ფრჩხილების მთავარი ფუნქციაა მნიშვნელობების გამოთვლისას მოქმედებების თანმიმდევრობის შეცვლა. მაგალითად, რიცხვით გამოსახულებაში \(5 3+7\) ჯერ გამოითვლება გამრავლება, შემდეგ კი შეკრება: \(5 3+7 =15+7=22\). მაგრამ გამონათქვამში \(5·(3+7)\) ჯერ ფრჩხილებში შეკრება გამოითვლება და მხოლოდ ამის შემდეგ გამრავლება: \(5·(3+7)=5·10=50\).
მაგალითი.
გააფართოვეთ ფრჩხილი: \(-(4მ+3)\).
გადაწყვეტილება
: \(-(4მ+3)=-4მ-3\).
მაგალითი.
გააფართოვეთ ფრჩხილი და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
გადაწყვეტილება
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
მაგალითი.
გააფართოვეთ ფრჩხილები \(5(3-x)\).
გადაწყვეტილება
: ჩვენ გვაქვს \(3\) და \(-x\) ფრჩხილში, ხოლო ხუთი ფრჩხილის წინ. ეს ნიშნავს, რომ ფრჩხილის თითოეული წევრი მრავლდება \ (5 \)-ზე - შეგახსენებთ ამას რიცხვსა და ფრჩხილს შორის გამრავლების ნიშანი მათემატიკაში არ იწერება ჩანაწერების ზომის შესამცირებლად.
მაგალითი.
გააფართოვეთ ფრჩხილები \(-2(-3x+5)\).
გადაწყვეტილება
: როგორც წინა მაგალითში, ფრჩხილი \(-3x\) და \(5\) მრავლდება \(-2\-ზე).
მაგალითი.
გაამარტივე გამოთქმა: \(5(x+y)-2(x-y)\).
გადაწყვეტილება
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
რჩება ბოლო სიტუაციის განხილვა.
ფრჩხილების ფრჩხილებზე გამრავლებისას, პირველი ფრჩხილის ყოველი წევრი მრავლდება მეორის თითოეულ წევრზე:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
მაგალითი.
გააფართოვეთ ფრჩხილები \((2-x)(3x-1)\).
გადაწყვეტილება
: ჩვენ გვაქვს ფრჩხილების პროდუქტი და მისი გახსნა დაუყოვნებლივ შესაძლებელია ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით. მაგრამ იმისათვის, რომ არ დავიბნეთ, მოდით ყველაფერი გავაკეთოთ ეტაპობრივად.
ნაბიჯი 1. ამოიღეთ პირველი ფრჩხილი - მისი თითოეული წევრი მრავლდება მეორე ფრჩხილზე:
ნაბიჯი 2. გააფართოვეთ სამაგრის პროდუქტები ზემოთ აღწერილი ფაქტორით:
- ჯერ პირველი...
მერე მეორე.
ნაბიჯი 3. ახლა ვამრავლებთ და მოვიყვანთ მსგავს ტერმინებს:
არ არის აუცილებელი ყველა ტრანსფორმაციის დეტალურად დახატვა, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაამრავლოთ. მაგრამ თუ მხოლოდ ფრჩხილების გახსნას სწავლობ - დაწერე დეტალურად, შეცდომის დაშვების შანსი ნაკლები იქნება.
შენიშვნა მთელი განყოფილებისთვის.სინამდვილეში, თქვენ არ გჭირდებათ ოთხივე წესის დამახსოვრება, საჭიროა მხოლოდ ერთი, ეს ერთი: \(c(a-b)=ca-cb\) . რატომ? რადგან თუ c-ის ნაცვლად ერთს შევცვლით, მივიღებთ წესს \((a-b)=a-b\) . და თუ ჩავანაცვლებთ მინუს ერთის, მივიღებთ წესს \(-(a-b)=-a+b\) . თუ c-ის ნაცვლად სხვა ფრჩხილს ჩაანაცვლებთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ბოლო წესი.
ფრჩხილები ფრჩხილებში
ზოგჯერ პრაქტიკაში არის პრობლემები სხვა ფრჩხილებში მოთავსებულ ფრჩხილებთან დაკავშირებით. აი ასეთი დავალების მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება \(7x+2(5-(3x+y))\).
ამ ამოცანებში წარმატების მისაღწევად, თქვენ უნდა:
- ყურადღებით გააცნობიერე ფრჩხილების ბუდე - რომელი რომელშია;
- გახსენით ფრჩხილები თანმიმდევრულად, დაწყებული, მაგალითად, ყველაზე შიდადან.
მნიშვნელოვანია ერთ-ერთი სამაგრის გახსნისას არ შეეხოთ დანარჩენ გამონათქვამს, უბრალოდ გადაწერე როგორც არის.
მაგალითისთვის ავიღოთ ზემოთ მოცემული დავალება.
მაგალითი.
გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(7x+2(5-(3x+y))\).
გადაწყვეტილება:
მაგალითი.
გააფართოვეთ ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი ტერმინები \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
გადაწყვეტილება
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
ეს არის ფრჩხილების სამმაგი ბუდე. ჩვენ ვიწყებთ ყველაზე შიგნიდან (მონიშნულია მწვანეში). ფრჩხილის წინ არის პლუსი, ამიტომ ის უბრალოდ ამოღებულია. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
ახლა თქვენ უნდა გახსნათ მეორე ფრჩხილი, შუალედური. მაგრამ მანამდე ჩვენ გავამარტივებთ გამოხატვას ამ მეორე ფრჩხილში მსგავსი ტერმინების მოჩვენებითი გამოსახვით. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
ახლა ჩვენ ვხსნით მეორე ფრჩხილს (მონიშნულია ლურჯად). ფრჩხილის წინ არის მულტიპლიკატორი - ამიტომ ფრჩხილებში ყოველი წევრი მრავლდება მასზე. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
და გახსენით ბოლო ფრჩხილები. ფრჩხილამდე მინუს - ასე რომ, ყველა ნიშანი შებრუნებულია. |
||
ფრჩხილის გახსნა არის ძირითადი უნარი მათემატიკაში. ამ უნარის გარეშე შეუძლებელია მე-8 და მე-9 კლასებში სამზე მაღალი შეფასება. ამიტომ გირჩევთ ამ თემის კარგად გაგებას.
ამ ვიდეოში გავაანალიზებთ წრფივი განტოლებების მთელ კრებულს, რომლებიც ამოხსნილია ერთი და იგივე ალგორითმის გამოყენებით - ამიტომაც მათ უმარტივესებს უწოდებენ.
დასაწყისისთვის განვსაზღვროთ: რა არის წრფივი განტოლება და რომელს უნდა ვუწოდოთ უმარტივესი?
წრფივი განტოლება არის ის, რომელშიც მხოლოდ ერთი ცვლადია და მხოლოდ პირველ ხარისხში.
უმარტივესი განტოლება ნიშნავს კონსტრუქციას:
ყველა სხვა წრფივი განტოლება მცირდება უმარტივესამდე ალგორითმის გამოყენებით:
- გახსენით ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში;
- ცვლადის შემცველი ტერმინების გადატანა ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს, ხოლო ტერმინები ცვლადის გარეშე მეორე მხარეს;
- მიიტანეთ მსგავსი ტერმინები ტოლობის ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ;
- მიღებული განტოლება გავყოთ $x$ ცვლადის კოეფიციენტზე.
რა თქმა უნდა, ეს ალგორითმი ყოველთვის არ ეხმარება. ფაქტია, რომ ზოგჯერ ყველა ამ მაქინაციების შემდეგ $x$ ცვლადის კოეფიციენტი ნულის ტოლი აღმოჩნდება. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ორი ვარიანტი:
- განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები. მაგალითად, როცა იღებთ $0\cdot x=8$-ს მსგავსს, ე.ი. მარცხნივ არის ნული, ხოლო მარჯვნივ არის არანულოვანი რიცხვი. ქვემოთ მოცემულ ვიდეოში განვიხილავთ რამდენიმე მიზეზს, რის გამოც შესაძლებელია ეს სიტუაცია.
- გამოსავალი არის ყველა რიცხვი. ერთადერთი შემთხვევა, როდესაც ეს შესაძლებელია, არის განტოლება დაყვანილი $0\cdot x=0$ კონსტრუქციამდე. სავსებით ლოგიკურია, რაც არ უნდა $x$-ს ჩავანაცვლოთ, მაინც გამოვა "ნული უდრის ნულს", ე.ი. სწორი რიცხვითი ტოლობა.
ახლა კი ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ყველაფერი რეალური პრობლემების მაგალითზე.
განტოლებების ამოხსნის მაგალითები
დღეს ჩვენ საქმე გვაქვს წრფივ განტოლებებთან და მხოლოდ უმარტივესთან. ზოგადად, წრფივი განტოლება ნიშნავს ნებისმიერ ტოლობას, რომელიც შეიცავს ზუსტად ერთ ცვლადს და ის მხოლოდ პირველ ხარისხამდე მიდის.
ასეთი კონსტრუქციები წყდება დაახლოებით იმავე გზით:
- უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში (როგორც ჩვენს ბოლო მაგალითში);
- შემდეგ მოიყვანეთ მსგავსი
- ბოლოს გამოვყოთ ცვლადი, ე.ი. ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია ცვლადთან - ტერმინები, რომლებშიც ის შეიცავს - გადადის ერთ მხარეს, ხოლო ყველაფერი, რაც მის გარეშე რჩება, მეორე მხარეს.
