ამ სტატიაში განვიხილავთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნას.

მაგრამ ჯერ გავიმეოროთ რა განტოლებებს უწოდებენ კვადრატულს. ax 2 + bx + c \u003d 0 ფორმის განტოლება, სადაც x არის ცვლადი, ხოლო კოეფიციენტები a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და a ≠ 0, ეწოდება კვადრატი. როგორც ვხედავთ, x 2-ზე კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი და შესაბამისად კოეფიციენტები x ან თავისუფალი წევრი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ამ შემთხვევაში მივიღებთ არასრულ კვადრატულ განტოლებას.

არსებობს სამი სახის არასრული კვადრატული განტოლება:

1) თუ b \u003d 0, c ≠ 0, მაშინ ax 2 + c \u003d 0;

2) თუ b ≠ 0, c \u003d 0, მაშინ ax 2 + bx \u003d 0;

3) თუ b \u003d 0, c \u003d 0, მაშინ ax 2 \u003d 0.

• ვნახოთ, როგორ მოაგვარებენ ax 2 + c = 0 ფორმის განტოლებები.

განტოლების ამოსახსნელად, თავისუფალ წევრს გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ

ცული 2 = ‒წმ. ვინაიდან a ≠ 0, მაშინ განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ a-ზე, შემდეგ x 2 \u003d -c / a.

თუ ‒с/а > 0, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს

x = ±√(–c/a) .

თუ ‒გ/ა< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

შევეცადოთ გავიგოთ მაგალითებით, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ასეთი განტოლებები.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება 2x 2 - 32 = 0.

პასუხი: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება 2x 2 + 8 = 0.

პასუხი: განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

• ვნახოთ, როგორ მოაგვარებენ ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებები.

განტოლების ამოსახსნელად ax 2 + bx \u003d 0, ჩვენ ვყოფთ მას ფაქტორებად, ანუ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან, ვიღებთ x (ax + b) \u003d 0. ნამრავლი არის ნული, თუ ერთ-ერთი მაინც ფაქტორები ნულის ტოლია. მაშინ ან х = 0 ან ah + b = 0. განტოლების ამოხსნით ah + b = 0, ვიღებთ ah = – b, საიდანაც х = – b/a. ax 2 + bx \u003d 0 ფორმის განტოლებას ყოველთვის აქვს ორი ფესვი x 1 \u003d 0 და x 2 \u003d - b / a. ნახეთ, როგორ გამოიყურება ამ ტიპის განტოლებების ამონახვა დიაგრამაზე.

მოდით გავაერთიანოთ ჩვენი ცოდნა კონკრეტულ მაგალითზე.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 ან 3x - 12 \u003d 0

პასუხი: x 1 = 0, x 2 = 4.

• მესამე ტიპის ცულის განტოლებები 2 = 0მოგვარებულია ძალიან მარტივად.

თუ ax 2 \u003d 0, მაშინ x 2 \u003d 0. განტოლებას აქვს ორი ტოლი ფესვი x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

სიცხადისთვის, განიხილეთ დიაგრამა.

მე-4 მაგალითის ამოხსნისას დავრწმუნდებით, რომ ამ ტიპის განტოლებები ამოხსნილია ძალიან მარტივად.

მაგალითი 4ამოხსენით განტოლება 7x 2 = 0.

პასუხი: x 1, 2 = 0.

ყოველთვის არ არის მყისვე ნათელი, თუ რა სახის არასრული კვადრატული განტოლება უნდა გადავწყვიტოთ. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 5განტოლების ამოხსნა

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე საერთო მნიშვნელზე, ანუ 30-ზე

დავჭრათ

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

გავხსნათ ფრჩხილები

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

აქ არის მსგავსი

გადავიტანოთ 99 განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ, შევცვალოთ ნიშანი საპირისპიროდ

პასუხი: არ არის ფესვები.

ჩვენ გავაანალიზეთ, როგორ ამოხსნილია არასრული კვადრატული განტოლებები. იმედი მაქვს, ახლა თქვენ არ გაგიჭირდებათ მსგავსი ამოცანები. ფრთხილად იყავით არასრული კვადრატული განტოლების ტიპის განსაზღვრისას, მაშინ წარმატებას მიაღწევთ.

თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა ამ თემაზე, დარეგისტრირდით ჩემს გაკვეთილებზე, ჩვენ ერთად მოვაგვარებთ პრობლემებს.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ამ მათემატიკური პროგრამით შეგიძლიათ კვადრატული განტოლების ამოხსნა.

პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ აჩვენებს გადაჭრის პროცესს ორი გზით:
- დისკრიმინანტის გამოყენებით
- ვიეტას თეორემის გამოყენებით (თუ შესაძლებელია).

უფრო მეტიც, პასუხი ნაჩვენებია ზუსტი და არა მიახლოებითი.
მაგალითად, განტოლებისთვის \(81x^2-16x-1=0\), პასუხი ნაჩვენებია ამ ფორმით:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ამის ნაცვლად: \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \)

ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მომზადებისას, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ, მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში იზრდება.

თუ არ იცნობთ კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესებს, გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესები

ნებისმიერი ლათინური ასო შეიძლება იყოს ცვლადი.
მაგალითად: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) და ა.შ.

რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ როგორც მთელი რიცხვები ან წილადები.
უფრო მეტიც, წილადი რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ არა მხოლოდ ათობითი, არამედ ჩვეულებრივი წილადის სახით.

ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში, წილადი ნაწილი მთელი რიცხვიდან შეიძლება გამოიყოს წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ ათწილადები ასე: 2.5x - 3.5x^2

ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.

მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტით: &
შეყვანა: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
შედეგი: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

გამოხატვის შეყვანისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლების ამოხსნისას, პირველად გამარტივებულია შემოტანილი გამოხატულება.
მაგალითად: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

გადაწყვიტე

აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ ჩაიტვირთა და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

თქვენს ბრაუზერში JavaScript გამორთული გაქვთ.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

კვადრატული განტოლება და მისი ფესვები. არასრული კვადრატული განტოლებები

თითოეული განტოლება
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ფორმა აქვს
\(ax^2+bx+c=0, \)
სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რიცხვები.
პირველ განტოლებაში a = -1, b = 6 და c = 1,4, მეორეში a = 8, b = -7 და c = 0, მესამეში a = 1, b = 0 და c = 4/9. ასეთ განტოლებებს ე.წ კვადრატული განტოლებები.

