სანამ გადაწყვეტილების მიღებას დავიწყებთ არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები, განვიხილოთ რა არის რიცხვითი მიმდევრობა, რადგან არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევა.
რიცხვითი თანმიმდევრობა არის რიცხვითი ნაკრები, რომლის თითოეულ ელემენტს აქვს საკუთარი სერიული ნომერი. ამ ნაკრების ელემენტებს უწოდებენ მიმდევრობის წევრებს. მიმდევრობის ელემენტის რიგითი ნომერი მითითებულია ინდექსით:
მიმდევრობის პირველი ელემენტი;
მიმდევრობის მეხუთე ელემენტი;
- თანმიმდევრობის "nth" ელემენტი, ე.ი. ელემენტი "მდგომი რიგში" ნომერზე n.
არსებობს დამოკიდებულება მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობასა და მის რიგით რიცხვს შორის. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მიმდევრობა, როგორც ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის მიმდევრობის ელემენტის რიგითი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეიძლება ითქვას თანმიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია:
თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს სამი გზით:
1 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის გამოყენებით.ამ შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვაყენებთ მიმდევრობის თითოეული წევრის მნიშვნელობას.
მაგალითად, ვიღაცამ გადაწყვიტა გაეკეთებინა დროის პირადი მენეჯმენტი და, დასაწყისისთვის, გამოეთვალა რამდენ დროს ატარებს VKontakte-ზე კვირის განმავლობაში. დროის ცხრილში ჩაწერით, ის მიიღებს შვიდი ელემენტისგან შემდგარ თანმიმდევრობას:
ცხრილის პირველი სტრიქონი შეიცავს კვირის დღის რაოდენობას, მეორე - დროს წუთებში. ჩვენ ვხედავთ, რომ, ანუ ორშაბათს ვიღაცამ დახარჯა 125 წუთი VKontakte-ზე, ანუ ხუთშაბათს - 248 წუთი და, ანუ პარასკევს, მხოლოდ 15.
2 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს n-ე წევრის ფორმულით.
ამ შემთხვევაში, მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიცხვზე გამოიხატება პირდაპირ ფორმულის სახით.
მაგალითად, თუ, მაშინ
მოცემული რიცხვით მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის საპოვნელად, ელემენტის ნომერი ჩავანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულაში.
ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ, თუ გვჭირდება ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, თუ არგუმენტის მნიშვნელობა ცნობილია. ჩვენ ვცვლით არგუმენტის მნიშვნელობას ფუნქციის განტოლებაში:
თუ, მაგალითად, 
, მაშინ
კიდევ ერთხელ აღვნიშნავ, რომ თანმიმდევრობით, თვითნებური რიცხვითი ფუნქციისგან განსხვავებით, მხოლოდ ნატურალური რიცხვი შეიძლება იყოს არგუმენტი.
3 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს n რიცხვით მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობის დამოკიდებულებას წინა წევრების მნიშვნელობაზე. ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ მიმდევრობის წევრის რიცხვის ცოდნა, რათა ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა. ჩვენ უნდა მივუთითოთ მიმდევრობის პირველი წევრი ან პირველი რამდენიმე წევრი.
მაგალითად, განიხილეთ თანმიმდევრობა 
, 
ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მიმდევრობის წევრების მნიშვნელობები თანმიმდევრობითმესამედან დაწყებული:
ანუ, ყოველ ჯერზე, რათა ვიპოვოთ მიმდევრობის n-ე წევრის მნიშვნელობა, ვუბრუნდებით წინა ორს. თანმიმდევრობის ამ ხერხს ე.წ განმეორებადი, ლათინური სიტყვიდან განმეორებითი- დაბრუნდი.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი მიმდევრობის მარტივი სპეციალური შემთხვევა.
არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება რიცხვითი მიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი მეორიდან დაწყებული უდრის წინას, დამატებული ერთი და იგივე რიცხვით.
ნომერზე იწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნული.
If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} იზრდება.
მაგალითად, 2; 5; რვა; თერთმეტი;...
თუ , მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი წინაზე ნაკლებია და პროგრესია არის მცირდება.
მაგალითად, 2; - ერთი; -4; -7;...
თუ , მაშინ პროგრესიის ყველა წევრი ტოლია ერთი და იგივე რიცხვისა და პროგრესია არის სტაციონარული.
მაგალითად, 2;2;2;2;...
არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება:
მოდით შევხედოთ სურათს.
ჩვენ ამას ვხედავთ
, და ამავე დროს
ამ ორი ტოლობის დამატება მივიღებთ:
.
გაყავით განტოლების ორივე მხარე 2-ზე:
ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის ორი მეზობელი არითმეტიკული საშუალოს:
უფრო მეტიც, იმიტომ
, და ამავე დროს
, მაშინ
, და აქედან გამომდინარე
არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, რომელიც იწყება title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
წევრის ფორმულა.
ჩვენ ვხედავთ, რომ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:
და ბოლოს
Მივიღეთ n-ე ტერმინის ფორმულა.
ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გამოისახოს და. იცოდეთ პირველი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი რომელიმე წევრი.
არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი.
თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის დროს, უკიდურესებისგან თანაბრად დაშორებული ტერმინების ჯამები ერთმანეთის ტოლია:
განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესია n წევრით. მოდით ამ პროგრესიის n წევრის ჯამი იყოს ტოლი.
დაალაგეთ პროგრესიის ტერმინები ჯერ რიცხვების ზრდადი, შემდეგ კი კლების მიხედვით:
მოდით დავაწყვილოთ იგი:
თითოეულ ფრჩხილში ჯამი არის , წყვილების რაოდენობა არის n.
ჩვენ ვიღებთ:
Ისე, არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:
განიხილეთ არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების ამოხსნა.
1 . თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით: . დაამტკიცეთ, რომ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.
დავამტკიცოთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მეზობელ წევრს შორის ერთი და იგივე რიცხვის ტოლია.
მივიღეთ, რომ მიმდევრობის ორი მიმდებარე წევრის სხვაობა არ არის დამოკიდებული მათ რიცხვზე და არის მუდმივი. ამიტომ, განსაზღვრებით, ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.
2 . მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია -31; -27;...
ა) იპოვეთ პროგრესიის 31 წევრი.
ბ) დაადგინეთ, შედის თუ არა რიცხვი 41 ამ პროგრესიაში.
ა)ჩვენ ვხედავთ ამას;
მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი პროგრესირების n-ე წევრის ფორმულა.