შემდეგ, როგორც წესი, თქვენ უნდა მოიტანოთ მსგავსი ტოლობის თითოეულ მხარეს და ამის შემდეგ რჩება მხოლოდ კოეფიციენტზე გაყოფა "x"-ზე და მივიღებთ საბოლოო პასუხს.
თეორიულად, ეს გამოიყურება ლამაზი და მარტივი, მაგრამ პრაქტიკაში, გამოცდილ საშუალო სკოლის მოსწავლეებსაც კი შეუძლიათ შეურაცხმყოფელი შეცდომები დაუშვან საკმაოდ მარტივ ხაზოვან განტოლებებში. როგორც წესი, შეცდომებს უშვებენ ან ფრჩხილების გახსნისას, ან „პლუსების“ და „მინუსების“ დათვლისას.
გარდა ამისა, ხდება ისე, რომ წრფივ განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები, ან ისე, რომ ამონახსნი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ე.ი. ნებისმიერი ნომერი. ჩვენ გავაანალიზებთ ამ დახვეწილობას დღევანდელ გაკვეთილზე. მაგრამ ჩვენ დავიწყებთ, როგორც უკვე მიხვდით, უმარტივესი ამოცანებით.
მარტივი წრფივი განტოლებების ამოხსნის სქემა
დასაწყისისთვის, ნება მომეცით კიდევ ერთხელ დავწერო უმარტივესი წრფივი განტოლებების ამოხსნის მთელი სქემა:
- გააფართოვეთ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.
- გამოყავით ცვლადები, ე.ი. ყველაფერი, რაც შეიცავს "x"-ს, გადადის ერთ მხარეს, ხოლო "x"-ის გარეშე - მეორეზე.
- წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.
- ყველაფერს ვყოფთ კოეფიციენტზე "x".
რა თქმა უნდა, ეს სქემა ყოველთვის არ მუშაობს, მას აქვს გარკვეული დახვეწილობა და ხრიკები და ახლა ჩვენ გავეცნობით მათ.
მარტივი წრფივი განტოლებების რეალური მაგალითების ამოხსნა
დავალება #1
პირველ ეტაპზე ჩვენ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ ისინი არ არიან ამ მაგალითში, ამიტომ ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ნაბიჯს. მეორე ეტაპზე ჩვენ უნდა გამოვყოთ ცვლადები. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: საუბარია მხოლოდ ინდივიდუალურ პირობებზე. Მოდი დავწეროთ:
ჩვენ ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს მარცხნივ და მარჯვნივ, მაგრამ ეს უკვე გაკეთდა აქ. მაშასადამე, მივდივართ მეოთხე საფეხურზე: გავყოთ ფაქტორზე:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
აქ მივიღეთ პასუხი.
დავალება #2
ამ ამოცანაში შეგვიძლია დავაკვირდეთ ფრჩხილებს, ამიტომ გავაფართოვოთ ისინი:
როგორც მარცხნივ, ასევე მარჯვნივ, ჩვენ ვხედავთ დაახლოებით ერთნაირ კონსტრუქციას, მაგრამ ვიმოქმედოთ ალგორითმის მიხედვით, ე.ი. სეკვესტრის ცვლადები:
აქ არის რამდენიმე მსგავსი:
რა ფესვებზე მუშაობს ეს? პასუხი: ნებისმიერისთვის. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავწეროთ, რომ $x$ არის ნებისმიერი რიცხვი.
დავალება #3
მესამე წრფივი განტოლება უკვე უფრო საინტერესოა:
\[\ მარცხნივ(6-x \მარჯვნივ)+\მარცხნივ(12+x \მარჯვნივ)-\მარცხნივ(3-2x \მარჯვნივ)=15\]
აქ რამდენიმე ფრჩხილია, მაგრამ არაფრით არ მრავლდება, უბრალოდ, წინ სხვადასხვა ნიშნები აქვთ. მოდით დავშალოთ ისინი:
ჩვენ ვასრულებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილ მეორე საფეხურს:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
მოდით გამოვთვალოთ:
ჩვენ ვასრულებთ ბოლო საფეხურს - ყველაფერს ვყოფთ კოეფიციენტზე "x"-ზე:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
რა უნდა გვახსოვდეს წრფივი განტოლებების ამოხსნისას
თუ ჩვენ უგულებელვყოფთ ძალიან მარტივ დავალებებს, მაშინ მინდა ვთქვა შემდეგი:
- როგორც ზემოთ ვთქვი, ყველა წრფივ განტოლებას არ აქვს გამოსავალი - ზოგჯერ ფესვები უბრალოდ არ არსებობს;
- ფესვები რომც იყოს, მათ შორის ნული მოხვდება - ამაში ცუდი არაფერია.
ნული იგივე რიცხვია, რაც დანარჩენი, თქვენ არ უნდა განასხვავოთ იგი ან ჩათვალოთ, რომ თუ თქვენ მიიღებთ ნულს, მაშინ რაღაც არასწორად გააკეთეთ.
