>> ექსტრემები

ექსტრემალური ფუნქცია

ექსტრემის განმარტება

ფუნქცია y = f(x) ეწოდება იზრდება (მცირდება) რაღაც ინტერვალში, თუ x 1-ისთვის< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია y \u003d f (x) სეგმენტზე იზრდება (მცირდება), მაშინ მისი წარმოებული ამ სეგმენტზე f " (x)> 0

(ვ"(x)< 0).

Წერტილი x შესახებ დაურეკა ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი (მინიმალური f (x) ფუნქციის ) თუ არის წერტილის მეზობლობა x o, ყველა წერტილისთვის, რომლის უტოლობა f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები ეწოდება ექსტრემალური წერტილებიდა ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში არის მისი უკიდურესი.

ექსტრემალური წერტილები

აუცილებელი პირობები ექსტრემისთვის . თუ წერტილი x შესახებ არის f (x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილი, შემდეგ ან f " (x o ) = 0, ან ვ(x o ) არ არსებობს. ასეთ წერტილებს ე.წ კრიტიკული,სადაც თავად ფუნქცია განისაზღვრება კრიტიკულ წერტილში. ფუნქციის უკიდურესობა უნდა ვეძებოთ მის კრიტიკულ წერტილებს შორის.

პირველი საკმარისი პირობა. დაე იყოს x შესახებ - კრიტიკული წერტილი. თუ ვ" (x ) წერტილის გავლისას x შესახებ ცვლის პლუს ნიშანს მინუსზე, შემდეგ წერტილში x oფუნქციას აქვს მაქსიმუმი, წინააღმდეგ შემთხვევაში აქვს მინიმუმი. თუ წარმოებული არ ცვლის ნიშანს კრიტიკულ წერტილში გავლისას, მაშინ წერტილში x შესახებ არ არის ექსტრემუმი.

მეორე საკმარისი პირობა. აქვს f(x) ფუნქციას
ვ" (x ) წერტილის სიახლოვეს x შესახებ და მეორე წარმოებული სწორედ იმ წერტილში x o. თუ ვ"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oარის f(x) ფუნქციის ლოკალური მინიმალური (მაქსიმალური) წერტილი. თუ =0, მაშინ ან უნდა გამოიყენოთ პირველი საკმარისი პირობა, ან ჩართოთ უფრო მაღალი პირობა.

სეგმენტზე ფუნქცია y \u003d f (x) შეიძლება მიაღწიოს უმცირეს ან უდიდეს მნიშვნელობას კრიტიკულ წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

მაგალითი 3.22.

გადაწყვეტილება.როგორც ვ " (

ამოცანები ფუნქციის ექსტრემის პოვნისთვის

მაგალითი 3.23. ა

გადაწყვეტილება. xდა წ წ
0 ≤ x≤
> 0, ხოლო x >a /4 ს " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ფუნქციები კვ.. ერთეულები).

მაგალითი 3.24. p ≈

გადაწყვეტილება.გვ
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

მაგალითი 3.22.იპოვეთ f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ფუნქციის უკიდურესი.

გადაწყვეტილება.როგორც ვ " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), შემდეგ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები x 1 \u003d 2 და x 2 \u003d 3. უკიდურესი წერტილები შეიძლება იყოს მხოლოდ ამ ქულები. ვინაიდან x 1 \u003d 2 წერტილის გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, მაშინ ამ ეტაპზე ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი. x 2 \u003d 3 წერტილის გავლისას, წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსიდან პლუსზე, შესაბამისად, x 2 \u003d 3 წერტილში ფუნქციას აქვს მინიმუმი. ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლა წერტილებში
x 1 = 2 და x 2 = 3, ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის უკიდურესობას: მაქსიმალური f (2) = 14 და მინიმალური f (3) = 13.

მაგალითი 3.23.ქვის კედელთან სწორკუთხა უბნის აგებაა საჭირო, რომ სამი მხრიდან მავთულის ბადით შემოღობოს, მეოთხე მხრიდან კი კედელს შეუერთდეს. ამისათვის არსებობს აქსელის ხაზოვანი მეტრი. რა თანაფარდობით ექნება საიტს ყველაზე დიდი ფართობი?

