოთ მთავარ კითხვას.

რა შეგიძლიათ გააკეთოთ წილადებთან?დიახ, ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ნომრებში. დამატება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა.

ყველა ეს ქმედება თან ათობითიწილადებთან ოპერაციები არაფრით განსხვავდება მთელი რიცხვებით ოპერაციებისგან. სინამდვილეში, ეს არის ის, რისთვისაც ისინი კარგია, ათობითი. ერთადერთი ის არის, რომ თქვენ უნდა დააყენოთ მძიმით სწორად.

შერეული რიცხვები, როგორც ვთქვი, ნაკლებად გამოსადეგია ქმედებების უმეტესობისთვის. მათ ჯერ კიდევ სჭირდებათ გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად.

და აქ არის ქმედებები ჩვეულებრივი წილადებიუფრო ჭკვიანი იქნება. და ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია! ნება მომეცით შეგახსენოთ: ყველა მოქმედება წილადური გამონათქვამებით ასოებით, სინუსებით, უცნობიებით და ა.შ. და ა.შ. არ განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადების მოქმედებებისგან! ჩვეულებრივი წილადებით მოქმედებები ყველა ალგებრის საფუძველია. სწორედ ამ მიზეზით, ჩვენ აქ დეტალურად გავაანალიზებთ მთელ ამ არითმეტიკას.

წილადების შეკრება და გამოკლება.

ყველას შეუძლია ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება (გამოკლება) (ნამდვილად იმედი მაქვს!). ისე, შეგახსენებთ, რომ სრულიად დამვიწყები ვარ: შეკრებისას (გამოკლებისას) მნიშვნელი არ იცვლება. მრიცხველები ემატება (აკლდება) შედეგის მრიცხველის მისაცემად. ტიპი:

მოკლედ, ზოგადად:

რა მოხდება, თუ მნიშვნელები განსხვავებულია? შემდეგ, წილადის ძირითადი თვისების გამოყენებით (აი, ისევ გამოგადგებათ!), მნიშვნელებს იგივე ვაკეთებთ! Მაგალითად:

აქ უნდა გაგვეკეთებინა წილადი 4/10 წილადიდან 2/5. მხოლოდ იმ მიზნით, რომ მნიშვნელები იგივე გახდეს. მე აღვნიშნავ, ყოველი შემთხვევისთვის, რომ 2/5 და 4/10 არის იგივე წილადი! ჩვენთვის მხოლოდ 2/5 არის უხერხული, 4/10 კი არაფერია.

სხვათა შორის, ეს არის მათემატიკაში ნებისმიერი ამოცანის ამოხსნის არსი. როცა გარეთ ვართ არასასიამოვნოგამონათქვამები აკეთებენ იგივე, მაგრამ უფრო მოსახერხებელი მოსაგვარებლად.

Სხვა მაგალითი:

ანალოგიური სიტუაციაა. აქ ვაკეთებთ 48-ს 16-დან. მარტივი გამრავლებით 3-ზე. ეს ყველაფერი გასაგებია. მაგრამ აქ ვხვდებით ასეთ რაღაცას:

Როგორ უნდა იყოს?! შვიდიდან ცხრა ძნელია! მაგრამ ჩვენ ჭკვიანები ვართ, წესები ვიცით! მოდით გარდავქმნათ ყოველიწილადი ისე, რომ მნიშვნელები ერთნაირი იყოს. ამას ჰქვია "შემცირება საერთო მნიშვნელამდე":

Როგორ! საიდან ვიცოდი 63-ის შესახებ? Ძალიან მარტივი! 63 არის რიცხვი, რომელიც თანაბრად იყოფა 7-ზე და 9-ზე ერთდროულად. ასეთი რიცხვი ყოველთვის შეიძლება მივიღოთ მნიშვნელების გამრავლებით. მაგალითად, თუ რომელიმე რიცხვს გავამრავლებთ 7-ზე, შედეგი აუცილებლად გაიყოფა 7-ზე!

თუ რამდენიმე წილადის დამატება (გამოკლება) გჭირდებათ, ამის გაკეთება წყვილებში, ეტაპობრივად, საჭირო არ არის. თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ მნიშვნელი, რომელიც საერთოა ყველა წილადისთვის და მიიტანოთ თითოეული წილადი იმავე მნიშვნელთან. Მაგალითად:

და რა იქნება საერთო მნიშვნელი? თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გაამრავლოთ 2, 4, 8 და 16. მივიღებთ 1024. კოშმარი. უფრო ადვილია იმის დადგენა, რომ რიცხვი 16 სრულყოფილად იყოფა 2-ზე, 4-ზე და 8-ზე, ამიტომ ამ რიცხვებიდან ადვილია 16-ის მიღება. ეს რიცხვი იქნება საერთო მნიშვნელი. გადავაქციოთ 1/2 8/16-ად, 3/4 12/16-ად და ა.შ.

სხვათა შორის, თუ საერთო მნიშვნელად ავიღებთ 1024-ს, ყველაფერიც გამოვა, ბოლოს ყველაფერი შემცირდება. მხოლოდ ყველა ვერ მიაღწევს ამ მიზანს, გათვლების გამო ...

თავად მოაგვარეთ მაგალითი. ლოგარითმი კი არა... 29/16 უნდა იყოს.

ასე რომ, წილადების მიმატებით (გამოკლებით) გასაგებია, იმედი მაქვს? რა თქმა უნდა, უფრო ადვილია მუშაობა შემცირებულ ვერსიაში, დამატებითი მამრავლებით. მაგრამ ეს სიამოვნება ხელმისაწვდომია მათთვის, ვინც პატიოსნად მუშაობდა დაბალ კლასებში ... და არაფერი დაივიწყა.

და ახლა ჩვენ გავაკეთებთ იგივე მოქმედებებს, მაგრამ არა წილადებით, არამედ წილადი გამონათქვამები. აქ მოიძებნება ახალი რაფები, დიახ...

ასე რომ, ჩვენ უნდა დავამატოთ ორი წილადური გამონათქვამი:

ჩვენ უნდა გავხადოთ მნიშვნელები იგივე. და მხოლოდ დახმარებით გამრავლება! ასე რომ, წილადის მთავარი თვისება ამბობს. მაშასადამე, მნიშვნელში პირველ წილადს x-ს ვერ მივამატებ. (მაგრამ ეს კარგი იქნებოდა!). მაგრამ თუ მნიშვნელებს გაამრავლებ, ხედავ, ყველაფერი ერთად გაიზრდება! ასე რომ, ჩვენ ვწერთ წილადის ხაზს, ვტოვებთ ცარიელ ადგილს ზემოდან, შემდეგ ვამატებთ და ვწერთ მნიშვნელების ნამრავლს ქვემოთ ისე, რომ არ დავივიწყოთ:

და, რა თქმა უნდა, მარჯვენა მხარეს არაფერს ვამრავლებთ, ფრჩხილებს არ ვხსნით! ახლა კი, მარჯვენა მხარის საერთო მნიშვნელს რომ გადავხედოთ, ვფიქრობთ: იმისათვის, რომ მივიღოთ მნიშვნელი x (x + 1) პირველ წილადში, უნდა გავამრავლოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი (x + 1)-ზე. . ხოლო მეორე წილადში - x. თქვენ მიიღებთ ამას:

Შენიშვნა! ფრჩხილები აქ არის! ეს არის საკომისიო, რომელსაც ბევრი აბიჯებს. არა ფრჩხილები, რა თქმა უნდა, არამედ მათი არარსებობა. ფრჩხილები იმიტომ ჩნდება, რომ ჩვენ ვმრავლდებით მთელიმრიცხველი და მთელიმნიშვნელი! და არა მათი ცალკეული ნაწილები...

