ყველას, ვინც ოდესმე სწავლობდა ან ამჟამად სწავლობს სკოლაში, სხვადასხვა სირთულის წინაშე დადგა იმ დისციპლინების შესწავლისას, რომლებიც განათლების სამინისტროს მიერ შემუშავებულ პროგრამაშია გათვალისწინებული.

რა სირთულეებს აწყდებით

ენების შესწავლას თან ახლავს არსებული გრამატიკული წესების დამახსოვრება და მათგან ძირითადი გამონაკლისები. ფიზიკური აღზრდა სტუდენტებისგან მოითხოვს დიდ გათვლას, კარგ ფიზიკურ ფორმას და დიდ მოთმინებას.

თუმცა, არაფერი შეედრება იმ სირთულეებს, რომლებიც წარმოიქმნება ზუსტი დისციპლინების შესწავლისას. ალგებრა, რომელიც შეიცავს ელემენტარული ამოცანების გადაჭრის რთულ გზებს. ფიზიკა ფიზიკური კანონების ფორმულების მდიდარი ნაკრებით. გეომეტრია და მისი მონაკვეთები, რომლებიც ეფუძნება რთულ თეორემებსა და აქსიომებს.

ამის მაგალითია აქსიომები, რომლებიც ხსნიან სიბრტყეების პარალელურობის თეორიას, რომლებიც უნდა გვახსოვდეს, რადგან ისინი საფუძვლად უდევს სასკოლო სასწავლო გეგმის მთელ კურსს სტერეომეტრიაზე. შევეცადოთ გაერკვნენ, რამდენად მარტივად და სწრაფად შეიძლება ამის გაკეთება.

პარალელური სიბრტყეები მაგალითებით

აქსიომა, რომელიც მიუთითებს სიბრტყეების პარალელურობაზე, შემდეგია: ნებისმიერი ორი სიბრტყე ითვლება პარალელურად მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი არ შეიცავს საერთო წერტილებს.“, ანუ ისინი არ კვეთენ ერთმანეთს. ამ სურათის უფრო დეტალურად წარმოსადგენად, ელემენტარული მაგალითის სახით, შეგვიძლია მოვიყვანოთ ჭერისა და იატაკის თანაფარდობა შენობაში. მაშინვე ირკვევა რა იგულისხმება და ისიც დადასტურებულია, რომ ეს თვითმფრინავები ჩვეულებრივ შემთხვევაში არასოდეს გადაიკვეთება.

კიდევ ერთი მაგალითია ორმაგი მინის ფანჯარა, სადაც მინის ფურცლები მოქმედებენ როგორც თვითმფრინავები. ისინი ასევე არავითარ შემთხვევაში არ შექმნიან ერთმანეთთან გადაკვეთის წერტილებს. ამას გარდა, შეგიძლიათ დაამატოთ წიგნების თაროები, რუბიკის კუბი, სადაც თვითმფრინავები მისი საპირისპირო სახეებია და ყოველდღიური ცხოვრების სხვა ელემენტები.

განხილული სიბრტყეები აღინიშნება სპეციალური ნიშნით ორი სწორი ხაზის სახით "||", რომელიც ნათლად ასახავს სიბრტყეების პარალელურობას. ამრიგად, რეალური მაგალითების გამოყენებით, შეიძლება ჩამოყალიბდეს თემის უფრო მკაფიო აღქმა და, შესაბამისად, შეიძლება უფრო რთული ცნებების განხილვა.

სად და როგორ გამოიყენება პარალელური სიბრტყეების თეორია?

სასკოლო გეომეტრიის კურსის შესწავლისას სტუდენტებს უწევთ მრავალმხრივი ამოცანების შესრულება, სადაც ხშირად საჭიროა სწორი ხაზების, სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელურობის დადგენა ან სიბრტყეების ერთმანეთზე დამოკიდებულების დადგენა. არსებული მდგომარეობის გაანალიზებით, თითოეული ამოცანა შეიძლება დაუკავშირდეს სტერეომეტრიის ოთხ ძირითად კლასს.

პირველი კლასი მოიცავს დავალებებს, რომლებშიც აუცილებელია სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელურობის დადგენა ერთმანეთთან. მისი ამოხსნა მცირდება ამავე სახელწოდების თეორემის მტკიცებულებამდე. ამისათვის თქვენ უნდა დაადგინოთ, არის თუ არა ამ სიბრტყეში პარალელური ხაზი, რომელიც არ ეკუთვნის განხილულ სიბრტყეს.

მეორე კლასში შედის პრობლემები, რომლებშიც გამოყენებულია პარალელური სიბრტყეების ნიშანი. იგი გამოიყენება მტკიცების პროცესის გასამარტივებლად, რითაც მნიშვნელოვნად ამცირებს გამოსავლის პოვნის დროს.

შემდეგი კლასი მოიცავს ამოცანების სპექტრს სიბრტყეების პარალელიზმის ძირითად თვისებებთან წრფეების შესაბამისობაში. მეოთხე კლასის ამოცანების ამოხსნა არის იმის დადგენა, დაკმაყოფილებულია თუ არა პარალელური სიბრტყეების პირობა. იმის ცოდნა, თუ როგორ ხდება კონკრეტული პრობლემის მტკიცებულება, მოსწავლეებს გაუადვილდებათ ნავიგაცია გეომეტრიული აქსიომების არსებული არსენალის გამოყენებისას.