გადაწყვეტილება.მიუთითეთ საიტის მხარეები მეშვეობით xდა წ. საიტის ფართობი უდრის S = xy. დაე იყოს წარის კედლის მიმდებარე მხარის სიგრძე. შემდეგ, პირობით, ტოლობა 2x + y = a უნდა იყოს. ამიტომ y = a - 2x და S = x (a - 2x), სადაც
0 ≤ x≤ a /2 (ბალიშის სიგრძე და სიგანე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი). S "= a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4-ისთვის, საიდანაც
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Იმდენად, რამდენადაც x = a /4 ერთადერთი კრიტიკული წერტილია, მოდით შევამოწმოთ, იცვლება თუ არა წარმოებულის ნიშანი ამ წერტილში გავლისას. x a /4 S"-სთვის> 0, ხოლო x >a /4 ს " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ფუნქციები S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (კვ.. ერთეულები). ვინაიდან S არის უწყვეტი და მისი მნიშვნელობები S(0) და S(a /2) ბოლოებზე ნულის ტოლია, მაშინ ნაპოვნი მნიშვნელობა იქნება ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა. ამრიგად, საიტის ყველაზე ხელსაყრელი ასპექტის თანაფარდობა პრობლემის მოცემულ პირობებში არის y = 2x.

მაგალითი 3.24.საჭიროა V=16 ტევადობის დახურული ცილინდრული ავზის დამზადება p ≈ 50 მ 3. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები (რადიუსი R და სიმაღლე H), რომ მის დასამზადებლად გამოიყენოს ყველაზე ნაკლები მასალა?

გადაწყვეტილება.ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის S = 2გვ R(R+H). ჩვენ ვიცით ცილინდრის მოცულობა V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. ასე რომ, S(R) = 2გვ (R2+16/R). ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 R 3 = 8-ისთვის, შესაბამისად,
R = 2, H = 16/4 = 4.

ფუნქციის უკიდურესი წერტილი არის წერტილი ფუნქციის დომენში, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა იღებს მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას. ფუნქციის მნიშვნელობებს ამ წერტილებში ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი (მინიმალური და მაქსიმალური)..

განმარტება. Წერტილი x1 ფუნქციის ფარგლები ვ(x) ეწოდება ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი , თუ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ მომენტში მეტია ფუნქციის მნიშვნელობებზე საკმარისად ახლოს მდებარე წერტილებში, რომლებიც მდებარეობს მის მარჯვნივ და მარცხნივ (ანუ უტოლობა ვ(x0 ) > ვ(x 0 + Δ x) x1 მაქსიმუმ.

განმარტება. Წერტილი x2 ფუნქციის ფარგლები ვ(x) ეწოდება ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ მომენტში ნაკლებია ფუნქციის მნიშვნელობებზე საკმარისად ახლოს მდებარე წერტილებში, რომლებიც მდებარეობს მის მარჯვნივ და მარცხნივ (ანუ უტოლობა ვ(x0 ) < ვ(x 0 + Δ x) ). ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ ფუნქციას აქვს წერტილი x2 მინიმალური.

მოდით ვთქვათ წერტილი x1 - ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ვ(x) . შემდეგ ინტერვალში მდე x1 ფუნქცია იზრდებაასე რომ, ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე მეტი ( ვ "(x) > 0 ), ხოლო შემდეგ ინტერვალში x1 ფუნქცია მცირდება, ამიტომ ფუნქციის წარმოებულინულზე ნაკლები ( ვ "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

მოდით ასევე ვივარაუდოთ, რომ წერტილი x2 - ფუნქციის მინიმალური წერტილი ვ(x) . შემდეგ ინტერვალში მდე x2 ფუნქცია მცირდება და ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე ნაკლები ( ვ "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ფუნქცია იზრდება და ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე მეტი ( ვ "(x) > 0). ამ შემთხვევაშიც წერტილში x2 ფუნქციის წარმოებული არის ნული ან არ არსებობს.

ფერმას თეორემა (აუცილებელი კრიტერიუმი ფუნქციის უკიდურესობის არსებობისთვის). თუ წერტილი x0 - ფუნქციის უკიდურესი წერტილი ვ(x), მაშინ ამ მომენტში ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ( ვ "(x) = 0 ) ან არ არსებობს.

განმარტება. წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული ტოლია ან არ არსებობს, ეწოდება კრიტიკული წერტილები .

მაგალითი 1განვიხილოთ ფუნქცია.

წერტილში x= 0 ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის, შესაბამისად, წერტილი x= 0 არის კრიტიკული წერტილი. თუმცა, როგორც ჩანს ფუნქციის გრაფიკზე, ის იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენში, ამიტომ წერტილი x= 0 არ არის ამ ფუნქციის უკიდურესი წერტილი.

ამრიგად, პირობები, რომ ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია ან არ არსებობს, არის აუცილებელი პირობები ექსტრემისთვის, მაგრამ არა საკმარისი, რადგან შეიძლება მოყვანილი იყოს ფუნქციების სხვა მაგალითები, რომლებისთვისაც ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, მაგრამ ფუნქცია არ აქვს ექსტრემუმი შესაბამის წერტილში. Ისე უნდა ჰქონდეს საკმარისი მითითებები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის ვიმსჯელოთ, არის თუ არა ექსტრემუმი კონკრეტულ კრიტიკულ წერტილში და რომელი - მაქსიმუმი თუ მინიმუმი.