კიდევ ერთი ფუნქცია დაკავშირებულია ფრჩხილების გაფართოებასთან. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: როდესაც მათ წინ არის "მინუსი", ჩვენ მას ვხსნით, მაგრამ ფრჩხილებში ვცვლით ნიშნებს. საწინააღმდეგო. შემდეგ კი შეგვიძლია გავხსნათ სტანდარტული ალგორითმების მიხედვით: მივიღებთ იმას, რაც ვნახეთ ზემოთ გამოთვლებში.
ამ მარტივი ფაქტის გაგება დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ სულელური და მავნე შეცდომების დაშვება საშუალო სკოლაში, როცა ასეთი ქმედებების კეთება თავისთავად ითვლება.
რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა
მოდით გადავიდეთ უფრო რთულ განტოლებებზე. ახლა კონსტრუქციები გართულდება და სხვადასხვა გარდაქმნების შესრულებისას გამოჩნდება კვადრატული ფუნქცია. ამასთან, ამის არ უნდა შეგეშინდეთ, რადგან თუ ავტორის განზრახვის თანახმად, ჩვენ გადავჭრით წრფივ განტოლებას, მაშინ ტრანსფორმაციის პროცესში აუცილებლად შემცირდება კვადრატული ფუნქციის შემცველი ყველა მონომი.
მაგალითი #1
ცხადია, პირველი ნაბიჯი არის ფრჩხილების გახსნა. მოდით გავაკეთოთ ეს ძალიან ფრთხილად:
ახლა ავიღოთ კონფიდენციალურობა:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
აქ არის რამდენიმე მსგავსი:
ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ამიტომ პასუხში ვწერთ შემდეგნაირად:
\[\ჯიში \]
ან ფესვების გარეშე.
მაგალითი #2
ჩვენ ვასრულებთ იგივე ნაბიჯებს. Პირველი ნაბიჯი:
მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი ცვლადით მარცხნივ, ხოლო მის გარეშე - მარჯვნივ:
აქ არის რამდენიმე მსგავსი:
ცხადია, ამ წრფივ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი, ამიტომ ვწერთ მას ასე:
\[\არაფერი\],
ან ფესვების გარეშე.
ხსნარის ნიუანსი
ორივე განტოლება მთლიანად ამოხსნილია. ამ ორი გამონათქვამის მაგალითზე კიდევ ერთხელ დავრწმუნდით, რომ უმარტივეს წრფივ განტოლებებშიც კი ყველაფერი შეიძლება არც ისე მარტივი იყოს: შეიძლება იყოს ან ერთი, ან არცერთი, ან უსასრულოდ ბევრი. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ განვიხილეთ ორი განტოლება, ორივეში უბრალოდ ფესვები არ არის.
მაგრამ თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო კიდევ ერთ ფაქტზე: როგორ ვიმუშაოთ ფრჩხილებით და როგორ გავხსნათ ისინი, თუ მათ წინ არის მინუს ნიშანი. განვიხილოთ ეს გამოთქმა:
გახსნამდე ყველაფერი უნდა გაამრავლოთ "x"-ზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: გაამრავლეთ თითოეული ინდივიდუალური ტერმინი. შიგნით არის ორი წევრი - შესაბამისად, ორი წევრი და მრავლდება.
და მხოლოდ ამ ერთი შეხედვით ელემენტარული, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანი და საშიში გარდაქმნების დასრულების შემდეგ შეიძლება ფრჩხილის გახსნა იმ თვალსაზრისით, რომ მის შემდეგ არის მინუს ნიშანი. დიახ, დიახ: მხოლოდ ახლა, როდესაც ტრანსფორმაციები კეთდება, გვახსოვს, რომ ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი ქვემოთ უბრალოდ ცვლის ნიშანს. ამავდროულად, თავად ფრჩხილები ქრება და, რაც მთავარია, წინა „მინუსიც“ ქრება.
იგივეს ვაკეთებთ მეორე განტოლებით:
შემთხვევითი არ არის, რომ ამ პატარა, ერთი შეხედვით უმნიშვნელო ფაქტებს ვაქცევ ყურადღებას. იმის გამო, რომ განტოლებების ამოხსნა ყოველთვის არის ელემენტარული გარდაქმნების თანმიმდევრობა, სადაც მარტივი მოქმედებების მკაფიოდ და კომპეტენტურად შესრულების უუნარობა იწვევს იმ ფაქტს, რომ საშუალო სკოლის მოსწავლეები მოდიან ჩემთან და ისევ სწავლობენ ასეთი მარტივი განტოლებების ამოხსნას.
რა თქმა უნდა, დადგება დღე, როცა ამ უნარებს ავტომატიზმამდე მიიყვანთ. ყოველ ჯერზე ამდენი ტრანსფორმაციის შესრულება აღარ მოგიწევთ, ყველაფერს ერთ სტრიქონში დაწერთ. მაგრამ სანამ მხოლოდ სწავლობთ, თქვენ უნდა დაწეროთ თითოეული მოქმედება ცალკე.
