მოკლე თეორია

ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდი არის კლასიკური მეთოდი მათემატიკური პროგრამირების ამოცანების გადასაჭრელად (კერძოდ, ამოზნექილი). სამწუხაროდ, მეთოდის პრაქტიკული გამოყენებისას შეიძლება წარმოიშვას მნიშვნელოვანი გამოთვლითი სირთულეები, რაც ავიწროებს მისი გამოყენების არეალს. ჩვენ განვიხილავთ აქ ლაგრანჟის მეთოდს ძირითადად იმიტომ, რომ ეს არის აპარატი, რომელიც აქტიურად გამოიყენება პრაქტიკაში ფართოდ გავრცელებული სხვადასხვა თანამედროვე რიცხვითი მეთოდების გასამართლებლად. რაც შეეხება ლაგრანგის ფუნქციას და ლაგრანჟის მულტიპლიკატორებს, ისინი დამოუკიდებელ და უაღრესად მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ არა მხოლოდ მათემატიკური პროგრამირების თეორიასა და გამოყენებაში.

განვიხილოთ კლასიკური ოპტიმიზაციის პრობლემა:

ამ პრობლემის შეზღუდვებს შორის არ არის უტოლობები, არ არსებობს პირობები ცვლადების არანეგატიურობის, მათი დისკრეტულობისა და ფუნქციების შესახებ და არიან უწყვეტი და აქვთ მინიმუმ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები.

პრობლემის გადაჭრის კლასიკური მიდგომა იძლევა განტოლებათა სისტემას (აუცილებელი პირობები), რომელიც უნდა დაკმაყოფილდეს იმ წერტილით, რომელიც ფუნქციას უზრუნველყოფს ლოკალური ექსტრემით იმ წერტილების სიმრავლეზე, რომლებიც აკმაყოფილებენ შეზღუდვებს (ამოზნექილი პროგრამირების პრობლემისთვის, ნაპოვნი წერტილი იქნება ამავე დროს გლობალური ექსტრემალური წერტილი).

დავუშვათ, რომ ფუნქციას (1) აქვს ლოკალური პირობითი უკიდურესი წერტილი და მატრიცის რანგი უდრის. მაშინ საჭირო პირობები შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

არის ლაგრანგის ფუნქცია; არის ლაგრანჟის მულტიპლიკატორები.

ასევე არსებობს საკმარისი პირობები, რომლებშიც განტოლებათა სისტემის ამონახსნი (3) განსაზღვრავს ფუნქციის უკიდურეს წერტილს. ეს კითხვა წყდება ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალური ნიშნის შესწავლის საფუძველზე. თუმცა, საკმარისი პირობები ძირითადად თეორიულ ინტერესს წარმოადგენს.

თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ შემდეგი პროცედურა (1), (2) პრობლემის გადასაჭრელად ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდით:

1) შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია (4);

2) იპოვნეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ და გააიგივეთ ისინი

ნული. ამრიგად, მიიღება განტოლებებისაგან შემდგარი სისტემა (3) ამოხსენით მიღებული სისტემა (თუ ეს შესაძლებელია!) და ამით იპოვნეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ყველა სტაციონარული წერტილი;

3) კოორდინატების გარეშე აღებული სტაციონარული წერტილებიდან შეარჩიეთ წერტილები, რომლებშიც ფუნქციას აქვს პირობითი ლოკალური ექსტრემები შეზღუდვების არსებობისას (2). ეს არჩევანი კეთდება, მაგალითად, ადგილობრივი ექსტრემისთვის საკმარისი პირობების გამოყენებით. ხშირად კვლევა გამარტივებულია პრობლემის სპეციფიკური პირობების გამოყენების შემთხვევაში.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

Ამოცანა

ფირმა აწარმოებს ორი სახის საქონელს რაოდენობით და . სასარგებლო ღირებულების ფუნქცია განისაზღვრება ურთიერთობით. ამ საქონლის ფასები ბაზარზე თანაბარია და შესაბამისად.

