რეალური რიცხვების გაყოფის განმარტების შესაბამისად დგინდება შემდეგი განმარტება.

განმარტება. a + bi კომპლექსური რიცხვის კომპლექსურ რიცხვზე გაყოფა a "+ b" i ნიშნავს ისეთი რიცხვის პოვნას x + yi, რომელიც გამყოფზე გამრავლებისას მისცემს დივიდენდს.

ჩვენ ვიღებთ კონკრეტულ გაყოფის წესს წილადის სახით ჩაწერით და ამ წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებით მნიშვნელთან შეერთებულ რიცხვზე: (a + bi): (c + di) =

მაგალითი 1. იპოვეთ კოეფიციენტი (7 - 4i):(3 + 2i).

წილადის (7 - 4i)/(3 + 2i) ჩაწერის შემდეგ, ჩვენ გავაფართოვებთ მას რიცხვით 3 - 2i კონიუგატით 3 + 2i-მდე. ჩვენ ვიღებთ:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

წინა პუნქტის 1-ლი მაგალითი იძლევა ჩეკს.

მაგალითი 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0.56 - 0.92i.

იმის დასამტკიცებლად, რომ მარჯვენა მხარე მართლაც კოეფიციენტია, საკმარისია მისი გამრავლება a" + b-ზე". ვიღებთ + bi-ს.

განტოლებების ამოხსნა რთული ცვლადებით

კომპლექსური რიცხვების შეკრების ცვლადი

ჯერ განვიხილოთ უმარტივესი კვადრატული განტოლება z2 = a, სადაც a არის მოცემული რიცხვი, z არის უცნობი. რეალური რიცხვების სიმრავლეზე ეს განტოლება არის:

• 1) აქვს ერთი ფესვი z = 0, თუ a = 0;
• 2) აქვს ორი რეალური ფესვი z1,2 = თუ a>0;
• 3) არ აქვს ნამდვილი ფესვები, თუ ა

რთული რიცხვების სიმრავლეზე ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს ფესვი.

ამოცანა 1. იპოვეთ განტოლების რთული ფესვები z2 = a თუ:

• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
• 1) z2 = -1. ვინაიდან i2 = -1, ეს განტოლება შეიძლება დაიწეროს, როგორც z2 = i2, ან z2 - i2 = 0. აქედან გამომდინარე, მარცხენა მხარის ფაქტორინგით, მივიღებთ (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = - მე ვპასუხობ. z1,2 = i.
• 2) z2 = -25. იმის გათვალისწინებით, რომ i2 = -1, ჩვენ გარდაქმნით ამ განტოლებას:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, საიდანაც z1 = 5i, z2 = -5i პასუხი:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

პასუხი: z1,2 = ი.

ზოგადად, განტოლება z2 = a, სადაც a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

i2 \u003d -1 ტოლობის გამოყენებით, ჩვეულებრივია უარყოფითი რიცხვების კვადრატული ფესვების დაწერა შემდეგნაირად: \u003d i, \u003d 2i, \u003d i.

ასე რომ, იგი განისაზღვრება ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის a (დადებითი, უარყოფითი და ნული). მაშასადამე, ნებისმიერ კვადრატულ განტოლებას az2 + bz + c = 0, სადაც a, b, c არის რეალური რიცხვები, ხოლო 0-ს აქვს ფესვები. ეს ფესვები გვხვდება ცნობილი ფორმულის მიხედვით:

დავალება 2. ამოხსენით განტოლება z2-4z+13=0. ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ: z1,2 = = = 2 3i.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ პრობლემაში ნაპოვნი ფესვები არის კონიუგატები: z1=2+3i და z2=2-3i. ვიპოვოთ ამ ფესვების ჯამი და ნამრავლი: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

რიცხვი 4 არის z2-4z+13=0 განტოლების მე-2 კოეფიციენტი, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო რიცხვი 13 თავისუფალი წევრია, ანუ ამ შემთხვევაში მოქმედებს ვიეტას თეორემა. იგი მოქმედებს ნებისმიერი კვადრატული განტოლებისთვის: თუ z1 და z2 არის განტოლების ფესვები az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

ამოცანა 3. შეადგინეთ შემცირებული კვადრატული განტოლება z1=-1-2i ფესვის მქონე რეალური კოეფიციენტებით.

განტოლების მეორე ფესვი z2 არის მოცემული ფესვის z1-ის კონიუგატი, ანუ z2=-1+2i. ვიეტას თეორემით ვპოულობთ

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. პასუხი არის z2-2z+5=0.

განმარტება:

კომპლექსური რიცხვი = x – yiშეერთებულ რიცხვს უწოდებენ ვ = x + yi.

კონიუგირებული რთული რიცხვების მაგალითები:

–1 + 5მედა -1 - 5 მე, 2 – 3მე და 2 + 3 მე.