მარჯვენა მხარის მრიცხველში ვწერთ მრიცხველთა ჯამს, ყველაფერი ისეა როგორც რიცხვით წილადებში, შემდეგ ვხსნით ფრჩხილებს მარჯვენა მხარის მრიცხველში, ე.ი. გაამრავლე ყველაფერი და მიეცი like. არ არის საჭირო მნიშვნელებში ფრჩხილების გახსნა, არც რაღაცის გამრავლება! ზოგადად, მნიშვნელებში (ნებისმიერ) პროდუქტი ყოველთვის უფრო სასიამოვნოა! ჩვენ ვიღებთ:

აქ მივიღეთ პასუხი. პროცესი გრძელი და რთული ჩანს, მაგრამ ეს დამოკიდებულია პრაქტიკაზე. ამოხსენით მაგალითები, შეეგუეთ, ყველაფერი მარტივი გახდება. ვინც დათქმულ დროში აითვისა წილადები, ყველა ამ ოპერაციას აკეთებს ერთი ხელით, მანქანაზე!

და კიდევ ერთი შენიშვნა. ბევრი ცნობილი საქმე აქვს წილადებს, მაგრამ დაკიდება მაგალითებს მთლიანინომრები. ტიპი: 2 + 1/2 + 3/4= ? სად დავამაგროთ ლულა? არ არის საჭირო სადმე დამაგრება, ფრაქციების გაკეთება გჭირდებათ. ეს არ არის ადვილი, ეს ძალიან მარტივია! 2=2/1. Ამგვარად. ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს წილადად. მრიცხველი არის თავად რიცხვი, მნიშვნელი არის ერთი. 7 არის 7/1, 3 არის 3/1 და ასე შემდეგ. იგივეა ასოებით. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 და ა.შ. შემდეგ კი ამ წილადებთან ვმუშაობთ ყველა წესის მიხედვით.

ისე, შეკრებაზე - წილადების გამოკლებაზე, ცოდნა განახლდა. წილადების გარდაქმნები ერთი ტიპიდან მეორეზე - მეორდება. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ცოტა მოვაგვაროთ?)

გამოთვალეთ:

პასუხები (არეულად):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

წილადების გამრავლება/გაყოფა - მომდევნო გაკვეთილზე. ასევე არის დავალებები წილადებით ყველა მოქმედებისთვის.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

გაკვეთილის შინაარსი

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

წილადების დამატება ორი ტიპისაა:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

დავიწყოთ იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებით. აქ ყველაფერი მარტივია. იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. მაგალითად, დავუმატოთ წილადები და . ვამატებთ მრიცხველებს და ვტოვებთ მნიშვნელს უცვლელად:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია ოთხ ნაწილად. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2დაამატეთ წილადები და.

პასუხი არის არასწორი წილადი. თუ დავალების დასასრული დადგა, მაშინ ჩვეულებრივია არასათანადო წილადებისგან თავის დაღწევა. არასწორი წილადის მოსაშორებლად, თქვენ უნდა აირჩიოთ მასში მთელი ნაწილი. ჩვენს შემთხვევაში, მთელი ნაწილი ადვილად ნაწილდება - ორი გაყოფილი ორზე უდრის ერთს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც ორ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას მეტ პიცას დაამატებთ, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას:

მაგალითი 3. დაამატეთ წილადები და.

კვლავ დაამატეთ მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 4იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. მრიცხველები უნდა დაემატოს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი:

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას და დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ 1 მთლიან პიცას და მეტ პიცას.

როგორც ხედავთ, ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება არ არის რთული. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად საჭიროა მათი მრიცხველების დამატება და მნიშვნელი უცვლელი დატოვება;

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ დავამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. წილადების შეკრებისას ამ წილადების მნიშვნელები უნდა იყოს იგივე. მაგრამ ისინი ყოველთვის არ არიან ერთნაირი.

მაგალითად, წილადების დამატება შეიძლება, რადგან მათ აქვთ იგივე მნიშვნელები.

მაგრამ წილადების ერთდროულად დამატება შეუძლებელია, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში, წილადები უნდა შემცირდეს იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

წილადების ერთსა და იმავე მნიშვნელზე შემცირების რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ერთ მათგანს, რადგან დამწყებთათვის დანარჩენი მეთოდები შეიძლება რთული ჩანდეს.

ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ პირველი (LCM) ორივე წილადის მნიშვნელებიდან არის მოძიებული. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი ფაქტორი. იგივეს აკეთებენ მეორე წილადთან - LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი კოეფიციენტი.

შემდეგ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, იქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1. დაამატეთ წილადები და

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 6.

LCM (2 და 3) = 6

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და . ჯერ LCM-ს ვყოფთ პირველი წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 6 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ 2-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 2 არის პირველი დამატებითი ფაქტორი. ჩავწერთ პირველ წილადამდე. ამისათვის ჩვენ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს წილადის ზემოთ და ვწერთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს მის ზემოთ:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. 6 გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ 3-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 3 არის მეორე დამატებითი ფაქტორი. ვწერთ მეორე წილადს. კვლავ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს მეორე წილადის ზემოთ და ვწერთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს მის ზემოთ:

ახლა ჩვენ მზად ვართ დავამატოთ. რჩება წილადების მრიცხველების და მნიშვნელების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

კარგად დააკვირდით რა მივედით. მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები. ეს მაგალითი ბოლომდე დავასრულოთ:

ასე მთავრდება მაგალითი. რომ დავამატო თურმე.

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას და პიცის მეორე მეექვსედს:

წილადების ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. წილადების და საერთო მნიშვნელთან მიყვანისას მივიღებთ წილადებს და . ეს ორი ფრაქცია წარმოდგენილი იქნება პიცის ერთი და იგივე ნაჭრებით. განსხვავება მხოლოდ ის იქნება, რომ ამჯერად ისინი დაიყოფიან თანაბარ წილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე).

პირველ ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (ოთხი ცალი ექვსიდან), ხოლო მეორე ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (ექვსიდან სამი ცალი). ამ ნაწილების ერთად შეკრებით ვიღებთ (შვიდი ცალი ექვსიდან). ეს წილადი არასწორია, ამიტომ ჩვენ გამოვყავით მასში მთელი რიცხვი. შედეგი იყო (ერთი მთლიანი პიცა და მეორე მეექვსე პიცა).

