პითაგორა არის ბერძენი მეცნიერი, რომელიც ცხოვრობდა დაახლოებით 2500 წლის წინ (ძვ. წ. 564-473).

მიეცეს მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის გვერდებიც ა, ბდა თან(სურ. 267).

ავაშენოთ კვადრატები მის გვერდებზე. ამ კვადრატების ფართობები შესაბამისად ა 2 , ბ 2 და თან 2. ეს დავამტკიცოთ თან 2 = ა 2 +ბ 2 .

მოდით ავაშენოთ ორი კვადრატი MKOR და M'K'O'R' (სურ. 268, 269), თითოეული მათგანის გვერდისთვის ავიღოთ ABC მართკუთხა სამკუთხედის ფეხების ჯამის ტოლი სეგმენტი.

ამ კვადრატებზე 268 და 269 სურათებზე ნაჩვენები კონსტრუქციების დასრულების შემდეგ, ჩვენ დავინახავთ, რომ MKOR კვადრატი დაყოფილია ორ კვადრატად ფართობებით. ა 2 და ბ 2 და ოთხი ტოლი მართკუთხა სამკუთხედი, რომელთაგან თითოეული ტოლია ABC მართკუთხა სამკუთხედის. კვადრატი M'K'O'R' დაყოფილია ოთხკუთხედად (ის დაჩრდილულია 269 სურათზე) და ოთხ მართკუთხა სამკუთხედად, რომელთაგან თითოეული ასევე უდრის ABC სამკუთხედს. დაჩრდილული ოთხკუთხედი არის კვადრატი, რადგან მისი გვერდები ტოლია (თითოეული უდრის ABC სამკუთხედის ჰიპოტენუზას, ე.ი. თან), და კუთხეები სწორი ხაზებია ∠1 + ∠2 = 90°, საიდანაც ∠3 = 90°).

ამრიგად, ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი (სურათზე 268 ეს კვადრატები დაჩრდილულია) უდრის MKOR კვადრატის ფართობს ოთხი ტოლი სამკუთხედის ფართობის ჯამის გარეშე და ფართობის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი (სურათი 269 ეს კვადრატი ასევე დაჩრდილულია) უდრის M'K'O'R' კვადრატის ფართობს, უდრის MKOR კვადრატს, ფართობების ჯამის გარეშე. ოთხი მსგავსი სამკუთხედი. ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამს.

ჩვენ ვიღებთ ფორმულას თან 2 = ა 2 +ბ 2, სადაც თან- ჰიპოტენუზა, ადა ბ- მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები.

პითაგორას თეორემა შეიძლება შეჯამდეს შემდეგნაირად:

მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას კვადრატი უდრის წვივების კვადრატების ჯამს.

ფორმულიდან თან 2 = ა 2 +ბ 2 შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი ფორმულები:

ა 2 = თან 2 - ბ 2 ;

b 2 = თან 2 - ა 2 .

ეს ფორმულები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მართკუთხა სამკუთხედის უცნობი გვერდის მოსაძებნად, მოცემული მისი ორი გვერდიდან.

Მაგალითად:

ა) თუ ფეხებს აძლევენ ა= 4 სმ, ბ\u003d 3 სმ, შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ჰიპოტენუზა ( თან):

თან 2 = ა 2 +ბ 2, ე.ი. თან 2 = 4 2 + 3 2 ; 2 = 25-ით, საიდანაც თან= √25 = 5(სმ);

ბ) თუ ჰიპოტენუზაა მოცემული თან= 17 სმ და ფეხი ა= 8 სმ, შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა ფეხი ( ბ):

ბ 2 = თან 2 - ა 2, ე.ი. ბ 2 = 17 2 - 8 2 ; ბ 2 = 225, საიდანაც ბ= √225 = 15 (სმ).

დასკვნა: თუ ორ მართკუთხა სამკუთხედში ABC და A 1 B 1 C 1 ჰიპოტენუზა თანდა თან 1 ტოლია და ფეხი ბსამკუთხედი ABC უფრო დიდია ვიდრე ფეხი ბ 1 სამკუთხედი A 1 B 1 C 1,

შემდეგ ფეხი ასამკუთხედი ABC უფრო მცირეა ვიდრე ფეხი ა 1 სამკუთხედი A 1 B 1 C 1 .

მართლაც, პითაგორას თეორემაზე დაყრდნობით, ჩვენ ვიღებთ:

ა 2 = თან 2 - ბ 2 ,

ა 1 2 = თან 1 2 - ბ 1 2

დაწერილ ფორმულებში მინუენდები ტოლია, ხოლო პირველ ფორმულაში სუბტრაჰენდი მეტია მეორე ფორმულის ქვეტრაენდზე, შესაბამისად, პირველი განსხვავება მეორეზე ნაკლებია,

ე.ი. ა 2 ა 1 2 . სად აა 1 .

თუმცა, სახელი მეცნიერის პატივსაცემად მიიღეს მხოლოდ იმ მიზეზით, რომ ის არის პირველი და თუნდაც ერთადერთი ადამიანი, ვინც შეძლო თეორემის დამტკიცება.

მათემატიკის გერმანელი ისტორიკოსი კანტორი ამტკიცებდა, რომ თეორემა ეგვიპტელებისთვის უკვე ცნობილი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2300 წელს. ე. მას სჯეროდა, რომ მართი კუთხეები აგებული იყო მართკუთხა სამკუთხედების წყალობით 3, 4 და 5 გვერდებით.

ცნობილმა მეცნიერმა კეპლერმა თქვა, რომ გეომეტრიას შეუცვლელი საგანძური აქვს - ეს არის პითაგორას თეორემა, რომლის წყალობითაც შესაძლებელია გეომეტრიაში არსებული თეორემების უმეტესობის გამოყვანა.

ადრე პითაგორას თეორემას ეწოდებოდა "პატარძლის თეორემა" ან "ნიმფის თეორემა". და საქმე ის არის, რომ მისი ნახატი ძალიან ჰგავდა პეპელას ან ნიმფას. არაბებმა, როდესაც თარგმნეს თეორემის ტექსტი, გადაწყვიტეს, რომ ნიმფა ნიშნავს პატარძალს. ასე გაჩნდა თეორემის საინტერესო სახელწოდება.

პითაგორას თეორემა, ფორმულა

თეორემა

- მართკუთხა სამკუთხედში, ფეხების კვადრატების ჯამი () უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს (). ეს არის ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა.

ფორმულა:

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, არსებობს თეორემის მრავალი განსხვავებული მტკიცებულება მრავალმხრივი მათემატიკური მიდგომებით. თუმცა, ფართობის თეორემები უფრო ხშირად გამოიყენება.

ააგეთ კვადრატები სამკუთხედზე ( ლურჯი, მწვანე, წითელი)

ანუ, ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობს. შესაბამისად, ამ კვადრატების ფართობები ტოლია -. ეს არის პითაგორას გეომეტრიული ახსნა.

თეორემის დადასტურება ფართობის მეთოდით: 1 გზა

ეს დავამტკიცოთ.

განვიხილოთ იგივე სამკუთხედი a, b და c ჰიპოტენუზა კუთხით.

1. მართკუთხა სამკუთხედს ვასრულებთ კვადრატამდე. ფეხიდან „ა“ ვაგრძელებთ ხაზს „ბ“ ფეხის მანძილამდე (წითელი ხაზი).
2. შემდეგი, ჩვენ ვხატავთ ახალი ფეხის "a" ხაზს მარჯვნივ (მწვანე ხაზი).
3. ჩვენ ვაკავშირებთ ორ ფეხს ჰიპოტენუზა "c".

გამოდის იგივე სამკუთხედი, მხოლოდ შებრუნებული.

ანალოგიურად, ჩვენ ვაშენებთ მეორე მხარეს: ფეხიდან "a" ვხატავთ ფეხის ხაზს "b" და ქვემოთ "a" და "b" და ფეხის ქვემოდან "b" ვხატავთ ხაზს. ფეხი "ა". თითოეული ფეხის ცენტრში დახატული იყო ჰიპოტენუზა "c". ამრიგად, ჰიპოტენუსებმა შექმნეს კვადრატი ცენტრში.

