ა)

გადაწყვეტილება.

გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტი არის ნახატის აგება.

მოდით დავხატოთ ნახატი:

განტოლება y=0 ადგენს x-ღერძს;

- x=-2 და x=1 - სწორი, ღერძის პარალელურად OU;

- y \u003d x 2 +2 - პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, წვეროთი (0;2) წერტილში.

კომენტარი.პარაბოლის ასაგებად საკმარისია ვიპოვოთ მისი გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან, ე.ი. აყენებს x=0 იპოვნეთ კვეთა ღერძთან OU და შესაბამისი კვადრატული განტოლების ამოხსნით იპოვეთ ღერძთან კვეთა ოჰ .

პარაბოლის წვერო შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

შეგიძლიათ დახაზოთ ხაზები და წერტილი-პუნქტი.

[-2;1] ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი y=x 2 +2 მდებარე ღერძზე მეტი ოქსი , Ამიტომაც:

პასუხი: ს \u003d 9 კვადრატული ერთეული

დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, „თვალით“ ვითვლით ნახატზე უჯრედების რაოდენობას - კარგი, დაახლოებით 9 იქნება აკრეფილი, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ ოჰ?

ბ)გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y=-e x , x=1 და საკოორდინაციო ღერძები.

გადაწყვეტილება.

მოდით დავხატოთ ნახატი.

თუ მრუდი ტრაპეცია მთლიანად ღერძის ქვეშ ოჰ , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

პასუხი: S=(e-1) კვ. ერთეული“ 1,72 კვ. ერთეული

ყურადღება! არ აურიოთ ორი ტიპის დავალება:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ გარკვეული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა მდებარეობს როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში.

თან)იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ნახატი უნდა გააკეთოთ. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. იპოვეთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები და პირდაპირი ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური.

ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ასე რომ, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი a=0 , ინტეგრაციის ზედა ზღვარი b=3 .

ვაშენებთ მოცემულ ხაზებს: 1. პარაბოლა - წვერო (1;1); ღერძის კვეთა ოჰ -ქულები (0;0) და (0;2). 2. სწორი ხაზი - მე-2 და მე-4 კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. ახლა კი ყურადღება! თუ სეგმენტზე [ ა;ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია f(x)მეტი ან ტოლი რომელიმე უწყვეტ ფუნქციაზე g(x), მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით: . და არ აქვს მნიშვნელობა სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელოვანია, რომელი დიაგრამაა უფრო მაღალი (სხვა დიაგრამასთან შედარებით), და რომელი არის ქვემოთ. განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

შესაძლებელია ხაზების აგება წერტილი – წერტილი, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა, თითქოს „თავისთავად“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ჯერ კიდევ ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური).

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით ზემოდან და სწორი ხაზით ქვემოდან.

სეგმენტზე შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი: ს \u003d 4.5 კვ. ერთეული

სინამდვილეში, იმისათვის, რომ იპოვოთ ფიგურის ფართობი, თქვენ არ გჭირდებათ ამდენი ცოდნა განუსაზღვრელი და განსაზღვრული ინტეგრალის შესახებ. ამოცანა "გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით" ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებასასე რომ, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარები ბევრად უფრო აქტუალური საკითხი იქნება. ამ მხრივ, სასარგებლოა ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების მეხსიერების განახლება და, მინიმუმ, სწორი ხაზის და ჰიპერბოლის აგება.

მრუდი ტრაპეცია არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია ღერძით, სწორი ხაზებით და უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკით სეგმენტზე, რომელიც არ ცვლის ნიშანს ამ ინტერვალზე. მოდით ეს ფიგურა განთავსდეს არანაკლებაბსციზა:

მერე მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის გარკვეულ ინტეგრალს. ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა.

გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA.

