წილადის კალკულატორიშექმნილია წილადებით ოპერაციების სწრაფი გამოთვლისთვის, ის დაგეხმარებათ მარტივად დაამატოთ, გაამრავლოთ, გაყოთ ან გამოკლოთ წილადები.

თანამედროვე სკოლის მოსწავლეები წილადების შესწავლას უკვე მე-5 კლასში იწყებენ და ყოველწლიურად მათთან სავარჯიშოები უფრო რთულდება. მათემატიკური ტერმინები და რაოდენობები, რომლებსაც სკოლაში ვსწავლობთ, იშვიათად გამოგვადგება ზრდასრულ ასაკში. თუმცა, წილადები, ლოგარითმებისა და გრადუსებისგან განსხვავებით, საკმაოდ გავრცელებულია ყოველდღიურ ცხოვრებაში (დისტანციის გაზომვა, საქონლის აწონვა და ა.შ.). ჩვენი კალკულატორი შექმნილია წილადებთან სწრაფი ოპერაციებისთვის.

ჯერ განვსაზღვროთ რა არის წილადები და რა არის ისინი. წილადები არის ერთი რიცხვის შეფარდება მეორესთან; ეს არის რიცხვი, რომელიც შედგება ერთეულის წილადების მთელი რაოდენობისგან.

ფრაქციების ტიპები:

• ჩვეულებრივი
• ათწილადები
• შერეული

მაგალითი ჩვეულებრივი წილადები:

ზედა მნიშვნელობა არის მრიცხველი, ქვედა არის მნიშვნელი. ტირე გვაჩვენებს, რომ ზედა რიცხვი იყოფა ქვედა რიცხვზე. მსგავსი წერის ფორმატის ნაცვლად, როდესაც ტირე ჰორიზონტალურია, შეგიძლიათ სხვაგვარად დაწეროთ. შეგიძლიათ დააყენოთ დახრილი ხაზი, მაგალითად:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

ათწილადებიწილადების ყველაზე პოპულარული სახეობაა. ისინი შედგება მთელი და წილადი ნაწილისაგან, რომლებიც გამოყოფილია მძიმით.

ათწილადის მაგალითი:

0.2 ან 6.71 ან 0.125

იგი შედგება მთელი რიცხვისა და წილადი ნაწილისგან. ამ წილადის მნიშვნელობის გასარკვევად, თქვენ უნდა დაამატოთ მთელი რიცხვი და წილადი.

შერეული წილადების მაგალითი:

ჩვენს ვებსაიტზე წილადის კალკულატორს შეუძლია სწრაფად შეასრულოს ნებისმიერი მათემატიკური ოპერაცია წილადებით ონლაინ:

• დამატება
• გამოკლება
• გამრავლება
• განყოფილება

გაანგარიშების განსახორციელებლად, თქვენ უნდა შეიყვანოთ ველებში ნომრები და აირჩიოთ მოქმედება. წილადებისთვის, თქვენ უნდა შეავსოთ მრიცხველი და მნიშვნელი, შეიძლება არ დაიწეროს მთელი რიცხვი (თუ წილადი ჩვეულებრივია). არ დაგავიწყდეთ დააწკაპუნოთ ღილაკზე „თანაბარი“.

მოსახერხებელია, რომ კალკულატორი დაუყოვნებლივ უზრუნველყოფს წილადებით მაგალითის ამოხსნის პროცესს და არა მხოლოდ მზა პასუხის. სწორედ დეტალური გადაწყვეტის წყალობით შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მასალა სასკოლო პრობლემების გადასაჭრელად და დაფარული მასალის უკეთ ათვისებისთვის.

თქვენ უნდა გამოთვალოთ მაგალითი:

ფორმის ველებში ინდიკატორების შეყვანის შემდეგ ვიღებთ:

დამოუკიდებელი გაანგარიშების გასაკეთებლად, შეიტანეთ მონაცემები ფორმაში.

წილადის კალკულატორი

შეიყვანეთ ორი წილადი:

		+ - * :

დაკავშირებული სექციები.

ინსტრუქცია

შემცირება საერთო მნიშვნელამდე.

მოცემული იყოს a/b და c/d წილადები.

პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება LCM / b-ზე

მეორე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება LCM/d-ზე

მაგალითი ნაჩვენებია ფიგურაში.

წილადების შესადარებლად მათ უნდა ჰქონდეთ საერთო მნიშვნელი, შემდეგ შეადაროთ მრიცხველები. მაგალითად, 3/4< 4/5, см. .

წილადების შეკრება და გამოკლება.

ორი ჩვეულებრივი წილადის ჯამის საპოვნელად ისინი უნდა შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე და შემდეგ დავამატოთ მრიცხველები, მნიშვნელი უცვლელია. 1/2 და 1/3 წილადების დამატების მაგალითი ნაჩვენებია ნახატზე.

წილადთა სხვაობაც ანალოგიურად გვხვდება, საერთო მნიშვნელის პოვნის შემდეგ წილადების მრიცხველებს აკლებს, იხილეთ ნახაზი.

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებისას მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება ერთად.

ორი წილადის გასაყოფად საჭიროა მეორე წილადის წილადი, ე.ი. შეცვალეთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი და შემდეგ გაამრავლეთ მიღებული წილადები.

Მსგავსი ვიდეოები

წყაროები:

• წილადები მე-5 კლასის მაგალითით
• ძირითადი ამოცანები წილადებისთვის

მოდულიწარმოადგენს გამოხატვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას. ფრჩხილები გამოიყენება მოდულის აღსანიშნავად. მათში შემავალი მნიშვნელობები აღებულია მოდულით. მოდულის გამოსავალი არის ფრჩხილების გახსნა გარკვეული წესების მიხედვით და გამოთქმის მნიშვნელობების ნაკრების პოვნა. უმეტეს შემთხვევაში, მოდული გაფართოვდება ისე, რომ ქვემოდულის გამოხატულება იღებს დადებითი და უარყოფითი მნიშვნელობების სერიას, მათ შორის ნულს. მოდულის ამ თვისებებზე დაყრდნობით, თავდაპირველი გამოხატვის შემდგომი განტოლებები და უტოლობა შედგენილია და ამოხსნილია.

ინსტრუქცია

ჩაწერეთ ორიგინალური განტოლება . ამისათვის გახსენით მოდული. განვიხილოთ თითოეული ქვემოდულის გამოხატულება. განსაზღვრეთ მასში შემავალი უცნობი რაოდენობების რა მნიშვნელობით ქრება გამოთქმა მოდულურ ფრჩხილებში.

ამისთვის ქვემოდულის გამოხატულება გავატოლოთ ნულთან და იპოვეთ მიღებული განტოლება. ჩაწერეთ ნაპოვნი მნიშვნელობები. ანალოგიურად, განსაზღვრეთ უცნობი ცვლადის მნიშვნელობები მოცემულ განტოლებაში თითოეული მოდულისთვის.