ეს კვადრატი შედგება 4 იდენტური სამკუთხედისგან. და თითოეული მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი = მისი ფეხების ნამრავლის ნახევარი. შესაბამისად,. და კვადრატის ფართობი ცენტრში = , რადგან ოთხივე ჰიპოტენუსს აქვს გვერდი. ოთხკუთხედის გვერდები ტოლია და კუთხეები მართია. როგორ დავამტკიცოთ, რომ კუთხეები სწორია? Ძალიან მარტივი. ავიღოთ იგივე კვადრატი:

ჩვენ ვიცით, რომ ნახატზე ნაჩვენები ორი კუთხე 90 გრადუსია. ვინაიდან სამკუთხედები ტოლია, შემდეგი ფეხის კუთხე "b" უდრის წინა კუთხის "b"-ს:

ამ ორი კუთხის ჯამი = 90 გრადუსი. შესაბამისად, წინა კუთხეც 90 გრადუსია. რა თქმა უნდა, იგივეა მეორე მხარესაც. შესაბამისად, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს კვადრატი მართი კუთხით.

ვინაიდან მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეები მთლიანობაში 90 გრადუსია, ოთხკუთხედის კუთხეც ასევე იქნება 90 გრადუსი, რადგან 3 კუთხე = 180 გრადუსი.

შესაბამისად, კვადრატის ფართობი შედგება ოთხი იდენტური მართკუთხა სამკუთხედების და კვადრატის ფართობისაგან, რომელიც წარმოიქმნება ჰიპოტენუსებით.

ამრიგად, მივიღეთ კვადრატი გვერდით. ჩვენ ვიცით, რომ კვადრატის ფართობი გვერდით არის მისი გვერდის კვადრატი. ე.ი. ეს კვადრატი შედგება ოთხი იდენტური სამკუთხედისგან.

და ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ დავამტკიცეთ პითაგორას თეორემა.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!!!თუ ვიპოვით ჰიპოტენუზას, მაშინ ვამატებთ ორ ფეხს, შემდეგ კი პასუხს ფესვიდან გამოვიღებთ. ერთ-ერთი ფეხის პოვნისას: მეორე ფეხის სიგრძის კვადრატს გამოაკელი ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი და იპოვე კვადრატული ფესვი.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი 1

დავალება

მოცემულია: მართკუთხა სამკუთხედი 4 და 5 ფეხებით.

იპოვეთ ჰიპოტენუზა. რამდენადაც ჩვენ აღვნიშნავთ მას

გადაწყვეტილება

ფეხების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. ჩვენს შემთხვევაში - .

მოდით გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა:

ასე რომ, ა. ფეხები 41-მდეა.

მაშინ . ასე რომ, ჰიპოტენუზის კვადრატი არის 41.

41 რიცხვის კვადრატი = 6.4.

ჩვენ ვიპოვეთ ჰიპოტენუზა.

უპასუხე

ჰიპოტენუზა = 6.4

კრეატიულობის პოტენციალი ჩვეულებრივ მიეკუთვნება ჰუმანიტარულ მეცნიერებებს, ტოვებს ბუნებრივ სამეცნიერო ანალიზს, პრაქტიკულ მიდგომას და ფორმულებისა და რიცხვების მშრალ ენას. მათემატიკა არ შეიძლება ჩაითვალოს ჰუმანიტარულ საგნად. მაგრამ "ყველა მეცნიერების დედოფალში" შემოქმედების გარეშე შორს ვერ წახვალ - ხალხმა ამის შესახებ დიდი ხანია იცოდა. მაგალითად, პითაგორას დროიდან.

სამწუხაროდ, სასკოლო სახელმძღვანელოები, როგორც წესი, არ ხსნიან, რომ მათემატიკაში მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ თეორემების, აქსიომების და ფორმულების აწყობა. მნიშვნელოვანია მისი ფუნდამენტური პრინციპების გაგება და შეგრძნება. და ამავე დროს, შეეცადეთ გაათავისუფლოთ გონება კლიშეებისა და ელემენტარული ჭეშმარიტებისგან - მხოლოდ ასეთ პირობებში იბადება ყველა დიდი აღმოჩენა.

ასეთი აღმოჩენები მოიცავს ისეთს, რომელიც დღეს ჩვენ ვიცით, როგორც პითაგორას თეორემა. მისი დახმარებით შევეცდებით ვაჩვენოთ, რომ მათემატიკა არა მხოლოდ შეუძლია, არამედ უნდა იყოს სახალისო. და რომ ეს თავგადასავალი შესაფერისია არა მხოლოდ სქელი სათვალეების ნერდებისთვის, არამედ ყველასთვის, ვინც ძლიერია გონებით და ძლიერი სულით.

საკითხის ისტორიიდან

მკაცრად რომ ვთქვათ, მიუხედავად იმისა, რომ თეორემას "პითაგორას თეორემა" ჰქვია, თავად პითაგორამ ის ვერ აღმოაჩინა. მართკუთხა სამკუთხედი და მისი განსაკუთრებული თვისებები მასზე დიდი ხნით ადრე იყო შესწავლილი. ამ საკითხზე ორი პოლარული თვალსაზრისი არსებობს. ერთ-ერთი ვერსიით, პითაგორამ პირველმა იპოვა თეორემის სრული დადასტურება. მეორეს აზრით, მტკიცებულება არ ეკუთვნის პითაგორას ავტორს.

დღეს ვეღარ შეამოწმებ ვინ არის მართალი და ვინ არასწორი. ცნობილია მხოლოდ ის, რომ პითაგორას მტკიცებულება, თუ ის ოდესმე არსებობდა, არ შემორჩენილა. თუმცა, არსებობს ვარაუდები, რომ ცნობილი მტკიცებულება ევკლიდეს ელემენტებიდან შეიძლება ეკუთვნოდეს პითაგორას და ევკლიდემ მხოლოდ ჩაწერა იგი.

დღეს ასევე ცნობილია, რომ მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ პრობლემები გვხვდება ეგვიპტურ წყაროებში ფარაონ ამენემჰეტ I-ის დროიდან, ბაბილონის თიხის ფირფიტებზე მეფე ჰამურაბის მეფობის დროიდან, ძველ ინდურ ტრაქტატში Sulva Sutra და ძველ ჩინურ ნაშრომში Zhou. -ბი სუან ჯინი.

როგორც ხედავთ, პითაგორას თეორემა უძველესი დროიდან იპყრობს მათემატიკოსთა გონებას. დაახლოებით 367 სხვადასხვა სახის მტკიცებულება, რომელიც დღეს არსებობს, დადასტურებას ემსახურება. სხვა თეორემა მას ამ მხრივ კონკურენციას ვერ გაუწევს. ცნობილი მტკიცებულების ავტორები არიან ლეონარდო და ვინჩი და შეერთებული შტატების მე-20 პრეზიდენტი ჯეიმს გარფილდი. ეს ყველაფერი მათემატიკისთვის ამ თეორემის უკიდურეს მნიშვნელობაზე მეტყველებს: გეომეტრიის თეორემების უმეტესობა მისგან არის მიღებული ან, ასე თუ ისე, მასთან დაკავშირებული.

პითაგორას თეორემის მტკიცებულებები

სასკოლო სახელმძღვანელოები ძირითადად ალგებრულ მტკიცებულებებს იძლევა. მაგრამ თეორემის არსი გეომეტრიაშია, ამიტომ პირველ რიგში განვიხილოთ ცნობილი თეორემის ის მტკიცებულებები, რომლებიც ამ მეცნიერებას ეფუძნება.

მტკიცებულება 1

მართკუთხა სამკუთხედის პითაგორას თეორემის უმარტივესი დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა დააყენოთ იდეალური პირობები: დაე, სამკუთხედი იყოს არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ ტოლფერდა. არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ ეს იყო ასეთი სამკუთხედი, რომელიც თავდაპირველად განიხილებოდა უძველესი მათემატიკოსების მიერ.

განცხადება "მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი უდრის მის ფეხებზე აგებული კვადრატების ჯამს"შეიძლება ილუსტრირებული იყოს შემდეგი ნახატით:

შეხედეთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედს ABC: ჰიპოტენუზაზე AC შეგიძლიათ ააგოთ კვადრატი, რომელიც შედგება ოთხი სამკუთხედისგან, რომელიც ტოლია თავდაპირველი ABC. ხოლო AB და BC კვადრატზე აგებულ ფეხებზე, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ორ მსგავს სამკუთხედს.