ე.ი.განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება რომელიმე ფიგურის ფართობს. მაგალითად, განიხილეთ განსაზღვრული ინტეგრალი. ინტეგრანტი განსაზღვრავს მრუდს სიბრტყეზე, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ (მსურველებს შეუძლიათ დაასრულონ ნახაზი), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტი არის ნახატის აგება. უფრო მეტიც, ნახატი უნდა აშენდეს უფლება.

გეგმის შექმნისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა ხაზი (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) და მხოლოდ შემდეგ- პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. ფუნქციების გრაფიკების აგება უფრო მომგებიანია წერტილოვანი.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.
მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება განსაზღვრავს ღერძს):

სეგმენტზე განთავსებულია ფუნქციის გრაფიკი ღერძზე მეტი, Ამიტომაც:

პასუხი:

დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, „თვალით“ ვითვლით ნახატზე უჯრედების რაოდენობას - კარგი, დაახლოებით 9 იქნება აკრეფილი, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებითა და კოორდინატთა ღერძებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გადაწყვეტილება: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მრუდი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ(ან თუნდაც არა უფრო მაღალიმოცემული ღერძი), მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

Ამ შემთხვევაში:

ყურადღება! არ აურიოთ ორი ტიპის დავალება:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ გარკვეული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, .

გადაწყვეტილება: ჯერ უნდა დაასრულოთ ნახაზი. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლისა და წრფის გადაკვეთის წერტილები. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

აქედან გამომდინარე, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი.

თუ ეს შესაძლებელია, უმჯობესია არ გამოიყენოთ ეს მეთოდი..

გაცილებით მომგებიანი და სწრაფია ხაზების პუნქტად აგება, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა თითქოს „თვითონ“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ჯერ კიდევ ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური). და ჩვენ ასევე განვიხილავთ ასეთ მაგალითს.

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით დავხატოთ ნახატი:

ახლა კი სამუშაო ფორმულა: თუ არის რაიმე უწყვეტი ფუნქცია ინტერვალზე მეტი ან ტოლიზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია, შემდეგ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ამ ფუნქციების გრაფიკებითა და სწორი ხაზებით, შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

აქ აღარ არის საჭირო ფიქრი სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ და, უხეშად რომ ვთქვათ, მნიშვნელობა აქვს რომელი დიაგრამაა ზემოთ(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

გადაწყვეტის დასრულება შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით ზემოდან და სწორი ხაზით ქვემოდან.
სეგმენტზე, შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ , , , ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გადაწყვეტილება: ჯერ დავხატოთ ნახატი:

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული.(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ხშირად ჩნდება "გაუმართაობა", რომ თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია მწვანეში!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ მასში ფიგურის ფართობი გამოითვლება ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით.

მართლა:

1) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის სწორი ხაზის გრაფიკი;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის ჰიპერბოლის გრაფიკი.

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის გარკვეულ ინტეგრალს

ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. კლასში ვთქვი, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. ახლა კი დროა განვაცხადოთ კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA.

ე.ი. განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება რომელიმე ფიგურის ფართობს. მაგალითად, განიხილეთ განსაზღვრული ინტეგრალი. ინტეგრანტი განსაზღვრავს გარკვეულ მრუდს სიბრტყეზე (სურვილის შემთხვევაში ყოველთვის შეიძლება დახატოს), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტი არის ნახატის აგება. უფრო მეტიც, ნახატი უნდა აშენდეს უფლება.

გეგმის შექმნისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა ხაზი (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) და მხოლოდ შემდეგ- პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. ფუნქციების გრაფიკების აგება უფრო მომგებიანია წერტილი-პუნქტი, წერტილოვანი კონსტრუქციის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში.

იქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მასალა, რომელიც ძალიან სასარგებლოა ჩვენს გაკვეთილთან დაკავშირებით - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.
მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება განსაზღვრავს ღერძს):

მრუდე ტრაპეციას არ გამოვჩეჩე, გასაგებია რომელ არეალზეა აქ საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:

სეგმენტზე განთავსებულია ფუნქციის გრაფიკი ღერძზე მეტი, Ამიტომაც:

პასუხი:

ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება , იხილეთ ლექცია განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები.

დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, "თვალით" ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას - კარგად, დაახლოებით 9 იქნება აკრეფილი, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, და ღერძი

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ?

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებითა და კოორდინატთა ღერძებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მრუდი ტრაპეცია მთლიანად ღერძის ქვეშ, მაშინ მისი ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:
Ამ შემთხვევაში:

ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა აგვერიოს:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ გარკვეული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, .

გამოსავალი: ჯერ უნდა გააკეთოთ ნახატი. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლისა და წრფის გადაკვეთის წერტილები. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

აქედან გამომდინარე, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი.
თუ ეს შესაძლებელია, უმჯობესია არ გამოიყენოთ ეს მეთოდი.

გაცილებით მომგებიანი და სწრაფია ხაზების პუნქტად აგება, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა თითქოს „თვითონ“. დახმარებაში დეტალურად არის განხილული სხვადასხვა სქემების წერტილი-პუნქტის აგების ტექნიკა ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ჯერ კიდევ ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური). და ჩვენ ასევე განვიხილავთ ასეთ მაგალითს.

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით დავხატოთ ნახატი:

ვიმეორებ, რომ წერტილოვანი კონსტრუქციით, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად „ავტომატურად“ ირკვევა.

ახლა კი სამუშაო ფორმულა:თუ სეგმენტზე რაიმე უწყვეტი ფუნქცია მეტი ან ტოლიზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია, მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

აქ აღარ არის საჭირო იმაზე ფიქრი, თუ სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ და, უხეშად რომ ვთქვათ, მნიშვნელობა აქვს რომელი დიაგრამაა ზემოთ(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

გადაწყვეტის დასრულება შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით ზემოდან და სწორი ხაზით ქვემოდან.
სეგმენტზე, შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

ფაქტობრივად, ქვედა ნახევარსიბრტყეში მრუდი ტრაპეციის ფართობის სკოლის ფორმულა (იხ. მარტივი მაგალითი No3) არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა. . ვინაიდან ღერძი მოცემულია განტოლებით, ხოლო ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ღერძის ქვემოთ, მაშინ

ახლა კი რამდენიმე მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 5

მაგალითი 6

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი, .

გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით ტერიტორიის გამოსათვლელად ამოცანების გადაჭრის პროცესში ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები იყო სწორი, მაგრამ უყურადღებობის გამო ... იპოვა არასწორი ფიგურის ფართობი, ასე ატეხა რამდენჯერმე შენმა მორჩილმა მსახურმა. აქ არის რეალური შემთხვევა:

მაგალითი 7

გამოთვალეთ , , , ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

ჯერ დავხატოთ:

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული.(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ხშირად ხდება, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია მწვანეში!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ მასში ფიგურის ფართობი გამოითვლება ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:

1) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის სწორი ხაზის გრაფიკი;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის ჰიპერბოლის გრაფიკი.

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

პასუხი:

მაგალითი 8

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,
წარმოვადგინოთ განტოლებები „სასკოლო“ სახით და შევასრულოთ პუნქტი-პუნქტი:

ნახატიდან ჩანს, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი არის „კარგი“: .
მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი? გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა? Შესაძლოა ? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, ეს შეიძლება აღმოჩნდეს. ან ფესვი. რა მოხდება, თუ ჩვენ საერთოდ არ მივიღეთ გრაფიკი სწორად?

ასეთ შემთხვევებში საჭიროა დამატებითი დროის დახარჯვა და ინტეგრაციის საზღვრების ანალიტიკური დახვეწა.

ვიპოვოთ წრფისა და პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები.
ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

აქედან გამომდინარე,.

შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია, მთავარია, ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში არ აირიოთ, აქ გამოთვლები არც ისე მარტივია.

სეგმენტზე შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

კარგად, გაკვეთილის დასასრულს, ჩვენ განვიხილავთ ორ ამოცანას უფრო რთულად.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,

ამოხსნა: დახაზეთ ეს ფიგურა ნახაზზე.