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ეს მაგალითი ძალიან დეტალურად დავხატეთ. საგანმანათლებლო დაწესებულებებში არ არის ჩვეულებრივი წერა ასეთი დეტალურად. თქვენ უნდა შეძლოთ სწრაფად იპოვოთ როგორც მნიშვნელების, ასევე მათზე დამატებითი ფაქტორების LCM, ასევე სწრაფად გაამრავლოთ თქვენი მრიცხველებისა და მნიშვნელების მიერ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორები. სკოლაში ყოფნისას ჩვენ მოგვიწევს ამ მაგალითის დაწერა შემდეგნაირად:

მაგრამ არსებობს მონეტის მეორე მხარეც. თუ მათემატიკის შესწავლის პირველ ეტაპზე დეტალური შენიშვნები არ კეთდება, მაშინ ასეთი კითხვები „საიდან მოდის ეს რიცხვი?“, „რატომ გადაიქცევა წილადები მოულოდნელად სრულიად განსხვავებულ წილადებად? «.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების გასაადვილებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები:

1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM;
2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი მამრავლი თითოეული წილადისთვის;
3. გავამრავლოთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე;
4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები;
5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი;

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული ინსტრუქციები.

ნაბიჯი 1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM

იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 2, 3 და 4

ნაბიჯი 2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი მამრავლი თითოეული წილადისთვის

LCM გავყოთ პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 12 2-ზე, მივიღებთ 6-ს. მივიღეთ პირველი დამატებითი კოეფიციენტი 6. მას ვწერთ პირველ წილადზე:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 12-ს ვყოფთ 3-ზე, ვიღებთ 4. მივიღეთ მეორე დამატებითი ფაქტორი 4. ვწერთ მას მეორე წილადზე:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მივიღეთ მესამე დამატებითი ფაქტორი 3. ვწერთ მას მესამე წილადზე:

ნაბიჯი 3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები თქვენს დამატებით ფაქტორებზე

ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველებს და მნიშვნელებს ჩვენს დამატებით ფაქტორებზე:

ნაბიჯი 4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. რჩება ამ წილადების დამატება. დაამატეთ:

დამატება არ ჯდებოდა ერთ სტრიქონზე, ამიტომ დარჩენილი გამოხატულება გადავიტანეთ შემდეგ სტრიქონზე. ეს ნებადართულია მათემატიკაში. როდესაც გამონათქვამი არ ჯდება ერთ სტრიქონზე, ის გადადის შემდეგ სტრიქონზე და აუცილებელია პირველი სტრიქონის ბოლოს და ახალი სტრიქონის დასაწყისში ტოლობის ნიშანი (=). მეორე სტრიქონზე ტოლობის ნიშანი მიუთითებს, რომ ეს არის პირველი ხაზის გამოთქმის გაგრძელება.

ნაბიჯი 5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ მასში მთელი ნაწილი აირჩიეთ

ჩვენი პასუხი არის არასწორი წილადი. უნდა გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ:

პასუხი მიიღო

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

წილადის გამოკლების ორი ტიპი არსებობს:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

ჯერ ვისწავლოთ როგორ გამოვაკლოთ წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით. აქ ყველაფერი მარტივია. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა. ამ მაგალითის ამოსახსნელად აუცილებელია მეორე წილადის მრიცხველი გამოვაკლოთ პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია ოთხ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

კვლავ, პირველი წილადის მრიცხველს გამოაკელით მეორე წილადის მრიცხველი და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. პირველი წილადის მრიცხველს უნდა გამოკლოთ დარჩენილი წილადების მრიცხველები:

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. ერთ წილადს მეორეს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი;
2. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ მასში მთელი ნაწილი უნდა აირჩიოთ.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

მაგალითად, წილადს შეიძლება გამოვაკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს აქვთ იგივე მნიშვნელები. მაგრამ წილადს არ შეიძლება გამოვაკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში, წილადები უნდა შემცირდეს იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

საერთო მნიშვნელი გვხვდება იმავე პრინციპის მიხედვით, რომელსაც ვიყენებდით სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისას. უპირველეს ყოვლისა, იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება პირველ წილადზე. ანალოგიურად, LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი ფაქტორი, რომელიც იწერება მეორე წილადზე.

შემდეგ წილადები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ თქვენ უნდა მიიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელთან.

პირველი, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM-ს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 12.

LCM (3 და 4) = 12

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ LCM-ს პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4. ოთხს ვწერთ პირველ წილადზე:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. დაწერეთ სამმაგი მეორე წილადზე:

ახლა ჩვენ ყველანი მზად ვართ გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. ეს მაგალითი ბოლომდე დავასრულოთ:

პასუხი მიიღო

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას.

ეს არის გადაწყვეტის დეტალური ვერსია. სკოლაში ყოფნისას ეს მაგალითი უფრო მოკლედ მოგვიწევს გადაჭრას. ასეთი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

წილადების და საერთო მნიშვნელის შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. ამ წილადების საერთო მნიშვნელთან მიყვანისას მივიღებთ წილადებს და . ეს წილადები წარმოდგენილი იქნება ერთი და იგივე პიცის ნაჭრებით, მაგრამ ამჯერად ისინი დაყოფილი იქნება იმავე წილადებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე):

პირველ ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (რვა ცალი თორმეტიდან), ხოლო მეორე ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (სამი ცალი თორმეტიდან). რვა ნაწილიდან სამი ცალი ამოჭრით, თორმეტიდან ხუთ ნაჭერს ვიღებთ. წილადი აღწერს ამ ხუთ ნაწილს.

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელთან.

იპოვეთ ამ წილადების მნიშვნელების LCM.

წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 10, 3 და 5. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

ახლა ჩვენ ვპოულობთ დამატებით ფაქტორებს თითოეული წილადისთვის. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ LCM-ს თითოეული წილადის მნიშვნელზე.

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 10. 30 გავყოთ 10-ზე, მივიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ პირველ წილადზე:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მეორე წილადისთვის. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 30 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 10. ვწერთ მეორე წილადზე:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მესამე წილადისთვის. LCM გავყოთ მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 5. 30 გავყოთ 5-ზე, მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 6. მას ვწერთ მესამე წილადზე:

ახლა ყველაფერი მზად არის გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. დავასრულოთ ეს მაგალითი.

მაგალითის გაგრძელება არ ჯდება ერთ ხაზზე, ამიტომ გაგრძელებას გადავიტანთ შემდეგ სტრიქონზე. არ დაივიწყოთ ტოლობის ნიშანი (=) ახალ ხაზზე:

პასუხი სწორი წილადი აღმოჩნდა და როგორც ჩანს, ყველაფერი გვიწყობს, მაგრამ ზედმეტად შრომატევადი და მახინჯია. ჩვენ უნდა გავამარტივოთ. Რა შეიძლება გაკეთდეს? თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს ფრაქცია.

წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი (gcd) 20 და 30 რიცხვებზე.

ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ 20 და 30 რიცხვების GCD-ს:

ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს მაგალითს და ვყოფთ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ნაპოვნი GCD-ზე, ანუ 10-ზე.

პასუხი მიიღო

წილადის რიცხვზე გამრავლება

წილადის რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი.

მაგალითი 1. გაამრავლე წილადი 1 რიცხვზე.