Ზოგადად 
ჩვენს შემთხვევაში 
, Ამიტომაც 
თუ ყოველი ნატურალური რიცხვი ნ ემთხვევა რეალურ რიცხვს a n , მაშინ ამბობენ, რომ მოცემული რიცხვების თანმიმდევრობა :
ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . , a n , . . . .
ასე რომ, რიცხვითი მიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია.
ნომერი ა 1 დაურეკა მიმდევრობის პირველი წევრი , ნომერი ა 2 — მიმდევრობის მეორე წევრი , ნომერი ა 3 — მესამე და ა.შ. ნომერი a n დაურეკა მიმდევრობის მე-n წევრი და ნატურალური რიცხვი ნ — მისი ნომერი .
ორი მეზობელი წევრისგან a n და a n +1 წევრის თანმიმდევრობა a n +1 დაურეკა შემდგომი ( მიმართ a n ), ა a n — წინა ( მიმართ a n +1 ).
მიმდევრობის დასაზუსტებლად, თქვენ უნდა მიუთითოთ მეთოდი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ მიმდევრობის წევრი ნებისმიერი რიცხვით.
ხშირად თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე ტერმინის ფორმულები , ანუ ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მიმდევრობის წევრი მისი რიცხვით.
Მაგალითად,
დადებითი კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს მოცემული ფორმულით
a n= 2n- 1,
და მონაცვლეობის თანმიმდევრობა 1 და -1 - ფორმულა
ბნ = (-1)ნ +1 . ◄
თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს განმეორებითი ფორმულა, ანუ ფორმულა, რომელიც გამოხატავს მიმდევრობის რომელიმე წევრს, დაწყებული ზოგიერთით, წინა (ერთი ან მეტი) წევრის გავლით.
Მაგალითად,
თუ ა 1 = 1 , ა a n +1 = a n + 5
ა 1 = 1,
ა 2 = ა 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ა 3 = ა 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ა 4 = ა 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ა 5 = ა 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Თუ a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , მაშინ რიცხვითი მიმდევრობის პირველი შვიდი წევრი დაყენებულია შემდეგნაირად:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
ა 6 = ა 4 + ა 5 = 3 + 5 = 8,
ა 7 = ა 5 + ა 6 = 5 + 8 = 13. ◄
თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს საბოლოო და გაუთავებელი .
თანმიმდევრობა ე.წ საბოლოო თუ მას ჰყავს წევრების სასრული რაოდენობა. თანმიმდევრობა ე.წ გაუთავებელი თუ მას უსასრულოდ ბევრი წევრი ჰყავს.
Მაგალითად,
ორნიშნა ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
საბოლოო.
ძირითადი რიცხვების თანმიმდევრობა:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
გაუთავებელი. ◄
თანმიმდევრობა ე.წ იზრდება , თუ მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული წინაზე მეტია.
თანმიმდევრობა ე.წ მცირდება , თუ მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული წინაზე ნაკლებია.
Მაგალითად,
2, 4, 6, 8, . . . , 2ნ, . . . არის აღმავალი მიმდევრობა;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ნ, . . . არის დაღმავალი მიმდევრობა. ◄
თანმიმდევრობას, რომლის ელემენტები არ მცირდება რიცხვის ზრდასთან ერთად, ან, პირიქით, არ იზრდება, ეწოდება ერთფეროვანი თანმიმდევრობა .
მონოტონური მიმდევრობები, კერძოდ, არის მზარდი და კლებადი მიმდევრობები.
არითმეტიკული პროგრესია
არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, რომელსაც ემატება იგივე რიცხვი.
ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . , a n, . . .
არის არითმეტიკული პროგრესია, თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის ნ პირობა დაკმაყოფილებულია:
a n +1 = a n + დ,
სადაც დ - რაღაც ნომერი.
ამრიგად, სხვაობა მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის შემდეგ და წინა წევრებს შორის ყოველთვის მუდმივია:
a 2 - ა 1 = a 3 - ა 2 = . . . = a n +1 - a n = დ.
ნომერი დ დაურეკა არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის დასაყენებლად საკმარისია მიუთითოთ მისი პირველი წევრი და განსხვავება.
Მაგალითად,
თუ ა 1 = 3, დ = 4 , მაშინ მიმდევრობის პირველი ხუთი წევრი გვხვდება შემდეგნაირად:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + დ = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + დ= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + დ= 11 + 4 = 15,
ა 5 = ა 4 + დ= 15 + 4 = 19. ◄
პირველი წევრის არითმეტიკული პროგრესიისთვის ა 1 და განსხვავება დ მისი ნ
a n = a 1 + (ნ- 1)დ.
Მაგალითად,
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის ოცდამეათე წევრი
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, დ = 3,
30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = a 1 + (ნ- 2)დ,
a n= a 1 + (ნ- 1)დ,
a n +1 = ა 1 + და,
მაშინ აშკარად
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის წინა და მომდევნო წევრების საშუალო არითმეტიკულს.
რიცხვები a, b და c არიან ზოგიერთი არითმეტიკული პროგრესიის თანმიმდევრული წევრები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი უდრის დანარჩენი ორის საშუალო არითმეტიკულს.
Მაგალითად,
a n = 2ნ- 7 , არის არითმეტიკული პროგრესია.
მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული განცხადება. Ჩვენ გვაქვს:
a n = 2ნ- 7,
n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2ნ- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ნ- 5.
აქედან გამომდინარე,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2ნ- 5 + 2ნ- 9
| = 2ნ- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Გაითვალისწინე ნ - არითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი შეიძლება მოიძებნოს არა მხოლოდ მეშვეობით ა 1 , არამედ ნებისმიერი წინა კ
a n = კ + (ნ- კ)დ.
Მაგალითად,
ამისთვის ა 5 შეიძლება დაიწეროს
a 5 = a 1 + 4დ,
a 5 = a 2 + 3დ,
a 5 = a 3 + 2დ,
a 5 = a 4 + დ. ◄
a n = ნ-კ + კდ,
a n = a n+k - კდ,
მაშინ აშკარად
| a n=
| ა ნ-კ
+ ა n+k
|
| 2
|
არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის ამ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამის ნახევარს მისგან თანაბრად დაშორებული.