სხვათა შორის, ამ ნახატმა საფუძველი ჩაუყარა პითაგორას თეორემისადმი მიძღვნილ მრავალ ანეკდოტსა და მულტფილმს. ალბათ ყველაზე ცნობილი "პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია":

მტკიცებულება 2

ეს მეთოდი აერთიანებს ალგებრას და გეომეტრიას და შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკოს ბჰასკარის უძველესი ინდური მტკიცებულების ვარიანტად.

ააგეთ მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით a, b და c(ნახ. 1). შემდეგ ააგეთ ორი კვადრატი, რომელთა გვერდები უდრის ორი ფეხის სიგრძის ჯამს - (a+b). თითოეულ კვადრატში გააკეთეთ კონსტრუქციები, როგორც 2 და 3 სურათებში.

პირველ კვადრატში ააგეთ ოთხი იგივე სამკუთხედი, როგორც სურათზე 1. შედეგად, მიიღება ორი კვადრატი: ერთი გვერდით a, მეორე გვერდით. ბ.

მეორე კვადრატში, აგებული ოთხი მსგავსი სამკუთხედი ქმნის კვადრატს, რომლის გვერდი ტოლია ჰიპოტენუზას გ.

2-ში აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი უდრის იმ კვადრატის ფართობს, რომელიც ჩვენ ავაშენეთ c გვერდით ნახ.3-ში. ამის მარტივად დამოწმება შესაძლებელია ნახ. 2 ფორმულის მიხედვით. და 3-ზე გამოსახული კვადრატის ფართობი. კვადრატში ჩაწერილი ოთხი თანაბარი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობების გამოკლებით დიდი კვადრატის ფართობიდან გვერდით. (a+b).

ამ ყველაფრის ჩამორთმევით, ჩვენ გვაქვს: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. გააფართოვეთ ფრჩხილები, გააკეთეთ ყველა საჭირო ალგებრული გამოთვლა და მიიღეთ ეს a 2 + b 2 = a 2 + b 2. ამავდროულად, ნახ.3-ში ჩაწერილი ფართობი. კვადრატი ასევე შეიძლება გამოითვალოს ტრადიციული ფორმულის გამოყენებით S=c2. იმათ. a2+b2=c2თქვენ დაამტკიცეთ პითაგორას თეორემა.

მტკიცებულება 3

იგივე ძველი ინდური მტკიცებულება აღწერილია მე-12 საუკუნეში ტრაქტატში „ცოდნის გვირგვინი“ („სიდჰანტა შირომანი“) და მთავარ არგუმენტად ავტორი იყენებს მიმართვას, რომელიც მიმართულია სტუდენტების მათემატიკური ნიჭისა და დაკვირვების შესაძლებლობებზე. მიმდევრები: "ნახე!".

მაგრამ ჩვენ უფრო დეტალურად გავაანალიზებთ ამ მტკიცებულებას:

კვადრატის შიგნით ააგეთ ოთხი მართკუთხა სამკუთხედი, როგორც ეს ნახაზზეა მითითებული. დიდი კვადრატის გვერდი, რომელიც ასევე ჰიპოტენუზაა, აღინიშნება თან. მოდით მოვუწოდოთ სამკუთხედის ფეხები ადა ბ. ნახატის მიხედვით, შიდა კვადრატის გვერდი არის (a-b).

გამოიყენეთ კვადრატული ფართობის ფორმულა S=c2გარე კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად. და ამავე დროს გამოთვალეთ იგივე მნიშვნელობა შიდა კვადრატის ფართობისა და ოთხი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის დამატებით: (ა-ბ) 2 2+4*1\2*ა*ბ.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორივე ვარიანტი კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად, რათა დარწმუნდეთ, რომ ისინი იმავე შედეგს იძლევა. და ეს გაძლევთ უფლებას დაწეროთ ეს c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. ამოხსნის შედეგად მიიღებთ პითაგორას თეორემის ფორმულას c2=a2+b2. თეორემა დადასტურდა.

მტკიცებულება 4

ამ ცნობისმოყვარე ძველ ჩინურ მტკიცებულებას ეწოდება "პატარძლის სკამი" - სკამის მსგავსი ფიგურის გამო, რომელიც წარმოიქმნება ყველა კონსტრუქციიდან:

ის იყენებს ნახატს, რომელიც უკვე ვნახეთ მე-3 სურათზე მეორე მტკიცებულებაში. და შიდა კვადრატი c გვერდით აგებულია ისევე, როგორც ზემოთ მოცემულ ძველ ინდურ მტკიცებულებაში.

თუ 1-ელ ნახატზე გონებრივად ამოჭრით ორ მწვანე მართკუთხა სამკუთხედს, გადაიტანეთ ისინი კვადრატის მოპირდაპირე მხარეებზე c გვერდით და ჰიპოტენუსებს მიამაგრებთ იასამნისფერი სამკუთხედების ჰიპოტენუზას, მიიღებთ ფიგურას, რომელსაც ეწოდება "პატარძლის" სკამი“ (სურ. 2). სიცხადისთვის, იგივე შეგიძლიათ გააკეთოთ ქაღალდის კვადრატებითა და სამკუთხედებით. დაინახავთ, რომ „პატარძლის სკამი“ ორი კვადრატით არის ჩამოყალიბებული: პატარა გვერდითი ბდა დიდი გვერდით ა.

ამ კონსტრუქციებმა საშუალება მისცა ძველ ჩინელ მათემატიკოსებს და ჩვენც მათ მიმდევრებს მივსულიყავით დასკვნამდე, რომ c2=a2+b2.

მტკიცებულება 5

ეს არის კიდევ ერთი გზა გეომეტრიაზე დაფუძნებული პითაგორას თეორემის ამოხსნის მოსაძებნად. ამას ჰქვია გარფილდის მეთოდი.

ააგეთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC. ჩვენ ეს უნდა დავამტკიცოთ BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

ამისათვის გააგრძელეთ ფეხი ACდა ავაშენოთ სეგმენტი CD, რომელიც უდრის ფეხს AB. ქვედა პერპენდიკულარი ახ.წხაზის სეგმენტი ედ. სეგმენტები ედდა ACთანაბარი არიან. შეაერთე წერტილები ედა AT, ისევე, როგორც ედა თანდა მიიღეთ ნახატი, როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე:

კოშკის დასამტკიცებლად, ჩვენ კვლავ მივმართავთ ჩვენ მიერ უკვე გამოსაცდელ მეთოდს: ვპოულობთ მიღებული ფიგურის ფართობს ორი გზით და ვაიგივებთ გამონათქვამებს ერთმანეთთან.

იპოვეთ მრავალკუთხედის ფართობი ABEDშეიძლება გაკეთდეს სამი სამკუთხედის ფართობის დამატებით, რომლებიც ქმნიან მას. და ერთ-ერთი მათგანი ERU, არის არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ ტოლფერდაც. ისიც არ დავივიწყოთ AB=CD, AC=EDდა ძვ.წ- ეს საშუალებას მოგვცემს გავამარტივოთ ჩაწერა და არ გადატვირთოთ იგი. Ისე, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

ამავე დროს, აშკარაა, რომ ABEDარის ტრაპეცია. ამიტომ, ჩვენ ვიანგარიშებთ მის ფართობს ფორმულის გამოყენებით: SABED=(DE+AB)*1/2AD. ჩვენი გამოთვლებისთვის უფრო მოსახერხებელი და ნათელია სეგმენტის წარმოდგენა ახ.წროგორც სეგმენტების ჯამი ACდა CD.

მოდით დავწეროთ ორივე გზა ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად მათ შორის ტოლობის ნიშნის დაყენებით: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ჩვენ ვიყენებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილი და ზემოთ აღწერილი სეგმენტების ტოლობას, რათა გავამარტივოთ აღნიშვნის მარჯვენა მხარე: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. ახლა ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და გარდაქმნით თანასწორობას: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. ყველა ტრანსფორმაციის დასრულების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ზუსტად იმას, რაც გვჭირდება: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა.