განმარტება.
კვადრატული განტოლებაეწოდება ax 2 +bx+c=0 ფორმის განტოლება, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და \(a \neq 0 \).

რიცხვები a, b და c არის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები. რიცხვს a ეწოდება პირველი კოეფიციენტი, რიცხვი b არის მეორე კოეფიციენტი და რიცხვი c არის კვეთა.

ax 2 +bx+c=0 ფორმის თითოეულ განტოლებაში, სადაც \(a \neq 0 \), x ცვლადის უდიდესი ძალა არის კვადრატი. აქედან მოდის სახელწოდება: კვადრატული განტოლება.

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატულ განტოლებას ასევე უწოდებენ მეორე ხარისხის განტოლებას, რადგან მისი მარცხენა მხარე არის მეორე ხარისხის პოლინომი.

კვადრატული განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი x 2-ზე არის 1, ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლება. მაგალითად, მოცემული კვადრატული განტოლებები არის განტოლებები
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

თუ კვადრატულ განტოლებაში ax 2 +bx+c=0 b ან c კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. არასრული კვადრატული განტოლება. ასე რომ, განტოლებები -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 არასრული კვადრატული განტოლებებია. პირველში b=0, მეორეში c=0, მესამეში b=0 და c=0.

არასრული კვადრატული განტოლებები სამი ტიპისაა:
1) ax 2 +c=0, სადაც \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, სადაც \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

განვიხილოთ თითოეული ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა.

ax 2 +c=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად \(c \neq 0\), მისი თავისუფალი წევრი გადადის მარჯვენა მხარეს და განტოლების ორივე ნაწილი იყოფა:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

ვინაიდან \(c \neq 0 \), მაშინ \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

თუ \(-\frac(c)(a)>0 \), მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

თუ \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად \(b \neq 0 \) აკრიფეთ მისი მარცხენა მხარე და მიიღეთ განტოლება.
\(x(ax+b)=0 \მარჯვნივ ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(მასივი) \მარჯვნივ. \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება (მასივი)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (მაივი) \მარჯვნივ. \)

მაშასადამე, ax 2 +bx=0 ფორმის არასრულ კვადრატულ განტოლებას \(b \neq 0 \) ყოველთვის აქვს ორი ფესვი.

ax 2 \u003d 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება უდრის განტოლებას x 2 \u003d 0 და, შესაბამისად, აქვს ერთი ფესვი 0.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

ახლა განვიხილოთ, როგორ წყდება კვადრატული განტოლებები, რომლებშიც უცნობის და თავისუფალი წევრის ორივე კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

ვხსნით კვადრატულ განტოლებას ზოგადი ფორმით და შედეგად ვიღებთ ფესვების ფორმულას. მაშინ ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება ax 2 +bx+c=0

მისი ორივე ნაწილის a-ზე გაყოფით მივიღებთ ექვივალენტურ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ჩვენ გარდაქმნით ამ განტოლებას ბინომის კვადრატის ხაზგასმით:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \მარჯვენა ისარი \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 - \frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი \) \(\მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( გ)(ა) \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \მარჯვენა ისარი \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \მარჯვენა ისარი x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \მარჯვენა ისარი \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

ძირეული გამოხატულება ე.წ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი ax 2 +bx+c=0 (ლათინურად „განმასხვავებელი“ - განმასხვავებელი). იგი აღინიშნება ასო D-ით, ე.ი.
\(D = b^2-4ac\)

ახლა, დისკრიმინანტის აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ გადავწერთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), სადაც \(D= b^2-4ac \)

აშკარაა, რომ:
1) თუ D>0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.
2) თუ D=0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) თუ D ამგვარად, დისკრიმინანტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, კვადრატულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ორი ფესვი (D > 0-ისთვის), ერთი ფესვი (D = 0-ისთვის) ან ფესვის გარეშე (D-სთვის კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ამ ფორმულით მიზანშეწონილია შემდეგი გზით:
1) გამოთვალეთ დისკრიმინანტი და შეადარეთ ნულთან;
2) თუ დისკრიმინანტი დადებითია ან ნულის ტოლია, მაშინ გამოიყენეთ ფესვის ფორმულა, თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ ჩაწერეთ, რომ ფესვები არ არსებობს.

ვიეტას თეორემა

მოცემულ კვადრატულ განტოლებას ax 2 -7x+10=0 აქვს ფესვები 2 და 5. ფესვების ჯამი არის 7, ნამრავლი კი არის 10. ჩვენ ვხედავთ, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშანი და ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ტერმინს. ნებისმიერ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფესვები, აქვს ეს თვისება.

მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.

იმათ. ვიეტას თეორემაში ნათქვამია, რომ შემცირებული კვადრატული განტოლების x 1 და x 2 ფესვებს აქვთ თვისება:
\(\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(მასივი) \მარჯვნივ. \)

თანამედროვე საზოგადოებაში, კვადრატული ცვლადის შემცველი განტოლებით მუშაობის უნარი შეიძლება სასარგებლო იყოს საქმიანობის მრავალ სფეროში და ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში სამეცნიერო და ტექნიკურ განვითარებაში. ამის დასტურია საზღვაო და მდინარის გემების, თვითმფრინავების და რაკეტების დიზაინი. ასეთი გამოთვლების დახმარებით დგინდება სხვადასხვა სხეულების, მათ შორის კოსმოსური ობიექტების მოძრაობის ტრაექტორიები. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები გამოიყენება არა მხოლოდ ეკონომიკურ პროგნოზირებაში, შენობების დიზაინსა და მშენებლობაში, არამედ ყველაზე ჩვეულებრივ ყოველდღიურ გარემოებებში. ისინი შეიძლება დაგჭირდეთ კემპინგის დროს, სპორტულ ღონისძიებებზე, მაღაზიებში საყიდლების დროს და სხვა ძალიან გავრცელებულ სიტუაციებში.