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 1 რიცხვზე

ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ნახევარი 1 დრო. მაგალითად, თუ პიცას 1-ჯერ იღებთ, მიიღებთ პიცას

გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ თუ გამრავლება და მამრავლი ერთმანეთს ენაცვლება, მაშინ ნამრავლი არ შეიცვლება. თუ გამოთქმა დაიწერება როგორც , მაშინ პროდუქტი კვლავ ტოლი იქნება . ისევ მთელი რიცხვისა და წილადის გამრავლების წესი მუშაობს:

ეს ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ერთეულის ნახევრის აღება. მაგალითად, თუ არის 1 მთლიანი პიცა და ავიღებთ ნახევარს, მაშინ გვექნება პიცა:

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 4-ზე

პასუხი არის არასწორი წილადი. ავიღოთ მთელი ნაწილი:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი მეოთხედი 4-ჯერ აღება. მაგალითად, თუ პიცას 4-ჯერ იღებთ, მიიღებთ ორ მთლიან პიცას.

და თუ გავცვლით მამრავლსა და მამრავლს ადგილებზე, მივიღებთ გამოხატულებას. ის ასევე იქნება 2-ის ტოლი. ეს გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი პიცის აღება ოთხი მთლიანი პიციდან:

რიცხვი, რომელიც მრავლდება წილადზე და წილადის მნიშვნელი, წყდება, თუ მათ აქვთ ერთზე მეტი საერთო გამყოფი.

მაგალითად, გამონათქვამი შეიძლება შეფასდეს ორი გზით.

პირველი გზა. გაამრავლეთ რიცხვი 4 წილადის მრიცხველზე და დატოვეთ წილადის მნიშვნელი უცვლელი:

მეორე გზა. ოთხმაგი გამრავლებული და ოთხმაგი წილადის მნიშვნელში შეიძლება შემცირდეს. თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს ოთხეული 4-ით, რადგან ორი ოთხეულის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის თავად ოთხი:

მივიღეთ იგივე შედეგი 3. ოთხეულის შემცირების შემდეგ მათ ადგილას ახალი რიცხვები ყალიბდება: ორი. მაგრამ ერთის გამრავლება სამზე და შემდეგ ერთზე გაყოფა არაფერს ცვლის. აქედან გამომდინარე, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს მოკლედ:

შემცირება შეიძლება განხორციელდეს მაშინაც კი, როდესაც გადავწყვიტეთ გამოგვეყენებინა პირველი მეთოდი, მაგრამ რიცხვის 4-ისა და მრიცხველის 3-ის გამრავლების ეტაპზე გადავწყვიტეთ გამოვიყენოთ შემცირება:

მაგრამ მაგალითად, გამოხატვის გამოთვლა შესაძლებელია მხოლოდ პირველი გზით - გაამრავლეთ 7 წილადის მნიშვნელზე და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს იმის გამო ხდება, რომ 7 რიცხვს და წილადის მნიშვნელს არ აქვთ ერთზე მეტი საერთო გამყოფი და, შესაბამისად, არ მცირდება.

ზოგიერთი მოსწავლე შეცდომით ამოკლებს გამრავლებულ რიცხვს და წილადის მრიცხველს. თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება. მაგალითად, შემდეგი ჩანაწერი არ არის სწორი:

წილადის შემცირება გულისხმობს იმას და მრიცხველი და მნიშვნელიგაიყოფა იმავე რიცხვზე. გამოხატვის სიტუაციაში, გაყოფა ხორციელდება მხოლოდ მრიცხველში, რადგან ამის დაწერა იგივეა რაც დაწერა. ჩვენ ვხედავთ, რომ გაყოფა სრულდება მხოლოდ მრიცხველში, ხოლო გაყოფა არ ხდება მნიშვნელში.

წილადების გამრავლება

წილადების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები. თუ პასუხი არასწორი წილადია, თქვენ უნდა აირჩიოთ მასში მთელი ნაწილი.

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

პასუხი მიიღო. სასურველია ამ ფრაქციის შემცირება. წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით. შემდეგ საბოლოო ამოხსნა მიიღებს შემდეგ ფორმას:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც პიცის აღება ნახევარი პიცისგან. ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

როგორ ავიღოთ ორი მესამედი ამ ნახევრიდან? ჯერ ეს ნახევარი უნდა გაყოთ სამ თანაბარ ნაწილად:

და აიღეთ ორი ამ სამი ნაწილიდან:

პიცას მივიღებთ. გახსოვდეთ, როგორ გამოიყურება პიცა, დაყოფილია სამ ნაწილად:

ამ პიცის ერთი ნაჭერი და ჩვენ მიერ აღებული ორი ნაჭერი იქნება იგივე ზომები:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვსაუბრობთ იმავე ზომის პიცაზე. აქედან გამომდინარე, გამოხატვის მნიშვნელობა არის

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი არის არასწორი წილადი. ავიღოთ მთელი ნაწილი:

მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი სწორი წილადი აღმოჩნდა, მაგრამ კარგი იქნება თუ შემცირდება. ამ წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 105 და 450 რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე (GCD).

მაშ ასე, ვიპოვოთ 105 და 450 რიცხვების GCD:

ახლა ჩვენ ვყოფთ ჩვენი პასუხის მრიცხველსა და მნიშვნელს GCD-ზე, რომელიც ახლა ვიპოვეთ, ანუ 15-ზე.

მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა

ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. მაგალითად, რიცხვი 5 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც . აქედან ხუთი არ შეიცვლება მის მნიშვნელობას, რადგან გამოთქმა ნიშნავს "რიცხვი ხუთი გაყოფილი ერთზე" და ეს, როგორც მოგეხსენებათ, უდრის ხუთს:

უკუ ნომრები

ახლა ჩვენ გავეცნობით ძალიან საინტერესო თემას მათემატიკაში. მას "უკუ რიცხვები" ჰქვია.

განმარტება. რიცხვზე გადაბრუნებაა არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისასა აძლევს ერთეულს.

მოდით ჩავანაცვლოთ ამ განმარტებაში ცვლადის ნაცვლად ანომერი 5 და შეეცადეთ წაიკითხოთ განმარტება:

რიცხვზე გადაბრუნება 5 არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 5 აძლევს ერთეულს.

შესაძლებელია თუ არა ისეთი რიცხვის პოვნა, რომელიც 5-ზე გამრავლებისას იძლევა ერთს? თურმე შეგიძლია. წარმოვადგენთ ხუთს წილადად:

შემდეგ გაამრავლეთ ეს წილადი თავისთავად, უბრალოდ შეცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით გავამრავლოთ წილადი თავისთავად, მხოლოდ შებრუნებული:

რა იქნება ამის შედეგი? თუ გავაგრძელებთ ამ მაგალითის ამოხსნას, მივიღებთ ერთს:

ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5-ის ინვერსია არის რიცხვი, რადგან როდესაც 5 მრავლდება ერთზე, მიიღება ერთი.

საპასუხო შეიძლება ასევე მოიძებნოს ნებისმიერი სხვა მთელი რიცხვისთვის.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ საპასუხო ნებისმიერი სხვა წილადისთვის. ამისათვის საკმარისია მისი გადაბრუნება.

წილადის გაყოფა რიცხვზე

ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

მოდით თანაბრად გავყოთ ორს შორის. რამდენ პიცას მიიღებს თითოეული?

ჩანს, რომ პიცის ნახევრის გაყოფის შემდეგ მიიღეს ორი თანაბარი ნაჭერი, რომელთაგან თითოეული აყალიბებს პიცას. ასე რომ, ყველა იღებს პიცას.