დაადგინეთ გამოშვების რომელ მოცულობებზე მიიღწევა მაქსიმალური მოგება და რის ტოლია, თუ მთლიანი ხარჯები არ აღემატება

პრობლემები გაქვთ გადაწყვეტის პროცესის გაგებაში? საიტს აქვს სერვისი პრობლემების გადაჭრა შეკვეთის ოპტიმალური გადაწყვეტის მეთოდებით

პრობლემის გადაწყვეტა

პრობლემის ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელი

მოგების ფუნქცია:

ხარჯების ლიმიტები:

ჩვენ ვიღებთ შემდეგ ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელს:

გარდა ამისა, დავალების მნიშვნელობის მიხედვით

ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი

მოდით შევადგინოთ ლაგრანგის ფუნქცია:

ჩვენ ვპოულობთ 1-ლი რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს:

ჩვენ ვადგენთ და ვხსნით განტოლებათა სისტემას:

Მას შემდეგ

მაქსიმალური მოგება:

უპასუხე

ამრიგად, აუცილებელია ერთეულების წარმოება. 1-ლი ტიპის საქონელი და ერთეული. მე -2 ტიპის საქონელი. ამ შემთხვევაში მოგება იქნება მაქსიმალური და იქნება 270.
მოცემულია კვადრატული ამოზნექილი პროგრამირების ამოცანის გრაფიკული მეთოდით გადაჭრის მაგალითი.

ხაზოვანი ამოცანის ამოხსნა გრაფიკული მეთოდით
განხილულია ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის (LPP) ორი ცვლადით გადაჭრის გრაფიკული მეთოდი. პრობლემის მაგალითზე მოცემულია ნახატის აგების და ამოხსნის პოვნის დეტალური აღწერა.

უილსონის ინვენტარის მართვის მოდელი
პრობლემის გადაჭრის მაგალითზე განხილულია მარაგების მართვის ძირითადი მოდელი (ვილსონის მოდელი). გამოითვლება მოდელის ისეთი ინდიკატორები, როგორიცაა შეკვეთის ოპტიმალური პარტიული ზომა, შენახვის წლიური ხარჯები, მიწოდებებს შორის ინტერვალი და შეკვეთის განთავსების წერტილი.

პირდაპირი ხარჯების თანაფარდობის მატრიცა და შემავალი-გამომავალი მატრიცა
პრობლემის გადაჭრის მაგალითზე განიხილება ლეონტიევის ინტერსექტორული მოდელი. ნაჩვენებია პირდაპირი მატერიალური დანახარჯების კოეფიციენტების მატრიცის გაანგარიშება, მატრიცა „შემავალი-გამომავალი“, არაპირდაპირი ხარჯების კოეფიციენტების მატრიცა, საბოლოო მოხმარებისა და მთლიანი გამომუშავების ვექტორები.

თანლაგრანგის მეთოდის არსი არის პირობითი ექსტრემუმის პრობლემის შემცირება უპირობო ექსტრემუმის პრობლემის გადაწყვეტამდე. განვიხილოთ არაწრფივი პროგრამირების მოდელი:

(5.2)

სადაც
არის ცნობილი ფუნქციები,

ა
მოცემულია კოეფიციენტები.

გაითვალისწინეთ, რომ პრობლემის ამ ფორმულირებაში შეზღუდვები მოცემულია ტოლობებით და არ არსებობს პირობა, რომ ცვლადები იყოს არაუარყოფითი. გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ფუნქციები
უწყვეტია მათი პირველი ნაწილობრივი წარმოებულებით.

მოდით გარდავქმნათ პირობები (5.2) ისე, რომ ტოლობის მარცხენა ან მარჯვენა ნაწილები შეიცავდეს ნული:

(5.3)

შევადგინოთ ლაგრანგის ფუნქცია. იგი მოიცავს ობიექტურ ფუნქციას (5.1) და შეზღუდვების (5.3) მარჯვენა მხარეს, კოეფიციენტების შესაბამისად აღებულს.
. იქნება იმდენი ლაგრანგის კოეფიციენტი, რამდენი შეზღუდვა იქნება პრობლემაში.