ამრიგად, ამოცანები, რომელთა მდგომარეობა მოითხოვს წრფეების, სწორი წრფისა და სიბრტყის ან ორი სიბრტყის პარალელურობის განსაზღვრას და დამტკიცებას, მცირდება თეორემის სწორად შერჩევამდე და ამონახსნობამდე არსებული სიმრავლის მიხედვით. წესები.

სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელიზმზე

სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელიზმი განსაკუთრებული თემაა სტერეომეტრიაში, რადგან სწორედ ეს არის ძირითადი კონცეფცია, რომელსაც ეფუძნება გეომეტრიული ფიგურების პარალელიზმის ყველა შემდგომი თვისება.

არსებული აქსიომების მიხედვით, იმ შემთხვევაში, როდესაც სწორი ხაზის ორი წერტილი ეკუთვნის გარკვეულ სიბრტყეს, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მოცემული სწორი ხაზიც დევს მასში. ამ სიტუაციაში, ცხადი ხდება, რომ არსებობს სამი ვარიანტი ხაზის ადგილმდებარეობისთვის სივრცეში თვითმფრინავთან შედარებით:

1. ხაზი თვითმფრინავს ეკუთვნის.
2. წრფისა და სიბრტყისთვის არის ერთი საერთო გადაკვეთის წერტილი.
3. სწორი ხაზისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილები არ არსებობს.

ჩვენ, კერძოდ, გვაინტერესებს ბოლო ვარიანტი, როდესაც არ არის გადაკვეთის წერტილები. მხოლოდ მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ხაზი და სიბრტყე ერთმანეთის მიმართ პარალელურია. ამრიგად, დადასტურებულია მთავარი თეორემის პირობა სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანზე, რომელშიც ნათქვამია: „თუ წრფე, რომელიც არ ეკუთვნის მოცემულ სიბრტყეს, პარალელურია ამ სიბრტყის რომელიმე წრფის პარალელურად, მაშინ განსახილველი წრფე ასევე პარალელურია მოცემულ სიბრტყესთან“.

პარალელიზმის ნიშნის გამოყენების აუცილებლობა

სიბრტყეების პარალელურობის ნიშანი ჩვეულებრივ გამოიყენება სიბრტყეებთან დაკავშირებული პრობლემების გამარტივებული გადაწყვეტის მოსაძებნად. ამ ნიშნის არსი შემდეგია: თუ ერთ სიბრტყეში დევს ორი გადამკვეთი ხაზი, პარალელურად მეორე სიბრტყის კუთვნილი ორი წრფისა, მაშინ ასეთ სიბრტყეებს შეიძლება ეწოდოს პარალელური.».

დამატებითი თეორემები

სიბრტყეების პარალელურობის დამადასტურებელი მახასიათებლის გამოყენების გარდა, პრაქტიკაში შეიძლება შეგვხვდეს კიდევ ორი ​​დამატებითი თეორემის გამოყენება. პირველი წარმოდგენილია შემდეგი ფორმით: თუ ორი პარალელური სიბრტყიდან ერთ-ერთი პარალელურია მესამესთან, მაშინ მეორე სიბრტყე ან ასევე პარალელურია მესამესთან, ან მთლიანად ემთხვევა მას.».

მოცემული თეორემების გამოყენების საფუძველზე ყოველთვის შესაძლებელია დადასტურდეს სიბრტყეების პარალელურობა განსახილველი სივრცის მიმართ. მეორე თეორემა აჩვენებს სიბრტყეების დამოკიდებულებას პერპენდიკულარულ წრფეზე და აქვს ფორმა: ” თუ ორი არადამთხვევა სიბრტყე პერპენდიკულარულია რომელიმე სწორ ხაზზე, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურად ითვლება.».

აუცილებელი და საკმარისი პირობის ცნება

სიბრტყეების პარალელურობის დადასტურების ამოცანების არაერთგზის გადაჭრისას წარმოიქმნა სიბრტყეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა. ცნობილია, რომ ნებისმიერი სიბრტყე მოცემულია ფორმის პარამეტრული განტოლებით: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. ჩვენი მდგომარეობა ეფუძნება განტოლებათა სისტემის გამოყენებას, რომელიც განსაზღვრავს სიბრტყეების მდებარეობას სივრცეში და წარმოდგენილია შემდეგი ფორმულირებით: ორი სიბრტყის პარალელურობის დასამტკიცებლად აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ სიბრტყეების აღმწერი განტოლებების სისტემა იყოს არათანმიმდევრული, ანუ არ ჰქონდეს ამონახსნები.».

ძირითადი თვისებები

თუმცა გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას პარალელურობის ნიშნის გამოყენება ყოველთვის საკმარისი არ არის. ზოგჯერ ჩნდება სიტუაცია, როდესაც საჭიროა დაამტკიცოს ორი ან მეტი წრფის პარალელურობა სხვადასხვა სიბრტყეში ან ამ წრფეებზე შემავალი სეგმენტების თანასწორობა. ამისათვის გამოიყენეთ პარალელური სიბრტყეების თვისებები. გეომეტრიაში მხოლოდ ორი მათგანია.

პირველი თვისება საშუალებას გაძლევთ განსაჯოთ წრფეების პარალელურობა გარკვეულ სიბრტყეებში და წარმოდგენილია შემდეგი სახით: თუ ორი პარალელური სიბრტყე იკვეთება მესამეზე, მაშინ გადაკვეთის ხაზებით წარმოქმნილი წრფეებიც ერთმანეთის პარალელური იქნება.».