ორი რთული რიცხვის ალგებრული ფორმით გასაყოფად, როგორც წესი, მოსახერხებელია წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის გამრავლება მნიშვნელის კონიუგატზე.

მაგალითი 4განყოფილების შესრულება: = [ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ მნიშვნელის კონიუგატზე] =

შეამჩნია, რომ
არის გამოთქმა და არა რიცხვი, ამიტომ არ შეიძლება ჩაითვალოს პასუხად.

მაგალითი 5მოქმედებების შესრულება:
=

=


=
.

მაგალითი 6მოქმედებების შესრულება:
= [ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ მნიშვნელის ორივე რიცხვთან შეერთებულ რიცხვებზე] =

1. რთული რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღება ალგებრული ფორმით

განმარტება. კომპლექსური ნომერი
ეწოდება რთული რიცხვის კვადრატული ფესვი ზ, თუ
.

მაგალითი 7გამოთვალეთ
.

გადაწყვეტილება.დაე იყოს
= x + yi, მაშინ

ჩვენ ცალკე ვხსნით ბიკვადრატულ განტოლებას:

პასუხი: (-3 + 4 მე; 3 ‑ 4მე}.

სხვა გამოსავალი შესაძლებელია რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმის შემოღების შემდეგ (იხ. გვ. 14).

1. რთული რიცხვების წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

რთული რიცხვების ველში წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის იგივე ფორმულები მართალია, რაც რეალური რიცხვების ველში.

მაგალითი 8ამოხსენით განტოლება: (-2 - მე)ზ = 3 +მე.

მაგალითი 9ამოხსენით განტოლება:
.

გადაწყვეტილება.მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვების საპოვნელად:

პასუხი: (-2 + მე; ‑2 –მე} .

მაგალითი 10ამოხსენით განტოლება:
.

გადაწყვეტილება:

პასუხი: (1-2 მე; 1 –მე} .

მაგალითი 11ამოხსენით განტოლება:
.

გადაწყვეტილება:

გამოთვლა
:

ჩვენ ვადგენთ სისტემას ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გათანაბრების გზით:

პასუხი:(2; მე} .

მაგალითი 12ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

გადაწყვეტილება.ჩვენ გამოვხატავთ ცვლადს სისტემის პირველი განტოლებიდან xცვლადის მეშვეობით წ:

ჩვენ ვამრავლებთ წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს მნიშვნელის კონიუგატზე:

წილადის მრიცხველში გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი ტერმინები:

ჩვენ ვცვლით ცვლადის მიღებულ მნიშვნელობას x სისტემის მეორე განტოლებაში:

;

პასუხი: (1 + მე; მე}.

1. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული აღნიშვნა

   1. რთული რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა

რთული რიცხვების თვისებების შესწავლისას მათი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ძალიან მოსახერხებელია. ვინაიდან რთული რიცხვი განისაზღვრება, როგორც რეალური რიცხვების წყვილი, მაშინ ყველა რთული რიცხვი ზ = ა + ბიწარმოდგენილია სიბრტყის წერტილით ( x, წ) კოორდინატებით x = ა და წ = ბ. ასეთ თვითმფრინავს ე.წ რთული თვითმფრინავიაბსცისის ღერძი რეალურია (რე ზ), ხოლო ორდინატთა ღერძი არის წარმოსახვითი ღერძი (Im ზ).

მაგალითი 13სიბრტყეზე დახაზეთ რიცხვების შესაბამისი წერტილები:

რ გამოსავალი. ნომერი ზ 1, რეალური ნაწილი არის -2, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი არის 0. შესაბამისად, რიცხვის გამოსახულება ზ 1 არის წერტილი (-2, 0) (ნახ. 1.1).

ნომერი ზ 2, რეალური ნაწილი არის 0, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი არის 3. შესაბამისად, რიცხვის გამოსახულება ზ 2 არის წერტილი (0, 3). ნომერი ზ 3 რეალური ნაწილი არის 1 და წარმოსახვითი არის -4. მაშასადამე, ნომრის გამოსახულება ზ 3 არის წერტილი (1, -4).

ნომერი ზ 4 რეალური ნაწილი არის 1 და წარმოსახვითი 1. მაშასადამე, რიცხვის გამოსახულება ზ 4 არის წერტილი (1, 1).

ნომერი ზ 5 რეალური ნაწილი არის -3 და წარმოსახვითი არის -2. მაშასადამე, ნომრის გამოსახულება ზ 5 არის წერტილი (-3, -2).

კონიუგატური რიცხვები წარმოდგენილია წერტილებით კომპლექსურ სიბრტყეზე, სიმეტრიული რეალური ღერძის მიმართ Re ზ.