დახაზეთ რიცხვითი ხაზი და დახაზეთ მასზე მიღებული მნიშვნელობები. ნულოვანი მოდულში ცვლადის მნიშვნელობები იქნება შეზღუდვები მოდულური განტოლების ამოხსნისას.

თავდაპირველ განტოლებაში, თქვენ უნდა გააფართოვოთ მოდულები, შეცვალოთ ნიშანი ისე, რომ ცვლადის მნიშვნელობები შეესაბამებოდეს რიცხვთა ხაზში გამოსახულ მნიშვნელობებს. ამოხსენით მიღებული განტოლება. შეამოწმეთ ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობა მოდულის მიერ დაყენებული შეზღუდვის წინააღმდეგ. თუ გამოსავალი აკმაყოფილებს პირობას, ეს მართალია. ფესვები, რომლებიც არ აკმაყოფილებს შეზღუდვებს, უნდა განადგურდეს.

ანალოგიურად, გააფართოვეთ ორიგინალური გამოხატვის მოდულები, ნიშნის გათვალისწინებით და გამოთვალეთ მიღებული განტოლების ფესვები. ჩამოწერეთ ყველა მიღებული ფესვი, რომელიც აკმაყოფილებს შეზღუდვის უტოლობას.

წილადი რიცხვები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ რაოდენობის ზუსტი მნიშვნელობა სხვადასხვა გზით. წილადებით შეგიძლიათ შეასრულოთ იგივე მათემატიკური მოქმედებები, როგორც მთელი რიცხვებით: გამოკლება, შეკრება, გამრავლება და გაყოფა. ვისწავლოთ როგორ გადაწყვიტოთ წილადები, აუცილებელია გავიხსენოთ მათი ზოგიერთი მახასიათებელი. ისინი დამოკიდებულია ტიპზე წილადები, მთელი ნაწილის არსებობა, საერთო მნიშვნელი. ზოგიერთი არითმეტიკული ოპერაცია შესრულების შემდეგ მოითხოვს შედეგის წილადი ნაწილის შემცირებას.

დაგჭირდებათ

• - კალკულატორი

ინსტრუქცია

ყურადღებით დააკვირდით ციფრებს. თუ წილადებს შორის არის ათწილადები და არარეგულარული რიცხვები, ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია ჯერ ათწილადების მოქმედებების შესრულება და შემდეგ მათი არასწორ ფორმაში გადაყვანა. შეგიძლია თარგმნო წილადებიამ ფორმით თავდაპირველად, ჩაწერეთ მნიშვნელობა ათწილადის შემდეგ მრიცხველში და ჩადეთ 10 მნიშვნელში. საჭიროების შემთხვევაში შეამცირეთ წილადი ზემოთ და ქვემოთ მოცემული რიცხვების ერთ გამყოფზე გაყოფით. წილადები, რომლებშიც მთელი ნაწილი გამოირჩევა, მივყავართ არასწორ ფორმამდე მის მნიშვნელზე გამრავლებით და შედეგზე მრიცხველის მიმატებით. ეს მნიშვნელობა გახდება ახალი მრიცხველი წილადები. მთლიანი ნაწილის ამოღება თავდაპირველად არასწორიდან წილადები, გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე. დაწერე მთელი შედეგი წილადები. და გაყოფის დარჩენილი ნაწილი ხდება ახალი მრიცხველი, მნიშვნელი წილადებიხოლო არ იცვლება. მთელი რიცხვის მქონე წილადებისთვის შესაძლებელია მოქმედებების ცალ-ცალკე შესრულება ჯერ მთელი, შემდეგ კი წილადი ნაწილებისთვის. მაგალითად, 1 2/3 და 2 ¾-ის ჯამი შეიძლება გამოითვალოს:
- წილადების არასწორ ფორმაში გადაყვანა:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- ტერმინების მთელი და წილადი ნაწილების ცალკე შეჯამება:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

ხაზის ქვემოთ მნიშვნელობებით იპოვეთ საერთო მნიშვნელი. მაგალითად, 5/9 და 7/12-ისთვის საერთო მნიშვნელი იქნება 36. ამისათვის პირველის მრიცხველი და მნიშვნელი. წილადებითქვენ უნდა გაამრავლოთ 4-ზე (ეს გამოვა 28/36), ხოლო მეორე - 3-ზე (გამოვა 15/36). ახლა თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამოთვლები.

თუ თქვენ აპირებთ წილადების ჯამის ან სხვაობის გამოთვლას, ჯერ ჩამოწერეთ ნაპოვნი საერთო მნიშვნელი წრფის ქვეშ. შეასრულეთ საჭირო მოქმედებები მრიცხველებს შორის და დაწერეთ შედეგი ახალი ხაზის ზემოთ წილადები. ამრიგად, ახალი მრიცხველი იქნება საწყისი წილადების სხვაობა ან მრიცხველების ჯამი.

წილადების ნამრავლის გამოსათვლელად გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და დაწერეთ შედეგი საბოლოო მრიცხველის ნაცვლად. წილადები. იგივე გააკეთე მნიშვნელებისთვის. ერთის გაყოფისას წილადებიდაწერეთ ერთი წილადი მეორეზე და შემდეგ გაამრავლეთ მისი მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე. ამავე დროს, პირველის მნიშვნელი წილადებიგამრავლებული შესაბამისად მეორეს მრიცხველზე. ამავდროულად, მეორეს ერთგვარი უკუღმართობა წილადები(გამყოფი). საბოლოო წილადი იქნება ორივე წილადის მრიცხველებისა და მნიშვნელების გამრავლების შედეგები. მარტივი სწავლა წილადები, პირობით დაწერილი "ოთხსართულიანი" სახით. წილადები. თუ გამოყოფს ორს წილადები, გადაწერეთ ისინი ":" დელიმიტერით და გააგრძელეთ ნორმალური გაყოფა.

საბოლოო შედეგის მისაღებად, შეამცირეთ მიღებული წილადი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფით ერთ მთელ რიცხვზე, რაც შეიძლება ყველაზე დიდი ამ შემთხვევაში. ამ შემთხვევაში, ხაზის ზემოთ და ქვემოთ უნდა იყოს მთელი რიცხვები.

შენიშვნა

არ გააკეთოთ არითმეტიკა წილადებით, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ. აირჩიეთ ისეთი რიცხვი, რომ როდესაც თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე გავამრავლებთ, შედეგად, ორივე წილადის მნიშვნელები ტოლი იყოს.