გარდა ამისა, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიისთვის, თანასწორობა მართალია:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Მაგალითად,
არითმეტიკული პროგრესიით
1) ა 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ა 9 + ა 11 )/2;
2) 28 = ა 10 = a 3 + 7დ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) ა 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, როგორც
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,
პირველი ნ არითმეტიკული პროგრესიის წევრები უდრის უკიდურესი წევრთა ჯამის ნახევრის ნამრავლს წევრთა რაოდენობის მიხედვით:
აქედან, კერძოდ, გამომდინარეობს, რომ თუ საჭიროა ვადების შეჯამება
კ, კ +1 , . . . , a n,
მაშინ წინა ფორმულა ინარჩუნებს თავის სტრუქტურას:
Მაგალითად,
არითმეტიკული პროგრესიით 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
ს 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ს 10 - ს 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
თუ მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია, მაშინ რაოდენობები ა 1 , a n, დ, ნდას ნ დაკავშირებულია ორი ფორმულით:
მაშასადამე, თუ მოცემულია ამ რაოდენობის სამის მნიშვნელობები, მაშინ დანარჩენი ორი სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები განისაზღვრება ამ ფორმულებიდან, რომლებიც გაერთიანებულია ორი განტოლების სისტემაში ორი უცნობით.
არითმეტიკული პროგრესია არის მონოტონური თანმიმდევრობა. სადაც:
- თუ დ > 0 , მაშინ ის იზრდება;
- თუ დ < 0 , მაშინ ის მცირდება;
- თუ დ = 0 , მაშინ თანმიმდევრობა სტაციონარული იქნება.
გეომეტრიული პროგრესია
გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.
ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 , . . . , ბ ნ, . . .
არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის ნ პირობა დაკმაყოფილებულია:
ბ ნ +1 = ბ ნ · ქ,
სადაც ქ ≠ 0 - რაღაც ნომერი.
ამრიგად, ამ გეომეტრიული პროგრესიის შემდეგი წევრის თანაფარდობა წინასთან არის მუდმივი რიცხვი:
ბ 2 / ბ 1 = ბ 3 / ბ 2 = . . . = ბ ნ +1 / ბ ნ = ქ.
ნომერი ქ დაურეკა გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.
გეომეტრიული პროგრესიის დასაყენებლად საკმარისია მიუთითოთ მისი პირველი წევრი და მნიშვნელი.
Მაგალითად,
თუ ბ 1 = 1, ქ = -3 , მაშინ მიმდევრობის პირველი ხუთი წევრი გვხვდება შემდეგნაირად:
ბ 1 = 1,
ბ 2 = ბ 1 · ქ = 1 · (-3) = -3,
ბ 3 = ბ 2 · ქ= -3 · (-3) = 9,
ბ 4 = ბ 3 · ქ= 9 · (-3) = -27,
ბ 5 = ბ 4 · ქ= -27 · (-3) = 81. ◄
ბ 1 და მნიშვნელი ქ მისი ნ - ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:
ბ ნ = ბ 1 · q n -1 .
Მაგალითად,
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეშვიდე წევრი 1, 2, 4, . . .
ბ 1 = 1, ქ = 2,
ბ 7 = ბ 1 · ქ 6 = 1 2 6 = 64. ◄
ბნ-1 = ბ 1 · q n -2 ,
ბ ნ = ბ 1 · q n -1 ,
ბ ნ +1 = ბ 1 · q n,
მაშინ აშკარად
ბ ნ 2 = ბ ნ -1 · ბ ნ +1 ,
გეომეტრიული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა და მომდევნო წევრების გეომეტრიულ საშუალოს (პროპორციულს).
ვინაიდან საპირისპირო ასევე მართალია, შემდეგი მტკიცება მოქმედებს:
რიცხვები a, b და c არიან გარკვეული გეომეტრიული პროგრესიის თანმიმდევრული წევრები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორის ნამრავლს, ანუ რიცხვებიდან ერთი არის დანარჩენი ორის გეომეტრიული საშუალო.
Მაგალითად,
დავამტკიცოთ, რომ ფორმულით მოცემული თანმიმდევრობა ბ ნ= -3 2 ნ , არის გეომეტრიული პროგრესია. მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული განცხადება. Ჩვენ გვაქვს:
ბ ნ= -3 2 ნ,
ბ ნ -1 = -3 2 ნ -1 ,
ბ ნ +1 = -3 2 ნ +1 .
აქედან გამომდინარე,
ბ ნ 2 = (-3 2 ნ) 2 = (-3 2 ნ -1 ) (-3 2 ნ +1 ) = ბ ნ -1 · ბ ნ +1 ,
რომელიც ამტკიცებს საჭირო მტკიცებას. ◄
Გაითვალისწინე ნ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს არა მხოლოდ მეშვეობით ბ 1 , არამედ ნებისმიერი წინა ტერმინი ბ კ , რისთვისაც საკმარისია ფორმულის გამოყენება
ბ ნ = ბ კ · q n - კ.
Მაგალითად,
ამისთვის ბ 5 შეიძლება დაიწეროს
ბ 5 = ბ 1 · ქ 4 ,
ბ 5 = ბ 2 · q 3,
ბ 5 = ბ 3 · q2,
ბ 5 = ბ 4 · ქ. ◄
ბ ნ = ბ კ · q n - კ,
ბ ნ = ბ ნ - კ · q k,
მაშინ აშკარად
ბ ნ 2 = ბ ნ - კ· ბ ნ + კ
გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის კვადრატი, მეორიდან დაწყებული, უდრის მისგან თანაბარ მანძილზე დაშორებული ამ პროგრესიის წევრების ნამრავლს.
გარდა ამისა, ნებისმიერი გეომეტრიული პროგრესიისთვის, თანასწორობა მართალია:
ბ მ· ბ ნ= ბ კ· ბ ლ,
მ+ ნ= კ+ ლ.
Მაგალითად,
ექსპონენტურად
1) ბ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ბ 5 · ბ 7 ;
2) 1024 = ბ 11 = ბ 6 · ქ 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) ბ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ბ 4 · ბ 8 ;
4) ბ 2 · ბ 7 = ბ 4 · ბ 5 , როგორც
ბ 2 · ბ 7 = 2 · 64 = 128,
ბ 4 · ბ 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + . . . + ბ ნ
პირველი ნ გეომეტრიული პროგრესიის წევრები მნიშვნელით ქ ≠ 0 გამოითვლება ფორმულით:
Და როცა ქ = 1 - ფორმულის მიხედვით
S n= ნ.ბ. 1
გაითვალისწინეთ, რომ თუ დაგვჭირდება ტერმინების შეჯამება
ბ კ, ბ კ +1 , . . . , ბ ნ,
შემდეგ გამოიყენება ფორმულა:
| S n- ს კ -1 = ბ კ + ბ კ +1 + . . . + ბ ნ = ბ კ · | 1 - q n -
კ +1
| . |
| 1 - ქ
|
Მაგალითად,
ექსპონენტურად 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
ს 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = ს 10 - ს 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
თუ მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია, მაშინ რაოდენობები ბ 1 , ბ ნ, ქ, ნდა S n დაკავშირებულია ორი ფორმულით:
მაშასადამე, თუ მოცემული სიდიდეებიდან რომელიმე სამის მნიშვნელობებია მოცემული, მაშინ დანარჩენი ორი სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები განისაზღვრება ამ ფორმულებიდან, რომლებიც გაერთიანებულია ორი განტოლების სისტემაში ორი უცნობით.