ნახაზის წერტილი-წერტილი ასაგებად საჭიროა იცოდეთ სინუსოიდის გარეგნობა (და ზოგადად სასარგებლოა იცოდეთ ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკები), ისევე როგორც ზოგიერთი სინუსური მნიშვნელობები, ისინი შეიძლება მოიძებნოს ტრიგონომეტრიული ცხრილი. ზოგიერთ შემთხვევაში (როგორც ამ შემთხვევაში) დასაშვებია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზედაც გრაფიკები და ინტეგრაციის ლიმიტები პრინციპულად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები.

აქ ინტეგრაციის ლიმიტებთან არანაირი პრობლემა არ არის, ისინი პირდაპირ მოყვება მდგომარეობიდან: - "x" იცვლება ნულიდან "pi". ჩვენ ვიღებთ შემდგომ გადაწყვეტილებას:

სეგმენტზე, ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ღერძის ზემოთ, ამიტომ:

(1) როგორ არის ინტეგრირებული სინუსები და კოსინუსები კენტ ძალებში, ჩანს გაკვეთილზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები. ეს ტიპიური ტექნიკაა, ჩვენ ვჭრით ერთ სინუსს.

(2) ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას ფორმაში

(3) მოდით შევცვალოთ ცვლადი, შემდეგ:

ინტეგრაციის ახალი გადანაწილებები:

ვინც ნამდვილად ცუდი ბიზნესია ჩანაცვლებით, გთხოვთ გადადით გაკვეთილზე ჩანაცვლების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში. მათთვის, ვინც არ იცის ჩანაცვლების ალგორითმი გარკვეულ ინტეგრალში, ეწვიეთ გვერდს განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები.

ჩვენ ვიწყებთ ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლის ფაქტობრივ პროცესს და გავეცნობით მის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

ორმაგი ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის ბრტყელი ფიგურის ფართობს (ინტეგრაციის რეგიონი). ეს არის ორმაგი ინტეგრალის უმარტივესი ფორმა, როდესაც ორი ცვლადის ფუნქცია ერთის ტოლია: .

ჯერ მოდით განვიხილოთ პრობლემა ზოგადი თვალსაზრისით. ახლა გაგიკვირდებათ, რამდენად მარტივია ეს სინამდვილეში! გამოვთვალოთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით. დაზუსტებისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ინტერვალზე . ამ ფიგურის ფართობი რიცხობრივად უდრის:

მოდით გამოვსახოთ ნახაზზე ფართობი:

მოდით ავირჩიოთ პირველი გზა ტერიტორიის გვერდის ავლით:

ამრიგად:

და დაუყოვნებლივ მნიშვნელოვანი ტექნიკური ხრიკი: განმეორებადი ინტეგრალები შეიძლება ცალკე განიხილებოდეს. ჯერ შიდა ინტეგრალი, შემდეგ გარე ინტეგრალი. ეს მეთოდი რეკომენდირებულია დამწყებთათვის თემის ჩაიდანი.

1) გამოთვალეთ შიდა ინტეგრალი, ხოლო ინტეგრაცია ხორციელდება ცვლადზე "y":

განუსაზღვრელი ინტეგრალი აქ ყველაზე მარტივია, შემდეგ კი გამოიყენება ბანალური ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, ერთადერთი განსხვავებით, რომ ინტეგრაციის საზღვრები არ არის რიცხვები, არამედ ფუნქციები. ჯერ ზედა ზღვარი ჩავანაცვლეთ „y“-ში (ანტიდერივატიული ფუნქცია), შემდეგ ქვედა ზღვარი

2) პირველ პუნქტში მიღებული შედეგი უნდა შეიცვალოს გარე ინტეგრალში:

მთელი გადაწყვეტის უფრო კომპაქტური აღნიშვნა ასე გამოიყურება:

შედეგად მიღებული ფორმულა - ეს არის ზუსტად სამუშაო ფორმულა ბრტყელი ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად "ჩვეულებრივი" განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით! იხილეთ გაკვეთილი ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, ის არის ყოველ ნაბიჯზე!