სასარგებლო რჩევა

წილადი რიცხვების წერისას დივიდენდი იწერება ხაზის ზემოთ. ამ რაოდენობას მოიხსენიებენ, როგორც წილადის მრიცხველს. წრფის ქვეშ იწერება წილადის გამყოფი ან მნიშვნელი. მაგალითად, ერთი და ნახევარი კილოგრამი ბრინჯი წილადის სახით დაიწერება შემდეგნაირად: 1 ½ კგ ბრინჯი. თუ წილადის მნიშვნელი არის 10, მას ეწოდება ათობითი წილადი. ამ შემთხვევაში მრიცხველი (დივიდენდი) იწერება მძიმით გამოყოფილი მთელი ნაწილის მარჯვნივ: 1,5 კგ ბრინჯი. გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, ასეთი ფრაქცია ყოველთვის შეიძლება ჩაიწეროს არასწორი ფორმით: 1 2/10 კგ კარტოფილი. გამარტივების მიზნით, შეგიძლიათ შეამციროთ მრიცხველის და მნიშვნელის მნიშვნელობები მათი ერთ მთლიან რიცხვზე გაყოფით. ამ მაგალითში შესაძლებელია გაყოფა 2-ზე, შედეგი არის 1 1/5 კგ კარტოფილი. დარწმუნდით, რომ რიცხვები, რომლებითაც არითმეტიკას აპირებთ, იგივე ფორმაშია.

ინსტრუქცია

ერთხელ დააწკაპუნეთ მენიუს "ჩასმა" პუნქტზე, შემდეგ აირჩიეთ "სიმბოლო". ეს არის ჩასმის ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი გზა წილადებიტექსტზე. იგი შედგება შემდეგში. მზა პერსონაჟების ნაკრები აქვს წილადები. მათი რაოდენობა, როგორც წესი, მცირეა, მაგრამ თუ ტექსტში ½ და არა 1/2-ის დაწერა გჭირდებათ, მაშინ ეს ვარიანტი თქვენთვის საუკეთესო იქნება. გარდა ამისა, წილადის სიმბოლოების რაოდენობა შეიძლება დამოკიდებული იყოს შრიფტზე. მაგალითად, Times New Roman შრიფტისთვის ოდნავ ნაკლები წილადია, ვიდრე იგივე Arial-ისთვის. შეცვალეთ შრიფტები, რომ იპოვოთ საუკეთესო საუკეთესო ვარიანტიროცა საქმე მარტივ გამოთქმებს ეხება.

დააწკაპუნეთ მენიუს პუნქტზე „ჩასმა“ და აირჩიეთ ქვეპუნქტი „ობიექტი“. თქვენ დაინახავთ ფანჯარას, სადაც შეგიძლიათ ჩასვათ შესაძლო ობიექტები. აირჩიეთ მათ შორის Microsoft Equation 3.0. ეს აპლიკაცია დაგეხმარებათ აკრიფოთ წილადები. და არა მარტო წილადები, არამედ რთული მათემატიკური გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს სხვადასხვა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და სხვა ელემენტებს. ორჯერ დააწკაპუნეთ ამ ობიექტზე მაუსის მარცხენა ღილაკით. თქვენ ნახავთ ფანჯარას, რომელიც შეიცავს ბევრ სიმბოლოს.

წილადის დასაბეჭდად აირჩიეთ სიმბოლო, რომელიც წარმოადგენს წილადს ცარიელი მრიცხველით და მნიშვნელით. დააწკაპუნეთ მასზე ერთხელ მაუსის მარცხენა ღილაკით. გამოჩნდება დამატებითი მენიუ, რომელშიც მითითებულია სქემა წილადები. შეიძლება რამდენიმე ვარიანტი იყოს. აირჩიეთ თქვენთვის ყველაზე შესაფერისი და დააწკაპუნეთ მასზე ერთხელ მაუსის მარცხენა ღილაკით.

ფრაქცია- რიცხვის გამოსახვის ფორმა მათემატიკაში. ხაზი მიუთითებს გაყოფის ოპერაციაზე. მრიცხველიწილადებს დივიდენდი ეწოდება და მნიშვნელი- გამყოფი. მაგალითად, წილადში მრიცხველი არის 5 და მნიშვნელი არის 7.

სწორიწილადს უწოდებენ, თუ მრიცხველის მოდული მეტია მნიშვნელის მოდულზე. თუ წილადი სწორია, მაშინ მისი მნიშვნელობის მოდული ყოველთვის 1-ზე ნაკლებია. ყველა სხვა წილადი არის არასწორი.

წილადი ეწოდება შერეულითუ იგი იწერება როგორც მთელი რიცხვი და წილადი. ეს იგივეა, რაც ამ რიცხვისა და წილადის ჯამი:

წილადის ძირითადი თვისება

თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება ერთ რიცხვზე, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, ანუ, მაგალითად,

წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან

ორი წილადის საერთო მნიშვნელთან მოსაყვანად საჭიროა:

1. გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე
2. გაამრავლეთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველის მნიშვნელზე
3. შეცვალეთ ორივე წილადის მნიშვნელი მათი ნამრავლით

მოქმედებები წილადებთან

დამატება.ორი წილადის დასამატებლად საჭიროა

1. დაამატეთ ორივე წილადის ახალი მრიცხველები, მნიშვნელი უცვლელი დატოვეთ.

მაგალითი:

გამოკლება.ერთი წილადის მეორეს გამოკლება,

1. მიიტანეთ წილადები საერთო მნიშვნელთან
2. გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დავტოვოთ მნიშვნელი უცვლელი

მაგალითი:

გამრავლება.ერთი წილადის მეორეზე გასამრავლებლად, გაამრავლეთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები:

განყოფილება.ერთი წილადის მეორეზე გასაყოფად, პირველი წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ მეორის მნიშვნელზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გავამრავლოთ მეორის მრიცხველზე:

ეს სტატია ეხება წილადებზე მოქმედებებს. ჩამოყალიბდება და გამართლდება A B ფორმის წილადების შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის ან გამრავლების წესები, სადაც A და B შეიძლება იყოს რიცხვები, რიცხვითი გამოსახულებები ან გამოსახულებები ცვლადებით. დასასრულს, განხილული იქნება გადაწყვეტილებების მაგალითები დეტალური აღწერილობით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ზოგადი ფორმის რიცხვითი წილადებით მოქმედებების შესრულების წესები

ზოგადი ფორმის რიცხვით წილადებს აქვთ მრიცხველი და მნიშვნელი, რომლებშიც არის ნატურალური რიცხვები ან რიცხვითი გამონათქვამები. თუ განვიხილავთ ისეთ წილადებს, როგორიცაა 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0, 5 ln 3, მაშინ ცხადია, რომ მრიცხველს და მნიშვნელს შეიძლება ჰქონდეს არა მხოლოდ რიცხვები, არამედ განსხვავებული გეგმის გამოსახულებებიც.