მოდით დავყოთ გამოხატულება კომპონენტ ფაქტორებად

განტოლების ხარისხი განისაზღვრება ცვლადის ხარისხის მაქსიმალური მნიშვნელობით, რომელსაც შეიცავს მოცემული გამოხატულება. თუ ის უდრის 2-ს, მაშინ ასეთ განტოლებას კვადრატული განტოლება ეწოდება.

თუ ჩვენ ვსაუბრობთ ფორმულების ენაზე, მაშინ ეს გამონათქვამები, როგორიც არ უნდა გამოიყურებოდეს, ყოველთვის შეიძლება მივიტანოთ იმ ფორმამდე, როდესაც გამოხატვის მარცხენა მხარე შედგება სამი ტერმინისგან. მათ შორის: ax 2 (ანუ ცვლადი კვადრატში მისი კოეფიციენტით), bx (უცნობი კვადრატის გარეშე თავისი კოეფიციენტით) და c (თავისუფალი კომპონენტი, ანუ ჩვეულებრივი რიცხვი). ეს ყველაფერი მარჯვენა მხარეს უდრის 0-ს. იმ შემთხვევაში, როდესაც ასეთ მრავალწევრს არ აქვს მისი შემადგენელი წევრი, გარდა ცულისა 2-ისა, მას უწოდებენ არასრულ კვადრატულ განტოლებას. უპირველეს ყოვლისა, გასათვალისწინებელია ისეთი პრობლემების გადაჭრის მაგალითები, რომლებშიც ცვლადების მნიშვნელობის პოვნა რთული არ არის.

თუ გამონათქვამი ისე გამოიყურება, რომ გამოსახვის მარჯვენა მხარეს არის ორი ტერმინი, უფრო ზუსტად ax 2 და bx, ყველაზე ადვილია x პოვნა ცვლადის ფრჩხილებით. ახლა ჩვენი განტოლება ასე გამოიყურება: x(ax+b). გარდა ამისა, ცხადი ხდება, რომ ან x=0, ან ამოცანა მცირდება შემდეგი გამოსახულებიდან ცვლადის პოვნამდე: ax+b=0. ამას ნაკარნახევია გამრავლების ერთ-ერთი თვისება. წესი ამბობს, რომ ორი ფაქტორის ნამრავლი იძლევა 0-ს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი ნულის ტოლია.

მაგალითი

x=0 ან 8x - 3 = 0

შედეგად ვიღებთ განტოლების ორ ფესვს: 0 და 0.375.

ამ ტიპის განტოლებებს შეუძლია აღწეროს სხეულების მოძრაობა გრავიტაციის მოქმედების ქვეშ, რომლებმაც დაიწყეს მოძრაობა გარკვეული წერტილიდან, როგორც საწყისი. აქ მათემატიკური აღნიშვნა იღებს შემდეგ ფორმას: y = v 0 t + gt 2 /2. საჭირო მნიშვნელობების შეცვლით, მარჯვენა მხარის 0-ზე გათანაბრების და შესაძლო უცნობის პოვნის საშუალებით, შეგიძლიათ გაიგოთ გასული დრო სხეულის ამაღლებიდან დაცემის მომენტამდე, ისევე როგორც მრავალი სხვა სიდიდე. მაგრამ ამაზე მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

გამოხატვის ფაქტორინგი

ზემოთ აღწერილი წესი შესაძლებელს ხდის ამ პრობლემების გადაჭრას უფრო რთულ შემთხვევებში. განვიხილოთ მაგალითები ამ ტიპის კვადრატული განტოლებების ამოხსნით.

X2 - 33x + 200 = 0

ეს კვადრატული ტრინომიალი დასრულებულია. პირველ რიგში, ჩვენ ვაქცევთ გამონათქვამს და ვშლით მას ფაქტორებად. ორი მათგანია: (x-8) და (x-25) = 0. შედეგად, გვაქვს ორი ფესვი 8 და 25.

მე-9 კლასში კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები საშუალებას აძლევს ამ მეთოდს იპოვოთ ცვლადი არა მხოლოდ მეორე, არამედ მესამე და მეოთხე რიგის გამოსახულებებშიც კი.

მაგალითად: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. მარჯვენა მხარის ფაქტორებად ცვლადის ფაქტორებად დაყოფისას სამი მათგანია, ანუ (x + 1), (x-3) და (x + 3).

შედეგად, აშკარა ხდება, რომ ამ განტოლებას სამი ფესვი აქვს: -3; - ერთი; 3.

კვადრატული ფესვის ამოღება

მეორე რიგის არასრული განტოლების კიდევ ერთი შემთხვევაა ასოების ენაზე დაწერილი გამოხატულება ისე, რომ მარჯვენა მხარე აგებულია ax 2 და c კომპონენტებისგან. აქ ცვლადის მნიშვნელობის მისაღებად თავისუფალი ტერმინი გადადის მარჯვენა მხარეს და ამის შემდეგ კვადრატული ფესვი ამოღებულია ტოლობის ორივე მხრიდან. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ შემთხვევაში, ჩვეულებრივ, განტოლების ორი ფესვია. ერთადერთი გამონაკლისი არის ტოლობები, რომლებიც საერთოდ არ შეიცავს c ტერმინს, სადაც ცვლადი ნულის ტოლია, ასევე გამონათქვამების ვარიანტები, როდესაც მარჯვენა მხარე უარყოფითი აღმოჩნდება. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, გადაწყვეტილებები საერთოდ არ არსებობს, რადგან ზემოაღნიშნული მოქმედებები ფესვებით შეუძლებელია. გასათვალისწინებელია ამ ტიპის კვადრატული განტოლებების ამონახსნების მაგალითები.

ამ შემთხვევაში, განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები -4 და 4.

მიწის ფართობის გაანგარიშება

ამ სახის გამოთვლების საჭიროება გაჩნდა ძველ დროში, რადგან მათემატიკის განვითარება იმ შორეულ დროში დიდწილად განპირობებული იყო მიწის ნაკვეთების ფართობისა და პერიმეტრის უდიდესი სიზუსტით განსაზღვრის აუცილებლობით.

ასევე უნდა განვიხილოთ მაგალითები ამ ტიპის ამოცანების საფუძველზე შედგენილი კვადრატული განტოლებების ამოხსნით.

მაშ ასე, ვთქვათ არის მართკუთხა მიწის ნაკვეთი, რომლის სიგრძე სიგანეზე 16 მეტრით მეტია. თქვენ უნდა იპოვოთ ადგილის სიგრძე, სიგანე და პერიმეტრი, თუ ცნობილია, რომ მისი ფართობია 612 მ 2.