თეორემა (ფუნქციის უკიდურესობის არსებობის პირველი საკმარისი კრიტერიუმი).Კრიტიკული წერტილი x0 ვ(x), თუ ფუნქციის წარმოებული ცვლის ნიშანს ამ წერტილის გავლისას და თუ ნიშანი იცვლება „პლუს“-დან „მინუსზე“, მაშინ მაქსიმალური წერტილი, ხოლო თუ „მინუს“-დან „პლუს“, მაშინ მინიმალური წერტილი. .

თუ წერტილთან ახლოს x0 , მისგან მარცხნივ და მარჯვნივ წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს, ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია ან მხოლოდ მცირდება ან მხოლოდ იზრდება წერტილის რომელიმე მიდამოში. x0 . ამ შემთხვევაში, წერტილში x0 არ არის ექსტრემუმი.

Ისე, ფუნქციის უკიდურესი წერტილების დასადგენად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი :

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2. გაატოლეთ წარმოებული ნულთან და დაადგინეთ კრიტიკული წერტილები.
3. გონებრივად ან ქაღალდზე მონიშნეთ რიცხვითი ღერძის კრიტიკული წერტილები და მიღებულ ინტერვალებში განსაზღვრეთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები. თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება „პლუს“-დან „მინუსში“, მაშინ კრიტიკული წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი, ხოლო თუ „მინუს“-დან „პლუს“, მაშინ კრიტიკული წერტილი არის მინიმალური წერტილი.
4. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა უკიდურეს წერტილებში.

მაგალითი 2იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა .

გადაწყვეტილება. ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

კრიტიკული წერტილების საპოვნელად გამოიტანეთ წარმოებული ნულთან:

.

ვინაიდან "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მნიშვნელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მრიცხველს ვატოლებთ ნულს:

მივიღე ერთი კრიტიკული წერტილი x= 3. ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშანს ამ წერტილით შემოსაზღვრულ ინტერვალებში:

მინუს უსასრულობიდან 3-მდე დიაპაზონში - მინუს ნიშანი, ანუ ფუნქცია მცირდება,

დიაპაზონში 3-დან პლუს უსასრულობამდე - პლუს ნიშანი, ანუ ფუნქცია იზრდება.

ანუ წერტილი x= 3 არის მინიმალური წერტილი.

იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში:

ამრიგად, ფუნქციის უკიდურესი წერტილი არის ნაპოვნი: (3; 0) , და ეს არის მინიმალური წერტილი.

თეორემა (ფუნქციის უკიდურესობის არსებობის მეორე საკმარისი კრიტერიუმი).Კრიტიკული წერტილი x0 არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი ვ(x), თუ ამ მომენტში ფუნქციის მეორე წარმოებული არ არის ნულის ტოლი ( ვ ""(x) ≠ 0 ), უფრო მეტიც, თუ მეორე წარმოებული მეტია ნულზე ( ვ ""(x) > 0 ), მაშინ მაქსიმალური წერტილი და თუ მეორე წარმოებული არის ნულზე ნაკლები ( ვ ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

შენიშვნა 1. თუ პუნქტში x0 როგორც პირველი, ასევე მეორე წარმოებულები ქრება, მაშინ ამ ეტაპზე შეუძლებელია ექსტრემის არსებობის მსჯელობა მეორე საკმარისი ნიშნის საფუძველზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველი საკმარისი კრიტერიუმი ფუნქციის ექსტრემისთვის.

შენიშვნა 2. ფუნქციის უკიდურესობის მეორე საკმარისი კრიტერიუმი ასევე გამოუსადეგარია, როდესაც პირველი წარმოებული არ არსებობს სტაციონარულ წერტილში (მაშინ არ არსებობს არც მეორე წარმოებული). ამ შემთხვევაში ასევე აუცილებელია პირველი საკმარისი კრიტერიუმის გამოყენება ფუნქციის ექსტრემისთვის.

ფუნქციის ექსტრემის ლოკალური ბუნება

ზემოაღნიშნული განმარტებებიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის უკიდურესი ლოკალური ხასიათისაა - ეს არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა უახლოეს მნიშვნელობებთან შედარებით.