განმარტება 1

არსებობს წესები, რომლითაც მოქმედებები სრულდება ჩვეულებრივი წილადებით. იგი ასევე შესაფერისია ზოგადი ფორმის ფრაქციებისთვის:

• ერთი და იგივე მნიშვნელებით წილადების გამოკლებისას ემატება მხოლოდ მრიცხველები, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება, კერძოდ: a d ± c d \u003d a ± c d, a, c და d ≠ 0 მნიშვნელობები არის რამდენიმე რიცხვი ან რიცხვითი გამონათქვამები.
• სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრების ან გამოკლებისას საჭიროა საერთო წილადის შემცირება, შემდეგ მიღებული წილადების დამატება ან გამოკლება იგივე მაჩვენებლებით. სიტყვასიტყვით ასე გამოიყურება a b ± c d = a p ± c r s , სადაც მნიშვნელობები a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 არის რეალური რიცხვები და b p = d r = ს. როდესაც p = d და r = b, მაშინ a b ± c d = a d ± c d b d.
• წილადების გამრავლებისას მოქმედება სრულდება მრიცხველებით, რის შემდეგაც მნიშვნელებით, შემდეგ ვიღებთ a b c d \u003d a c b d, სადაც a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 მოქმედებს როგორც რეალური რიცხვები.
• წილადის წილადზე გაყოფისას პირველს ვამრავლებთ მეორე ორმხრივად, ანუ ვცვლით მრიცხველს და მნიშვნელს: a b: c d \u003d a b d c.

წესების დასაბუთება

განმარტება 2

არსებობს შემდეგი მათემატიკური პუნქტები, რომლებსაც უნდა დაეყრდნოთ გაანგარიშებისას:

• წილადი ბარი ნიშნავს გაყოფის ნიშანს;
• რიცხვზე გაყოფა განიხილება, როგორც გამრავლება მის ორმხრივად;
• რეალური რიცხვებით მოქმედებათა თვისების გამოყენება;
• წილადის ძირითადი თვისების გამოყენება და რიცხვითი უტოლობები.

მათი დახმარებით შეგიძლიათ გააკეთოთ ფორმის ტრანსფორმაციები:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

მაგალითები

წინა აბზაცში ითქვა წილადებთან მოქმედებებზე. სწორედ ამის შემდეგ საჭიროა წილადის გამარტივება. ეს თემა დეტალურად იყო განხილული წილადების გარდაქმნის განყოფილებაში.

ჯერ განვიხილოთ ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითი.

მაგალითი 1

მოცემულია წილადები 8 2 , 7 და 1 2 , 7 , მაშინ წესის მიხედვით აუცილებელია მრიცხველის დამატება და მნიშვნელის გადაწერა.

გადაწყვეტილება

შემდეგ მივიღებთ 8 + 1 2, 7 ფორმის წილადს. შეკრების შესრულების შემდეგ ვიღებთ 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 ფორმის წილადს. ასე რომ 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

პასუხი: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

გადაჭრის სხვა გზა არსებობს. დასაწყისისთვის, ხდება გადასვლა ჩვეულებრივი წილადის ფორმაზე, რის შემდეგაც ვასრულებთ გამარტივებას. ეს ასე გამოიყურება:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

მაგალითი 2

გამოვაკლოთ 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 წილადები 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

ვინაიდან მოცემულია ტოლი მნიშვნელები, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიანგარიშებთ წილადს იგივე მნიშვნელით. ჩვენ ამას მივიღებთ

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

არსებობს წილადების გამოთვლის მაგალითები სხვადასხვა მნიშვნელით. მნიშვნელოვანი პუნქტია საერთო მნიშვნელამდე შემცირება. ამის გარეშე ჩვენ ვერ შევძლებთ შემდგომი მოქმედებების შესრულებას წილადებით.

პროცესი დისტანციურად მოგვაგონებს საერთო მნიშვნელამდე შემცირებას. ანუ ხდება მნიშვნელში უმცირესი საერთო გამყოფის ძიება, რის შემდეგაც გამოტოვებული ფაქტორები ემატება წილადებს.

თუ დამატებულ წილადებს არ აქვთ საერთო ფაქტორები, მაშინ მათი პროდუქტი შეიძლება გახდეს ერთი.

მაგალითი 3

განვიხილოთ 2 3 5 + 1 და 1 2 წილადების დამატების მაგალითი.

გადაწყვეტილება

ამ შემთხვევაში, საერთო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. შემდეგ მივიღებთ, რომ 2 · 3 5 + 1. შემდეგ დამატებითი ფაქტორების დაყენებისას გვაქვს, რომ პირველ წილადს ის უდრის 2-ს, ხოლო მეორეს 3 5 + 1-ს. გამრავლების შემდეგ წილადები მცირდება 4 2 3 5 + 1 ფორმამდე. გენერალური მსახიობი 1 2 იქნება 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . ჩვენ ვამატებთ მიღებულ წილადურ გამოსახულებებს და ვიღებთ ამას

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

პასუხი: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

როდესაც საქმე გვაქვს ზოგადი ფორმის წილადებთან, მაშინ უმცირესი საერთო მნიშვნელი, როგორც წესი, ასე არ არის. წამგებიანია მრიცხველთა ნამრავლის მნიშვნელად აღება. ჯერ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა რიცხვი, რომელიც მათ პროდუქტზე ნაკლებია.

მაგალითი 4

განვიხილოთ მაგალითი 1 6 2 1 5 და 1 4 2 3 5, როდესაც მათი ნამრავლი უდრის 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . შემდეგ საერთო მნიშვნელად ვიღებთ 12 · 2 3 5.

განვიხილოთ ზოგადი ფორმის წილადების გამრავლების მაგალითები.

მაგალითი 5

ამისათვის აუცილებელია 2 + 1 6 და 2 · 5 3 · 2 + 1 გამრავლება.

გადაწყვეტილება

წესის დაცვით აუცილებელია მრიცხველთა ნამრავლის გადაწერა და მნიშვნელად ჩაწერა. მივიღებთ, რომ 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. როდესაც წილადი მრავლდება, შეიძლება შემცირდეს მისი გამარტივება. შემდეგ 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

გაყოფიდან გამრავლებაზე გადასვლის წესის გამოყენებით ვიღებთ მოცემულის საპასუხო ნაწილს. ამისათვის მრიცხველი და მნიშვნელი შებრუნებულია. მოდით შევხედოთ მაგალითს:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

ამის შემდეგ მათ უნდა შეასრულონ გამრავლება და გაამარტივონ მიღებული ფრაქცია. საჭიროების შემთხვევაში მოიშორეთ მნიშვნელობის ირაციონალურობა. ჩვენ ამას მივიღებთ

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

პასუხი: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

ეს პუნქტი გამოიყენება, როდესაც რიცხვი ან რიცხვითი გამოსახულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით 1-ის ტოლი მნიშვნელით, მაშინ ოპერაცია ასეთი წილადით განიხილება ცალკეულ აბზაცად. მაგალითად, გამოხატულება 1 6 7 4 - 1 3 აჩვენებს, რომ 3-ის ფესვი შეიძლება შეიცვალოს სხვა 3 1 გამოსახულებით. მაშინ ეს ჩანაწერი ჰგავს 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 ფორმის ორი წილადის ნამრავლს.