კიდევ უფრო რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა
რისი გადაჭრას ახლა ვაპირებთ, ძნელად შეიძლება ეწოდოს უმარტივესი ამოცანა, მაგრამ მნიშვნელობა იგივე რჩება.
დავალება #1
\[\ მარცხნივ(7x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(3x-1 \მარჯვნივ)-21((x)^(2))=3\]
მოდით გავამრავლოთ ყველა ელემენტი პირველ ნაწილში:
მოდით გავაკეთოთ უკან დახევა:
აქ არის რამდენიმე მსგავსი:
მოდით გავაკეთოთ ბოლო ნაბიჯი:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
აქ არის ჩვენი საბოლოო პასუხი. და, მიუხედავად იმისა, რომ ამოხსნის პროცესში გვქონდა კვადრატული ფუნქციის მქონე კოეფიციენტები, მაგრამ ისინი ერთმანეთის ნადგურდებიან, რაც განტოლებას ზუსტად წრფივს ხდის და არა კვადრატს.
დავალება #2
\[\მარცხნივ(1-4x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(1-3x \მარჯვნივ)=6x\მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ)\]
მოდით გავაკეთოთ პირველი ნაბიჯი ფრთხილად: გავამრავლოთ პირველი ფრჩხილის ყველა ელემენტი მეორეში ყველა ელემენტზე. მთლიანობაში, ოთხი ახალი ტერმინი უნდა იქნას მიღებული ტრანსფორმაციის შემდეგ:
ახლა კი ფრთხილად შეასრულეთ გამრავლება თითოეულ წევრში:
მოდით გადავიტანოთ ტერმინები "x"-ით მარცხნივ, ხოლო გარეშე - მარჯვნივ:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
აქ არის მსგავსი ტერმინები:
ჩვენ მივიღეთ საბოლოო პასუხი.
ხსნარის ნიუანსი
ყველაზე მნიშვნელოვანი შენიშვნა ამ ორ განტოლებასთან დაკავშირებით არის ეს: როგორც კი დავიწყებთ ფრჩხილების გამრავლებას, რომლებშიც ერთზე მეტია, მაშინ ეს ხდება შემდეგი წესით: ვიღებთ პირველ წევრს პირველიდან და ვამრავლებთ თითოეულ ელემენტს. მეორედან; შემდეგ ვიღებთ მეორე ელემენტს პირველიდან და ანალოგიურად ვამრავლებთ მეორის თითოეულ ელემენტს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ოთხ ტერმინს.
ალგებრულ ჯამზე
ბოლო მაგალითით მინდა შევახსენო მოსწავლეებს რა არის ალგებრული ჯამი. კლასიკურ მათემატიკაში $1-7$-ში ვგულისხმობთ მარტივ კონსტრუქციას: ერთს ვაკლებთ შვიდს. ალგებრაში ჩვენ ვგულისხმობთ შემდეგს: რიცხვს "ერთი" ვუმატებთ მეორე რიცხვს, კერძოდ "მინუს შვიდს". ეს ალგებრული ჯამი განსხვავდება ჩვეულებრივი არითმეტიკული ჯამისგან.
როგორც კი ყველა გარდაქმნის, ყოველი შეკრებისა და გამრავლების შესრულებისას დაიწყებთ ზემოთ აღწერილი კონსტრუქციების მსგავს კონსტრუქციებს, უბრალოდ არ გექნებათ პრობლემები ალგებრაში მრავალწევრებთან და განტოლებებთან მუშაობისას.
დასასრულს, მოდით გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც კიდევ უფრო რთული იქნება, ვიდრე ჩვენ ახლახან შევხედეთ და მათი გადასაჭრელად, ჩვენ ოდნავ უნდა გავაფართოვოთ ჩვენი სტანდარტული ალგორითმი.
განტოლებების ამოხსნა წილადით
ასეთი ამოცანების გადასაჭრელად, კიდევ ერთი ნაბიჯი უნდა დაემატოს ჩვენს ალგორითმს. მაგრამ პირველ რიგში, მე შევახსენებ ჩვენს ალგორითმს:
- გახსენით ფრჩხილები.
- ცალკე ცვლადები.
- მოიყვანეთ მსგავსი.
- გაყავით ფაქტორზე.
სამწუხაროდ, ეს მშვენიერი ალგორითმი, მთელი თავისი ეფექტურობით, არ არის მთლად მიზანშეწონილი, როდესაც ჩვენ წინ გვაქვს წილადები. და რასაც ქვემოთ ვნახავთ, ორივე განტოლებაში გვაქვს წილადი მარცხნივ და მარჯვნივ.