საქმეს რომ შევეშვათ, თავდაპირველად გავაკეთებთ საჭირო განტოლებას. მონაკვეთის სიგანე ავღნიშნოთ x-ით, მაშინ მისი სიგრძე იქნება (x + 16). დაწერილიდან გამომდინარეობს, რომ ფართობი განისაზღვრება x გამოსახულებით (x + 16), რომელიც ჩვენი ამოცანის პირობის მიხედვით არის 612. ეს ნიშნავს, რომ x (x + 16) \u003d 612.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა და ეს გამოთქმა სწორედ ასეთია, არ შეიძლება გაკეთდეს იმავე გზით. რატომ? მიუხედავად იმისა, რომ მისი მარცხენა მხარე კვლავ შეიცავს ორ ფაქტორს, მათი ნამრავლი საერთოდ არ არის 0, ამიტომ აქ სხვა მეთოდები გამოიყენება.

დისკრიმინანტი

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ გავაკეთებთ აუცილებელ გარდაქმნებს, შემდეგ ამ გამონათქვამის გარეგნობა ასე გამოიყურება: x 2 + 16x - 612 = 0. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ მივიღეთ გამოხატვა ადრე მითითებული სტანდარტის შესაბამისი ფორმით, სადაც a=1, b=16, c= -612.

ეს შეიძლება იყოს კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითი დისკრიმინანტის საშუალებით. აქ საჭირო გამოთვლები კეთდება სქემის მიხედვით: D = b 2 - 4ac. ეს დამხმარე მნიშვნელობა არა მხოლოდ შესაძლებელს ხდის მეორე რიგის განტოლებაში სასურველი მნიშვნელობების პოვნას, ის განსაზღვრავს შესაძლო ვარიანტების რაოდენობას. D>0 შემთხვევაში ორი მათგანია; D=0-სთვის არის ერთი ფესვი. იმ შემთხვევაში, თუ დ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

ფესვებისა და მათი ფორმულის შესახებ

ჩვენს შემთხვევაში, დისკრიმინანტი არის: 256 - 4(-612) = 2704. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ ჩვენს პრობლემას აქვს პასუხი. თუ იცით, კვადრატული განტოლებების ამოხსნა უნდა გაგრძელდეს ქვემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით. ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფესვები.

ეს ნიშნავს, რომ წარმოდგენილ შემთხვევაში: x 1 =18, x 2 =-34. ამ დილემაში მეორე ვარიანტი არ შეიძლება იყოს გამოსავალი, რადგან მიწის ნაკვეთის ზომა არ შეიძლება გაიზომოს უარყოფით მნიშვნელობებში, რაც ნიშნავს, რომ x (ანუ ნაკვეთის სიგანე) არის 18 მ. აქედან ვიანგარიშებთ სიგრძეს: 18+16=34 და პერიმეტრი 2(34+ 18) = 104 (მ 2).

მაგალითები და ამოცანები

ვაგრძელებთ კვადრატული განტოლებების შესწავლას. ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე მათგანის მაგალითები და დეტალური გადაწყვეტა.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

გადავიტანოთ ყველაფერი ტოლობის მარცხენა მხარეს, გავაკეთოთ ტრანსფორმაცია, ანუ მივიღოთ განტოლების ფორმა, რომელსაც ჩვეულებრივ სტანდარტულს უწოდებენ და გავუტოლოთ ნულს.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

მსგავსების დამატების შემდეგ, ჩვენ განვსაზღვრავთ დისკრიმინანტს: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. ასე რომ, ჩვენს განტოლებას ექნება ორი ფესვი. ჩვენ მათ ვიანგარიშებთ ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით, რაც ნიშნავს, რომ პირველი მათგანი იქნება 4/3-ის, ხოლო მეორე 1-ის ტოლი.

2) ახლა ჩვენ გამოვავლენთ სხვადასხვა სახის გამოცანებს.

მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა აქ ფესვები x 2 - 4x + 5 = 1 საერთოდ? ამომწურავი პასუხის მისაღებად პოლინომი მივყავართ შესაბამის ნაცნობ ფორმამდე და გამოვთვლით დისკრიმინანტს. ამ მაგალითში არ არის აუცილებელი კვადრატული განტოლების ამოხსნა, რადგან პრობლემის არსი ამაში სულაც არ არის. ამ შემთხვევაში, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, რაც ნიშნავს, რომ ფესვები ნამდვილად არ არის.

ვიეტას თეორემა

მოსახერხებელია კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ზემოაღნიშნული ფორმულებისა და დისკრიმინანტის მეშვეობით, როდესაც ამ უკანასკნელის მნიშვნელობიდან ამოღებულია კვადრატული ფესვი. მაგრამ ეს ყოველთვის არ ხდება. თუმცა, ამ შემთხვევაში ცვლადების მნიშვნელობების მისაღებად მრავალი გზა არსებობს. მაგალითი: კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით. მას ეწოდა ადამიანის სახელი, რომელიც მე-16 საუკუნის საფრანგეთში ცხოვრობდა და ბრწყინვალე კარიერა ჰქონდა თავისი მათემატიკური ნიჭის და სასამართლოში კავშირების წყალობით. მისი პორტრეტი შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში.

ნიმუში, რომელიც ცნობილმა ფრანგმა შენიშნა, ასეთი იყო. მან დაამტკიცა, რომ განტოლების ფესვების ჯამი უდრის -p=b/a, ხოლო მათი ნამრავლი შეესაბამება q=c/a.

ახლა მოდით შევხედოთ კონკრეტულ ამოცანებს.

3x2 + 21x - 54 = 0

სიმარტივისთვის, მოდით გარდავქმნათ გამოხატულება:

x 2 + 7x - 18 = 0

ვიეტას თეორემის გამოყენებით, ეს მოგვცემს შემდეგს: ფესვების ჯამი არის -7 და მათი ნამრავლი არის -18. აქედან მივიღებთ, რომ განტოლების ფესვები არის რიცხვები -9 და 2. შემოწმების შემდეგ დავრწმუნდებით, რომ ცვლადების ეს მნიშვნელობები ნამდვილად ჯდება გამოსახულებაში.