პირველი ტერმინით გეომეტრიული პროგრესიისთვის ბ 1 და მნიშვნელი ქ ხდება შემდეგი ერთფეროვნების თვისებები :
- პროგრესი იზრდება, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:
ბ 1 > 0 და ქ> 1;
ბ 1 < 0 და 0 < ქ< 1;
- პროგრესირება მცირდება, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:
ბ 1 > 0 და 0 < ქ< 1;
ბ 1 < 0 და ქ> 1.
Თუ ქ< 0 , მაშინ გეომეტრიული პროგრესია არის ნიშნის მონაცვლეობა: მის კენტ რიცხვიან წევრებს აქვთ იგივე ნიშანი, რაც მის პირველ წევრს, ხოლო ლუწი რიცხვებს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. ნათელია, რომ ალტერნატიული გეომეტრიული პროგრესია არ არის მონოტონური.
პირველი პროდუქტი ნ გეომეტრიული პროგრესიის პირობები შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:
P n= ბ 1 · ბ 2 · ბ 3 · . . . · ბ ნ = (ბ 1 · ბ ნ) ნ / 2 .
Მაგალითად,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება უსასრულო გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლის მნიშვნელის მოდული ნაკლებია 1 , ე.ი
|ქ| < 1 .
გაითვალისწინეთ, რომ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია შეიძლება არ იყოს კლებადი მიმდევრობა. ეს უხდება საქმეს
1 < ქ< 0 .
ასეთი მნიშვნელით, თანმიმდევრობა ნიშან-ალტერნატიულია. Მაგალითად,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი დაასახელეთ რიცხვი, რომელსაც პირველის ჯამი ნ პროგრესირების პირობები რიცხვის შეუზღუდავი ზრდით ნ . ეს რიცხვი ყოველთვის სასრულია და გამოიხატება ფორმულით
| ს= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + . . . = | ბ 1
| . |
| 1 - ქ
|
Მაგალითად,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიების კავშირი
არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები მჭიდრო კავშირშია. განვიხილოთ მხოლოდ ორი მაგალითი.
ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . დ , მაშინ
ბ ა 1 , ბ ა 2 , ბ ა 3 , . . . ბ დ .
Მაგალითად,
1, 3, 5, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით 2 და
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით 7 2 . ◄
ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 , . . . არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით ქ , მაშინ
შესვლა a b 1, შესვლა a b 2, log a b 3, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით ჟურნალი აქ .
Მაგალითად,
2, 12, 72, . . . არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით 6 და
ლგ 2, ლგ 12, ლგ 72, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით ლგ 6 . ◄
რა არის ფორმულის არსი?
ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერი მისი ნომრით" n" .
რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ პირველი ტერმინი a 1და პროგრესირების განსხვავება დკარგად, ამ პარამეტრების გარეშე, თქვენ არ შეგიძლიათ ჩამოწეროთ კონკრეტული პროგრესი.
ამ ფორმულის დამახსოვრება (ან მოტყუება) საკმარისი არ არის. საჭიროა მისი არსის ათვისება და ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა პრობლემაში. დიახ, და არ დაგავიწყდეთ საჭირო დროს, დიახ ...) როგორ არ დაივიწყო- Მე არ ვიცი. Და აქ როგორ დაიმახსოვროთსაჭიროების შემთხვევაში, მინიშნებას მოგცემთ. მათთვის, ვინც ბოლომდე ითვისებს გაკვეთილს.)
მაშ ასე, მოდით გაუმკლავდეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულას.
რა არის ფორმულა ზოგადად - ჩვენ წარმოვიდგენთ.) რა არის არითმეტიკული პროგრესია, წევრი რიცხვი, პროგრესიის სხვაობა - ნათლად არის ნათქვამი წინა გაკვეთილზე. გადახედე თუ არ გაქვს წაკითხული. იქ ყველაფერი მარტივია. რჩება იმის გარკვევა, თუ რა მე-n წევრი.
ზოგადად პროგრესია შეიძლება დაიწეროს რიცხვების სერიით:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- აღნიშნავს არითმეტიკული პროგრესიის პირველ წევრს, a 3- მესამე წევრი a 4- მეოთხე და ასე შემდეგ. თუ ჩვენ გვაინტერესებს მეხუთე ვადა, ვთქვათ, ვმუშაობთ a 5, თუ ას მეოცე - დან 120.
როგორ განვსაზღვროთ ზოგადად ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის წევრი, ს ნებისმიერინომერი? Ძალიან მარტივი! Ამგვარად:
a n
სწორედ ეს არის არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრი. n ასოს ქვეშ ყველა წევრის რიცხვი იმალება ერთდროულად: 1, 2, 3, 4 და ა.შ.
და რას გვაძლევს ასეთი ჩანაწერი? უბრალოდ იფიქრეთ, ნომრის ნაცვლად, მათ დაწერეს წერილი ...
ეს აღნიშვნა გვაძლევს მძლავრ ინსტრუმენტს არითმეტიკული პროგრესიებით მუშაობისთვის. ნოტაციის გამოყენებით a n, ჩვენ შეგვიძლია სწრაფად ვიპოვოთ ნებისმიერიწევრი ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესია. და მთელი რიგი ამოცანები გადასაჭრელად პროგრესირებაში. შემდგომში ნახავთ.
არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულაში:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი;
ნ- წევრის ნომერი.
ფორმულა აკავშირებს ნებისმიერი პროგრესირების ძირითად პარამეტრებს: a n ; a 1; დდა ნ. ამ პარამეტრების ირგვლივ, ყველა თავსატეხი პროგრესირებს მოძრაობს.
n-ე ტერმინის ფორმულა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პროგრესიის დასაწერად. მაგალითად, პრობლემაში შეიძლება ითქვას, რომ პროგრესი მოცემულია პირობით:
a n = 5 + (n-1) 2.
ასეთმა პრობლემამ შეიძლება დააბნიოს კიდეც... არ არსებობს სერია, განსხვავება... მაგრამ, მდგომარეობის ფორმულასთან შედარება, ადვილია იმის გარკვევა, რომ ამ პროგრესირებაში a 1 \u003d 5 და d \u003d 2.