როგორ ვიმუშაოთ ამ შემთხვევაში? დიახ, ეს ძალიან მარტივია! ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ კიდევ ერთი ნაბიჯი ალგორითმში, რომელიც შეიძლება შესრულდეს როგორც პირველ მოქმედებამდე, ასევე მის შემდეგ, კერძოდ, წილადებისგან თავის დაღწევა. ამრიგად, ალგორითმი იქნება შემდეგი:
- მოიშორეთ წილადები.
- გახსენით ფრჩხილები.
- ცალკე ცვლადები.
- მოიყვანეთ მსგავსი.
- გაყავით ფაქტორზე.
რას ნიშნავს „წილადების მოშორება“? და რატომ არის შესაძლებელი ამის გაკეთება როგორც პირველი სტანდარტული ნაბიჯის შემდეგ, ისე ადრე? სინამდვილეში, ჩვენს შემთხვევაში, ყველა წილადი რიცხვითია მნიშვნელის მიხედვით, ე.ი. ყველგან მნიშვნელი მხოლოდ რიცხვია. მაშასადამე, თუ განტოლების ორივე ნაწილს ამ რიცხვზე გავამრავლებთ, მაშინ მოვიშორებთ წილადებს.
მაგალითი #1
\[\frac(\left(2x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2x-3 \მარჯვნივ))(4)=((x)^(2))-1\]
მოვიშოროთ წილადები ამ განტოლებაში:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \მარჯვნივ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \მარჯვნივ)\cdot 4\]
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ყველაფერი მრავლდება "ოთხზე" ერთხელ, ე.ი. მხოლოდ იმიტომ, რომ თქვენ გაქვთ ორი ფრჩხილები, არ ნიშნავს რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული მათგანი "ოთხზე". Მოდი დავწეროთ:
\[\ მარცხნივ(2x+1 \მარჯვნივ)\ მარცხენა (2x-3 \მარჯვნივ)=\ მარცხენა (((x)^(2))-1 \მარჯვნივ)\cdot 4\]
ახლა გავხსნათ:
ჩვენ ვასრულებთ ცვლადის გამოყოფას:
ჩვენ ვახორციელებთ მსგავსი პირობების შემცირებას:
\[-4x=-1\მარცხნივ| :\left(-4 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
მივიღეთ საბოლოო ამონახსნი, გადავდივართ მეორე განტოლებაზე.
მაგალითი #2
\[\frac(\ მარცხნივ(1-x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(1+5x \მარჯვნივ))(5)+((x)^(2))=1\]
აქ ჩვენ ვასრულებთ ყველა იგივე მოქმედებას:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \მარჯვნივ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
პრობლემა მოგვარებულია.
სინამდვილეში, ეს არის ყველაფერი, რისი თქმაც მინდოდა დღეს.
საკვანძო პუნქტები
ძირითადი დასკვნები შემდეგია:
- იცოდე წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი.
- ფრჩხილების გახსნის შესაძლებლობა.
- არ ინერვიულოთ, თუ სადმე გაქვთ კვადრატული ფუნქციები, სავარაუდოდ, შემდგომი გარდაქმნების პროცესში ისინი შემცირდება.
- წრფივი განტოლებების ფესვები, თუნდაც უმარტივესი, სამი ტიპისაა: ერთი ფესვი, მთელი რიცხვითი წრფე არის ფესვი, ფესვები საერთოდ არ არსებობს.
ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ დაეუფლონ მარტივ, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვან თემას ყველა მათემატიკის შემდგომი გაგებისთვის. თუ რამე გაუგებარია, გადადით საიტზე, მოაგვარეთ იქ წარმოდგენილი მაგალითები. თვალყური ადევნეთ, კიდევ ბევრი საინტერესო რამ გელოდებათ!
"გახსნის ფრჩხილები" - მათემატიკის სახელმძღვანელო მე-6 კლასი (ვილენკინი)
Მოკლე აღწერა:
ამ განყოფილებაში შეისწავლით თუ როგორ უნდა გახსნათ ფრჩხილები მაგალითებში. Რისთვის არის? ყველაფერი ისევე, როგორც ადრე - რათა გაგიადვილოთ დათვლა, ნაკლები შეცდომის დაშვება და იდეალურ შემთხვევაში (თქვენი მათემატიკის მასწავლებლის ოცნება), რათა ყველაფერი უშეცდომოდ მოაგვაროთ.