დავუშვათ, რომ თქვენ განიხილავთ თქვენს შემოსავალს ერთი წლის განმავლობაში. თუ მაისში გამოიმუშავეთ 45,000 რუბლი, ხოლო აპრილში 42,000 რუბლი და ივნისში 39,000 რუბლი, მაშინ მაისის შემოსავალი არის შემოსავლის ფუნქციის მაქსიმუმი უახლოეს მნიშვნელობებთან შედარებით. მაგრამ ოქტომბერში თქვენ გამოიმუშავეთ 71,000 რუბლი, სექტემბერში 75,000 რუბლი, ხოლო ნოემბერში 74,000 რუბლი, ასე რომ, ოქტომბრის შემოსავალი არის შემოსავლის ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობებთან შედარებით. და მარტივად ხედავთ, რომ აპრილ-მაის-ივნისის მნიშვნელობებს შორის მაქსიმუმი სექტემბერ-ოქტომბერ-ნოემბრის მინიმალურზე ნაკლებია.

ზოგადად, ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ექსტრემა ინტერვალში და შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ფუნქციის ნებისმიერი მინიმუმი აღემატება ნებისმიერ მაქსიმუმს. ასე რომ, ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები ფუნქციისთვის, .

ანუ, არ უნდა ვიფიქროთ, რომ ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმალური არის, შესაბამისად, მისი მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები მთელ განხილულ სეგმენტზე. მაქსიმალურ წერტილში ფუნქციას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა მხოლოდ იმ მნიშვნელობებთან შედარებით, რაც მას აქვს ყველა წერტილში, რომელიც საკმარისად ახლოსაა მაქსიმალურ წერტილთან, ხოლო მინიმალურ წერტილში ყველაზე მცირე მნიშვნელობა მხოლოდ იმ მნიშვნელობებთან შედარებით, რომლებიც მას აქვს ყველა წერტილში საკმარისად ახლოს მინიმალური წერტილი.

მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია დავხვეწოთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების ზემოაღნიშნული კონცეფცია და მინიმალურ წერტილებს ვუწოდოთ ადგილობრივი მინიმალური ქულები, ხოლო მაქსიმალური ქულები - ადგილობრივი მაქსიმალური ქულები.

ჩვენ ერთად ვეძებთ ფუნქციის უკიდურესობას

მაგალითი 3

ამოხსნა ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე. მისი წარმოებული ასევე არსებობს მთელი რიცხვითი ხაზი. მაშასადამე, ამ შემთხვევაში, მხოლოდ ის, რომლებშიც, ე.ი., ემსახურება კრიტიკულ წერტილებს. , საიდანაც და . კრიტიკული წერტილები და ფუნქციის მთელი დომენის დაყოფა ერთფეროვნების სამ ინტერვალად: . თითოეულ მათგანში ვირჩევთ თითო საკონტროლო წერტილს და ამ ეტაპზე ვპოულობთ წარმოებულის ნიშანს.

ინტერვალისთვის საცნობარო წერტილი შეიძლება იყოს: ჩვენ ვპოულობთ. ინტერვალში წერტილის აღებით, ჩვენ ვიღებთ , ხოლო პუნქტის აღებით ინტერვალში, გვაქვს . ასე რომ, ინტერვალებში და , და ინტერვალში . ექსტრემის პირველი საკმარისი ნიშნის მიხედვით, წერტილში არ არის უკიდურესი (რადგან წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს ინტერვალში ) და ფუნქციას აქვს მინიმუმი წერტილში (რადგან წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსიდან პლუსზე გავლისას. ამ წერტილიდან). იპოვეთ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები: , და. ინტერვალში ფუნქცია მცირდება, რადგან ამ ინტერვალში , ხოლო ინტერვალში ის იზრდება, რადგან ამ ინტერვალში.

გრაფიკის აგების გასარკვევად ვპოულობთ მის გადაკვეთის წერტილებს კოორდინატთა ღერძებთან. როდესაც მივიღებთ განტოლებას, რომლის ფესვები და, ანუ, ფუნქციის გრაფიკის ორი წერტილი (0; 0) და (4; 0) გვხვდება. მიღებული ყველა ინფორმაციის გამოყენებით ვაშენებთ გრაფიკს (იხ. მაგალითის დასაწყისში).

მაგალითი 4იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა და შექმენით მისი გრაფიკი.

ფუნქციის დომენი არის მთელი რიცხვითი წრფე, გარდა წერტილისა, ე.ი. .

კვლევის შესამცირებლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ ეს ფუნქცია ლუწია, ვინაიდან . ამიტომ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ ოიდა კვლევა შეიძლება ჩატარდეს მხოლოდ ინტერვალით.

წარმოებულის პოვნა და ფუნქციის კრიტიკული წერტილები:

1) ;

2) ,

მაგრამ ფუნქცია განიცდის შესვენებას ამ ეტაპზე, ამიტომ ის არ შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილი.

ამრიგად, მოცემულ ფუნქციას აქვს ორი კრიტიკული წერტილი: და . ფუნქციის პარიტეტის გათვალისწინებით, ჩვენ ვამოწმებთ მხოლოდ წერტილს ექსტრემის მეორე საკმარისი ნიშნით. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ მეორე წარმოებულს და განვსაზღვროთ მისი ნიშანი: მივიღებთ. ვინაიდან და , მაშინ არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი, ხოლო .