ეს ძალიან მნიშვნელოვანია ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც კი. გამოკლება ხშირად გამოგადგებათ მაღაზიაში ცვლილებების დათვლისას. მაგალითად, თქვენთან გაქვთ ათასი (1000) რუბლი და თქვენი შესყიდვები შეადგენს 870-ს. თქვენ, ჯერ გადახდის გარეშე, იკითხავთ: "რამდენი ცვლა მექნება?". ასე რომ, 1000-870 იქნება 130. და ასეთი გამოთვლები ბევრია და ამ თემის დაუფლების გარეშე რეალურ ცხოვრებაში რთული იქნება. გამოკლება არის არითმეტიკული ოპერაცია, რომლის დროსაც მეორე რიცხვს აკლებს პირველ რიცხვს და შედეგს მესამე იქნება.

დამატების ფორმულა გამოიხატება შემდეგნაირად: a - b = c

ა- ვასიას თავდაპირველად ვაშლი ჰქონდა.

ბ- პეტიას მიცემული ვაშლების რაოდენობა.

გ- ვასიას გადაცემის შემდეგ ვაშლები აქვს.

ჩანაცვლება ფორმულაში:

რიცხვების გამოკლება

რიცხვების გამოკლება მარტივია ნებისმიერი პირველკლასელისთვის. მაგალითად, 6-ს უნდა გამოვაკლოთ 5. 6-5=1, 6 5-ზე დიდია ერთით, რაც ნიშნავს, რომ პასუხი იქნება ერთი. შესამოწმებლად შეგიძლიათ დაამატოთ 1+5=6. თუ არ იცნობთ დამატებას, შეგიძლიათ წაიკითხოთ ჩვენი.

დიდი რიცხვი იყოფა ნაწილებად, ავიღოთ რიცხვი 1234 და მასში: 4-ერთიანი, 3-ათეული, 2-ასეული, 1-ათასიანი. თუ ერთეულებს გამოაკლებ, მაშინ ყველაფერი მარტივი და მარტივია. მაგრამ ავიღოთ მაგალითი: 14-7. 14 რიცხვში: 1 არის ათი, ხოლო 4 არის ერთეული. 1 ათეული - 10 ერთეული. შემდეგ მივიღებთ 10 + 4-7, მოდით გავაკეთოთ ეს: 10-7 + 4, 10 - 7 \u003d 3 და 3 + 4 \u003d 7. ნაპოვნია სწორი პასუხი!

განვიხილოთ მაგალითი 23 -16. პირველი რიცხვი არის 2 ათეული და 3 ერთეული, ხოლო მეორე არის 1 ათეული და 6 ერთეული. გამოვსახოთ რიცხვი 23, როგორც 10+10+3 და 16, როგორც 10+6, შემდეგ წარმოვადგენთ 23-16, როგორც 10+10+3-10-6. შემდეგ 10-10=0, რჩება 10+3-6, 10-6=4, შემდეგ 4+3=7. პასუხი ნაპოვნია!

ანალოგიურად, ეს კეთდება ასობით და ათასობით

სვეტის გამოკლება

პასუხი: 3411.

წილადების გამოკლება

წარმოიდგინეთ საზამთრო. საზამთრო ერთი მთლიანია და შუაზე გაჭრა, ერთზე ნაკლებს ვიღებთ, არა? ნახევარი ერთეული. როგორ ჩავწერო?

½, ასე აღვნიშნავთ ერთი მთლიანი საზამთროს ნახევარს და თუ საზამთროს გავყოფთ 4 თანაბარ ნაწილად, მაშინ თითოეული მათგანი აღინიშნა ¼. და ა.შ…

როგორ გამოვაკლოთ წილადები

ყველაფერი მარტივია. გამოვაკლოთ 2/4 ¼-ის. გამოკლებისას მნიშვნელოვანია, რომ ერთი წილადის მნიშვნელი (4) ემთხვეოდეს მეორის მნიშვნელს. (1) და (2) მრიცხველებს უწოდებენ.

ასე რომ, გამოვაკლოთ. დარწმუნდით, რომ მნიშვნელები იგივეა. შემდეგ გამოვაკლებთ მრიცხველებს (2-1)/4, ასე რომ მივიღებთ 1/4.

გამოკლების ლიმიტები

ლიმიტების გამოკლება არ არის რთული. აქ საკმარისია მარტივი ფორმულა, რომელიც ამბობს, რომ თუ ფუნქციების სხვაობის ზღვარი მიდრეკილია a რიცხვისკენ, მაშინ ეს უდრის ამ ფუნქციების სხვაობას, რომელთაგან თითოეულის ზღვარი მიდრეკილია a რიცხვისკენ.

შერეული რიცხვების გამოკლება

შერეული რიცხვი არის მთელი რიცხვი წილადი ნაწილით. ანუ თუ მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია, მაშინ წილადი ერთზე ნაკლებია, ხოლო თუ მრიცხველი მნიშვნელზე მეტია, მაშინ წილადი ერთზე მეტია. შერეული რიცხვი არის წილადი, რომელიც აღემატება ერთს და აქვს მთელი რიცხვი ხაზგასმული, მოდით გამოვიყენოთ მაგალითი:

შერეული რიცხვების გამოკლებისთვის საჭიროა:

მიიტანეთ წილადები საერთო მნიშვნელთან.

შეიყვანეთ მთელი რიცხვი მრიცხველში

გააკეთეთ გაანგარიშება

გამოკლების გაკვეთილი

გამოკლება არის არითმეტიკული ოპერაცია, რომლის დროსაც იძებნება 2 რიცხვის სხვაობა და პასუხები მესამეა.შეკრების ფორმულა გამოიხატება შემდეგნაირად: a - b = c.

მაგალითები და ამოცანები შეგიძლიათ იხილოთ ქვემოთ.

ზე წილადის გამოკლებაუნდა გვახსოვდეს, რომ:

წილადის 7/4-ის გათვალისწინებით, მივიღებთ, რომ 7 მეტია 4-ზე, რაც ნიშნავს, რომ 7/4 მეტია 1-ზე. როგორ ავირჩიოთ მთელი ნაწილი? (4+3)/4, მაშინ მივიღებთ წილადების ჯამს 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. შედეგი: ერთი მთლიანი, სამი მეოთხედი.

გამოკლება 1 კლასი

პირველი კლასი არის მოგზაურობის დასაწყისი, საფუძვლების სწავლისა და სწავლის დასაწყისი, გამოკლების ჩათვლით. განათლება უნდა ჩატარდეს თამაშის სახით. ყოველთვის პირველ კლასში, გამოთვლები იწყება ვაშლის, ტკბილეულის, მსხლის მარტივი მაგალითებით. ამ მეთოდს არა უშედეგოდ იყენებენ, არამედ იმიტომ, რომ ბავშვები ბევრად უფრო ინტერესდებიან, როცა მათ თამაშობენ. და ეს არ არის ერთადერთი მიზეზი. ბავშვები ცხოვრებაში ძალიან ხშირად ხედავდნენ ვაშლს, ტკბილეულს და მსგავსს და გადატანილობასა და რაოდენობას უმკლავდებოდნენ, ამიტომ ასეთი ნივთების დამატების სწავლება არ გაუჭირდებათ.