მეორე თვისების მნიშვნელობა არის პარალელურ წრფეებზე მდებარე სეგმენტების ტოლობის დამტკიცება. მისი ინტერპრეტაცია წარმოდგენილია ქვემოთ. " თუ გავითვალისწინებთ ორ პარალელურ სიბრტყეს და ჩავატარებთ რეგიონს მათ შორის, მაშინ შეიძლება ითქვას, რომ ამ რეგიონის მიერ წარმოქმნილი სეგმენტების სიგრძე იგივე იქნება.».

სიბრტყეების პარალელიზმი არის კონცეფცია, რომელიც პირველად გამოჩნდა ევკლიდეს გეომეტრიაში ორი ათასზე მეტი წლის წინ.

კლასიკური გეომეტრიის ძირითადი მახასიათებლები

ამ სამეცნიერო დისციპლინის დაბადება უკავშირდება ძველი ბერძენი მოაზროვნის ევკლიდეს ცნობილ ნაშრომს, რომელმაც დაწერა ბროშურა „დასაწყისები“ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III საუკუნეში. ცამეტ წიგნად დაყოფილი, ელემენტები იყო უძველესი მათემატიკის უმაღლესი მიღწევა და ჩამოაყალიბა ფუნდამენტური პოსტულატები, რომლებიც დაკავშირებულია თვითმფრინავის ფიგურების თვისებებთან.

სიბრტყეების კლასიკური პარალელურობის პირობა ჩამოყალიბდა შემდეგნაირად: ორ სიბრტყეს შეიძლება ეწოდოს პარალელური, თუ მათ არ აქვთ ერთმანეთთან საერთო წერტილები. ეს იყო ევკლიდეს შრომის მეხუთე პოსტულატი.

პარალელური სიბრტყეების თვისებები

ევკლიდეს გეომეტრიაში, როგორც წესი, ხუთი მათგანია:

• საკუთრება პირველი(აღწერს სიბრტყეების პარალელიზმს და მათ უნიკალურობას). ერთი წერტილის მეშვეობით, რომელიც მდებარეობს კონკრეტული მოცემული სიბრტყის გარეთ, ჩვენ შეგვიძლია დავხატოთ ერთი და მხოლოდ ერთი სიბრტყე მის პარალელურად.

• ქონება სამი(სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მას უწოდებენ სიბრტყეების პარალელიზმების გადაკვეთის სწორი ხაზის თვისებას). თუ ერთი სწორი ხაზი კვეთს ერთ-ერთ პარალელურ სიბრტყეს, მაშინ ის მეორეს გადაკვეთს.

• ქონება მეოთხე(ერთმანეთის პარალელურ სიბრტყეებზე გაჭრილი სწორი ხაზების თვისება). როდესაც ორი პარალელური სიბრტყე იკვეთება მესამესთან (ნებისმიერი კუთხით), მათი გადაკვეთის ხაზებიც პარალელურია.

• საკუთრება მეხუთე(თვისება, რომელიც აღწერს სხვადასხვა პარალელური წრფეების სეგმენტებს, რომლებიც ჩასმულია ერთმანეთის პარალელურ სიბრტყეებს შორის). იმ პარალელური წრფეების მონაკვეთები, რომლებიც ჩასმულია ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის, აუცილებლად ტოლია.

სიბრტყეების პარალელიზმი არაევკლიდეს გეომეტრიაში

ასეთი მიდგომებია, კერძოდ, ლობაჩევსკისა და რიმანის გეომეტრია. თუ ევკლიდეს გეომეტრია ბრტყელ სივრცეებზე იყო რეალიზებული, მაშინ ლობაჩევსკის გეომეტრია რეალიზებული იყო უარყოფითად მრუდე სივრცეებში (უბრალოდ მრუდი), რიმანისში კი პოზიტიურად მრუდე სივრცეებში (სხვა სიტყვებით, სფეროებში). ძალიან გავრცელებულია სტერეოტიპული მოსაზრება, რომ ლობაჩევსკისში პარალელური სიბრტყეები (და ხაზებიც) იკვეთება.

თუმცა ეს სიმართლეს არ შეესაბამება. მართლაც, ჰიპერბოლური გეომეტრიის დაბადება ასოცირდებოდა ევკლიდეს მეხუთე პოსტულატის მტკიცებულებასთან და მასზე შეხედულებების ცვლილებასთან, მაგრამ პარალელური სიბრტყეების და ხაზების განმარტება გულისხმობს, რომ ისინი ვერ იკვეთებიან არც ლობაჩევსკიში და არც რიმანში, რა სივრცეშიც არ უნდა იყოს ისინი. რეალიზდებიან. ხოლო შეხედულებებისა და ფორმულირების ცვლილება იყო შემდეგი. პოსტულატი, რომ მხოლოდ ერთი პარალელური სიბრტყე შეიძლება გაივლოს წერტილში, რომელიც არ დევს მოცემულ სიბრტყეზე, შეიცვალა სხვა ფორმულირებით: წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ დევს მოცემულ კონკრეტულ სიბრტყეზე, ორი, სულ მცირე, წრფე. იგივე სიბრტყე, როგორც მოცემული და არ კვეთს მას.

ეს სტატია შეისწავლის სიბრტყეების პარალელურობის საკითხებს. მივცეთ ერთმანეთის პარალელური სიბრტყეების განმარტება; აღვნიშნავთ პარალელურობის ნიშნებსა და საკმარის პირობებს; მოდით შევხედოთ თეორიას ილუსტრაციებითა და პრაქტიკული მაგალითებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1 განმარტება 1

პარალელური თვითმფრინავებიარის თვითმფრინავები, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები.