და ეს შეიძლება იყოს კიდევ უფრო გაბრაზებული!) თუ ავიღებთ იგივე პირობას: a n = 5 + (n-1) 2,დიახ, გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი? ჩვენ ვიღებთ ახალ ფორმულას:
an = 3 + 2n.
Ეს არის მხოლოდ არა ზოგადი, არამედ კონკრეტული პროგრესისთვის. სწორედ აქ დევს ხაფანგი. ზოგი ფიქრობს, რომ პირველი ტერმინი არის სამი. მიუხედავად იმისა, რომ სინამდვილეში პირველი წევრი არის ხუთი... ცოტა დაბლა, ჩვენ ვიმუშავებთ ასეთი შეცვლილი ფორმულით.
პროგრესირების ამოცანებში არის კიდევ ერთი აღნიშვნა - a n+1. ეს არის, თქვენ წარმოიდგინეთ, პროგრესიის "n პლუს პირველი" ტერმინი. მისი მნიშვნელობა მარტივი და უვნებელია.) ეს არის პროგრესიის წევრი, რომლის რიცხვი აღემატება n რიცხვს ერთით. მაგალითად, თუ რაიმე პრობლემაში ვიღებთ a nმერე მეხუთე ვადა a n+1მეექვსე წევრი იქნება. და ა.შ.
ყველაზე ხშირად აღნიშვნა a n+1ხდება რეკურსიულ ფორმულებში. ნუ შეგეშინდებათ ამ საშინელი სიტყვის!) ეს მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინის გამოხატვის საშუალებაა. წინას მეშვეობით.დავუშვათ, რომ ამ ფორმით მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია განმეორებითი ფორმულის გამოყენებით:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
მეოთხე - მესამემდე, მეხუთე - მეოთხემდე და ა.შ. და როგორ დავთვალოთ დაუყოვნებლივ, ვთქვათ მეოცე ტერმინი, 20? მაგრამ არავითარ შემთხვევაში!) მიუხედავად იმისა, რომ მე-19 ვადა არ არის ცნობილი, მე-20-ის დათვლა შეუძლებელია. ეს არის ფუნდამენტური განსხვავება რეკურსიულ ფორმულასა და n-ე ტერმინის ფორმულას შორის. რეკურსიული მუშაობს მხოლოდ მეშვეობით წინავადა, ხოლო n-ე ტერმინის ფორმულა - მეშვეობით პირველიდა იძლევა საშუალებას გასწვრივიპოვნეთ რომელიმე წევრი მისი ნომრით. არ ვითვლით რიცხვების მთელ სერიას თანმიმდევრობით.
არითმეტიკული პროგრესიის დროს, რეკურსიული ფორმულა ადვილად გადაიქცევა რეგულარულად. დათვალეთ თანმიმდევრული წყვილი, გამოთვალეთ განსხვავება დ,საჭიროების შემთხვევაში იპოვნეთ პირველი ტერმინი a 1დაწერეთ ფორმულა ჩვეულებრივი ფორმით და იმუშავეთ. GIA– ში ასეთი ამოცანები ხშირად გვხვდება.
არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის გამოყენება.
პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ფორმულის პირდაპირ გამოყენებას. წინა გაკვეთილის ბოლოს იყო პრობლემა:
მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.
ეს პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს ყოველგვარი ფორმულების გარეშე, უბრალოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. დაამატეთ, დიახ დაამატეთ ... ერთი ან ორი საათი.)
და ფორმულის მიხედვით, გამოსავალს წუთზე ნაკლები დასჭირდება. შეგიძლიათ დრო.) ჩვენ ვწყვეტთ.
პირობები იძლევა ყველა მონაცემს ფორმულის გამოყენებისთვის: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.გასარკვევია რა ნ.Არაა პრობლემა! უნდა ვიპოვოთ 121. აქ ჩვენ ვწერთ:
Გთხოვთ მიაქციოთ ყურადღება! ინდექსის ნაცვლად ნგამოჩნდა კონკრეტული რიცხვი: 121. რაც სავსებით ლოგიკურია.) ჩვენ გვაინტერესებს არითმეტიკული პროგრესიის წევრი. ნომერი ას ოცდაერთი.ეს იქნება ჩვენი ნ.ეს არის ეს მნიშვნელობა ნ= 121 ჩვენ ჩავანაცვლებთ შემდგომ ფორმულაში, ფრჩხილებში. ჩაანაცვლეთ ყველა რიცხვი ფორმულაში და გამოთვალეთ:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
სულ ეს არის. ისევე სწრაფად შეიძლება იპოვო ხუთას მეათე წევრი და ათას მესამე, ნებისმიერი. ამის ნაცვლად ჩვენ ვაყენებთ ნსასურველი რიცხვი ასოს ინდექსში " ა"და ფრჩხილებში და განვიხილავთ.
ნება მომეცით შეგახსენოთ არსი: ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის ვადა მისი ნომრით" n" .
მოდით, პრობლემა უფრო ჭკვიანურად მოვაგვაროთ. ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პრობლემა:
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი (a n), თუ a 17 =-2; d=-0.5.
თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, მე შემოგთავაზებთ პირველ ნაბიჯს. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!Დიახ დიახ. ჩაწერეთ ხელით, პირდაპირ თქვენს ბლოკნოტში:
| a n = a 1 + (n-1)d |
ახლა კი, ფორმულის ასოებს რომ ვუყურებთ, ვხვდებით, რა მონაცემები გვაქვს და რა აკლია? ხელმისაწვდომია d=-0.5,არის მეჩვიდმეტე წევრი... ყველაფერი? თუ ფიქრობთ, რომ ეს ყველაფერია, მაშინ პრობლემას ვერ გადაჭრით, დიახ...
ნომერიც გვაქვს ნ! მდგომარეობაში a 17 =-2დამალული ორი ვარიანტი.ეს არის როგორც მეჩვიდმეტე წევრის მნიშვნელობა (-2) და მისი რიცხვი (17). იმათ. n=17.ეს „პატარა“ ხშირად სრიალდება თავში და მის გარეშე, („პატარა ნივთის“ გარეშე, არა თავის!) პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. მიუხედავად იმისა, რომ ... და ასევე თავის გარეშე.)
ახლა ჩვენ შეგვიძლია სულელურად ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ფორმულაში:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Კი, a 17ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის -2. კარგი, მოდი ჩავდოთ:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
ეს, არსებითად, არის ყველაფერი. რჩება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრის გამოხატვა ფორმულიდან და გამოთვლა. თქვენ მიიღებთ პასუხს: a 1 = 6.