ე.ი. ფართობის გამოთვლის პრობლემა ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით ცოტა განსხვავებულიგანსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ფართობის პოვნის ამოცანიდან!სინამდვილეში, ისინი ერთი და იგივეა!

შესაბამისად, არანაირი სირთულე არ უნდა წარმოიშვას! მე არ განვიხილავ ძალიან ბევრ მაგალითს, რადგან თქვენ, ფაქტობრივად, არაერთხელ შეგხვედრიათ ეს პრობლემა.

მაგალითი 9

გადაწყვეტილება:მოდით გამოვსახოთ ნახაზზე ფართობი:

ავირჩიოთ რეგიონის გავლის შემდეგი თანმიმდევრობა:

აქ და ქვემოთ, მე არ განვიხილავ, თუ როგორ უნდა გაიაროთ ტერიტორია, რადგან პირველი აბზაცი იყო ძალიან დეტალური.

ამრიგად:

როგორც უკვე აღვნიშნე, დამწყებთათვის სჯობს ცალკე გამოთვალონ განმეორებითი ინტეგრალები, მე დავიცავ იგივე მეთოდს:

1) პირველ რიგში, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, საქმე გვაქვს შიდა ინტეგრალთან:

2) პირველ საფეხურზე მიღებული შედეგი ჩანაცვლებულია გარე ინტეგრალში:

წერტილი 2 არის რეალურად ბრტყელი ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით.

პასუხი:

აი ასეთი სულელური და გულუბრყვილო დავალება.

საინტერესო მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 10

ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვალეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით,

საბოლოო ამოხსნის მაგალითი გაკვეთილის ბოლოს.

9-10 მაგალითებში გაცილებით მომგებიანია ტერიტორიის გვერდის ავლით პირველი ხერხის გამოყენება, ცნობისმოყვარე მკითხველებს, სხვათა შორის, შეუძლიათ შეცვალონ შემოვლითი თანმიმდევრობა და გამოთვალონ ტერიტორიები მეორე გზით. თუ შეცდომას არ დაუშვებთ, მაშინ, ბუნებრივია, მიიღება იგივე ფართობის მნიშვნელობები.

მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში, ტერიტორიის გვერდის ავლით მეორე გზა უფრო ეფექტურია და ახალგაზრდა ნერდის კურსის დასასრულს, მოდით გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს ამ თემაზე:

მაგალითი 11

ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული სიბრტყე ფიგურის ფართობი.

გადაწყვეტილება:ჩვენ მოუთმენლად ველით ორ პარაბოლას ნიავით, რომლებიც მათ გვერდზე დევს. არ არის საჭირო ღიმილი, მსგავსი რამ მრავალ ინტეგრალში ხშირად გვხვდება.

რა არის ნახატის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა?

წარმოვიდგინოთ პარაბოლა, როგორც ორი ფუნქცია:
- ზედა ტოტი და - ქვედა ტოტი.

ანალოგიურად, წარმოიდგინეთ პარაბოლა, როგორც ზედა და ქვედა ფილიალები.

შემდეგი, დისკების შედგენა წერტილ-წერტილში, რის შედეგადაც ასეთი უცნაური ფიგურაა:

ფიგურის ფართობი გამოითვლება ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით ფორმულის მიხედვით:

რა მოხდება, თუ არეალის გვერდის ავლით პირველ გზას ავირჩევთ? პირველ რიგში, ეს ტერიტორია ორ ნაწილად უნდა გაიყოს. და მეორეც, ჩვენ დავაკვირდებით ამ სამწუხარო სურათს: . ინტეგრალები, რა თქმა უნდა, არ არის სუპერკომპლექსური დონის, მაგრამ... არის ძველი მათემატიკური გამონათქვამი: ვინც ფესვებთან მეგობრობს, მას არ სჭირდება ჩატვირთვა.