პარალელურობის აღსანიშნავად გამოიყენება შემდეგი სიმბოლო: ∥. თუ მოცემულია ორი სიბრტყე: α და β, რომლებიც პარალელურია, ამის შესახებ მოკლე ჩანაწერი ასე გამოიყურება: α ‖ β .

ნახატზე, როგორც წესი, ერთმანეთის პარალელურად სიბრტყეები გამოსახულია ერთმანეთისგან დაშორებული ორი თანაბარი პარალელოგრამის სახით.

მეტყველებაში პარალელიზმი შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად: α და β სიბრტყეები პარალელურია და ასევე - α სიბრტყე პარალელურია β სიბრტყის ან β სიბრტყე პარალელურია α სიბრტყის.

სიბრტყეების პარალელიზმი: პარალელიზმის ნიშანი და პირობები

გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნის პროცესში ხშირად ჩნდება კითხვა: არის თუ არა მოცემული სიბრტყეები ერთმანეთის პარალელურად? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად გამოიყენება პარალელურობის ნიშანი, რომელიც ასევე საკმარისი პირობაა სიბრტყეების პარალელურობისთვის. ჩავწეროთ როგორც თეორემა.

თეორემა 1

სიბრტყეები პარალელურია, თუ ერთი სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფე, შესაბამისად, პარალელურია მეორე სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფისა.

ამ თეორემის დადასტურება მოცემულია მე-10 - მე-11 კლასების გეომეტრიის პროგრამაში.

პრაქტიკაში, პარალელიზმის დასამტკიცებლად, სხვა საკითხებთან ერთად, გამოიყენება შემდეგი ორი თეორემა.

თეორემა 2

თუ ერთ-ერთი პარალელური სიბრტყე პარალელურია მესამე სიბრტყის პარალელურად, მაშინ მეორე სიბრტყე ან ასევე პარალელურია ამ სიბრტყის ან ემთხვევა მას.

თეორემა 3

თუ ორი არადამთხვევა სიბრტყე პერპენდიკულარულია რომელიმე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

ამ თეორემებისა და თავად პარალელიზმის ნიშნის საფუძველზე დასტურდება ნებისმიერი ორი სიბრტყის პარალელურობის ფაქტი.

უფრო დეტალურად განვიხილოთ α და β სიბრტყეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა, მოცემული სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

დავუშვათ, რომ რომელიმე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია α სიბრტყე, რომელიც შეესაბამება ზოგად განტოლებას A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, ასევე მოცემულია β სიბრტყე, რომელიც განისაზღვრება A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ფორმის ზოგადი განტოლება.

თეორემა 4

მოცემული სიბრტყეები α და β რომ იყოს პარალელური, აუცილებელია და საკმარისია წრფივი განტოლებათა სისტემა A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0-ს არ აქვს გამოსავალი (არათავსებადი იყო).

მტკიცებულება

დავუშვათ, რომ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 და A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 განტოლებებით განსაზღვრული მოცემული სიბრტყეები პარალელურები არიან და ამიტომ არ აქვთ საერთო წერტილები. ამრიგად, სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში არ არის არც ერთი წერტილი, რომლის კოორდინატები შეესაბამებოდეს სიბრტყეების ორივე განტოლების პირობებს ერთდროულად, ე.ი. სისტემა A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 გამოსავალი არ აქვს. თუ მითითებულ სისტემას არ აქვს ამონახსნები, მაშინ სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში არ არის არც ერთი წერტილი, რომლის კოორდინატები ერთდროულად აკმაყოფილებდეს სისტემის ორივე განტოლების პირობებს. მაშასადამე, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 და A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 განტოლებებით მოცემულ სიბრტყეებს არ აქვთ საერთო წერტილები, ე.ი. ისინი პარალელურები არიან.

გავაანალიზოთ სიბრტყეების პარალელიზმისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობის გამოყენება.

მაგალითი 1

მოცემულია ორი სიბრტყე: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 და 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . თქვენ უნდა დაადგინოთ, არის თუ არა ისინი პარალელური.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ განტოლებათა სისტემას მოცემული პირობებიდან:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

მოდით შევამოწმოთ შესაძლებელია თუ არა მიღებული წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა.

მატრიცის წოდება 2 3 1 2 3 1 1 3 უდრის ერთს, რადგან მეორე რიგის მცირერიცხოვანი მნიშვნელობები ნულის ტოლია. მატრიცის წოდება 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 უდრის ორს, ვინაიდან მინორი 2 1 2 3 - 4 არის ნულის ტოლი. ამრიგად, განტოლებათა სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი ნაკლებია სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგზე.

ამასთან ერთად, კრონეკერ-კაპელის თეორემადან გამომდინარეობს: განტოლებათა სისტემას 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 არ აქვს ამონახსნები. ეს ფაქტი ადასტურებს, რომ სიბრტყეები 2 x + 3 y + z - 1 = 0 და 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 პარალელურია.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ გამოვიყენებდით გაუსის მეთოდს წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად, ეს იგივე შედეგს გამოიღებდა.

პასუხი:მოცემული სიბრტყეები პარალელურია.

სიბრტყეების პარალელურად ყოფნის აუცილებელი და საკმარისი პირობა შეიძლება სხვაგვარადაც აღიწეროს.

თეორემა 5

იმისთვის, რომ α და β ორი არათანაბარი სიბრტყე ერთმანეთის პარალელურად იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ α და β სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები იყოს კოლინური.