თქვენ უკვე იცით, რომ მათემატიკური აღნიშვნით ფრჩხილები იდება, თუ ორი მათემატიკური ნიშანი მიდის ზედიზედ, თუ გვინდა ვაჩვენოთ რიცხვთა კავშირი, მათი გადაწყობა. ფრჩხილების გაფართოება ნიშნავს ზედმეტი სიმბოლოების მოშორებას. მაგალითად: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. გახსოვთ შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება? ყოველივე ამის შემდეგ, ამ მაგალითში ჩვენ ასევე მოვიშორეთ ფრჩხილები გამოთვლების გასამარტივებლად. გამრავლების დასახელებული თვისება ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ოთხ, სამ, ხუთ ან მეტ წევრზე. მაგალითად: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. შეგიმჩნევიათ, რომ ფრჩხილების გახსნისას მათში მოცემული რიცხვები არ იცვლის ნიშანს, თუ ფრჩხილების წინ რიცხვი დადებითია? ბოლოს და ბოლოს, თხუთმეტი დადებითი რიცხვია. და თუ ამოხსნით ამ მაგალითს: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. ფრჩხილების წინ გვქონდა უარყოფითი რიცხვი მინუს თხუთმეტი, როდესაც ფრჩხილები გავხსენით ყველა რიცხვმა დაიწყო თავისი ნიშნის სხვაზე შეცვლა - პირიქით - პლუსიდან მინუსზე.
ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან გამომდინარე, ფრჩხილების გახსნის ორი ძირითადი წესი შეიძლება გამოითქვას:
1. თუ თქვენ გაქვთ დადებითი რიცხვი ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილების გახსნის შემდეგ, ფრჩხილებში მოცემული რიცხვების ყველა ნიშანი არ იცვლება, მაგრამ რჩება ზუსტად იგივე, რაც იყო.
2. თუ ფრჩხილების წინ გაქვთ უარყოფითი რიცხვი, მაშინ ფრჩხილების გახსნის შემდეგ მინუს ნიშანი აღარ იწერება და ფრჩხილებში ყველა აბსოლუტური რიცხვის ნიშნები მკვეთრად შებრუნებულია.
მაგალითად: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. ცოტა გავართულოთ ჩვენი მაგალითები: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. თქვენ შენიშნეთ, რომ მეორე ფრჩხილების გახსნისას გავამრავლეთ 2-ზე, მაგრამ ნიშნები იგივე დარჩა, როგორც იყო. და აი მაგალითი: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, ამ მაგალითში ნომერი ორი უარყოფითია, ის არის ფრჩხილების წინ დგას მინუს ნიშნით, ამიტომ მათი გახსნით შევცვალეთ რიცხვების ნიშნები საპირისპიროზე (ცხრა იყო პლიუსით, გახდა მინუსით, რვა იყო მინუსით, გახდა პლიუსით. ).
ვთქვათ, აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.
ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის რა არის მოტყუება.
მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ შეჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწევა. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.
თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.
როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:
იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.
ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.
ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:
მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.
ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ) . კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.
ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ
ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.
როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მულტისეტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.
ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.
რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.
მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომლებშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. მათემატიკას ავხსნით, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როცა დაამტკიცებს, რომ იდენტური ელემენტების გარეშე ნაკრები არ უდრის იდენტური ელემენტების სიმრავლეს. სწორედ აქ იწყება გართობა.
უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...
და ახლა მე მაქვს ყველაზე საინტერესო კითხვა: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.
ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს თუ გავითვალისწინებთ, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთიდაიგივე კომპლექტი ერთდროულად არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.
იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები სხვა ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.
კვირა, 18 მარტი, 2018 წ
რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.
გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.
მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.
1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.
2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.
3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.
4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.
12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.
მათემატიკის თვალსაზრისით არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.
როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ მართკუთხედის ფართობის პოვნა მეტრებში და სანტიმეტრებში მოგცემთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს.
ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.
მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.
რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს ხდება მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებულ საზომ ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.
ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?
ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.
თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,
მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:
პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი გამონაყარში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.
1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.
ფრჩხილები გამოიყენება რიცხვითი და ანბანური გამონათქვამების, აგრეთვე ცვლადების მქონე გამოსახულებებში მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობის აღსანიშნავად. მოსახერხებელია ფრჩხილებით გამოსახულებიდან გადავიდეთ იდენტურად თანაბარ გამოსახულებაზე ფრჩხილების გარეშე. ამ ტექნიკას ეწოდება ფრჩხილების გახსნა.
ფრჩხილების გაფართოება ნიშნავს ამ ფრჩხილების გამოხატვის მოცილებას.
განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს კიდევ ერთი პუნქტი, რომელიც ეხება ფრჩხილების გახსნისას წერითი გადაწყვეტილებების თავისებურებებს. თავდაპირველი გამოხატულება შეგვიძლია ფრჩხილებით დავწეროთ და ფრჩხილების გახსნის შემდეგ მიღებული შედეგი ტოლობის სახით. მაგალითად, ფრჩხილების გახსნის შემდეგ, გამოხატვის ნაცვლად
3−(5−7) ვიღებთ გამოსახულებას 3−5+7. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ორივე გამონათქვამი, როგორც ტოლობა 3−(5−7)=3−5+7.