ცვლადების შემცველი წილადებით მოქმედების შესრულება

პირველ სტატიაში განხილული წესები გამოიყენება ცვლადების შემცველი წილადების ოპერაციებისთვის. განვიხილოთ გამოკლების წესი, როდესაც მნიშვნელები იგივეა.

აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ A , C და D (D არ არის ნულის ტოლი) შეიძლება იყოს ნებისმიერი გამონათქვამი, ხოლო ტოლობა A D ± C D = A ± C D არის მისი მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონის ექვივალენტური.

აუცილებელია ODZ ცვლადების ნაკრების აღება. შემდეგ A, C, D უნდა აიღოს შესაბამისი მნიშვნელობები a 0, c 0 და d0. A D ± C D ფორმის ჩანაცვლება იწვევს 0 d 0 ± c 0 d 0 ფორმის განსხვავებას, სადაც, დამატების წესის მიხედვით, ვიღებთ ფორმულას a 0 ± c 0 d 0. თუ ჩავანაცვლებთ A ± C D გამოსახულებას, მაშინ მივიღებთ 0 ± c 0 d 0 ფორმის იგივე წილადს. აქედან დავასკვნათ, რომ არჩეული მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს ODZ, A ± C D და A D ± C D, ითვლება ტოლად.

ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ეს გამონათქვამები ტოლი იქნება, ანუ მათ იდენტურად ტოლი ეწოდება. ეს ნიშნავს, რომ ეს გამოთქმა მიჩნეულია A D ± C D = A ± C D ფორმის დასამტკიცებლად ტოლობად.

წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითები ცვლადებით

როდესაც ერთი და იგივე მნიშვნელებია, საჭიროა მხოლოდ მრიცხველების დამატება ან გამოკლება. ეს ფრაქცია შეიძლება გამარტივდეს. ზოგჯერ თქვენ უნდა იმუშაოთ წილადებთან, რომლებიც იდენტურია, მაგრამ ერთი შეხედვით ეს არ არის შესამჩნევი, რადგან გარკვეული გარდაქმნები უნდა შესრულდეს. მაგალითად, x 2 3 x 1 3 + 1 და x 1 3 + 1 2 ან 1 2 sin 2 α და sin a cos a. ყველაზე ხშირად, ორიგინალური გამოხატვის გამარტივებაა საჭირო, რათა დაინახოს იგივე მნიშვნელები.

მაგალითი 6

გამოთვალეთ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

გადაწყვეტილება

1. გამოთვლების გასაკეთებლად, თქვენ უნდა გამოკლოთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები. შემდეგ მივიღებთ, რომ x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. ამის შემდეგ შეგიძლიათ ფრჩხილების გახსნა მსგავსი პირობების შემცირებით. მივიღებთ, რომ x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. ვინაიდან მნიშვნელები ერთი და იგივეა, რჩება მხოლოდ მრიცხველების დამატება, მნიშვნელის დატოვება: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   დამატება დასრულებულია. ჩანს, რომ ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. მისი მრიცხველი შეიძლება დაიკეცოს ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ მივიღებთ (l g x + 2) 2 შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიდან. მაშინ მივიღებთ ამას
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. მოცემულია x - 1 x - 1 + x x + 1 ფორმის წილადები სხვადასხვა მნიშვნელებით. ტრანსფორმაციის შემდეგ, შეგიძლიათ გააგრძელოთ დამატება.

განვიხილოთ ორმხრივი გამოსავალი.

პირველი მეთოდი არის ის, რომ პირველი წილადის მნიშვნელი ექვემდებარება ფაქტორიზაციას კვადრატების გამოყენებით და მისი შემდგომი შემცირებით. ვიღებთ ფორმის ნაწილს

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

ასე რომ x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

ამ შემთხვევაში აუცილებელია მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორება.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

მეორე გზა არის მეორე წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის x-1-ზე გამრავლება. ამრიგად, ჩვენ ვიშორებთ ირაციონალურობას და ვაგრძელებთ იმავე მნიშვნელის მქონე წილადის დამატებას. მერე

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

პასუხი: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = ლ გ x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

ბოლო მაგალითში აღმოვაჩინეთ, რომ საერთო მნიშვნელამდე შემცირება გარდაუვალია. ამისათვის თქვენ უნდა გაამარტივოთ წილადები. დასამატებლად ან გამოკლებისთვის, თქვენ ყოველთვის უნდა მოძებნოთ საერთო მნიშვნელი, რომელიც ჰგავს მნიშვნელების ნამრავლს მრიცხველებისთვის დამატებითი ფაქტორების დამატებით.

მაგალითი 7

გამოთვალეთ წილადების მნიშვნელობები: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

გადაწყვეტილება

1. მნიშვნელი არ საჭიროებს რაიმე რთულ გამოთვლებს, ასე რომ თქვენ უნდა აირჩიოთ მათი ნამრავლი ფორმის 3 x 7 + 2 2, შემდეგ პირველ წილადზე x 7 + 2 2 არჩეულია დამატებით კოეფიციენტად, ხოლო 3 მეორეზე. გამრავლებისას მივიღებთ x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. ჩანს, რომ მნიშვნელები წარმოდგენილია როგორც პროდუქტი, რაც ნიშნავს, რომ დამატებითი გარდაქმნები არასაჭიროა. საერთო მნიშვნელი იქნება x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 ფორმის ნამრავლი. აქედან x 4 არის პირველი წილადის დამატებითი ფაქტორი და ln (x + 1) მეორემდე. შემდეგ გამოვაკლებთ და ვიღებთ:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. ეს მაგალითი აზრი აქვს წილადების მნიშვნელებთან მუშაობისას. აუცილებელია გამოვიყენოთ ფორმულები კვადრატებისა და ჯამის კვადრატის სხვაობისთვის, რადგან ისინი შესაძლებელს გახდის გადავიდეს ფორმის გამოხატულებაზე 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . ჩანს, რომ წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელამდე. ჩვენ ვიღებთ, რომ cos x - x cos x + x 2.

მაშინ მივიღებთ ამას

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

პასუხი:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

წილადების ცვლადებთან გამრავლების მაგალითები

წილადების გამრავლებისას მრიცხველი მრავლდება მრიცხველზე და მნიშვნელი მნიშვნელზე. შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემცირების თვისება.