ჩამოყალიბებული პირობის დადასტურება ეფუძნება სიბრტყის ნორმალური ვექტორის განსაზღვრას.

დავუშვათ, რომ n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) და n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) არიან α და β სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად. დავწეროთ ამ ვექტორების კოლინარობის პირობა:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2, სადაც t არის რეალური რიცხვი.

ამგვარად, არადამთხვევა α და β სიბრტყეებისთვის, რომლებშიც ზემოთ მოცემული ნორმალური ვექტორები პარალელურია, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ადგილი ჰქონდეს ნამდვილ რიცხვს t, რომლის ტოლობა მართალია:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2

მაგალითი 2

სიბრტყეები α და β მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. სიბრტყე α გადის წერტილებში: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . β სიბრტყე აღწერილია განტოლებით x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 აუცილებელია მოცემული სიბრტყეების პარალელურობის დამტკიცება.

გადაწყვეტილება

დავრწმუნდეთ, რომ მოცემული თვითმფრინავები ერთმანეთს არ ემთხვევა. მართლაც ასეა, ვინაიდან A წერტილის კოორდინატები არ შეესაბამება β სიბრტყის განტოლებას.

შემდეგი ნაბიჯი არის α და β სიბრტყეების შესაბამისი n 1 → და n 2 → ნორმალური ვექტორების კოორდინატების განსაზღვრა. ჩვენ ასევე ვამოწმებთ ამ ვექტორების კოლინარობის მდგომარეობას.

ვექტორი n 1 → შეიძლება დაზუსტდეს ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის აღებით A B → და A C →. მათი კოორდინატები შესაბამისად არის: (- 3 , 0 , 1) და (- 2 , 2 , - 2) . შემდეგ:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატების მისაღებად x 12 + y 3 2 + z 4 = 1, ამ განტოლებას ვამცირებთ სიბრტყის ზოგად განტოლებამდე:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

ამრიგად: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

მოდით შევამოწმოთ თუ არა ვექტორების კოლინარობის პირობა n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) და n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

ვინაიდან - 1 \u003d t 1 12 - 8 \u003d t 2 3 - 3 \u003d t 1 4 ⇔ t \u003d - 12, მაშინ ვექტორები n 1 → და n 2 → დაკავშირებულია ტოლობით n 1 → = - 12 n 2 → , ე.ი. არიან კოლინარული.

უპასუხე: α და β სიბრტყეები არ ემთხვევა ერთმანეთს; მათი ნორმალური ვექტორები კოლინარულია. ამრიგად, α და β სიბრტყეები პარალელურია.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გაკვეთილის მიზნები:

• პარალელური სიბრტყეების ცნების გაცნობა.
• განვიხილოთ და დაადასტურეთ სიბრტყეების პარალელურობის ნიშანი და პარალელური სიბრტყეების თვისებების გამომხატველი თეორემები.
• მიჰყევით ამ თეორემების გამოყენებას ამოცანების ამოხსნისას.

გაკვეთილის გეგმა (დაწერეთ დაფაზე):

I. მოსამზადებელი ზეპირი სამუშაო.

II. ახალი მასალის სწავლა:

1. სივრცეში ორი სიბრტყის ურთიერთგანლაგება.
2. პარალელური სიბრტყეების განმარტება.
3. პარალელური სიბრტყეების ნიშანი.
4. პარალელური სიბრტყეების თვისება.

III. გაკვეთილის შეჯამება.

IV. Საშინაო დავალება.

გაკვეთილების დროს

I. ზეპირი ნაშრომი

გაკვეთილი მინდა დავიწყო ჩაადაევის ფილოსოფიური წერილის ციტატით:

„საიდან მოდის მათემატიკაში ანალიზის ეს სასწაულებრივი ძალა? ფაქტია, რომ გონება აქ მოქმედებს ამ წესის სრული მორჩილებით.

წესზე ამ დაქვემდებარებას მომდევნო ამოცანაში განვიხილავთ. ახალი მასალის ასიმილაციისთვის საჭიროა რამდენიმე კითხვის გამეორება. ამისათვის თქვენ უნდა ჩამოაყალიბოთ განცხადება, რომელიც გამომდინარეობს ამ განცხადებებიდან და დაასაბუთეთ თქვენი პასუხი:

II. ახალი მასალის სწავლა

1. როგორ შეიძლება ორი თვითმფრინავი განთავსდეს სივრცეში? რა არის წერტილების სიმრავლე, რომელიც ეკუთვნის ორივე სიბრტყეს?

პასუხი:

ა) ემთხვევა (მაშინ ჩვენ გვექნება საქმე ერთ თვითმფრინავთან, უკმაყოფილო);
ბ) იკვეთება, ;
გ) არ იკვეთება (საერთო არ არის საერთო წერტილები).

2. განმარტება: თუ ორი სიბრტყე არ იკვეთება, მაშინ მათ პარალელურად უწოდებენ.

3. Დანიშნულება:

4. მოიყვანეთ პარალელური სიბრტყეების მაგალითები გარემოდან

5. როგორ გავარკვიოთ, არის თუ არა სივრცეში რომელიმე ორი სიბრტყე პარალელურად?

პასუხი:

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ განმარტება, მაგრამ ეს არ არის პრაქტიკული, რადგან ყოველთვის არ არის შესაძლებელი თვითმფრინავების კვეთის დადგენა. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია განიხილოს საკმარისი პირობა სიბრტყეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

6. განიხილეთ სიტუაციები:

ბ) თუ ?