ფუნქციის გრაფიკის უფრო სრულყოფილი სურათის მისაღებად, მოდით გავარკვიოთ მისი ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვრებზე:

(აქ სიმბოლო მიუთითებს სურვილზე xნულამდე მარჯვნივ და xრჩება დადებითი; ანალოგიურად ნიშნავს მისწრაფებას xმარცხნივ ნულამდე და xრჩება უარყოფითი). ამრიგად, თუ, მაშინ. შემდეგი, ჩვენ ვიპოვით

,

იმათ. თუ , მაშინ .

ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები. სურათი არის მაგალითის დასაწყისში.

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ ფუნქციის უკიდურესობების ძიებას

მაგალითი 8იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.

გადაწყვეტილება. იპოვნეთ ფუნქციის დომენი. ვინაიდან უტოლობა უნდა შენარჩუნდეს, ჩვენ ვიღებთ .

ვიპოვოთ ფუნქციის პირველი წარმოებული:

ვიპოვოთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.

მრავალი ცვლადის f(x) ფუნქციისთვის წერტილი x არის ვექტორი, f'(x) არის f(x) ფუნქციის პირველი წარმოებულების ვექტორი (გრადიენტი), f ′ (x) არის სიმეტრიული მატრიცა. მეორე ნაწილობრივი წარმოებულების (ჰესეს მატრიცა − ჰესიანი) ფუნქციები f(x).
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციისთვის, ოპტიმალური პირობები ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად.
ადგილობრივი ოპტიმალურის აუცილებელი პირობა. მოდით f(x) დიფერენცირებადი x * R n წერტილში. თუ x * არის ადგილობრივი უკიდურესი წერტილი, მაშინ f'(x *) = 0.
როგორც ადრე, წერტილებს, რომლებიც განტოლებათა სისტემის ამონახსნებია, სტაციონარული ეწოდება. სტაციონარული წერტილის x * ბუნება დაკავშირებულია ჰესიანური მატრიცის ნიშან-განსაზღვრულობასთან f′ ′(x).
A მატრიცის ნიშნის განსაზღვრულობა დამოკიდებულია Q(α)= კვადრატული ფორმის ნიშნებზე.< α A, α >ყველა არანულოვანი α∈R n .
აქ და შემდგომში x და y ვექტორების სკალარული ნამრავლი აღინიშნება. ა-პრიორიტეტი,

მატრიცა A არის დადებითად (არაუარყოფითად) განსაზღვრული, თუ Q(α)>0 (Q(α)≥0) ყველა არანულოვანი α∈R n; უარყოფითად (არადადებითად) განსაზღვრული თუ Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 ზოგიერთი არანულოვანი α∈R n და Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
საკმარისი პირობა ადგილობრივი ოპტიმალურად. მოდით, f(x) ორჯერ დიფერენცირებადი იყოს x * R n წერტილში და f’(x *)=0, ე.ი. x * − სტაციონარული წერტილი. მაშინ, თუ f (x *) მატრიცა დადებითი (უარყოფითი) განსაზღვრულია, მაშინ x * არის ადგილობრივი მინიმალური (მაქსიმალური) წერტილი; თუ f′′(x *) მატრიცა განუსაზღვრელია, მაშინ x * არის უნაგირების წერტილი.
თუ f′′(x *) მატრიცა არაუარყოფითი (არადადებითად) განსაზღვრულია, მაშინ x * სტაციონარული წერტილის ბუნების დასადგენად საჭიროა უმაღლესი რიგის წარმოებულების შესწავლა.
მატრიცის ნიშნის განსაზღვრულობის შესამოწმებლად, როგორც წესი, გამოიყენება სილვესტერის კრიტერიუმი. ამ კრიტერიუმის მიხედვით, სიმეტრიული მატრიცა A არის დადებითი განსაზღვრული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ყველა კუთხური მინორი დადებითია. ამ შემთხვევაში, A მატრიცის კუთხური მინორი არის A მატრიცის ელემენტებიდან აგებული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც დგას რიგებისა და სვეტების გადაკვეთაზე იგივე (და პირველი) რიცხვებით. სიმეტრიული A მატრიცის უარყოფითი განსაზღვრულობის შესამოწმებლად, უნდა შეამოწმოთ მატრიცა (−A) დადებითი განსაზღვრულობისთვის.
ასე რომ, მრავალი ცვლადის ფუნქციის ლოკალური კიდურების წერტილების განსაზღვრის ალგორითმი შემდეგია.
1. იპოვეთ f′(x).
2. სისტემა მოგვარებულია