პირველკლასელებისთვის გამოკლების ამოცანები შეიძლება გამოვიდეს მთელი ღრუბელით, მაგალითად:

დავალება 1.დილით, ტყეში სეირნობისას, ზღარბმა 4 სოკო იპოვა, საღამოს კი, როცა სახლში მივიდა, ზღარბმა სადილზე 2 სოკო შეჭამა. რამდენი სოკო დარჩა?

დავალება 2.მაშა მაღაზიაში წავიდა პურის საყიდლად. დედამ მაშას 10 მანეთი მისცა, პური კი 7 მანეთი ღირს. რამდენი ფული უნდა მოიტანოს მაშამ სახლში?

დავალება 3.დილით მაღაზიაში დახლზე 7 კილოგრამი ყველი იდო. ლანჩამდე სტუმრებმა 5 კილოგრამი იყიდეს. რამდენი კილოგრამი დარჩა?

დავალება 4.რომამ ტკბილეული, რომელიც მამამ მისცა ეზოში გამოიღო. რომას ჰქონდა 9 კანფეტი, 4 კი აჩუქა მეგობარს ნიკიტას, რამდენი კანფეტი დარჩა რომას?

პირველკლასელები ძირითადად წყვეტენ ამოცანებს, რომლებშიც პასუხი არის რიცხვი 1-დან 10-მდე.

გამოკლება 2 კლასი

მეორე კლასი უკვე უფრო მაღალია ვიდრე პირველი და, შესაბამისად, ამოხსნის მაგალითებიც. ასე რომ, დავიწყოთ:

რიცხვითი დავალებები:

ერთნიშნა რიცხვი:

1. 10 - 5 =
2. 7 - 2 =
3. 8 - 6 =
4. 9 - 1 =
5. 9 - 3 - 4 =
6. 8 - 2 - 3 =
7. 9 - 9 - 0 =
8. 4 - 1 - 3 =

ორმაგი ფიგურები:

1. 10 - 10 =
2. 17 - 12 =
3. 19 - 7 =
4. 15 - 8 =
5. 13 - 7 =
6. 64 - 37 =
7. 55 - 53 =
8. 43 - 12 =
9. 34 - 25 =
10. 51 - 17 - 18 =
11. 47 - 12 - 19 =
12. 31 - 19 - 2 =
13. 99 - 55 - 33 =

ტექსტის პრობლემები

გამოკლება 3-4 კლასი

გამოკლების არსი 3-4 კლასებში არის გამოკლება დიდი რიცხვების სვეტში.

განვიხილოთ მაგალითი 4312-901. დასაწყისისთვის დავწეროთ რიცხვები ერთმანეთის ქვეშ ისე, რომ 901 რიცხვიდან ერთეული იყოს 2-ზე, 0 1-ზე, 9 3-ზე.

შემდეგ გამოვაკლებთ მარჯვნიდან მარცხნივ, ანუ რიცხვ 2-ს, რიცხვს 1. ვიღებთ ერთეულს:

სამიდან ცხრას რომ გამოვაკლოთ, 1 ათი უნდა ისესხოთ. ანუ 4-ს გამოაკელი 1 ათეული. 10+3-9=4.

და რადგან 4 აიღო 1, მაშინ 4-1 = 3

პასუხი: 3411.

გამოკლება მე-5 კლასი

მეხუთე კლასი არის სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე რთულ წილადებზე მუშაობის დრო. გავიმეოროთ წესები: 1. მრიცხველებს აკლებენ და არა მნიშვნელებს.

ასე რომ, გამოვაკლოთ. დარწმუნდით, რომ მნიშვნელები იგივეა. შემდეგ გამოვაკლებთ მრიცხველებს (2-1)/4, ასე რომ მივიღებთ 1/4. წილადების შეკრებისას მხოლოდ მრიცხველებს აკლებს!

2. გამოკლებისთვის, დარწმუნდით, რომ მნიშვნელები ტოლია.

თუ წილადებს შორის სხვაობაა, მაგალითად, 1/2 და 1/3, მაშინ მოგიწევთ არა ერთი წილადის, არამედ ორივეს გამრავლება, რათა საერთო მნიშვნელამდე მიიყვანოთ. ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზაა პირველი წილადის გამრავლება მეორის მნიშვნელზე, ხოლო მეორე წილადის პირველის მნიშვნელზე, მივიღებთ: 3/6 და 2/6. დაამატეთ (3-2)/6 და მიიღეთ 1/6.

3. წილადის შემცირება ხდება მრიცხველისა და მნიშვნელის იმავე რიცხვზე გაყოფით.

წილადი 2/4 შეიძლება შემცირდეს ½ ფორმამდე. რატომ? რა არის წილადი? ½ \u003d 1: 2 და თუ 2 გაყოფთ 4-ზე, მაშინ ეს იგივეა, რაც 1-ის 2-ზე გაყოფა. ამიტომ, წილადი 2/4 \u003d 1/2.

4. თუ წილადი ერთზე მეტია, მაშინ შეგიძლიათ აირჩიოთ მთელი ნაწილი.

წილადის 7/4-ის გათვალისწინებით, მივიღებთ, რომ 7 მეტია 4-ზე, რაც ნიშნავს, რომ 7/4 მეტია 1-ზე. როგორ ავირჩიოთ მთელი ნაწილი? (4+3)/4, მაშინ მივიღებთ წილადების ჯამს 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. შედეგი: ერთი მთლიანი, სამი მეოთხედი.

გამოკლების პრეზენტაცია

პრეზენტაციის ბმული მოცემულია ქვემოთ. პრეზენტაცია მოიცავს მეექვსე კლასის გამოკლების საფუძვლებს: პრეზენტაციის ჩამოტვირთვა

შეკრებისა და გამოკლების პრეზენტაცია

შეკრებისა და გამოკლების მაგალითები

თამაშები გონებრივი დათვლის განვითარებისთვის

სკოლკოვოს რუსი მეცნიერების მონაწილეობით შემუშავებული სპეციალური საგანმანათლებლო თამაშები ხელს შეუწყობს ზეპირი დათვლის უნარების გაუმჯობესებას საინტერესო თამაშის ფორმით.

თამაში "სწრაფი ქულა"

თამაში "სწრაფი დათვლა" დაგეხმარებათ გააუმჯობესოთ თქვენი ფიქრი. თამაშის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ თქვენ წარმოდგენილ სურათზე თქვენ უნდა აირჩიოთ პასუხი "დიახ" ან "არა" კითხვაზე "არსებობს 5 იდენტური ხილი?". მიჰყევით თქვენს მიზანს და ეს თამაში დაგეხმარებათ ამაში.

თამაში "მათემატიკური მატრიცები"

"მათემატიკური მატრიცები" დიდი ტვინის ვარჯიში ბავშვებისთვის, რაც დაგეხმარებათ განავითაროთ მისი გონებრივი მუშაობა, გონებრივი დათვლა, სწორი კომპონენტების სწრაფი ძიება, ყურადღებიანობა. თამაშის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ მოთამაშემ უნდა მოძებნოს წყვილი შემოთავაზებული 16 ნომრიდან, რომელიც მისცემს მოცემულ რიცხვს მთლიანობაში, მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ სურათზე ეს რიცხვია "29", ხოლო სასურველი წყვილი არის "5". ”და ”24”.