მაშასადამე, იმ გაუგებრობიდან, რომელიც მოცემულია პირობაში, ჩვენ გამოვხატავთ შებრუნებულ ფუნქციებს:

ამ მაგალითში შებრუნებულ ფუნქციებს აქვთ ის უპირატესობა, რომ ისინი დაუყოვნებლივ აყენებენ მთელ პარაბოლას ყოველგვარი ფოთლების, მუწუკების, ტოტებისა და ფესვების გარეშე.

მეორე მეთოდის მიხედვით, ტერიტორიის გავლა იქნება შემდეგი:

ამრიგად:

როგორც ამბობენ, იგრძენი განსხვავება.

1) საქმე გვაქვს შიდა ინტეგრალთან:

ჩვენ ვცვლით შედეგს გარე ინტეგრალში:

"y" ცვლადზე ინტეგრაცია არ უნდა იყოს უხერხული, თუ იყო ასო "zyu" - კარგი იქნებოდა მასზე ინტეგრირება. თუმცა ვინ წაიკითხა გაკვეთილის მეორე აბზაცი როგორ გამოვთვალოთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა, ის აღარ განიცდის ოდნავ უხერხულობას „y“-ზე ინტეგრაციისას.

ასევე ყურადღება მიაქციეთ პირველ საფეხურს: ინტეგრანტი ლუწია, ხოლო ინტეგრაციის სეგმენტი სიმეტრიულია ნულის მიმართ. ამრიგად, სეგმენტი შეიძლება განახევრდეს და შედეგი გაორმაგდეს. გაკვეთილზე ეს ტექნიკა დეტალურად არის აღწერილი. განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის ეფექტური მეთოდები.

რა დავამატო…. ყველაფერი!

პასუხი:

თქვენი ინტეგრაციის ტექნიკის შესამოწმებლად, შეგიძლიათ სცადოთ გამოთვლა . პასუხი ზუსტად იგივე უნდა იყოს.

მაგალითი 12

ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული სიბრტყე ფიგურის ფართობი

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. საინტერესოა აღინიშნოს, რომ თუ თქვენ შეეცდებით გამოიყენოთ პირველი გზა ტერიტორიის გვერდის ავლით, მაშინ ფიგურა აღარ დაიყოფა ორად, არამედ სამ ნაწილად! და, შესაბამისად, ვიღებთ განმეორებადი ინტეგრალის სამ წყვილს. ხანდახან ხდება.

მასტერკლასი დასრულდა და დროა გადავიდეთ დიდოსტატის დონეზე - როგორ გამოვთვალოთ ორმაგი ინტეგრალი? გადაწყვეტის მაგალითები. ვეცდები მეორე სტატიაში ასეთი მანიაკალური არ ვიყო =)

Წარმატებას გისურვებ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2:გადაწყვეტილება: დახაზეთ ფართობი ნახატზე:

ავირჩიოთ რეგიონის გავლის შემდეგი თანმიმდევრობა:

ამრიგად:
მოდით გადავიდეთ შებრუნებულ ფუნქციებზე:


ამრიგად:
პასუხი:

მაგალითი 4:გადაწყვეტილება: მოდით გადავიდეთ პირდაპირ ფუნქციებზე:


მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

შევცვალოთ ტერიტორიის გავლის თანმიმდევრობა:

პასუხი:

ახლა ჩვენ მივმართავთ ინტეგრალური გაანგარიშების აპლიკაციების განხილვას. ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ტიპურ და ყველაზე გავრცელებულ დავალებას. ბრტყელი ფიგურის ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. და ბოლოს, ყველა, ვინც ეძებს მნიშვნელობას უმაღლეს მათემატიკაში - შეიძლება იპოვონ იგი. Არასოდეს იცი. რეალურ ცხოვრებაში, თქვენ მოგიწევთ საზაფხულო კოტეჯის მიახლოება ელემენტარული ფუნქციებით და იპოვოთ მისი ფართობი გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით.

მასალის წარმატებით დასაუფლებლად, თქვენ უნდა:

1) განუსაზღვრელი ინტეგრალის გაგება საშუალო დონეზე მაინც. ამგვარად, დუიმებმა ჯერ გაკვეთილი უნდა წაიკითხონ არა.

2) შეძლოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება და განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა. თქვენ შეგიძლიათ დაამყაროთ თბილი მეგობრული ურთიერთობა ცალკეულ ინტეგრალებთან გვერდზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები. ამოცანა "გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით" ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებასმაშასადამე, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარები ასევე გადაუდებელი საკითხი იქნება. მინიმუმ, ადამიანს უნდა შეეძლოს სწორი ხაზის, პარაბოლისა და ჰიპერბოლის აგება.

დავიწყოთ მრუდი ტრაპეცია. მრუდი ტრაპეცია არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია გარკვეული ფუნქციის გრაფიკით წ = ვ(x), ღერძი ოქსიდა ხაზები x = ა; x = ბ.

მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის გარკვეულ ინტეგრალს

ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. გაკვეთილზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითებიჩვენ ვთქვით, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. ახლა კი დროა განვაცხადოთ კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA. ე.ი. განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება რომელიმე ფიგურის ფართობს. განვიხილოთ განსაზღვრული ინტეგრალი

ინტეგრანდ

განსაზღვრავს მრუდს სიბრტყეზე (სურვილის შემთხვევაში მისი დახატვა შესაძლებელია), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

, , , .

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების ყველაზე მნიშვნელოვანი წერტილი არის ნახაზის აგება. უფრო მეტიც, ნახატი უნდა აშენდეს უფლება.

გეგმის შექმნისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა ხაზი (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) და მხოლოდ შემდეგ- პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. წერტილი-პუნქტის მშენებლობის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. იქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მასალა, რომელიც ძალიან სასარგებლოა ჩვენს გაკვეთილთან დაკავშირებით - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.

მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება წ= 0 განსაზღვრავს ღერძს ოქსი):

მრუდი ტრაპეციას არ გამოვჩეჩავთ, გასაგებია რომელ არეალზეა აქ საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:

ინტერვალზე [-2; 1] ფუნქციის გრაფიკი წ = x 2 + 2 მდებარეობს ღერძზე მეტიოქსი, Ამიტომაც:

პასუხი: .

ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება

,

მიმართეთ ლექციას განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები. დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, "თვალით" ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას - კარგად, დაახლოებით 9 იქნება აკრეფილი, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი xy = 4, x = 2, x= 4 და ღერძი ოქსი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშოქსი?

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი წ = e-x, x= 1 და საკოორდინაციო ღერძები.

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მრუდი ტრაპეცია მთლიანად ღერძის ქვეშ ოქსი , მაშინ მისი ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

Ამ შემთხვევაში:

.

ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა აგვერიოს:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ გარკვეული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით წ = 2x – x 2 , წ = -x.

გამოსავალი: ჯერ უნდა გააკეთოთ ნახატი. ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. იპოვეთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები წ = 2x – x 2 და სწორი წ = -x. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ასე რომ, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი ა= 0, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი ბ= 3. ხშირად უფრო მომგებიანი და სწრაფია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა, თითქოს „თვითონ“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ჯერ კიდევ ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური). ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით დავხატოთ ნახატი:

ჩვენ ვიმეორებთ, რომ წერტილის მშენებლობაში, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად ირკვევა "ავტომატურად".

ახლა კი სამუშაო ფორმულა:

თუ სეგმენტზე [ ა; ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია ვ(x) მეტი ან ტოლიგარკვეული უწყვეტი ფუნქცია გ(x), მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

აქ აღარ არის საჭირო ფიქრი სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, არამედ მნიშვნელობა აქვს რომელი დიაგრამაა ზემოთ(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, 2-დან. x – x 2 უნდა გამოკლდეს - x.

გადაწყვეტის დასრულება შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით წ = 2x – x 2 ზედა და სწორი წ = -xქვემოდან.

მე-2 სეგმენტზე x – x 2 ≥ -x. შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი: .