(5.4) ფუნქციის უკიდურესი წერტილები არის საწყისი ამოცანის უკიდურესი წერტილები და პირიქით: ამოცანის ოპტიმალური გეგმა (5.1)-(5.2) არის ლაგრანგის ფუნქციის გლობალური უკიდურესი წერტილი.

მართლაც, დაე, გამოსავალი მოიძებნოს
პრობლემა (5.1)-(5.2), შემდეგ პირობები (5.3) დაკმაყოფილებულია. ჩავანაცვლოთ გეგმა
შევიდა ფუნქცია (5.4) და გადაამოწმეთ ტოლობის მართებულობა (5.5).

ამრიგად, იმისთვის, რომ ვიპოვოთ თავდაპირველი პრობლემის ოპტიმალური გეგმა, აუცილებელია ლაგრანგის ფუნქციის გამოკვლევა ექსტრემისთვის. ფუნქციას აქვს უკიდურესი მნიშვნელობები იმ წერტილებში, სადაც მისი ნაწილობრივი წარმოებულები ტოლია ნული. ასეთ წერტილებს ე.წ სტაციონარული.

ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს (5.4)

,

.

გათანაბრების შემდეგ ნულიწარმოებულები ვიღებთ სისტემას m+nგანტოლებები m+nუცნობი

,(5.6)

ზოგად შემთხვევაში, სისტემას (5.6)-(5.7) ექნება რამდენიმე ამონახსნი, რომელიც მოიცავს ლაგრანჟის ფუნქციის ყველა მაქსიმუმს და მინიმუმს. იმისათვის, რომ ხაზი გავუსვა გლობალურ მაქსიმუმს ან მინიმუმს, ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობები გამოითვლება ყველა ნაპოვნი წერტილში. ამ მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი იქნება გლობალური მაქსიმუმი, ყველაზე პატარა კი გლობალური მინიმუმი. ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მისი გამოყენება საკმარისი პირობები მკაცრი ექსტრემისთვისუწყვეტი ფუნქციები (იხ. ამოცანა 5.2 ქვემოთ):

დაუშვით ფუნქცია
არის უწყვეტი და ორჯერ დიფერენცირებადი მისი სტაციონარული წერტილის ზოგიერთ უბანში (ისინი.
)). შემდეგ:

ა ) თუ
, (5.8)

მაშინ არის ფუნქციის მკაცრი მაქსიმალური წერტილი
;

ბ) თუ
, (5.9)

მაშინ არის ფუნქციის მკაცრი მინიმალური წერტილი
;

გ ) თუ
,

მაშინ ექსტრემის არსებობის საკითხი ღია რჩება.

უფრო მეტიც, სისტემის ზოგიერთი გამოსავალი (5.6)-(5.7) შეიძლება იყოს უარყოფითი. რაც არ შეესაბამება ცვლადების ეკონომიკურ მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში, უნდა გაანალიზდეს უარყოფითი მნიშვნელობების ნულით ჩანაცვლების შესაძლებლობა.

ლაგრანგის მულტიპლიკატორების ეკონომიკური მნიშვნელობა.ოპტიმალური მულტიპლიკატორის მნიშვნელობა
აჩვენებს რამდენად შეიცვლება კრიტერიუმის მნიშვნელობა ზ რესურსის გაზრდის ან შემცირებისას ჯერთეულზე, ვინაიდან

ლაგრანგის მეთოდი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როდესაც შეზღუდვები უტოლობებია. ასე რომ, ფუნქციის ექსტრემის პოვნა
პირობებში

,

შესრულებულია რამდენიმე ეტაპად:

1. დაადგინეთ ობიექტური ფუნქციის სტაციონარული წერტილები, რისთვისაც ხსნიან განტოლებათა სისტემას

.

2. სტაციონარული წერტილებიდან ირჩევენ ისეთებს, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს პირობებს

3. ტოლობის შეზღუდვების (5.1)-(5.2) ამოცანის ამოსახსნელად გამოიყენება ლაგრანგის მეთოდი.

4. მეორე და მესამე ეტაპებზე ნაპოვნი პუნქტები განიხილება გლობალური მაქსიმუმისთვის: ამ წერტილებში ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობები შედარებულია - ყველაზე დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ოპტიმალურ გეგმას.