თამაში "რიცხობრივი გაშუქება"

თამაში „რიცხვების დაფარვა“ დატვირთავს თქვენს მეხსიერებას ამ ვარჯიშით ვარჯიშის დროს.

თამაშის არსი არის ნომრის დამახსოვრება, რომლის დამახსოვრებას დაახლოებით სამი წამი სჭირდება. მაშინ თქვენ უნდა ითამაშოთ. თამაშის ეტაპების გავლისას რიცხვების რაოდენობა იზრდება, დაიწყეთ ორით და გააგრძელეთ.

თამაში "მათემატიკური შედარება"

მშვენიერი თამაში, რომლითაც შეგიძლიათ დაისვენოთ სხეული და დაძაბოთ ტვინი. სკრინშოტი გვიჩვენებს ამ თამაშის მაგალითს, რომელშიც იქნება შეკითხვა სურათთან დაკავშირებული და თქვენ მოგიწევთ პასუხის გაცემა. დრო შეზღუდულია. რამდენჯერ შეგიძლიათ პასუხის გაცემა?

თამაში "გამოიცანი ოპერაცია"

თამაში „გამოიცანი ოპერაცია“ ავითარებს აზროვნებას და მეხსიერებას. თამაშის მთავარი არსი არის მათემატიკური ნიშნის არჩევა ისე, რომ თანასწორობა იყოს ჭეშმარიტი. ეკრანზე მოცემულია მაგალითები, დააკვირდით და დააყენეთ სასურველი "+" ან "-" ნიშანი, რათა თანასწორობა იყოს ჭეშმარიტი. ნიშანი "+" და "-" განთავსებულია სურათის ბოლოში, აირჩიეთ სასურველი ნიშანი და დააჭირეთ სასურველ ღილაკს. თუ სწორად უპასუხებთ, აგროვებთ ქულებს და აგრძელებთ თამაშს.

თამაში "გამარტივება"

თამაში „გამარტივება“ ავითარებს აზროვნებას და მეხსიერებას. თამაშის მთავარი არსი არის მათემატიკური ოპერაციის სწრაფად შესრულება. დაფაზე ეკრანზე დახატულია მოსწავლე და მოცემულია მათემატიკური მოქმედება, მოსწავლემ უნდა გამოთვალოს ეს მაგალითი და დაწეროს პასუხი. ქვემოთ მოცემულია სამი პასუხი, დათვალეთ და დააწკაპუნეთ თქვენთვის საჭირო რიცხვზე მაუსით. თუ სწორად უპასუხებთ, აგროვებთ ქულებს და აგრძელებთ თამაშს.

თამაში "ვიზუალური გეომეტრია"

თამაში „ვიზუალური გეომეტრია“ ავითარებს აზროვნებას და მეხსიერებას. თამაშის მთავარი არსი არის სწრაფად დათვალოთ დაჩრდილული ობიექტების რაოდენობა და შეარჩიოთ იგი პასუხების სიიდან. ამ თამაშში ლურჯი კვადრატები ნაჩვენებია ეკრანზე რამდენიმე წამის განმავლობაში, ისინი სწრაფად უნდა დაითვალონ, შემდეგ დახურონ. ცხრილის ქვემოთ ოთხი რიცხვია დაწერილი, თქვენ უნდა აირჩიოთ ერთი სწორი ნომერი და დააწკაპუნოთ მასზე მაუსის საშუალებით. თუ სწორად უპასუხებთ, აგროვებთ ქულებს და აგრძელებთ თამაშს.

ყულაბის თამაში

თამაში "ყულაბა" ავითარებს აზროვნებას და მეხსიერებას. თამაშის მთავარი არსი არის აირჩიო რომელ ყულაბას აქვს მეტი ფული.ამ თამაშში მოცემულია ოთხი ყულაბა, თქვენ უნდა დათვალოთ რომელ ყულაბას აქვს მეტი ფული და მაუსით აჩვენოთ ეს ყულაბა. თუ სწორად უპასუხებთ, მაშინ აგროვებთ ქულებს და აგრძელებთ თამაშს.

ფენომენალური გონებრივი არითმეტიკის განვითარება

ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ აისბერგის წვერი, რათა უკეთ გავიგოთ მათემატიკა - დარეგისტრირდით ჩვენს კურსზე: დააჩქარეთ გონებრივი არითმეტიკა - არა გონებრივი არითმეტიკა.

კურსიდან თქვენ ისწავლით არა მხოლოდ ათობით ხრიკს გამარტივებული და სწრაფი გამრავლების, შეკრების, გამრავლების, გაყოფის, პროცენტების გამოთვლისთვის, არამედ შეიმუშავებთ მათ სპეციალურ დავალებებსა და საგანმანათლებლო თამაშებში! გონებრივი დათვლაც დიდ ყურადღებას და კონცენტრაციას მოითხოვს, რომლებიც აქტიურად ვარჯიშობენ საინტერესო პრობლემების გადაჭრაში.

ტვინის ფიტნესის საიდუმლოებები, ჩვენ ვავარჯიშებთ მეხსიერებას, ყურადღებას, აზროვნებას, დათვლას

ტვინს, ისევე როგორც სხეულს, სჭირდება ვარჯიში. ფიზიკური ვარჯიში აძლიერებს სხეულს, გონებრივი ვარჯიში ავითარებს ტვინს. 30 დღიანი სასარგებლო ვარჯიშები და საგანმანათლებლო თამაშები მეხსიერების, კონცენტრაციის, ინტელექტისა და სიჩქარის კითხვის განვითარებისთვის, გააძლიერებს ტვინს, აქცევს მას მყარ თხილად.

ფული და მილიონერის აზროვნება

რატომ არის ფულის პრობლემები? ამ კურსში ჩვენ დეტალურად ვუპასუხებთ ამ კითხვას, ღრმად ჩავხედავთ პრობლემას, განვიხილავთ ფულთან ურთიერთობას ფსიქოლოგიური, ეკონომიკური და ემოციური თვალსაზრისით. კურსიდან გაიგებთ, თუ რა უნდა გააკეთოთ, რომ მოაგვაროთ ყველა თქვენი ფინანსური პრობლემა, დაიწყოთ ფულის დაზოგვა და მომავალში ინვესტირება.

ფულის ფსიქოლოგიის ცოდნა და მათთან მუშაობა ადამიანს მილიონერად აქცევს. შემოსავლის ზრდის მქონე ადამიანების 80% იღებს მეტ სესხს და კიდევ უფრო ღარიბი ხდება. მეორეს მხრივ, თვითნაკეთი მილიონერები 3-5 წელიწადში ისევ მილიონებს გამოიმუშავებენ, თუ ნულიდან დაიწყებენ. ეს კურსი გვასწავლის, თუ როგორ სწორად გაანაწილოთ შემოსავალი და შეამციროთ ხარჯები, გაძლევთ მოტივაციას ისწავლოთ და მიაღწიოთ მიზნებს, გასწავლით როგორ გააკეთოთ ინვესტიცია და ამოიცნოთ თაღლითობა.

წილადები ჩვეულებრივი რიცხვებია, მათი დამატება და გამოკლებაც შესაძლებელია. მაგრამ იმის გამო, რომ მათ აქვთ მნიშვნელი, აქ უფრო რთული წესებია საჭირო, ვიდრე მთელი რიცხვებისთვის.