მაგალითი 8

გაამრავლე წილადები x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 და 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

გადაწყვეტილება

თქვენ უნდა გააკეთოთ გამრავლება. ჩვენ ამას მივიღებთ

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x)

რიცხვი 3 გადადის პირველ ადგილზე გამოთვლების მოხერხებულობისთვის და თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი x 2-ით, შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოხატვას

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x)

პასუხი: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x) .

განყოფილება

წილადების გაყოფა გამრავლების მსგავსია, რადგან პირველი წილადი მრავლდება მეორე ორმხრივად. თუ ავიღებთ, მაგალითად, წილადს x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 და გავყოფთ 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, მაშინ ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , შემდეგ ჩაანაცვლეთ x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + ფორმის ნამრავლით 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x)

ექსპონენტაცია

მოდით გადავიდეთ ზოგადი ფორმის წილადებთან მოქმედების განხილვაზე. თუ არსებობს ხარისხი ბუნებრივი ინდექსით, მაშინ მოქმედება განიხილება, როგორც იდენტური წილადების ნამრავლი. მაგრამ მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ზოგადი მიდგომა, რომელიც დაფუძნებულია გრადუსების თვისებებზე. ნებისმიერი გამონათქვამი A და C, სადაც C არ არის ნულის იდენტურად ტოლი და ნებისმიერი რეალური r ODZ-ზე A C r ფორმის გამოხატვისთვის, ტოლობა A Cr = A r Cr არის ჭეშმარიტი. შედეგი არის წილადი გაზრდილი სიმძლავრემდე. მაგალითად, განიხილეთ:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

წილადებთან მოქმედებების თანმიმდევრობა

წილადებზე მოქმედებები ხორციელდება გარკვეული წესების მიხედვით. პრაქტიკაში, ჩვენ ვამჩნევთ, რომ გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს რამდენიმე წილადს ან წილადურ გამოსახულებას. შემდეგ აუცილებელია ყველა მოქმედების შესრულება მკაცრი თანმიმდევრობით: ამაღლება ხარისხზე, გამრავლება, გაყოფა, შემდეგ დამატება და გამოკლება. თუ არის ფრჩხილები, პირველი მოქმედება მათში სრულდება.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x.

გადაწყვეტილება

ვინაიდან ერთი და იგივე მნიშვნელი გვაქვს, მაშინ 1 - x cos x და 1 c o s x, მაგრამ წესის მიხედვით გამოკლება შეუძლებელია, ჯერ ფრჩხილებში მოქმედებები სრულდება, რის შემდეგაც გამრავლება, შემდეგ შეკრება. შემდეგ, გაანგარიშებისას, ჩვენ ვიღებთ ამას

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

გამონათქვამის ორიგინალში ჩანაცვლებისას მივიღებთ, რომ 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. წილადების გამრავლებისას გვაქვს: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . ყველა ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . ახლა თქვენ უნდა იმუშაოთ წილადებთან, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა მნიშვნელი. ჩვენ ვიღებთ:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

პასუხი: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გაკვეთილის შინაარსი

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

წილადების დამატება ორი ტიპისაა:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

დავიწყოთ იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებით. აქ ყველაფერი მარტივია. იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. მაგალითად, დავუმატოთ წილადები და . ვამატებთ მრიცხველებს და ვტოვებთ მნიშვნელს უცვლელად:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია ოთხ ნაწილად. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2დაამატეთ წილადები და.

პასუხი არის არასწორი წილადი. თუ დავალების დასასრული დადგა, მაშინ ჩვეულებრივია არასათანადო წილადებისგან თავის დაღწევა. არასწორი წილადის მოსაშორებლად, თქვენ უნდა აირჩიოთ მასში მთელი ნაწილი. ჩვენს შემთხვევაში, მთელი ნაწილი ადვილად ნაწილდება - ორი გაყოფილი ორზე უდრის ერთს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც ორ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას მეტ პიცას დაამატებთ, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას:

მაგალითი 3. დაამატეთ წილადები და.

კვლავ დაამატეთ მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 4იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. მრიცხველები უნდა დაემატოს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი:

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას და დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ 1 მთლიან პიცას და მეტ პიცას.

როგორც ხედავთ, ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება არ არის რთული. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად საჭიროა მათი მრიცხველების დამატება და მნიშვნელი უცვლელი დატოვება;

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ დავამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. წილადების შეკრებისას ამ წილადების მნიშვნელები უნდა იყოს იგივე. მაგრამ ისინი ყოველთვის არ არიან ერთნაირი.

მაგალითად, წილადების დამატება შეიძლება, რადგან მათ აქვთ იგივე მნიშვნელები.

მაგრამ წილადების ერთდროულად დამატება შეუძლებელია, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში, წილადები უნდა შემცირდეს იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

წილადების ერთსა და იმავე მნიშვნელზე შემცირების რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ერთ მათგანს, რადგან დამწყებთათვის დანარჩენი მეთოდები შეიძლება რთული ჩანდეს.

ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ პირველი (LCM) ორივე წილადის მნიშვნელებიდან არის მოძიებული. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი ფაქტორი. იგივეს აკეთებენ მეორე წილადთან - LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი კოეფიციენტი.

შემდეგ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, იქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1. დაამატეთ წილადები და

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 6.

LCM (2 და 3) = 6

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და . ჯერ LCM-ს ვყოფთ პირველი წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 6 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ 2-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 2 არის პირველი დამატებითი ფაქტორი. ჩავწერთ პირველ წილადამდე. ამისათვის ჩვენ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს წილადის ზემოთ და ვწერთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს მის ზემოთ:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. 6 გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ 3-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 3 არის მეორე დამატებითი ფაქტორი. ვწერთ მეორე წილადს. კვლავ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს მეორე წილადის ზემოთ და ვწერთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს მის ზემოთ:

ახლა ჩვენ მზად ვართ დავამატოთ. რჩება წილადების მრიცხველების და მნიშვნელების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

კარგად დააკვირდით რა მივედით. მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები. ეს მაგალითი ბოლომდე დავასრულოთ:

ასე მთავრდება მაგალითი. დასამატებლად თურმე.

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას და პიცის მეორე მეექვსედს:

წილადების ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. წილადების და საერთო მნიშვნელთან მიყვანისას მივიღებთ წილადებს და . ეს ორი ფრაქცია წარმოდგენილი იქნება პიცის ერთი და იგივე ნაჭრებით. განსხვავება მხოლოდ ის იქნება, რომ ამჯერად ისინი დაიყოფიან თანაბარ წილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე).