რა თქმა უნდა, მტკიცებულებათა ეს სია შორს არის სრული. პითაგორას თეორემა ასევე შეიძლება დადასტურდეს ვექტორების, რთული რიცხვების, დიფერენციალური განტოლებების, სტერეომეტრიის და ა.შ. და თუნდაც ფიზიკოსები: თუ, მაგალითად, სითხე შეედინება კვადრატულ და სამკუთხა მოცულობებში, რომლებიც ნახატებშია ნაჩვენები. სითხის ჩამოსხმით შესაძლებელია ფართობების თანასწორობის და შედეგად თავად თეორემას დამტკიცება.

რამდენიმე სიტყვა პითაგორას სამეულების შესახებ

ეს საკითხი სასკოლო სასწავლო გეგმაში ცოტაა ან არ არის შესწავლილი. ამასობაში ძალიან საინტერესოა და გეომეტრიაში დიდი მნიშვნელობა აქვს. პითაგორას სამეულები გამოიყენება მრავალი მათემატიკური ამოცანის გადასაჭრელად. მათი იდეა შეიძლება გამოგადგეთ შემდგომ განათლებაში.

რა არის პითაგორას სამეული? ე.წ ნატურალური რიცხვები, შეგროვებული სამებად, რომელთაგან ორის კვადრატების ჯამი უდრის მესამე რიცხვს კვადრატში.

პითაგორას სამეულები შეიძლება იყოს:

• პრიმიტიული (სამივე რიცხვი შედარებით მარტივია);
• არაპრიმიტიული (თუ სამეულის თითოეული რიცხვი მრავლდება იმავე რიცხვზე, მიიღებთ ახალ სამეულს, რომელიც არ არის პრიმიტიული).

ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე ძველ ეგვიპტელებს ხიბლავდათ პითაგორას სამეულების რიცხვის მანია: დავალებების შესრულებისას ისინი განიხილავდნენ მართკუთხა სამკუთხედს 3,4 და 5 ერთეული გვერდებით. სხვათა შორის, ნებისმიერი სამკუთხედი, რომლის გვერდებიც უდრის პითაგორას სამეულის რიცხვებს, ნაგულისხმევად მართკუთხაა.

პითაგორას სამეულების მაგალითები: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) და ა.შ.

თეორემის პრაქტიკული გამოყენება

პითაგორას თეორემა პოულობს გამოყენებას არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ არქიტექტურასა და მშენებლობაში, ასტრონომიაში და ლიტერატურაშიც კი.

პირველი, მშენებლობის შესახებ: პითაგორას თეორემა მასში ფართო გამოყენებას პოულობს სხვადასხვა დონის სირთულის ამოცანებში. მაგალითად, შეხედეთ რომაულ ფანჯარას:

ფანჯრის სიგანე აღვნიშნოთ როგორც ბ, მაშინ დიდი ნახევარწრის რადიუსი შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც რდა გამოხატოს მეშვეობით ბ: R=b/2. უფრო მცირე ნახევარწრილების რადიუსი ასევე შეიძლება გამოისახოს ბ: r=b/4. ამ პრობლემაში ჩვენ გვაინტერესებს ფანჯრის შიდა წრის რადიუსი (მოდით დავარქვათ გვ).

პითაგორას თეორემა უბრალოდ გამოსათვლელად გამოდგება რ. ამისათვის ვიყენებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც მითითებულია ფიგურაში წერტილოვანი ხაზით. სამკუთხედის ჰიპოტენუზა შედგება ორი რადიუსისგან: ბ/4+გვ. ერთი ფეხი არის რადიუსი ბ/4, სხვა ბ/2-პ. პითაგორას თეორემის გამოყენებით ჩვენ ვწერთ: (ბ/4+პ) 2 =(ბ/4) 2 +(ბ/2-პ) 2. შემდეგი, ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და ვიღებთ b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. გადავიტანოთ ეს გამოთქმა bp/2=b 2 /4-bp. შემდეგ კი ყველა ტერმინს ვყოფთ ბ, მსგავსებს ვაძლევთ მისაღებად 3/2*p=b/4. და ბოლოს ჩვენ ვპოულობთ ამას p=b/6- რაც გვჭირდებოდა.

თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რაფტერების სიგრძე ღობე სახურავისთვის. დაადგინეთ, თუ რამდენად მაღალია მობილური კოშკი საჭირო იმისათვის, რომ სიგნალმა მიაღწიოს გარკვეულ დასახლებას. და კიდევ სტაბილურად დააინსტალირეთ ნაძვის ხე ქალაქის მოედანზე. როგორც ხედავთ, ეს თეორემა ცხოვრობს არა მხოლოდ სახელმძღვანელოების გვერდებზე, არამედ ხშირად გამოსადეგია რეალურ ცხოვრებაში.

რაც შეეხება ლიტერატურას, პითაგორას თეორემა შთააგონებდა მწერლებს უძველესი დროიდან და ასე გრძელდება დღესაც. მაგალითად, მეცხრამეტე საუკუნის გერმანელი მწერალი ადელბერტ ფონ ჩამისო მისგან შთაგონებული იყო სონეტის დასაწერად:

ჭეშმარიტების შუქი მალე არ გაქრება,
მაგრამ, ბრწყინავს, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ დაიფანტოს
და, როგორც ათასობით წლის წინ,
არ გამოიწვევს ეჭვებს და კამათს.

ყველაზე ბრძენი, როცა თვალს ეხება
სიმართლის შუქი, მადლობა ღმერთებს;
და ასი ხარი, დაჭრილი, იტყუება -
იღბლიანი პითაგორას საპასუხო საჩუქარი.

მას შემდეგ ხარები სასოწარკვეთილად ღრიალებენ:
სამუდამოდ აღაგზნო ხარის ტომი
აქ ნახსენები მოვლენა.

ფიქრობენ, რომ დროა
და ისევ შეეწირებიან
რაღაც დიდი თეორემა.

(თარგმნა ვიქტორ ტოპოროვმა)

მეოცე საუკუნეში კი საბჭოთა მწერალმა ევგენი ველტისტოვმა თავის წიგნში "ელექტრონიკის თავგადასავალი" მთელი თავი მიუძღვნა პითაგორას თეორემის მტკიცებულებებს. და ნახევარი თავი მოთხრობის ორგანზომილებიანი სამყაროს შესახებ, რომელიც შეიძლება არსებობდეს, თუ პითაგორას თეორემა გახდება ფუნდამენტური კანონი და თუნდაც რელიგია ერთი სამყაროსთვის. მასში ცხოვრება ბევრად უფრო ადვილი იქნებოდა, მაგრამ ასევე უფრო მოსაწყენი: მაგალითად, იქ არავის ესმის სიტყვების "მრგვალი" და "ფუმფულა" მნიშვნელობა.

და წიგნში "ელექტრონული თავგადასავალი", ავტორი მათემატიკის მასწავლებლის ტარატარას პირით ამბობს: "მათემატიკაში მთავარია აზრის მოძრაობა, ახალი იდეები". აზროვნების სწორედ ეს შემოქმედებითი ფრენა წარმოშობს პითაგორას თეორემას - ტყუილად არ აქვს მას ამდენი მრავალფეროვანი მტკიცებულება. ეს გეხმარებათ გასცდეთ ჩვეულს და შეხედოთ ნაცნობ ნივთებს ახლებურად.

დასკვნა

ეს სტატია შეიქმნა იმისთვის, რომ შეხედოთ მათემატიკაში სასკოლო სასწავლო გეგმას და ისწავლოთ არა მხოლოდ პითაგორას თეორემის ის მტკიცებულებები, რომლებიც მოცემულია სახელმძღვანელოებში "გეომეტრია 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) და "გეომეტრია 7 -11". ” (A.V. Pogorelov), არამედ ცნობილი თეორემის დასამტკიცებლად სხვა საინტერესო გზები. ასევე იხილეთ მაგალითები, თუ როგორ შეიძლება პითაგორას თეორემა გამოიყენოს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

უპირველეს ყოვლისა, ეს ინფორმაცია საშუალებას მოგცემთ მოითხოვოთ უფრო მაღალი ქულები მათემატიკის კლასებში - ინფორმაცია ამ საკითხზე დამატებითი წყაროებიდან ყოველთვის მაღალი შეფასებაა.