შედეგად, გამოითვლება სტაციონარული წერტილები x i.
3. იპოვეთ f′′(x), სიმრავლე i=1.
4. იპოვეთ f′′(x i)
5. გამოითვლება f′′(x i) მატრიცის კუთხური მინორები. თუ ყველა კუთხოვანი მინორი არ არის ნულოვანი, მაშინ x i სტაციონარული წერტილის ბუნების დასადგენად საჭიროა უმაღლესი რიგის წარმოებულების შესწავლა. ამ შემთხვევაში, მე-8 პუნქტზე გადასვლა ხორციელდება.
წინააღმდეგ შემთხვევაში, გადადით მე-6 ნაბიჯზე.
6. გაანალიზებულია კუთხოვანი მინორების ნიშნები f′′(x i). თუ f′′(x i) დადებითი განსაზღვრულია, მაშინ x i არის ადგილობრივი მინიმალური წერტილი. ამ შემთხვევაში, მე-8 პუნქტზე გადასვლა ხორციელდება.
წინააღმდეგ შემთხვევაში გადადით მე-7 პუნქტზე.
7. გამოითვლება -f′′(x i) მატრიცის კუთხური მინორები და გაანალიზებულია მათი ნიშნები.
თუ -f′′(x i) − დადებითი განსაზღვრულია, მაშინ f′′(x i) უარყოფითი განსაზღვრულია და x i არის ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი.
წინააღმდეგ შემთხვევაში, f′′(x i) განუსაზღვრელია და x i არის უნაგირის წერტილი.
8. მოწმდება ყველა სტაციონარული წერტილის ბუნების განსაზღვრის პირობა i=N.
თუ ის დაკმაყოფილებულია, მაშინ გამოთვლები დასრულებულია.
თუ პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ივარაუდება i=i+1 და ხდება მე-4 საფეხურზე გადასვლა.

მაგალითი #1. განსაზღვრეთ f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 ფუნქციის ლოკალური კიდურების წერტილები









ვინაიდან ყველა კუთხის მინორი არ არის ნულოვანი, x 2-ის სიმბოლო განისაზღვრება f′′(x-ით).
ვინაიდან f′′(x2) მატრიცა დადებითი განსაზღვრულია, x 2 არის ადგილობრივი მინიმალური წერტილი.
პასუხი: ფუნქციას f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 აქვს ლოკალური მინიმუმი x = (5/3; 8/3) წერტილში.

ფუნქცია იზრდება არგუმენტის ზრდამდე, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ. მის საპოვნელად გამოიყენეთ წარმოებულების ცხრილი. მაგალითად, y = x3 ფუნქციის წარმოებული იქნება y’ = x2.

გაუტოლეთ ამ წარმოებულს ნულს (ამ შემთხვევაში x2=0).

იპოვეთ მოცემული ცვლადის მნიშვნელობა. ეს იქნება მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც ეს წარმოებული იქნება 0-ის ტოლი. ამისათვის გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ თვითნებური რიცხვები x-ის ნაცვლად, რომლებზეც მთელი გამოხატულება გახდება ნული. Მაგალითად:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

გამოიყენეთ მიღებული მნიშვნელობები კოორდინატთა ხაზზე და გამოთვალეთ წარმოებულის ნიშანი თითოეული მიღებული. კოორდინატთა ხაზზე აღინიშნება წერტილები, რომლებიც აღებულია როგორც საწყისი. ინტერვალებში მნიშვნელობის გამოსათვლელად, შეცვალეთ თვითნებური მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება კრიტერიუმებს. მაგალითად, წინა ფუნქციისთვის -1 ინტერვალამდე, შეგიძლიათ აირჩიოთ მნიშვნელობა -2. -1-დან 1-მდე შეგიძლიათ აირჩიოთ 0, ხოლო 1-ზე მეტი მნიშვნელობებისთვის აირჩიეთ 2. ჩაანაცვლეთ ეს რიცხვები წარმოებულში და გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშანი. ამ შემთხვევაში წარმოებული x = -2 ტოლი იქნება -0,24, ე.ი. უარყოფითი და ამ ინტერვალზე იქნება მინუს ნიშანი. თუ x=0, მაშინ მნიშვნელობა იქნება 2-ის ტოლი და ამ ინტერვალზე იდება ნიშანი. თუ x=1, მაშინ წარმოებულიც იქნება -0,24-ის ტოლი და დავსვათ მინუსი.

თუ კოორდინატთა ხაზის წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, მაშინ ეს არის მინიმალური წერტილი, ხოლო თუ პლუსიდან მინუსზე, მაშინ ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

წარმოებულის მოსაძებნად, არის ონლაინ სერვისები, რომლებიც გამოთვლიან საჭირო მნიშვნელობებს და აჩვენებს შედეგს. ასეთ საიტებზე შეგიძლიათ იპოვოთ 5-მდე შეკვეთის წარმოებული.