განვიხილოთ უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც არის ორი წილადი ერთი და იგივე მნიშვნელით. შემდეგ:

იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, დაამატეთ მათი მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი.

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის აუცილებელია პირველი წილადის მრიცხველს გამოვაკლოთ მეორის მრიცხველი და ისევ დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი.

თითოეული გამოხატვის შიგნით, წილადების მნიშვნელები ტოლია. წილადების შეკრებისა და გამოკლების განმარტებით ვიღებთ:

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული: უბრალოდ დაამატეთ ან გამოაკლეთ მრიცხველები - და ეს არის ის.

მაგრამ ასეთ მარტივ ქმედებებშიც კი ადამიანები ახერხებენ შეცდომებს. ყველაზე ხშირად მათ ავიწყდებათ, რომ მნიშვნელი არ იცვლება. მაგალითად, მათი დამატებისას ისინი ასევე იწყებენ შეკრებას და ეს ფუნდამენტურად არასწორია.

მნიშვნელების დამატების მავნე ჩვევისგან თავის დაღწევა საკმაოდ მარტივია. შეეცადეთ იგივე გააკეთოთ გამოკლებისას. შედეგად, მნიშვნელი იქნება ნული, ხოლო წილადი (მოულოდნელად!) დაკარგავს მნიშვნელობას.

ამიტომ ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: შეკრება-გამოკლებისას მნიშვნელი არ იცვლება!

ასევე, ბევრი ადამიანი უშვებს შეცდომებს რამდენიმე უარყოფითი წილადის დამატებისას. დაბნეულობაა ნიშნებთან: სად დავაყენოთ მინუსი და სად - პლუსი.

ეს პრობლემა ასევე ძალიან მარტივად მოსაგვარებელია. საკმარისია გვახსოვდეს, რომ მინუსი წილადის ნიშანამდე ყოველთვის შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე - და პირიქით. და რა თქმა უნდა, არ დაგავიწყდეთ ორი მარტივი წესი:

1. პლუს ჯერ მინუსი იძლევა მინუსს;
2. ორი უარყოფითი ადასტურებს დადებითს.

გავაანალიზოთ ეს ყველაფერი კონკრეტული მაგალითებით:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

პირველ შემთხვევაში ყველაფერი მარტივია, მეორეში კი წილადების მრიცხველებს მინუსებს დავამატებთ:

რა მოხდება, თუ მნიშვნელები განსხვავებულია

თქვენ არ შეგიძლიათ პირდაპირ დაამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. ყოველ შემთხვევაში, ეს მეთოდი ჩემთვის უცნობია. თუმცა, ორიგინალური წილადები ყოველთვის შეიძლება გადაიწეროს ისე, რომ მნიშვნელები გახდეს იგივე.

წილადების გადაქცევის მრავალი გზა არსებობს. სამი მათგანი განიხილება გაკვეთილზე " წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან", ამიტომ მათზე აქ არ ვისაუბრებთ. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

პირველ შემთხვევაში წილადებს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან „ჯვარედინი“ მეთოდით. მეორეში ჩვენ ვეძებთ LCM-ს. გაითვალისწინეთ, რომ 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. ბოლო ფაქტორები ამ გაფართოებებში ტოლია, ხოლო პირველი - თანაპირობა. ამიტომ, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

რა მოხდება, თუ წილადს აქვს მთელი რიცხვი

შემიძლია გაგახარო: წილადების სხვადასხვა მნიშვნელი არ არის უდიდესი ბოროტება. გაცილებით მეტი შეცდომა ჩნდება, როდესაც მთელი ნაწილი მონიშნულია წილადებით.

რა თქმა უნდა, ასეთი წილადებისთვის არსებობს საკუთარი შეკრების და გამოკლების ალგორითმები, მაგრამ ისინი საკმაოდ რთულია და მოითხოვს ხანგრძლივ შესწავლას. უმჯობესია გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული მარტივი დიაგრამა:

1. გადააქციეთ ყველა წილადი, რომელიც შეიცავს მთელ რიცხვს არასწორად. ვიღებთ ნორმალურ ტერმინებს (თუნდაც სხვადასხვა მნიშვნელით), რომლებიც გამოითვლება ზემოთ განხილული წესების მიხედვით;
2. სინამდვილეში, გამოთვალეთ მიღებული წილადების ჯამი ან განსხვავება. შედეგად, ჩვენ პრაქტიკულად ვიპოვით პასუხს;
3. თუ ეს არის ყველაფერი, რაც საჭირო იყო ამოცანაში, ჩვენ ვასრულებთ შებრუნებულ ტრანსფორმაციას, ე.ი. ჩვენ ვაშორებთ არასწორ წილადს, ხაზს ვუსვამთ მასში მთელ ნაწილს.

არასწორ წილადებზე გადასვლისა და მთელი ნაწილის გამოკვეთის წესები დეტალურად არის აღწერილი გაკვეთილზე „რა არის რიცხვითი წილადი“. თუ არ გახსოვთ, აუცილებლად გაიმეორეთ. მაგალითები:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

აქ ყველაფერი მარტივია. თითოეული გამოხატვის შიგნით მნიშვნელები ტოლია, ამიტომ რჩება ყველა წილადის არასწორად გადაქცევა და დათვლა. Ჩვენ გვაქვს:

გამოთვლების გასამარტივებლად, მე გამოვტოვე რამდენიმე აშკარა ნაბიჯი ბოლო მაგალითებში.

მცირე შენიშვნა ბოლო ორ მაგალითზე, სადაც გამოკლებულია წილადები მონიშნული მთელი ნაწილით. მინუსი მეორე წილადის წინ ნიშნავს, რომ აკლდება მთელი წილადი და არა მხოლოდ მისი მთელი ნაწილი.

კიდევ ერთხელ გადაიკითხე ეს წინადადება, გადახედე მაგალითებს და დაფიქრდი. აქ დამწყები უამრავ შეცდომას უშვებენ. მათ მოსწონთ ასეთი დავალებების მიცემა საკონტროლო სამუშაოზე. მათ ასევე არაერთხელ შეხვდებით ამ გაკვეთილის ტესტებში, რომელიც მალე გამოქვეყნდება.

რეზიუმე: გამოთვლის ზოგადი სქემა

დასასრულს, მე მივცემ ზოგად ალგორითმს, რომელიც დაგეხმარებათ იპოვოთ ორი ან მეტი წილადის ჯამი ან განსხვავება:

1. თუ მთელი რიცხვი მონიშნულია ერთ ან რამდენიმე წილადში, გადააკეთეთ ეს წილადები არასწორად;
2. მიიტანეთ ყველა წილადი საერთო მნიშვნელამდე თქვენთვის მოსახერხებელ გზაზე (თუ, რა თქმა უნდა, პრობლემების შემდგენელებმა ეს არ გააკეთეს);
3. მიღებული რიცხვების შეკრება ან გამოკლება ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესების მიხედვით;
4. შეძლებისდაგვარად შეამცირეთ შედეგი. თუ წილადი არასწორი აღმოჩნდა, აირჩიეთ მთელი ნაწილი.

დაიმახსოვრეთ, რომ სჯობს მთელი ნაწილი გამოყოთ ამოცანის ბოლოს, პასუხის დაწერამდე.