მეორეც, გვინდოდა დაგეხმაროთ იმის გაგებაში, თუ რამდენად საინტერესოა მათემატიკა. კონკრეტული მაგალითებით დავრწმუნდეთ, რომ მასში ყოველთვის არის ადგილი შემოქმედებითობისთვის. ვიმედოვნებთ, რომ პითაგორას თეორემა და ეს სტატია მოგცემთ შთაგონებას გააკეთოთ საკუთარი კვლევა და საინტერესო აღმოჩენები მათემატიკასა და სხვა მეცნიერებებში.

გვითხარით კომენტარებში, თქვენთვის საინტერესო აღმოჩნდა თუ არა სტატიაში წარმოდგენილი მტკიცებულებები. დაგეხმარათ ეს ინფორმაცია თქვენს სწავლაში? გაგვაგებინეთ, რას ფიქრობთ პითაგორას თეორემაზე და ამ სტატიაზე - ჩვენ სიამოვნებით განვიხილავთ ამ ყველაფერს თქვენთან ერთად.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

პითაგორას თეორემა: კვადრატების ფართობების ჯამი, რომლებიც მხარს უჭერენ ფეხებს ( ადა ბ), უდრის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობს ( გ).

გეომეტრიული ფორმულირება:

თეორემა თავდაპირველად ჩამოყალიბდა შემდეგნაირად:

ალგებრული ფორმულირება:

ეს არის სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძის აღნიშვნა გ, და სიგრძის ფეხები მეშვეობით ადა ბ :

ა 2 + ბ 2 = გ 2

თეორემის ორივე ფორმულირება ექვივალენტურია, მაგრამ მეორე ფორმულირება უფრო ელემენტარულია, არ საჭიროებს ფართობის ცნებას. ანუ, მეორე დებულების გადამოწმება შესაძლებელია ფართობის შესახებ არაფრის ცოდნის გარეშე და მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძის გაზომვით.

ინვერსიული პითაგორას თეორემა:

Მტკიცებულება

ამ დროისთვის სამეცნიერო ლიტერატურაში ამ თეორემის 367 მტკიცებულებაა დაფიქსირებული. ალბათ, პითაგორას თეორემა ერთადერთი თეორემაა, რომელსაც მტკიცებულებების ასეთი შთამბეჭდავი რაოდენობა აქვს. ასეთი მრავალფეროვნება შეიძლება აიხსნას მხოლოდ გეომეტრიისთვის თეორემის ფუნდამენტური მნიშვნელობით.

რა თქმა უნდა, კონცეპტუალურად, ყველა მათგანი შეიძლება დაიყოს კლასების მცირე რაოდენობად. მათგან ყველაზე ცნობილია: მტკიცებულებები ფართობის მეთოდით, აქსიომატური და ეგზოტიკური მტკიცებულებები (მაგალითად, დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებით).

მსგავსი სამკუთხედების მეშვეობით

ალგებრული ფორმულირების შემდეგი მტკიცებულება არის უმარტივესი მტკიცებულებები, რომლებიც აგებულია უშუალოდ აქსიომებიდან. კერძოდ, ის არ იყენებს ფიგურის ფართობის კონცეფციას.

დაე იყოს ABCარის მართკუთხა სამკუთხედი C. მოდით დავხატოთ სიმაღლე Cდა აღვნიშნო მისი საფუძველი ჰ. სამკუთხედი ACHსამკუთხედის მსგავსი ABCორ კუთხეში. ანალოგიურად, სამკუთხედი CBHმსგავსი ABC. აღნიშვნის გაცნობა

ვიღებთ

რა არის ექვივალენტი

დავამატებთ, ვიღებთ

ფართობის მტკიცებულებები

შემდეგი მტკიცებულებები, მიუხედავად მათი აშკარა სიმარტივისა, არც ისე მარტივია. ყველა მათგანი იყენებს ფართობის თვისებებს, რისი დადასტურება უფრო რთულია, ვიდრე თავად პითაგორას თეორემის მტკიცებულება.

დადასტურება ეკვივალენტობის საშუალებით

1. დაალაგეთ ოთხი თანაბარი მართკუთხა სამკუთხედი, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 1.
2. ოთხკუთხედი გვერდებით გარის კვადრატი, რადგან ორი მახვილი კუთხის ჯამი არის 90° და სწორი კუთხის 180°.
3. მთელი ფიგურის ფართობი უდრის, ერთის მხრივ, კვადრატის ფართობის გვერდით (a + b), ხოლო მეორეს მხრივ, ოთხი სამკუთხედისა და ორი შიდა ფართობის ჯამს. კვადრატები.

ქ.ე.დ.

მტკიცებულება ეკვივალენტობის მეშვეობით

ელეგანტური პერმუტაციის მტკიცებულება

ერთ-ერთი ამ მტკიცებულების მაგალითი ნაჩვენებია ნახატზე მარჯვნივ, სადაც ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი პერმუტაციით გარდაიქმნება ფეხებზე აგებულ ორ კვადრატად.

ევკლიდეს მტკიცებულება

ნახატი ევკლიდეს მტკიცებულებისთვის

ილუსტრაცია ევკლიდეს მტკიცებულებისთვის

ევკლიდეს მტკიცებულების იდეა ასეთია: შევეცადოთ დავამტკიცოთ, რომ ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობის ნახევარი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ნახევარი ფართობის ჯამს, შემდეგ კი ფართობებს. დიდი და ორი პატარა კვადრატი ტოლია.

განიხილეთ ნახატი მარცხნივ. მასზე ავაგეთ კვადრატები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე და დავხატეთ სხივი s მართი კუთხის წვეროდან AB ჰიპოტენუზაზე პერპენდიკულარული, ის ჭრის კვადრატს ABIK, რომელიც აგებულია ჰიპოტენუზაზე, ორ მართკუთხედად - BHJI და HAKJ. შესაბამისად. გამოდის, რომ ამ მართკუთხედების ფართობები ზუსტად უდრის შესაბამის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობებს.

შევეცადოთ დავამტკიცოთ, რომ კვადრატის ფართობი DECA ტოლია მართკუთხედის ფართობის AHJK ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ დამხმარე დაკვირვებას: სამკუთხედის ფართობი იგივე სიმაღლით და ფუძით, როგორც მოცემული. მართკუთხედი უდრის მოცემული მართკუთხედის ფართობის ნახევარს. ეს არის სამკუთხედის ფართობის ფუძისა და სიმაღლის ნახევრად განსაზღვრის შედეგი. ამ დაკვირვებიდან გამომდინარეობს, რომ ACK სამკუთხედის ფართობი უდრის AHK სამკუთხედის ფართობს (არ არის ნაჩვენები), რაც, თავის მხრივ, უდრის AHJK მართკუთხედის ფართობის ნახევარს.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ ACK სამკუთხედის ფართობი ასევე უდრის კვადრატული DECA ფართობის ნახევარს. ერთადერთი, რაც ამისთვის უნდა გაკეთდეს, არის სამკუთხედების ACK და BDA ტოლობის დადასტურება (რადგან სამკუთხედის BDA ფართობი უდრის კვადრატის ფართობის ნახევარს ზემოაღნიშნული თვისებით). ეს თანასწორობა აშკარაა, სამკუთხედები ტოლია ორ მხარეს და კუთხე მათ შორის. სახელდობრ - AB=AK,AD=AC - CAK და BAD კუთხეების ტოლობის დამტკიცება მარტივია მოძრაობის მეთოდით: მოვატრიალოთ CAK სამკუთხედი 90 ° საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ აშკარაა, რომ ორი განხილული სამკუთხედის შესაბამისი გვერდი. დაემთხვევა (იმის გამო, რომ კვადრატის წვეროზე კუთხე არის 90°).

არგუმენტი BCFG კვადრატისა და BHJI მართკუთხედის ფართობების ტოლობის შესახებ სრულიად ანალოგიურია.

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი არის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი. იდეა ამ მტკიცებულების უკან უფრო ილუსტრირებულია ზემოთ მოცემულ ანიმაციაში.

ლეონარდო და ვინჩის მტკიცებულება

ლეონარდო და ვინჩის მტკიცებულება

მტკიცებულების ძირითადი ელემენტებია სიმეტრია და მოძრაობა.