წყაროები:

• დერივატების გამოთვლის ერთ-ერთი სერვისი
• ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ფუნქციის მაქსიმალურ წერტილებს მინიმალურ წერტილებთან ერთად ეწოდება ექსტრემალური წერტილები. ამ წერტილებში ფუნქცია ცვლის თავის ქცევას. ექსტრემები განისაზღვრება შეზღუდული რიცხვითი ინტერვალებით და ყოველთვის ლოკალურია.

ინსტრუქცია

ლოკალური კიდურების პოვნის პროცესს ფუნქცია ეწოდება და ხორციელდება ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულების ანალიზით. კვლევის დაწყებამდე დარწმუნდით, რომ არგუმენტების მნიშვნელობების მითითებული დიაპაზონი მიეკუთვნება დაშვებულ მნიშვნელობებს. მაგალითად, F=1/x ფუნქციისთვის x=0 არგუმენტის მნიშვნელობა არასწორია. ან Y=tg(x) ფუნქციისთვის არგუმენტს არ შეიძლება ჰქონდეს x=90° მნიშვნელობა.

დარწმუნდით, რომ Y ფუნქცია დიფერენცირებადია მთელ მოცემულ ინტერვალში. იპოვეთ პირველი წარმოებული Y". აშკარაა, რომ ლოკალური მაქსიმუმის წერტილამდე მიღწევამდე ფუნქცია იზრდება, ხოლო მაქსიმუმზე გავლისას ფუნქცია მცირდება. პირველი წარმოებული თავისი ფიზიკური მნიშვნელობით ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს. ფუნქცია. სანამ ფუნქცია იზრდება, ამ პროცესის სიჩქარე არის დადებითი მნიშვნელობა. ლოკალური მაქსიმუმის გავლისას ფუნქცია იწყებს კლებას და ფუნქციის ცვლილების პროცესის სიჩქარე ხდება უარყოფითი. სიჩქარის გადასვლა ფუნქციის ცვლილება ნულის მეშვეობით ხდება ლოკალური მაქსიმუმის წერტილში.

მაგალითად, ფუნქციას Y \u003d -x² + x + 1 სეგმენტზე -1-დან 1-მდე აქვს უწყვეტი წარმოებული Y "\u003d -2x + 1. x \u003d 1/2-ზე წარმოებული არის ნული, და როდესაც ამ წერტილის გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს "+"-დან "-". ფუნქციის მეორე წარმოებული Y "=-2". ააგეთ Y=-x²+x+1 ფუნქციის წერტილი-პუნქტიანი გრაფიკი და შეამოწმეთ არის თუ არა წერტილი აბსცისის x=1/2 ლოკალური მაქსიმუმი რიცხვითი ღერძის მოცემულ სეგმენტზე.

განმარტება: x0 წერტილს ეწოდება ფუნქციის ლოკალური მაქსიმუმის (ან მინიმალური) წერტილი, თუ x0 წერტილის რომელიმე სამეზობლოში ფუნქცია იღებს უდიდეს (ან უმცირეს) მნიშვნელობას, ე.ი. ყველა х-სთვის x0 წერტილის რომელიმე სამეზობლოდან f(x) f(x0) (ან f(x) f(x0)) პირობა დაკმაყოფილებულია.

ლოკალური მაქსიმუმის ან მინიმალური წერტილები გაერთიანებულია საერთო სახელით - ფუნქციის ლოკალური კიდურების წერტილები.

გაითვალისწინეთ, რომ ლოკალური ექსტრემის წერტილებში ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ ან მინიმალურ მნიშვნელობას მხოლოდ ზოგიერთ ლოკალურ რეგიონში. არის შემთხვევები, როცა, уmaxуmin-ის მნიშვნელობის მიხედვით.

ფუნქციის ლოკალური ექსტრემის არსებობის აუცილებელი კრიტერიუმი

თეორემა . თუ უწყვეტ ფუნქციას y = f(x) აქვს ლოკალური უკიდურესი x0 წერტილში, მაშინ ამ მომენტში პირველი წარმოებული ან ნულია, ან არ არსებობს, ე.ი. ადგილობრივი ექსტრემუმი ხდება პირველი ტიპის კრიტიკულ წერტილებში.

ლოკალურ კიდურ წერტილებში ან ტანგენსი არის 0x ღერძის პარალელურად, ან არის ორი ტანგენსი (იხ. სურათი). გაითვალისწინეთ, რომ კრიტიკული წერტილები აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი პირობაა ადგილობრივი ექსტრემისთვის. ლოკალური ექსტრემუმი ხდება მხოლოდ პირველი ტიპის კრიტიკულ წერტილებში, მაგრამ ყველა კრიტიკულ წერტილს არ აქვს ადგილობრივი ექსტრემუმი.