სინამდვილეში, სკოლის ფორმულა მრუდი ტრაპეციის ფართობის ქვედა ნახევარ სიბრტყეში (იხ. მაგალითი No3) არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა.

.

ვინაიდან ღერძი ოქსიმოცემულია განტოლებით წ= 0 და ფუნქციის გრაფიკი გ(x) მდებარეობს ღერძის ქვემოთ ოქსი, მაშინ

.

ახლა კი რამდენიმე მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 5

მაგალითი 6

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით ტერიტორიის გამოსათვლელად ამოცანების გადაჭრის პროცესში ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები იყო სწორი, მაგრამ, უყურადღებობის გამო, ... იპოვა არასწორი ფიგურის ფართობი.

მაგალითი 7

ჯერ დავხატოთ:

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული.(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ისინი ხშირად წყვეტენ, რომ უნდა იპოვონ მწვანეში დაჩრდილული ფიგურის ფართობი!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ მასში ფიგურის ფართობი გამოითვლება ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:

1) სეგმენტზე [-1; 1] ღერძის ზემოთ ოქსიგრაფიკი სწორია წ = x+1;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე ოქსიმდებარეობს ჰიპერბოლის გრაფიკი წ = (2/x).

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

პასუხი:

მაგალითი 8

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

განტოლებები წარმოვადგინოთ „სკოლის“ სახით

და გააკეთე ხაზის ნახაზი:

ნახაზიდან ჩანს, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი "კარგია": ბ = 1.

მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი? გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა?

Შესაძლოა, ა=(-1/3)? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, ეს შეიძლება აღმოჩნდეს ა=(-1/4). რა მოხდება, თუ ჩვენ საერთოდ არ მივიღეთ გრაფიკი სწორად?

ასეთ შემთხვევებში საჭიროა დამატებითი დროის დახარჯვა და ინტეგრაციის საზღვრების ანალიტიკური დახვეწა.

იპოვეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები

ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

.

აქედან გამომდინარე, ა=(-1/3).

შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია. მთავარია, ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში არ აგერიოთ. გამოთვლები აქ არ არის ყველაზე მარტივი. სეგმენტზე

, ,

შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

გაკვეთილის დასასრულს განვიხილავთ ორ ამოცანას უფრო რთულად.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

ამოხსნა: დახაზეთ ეს ფიგურა ნახაზზე.

ნახაზის დახატვის წერტილად, თქვენ უნდა იცოდეთ სინუსოიდის გარეგნობა. ზოგადად, სასარგებლოა ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკის ცოდნა, ასევე სინუსების ზოგიერთი მნიშვნელობის ცოდნა. ისინი შეგიძლიათ იხილოთ მნიშვნელობების ცხრილში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ზოგიერთ შემთხვევაში (მაგალითად, ამ შემთხვევაში) დასაშვებია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზედაც პრინციპულად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები გრაფიკები და ინტეგრაციის ლიმიტები.

აქ ინტეგრაციის ლიმიტებთან არანაირი პრობლემა არ არის, ისინი პირდაპირ გამომდინარეობენ მდგომარეობიდან:

- "x" იცვლება ნულიდან "pi". ჩვენ ვიღებთ შემდგომ გადაწყვეტილებას:

სეგმენტზე, ფუნქციის გრაფიკი წ= ცოდვა 3 xმდებარეობს ღერძის ზემოთ ოქსი, Ამიტომაც:

(1) გაკვეთილზე ხედავთ, როგორ არის ინტეგრირებული სინუსები და კოსინუსები კენტ ძალებში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები. ჩვენ ვჭრით ერთ სინუსს.

(2) ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას ფორმაში

(3) მოდით შევცვალოთ ცვლადი ტ= cos x, შემდეგ: მდებარეობს ღერძის ზემოთ, ასე რომ:

.

.

Შენიშვნა:გაითვალისწინეთ, როგორ არის აღებული კუბში ტანგენსის ინტეგრალი, აქ გამოყენებულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის შედეგი

.