განვიხილოთ ნახაზი, როგორც ჩანს სიმეტრიიდან, სეგმენტი Cმეკვეთს მოედანს აბჰჯ ორ იდენტურ ნაწილად (სამკუთხედებიდან აბCდა ჯჰმეკონსტრუქციაში თანაბარია). საათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90 გრადუსიანი ბრუნვის გამოყენებით, ჩვენ ვხედავთ დაჩრდილული ფიგურების თანასწორობას Cაჯმე და გდაბ . ახლა გასაგებია, რომ ჩვენს მიერ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობის ნახევარს და თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობის ჯამს. მეორეს მხრივ, ის უდრის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობის ნახევარს, პლუს თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობი. დასტურის ბოლო ნაბიჯი მკითხველს რჩება.

მტკიცებულება უსასრულოდ მცირე მეთოდით

შემდეგი მტკიცებულება დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებით ხშირად მიეწერება ცნობილ ინგლისელ მათემატიკოს ჰარდის, რომელიც ცხოვრობდა მე-20 საუკუნის პირველ ნახევარში.

ნახატზე ნაჩვენები ნახატის გათვალისწინება და მხარის ცვლილებაზე დაკვირვება ა, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი მიმართება უსასრულო გვერდითი ნამატებისთვის თანდა ა(მსგავსი სამკუთხედების გამოყენებით):

მტკიცებულება უსასრულოდ მცირე მეთოდით

ცვლადების გამოყოფის მეთოდის გამოყენებით ვპოულობთ

უფრო ზოგადი გამოხატულება ჰიპოტენუზის შეცვლის შემთხვევაში ორივე ფეხის მატების შემთხვევაში

ამ განტოლების ინტეგრირება და საწყისი პირობების გამოყენებით ვიღებთ

გ 2 = ა 2 + ბ 2 + მუდმივი.

ამრიგად, ჩვენ მივდივართ სასურველ პასუხამდე

გ 2 = ა 2 + ბ 2 .

ადვილი მისახვედრია, რომ საბოლოო ფორმულაში კვადრატული დამოკიდებულება ჩნდება სამკუთხედის გვერდებსა და ნამატებს შორის წრფივი პროპორციულობის გამო, ხოლო ჯამი განპირობებულია სხვადასხვა ფეხის ნაზრდის დამოუკიდებელი წვლილით.

უფრო მარტივი მტკიცებულება შეიძლება მივიღოთ, თუ დავუშვებთ, რომ ერთ-ერთი ფეხი არ განიცდის ზრდას (ამ შემთხვევაში, ფეხი ბ). შემდეგ ინტეგრაციის მუდმივისთვის ვიღებთ

ვარიაციები და განზოგადება

• თუ კვადრატების ნაცვლად, სხვა მსგავსი ფიგურები აგებულია ფეხებზე, მაშინ პითაგორას თეორემის შემდეგი განზოგადება მართალია: მართკუთხა სამკუთხედში, ფეხებზე აგებული მსგავსი ფიგურების ფართობების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზაზე აგებული ფიგურის ფართობს.Კერძოდ:
  • ფეხებზე აგებული რეგულარული სამკუთხედების ფართობის ჯამი უდრის ჰიპოტენუზაზე აგებული რეგულარული სამკუთხედის ფართობს.
  • ფეხებზე აგებული ნახევარწრილების არეების ჯამი (როგორც დიამეტრზე) უდრის ჰიპოტენუზაზე აგებული ნახევარწრის ფართობს. ეს მაგალითი გამოიყენება იმ ფიგურების თვისებების დასამტკიცებლად, რომლებიც შემოსაზღვრულია ორი წრის რკალებით და სახელწოდებით ჰიპოკრატეს ლუნულა.

ამბავი

ჩუ-პეი 500–200 ძვ.წ. მარცხნივ არის წარწერა: სიმაღლისა და ფუძის სიგრძის კვადრატების ჯამი არის ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი.

ძველ ჩინურ წიგნში ჩუ-პეი საუბრობს პითაგორას სამკუთხედზე 3, 4 და 5 გვერდებით: იმავე წიგნში შემოთავაზებულია ნახატი, რომელიც ემთხვევა ბასხარას ინდუისტური გეომეტრიის ერთ-ერთ ნახატს.

კანტორი (მათემატიკის უდიდესი გერმანელი ისტორიკოსი) თვლის, რომ თანასწორობა 3 ² + 4 ² = 5² ეგვიპტელებისთვის უკვე ცნობილი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2300 წელს. ე., მეფე ამენემჰეთ I-ის დროს (ბერლინის მუზეუმის 6619 პაპირუსის მიხედვით). კანტორის თანახმად, ჰარპედონაპტები, ანუ „სტრინგები“ მართკუთხედებს აშენებდნენ მართკუთხა სამკუთხედების გამოყენებით 3, 4 და 5 გვერდებით.

მათი აგების მეთოდის რეპროდუცირება ძალიან ადვილია. აიღეთ 12 მ სიგრძის თოკი და მიამაგრეთ მას ფერადი ზოლის გასწვრივ 3 მ მანძილზე. ერთი ბოლოდან და მეორიდან 4 მეტრი. 3 და 4 მეტრის სიგრძის გვერდებს შორის იქნება მართი კუთხე. შესაძლოა, ჰარპედონაპტებს გააპროტესტონ, რომ მათი აგების მეთოდი ზედმეტი ხდება, თუ გამოიყენებთ, მაგალითად, ხის კვადრატს, რომელსაც ყველა დურგალი იყენებს. მართლაც, ცნობილია ეგვიპტური ნახატები, რომლებშიც გვხვდება ასეთი ხელსაწყო, მაგალითად, ხუროს ამსახველი ნახატები.

ცოტა მეტია ცნობილი ბაბილონელებში პითაგორას თეორემის შესახებ. ერთ ტექსტში, რომელიც თარიღდება ჰამურაბის დროით, ანუ 2000 წ. ე., მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სავარაუდო გამოთვლა. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მესოპოტამიაში მათ შეძლეს გამოთვლების შესრულება მართკუთხა სამკუთხედებით, ზოგ შემთხვევაში მაინც. ერთის მხრივ, ეგვიპტური და ბაბილონური მათემატიკის შესახებ ცოდნის ამჟამინდელ დონეზე და, მეორე მხრივ, ბერძნული წყაროების კრიტიკული შესწავლის საფუძველზე, ვან დერ ვაერდენმა (ჰოლანდიელი მათემატიკოსი) დაასკვნა შემდეგი:

ლიტერატურა

Რუსულად

• სკოპეტები Z.A.გეომეტრიული მინიატურები. მ., 1990 წ
• ელენსკი შ.პითაგორას კვალდაკვალ. მ., 1961 წ
• ვან დერ ვაერდენი ბ.ლ.გამოღვიძების მეცნიერება. ძველი ეგვიპტის, ბაბილონისა და საბერძნეთის მათემატიკა. მ., 1959 წ
• გლეიზერ გ.ი.მათემატიკის ისტორია სკოლაში. მ., 1982 წ
• W. Litzman, "პითაგორას თეორემა" მ., 1960 წ.
  • საიტი პითაგორას თეორემის შესახებ დიდი რაოდენობით მტკიცებულებებით, მასალა აღებულია W. Litzman-ის წიგნიდან, დიდი რაოდენობით ნახატები წარმოდგენილია ცალკე გრაფიკული ფაილების სახით.
• პითაგორას თეორემა და პითაგორას სამეულების თავი დ.ვ.ანოსოვის წიგნიდან "შეხედვა მათემატიკას და რაღაც მისგან"
• პითაგორას თეორემისა და მისი დადასტურების მეთოდების შესახებ გ. გლაზერი, რუსეთის განათლების აკადემიის აკადემიკოსი, მოსკოვი

Ინგლისურად

• პითაგორას თეორემა WolframMathWorld-ში
• Cut-The-Knot, განყოფილება პითაგორას თეორემაზე, დაახლოებით 70 მტკიცებულება და ვრცელი დამატებითი ინფორმაცია (ინგლ.)

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ვან დერ ვაერდენის აზრით, დიდი ალბათობით, ეს თანაფარდობა ზოგადი ფორმით უკვე ცნობილი იყო ბაბილონში დაახლოებით ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-18 საუკუნეში. ე.