პარაბოლას გრაფიკი და განტოლება

კვადრატული ფუნქციისა და კვადრატული განტოლებების ცნებები მჭიდრო კავშირშია. ამის მაგალითები უკვე მოყვანილია ადრე. ახლა მოდით განვიხილოთ რამდენიმე მათემატიკური თავსატეხი ცოტა უფრო დეტალურად. აღწერილი ტიპის ნებისმიერი განტოლება შეიძლება ვიზუალურად იყოს წარმოდგენილი. ასეთ დამოკიდებულებას, რომელიც შედგენილია გრაფიკის სახით, პარაბოლას უწოდებენ. მისი სხვადასხვა ტიპები ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

ნებისმიერ პარაბოლას აქვს წვერო, ანუ წერტილი, საიდანაც გამოდის მისი ტოტები. თუ a>0, ისინი მიდიან მაღლა უსასრულობამდე და როცა a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ფუნქციების ვიზუალური წარმოდგენები დაგეხმარებათ ამოხსნათ ნებისმიერი განტოლება, მათ შორის კვადრატული. ამ მეთოდს გრაფიკული ეწოდება. ხოლო x ცვლადის მნიშვნელობა არის აბსცისის კოორდინატი იმ წერტილებში, სადაც გრაფიკის ხაზი კვეთს 0x-ს. წვეროს კოორდინატები შეგიძლიათ იხილოთ მხოლოდ მოცემული ფორმულით x 0 = -b / 2a. და, მიღებული მნიშვნელობის ჩანაცვლებით ფუნქციის თავდაპირველ განტოლებაში, შეგიძლიათ გაიგოთ y 0, ანუ პარაბოლის წვეროს მეორე კოორდინატი, რომელიც მიეკუთვნება y-ღერძს.

პარაბოლის ტოტების გადაკვეთა აბსცისის ღერძთან

უამრავი მაგალითია კვადრატული განტოლებების ამოხსნის შესახებ, მაგრამ ასევე არის ზოგადი ნიმუშები. განვიხილოთ ისინი. ნათელია, რომ გრაფიკის გადაკვეთა 0x ღერძთან a>0-სთვის შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ y 0 მიიღებს უარყოფით მნიშვნელობებს. და ამისთვის ა<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. წინააღმდეგ შემთხვევაში დ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

პარაბოლის გრაფიკიდან, თქვენ ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფესვები. პირიქითაც მართალია. ანუ, თუ ადვილი არ არის კვადრატული ფუნქციის ვიზუალური წარმოდგენის მიღება, შეგიძლიათ გამოთქმის მარჯვენა მხარე გააიგივოთ 0-მდე და ამოხსნათ მიღებული განტოლება. და იცოდეთ 0x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, უფრო ადვილია გამოსახვა.

ისტორიიდან

კვადრატული ცვლადის შემცველი განტოლებების დახმარებით, ძველ დროში არა მხოლოდ მათემატიკური გამოთვლები კეთდებოდა და გეომეტრიული ფორმების ფართობი განსაზღვრავდა. ძველებს სჭირდებოდათ ასეთი გამოთვლები ფიზიკისა და ასტრონომიის სფეროში გრანდიოზული აღმოჩენებისთვის, ასევე ასტროლოგიური პროგნოზების გასაკეთებლად.

როგორც თანამედროვე მეცნიერები ვარაუდობენ, ბაბილონის მკვიდრებმა პირველებმა ამოხსნეს კვადრატული განტოლებები. ეს მოხდა ჩვენი ეპოქის დადგომამდე ოთხი საუკუნით ადრე. რა თქმა უნდა, მათი გამოთვლები ფუნდამენტურად განსხვავდებოდა ამჟამად მიღებული და ბევრად უფრო პრიმიტიული აღმოჩნდა. მაგალითად, მესოპოტამიელ მათემატიკოსებს წარმოდგენა არ ჰქონდათ უარყოფითი რიცხვების არსებობის შესახებ. მათ ასევე არ იცნობდნენ ჩვენი დროის ნებისმიერი სტუდენტისთვის ცნობილი სხვა დახვეწილობის შესახებ.

შესაძლოა, ბაბილონის მეცნიერებზე ადრეც კი, ინდოეთის ბრძენმა ბაუდჰაიამამ აიღო კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. ეს მოხდა ქრისტეს ეპოქის მოსვლამდე დაახლოებით რვა საუკუნით ადრე. მართალია, მეორე რიგის განტოლებები, მისი ამოხსნის მეთოდები ყველაზე მარტივი იყო. მის გარდა მსგავსი კითხვებით ძველად ჩინელი მათემატიკოსებიც დაინტერესდნენ. ევროპაში კვადრატული განტოლებების ამოხსნა მხოლოდ მე -13 საუკუნის დასაწყისში დაიწყო, მაგრამ მოგვიანებით ისინი თავიანთ ნაშრომში გამოიყენეს ისეთი დიდი მეცნიერების მიერ, როგორებიც არიან ნიუტონი, დეკარტი და მრავალი სხვა.

ბიბლიოგრაფიული აღწერა:გასანოვი A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები // ახალგაზრდა მეცნიერი. - 2016. - No 6.1. - S. 17-20..02.2019).



ჩვენი პროექტი ეძღვნება კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზებს. პროექტის მიზანი: ვისწავლოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ისეთი გზებით, რომლებიც არ არის გათვალისწინებული სასკოლო სასწავლო გეგმაში. ამოცანა: იპოვნეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ყველა შესაძლო გზა და ისწავლეთ როგორ გამოიყენოთ ისინი თავად და გააცანით თანაკლასელებს ეს მეთოდები.

რა არის "კვადრატული განტოლებები"?

Კვადრატული განტოლება- ფორმის განტოლება ნაჯახი2 + bx + c = 0, სად ა, ბ, გ- რამდენიმე რიცხვი ( a ≠ 0), x- უცნობი.

a, b, c რიცხვებს უწოდებენ კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებს.

• a ეწოდება პირველი კოეფიციენტი;
• b ეწოდება მეორე კოეფიციენტს;
• გ - თავისუფალი წევრი.

და ვინ იყო პირველი, ვინც "გამოიგონა" კვადრატული განტოლებები?

წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგიერთი ალგებრული ტექნიკა ცნობილი იყო ჯერ კიდევ 4000 წლის წინ ძველ ბაბილონში. ნაპოვნი ძველი ბაბილონური თიხის ფირფიტები, დათარიღებული სადღაც ძვ. იგივე ტაბლეტები შეიცავს მეთოდებს გარკვეული ტიპის კვადრატული განტოლებების ამოხსნისთვის.

ძველ დროში არა მხოლოდ პირველი, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა გამოწვეული იყო სამხედრო ხასიათის მიწის და მიწის სამუშაოების ტერიტორიების მოძიებასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით, აგრეთვე ასტრონომიისა და ასტრონომიის განვითარებით. თავად მათემატიკა.

ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც ნათქვამია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე. აქამდე აღმოჩენილი თითქმის ყველა ლურსმული ტექსტი იძლევა მხოლოდ რეცეპტების სახით ასახულ ამონახსნებს და არ მიუთითებს იმაზე, თუ როგორ იქნა ნაპოვნი. ბაბილონში ალგებრის განვითარების მაღალი დონის მიუხედავად, ლურსმული ტექსტები მოკლებულია უარყოფითი რიცხვის კონცეფციას და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგად მეთოდებს.

ბაბილონელი მათემატიკოსები დაახლოებით IV საუკუნიდან ძვ. გამოიყენა კვადრატული კომპლემენტის მეთოდი დადებითი ფესვებით განტოლებების ამოსახსნელად. დაახლოებით 300 წ. ევკლიდემ მოიფიქრა უფრო ზოგადი გეომეტრიული ამოხსნის მეთოდი. პირველი მათემატიკოსი, რომელმაც უარყოფითი ფესვების მქონე განტოლების ამონახსნები ალგებრული ფორმულის სახით იპოვა, იყო ინდოელი მეცნიერი. ბრაჰმაგუპტა(ინდოეთი, ჩვენი წელთაღრიცხვით VII საუკუნე).

ბრაჰმაგუპტამ გამოავლინა ზოგადი წესი კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ერთ კანონიკურ ფორმამდე:

ax2 + bx = c, a>0

ამ განტოლებაში, კოეფიციენტები შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად ემთხვევა ჩვენსას.

ინდოეთში გავრცელებული იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ ძველ ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე აჭარბებს ვარსკვლავებს თავისი ბრწყინვალებით, ისე განათლებული ადამიანი გადააჭარბებს დიდებას საჯარო შეხვედრებზე, ალგებრული პრობლემების შეთავაზებითა და გადაწყვეტით“. ამოცანები ხშირად იყო ჩაცმული პოეტური ფორმით.

ალგებრულ ტრაქტატში ალ-ხვარიზმიმოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია. ავტორი ჩამოთვლის განტოლების 6 ტიპს და მათ შემდეგნაირად გამოხატავს:

1) "კვადრატები უდრის ფესვებს", ანუ ax2 = bx.

2) „კვადრატები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 = c.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 = c.

4) "კვადრატები და რიცხვები უდრის ფესვებს", ანუ ax2 + c = bx.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 + bx = c.

6) „ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს“, ანუ bx + c == ax2.

ალ-ხვარეზმისთვის, რომელიც გაურბოდა უარყოფითი რიცხვების გამოყენებას, თითოეული ამ განტოლების ტერმინები არის დამატებები და არა გამოკლება. ამ შემთხვევაში, განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ დადებითი ამონახსნები, აშკარად არ არის გათვალისწინებული. ავტორი ასახავს ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს ალ-ჯაბრისა და ალ-მუქაბალას მეთოდების გამოყენებით. მისი გადაწყვეტილება, რა თქმა უნდა, სრულიად არ ემთხვევა ჩვენს გადაწყვეტილებას. რომ აღარაფერი ვთქვათ წმინდა რიტორიკულ ხასიათზე, უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითად, პირველი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ალ-ხვარეზმი, ისევე როგორც ყველა მათემატიკოსი მე-17 საუკუნემდე, არ ითვალისწინებს ნულს. გამოსავალი, ალბათ იმიტომ, რომ კონკრეტულ პრაქტიკულ ამოცანებს არ აქვს მნიშვნელობა. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ალ-ხვარეზმი ადგენს მათი ამოხსნის წესებს კონკრეტული რიცხვითი მაგალითების გამოყენებით, შემდეგ კი მათ გეომეტრიულ მტკიცებულებებს.

ევროპაში ალ-ხვარეზმის მოდელზე კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმები პირველად აღწერილი იქნა 1202 წელს დაწერილ „აბაკუს წიგნში“. იტალიელი მათემატიკოსი ლეონარდ ფიბონაჩი. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითი და პირველი იყო ევროპაში, ვინც მიუახლოვდა უარყოფითი რიცხვების შემოღებას.

ამ წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. ამ წიგნიდან ბევრი დავალება გადავიდა მე-14-17 საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი, რომელიც გადაყვანილია ერთ კანონიკურ ფორმამდე x2 + bx = c ნიშნებისა და კოეფიციენტების ყველა შესაძლო კომბინაციით b, c, ჩამოყალიბდა ევროპაში 1544 წელს. მ.შტიფელი.

ვიეტას აქვს კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის ზოგადი წარმოშობა, მაგრამ ვიეტამ აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელიპირველთა შორის მე-16 საუკუნეში. გაითვალისწინეთ, გარდა დადებითი და უარყოფითი ფესვებისა. მხოლოდ XVII საუკუნეში. მუშაობის წყალობით ჟირარდი, დეკარტი, ნიუტონიდა სხვა მეცნიერებს, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზა თანამედროვე ფორმას იღებს.

განვიხილოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის რამდენიმე გზა.

სასკოლო სასწავლო გეგმიდან კვადრატული განტოლებების ამოხსნის სტანდარტული გზები:

1. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორიზაცია.
2. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი.
3. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ფორმულით.
4. კვადრატული განტოლების გრაფიკული ამოხსნა.
5. განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ შემცირებული და არააღდგენილი კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

შეგახსენებთ, რომ ზემოაღნიშნული კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად საკმარისია ვიპოვოთ ორი ისეთი რიცხვი, რომლების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, ხოლო ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით.