გ) თუ ?

რატომ არის ა) და ბ) პასუხი: "არა ყოველთვის", მაგრამ გ) "დიახ"? (გადაკვეთა ხაზები განსაზღვრავს სიბრტყეს უნიკალური გზით, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ცალსახად არის განსაზღვრული!)

სიტუაცია 3 არის ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი.

7. თეორემა: თუ ერთი სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფე, შესაბამისად, პარალელურია მეორე სიბრტყის ორი წრფის, მაშინ ეს სიბრტყეები პარალელურია.

მოცემული:

დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

(ნახაზზე აღნიშვნები გამოიყენება სტუდენტების მიერ).

1. შენიშვნა: . ანალოგიურად:
2. მოდით: .
3. გვაქვს: ანალოგიურად:
4. ვიღებთ: წინააღმდეგობა პლანიმეტრიის აქსიომასთან გადის მ.
5. ასე: არასწორი, შემდეგ ჰ. და ა.შ.

8. ამოხსენით No51 (მოსწავლეები ასახელებენ ნახატს).

მოცემული:

დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

1 გზა

1. ავაშენოთ

2 გზა

შედით მეშვეობით.

9. განვიხილოთ პარალელური სიბრტყეების ორი თვისება:

თეორემა: თუ ორი პარალელური სიბრტყე იკვეთება მესამეზე, მაშინ მათი გადაკვეთის ხაზები პარალელურია.

(მოსწავლეები თავად ავსებენ და აღნიშნავენ ნახატს).

მოცემული:

( მეკარგად)

მათემატიკის მასწავლებელი PU №3

თუაევა ზ.ს.

2015 წელი

გაკვეთილის თემა „სიბრტყეების პარალელიზმი“

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი ახალი მასალის შესწავლაში.

ძირითადი მიზანი:

პარალელური სიბრტყეების ცნების გაცნობა.

დაამტკიცეთ ორი სიბრტყის პარალელურობის კრიტერიუმი.

განვიხილოთ პარალელური სიბრტყეების თვისებები.

Დავალებები:

საგანმანათლებლო :

ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშნის და პარალელური სიბრტყეების შესწავლილი თვისებების გამოყენების უნარ-ჩვევის ჩამოყალიბება ამოცანების ამოხსნაში.

საგანმანათლებლო :

მოსწავლეთა სივრცითი წარმოსახვის განვითარება,

მოსწავლეთა გონებრივი აქტივობის განვითარება.

მოსწავლეთა ლოგიკური, რაციონალური, კრიტიკული, შემოქმედებითი აზროვნებისა და შემეცნებითი შესაძლებლობების განვითარება.

საგანმანათლებლო :

სიზუსტის განათლება, გრაფიკული წიგნიერება.

ახალი საგანმანათლებლო ტექნოლოგიების გამოყენება: პრობლემური სწავლის ტექნოლოგიის გამოყენება.

Გაკვეთილის გეგმა

II. ახალი მასალის შესწავლა ინტერაქტიულ დაფაზე მოდელით:

პარალელური სიბრტყეების განმარტება.

ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი.

პარალელური სიბრტყეების თვისებები.

მოსწავლეებთან საუბარი იმ საკითხებზე, რომლებშიც მასწავლებელი სისტემატიურად ქმნის პრობლემურ სიტუაციებს და აწყობს მოსწავლეთა საქმიანობას საგანმანათლებლო პრობლემების გადასაჭრელად, უზრუნველყოფს მათი დამოუკიდებელი, საძიებო საქმიანობის ოპტიმალურ კომბინაციას მეცნიერების მზა დასკვნების ათვისებასთან.

III. უნარებისა და შესაძლებლობების ფორმირება

ამოცანების გადაჭრა მოსწავლეებისთვის გამოსაყენებლადორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი და პარალელური სიბრტყეების თვისებები. დამოუკიდებელი მუშაობა შეძენილი მასალის კონტროლისა და პირველადი კონსოლიდაციის ჩასატარებლად

IV. Საშინაო დავალება

მასწავლებლის კომენტარები საშინაო დავალებაზე

გაკვეთილების დროს:

1. გაკვეთილის თემისა და მიზნის შეტყობინება. გაკვეთილის გეგმის შეტყობინება.

2. ცოდნის განახლების ეტაპი.

კითხვები სტუდენტებისთვის:

1. სივრცეში რომელ წრფეებს უწოდებენ პარალელურს?

(სივრცეში ორ წრფეს უწოდებენ პარალელურს, თუ ისინი დევს ერთ სიბრტყეში და არ აქვთ საერთო წერტილები)

2. ჩამოაყალიბეთ სწორი წრფისა და სიბრტყის პარალელურობის განმარტება?

(წრფეს და სიბრტყეს პარალელურს უწოდებენ, თუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები)

3. ჩამოაყალიბეთ სტერეომეტრიის მესამე აქსიომა?

(თუ ორ სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილი, მაშინ მათ აქვთ საერთო ხაზი, რომელზეც დევს ამ სიბრტყეების ყველა საერთო წერტილი)

4. როგორ შეიძლება ორი თვითმფრინავი განთავსდეს სივრცეში?

(ორი სიბრტყე ან იკვეთება სწორ ხაზში (ნახ. 1, ა) ან არ იკვეთება (ნახ. 1, ბ))

სურ.1, ა ნახ.1, ბ

3. ახალი მასალის სწავლა.

1. სწავლის პრობლემა : განსაზღვრეთ პარალელური სიბრტყეები.