დაახლოებით 400 წ. ე., პროკლეს მიხედვით, პლატონმა მისცა მეთოდი პითაგორას სამეულების პოვნის, ალგებრისა და გეომეტრიის გაერთიანების მიზნით. დაახლოებით 300 წ. ე. ევკლიდეს "ელემენტებში" გამოჩნდა პითაგორას თეორემის უძველესი აქსიომატური მტკიცებულება.

ფორმულირება

ძირითადი ფორმულირება შეიცავს ალგებრულ მოქმედებებს - მართკუთხა სამკუთხედში, რომლის ფეხების სიგრძე ტოლია a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b)და ჰიპოტენუზის სიგრძე არის c (\displaystyle c), მიმართება შესრულებულია:

.

ასევე შესაძლებელია ექვივალენტური გეომეტრიული ფორმულირება, ფართობის ფიგურის ცნებას მივმართოთ: მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამს. ამ ფორმით, თეორემა ჩამოყალიბებულია ევკლიდეს პრინციპებში.

შებრუნებული პითაგორას თეორემა- განცხადება ნებისმიერი სამკუთხედის მართკუთხედობის შესახებ, რომლის გვერდების სიგრძეები დაკავშირებულია მიმართებით. a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). შედეგად, დადებითი რიცხვების ნებისმიერი სამმაგი a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)და c (\displaystyle c), ისეთივე როგორც a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), არის მართკუთხა სამკუთხედი ფეხებით a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b)და ჰიპოტენუზა c (\displaystyle c).

Მტკიცებულება

სამეცნიერო ლიტერატურაში დაფიქსირებულია პითაგორას თეორემის სულ მცირე 400 მტკიცებულება, რაც აიხსნება როგორც გეომეტრიის ფუნდამენტური მნიშვნელობით, ასევე შედეგის ელემენტარულობით. მტკიცებულებების ძირითადი მიმართულებებია: ელემენტების სამკუთხედის თანაფარდობების ალგებრული გამოყენება (ასეთი, მაგალითად, პოპულარული მსგავსების მეთოდი), ფართობის მეთოდი, ასევე არსებობს სხვადასხვა ეგზოტიკური მტკიცებულებები (მაგალითად, დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებით).

მსგავსი სამკუთხედების მეშვეობით

ევკლიდეს კლასიკური მტკიცებულება მიზნად ისახავს დაადგინოს მართკუთხედებს შორის ფართობების თანასწორობა, რომლებიც წარმოიქმნება ჰიპოტენუზას ზემოთ კვადრატის გაკვეთით მარჯვენა კუთხიდან სიმაღლით ფეხების ზემოთ კვადრატებთან.

დასამტკიცებლად გამოყენებული კონსტრუქცია ასეთია: მართკუთხა სამკუთხედისთვის მართი კუთხით C (\displaystyle C), კვადრატები ფეხებზე და და კვადრატები ჰიპოტენუზაზე A B I K (\displaystyle ABIK)სიმაღლე შენდება C H (\displaystyle CH)და სხივი, რომელიც აგრძელებს მას s (\displaystyle s)ჰიპოტენუზის ზემოთ კვადრატის გაყოფა ორ მართკუთხედად და . მტკიცებულება მიზნად ისახავს მართკუთხედის ფართობების ტოლობის დადგენას A H J K (\displaystyle AHJK)კვადრატით ფეხზე A C (\displaystyle AC); ანალოგიურად დგინდება მეორე მართკუთხედის ფართობების ტოლობა, რომელიც არის კვადრატი ჰიპოტენუზას ზემოთ და მართკუთხედი მეორე ფეხის ზემოთ.

მართკუთხედის ფართობების ტოლობა A H J K (\displaystyle AHJK)და A C E D (\displaystyle ACED)დადგენილია სამკუთხედების კონგრუენციის გზით △ A C K ​​(\displaystyle \სამკუთხედი ACK)და △ A B D (\displaystyle \სამკუთხედი ABD), რომელთაგან თითოეულის ფართობი უდრის კვადრატების ფართობის ნახევარს A H J K (\displaystyle AHJK)და A C E D (\displaystyle ACED)შესაბამისად, შემდეგ თვისებასთან დაკავშირებით: სამკუთხედის ფართობი უდრის მართკუთხედის ფართობის ნახევარს, თუ ფიგურებს აქვთ საერთო გვერდი, ხოლო სამკუთხედის სიმაღლე საერთო გვერდთან არის მეორე მხარე. მართკუთხედი. სამკუთხედების თანხვედრა გამომდინარეობს ორი გვერდის (კვადრატების გვერდების) და მათ შორის კუთხის ტოლობიდან (შედგება მართი კუთხისა და კუთხისგან. A (\displaystyle A).

ამრიგად, მტკიცებულება ადგენს, რომ კვადრატის ფართობი ჰიპოტენუზის ზემოთ, რომელიც შედგება მართკუთხედებისგან A H J K (\displaystyle AHJK)და B H J I (\displaystyle BHJI), უდრის ფეხების ზემოთ კვადრატების ფართობების ჯამს.

ლეონარდო და ვინჩის მტკიცებულება

ფართობის მეთოდი ასევე მოიცავს ლეონარდო და ვინჩის მიერ აღმოჩენილ მტკიცებულებებს. იყოს მართკუთხა სამკუთხედი △ A B C (\displaystyle \სამკუთხედი ABC)სწორი კუთხე C (\displaystyle C)და კვადრატები A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)და A B H J (\displaystyle ABHJ)(იხილეთ სურათი). ამ მტკიცებულებაში გვერდით H J (\displaystyle HJ)ეს უკანასკნელი, სამკუთხედი აგებულია გარედან, თანმიმდევრული △ A B C (\displaystyle \სამკუთხედი ABC)უფრო მეტიც, აისახება როგორც ჰიპოტენუზასთან, ასევე მის სიმაღლესთან შედარებით (ანუ, J I = B C (\displaystyle JI=BC)და H I = A C (\displaystyle HI=AC)). პირდაპირ C I (\displaystyle CI)ყოფს ჰიპოტენუზაზე აგებულ კვადრატს ორ თანაბარ ნაწილად, რადგან სამკუთხედები △ A B C (\displaystyle \სამკუთხედი ABC)და △ J H I (\displaystyle \სამკუთხედი JHI)მშენებლობაში თანაბარია. მტკიცებულება ადგენს ოთხკუთხედების თანხვედრას C A J I (\displaystyle CAJI)და D A B G (\displaystyle DABG), რომელთაგან თითოეულის ფართობი, ერთის მხრივ, უდრის ფეხებზე კვადრატების ფართობის ნახევრის ჯამს და თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობის, მეორე მხრივ, ფართობის ნახევარს. კვადრატი ჰიპოტენუზაზე პლუს თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობი. საერთო ჯამში, ფეხებზე კვადრატების ფართობის ნახევარი უდრის კვადრატის ფართობის ნახევარს ჰიპოტენუზაზე, რაც უდრის პითაგორას თეორემის გეომეტრიულ ფორმულირებას.

მტკიცებულება უსასრულოდ მცირე მეთოდით

არსებობს რამდენიმე მტკიცებულება დიფერენციალური განტოლებების ტექნიკის გამოყენებით. კერძოდ, ჰარდის მიენიჭა მტკიცებულება ფეხის უსასრულო მატების გამოყენებით a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b)და ჰიპოტენუზა c (\displaystyle c)და თავდაპირველ მართკუთხედთან მსგავსების შენარჩუნება, ანუ შემდეგი დიფერენციალური ურთიერთობების შესრულების უზრუნველყოფა:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

ცვლადების გამოყოფის მეთოდით მათგან გამოდის დიფერენციალური განტოლება c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), რომლის ინტეგრაცია იძლევა მიმართებას c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). საწყისი პირობების გამოყენება a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)განსაზღვრავს მუდმივას, როგორც 0, რაც იწვევს თეორემის მტკიცებას.

საბოლოო ფორმულაში კვადრატული დამოკიდებულება ჩნდება სამკუთხედის გვერდებსა და ნამატებს შორის წრფივი პროპორციულობის გამო, ხოლო ჯამი განპირობებულია სხვადასხვა ფეხის ნაზრდის დამოუკიდებელი წვლილით.