მაგალითი.x 2 -5x+6=0

თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვები, რომელთა ნამრავლი არის 6 და ჯამი არის 5. ეს რიცხვები იქნება 3 და 2.

პასუხი: x 1 =2, x 2 =3.

მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი განტოლებისთვის, რომელთა პირველი კოეფიციენტი არ არის ერთის ტოლი.

მაგალითი.3x 2 +2x-5=0

ვიღებთ პირველ კოეფიციენტს და ვამრავლებთ თავისუფალ წევრზე: x 2 +2x-15=0

ამ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები, რომელთა ნამრავლი არის - 15, ხოლო ჯამი არის - 2. ეს რიცხვებია 5 და 3. საწყისი განტოლების ფესვების საპოვნელად მიღებულ ფესვებს ვყოფთ პირველ კოეფიციენტზე.

პასუხი: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. განტოლებების ამოხსნა „გადაცემის“ მეთოდით.

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0, სადაც a≠0.

მისი ორივე ნაწილის a-ზე გამრავლებით, მივიღებთ განტოლებას a 2 x 2 + abx + ac = 0.

მოდით ax = y, საიდანაც x = y/a; მაშინ მივდივართ განტოლებამდე y 2 + by + ac = 0, რომელიც უდრის მოცემულს. მის ფესვებს ვპოულობთ 1-ზე და 2-ზე ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

საბოლოოდ მივიღებთ x 1 = y 1 /a და x 2 = y 2 /a.

ამ მეთოდით a კოეფიციენტი მრავლდება თავისუფალ წევრზე, თითქოს მასზე „გადატანილია“, ამიტომ მას „გადაცემის“ მეთოდს უწოდებენ. ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით განტოლების ფესვების პოვნა და, რაც მთავარია, როცა დისკრიმინანტი ზუსტი კვადრატია.

მაგალითი.2x 2 - 11x + 15 = 0.

კოეფიციენტი 2 „გადავიტანოთ“ თავისუფალ წევრზე და ჩანაცვლებით მივიღებთ განტოლებას y 2 - 11y + 30 = 0.

ვიეტას შებრუნებული თეორემის მიხედვით

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

პასუხი: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების თვისებები.

მიეცით კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. თუ a + b + c \u003d 0 (ანუ განტოლების კოეფიციენტების ჯამი არის ნული), მაშინ x 1 \u003d 1.

2. თუ a - b + c \u003d 0, ან b \u003d a + c, მაშინ x 1 \u003d - 1.

მაგალითი.345x 2 - 137x - 208 = 0.

ვინაიდან a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), შემდეგ x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

პასუხი: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

მაგალითი.132x 2 + 247x + 115 = 0

იმიტომ რომ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), შემდეგ x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

პასუხი: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

არსებობს კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების სხვა თვისებები. მაგრამ მათი გამოყენება უფრო რთულია.

8. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ნომოგრამის გამოყენებით.

ნახ 1. ნომოგრამა

ეს არის კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძველი და ამჟამად მივიწყებული მეთოდი, განთავსებულია კრებულის 83-ე გვ.: Bradis V.M. ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები. - მ., განათლება, 1990 წ.

ცხრილი XXII. ნომოგრამა განტოლების ამოხსნისთვის z2 + pz + q = 0. ეს ნომოგრამა საშუალებას იძლევა, კვადრატული განტოლების ამოხსნის გარეშე, განტოლების ფესვები მისი კოეფიციენტებით განისაზღვროს.

ნომოგრამის მრუდი სკალა აგებულია ფორმულების მიხედვით (ნახ. 1):

ვარაუდით OS = p, ED = q, OE = a(ყველა სმ-ში), ნახ. 1-დან სამკუთხედების მსგავსება SANდა CDFჩვენ ვიღებთ პროპორციას

საიდანაც, ჩანაცვლებისა და გამარტივების შემდეგ, განტოლება მოჰყვება z 2 + pz + q = 0,და წერილი ზნიშნავს მრუდი მასშტაბის ნებისმიერი წერტილის ეტიკეტს.

ბრინჯი. 2 კვადრატული განტოლების ამოხსნა ნომოგრამის გამოყენებით

მაგალითები.

1) განტოლებისთვის ზ 2 - 9z + 8 = 0ნომოგრამა იძლევა ფესვებს z 1 = 8.0 და z 2 = 1.0

პასუხი: 8.0; 1.0.

2) ამოხსენით განტოლება ნომოგრამის გამოყენებით

2z 2 - 9z + 2 = 0.

ამ განტოლების კოეფიციენტები გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ განტოლებას z 2 - 4.5z + 1 = 0.

ნომოგრამა იძლევა ფესვებს z 1 = 4 და z 2 = 0,5.

პასუხი: 4; 0.5.

9. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გეომეტრიული მეთოდი.

მაგალითი.X 2 + 10x = 39.

ორიგინალში ეს პრობლემა ასეა ჩამოყალიბებული: „კვადრატი და ათი ძირი უდრის 39-ს“.

განვიხილოთ კვადრატი x გვერდით, მის გვერდებზე აგებულია მართკუთხედები ისე, რომ თითოეული მათგანის მეორე მხარე იყოს 2,5, შესაბამისად, თითის ფართობი არის 2,5x. შედეგად მიღებული ფიგურა ავსებს ახალ კვადრატს ABCD, რომელიც ავსებს ოთხ თანაბარ კვადრატს კუთხეებში, თითოეული მათგანის გვერდი არის 2,5, ხოლო ფართობი არის 6,25.

ბრინჯი. x 2 + 10x = 39 განტოლების ამოხსნის 3 გრაფიკული გზა

ABCD კვადრატის S ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფართობების ჯამად: თავდაპირველი კვადრატი x 2, ოთხი მართკუთხედი (4∙2.5x = 10x) და ოთხი მიმაგრებული კვადრატი (6.25∙4 = 25), ე.ი. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. x 2 + 10x 39 რიცხვით ჩანაცვლებით, მივიღებთ, რომ S \u003d 39 + 25 \u003d 64, რაც გულისხმობს, რომ კვადრატის გვერდი ABCD, ე.ი. სეგმენტი AB \u003d 8. ორიგინალური კვადრატის x სასურველი მხარისთვის ვიღებთ

10. განტოლებათა ამოხსნა ბეზუტის თეორემის გამოყენებით.