პირველ ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (ოთხი ცალი ექვსიდან), ხოლო მეორე ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (ექვსიდან სამი ცალი). ამ ნაწილების ერთად შეკრებით ვიღებთ (შვიდი ცალი ექვსიდან). ეს წილადი არასწორია, ამიტომ ჩვენ გამოვყავით მასში მთელი რიცხვი. შედეგი იყო (ერთი მთლიანი პიცა და მეორე მეექვსე პიცა).

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ეს მაგალითი ძალიან დეტალურად დავხატეთ. საგანმანათლებლო დაწესებულებებში არ არის ჩვეულებრივი წერა ასეთი დეტალურად. თქვენ უნდა შეძლოთ სწრაფად იპოვოთ როგორც მნიშვნელების, ასევე მათზე დამატებითი ფაქტორების LCM, ასევე სწრაფად გაამრავლოთ თქვენი მრიცხველებისა და მნიშვნელების მიერ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორები. სკოლაში ყოფნისას ჩვენ მოგვიწევს ამ მაგალითის დაწერა შემდეგნაირად:

მაგრამ არსებობს მონეტის მეორე მხარეც. თუ მათემატიკის შესწავლის პირველ ეტაპზე დეტალური შენიშვნები არ კეთდება, მაშინ ასეთი კითხვები „საიდან მოდის ეს რიცხვი?“, „რატომ გადაიქცევა წილადები მოულოდნელად სრულიად განსხვავებულ წილადებად? «.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების გასაადვილებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები:

1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM;
2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი მამრავლი თითოეული წილადისთვის;
3. გავამრავლოთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე;
4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები;
5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი;

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული ინსტრუქციები.

ნაბიჯი 1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM

იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 2, 3 და 4

ნაბიჯი 2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი მამრავლი თითოეული წილადისთვის

LCM გავყოთ პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 12 2-ზე, მივიღებთ 6-ს. მივიღეთ პირველი დამატებითი კოეფიციენტი 6. მას ვწერთ პირველ წილადზე:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 12-ს ვყოფთ 3-ზე, ვიღებთ 4. მივიღეთ მეორე დამატებითი ფაქტორი 4. ვწერთ მას მეორე წილადზე:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მივიღეთ მესამე დამატებითი ფაქტორი 3. ვწერთ მას მესამე წილადზე:

ნაბიჯი 3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები თქვენს დამატებით ფაქტორებზე

ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველებს და მნიშვნელებს ჩვენს დამატებით ფაქტორებზე:

ნაბიჯი 4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. რჩება ამ წილადების დამატება. დაამატეთ:

დამატება არ ჯდებოდა ერთ სტრიქონზე, ამიტომ დარჩენილი გამოხატულება გადავიტანეთ შემდეგ სტრიქონზე. ეს ნებადართულია მათემატიკაში. როდესაც გამონათქვამი არ ჯდება ერთ სტრიქონზე, ის გადადის შემდეგ სტრიქონზე და აუცილებელია პირველი სტრიქონის ბოლოს და ახალი სტრიქონის დასაწყისში ტოლობის ნიშანი (=). მეორე სტრიქონზე ტოლობის ნიშანი მიუთითებს, რომ ეს არის პირველი ხაზის გამოთქმის გაგრძელება.

ნაბიჯი 5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ მასში მთელი ნაწილი აირჩიეთ

ჩვენი პასუხი არის არასწორი წილადი. უნდა გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ:

პასუხი მიიღო

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

წილადის გამოკლების ორი ტიპი არსებობს:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

ჯერ ვისწავლოთ როგორ გამოვაკლოთ წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით. აქ ყველაფერი მარტივია. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა. ამ მაგალითის ამოსახსნელად აუცილებელია მეორე წილადის მრიცხველი გამოვაკლოთ პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია ოთხ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

კვლავ, პირველი წილადის მრიცხველს გამოაკელით მეორე წილადის მრიცხველი და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. პირველი წილადის მრიცხველს უნდა გამოკლოთ დარჩენილი წილადების მრიცხველები:

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. ერთ წილადს მეორეს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი;
2. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ მასში მთელი ნაწილი უნდა აირჩიოთ.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

მაგალითად, წილადს შეიძლება გამოვაკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს აქვთ იგივე მნიშვნელები. მაგრამ წილადს არ შეიძლება გამოვაკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში, წილადები უნდა შემცირდეს იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

საერთო მნიშვნელი გვხვდება იმავე პრინციპის მიხედვით, რომელსაც ვიყენებდით სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისას. უპირველეს ყოვლისა, იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება პირველ წილადზე. ანალოგიურად, LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი ფაქტორი, რომელიც იწერება მეორე წილადზე.

შემდეგ წილადები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ თქვენ უნდა მიიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელთან.

პირველი, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM-ს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 12.

LCM (3 და 4) = 12

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ LCM-ს პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4. ოთხს ვწერთ პირველ წილადზე:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. დაწერეთ სამმაგი მეორე წილადზე:

ახლა ჩვენ ყველანი მზად ვართ გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. ეს მაგალითი ბოლომდე დავასრულოთ:

პასუხი მიიღო

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას.

ეს არის გადაწყვეტის დეტალური ვერსია. სკოლაში ყოფნისას ეს მაგალითი უფრო მოკლედ მოგვიწევს გადაჭრას. ასეთი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

წილადების და საერთო მნიშვნელის შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. ამ წილადების საერთო მნიშვნელთან მიყვანისას მივიღებთ წილადებს და . ეს წილადები წარმოდგენილი იქნება ერთი და იგივე პიცის ნაჭრებით, მაგრამ ამჯერად ისინი დაყოფილი იქნება იმავე წილადებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე):

პირველ ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (რვა ცალი თორმეტიდან), ხოლო მეორე ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (სამი ცალი თორმეტიდან). რვა ნაწილიდან სამი ცალი ამოჭრით, თორმეტიდან ხუთ ნაჭერს ვიღებთ. წილადი აღწერს ამ ხუთ ნაწილს.

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელთან.

იპოვეთ ამ წილადების მნიშვნელების LCM.

წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 10, 3 და 5. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

ახლა ჩვენ ვპოულობთ დამატებით ფაქტორებს თითოეული წილადისთვის. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ LCM-ს თითოეული წილადის მნიშვნელზე.

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 10. 30 გავყოთ 10-ზე, მივიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ პირველ წილადზე:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მეორე წილადისთვის. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 30 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 10. ვწერთ მეორე წილადზე:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მესამე წილადისთვის. LCM გავყოთ მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 5. 30 გავყოთ 5-ზე, მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 6. მას ვწერთ მესამე წილადზე:

ახლა ყველაფერი მზად არის გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. დავასრულოთ ეს მაგალითი.