ამოცანა 5.1პირველ ნაწილში განხილული ამოცანა 1.3 გადავწყვიტოთ ლაგრანგის მეთოდით. წყლის რესურსების ოპტიმალური განაწილება აღწერილია მათემატიკური მოდელით

.

შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია

იპოვეთ ამ ფუნქციის უპირობო მაქსიმუმი. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ ნაწილობრივ წარმოებულებს და ვატოლებთ მათ ნულს

,

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმის წრფივი განტოლებათა სისტემა

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა არის წყლის რესურსების განაწილების ოპტიმალური გეგმა სარწყავი ტერიტორიებზე

, .

რაოდენობები
იზომება ასობით ათასი კუბური მეტრით.
- წმინდა შემოსავლის ოდენობა ასი ათასი კუბური მეტრი სარწყავი წყალზე. აქედან გამომდინარე, სარწყავი წყლის ზღვრული ფასი 1 მ 3 არის
დენ. ერთეულები

მაქსიმალური დამატებითი წმინდა შემოსავალი სარწყავი იქნება

160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=

172391.02 (დენ. ერთეული)

ამოცანა 5.2პროგრამირების არაწრფივი ამოცანის ამოხსნა

ჩვენ წარმოვადგენთ შეზღუდვას, როგორც:

.

შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია და დაადგინეთ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები

.

ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონარული წერტილების დასადგენად, უნდა გავაიგივოთ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები ნულთან. შედეგად ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

.

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს

. (5.10)

გამოხატულება ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში

,

საიდანაც არის ორი გამოსავალი :

და
. (5.11)

ამ ამონახსნები მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

,
.

ლაგრანგის მულტიპლიკატორისა და უცნობის მნიშვნელობები გამოთვალეთ გამონათქვამები (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ორი უკიდურესი ქულა:

;
.

იმისათვის, რომ გავიგოთ ეს ქულები არის მაქსიმალური თუ მინიმალური ქულები, ვიყენებთ საკმარის პირობებს მკაცრი ექსტრემისთვის (5.8)-(5.9). წინასწარი გამოხატულება ამისთვის მათემატიკური მოდელის შეზღუდვის შედეგად მიღებულს, ჩვენ ვცვლით ობიექტურ ფუნქციას

,

. (5.12)

მკაცრი ექსტრემის პირობების შესამოწმებლად, უნდა განვსაზღვროთ ფუნქციის (5.11) მეორე წარმოებულის ნიშანი ჩვენ აღმოჩენილ უკიდურეს წერტილებში.
და
.

,
;

.

ამრიგად, (·)
არის საწყისი პრობლემის მინიმალური წერტილი (
), ა (·)
- მაქსიმალური ქულა.

ოპტიმალური გეგმა:

,
,
,

.

მეთოდის აღწერა

სად .

დასაბუთება

ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის შემდეგი დასაბუთება არ არის მისი მკაცრი მტკიცებულება. იგი შეიცავს ევრისტიკულ მსჯელობას, რომელიც ეხმარება მეთოდის გეომეტრიული მნიშვნელობის გაგებას.

2D ქეისი

დონის ხაზები და მრუდი.

დაე, მოითხოვოს ორი ცვლადის ზოგიერთი ფუნქციის უკიდურესობის პოვნა განტოლებით მოცემულ პირობებში . ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა ფუნქცია მუდმივად დიფერენცირებადია და ეს განტოლება განსაზღვრავს გლუვ მრუდს სზედაპირზე. შემდეგ პრობლემა მცირდება ფუნქციის ექსტრემის პოვნამდე ვმოსახვევზე ს. ჩვენც ამას ვივარაუდებთ სარ გადის წერტილებში, სადაც გრადიენტია ვუხვევს 0-ს.