ასეთი ტექნიკა - ფორმულის დაწერა და უბრალოდ ცნობილი მონაცემების ჩანაცვლება - ბევრს ეხმარება მარტივ ამოცანებში. რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ ცვლადის გამოხატვა ფორმულიდან, მაგრამ რა უნდა გააკეთოთ!? ამ უნარის გარეშე მათემატიკის შესწავლა საერთოდ არ შეიძლება ...
კიდევ ერთი პოპულარული პრობლემა:
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა (a n), თუ a 1 =2; a 15 = 12.
Რას ვაკეთებთ? გაგიკვირდებათ, ჩვენ ვწერთ ფორმულას!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
განვიხილოთ ის, რაც ჩვენ ვიცით: a 1 =2; a 15 =12; და (განსაკუთრებული მომენტი!) n=15. თავისუფლად შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ ფორმულაში:
12=2 + (15-1)დ
მოდით გავაკეთოთ არითმეტიკა.)
12=2 + 14დ
დ=10/14 = 5/7
ეს არის სწორი პასუხი.
ასე რომ, ამოცანები a n, a 1და დგადაწყვიტა. რჩება ვისწავლოთ როგორ მოვძებნოთ ნომერი:
რიცხვი 99 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 =12; d=3. იპოვეთ ამ წევრის ნომერი.
ჩვენ ვცვლით ცნობილ რაოდენობებს n-ე წევრის ფორმულაში:
a n = 12 + (n-1) 3
ერთი შეხედვით, აქ არის ორი უცნობი რაოდენობა: a n და n.მაგრამ a nარის პროგრესის ზოგიერთი წევრი რიცხვით ნ... და პროგრესის ეს წევრი ჩვენ ვიცით! ეს არის 99. ჩვენ არ ვიცით მისი ნომერი. n,ასე რომ, ეს რიცხვიც უნდა მოიძებნოს. ჩაანაცვლეთ პროგრესირების ტერმინი 99 ფორმულაში:
99 = 12 + (n-1) 3
გამოვხატავთ ფორმულიდან ნ, ჩვენ ვფიქრობთ. ვიღებთ პასუხს: n=30.
ახლა კი პრობლემა იმავე თემაზე, მაგრამ უფრო კრეატიული):
დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 117 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
მოდი ისევ დავწეროთ ფორმულა. რა, პარამეტრები არ არის? ჰმ... რატომ გვჭირდება თვალები?) ვხედავთ თუ არა პროგრესის პირველ წევრს? Ჩვენ ვხედავთ. ეს არის -3.6. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ: a 1 \u003d -3.6.განსხვავება დშეიძლება დადგინდეს სერიიდან? ადვილია, თუ იცით, რა განსხვავებაა არითმეტიკული პროგრესიის შორის:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
დიახ, ჩვენ გავაკეთეთ უმარტივესი რამ. რჩება უცნობ რიცხვთან გამკლავება ნდა გაუგებარი რიცხვი 117. წინა პრობლემაში მაინც იყო ცნობილი, რომ სწორედ პროგრესიის ტერმინი იყო მოცემული. მაგრამ აქ ჩვენ არც კი ვიცით, რომ ... როგორ ვიყოთ!? აბა, როგორ ვიყოთ, როგორ ვიყოთ... ჩართეთ თქვენი შემოქმედებითი შესაძლებლობები!)
ჩვენ დავუშვათრომ 117 ბოლოს და ბოლოს ჩვენი პროგრესიის წევრია. უცნობი ნომრით ნ. და, ისევე როგორც წინა პრობლემაში, ვცადოთ ამ ნომრის პოვნა. იმათ. ჩვენ ვწერთ ფორმულას (დიახ-დიახ!)) და ვცვლით ჩვენს ნომრებს:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
ისევ გამოვხატავთ ფორმულიდანნ, ვითვლით და ვიღებთ:
უი! ნომერი აღმოჩნდა წილადი!ასთერთნახევარი. და წილადი რიცხვები პროგრესირებაში შეუძლებელია იყოს.რა დასკვნას ვაკეთებთ? დიახ! ნომერი 117 არ არისჩვენი პროგრესის წევრი. ის არის სადღაც 101-ე და 102-ე წევრებს შორის. თუ რიცხვი ბუნებრივი აღმოჩნდა, ე.ი. დადებითი მთელი რიცხვი, მაშინ რიცხვი იქნება პროგრესიის წევრი ნაპოვნი რიცხვით. და ჩვენს შემთხვევაში, პრობლემის პასუხი იქნება: არა.
დავალება GIA-ს რეალურ ვერსიაზე დაფუძნებული:
არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:
a n \u003d -4 + 6.8n
იპოვეთ პროგრესიის პირველი და მეათე წევრი.
აქ პროგრესი უჩვეულო გზით არის დაყენებული. რაღაცნაირი ფორმულა... ეს ხდება.) თუმცა ეს ფორმულა (როგორც ზემოთ დავწერე) - ასევე არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!ის ასევე საშუალებას აძლევს იპოვნეთ პროგრესიის რომელიმე წევრი მისი რიცხვით.
ჩვენ ვეძებთ პირველ წევრს. ვინც ფიქრობს. რომ პირველი ტერმინი არის მინუს ოთხი, სასიკვდილოდ ცდება!) რადგან პრობლემაში ფორმულა შეცვლილია. მასში არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი დამალული.არაფერი, ჩვენ ახლა ვიპოვით.)
ისევე, როგორც წინა ამოცანებში, ჩვენ ვანაცვლებთ n=1ამ ფორმულაში:
a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
Აქ! პირველი წევრი არის 2.8 და არა -4!
ანალოგიურად, ჩვენ ვეძებთ მეათე ტერმინს:
a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
სულ ეს არის.
ახლა კი მათთვის, ვინც წაიკითხა ეს სტრიქონები, დაპირებული ბონუსი.)
დავუშვათ, GIA-ს ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის რთულ საბრძოლო ვითარებაში დაგავიწყდათ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის სასარგებლო ფორმულა. რაღაც მახსენდება, მაგრამ რატომღაც გაურკვეველია... თუ არა ნიქ, ან n+1, ან n-1...Როგორ უნდა იყოს!?
დამშვიდდი! ეს ფორმულა ადვილად გამოსაყვანია. არ არის ძალიან მკაცრი, მაგრამ აუცილებლად საკმარისია ნდობისთვის და სწორი გადაწყვეტილების მისაღებად!) დასკვნისთვის საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობის გახსენება და დროის ორიოდე წუთი. თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ სურათი. სიცხადისთვის.