მაგალითის გაგრძელება არ ჯდება ერთ ხაზზე, ამიტომ გაგრძელებას გადავიტანთ შემდეგ სტრიქონზე. არ დაივიწყოთ ტოლობის ნიშანი (=) ახალ ხაზზე:

პასუხი სწორი წილადი აღმოჩნდა და როგორც ჩანს, ყველაფერი გვიწყობს, მაგრამ ზედმეტად შრომატევადი და მახინჯია. ჩვენ უნდა გავამარტივოთ. Რა შეიძლება გაკეთდეს? თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს ფრაქცია.

წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი (gcd) 20 და 30 რიცხვებზე.

ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ 20 და 30 რიცხვების GCD-ს:

ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს მაგალითს და ვყოფთ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ნაპოვნი GCD-ზე, ანუ 10-ზე.

პასუხი მიიღო

წილადის რიცხვზე გამრავლება

წილადის რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე გაამრავლოთ და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითი 1. გაამრავლე წილადი 1 რიცხვზე.

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 1 რიცხვზე

ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ნახევარი 1 დრო. მაგალითად, თუ პიცას 1-ჯერ იღებთ, მიიღებთ პიცას

გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ თუ გამრავლება და მამრავლი ერთმანეთს ენაცვლება, მაშინ ნამრავლი არ შეიცვლება. თუ გამოთქმა დაიწერება როგორც , მაშინ პროდუქტი კვლავ ტოლი იქნება . ისევ მთელი რიცხვისა და წილადის გამრავლების წესი მუშაობს:

ეს ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ერთეულის ნახევრის აღება. მაგალითად, თუ არის 1 მთლიანი პიცა და ავიღებთ ნახევარს, მაშინ გვექნება პიცა:

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 4-ზე

პასუხი არის არასწორი წილადი. ავიღოთ მთელი ნაწილი:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი მეოთხედი 4-ჯერ აღება. მაგალითად, თუ პიცას 4-ჯერ იღებთ, მიიღებთ ორ მთლიან პიცას.

და თუ გავცვლით მამრავლსა და მამრავლს ადგილებზე, მივიღებთ გამოხატულებას. ის ასევე იქნება 2-ის ტოლი. ეს გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი პიცის აღება ოთხი მთლიანი პიციდან:

წილადების გამრავლება

წილადების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები. თუ პასუხი არასწორი წილადია, თქვენ უნდა აირჩიოთ მასში მთელი ნაწილი.

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

პასუხი მიიღო. სასურველია ამ ფრაქციის შემცირება. წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით. შემდეგ საბოლოო ამოხსნა მიიღებს შემდეგ ფორმას:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც პიცის აღება ნახევარი პიცისგან. ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

როგორ ავიღოთ ორი მესამედი ამ ნახევრიდან? ჯერ ეს ნახევარი უნდა გაყოთ სამ თანაბარ ნაწილად:

და აიღეთ ორი ამ სამი ნაწილიდან:

პიცას მივიღებთ. გახსოვდეთ, როგორ გამოიყურება პიცა, დაყოფილია სამ ნაწილად:

ამ პიცის ერთი ნაჭერი და ჩვენ მიერ აღებული ორი ნაჭერი იქნება იგივე ზომები:

Სხვა სიტყვებით, ჩვენ ვსაუბრობთდაახლოებით იგივე ზომის პიცა. აქედან გამომდინარე, გამოხატვის მნიშვნელობა არის

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი არის არასწორი წილადი. ავიღოთ მთელი ნაწილი:

მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი სწორი წილადი აღმოჩნდა, მაგრამ კარგი იქნება თუ შემცირდება. ამ წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 105 და 450 რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე (GCD).

მაშ ასე, ვიპოვოთ 105 და 450 რიცხვების GCD:

ახლა ჩვენ ვყოფთ ჩვენი პასუხის მრიცხველსა და მნიშვნელს GCD-ზე, რომელიც ახლა ვიპოვეთ, ანუ 15-ზე.

მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა

ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. მაგალითად, რიცხვი 5 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც . აქედან ხუთი არ შეიცვლება მის მნიშვნელობას, რადგან გამოთქმა ნიშნავს "რიცხვი ხუთი გაყოფილი ერთზე" და ეს, როგორც მოგეხსენებათ, უდრის ხუთს:

უკუ ნომრები

ახლა ჩვენ გავეცნობით ძალიან საინტერესო თემას მათემატიკაში. მას "უკუ რიცხვები" ჰქვია.

განმარტება. რიცხვზე გადაბრუნებაა არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისასა აძლევს ერთეულს.

მოდით ჩავანაცვლოთ ამ განმარტებაში ცვლადის ნაცვლად ანომერი 5 და შეეცადეთ წაიკითხოთ განმარტება:

რიცხვზე გადაბრუნება 5 არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 5 აძლევს ერთეულს.

შესაძლებელია თუ არა ისეთი რიცხვის პოვნა, რომელიც 5-ზე გამრავლებისას იძლევა ერთს? თურმე შეგიძლია. წარმოვადგენთ ხუთს წილადად:

შემდეგ გაამრავლეთ ეს წილადი თავისთავად, უბრალოდ შეცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით გავამრავლოთ წილადი თავისთავად, მხოლოდ შებრუნებული:

რა იქნება ამის შედეგი? თუ გავაგრძელებთ ამ მაგალითის ამოხსნას, მივიღებთ ერთს:

ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5-ის ინვერსია არის რიცხვი, რადგან როდესაც 5 მრავლდება ერთზე, მიიღება ერთი.

საპასუხო შეიძლება ასევე მოიძებნოს ნებისმიერი სხვა მთელი რიცხვისთვის.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ საპასუხო ნებისმიერი სხვა წილადისთვის. ამისათვის საკმარისია მისი გადაბრუნება.

წილადის გაყოფა რიცხვზე

ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

მოდით თანაბრად გავყოთ ორს შორის. რამდენ პიცას მიიღებს თითოეული?

ჩანს, რომ პიცის ნახევრის გაყოფის შემდეგ მიიღეს ორი თანაბარი ნაჭერი, რომელთაგან თითოეული აყალიბებს პიცას. ასე რომ, ყველა იღებს პიცას.

წილადების დაყოფა ხდება ორმხრივების გამოყენებით. ორმხრივები საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ გაყოფა გამრავლებით.

წილადის რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს წილადი გამყოფის ორმხრივად.

ამ წესის გამოყენებით ჩვენ დავწერთ ჩვენი ნახევრის პიცის ორ ნაწილად დაყოფას.

ასე რომ, თქვენ უნდა გაყოთ წილადი 2 რიცხვზე. აქ დივიდენდი არის წილადი და გამყოფი არის 2.

წილადის 2-ზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს წილადი გამყოფი 2-ის საპირისპიროზე. გამყოფი 2-ის ორმხრივი არის წილადი. ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