სიბრტყეზე დახაზეთ ფუნქციის დონის ხაზები ვ(ანუ მოსახვევებში). გეომეტრიული მოსაზრებებიდან ჩანს, რომ ფუნქციის უკიდურესობა ვმოსახვევზე სშეიძლება იყოს მხოლოდ წერტილები, რომლებზეც ტანგენტებია სდა შესაბამისი დონის ხაზი იგივეა. მართლაც, თუ მრუდი სკვეთს დონის ხაზს ვწერტილში განივი (ანუ რაღაც არანულოვანი კუთხით), შემდეგ მოძრაობს მრუდის გასწვრივ სწერტილიდან შეგვიძლია მივიღოთ ორივე დონის ხაზებამდე, რომელიც შეესაბამება უფრო დიდ მნიშვნელობას ვდა უფრო პატარა. ამიტომ, ასეთი წერტილი არ შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილი.

ამრიგად, ექსტრემუმის აუცილებელი პირობა ჩვენს შემთხვევაში იქნება ტანგენტების დამთხვევა. ანალიტიკური ფორმით დასაწერად, გაითვალისწინეთ, რომ იგი უდრის ფუნქციების გრადიენტების პარალელიზმს. ვდა ψ ამ მომენტში, ვინაიდან გრადიენტის ვექტორი პერპენდიკულარულია დონის ხაზის ტანგენსზე. ეს მდგომარეობა გამოიხატება შემდეგი ფორმით:

სადაც λ არის რაიმე არანულოვანი რიცხვი, რომელიც არის ლაგრანგის მამრავლი.

განიხილეთ ახლა ლაგრანგის ფუნქციადამოკიდებულია და λ:

მისი ექსტრემუმის აუცილებელი პირობაა ნულოვანი გრადიენტი. დიფერენცირების წესების შესაბამისად იწერება როგორც

ჩვენ მივიღეთ სისტემა, რომლის პირველი ორი განტოლება უდრის აუცილებელ ლოკალურ უკიდურეს მდგომარეობას (1), ხოლო მესამე არის განტოლების ექვივალენტი. . მისგან შეგიძლიათ იპოვოთ. ამ შემთხვევაში, რადგან სხვაგვარად ფუნქციის გრადიენტი ვქრება ერთ წერტილში , რაც ეწინააღმდეგება ჩვენს ვარაუდებს. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ გზით აღმოჩენილი წერტილები შეიძლება არ იყოს სასურველი პირობითი ექსტრემალური წერტილები - განხილული პირობა აუცილებელია, მაგრამ არა საკმარისი. პირობითი ექსტრემის პოვნა დამხმარე ფუნქციის გამოყენებით ლდა წარმოადგენს ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის საფუძველს, რომელიც გამოიყენება აქ ორი ცვლადის უმარტივესი შემთხვევისთვის. გამოდის, რომ ზემოაღნიშნული მსჯელობა შეიძლება განზოგადდეს ცვლადების და განტოლებების თვითნებური რაოდენობის შემთხვევაში, რომლებიც აკონკრეტებენ პირობებს.

ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდის საფუძველზე შეიძლება ასევე დაამტკიცოს რამდენიმე საკმარისი პირობა პირობითი ექსტრემისთვის, რომელიც მოითხოვს ლაგრანგის ფუნქციის მეორე წარმოებულების ანალიზს.

განაცხადი

• ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი გამოიყენება არაწრფივი პროგრამირების პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც წარმოიქმნება მრავალ სფეროში (მაგალითად, ეკონომიკაში).
• ძირითადი მეთოდი აუდიო და ვიდეო მონაცემების კოდირების ხარისხის ოპტიმიზაციის პრობლემის გადასაჭრელად მოცემული საშუალო ბიტის სიჩქარისთვის (დამახინჯების ოპტიმიზაცია - ინგლისური. სიჩქარის დამახინჯების ოპტიმიზაცია).