და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. მათემატიკაში, ჩანაწერების შესამცირებლად, ჩვეულებრივია არ დაწეროთ პლუს ნიშანი, თუ ის პირველია გამოხატულებაში ან ფრჩხილებში. მაგალითად, თუ დავამატებთ ორ დადებით რიცხვს, მაგალითად, შვიდს და სამს, მაშინ ვწერთ არა +7 + 3, არამედ უბრალოდ 7 + 3, მიუხედავად იმისა, რომ შვიდი ასევე დადებითი რიცხვია. ანალოგიურად, თუ ხედავთ, მაგალითად, გამონათქვამს (5 + x) - იცოდეთ, რომ ფრჩხილის წინ არის პლუსი, რომელიც არ არის დაწერილი, და არის პლუს + (+5 + x) წინ. ხუთი.
სამაგრის გაფართოების წესი დამატებისათვის
ფრჩხილების გახსნისას, თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსი, მაშინ ეს პლუსი გამოტოვებულია ფრჩხილებთან ერთად.
მაგალითი. გახსენით ფრჩხილები გამონათქვამში 2 + (7 + 3) ფრჩხილების წინ პლუს, მაშინ ფრჩხილებში რიცხვების წინ სიმბოლოები არ იცვლება.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
გამოკლებისას ფრჩხილების გაფართოების წესი
თუ ფრჩხილების წინ არის მინუსი, მაშინ ეს მინუსი გამოტოვებულია ფრჩხილებთან ერთად, მაგრამ ტერმინები, რომლებიც იყო ფრჩხილებში, ცვლის მათ ნიშანს საპირისპიროდ. ფრჩხილებში პირველ ტერმინამდე ნიშნის არარსებობა გულისხმობს + ნიშანს.
მაგალითი. გახსენით ფრჩხილები გამოსახულებაში 2 − (7 + 3)
ფრჩხილებამდე არის მინუსი, ასე რომ თქვენ უნდა შეცვალოთ ნიშნები ფრჩხილებიდან რიცხვებამდე. 7 რიცხვამდე ფრჩხილებში არ არის ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ შვიდი დადებითია, ითვლება, რომ მის წინ არის + ნიშანი.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
ფრჩხილების გახსნისას ვხსნით მინუს მაგალითს, რომელიც იყო ფრჩხილების წინ, და თავად ფრჩხილებს 2 − (+ 7 + 3) და ვცვლით ფრჩხილებში არსებულ ნიშნებს საპირისპიროზე.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
გამრავლებისას ფრჩხილების გაფართოება
თუ ფრჩხილების წინ არის გამრავლების ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების შიგნით თითოეული რიცხვი მრავლდება ფრჩხილების წინ არსებულ კოეფიციენტზე. ამავდროულად, მინუს მინუსზე გამრავლება იძლევა პლიუსს, ხოლო მინუსის პლიუსზე გამრავლება, ისევე როგორც პლიუსის მინუსზე გამრავლება, იძლევა მინუსს.
ამრიგად, პროდუქტებში ფრჩხილები ფართოვდება გამრავლების გამანაწილებელი თვისების შესაბამისად.
მაგალითი. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
ფრჩხილების ფრჩხილებში გამრავლებისას, პირველი ფრჩხილის ყოველი წევრი მრავლდება მეორე ფრჩხილის თითოეულ წევრთან.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
სინამდვილეში, არ არის საჭირო ყველა წესის დამახსოვრება, საკმარისია მხოლოდ ერთი გავიხსენოთ, ეს: c(a−b)=ca−cb. რატომ? რადგან თუ c-ის ნაცვლად ერთს შევცვლით, მივიღებთ წესს (a−b)=a−b. და თუ ჩავანაცვლებთ მინუს ერთის, მივიღებთ წესს −(a−b)=−a+b. თუ c-ის ნაცვლად სხვა ფრჩხილს ჩაანაცვლებთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ბოლო წესი.
გაყოფისას გააფართოვეთ ფრჩხილები
თუ ფრჩხილების შემდეგ არის გაყოფის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში თითოეული რიცხვი იყოფა ფრჩხილების შემდეგ გამყოფზე და პირიქით.
მაგალითი. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
როგორ გავაფართოვოთ ჩასმული ფრჩხილები
თუ გამოთქმა შეიცავს ჩადგმულ ფრჩხილებს, მაშინ ისინი გაფართოვდებიან თანმიმდევრობით, დაწყებული გარედან ან შიდადან.
ამავდროულად, ერთ-ერთი ფრჩხილის გახსნისას მნიშვნელოვანია, რომ არ შეეხოთ სხვა ფრჩხილებს, უბრალოდ გადაწეროთ ისინი ისე, როგორც არის.
მაგალითი. 12 - (a + (6 - ბ) - 3) = 12 - ა - (6 - ბ) + 3 = 12 - ა - 6 + ბ + 3 = 9 - ა + ბ