მაგალითად: კუბურ პარაბოლას y = x3, აქვს კრიტიკული წერტილი x0=0, სადაც წარმოებული y/(0)=0, მაგრამ კრიტიკული წერტილი x0=0 არ არის უკიდურესი წერტილი, მაგრამ მასში არის დახრის წერტილი (იხ. ქვემოთ).

ფუნქციის ლოკალური ექსტრემის არსებობის საკმარისი კრიტერიუმი

თეორემა . თუ, როდესაც არგუმენტი გადის პირველი ტიპის კრიტიკულ წერტილში, მარცხნიდან მარჯვნივ, პირველი წარმოებული y / (x)

ცვლის ნიშანს „+“-დან „-ზე“, მაშინ უწყვეტ ფუნქციას y(x) აქვს ადგილობრივი მაქსიმუმი ამ კრიტიკულ წერტილში;

ცვლის ნიშანს „-“-დან „+“, შემდეგ უწყვეტ ფუნქციას y(x) აქვს ადგილობრივი მინიმალური ამ კრიტიკულ წერტილში

არ იცვლის ნიშანს, მაშინ ამ კრიტიკულ წერტილში არ არის ლოკალური ექსტრემი, არის დახრის წერტილი.

ადგილობრივი მაქსიმუმისთვის, მზარდი ფუნქციის ფართობი (y/0) იცვლება კლების ფუნქციის ფართობით (y/0). ლოკალური მინიმუმისთვის, კლებადი ფუნქციის არე (y/0) იცვლება მზარდი ფუნქციის ფართობით (y/0).

მაგალითი: გამოიკვლიეთ ფუნქცია y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 ერთფეროვნებისთვის, ექსტრემისთვის და შექმენით ფუნქციის გრაფიკი.

მოდით ვიპოვოთ პირველი სახის კრიტიკული წერტილები წარმოებულის (y/) განსაზღვრით და მისი ნულის ტოლობით: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

ჩვენ ვხსნით კვადრატულ ტრინომს დისკრიმინანტის გამოყენებით:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) რიცხვითი ღერძი კრიტიკული წერტილებით გავყოთ 3 რეგიონად და განვსაზღვროთ მათში წარმოებულის (y/) ნიშნები. ამ ნიშნებიდან გამომდინარე ვპოულობთ ფუნქციების ერთფეროვნების (ზრდას და კლებას) არეებს და ნიშნების შეცვლით ვადგენთ ლოკალური ექსტრემის (მაქსიმალური და მინიმალური) წერტილებს.

კვლევის შედეგები წარმოდგენილია ცხრილის სახით, საიდანაც შესაძლებელია შემდეგი დასკვნების გამოტანა:

• 1. y /(-10) 0 ინტერვალზე ფუნქცია მონოტონურად იზრდება (წარმოებული y ნიშანი შეფასდა ამ ინტერვალში აღებული საკონტროლო წერტილიდან x = -10);
• 2. (-5; -1) y /(-2) 0 ინტერვალზე ფუნქცია მონოტონურად მცირდება (y წარმოებულის ნიშანი შეფასდა ამ ინტერვალში აღებული x = -2 საკონტროლო წერტილიდან);
• 3. y /(0) 0 ინტერვალზე ფუნქცია მონოტონურად იზრდება (y წარმოებულის ნიშანი შეფასდა ამ ინტერვალში აღებული საკონტროლო წერტილიდან x = 0);
• 4. კრიტიკულ წერტილში x1k \u003d -5 გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს "+"-დან "-", ამიტომ ეს წერტილი არის ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. კრიტიკულ წერტილში x2k \u003d -1 გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს "-"-დან "+", ამიტომ ეს წერტილი არის ადგილობრივი მინიმალური წერტილი
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) ჩვენ ავაშენებთ გრაფიკს კვლევის შედეგების საფუძველზე, საკონტროლო წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობების დამატებითი გამოთვლებით:

ვაშენებთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას Oxy;

მაქსიმალური (-5; 16) და მინიმალური (-1; -16) ქულების კოორდინატების ჩვენება;

გრაფიკის დასაზუსტებლად, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობას საკონტროლო წერტილებში, ვირჩევთ მათ მარცხნივ და მარჯვნივ მაქსიმალური და მინიმალური წერტილებიდან და შუა ინტერვალის შიგნით, მაგალითად: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) და (0;-9) - გამოთვლილი საკონტროლო წერტილები, რომლებიც გამოსახულია გრაფიკის ასაგებად;

ჩვენ ვაჩვენებთ გრაფიკს მრუდის სახით მაქსიმალურ წერტილში ამობურცვით და მინიმალურ წერტილზე ქვევით და გათვლილ საკონტროლო წერტილებში გადის.