იხილეთ ასევე

ბმულები

• ზორიხი V.A.მათემატიკური ანალიზი. ნაწილი 1. - რედ. მე-2, რევ. და დამატებითი - M.: FAZIS, 1997 წ.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის "ლაგრანჟის მულტიპლიკატორები" სხვა ლექსიკონებში:

ლაგრანგის მულტიპლიკატორები- დამატებითი ფაქტორები, რომლებიც გარდაქმნის ამოზნექილი პროგრამირების ექსტრემალური პრობლემის ობიექტურ ფუნქციას (კერძოდ, წრფივი პროგრამირება), როდესაც ის წყდება ერთ-ერთი კლასიკური მეთოდით ფაქტორების გადაჭრის მეთოდით ... ... ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

ლაგრანგის მულტიპლიკატორები- დამატებითი ფაქტორები, რომლებიც გარდაქმნის ამოზნექილი პროგრამირების ექსტრემალური პრობლემის (კერძოდ, წრფივი პროგრამირების) ობიექტურ ფუნქციას, როდესაც ის იხსნება ერთ-ერთი კლასიკური მეთოდით ფაქტორების გადაჭრის მეთოდით (ლაგრანგის მეთოდი). ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

მექანიკა. 1) 1-ლი სახის ლაგრანგის განტოლებები, მექანიკის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები. სისტემები, რომლებიც მოცემულია პროექციებით მართკუთხა კოორდინატულ ღერძებზე და შეიცავს ე.წ. ლაგრანგის მულტიპლიკატორები. მიღებულია ჯ. ლაგრანჟის მიერ 1788 წელს. ჰოლონომიური სისტემისთვის, ... ... ფიზიკური ენციკლოპედია

მექანიკა მე-2 რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც აღწერს მექანიკის მოძრაობას. სისტემები მათზე მიმართული ძალების გავლენის ქვეშ. L. at. J. Lag-ის მიერ დადგენილი დიაპაზონი ორი ფორმით: L. at. 1-ლი ტიპი, ან განტოლებები დეკარტის კოორდინატებში ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

1) ჰიდრომექანიკაში სითხის (აირის) მოძრაობის განტოლება ლაგრანჟის ცვლადებში, რომლებიც წარმოადგენს საშუალების კოორდინატებს. მიიღო ფრანგული. მეცნიერი J. Lagrange (J. Lagrange; დაახ. 1780 წ.). ლ.-დან. hc საშუალო მოძრაობის კანონი განისაზღვრება დამოკიდებულების სახით ... ... ფიზიკური ენციკლოპედია

ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდი, f(x) ფუნქციის პირობითი კიდურების პოვნის მეთოდი, სადაც m შეზღუდვებთან მიმართებაში i იცვლება ერთიდან m-მდე. სარჩევი 1 მეთოდის აღწერა ... ვიკიპედია

ფუნქცია, რომელიც გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად რამდენიმე ცვლადისა და ფუნქციის ფუნქციების პირობითი ექსტრემისთვის. L.f-ის დახმარებით. პირობითი ექსტრემისთვის ამოცანებში ჩაწერილია ოპტიმალური პირობების აუცილებელი პირობები. არ არის საჭირო მხოლოდ ცვლადების გამოხატვა... მათემატიკური ენციკლოპედია

პირობითი ექსტრემის ამოცანების გადაჭრის მეთოდი; L. m. m. შედგება ამ პრობლემების პრობლემებამდე გადაყვანაში დამხმარე ფუნქციის უპირობო ექსტრემისთვის ე.წ. ლაგრანგის ფუნქციები. f (x1, x2,..., xn) ფუნქციის უკიდურესობის ამოცანისთვის ... ...

ცვლადები, რომელთა დახმარებით აგებულია ლაგრანჟის ფუნქცია პირობითი ექსტრემის ამოცანების შესწავლისას. L.m.-ისა და ლაგრანგის ფუნქციის გამოყენება შესაძლებელს ხდის ოპტიმალური პირობების ერთგვაროვნად მიღებას პირობითი ექსტრემის პრობლემებში ... მათემატიკური ენციკლოპედია

1) ჰიდრომექანიკაში ლაგრანგის ცვლადებში დაწერილი თხევადი გარემოს მოძრაობის განტოლებები, რომლებიც წარმოადგენს გარემოს ნაწილაკების კოორდინატებს. ლ.-დან. საშუალო ნაწილაკების მოძრაობის კანონი განისაზღვრება დროზე კოორდინატების დამოკიდებულების სახით და მათი მიხედვით ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ლაგრანჟის მეთოდი

კვადრატული ფორმის კვადრატების ჯამამდე შემცირების მეთოდი, რომელიც მითითებულია 1759 წელს J. Lagrange-ის მიერ. მიეცეს

ცვლადებიდან x 0 , x 1 ,..., x n. ველიდან კოეფიციენტებით კმახასიათებლები აუცილებელია ამ ფორმის კანონიკურამდე მიყვანა. გონება

ცვლადების არადეგენერაციული წრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენებით. L.m შედგება შემდეგიგან. შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ (1) ფორმის ყველა კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია ორი შემთხვევა.