ვარიაციები და განზოგადება

მსგავსი გეომეტრიული ფორმები სამი მხრიდან

პითაგორას თეორემის მნიშვნელოვანი გეომეტრიული განზოგადება მოგვცა ევკლიდემ "საწყისებში", რომელიც გადადის გვერდებზე კვადრატების ფართობებიდან თვითნებური მსგავსი გეომეტრიული ფიგურების უბნებზე: ფეხებზე აგებული ასეთი ფიგურების ფართობების ჯამი იქნება. ჰიპოტენუზაზე აგებული მათნაირი ფიგურის ფართობის ტოლია.

ამ განზოგადების მთავარი იდეა ისაა, რომ ასეთი გეომეტრიული ფიგურის ფართობი პროპორციულია მისი ნებისმიერი წრფივი განზომილების კვადრატისა და, კერძოდ, ნებისმიერი მხარის სიგრძის კვადრატის. ამიტომ, მსგავსი ფიგურებისთვის ფართობებით A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)და C (\displaystyle C)სიგრძის ფეხებზე აგებული a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b)და ჰიპოტენუზა c (\displaystyle c)შესაბამისად, არსებობს კავშირი:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\მარჯვენა ისარი \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

ვინაიდან პითაგორას თეორემის მიხედვით a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), მაშინ კეთდება.

გარდა ამისა, თუ შესაძლებელია პითაგორას თეორემის გამოყენების გარეშე დავამტკიცოთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე სამი მსგავსი გეომეტრიული ფიგურის ფართობისთვის, მიმართება A + B = C (\displaystyle A+B=C), შემდეგ ევკლიდეს განზოგადების მტკიცებულების საპირისპირო გამოყენებით, შეგვიძლია გამოვიტანოთ პითაგორას თეორემის მტკიცებულება. მაგალითად, თუ ჰიპოტენუზაზე ავაგებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც შეესაბამება საწყისს ფართობზე C (\displaystyle C), ხოლო ფეხებზე - ორი მსგავსი მართკუთხა სამკუთხედი ფართობებით A (\displaystyle A)და B (\displaystyle B), შემდეგ აღმოჩნდება, რომ ფეხებზე სამკუთხედები წარმოიქმნება საწყისი სამკუთხედის სიმაღლეზე დაყოფის შედეგად, ანუ სამკუთხედის ორი პატარა ფართობის ჯამი უდრის მესამეს ფართობს, რითაც A + B = C (\displaystyle A+B=C)და მსგავსი ფიგურების მიმართების გამოყენებით, გამოდის პითაგორას თეორემა.

კოსინუსების თეორემა

პითაგორას თეორემა არის უფრო ზოგადი კოსინუსის თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც აკავშირებს გვერდების სიგრძეებს თვითნებურ სამკუთხედში:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

სად არის კუთხე გვერდებს შორის a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b). თუ კუთხე არის 90°, მაშინ cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0)და ფორმულა ამარტივებს ჩვეულებრივ პითაგორას თეორემას.

თვითნებური სამკუთხედი

არსებობს პითაგორას თეორემის განზოგადება თვითნებურ სამკუთხედზე, რომელიც მოქმედებს მხოლოდ გვერდების სიგრძის თანაფარდობაზე, ითვლება, რომ იგი პირველად დაადგინა საბიანმა ასტრონომმა Sabit ibn კურამ. მასში, გვერდებით თვითნებური სამკუთხედისთვის, ტოლფერდა-სამკუთხედი გვერდით ფუძით c (\displaystyle c), წვერო ემთხვევა თავდაპირველი სამკუთხედის წვეროს, გვერდის მოპირდაპირე მხარეს c (\displaystyle c)და კუთხეები ფუძეზე ტოლი კუთხის θ (\displaystyle \theta)საპირისპირო მხარე c (\displaystyle c). შედეგად წარმოიქმნება ორი სამკუთხედი, ორიგინალის მსგავსი: პირველი გვერდებით a (\displaystyle a), მისგან შორს ჩაწერილი ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდითი მხარე და r (\displaystyle r)- გვერდითი ნაწილები c (\displaystyle c); მეორე არის მის სიმეტრიული გვერდიდან b (\displaystyle b)წვეულებასთან ერთად s (\displaystyle s)- მხარის შესაბამისი ნაწილი c (\displaystyle c). შედეგად, კავშირი შესრულებულია:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

რომელიც გადაგვარდება პითაგორას თეორემაში ზე θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). თანაფარდობა წარმოქმნილი სამკუთხედების მსგავსების შედეგია:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (ბ))=(\frac (b)(s))\,\მარჯვენა ისარი \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

პაპუსის ფართობის თეორემა

არაევკლიდური გეომეტრია

პითაგორას თეორემა მომდინარეობს ევკლიდეს გეომეტრიის აქსიომებიდან და არასწორია არაევკლიდური გეომეტრიისთვის - პითაგორას თეორემის შესრულება ევკლიდეს პარალელიზმის პოსტულატის ტოლფასია.

არაევკლიდეს გეომეტრიაში მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის ურთიერთობა აუცილებლად იქნება პითაგორას თეორემისგან განსხვავებული ფორმით. მაგალითად, სფერულ გეომეტრიაში მართკუთხა სამკუთხედის სამივე გვერდს, რომელიც ზღუდავს ერთეული სფეროს ოქტანტს, აქვს სიგრძე. π / 2 (\displaystyle \pi /2), რომელიც ეწინააღმდეგება პითაგორას თეორემას.

უფრო მეტიც, პითაგორას თეორემა მოქმედებს ჰიპერბოლურ და ელიფსურ გეომეტრიაში, თუ მოთხოვნა, რომ სამკუთხედი იყოს მართკუთხა, შეიცვლება იმ პირობით, რომ სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამი უნდა იყოს მესამეს ტოლი.

სფერული გეომეტრია

რადიუსის მქონე სფეროზე ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედისთვის R (\displaystyle R)(მაგალითად, თუ კუთხე სამკუთხედში მართია) გვერდებით a, b, c (\displaystyle a,b,c)მხარეებს შორის ურთიერთობა ასეთია:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (ა)(R))\მარჯვნივ)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\მარჯვნივ)).

ეს თანასწორობა შეიძლება გამოვიდეს როგორც სფერული კოსინუსების თეორემის სპეციალური შემთხვევა, რომელიც მოქმედებს ყველა სფერულ სამკუთხედზე:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( გ)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \გამა). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \ოპერატორის სახელი (ch) c=\ოპერატორის სახელი (ch) a\cdot \ოპერატორის სახელი (ch) b),

სადაც ch (\displaystyle \ოპერატორის სახელი (ch))- ჰიპერბოლური-კოსინუსი. ეს ფორმულა არის ჰიპერბოლური კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც მოქმედებს ყველა სამკუთხედისთვის:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \ოპერატორის სახელი (ch) c=\ოპერატორის სახელი (ch) a\cdot \ოპერატორის სახელი (ch) b-\ოპერატორის სახელი (შ) a\cdot \ოპერატორის სახელი (შ) b\cdot \cos \გამა),

სადაც γ (\displaystyle \გამა)- კუთხე, რომლის წვერო გვერდის საპირისპიროა c (\displaystyle c).

ტეილორის სერიის გამოყენება ჰიპერბოლური კოსინუსისთვის ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \ოპერატორის სახელი (ch) x\დაახლოებით 1+x^(2)/2)) შეიძლება აჩვენოს, რომ თუ ჰიპერბოლური სამკუთხედი მცირდება (ანუ როდის a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)და c (\displaystyle c)მიდრეკილია ნულისკენ), შემდეგ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპერბოლური მიმართებები უახლოვდება კლასიკური პითაგორას თეორემის მიმართებას.

განაცხადი

მანძილი ორგანზომილებიან მართკუთხა სისტემებში

პითაგორას თეორემის ყველაზე მნიშვნელოვანი გამოყენება არის მართკუთხა სისტემის კოორდინატებში ორ წერტილს შორის მანძილის დადგენა: მანძილი. s (\displaystyle s)წერტილებს შორის კოორდინატებით (a, b) (\displaystyle (a,b))და (c, d) (\displaystyle (c,d))უდრის:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

რთული რიცხვებისთვის, პითაგორას თეორემა იძლევა ბუნებრივ ფორმულას მოდულის კომპლექსური რიცხვის საპოვნელად. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)სიგრძის ტოლია