ბეზუტის თეორემა. P(x) მრავალწევრის x-ზე გაყოფის შემდეგ დარჩენილი ნაწილი უდრის P(α)-ს (ანუ P(x)-ის მნიშვნელობა x = α-ზე).

თუ რიცხვი α არის P(x) მრავალწევრის ფესვი, მაშინ ეს მრავალწევრი იყოფა x -α-ზე ნაშთების გარეშე.

მაგალითი.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x) გაყავით (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ან x-3=0, x=3; პასუხი: x1 =2, x2 =3.

დასკვნა:კვადრატული განტოლებების სწრაფად და რაციონალურად ამოხსნის უნარი უბრალოდ აუცილებელია უფრო რთული განტოლებების გადასაჭრელად, მაგალითად, წილადი რაციონალური განტოლებები, უმაღლესი ძალების განტოლებები, ბიკვადრატული განტოლებები და საშუალო სკოლაში ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური და ლოგარითმული განტოლებები. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ყველა მეთოდის შესწავლის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია ვურჩიოთ თანაკლასელებს, გარდა სტანდარტული მეთოდებისა, ამოხსნან გადაცემის მეთოდით (6) და ამოხსნან განტოლებები კოეფიციენტების (7) თვისებით, რადგან ისინი უფრო ხელმისაწვდომია გასაგებად. .

ლიტერატურა:

1. ბრედის ვ.მ. ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები. - მ., განათლება, 1990 წ.
2. ალგებრა მე-8 კლასი: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S.A. თელიაკოვსკი მე-15 გამოცემა, შესწორებული. - მ.: განმანათლებლობა, 2015 წ
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. გლეიზერ გ.ი. მათემატიკის ისტორია სკოლაში. სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის. / რედ. ვ.ნ. Უმცროსი. - მ.: განმანათლებლობა, 1964 წ.

Უბრალოდ. ფორმულებისა და მკაფიო მარტივი წესების მიხედვით. პირველ ეტაპზე

აუცილებელია მოცემული განტოლება სტანდარტულ ფორმამდე მივიყვანოთ, ე.ი. ხედისკენ:

თუ განტოლება უკვე მოგეცემათ ამ ფორმით, თქვენ არ გჭირდებათ პირველი ეტაპის გაკეთება. რაც მთავარია სწორია

განსაზღვრეთ ყველა კოეფიციენტი ა, ბდა გ.

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულა.

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატულს ე.წ დისკრიმინანტი . როგორც ხედავთ, x-ის საპოვნელად ჩვენ

გამოყენება მხოლოდ a, b და c. იმათ. შანსები საწყისი კვადრატული განტოლება. უბრალოდ ფრთხილად ჩადეთ

ღირებულებები a, b და cამ ფორმულაში და დათვალეთ. ჩანაცვლება ერთად მათინიშნები!

მაგალითად, განტოლებაში:

ა =1; ბ = 3; გ = -4.

ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები და დაწერეთ:

მაგალითი თითქმის მოგვარებულია:

ეს არის პასუხი.

ყველაზე გავრცელებული შეცდომები არის დაბნეულობა ფასეულობების ნიშნებთან ა, ბდა თან. უფრო სწორად, ჩანაცვლებით

უარყოფითი მნიშვნელობები ფესვების გამოთვლის ფორმულაში. აქ დეტალური ფორმულა ინახავს

კონკრეტული ნომრებით. თუ გამოთვლებთან დაკავშირებული პრობლემებია, გააკეთე ეს!

დავუშვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი მაგალითი:

Აქ ა = -6; ბ = -5; გ = -1

ჩვენ ყველაფერს დეტალურად ვხატავთ, ფრთხილად, არაფრის გამოტოვების გარეშე ყველა ნიშნით და ფრჩხილებით:

ხშირად კვადრატული განტოლებები ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება. მაგალითად, ასე:

ახლა გაითვალისწინეთ პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მკვეთრად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას.

პირველი მიღება. არ დაიზაროთ მანამდე კვადრატული განტოლების ამოხსნამიიყვანეთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

Რას ნიშნავს ეს?

დავუშვათ, ნებისმიერი ტრანსფორმაციის შემდეგ მიიღებთ შემდეგ განტოლებას:

არ იჩქაროთ ფესვების ფორმულის დაწერა! თქვენ თითქმის აუცილებლად აირევთ შანსებს a, b და c.

სწორად შექმენით მაგალითი. ჯერ x კვადრატში, შემდეგ კვადრატის გარეშე, შემდეგ თავისუფალი წევრი. Ამგვარად:

მოიშორეთ მინუსი. Როგორ? მთელი განტოლება უნდა გავამრავლოთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

ახლა კი შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ჩაწეროთ ფესვების ფორმულა, გამოთვალოთ დისკრიმინანტი და შეავსოთ მაგალითი.

თავად გადაწყვიტეთ. თქვენ უნდა დაასრულოთ ფესვები 2 და -1.

მეორე მიღება.შეამოწმეთ თქვენი ფესვები! ავტორი ვიეტას თეორემა.

მოცემული კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, ე.ი. თუ კოეფიციენტი

x2+bx+c=0,

მაშინx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−ბ

სრული კვადრატული განტოლებისთვის, რომელშიც a≠1:

x 2 +ბx+გ=0,

გავყოთ მთელი განტოლება a:

→ →

სადაც x 1და x 2 - განტოლების ფესვები.

მიღება მესამე. თუ თქვენს განტოლებას აქვს წილადი კოეფიციენტები, მოიშორეთ წილადები! გაამრავლე

განტოლება საერთო მნიშვნელისთვის.

დასკვნა. პრაქტიკული რჩევები:

1. ამოხსნამდე კვადრატულ განტოლებას სტანდარტულ ფორმამდე მივყავართ, ავაგოთ უფლება.

2. თუ კვადრატში x-ის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი, გამოვრიცხავთ მას ყველაფრის გამრავლებით.

-1-ის განტოლებები.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, წილადებს ვხსნით მთელი განტოლების შესაბამისზე გამრავლებით.

ფაქტორი.

4. თუ x კვადრატი სუფთაა, მისთვის კოეფიციენტი ერთის ტოლია, ამონახსნის ადვილად შემოწმება შესაძლებელია