1) ზოგიერთისთვის გ,დიაგონალი შემდეგ

სადაც ფორმა f 1 (x) არ შეიცავს ცვლადს x გ . 2) თუ ყველა მაგრამ მაშინ

სადაც ფორმა f 2 (x) არ შეიცავს ორ ცვლადს x გდა x სთ .(4) კვადრატული ნიშნების ქვეშ მყოფი ფორმები წრფივად დამოუკიდებელია. (3) და (4) ფორმის გარდაქმნების გამოყენებით, ფორმა (1) საფეხურების სასრული რაოდენობის შემდეგ მცირდება წრფივად დამოუკიდებელი წრფივი ფორმების კვადრატების ჯამამდე. ნაწილობრივი წარმოებულების გამოყენებით, ფორმულები (3) და (4) შეიძლება დაიწეროს როგორც

განათებული: გ ა ნ ტ მ ა ჰ ე რ ფ. რ.,მატრიცების თეორია, მე-2 გამოცემა, მოსკოვი, 1966; K ur o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; ალექსანდროვი პ.ს., ლექციები ანალიტიკურ გეომეტრიაზე..., მ., 1968 წ. I.V. პროსკურიაკოვი.

მათემატიკური ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. I. M. ვინოგრადოვი. 1977-1985 წწ.

ნახეთ რა არის „ლაგრანჟის მეთოდი“ სხვა ლექსიკონებში:

ლაგრანგის მეთოდი- ლაგრანგის მეთოდი - მეთოდი მათემატიკური პროგრამირების ამოცანების რიგი კლასების გადასაჭრელად ლაგრანგის ფუნქციის უნაგირური წერტილის (x*, λ*) აღმოჩენით, რომელიც მიიღწევა ამ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების ნულთან ტოლობით . ..... ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

ლაგრანგის მეთოდი- მეთოდი მათემატიკური პროგრამირების ამოცანების რიგი კლასების გადასაჭრელად ლაგრანგის ფუნქციის უნაგირის წერტილის (x*, ?*) აღმოჩენით, რომელიც მიიღწევა ამ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების ნულთან ტოლობით xi-სთან და ?i-სთან მიმართებაში. . იხილეთ ლაგრანგიანი. (x, წ) = C და ვ 2 (x, y) = C 2 ზედაპირზე XOი.

აქედან გამომდინარეობს სისტემის ფესვების პოვნის მეთოდი. არაწრფივი განტოლებები:

განსაზღვრეთ (მინიმუმ დაახლოებით) განტოლებათა სისტემის (10) ან განტოლების (11) ამონახსნის არსებობის ინტერვალი. აქ აუცილებელია გავითვალისწინოთ სისტემაში შემავალი განტოლებების ტიპი, მათი თითოეული განტოლების განსაზღვრის სფერო და ა.შ. ზოგჯერ გამოიყენება ამონახსნის საწყისი მიახლოების შერჩევა;

შეადგინეთ (11) განტოლების ამონახსნი x და y ცვლადებისთვის შერჩეულ ინტერვალზე, ან შექმენით ფუნქციების გრაფიკები ვ 1 (x, წ) = C და ვ 2 (x, y) = C 2 (სისტემა (10)).

განტოლებათა სისტემის სავარაუდო ფესვების ლოკალიზაცია - იპოვნეთ რამდენიმე მინიმალური მნიშვნელობა განტოლების ფესვების ცხრილიდან (11), ან განსაზღვრეთ სისტემაში შემავალი მრუდების გადაკვეთის წერტილები (10).

4. იპოვეთ (10) განტოლებათა სისტემის ფესვები დანამატის გამოყენებით გამოსავლის ძიება.