ვხატავთ რიცხვით ღერძს და ვნიშნავთ მასზე პირველს. მეორე, მესამე და ა.შ. წევრები. და გაითვალისწინეთ განსხვავება დწევრებს შორის. Ამგვარად:
ვუყურებთ სურათს და ვფიქრობთ: რის ტოლია მეორე წევრი? მეორე ერთი დ:
ა 2 =a 1 + 1 დ
რა არის მესამე ვადა? Მესამევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს ორი დ.
ა 3 =a 1 + 2 დ
გესმის? მე ტყუილად არ ვსვამ ზოგიერთ სიტყვებს თამამად. კარგი, კიდევ ერთი ნაბიჯი.)
რა არის მეოთხე ტერმინი? მეოთხევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს სამი დ.
ა 4 =a 1 + 3 დ
დროა გავაცნობიეროთ, რომ ხარვეზების რაოდენობა, ე.ი. დ, ყოველთვის ერთით ნაკლები იმ წევრის რაოდენობაზე, რომელსაც ეძებთ ნ. ანუ რიცხვამდე n, ხარვეზების რაოდენობანება n-1.ასე რომ, ფორმულა იქნება (არჩევნები არ არის!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
ზოგადად, ვიზუალური სურათები ძალიან გვეხმარება მათემატიკაში მრავალი პრობლემის გადაჭრაში. ნუ უგულებელყოფთ სურათებს. მაგრამ თუ ძნელია სურათის დახატვა, მაშინ ... მხოლოდ ფორმულა!) გარდა ამისა, n-ე ტერმინის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ დაუკავშიროთ მათემატიკის მთელი მძლავრი არსენალი ამოხსნას - განტოლებები, უტოლობა, სისტემები და ა.შ. სურათს განტოლებაში ვერ ჩასვამ...
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად.
გასათბობად:
1. არითმეტიკული პროგრესიაში (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. იპოვეთ 3.
მინიშნება: სურათის მიხედვით ამოცანა წყდება 20 წამში... ფორმულის მიხედვით უფრო რთული გამოდის. მაგრამ ფორმულის დაუფლებისთვის ის უფრო გამოდგება.) 555-ე ნაწილში ეს პრობლემა მოგვარებულია როგორც სურათით, ასევე ფორმულით. Იგრძენი განსხვავება!)
და ეს აღარ არის დათბობა.)
2. არითმეტიკული პროგრესიით (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. იპოვე 3.
რა, უხალისობა ნახატის დახატვაზე?) მაინც! ფორმულაში ჯობია, კი...
3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ ამ პროგრესიის ას ოცდამეხუთე წევრი.
ამ ამოცანაში პროგრესი მოცემულია განმეორებითი გზით. ოღონდ ას ოცდამეხუთე ტერმინამდე დათვლა... ყველას არ შეუძლია ასეთი სიკეთის გაკეთება.) მაგრამ n-ე ტერმინის ფორმულა ყველას ძალაშია!
4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი წევრის რიცხვი.
5. მე-4 დავალების პირობის მიხედვით იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი და უდიდესი უარყოფითი წევრების ჯამი.
6. მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე და მეთორმეტე წევრთა ნამრავლი არის -2,5, ხოლო მესამე და მეთერთმეტე წევრთა ჯამი არის ნული. იპოვნეთ 14.
არ არის უმარტივესი ამოცანა, დიახ ...) აქ მეთოდი "თითებზე" არ იმუშავებს. თქვენ უნდა დაწეროთ ფორმულები და ამოხსნათ განტოლებები.
პასუხები (არეულად):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
მოხდა? Კარგია!)
ყველაფერი არ გამოდის? Ხდება ხოლმე. სხვათა შორის, ბოლო ამოცანაში არის ერთი დახვეწილი წერტილი. საჭიროა ყურადღება პრობლემის კითხვისას. და ლოგიკა.
ყველა ამ პრობლემის გადაწყვეტა დეტალურად არის განხილული 555-ე განყოფილებაში. მეოთხე ფენტეზის ელემენტი და მეექვსესთვის დახვეწილი მომენტი და ზოგადი მიდგომები ნებისმიერი ამოცანის გადაჭრისთვის მე-n ტერმინის ფორმულისთვის - ყველაფერი დახატულია. გირჩევთ.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები
თეორიული ინფორმაცია
თეორიული ინფორმაცია
არითმეტიკული პროგრესია |
გეომეტრიული პროგრესია |
|
განმარტება |
არითმეტიკული პროგრესია a nიწოდება თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი მეორიდან დაწყებული ტოლია წინა წევრის, დამატებული იგივე რიცხვით. დ (დ- პროგრესის განსხვავება) |
გეომეტრიული პროგრესია ბ ნიწოდება არანულოვანი რიცხვების თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ქ (ქ- პროგრესირების მნიშვნელი) |
განმეორებითი ფორმულა |
ნებისმიერი ბუნებრივი ნ |
ნებისმიერი ბუნებრივი ნ |
n-ე ტერმინის ფორმულა |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| დამახასიათებელი თვისება |  |
|
| პირველი n წევრთა ჯამი |  |
 |
დავალებების მაგალითები კომენტარებით
სავარჯიშო 1
არითმეტიკული პროგრესიით ( a n) a 1 = -6, a 2
n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 დღე
პირობით:
a 1= -6, ასე რომ a 22= -6 + 21d.
აუცილებელია პროგრესირებათა განსხვავების პოვნა:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
პასუხი: a 22 = -48.
დავალება 2
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრი: -3; 6;....
1 გზა (n-ტერმინის ფორმულის გამოყენებით)
გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
როგორც ბ 1 = -3,
მე-2 გზა (რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით)
ვინაიდან პროგრესიის მნიშვნელი არის -2 (q = -2), მაშინ:
ბ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
ბ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
ბ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
პასუხი: ბ 5 = -48.
დავალება 3
არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ) 74 = 34; 76= 156. იპოვეთ ამ პროგრესიის სამოცდამეხუთე წევრი.
არითმეტიკული პროგრესიისთვის დამახასიათებელ თვისებას აქვს ფორმა 
.
ამიტომ:
.
ჩაანაცვლეთ მონაცემები ფორმულაში:
პასუხი: 95.
დავალება 4
არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ ) ა ნ= 3n - 4. იპოვეთ პირველი ჩვიდმეტი წევრის ჯამი.
არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის საპოვნელად გამოიყენება ორი ფორმულა:
.
რომელი მათგანი უფრო მოსახერხებელია ამ შემთხვევაში?
პირობით, ცნობილია საწყისი პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა ( a n) a n= 3n - 4. შეიძლება მოიძებნოს დაუყოვნებლივ და a 1, და a 16პოვნის გარეშე დ. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ პირველ ფორმულას.
პასუხი: 368.