სასწავლო სიტუაცია :

კითხვები სტუდენტებისთვის:

1. რამდენი საერთო წერტილი აქვს ორ გადამკვეთ სიბრტყეს?

(არც ერთი საერთო წერტილი)

2. რა ჰქვია თვითმფრინავებს, რომლებსაც არ აქვთ ერთი საერთო წერტილი?

(პარალელური თვითმფრინავები)

3. ჩამოაყალიბეთ პარალელური სიბრტყეების განმარტება მათი საერთო წერტილების რაოდენობის გათვალისწინებით?

ორ სიბრტყეს უწოდებენ პარალელურს, თუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები.

4. დააკონკრეტეთ პარალელური სიბრტყეების მოდელები კლასის ობიექტებზე?

(კარადის იატაკი და ჭერი, ორი მოპირდაპირე კედელი, მაგიდის ზედაპირი და იატაკის სიბრტყე)

2. სწავლის პრობლემა : ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი.

სასწავლო სიტუაცია :

მოსწავლეებს ეძლევათ პარალელეპიპედის მოდელი.

კითხვები სტუდენტებისთვის:

1. როგორია სიბრტყეების ფარდობითი მდებარეობა და ?

(თვითმფრინავი და პარალელურად)

2. დაასახელეთ ნებისმიერი ორი გადამკვეთი სწორი წრფე

(სწორი AB, სწორი BC)

3. დაასახელეთ სწორი სიბრტყეები , სწორი ხაზების პარალელურადABდა მზე ?

(
║
║

4. როგორია სწორი ხაზის ფარდობითი პოზიციაABდა თვითმფრინავი ? დაასაბუთეთ პასუხი.

(AB║ სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელურობის საფუძველზე: თუ სწორი ხაზი, რომელიც არ დევს მოცემულ სიბრტყეში (
), პარალელურია ამ სიბრტყეში მდებარე რაღაც სწორი ხაზის (
║

თუ მოსწავლეებს უჭირთ პასუხის დასაბუთება, მაშინ ყურადღება მიაქციეთ სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანს.

5. როგორია ხაზის ფარდობითი პოზიციამზედა თვითმფრინავი ? დაასაბუთეთ პასუხი.

(მზე║ სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელურობის საფუძველზე: თუ სწორი ხაზი, რომელიც არ დევს მოცემულ სიბრტყეში (
), პარალელურია ამ სიბრტყეში მდებარე რაღაც სწორი ხაზის (
║
), მაშინ ის თავად თვითმფრინავის პარალელურია)

6. ვივარაუდოთ თვითმფრინავები და არ არის პარალელური. როგორ განთავსდება ისინი მაშინ?

(სიბრტყეები გადაიკვეთება რაღაც სწორი ხაზის გასწვრივ)

7. როგორ განლაგდება ხაზები ამ შემთხვევაშიAB დათან ?

(თან ერთად ║AB, ქონების მიხედვით
) სხვა სიბრტყის პარალელურად (AB║
║AB))

8. როგორ განლაგდება ხაზები ამ შემთხვევაშიმზე დათან ?

(თან ერთად ║ ქ. ქ : თუ თვითმფრინავი გადის მოცემულ ხაზს (
) სხვა სიბრტყის პარალელურად (BC║ ) და კვეთს ამ სიბრტყეს (
), მაშინ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი მოცემული წრფის პარალელურია (თან ║ VS))

9. რამდენი წრფეა წრფის პარალელურითან , გადის წერტილსAT ?

(ორი ხაზი: ხაზი AB, ხაზი BC)

10. შესაძლებელია?

(ეს შეუძლებელია, რადგან პარალელური ხაზების თეორემის მიხედვით: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის მოცემული წრფე პარალელურად და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი)

11. რა დასკვნის გაკეთება შეიძლება? სწორია ჩვენი ვარაუდი?

(ჩვენი ვარაუდი არ არის სწორი, რჩება ამის აღიარება ║)

12. რამდენი სწორი ხაზია საჭირო სიბრტყეში თვითმფრინავამდე და პარალელურები იყვნენ?

(ორი სწორი ხაზი)

13. როგორი უნდა იყოს ეს სტრიქონები ერთმანეთთან?

(გადაკვეთა)

14. რამდენი სწორი უნდა იყოს ისინი სიბრტყის პარალელურად ?

(ორი)

15. ჩამოაყალიბეთ ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი მეორე სიბრტყის წრფეების პარალელურად ერთი სიბრტყის წრფეების რაოდენობის გათვალისწინებით?

სტუდენტების დასკვნის შედეგი:

თუ ერთი სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფე, შესაბამისად, პარალელურია მეორე სიბრტყის ორი წრფის, მაშინ ეს სიბრტყეები პარალელურია.

3. სწავლის პრობლემა : ჩამოაყალიბონ და დაამტკიცონ პარალელური სიბრტყეების თვისებები.

სასწავლო სიტუაცია :

კითხვები სტუდენტებისთვის:

და ?

(თვითმფრინავები პარალელურია)

თვითმფრინავებთან მიმართებაში და ?

(თვითმფრინავი კვეთს თვითმფრინავს და )

3. რას იტყვით სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზებზე?

(სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზები ერთმანეთის პარალელურია)

4. დაასაბუთეთ თქვენი პასუხი სივრცეში პარალელური წრფეების განმარტებით.

(a და b ხაზები დევს იმავე სიბრტყეში) და არ იკვეთება, რადგან თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ თვითმფრინავები და ექნებოდა საერთო წერტილი, რაც შეუძლებელია, რადგან ეს სიბრტყეები პარალელურია)

5. ჩამოაყალიბეთ პარალელური სიბრტყეების პირველი თვისება გადაკვეთის ხაზების ფარდობითი პოზიციის გათვალისწინებით.ადა in ?

სტუდენტების დასკვნის შედეგი:

თუ ორი პარალელური სიბრტყე იკვეთება მესამეზე, მაშინ მათი გადაკვეთის ხაზები პარალელურია.

სასწავლო სიტუაცია :

მოსწავლეებს ეძლევათ მესამე სიბრტყით გადაკვეთილი პარალელური სიბრტყეების მოდელი.

კითხვები სტუდენტებისთვის:

1. როგორია სიბრტყეების ფარდობითი მდებარეობა და ?

(თვითმფრინავები პარალელურია)

2. როგორ მდებარეობს თვითმფრინავი თვითმფრინავებთან მიმართებაში და ?

(თვითმფრინავი კვეთს თვითმფრინავს და )

3. რას იტყვით სეგმენტებზეABდა თან დ ?

(სეგმენტები Ჯგუფი თან დ ერთმანეთის პარალელურად)

4. რას იტყვით სეგმენტებზეACდა AT დ ?

(სეგმენტები AU და AT დ ერთმანეთის პარალელურები არიან თვისებით 1 )

5. რა ჰქვია ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია?

(პარალელოგრამი)

6. პარალელოგრამის რა თვისებები იცით?

პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები და კუთხეები ტოლია

პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით

7. რას იტყვით სეგმენტებზეABდა თან დ პარალელოგრამის პირველი თვისების გამოყენებით?

(სეგმენტები Ჯგუფი თან დ ერთმანეთის ტოლი)

8. ჩამოაყალიბეთ პარალელური სიბრტყეების მეორე თვისება მონაკვეთების ტოლობის გამოყენებითABდა თან დ ?

სტუდენტების დასკვნის შედეგი:

პარალელურ სიბრტყეებს შორის ჩასმული პარალელური წრფეების სეგმენტები ტოლია.

4. უნარებისა და შესაძლებლობების ფორმირება.

Პრობლემის გადაჭრა

დავალება ნომერი 1. (No54) (ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშნის შესამუშავებლად)

მოცემული :

დაამტკიცე :

║

Პოვნა :

მტკიცებულება:

1.
- შუა ხაზი
MN ║ AC .

2. NP - შუა ხაზი
NP ║ CD .

MN ║ AC
( MNP )║( ADC ) პარალელურობის საფუძველზე 2 pl.

NP ║ CD

4.
მსგავსი
სამკუთხედების მსგავსების მესამე ნიშნის მიხედვით (თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი პროპორციულია მეორის სამი გვერდის, მაშინ ასეთი სამკუთხედები მსგავსია)
(რადგან ორი მსგავსი სამკუთხედის ფართობის თანაფარდობა ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის)

უპასუხე :
.

დავალება ნომერი 2. (No63 (ა)) (პარალელური სიბრტყეების 1 თვისების დასამუშავებლად)

მოცემული:

║

Პოვნა:

გადაწყვეტილება:

1. დავამტკიცოთ ეს
║
.

როგორც

║(პირობით)

║
.(პარალელური სიბრტყეების 1 თვისებით)

2. დავამტკიცოთ ეს
მსგავსი
.

, როგორც შესაბამისი
║
.და სეკანტი

, როგორც შესაბამისი
║
.და სეკანტი

ნიშნავს,
მსგავსი
2 კუთხეში.

3. იპოვე
.

პირობით

4. იპოვე
.

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია:

უპასუხე :

დავალება ნომერი 3. (No65) (პარალელური სიბრტყეების 2 თვისების პრაქტიკაში პრაქტიკაში)

მოცემული :

║

║
║

განსაზღვრეთ :

ერთგვარი ოთხკუთხედები

დაამტკიცე:

გადაწყვეტილება:

1. განვიხილოთ ოთხკუთხედი
.

║
(პირობით)

=

ოთხკუთხედი

2. განვიხილოთ ოთხკუთხედი
.

║
(პირობით)

=
(როგორც პარალელური სიბრტყეებს შორის ჩასმული პარალელური წრფეების სეგმენტები, თვისება 2)
ოთხკუთხედი
არის პარალელოგრამი

3. განვიხილოთ ოთხკუთხედი
.

║
(პირობით)

=
(როგორც პარალელური სიბრტყეებს შორის ჩასმული პარალელური წრფეების სეგმენტები, თვისება 2)
ოთხკუთხედი
წყვეტს მოცემულის მსგავს სამკუთხედს. : ║ Საშინაო დავალება.

§ 10 (გვ. 10-11) გვ. (20-21)

No53, No63(ბ).

სახელმძღვანელო: L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, L. S. Kiseleva, E. G. Poznyak. გეომეტრია 10, 11. მოსკოვი“ Განათლება ” , 2002.

6. გაკვეთილის შედეგი.

დღეს გაკვეთილზე გავაცანით პარალელური სიბრტყეების ცნება, დამოუკიდებლად დავამტკიცეთ ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი, განვიხილეთ პარალელური სიბრტყეების თვისებები. ვისწავლეთ ამოცანების ამოხსნა დასამტკიცებლად ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშნის გამოყენებით, პარალელური სიბრტყეების შესწავლილი თვისებების გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.