დავალება 5
არითმეტიკული პროგრესიით a n) a 1 = -6; a 2= -8. იპოვეთ პროგრესიის ოცდამეორე წევრი.
n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 დღე.
პირობით, თუ a 1= -6, მაშინ a 22= -6 + 21d. აუცილებელია პროგრესირებათა განსხვავების პოვნა:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
პასუხი: a 22 = -48.
დავალება 6
გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრია ჩაწერილი:
იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x-ით.
ამოხსნისას ვიყენებთ n-ე ტერმინის ფორმულას b n \u003d b 1 ∙ q n - 1გეომეტრიული პროგრესიებისთვის. პროგრესის პირველი წევრი. პროგრესიის q მნიშვნელის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ პროგრესიის რომელიმე ტერმინი და გაყოთ წინაზე. ჩვენს მაგალითში შეგიძლიათ აიღოთ და გაყოთ. ვიღებთ, რომ q \u003d 3. n-ის ნაცვლად, ფორმულაში ვცვლით 3-ს, რადგან აუცილებელია მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის მესამე წევრის პოვნა.
ნაპოვნი მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
.
პასუხი:.
დავალება 7
n-ე წევრის ფორმულით მოცემული არითმეტიკული პროგრესიებიდან აირჩიეთ ის, რისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია. a 27 > 9:
ვინაიდან მითითებული პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს პროგრესიის 27-ე ტერმინისთვის, ჩვენ ვცვლით 27-ს n-ის ნაცვლად ოთხივე პროგრესიაში. მე-4 პროგრესში ვიღებთ:
.
პასუხი: 4.
დავალება 8
არითმეტიკული პროგრესიით a 1= 3, d = -1.5. მიუთითეთ n-ის უდიდესი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მოქმედებს უტოლობა a n > -6.
ონლაინ კალკულატორი.
არითმეტიკული პროგრესირების ამოხსნა.
მოცემულია: a n, d, n
იპოვეთ: a 1
ეს მათემატიკური პროგრამა პოულობს არითმეტიკული პროგრესიის \(a_1\) მომხმარებლის მიერ მითითებულ რიცხვებზე \(a_n, d \) და \(n \) საფუძველზე.
რიცხვები \(a_n\) და \(d \) შეიძლება მითითებული იყოს არა მხოლოდ როგორც მთელი რიცხვები, არამედ წილადები. უფრო მეტიც, წილადი რიცხვი შეიძლება შეიყვანოთ როგორც ათობითი წილადი (\(2.5 \)) და როგორც ჩვეულებრივი წილადი (\(-5\frac(2)(7) \)).
პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ აჩვენებს გამოსავლის ძიების პროცესს.
ეს ონლაინ კალკულატორი შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მომზადებისას, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდამდე და მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.
ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში გაიზრდება.
თუ არ იცნობთ ნომრების შეყვანის წესებს, გირჩევთ გაეცნოთ მათ.
ნომრების შეყვანის წესები
რიცხვები \(a_n\) და \(d \) შეიძლება მითითებული იყოს არა მხოლოდ როგორც მთელი რიცხვები, არამედ წილადები.
რიცხვი \(n\) შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვი.
ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში მთელი და წილადი ნაწილები შეიძლება გამოიყოს წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად, შეგიძლიათ შეიყვანოთ ათწილადები, როგორიცაა 2.5 ან 2.5
ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.
მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.
რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
შეყვანა:
შედეგი: \(-\frac(2)(3) \)
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტით: &
შეყვანა:
შედეგი: \(-1\frac(2)(3) \)
აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.
იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...
Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.
ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:
ცოტა თეორია.
რიცხვითი თანმიმდევრობა
ყოველდღიურ პრაქტიკაში, სხვადასხვა ობიექტების ნუმერაცია ხშირად გამოიყენება მათი განლაგების თანმიმდევრობის აღსანიშნავად. მაგალითად, თითოეულ ქუჩაზე სახლები დანომრილია. ბიბლიოთეკაში მკითხველის გამოწერები ინომრება და შემდეგ აწყობენ მინიჭებული ნომრების თანმიმდევრობით სპეციალურ ფაილურ კაბინეტებში.
შემნახველ ბანკში მეანაბრის პირადი ანგარიშის ნომრით შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ეს ანგარიში და ნახოთ როგორი ანაბარი აქვს. ნომერ 1 ანგარიშზე იყოს a1 რუბლის დეპოზიტი, მე-2 ანგარიშზე a2 რუბლის დეპოზიტი და ა.შ. რიცხვითი თანმიმდევრობა
a 1, a 2, a 3, ..., a N
სადაც N არის ყველა ანგარიშის ნომერი. აქ თითოეულ ნატურალურ რიცხვს n 1-დან N-მდე ენიჭება რიცხვი a n.
მათემატიკაც სწავლობს უსასრულო რიცხვების თანმიმდევრობა:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
ნომერი a 1 ეწოდება მიმდევრობის პირველი წევრი, ნომერი 2 - მიმდევრობის მეორე წევრი, ნომერი 3 - რიგითობის მესამე წევრიდა ა.შ.
რიცხვი a n ეწოდება მიმდევრობის მე-n-ე წევრიდა ნატურალური რიცხვი n არის მისი ნომერი.
მაგალითად, ნატურალური რიცხვების კვადრატების მიმდევრობაში 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... და 1 = 1 არის მიმდევრობის პირველი წევრი; და n = n 2 არის მიმდევრობის n-ე წევრი; a n+1 = (n + 1) 2 არის მიმდევრობის (n + 1)-ე (en პლუს პირველი) წევრი. ხშირად თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს მისი n-ე წევრის ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) იძლევა თანმიმდევრობას \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \წერტილები,\frac(1)(n) , \წერტილები \)
არითმეტიკული პროგრესია
წელიწადის ხანგრძლივობა დაახლოებით 365 დღეა. უფრო ზუსტი მნიშვნელობა არის \(365\frac(1)(4) \) დღე, ამიტომ ყოველ ოთხ წელიწადში ერთხელ გროვდება ერთი დღის შეცდომა.
ამ შეცდომის გასათვალისწინებლად ყოველ მეოთხე წელს ემატება დღე, ხოლო წაგრძელებულ წელს ნახტომი წელიწადი ეწოდება.
მაგალითად, მესამე ათასწლეულში ნახტომი წლებია 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
ამ თანმიმდევრობით, ყოველი წევრი, დაწყებული მეორიდან, უდრის წინა, დამატებული იგივე რიცხვით 4. ასეთ მიმდევრებს ე.წ. არითმეტიკული პროგრესიები.
განმარტება.
რიცხვითი მიმდევრობა a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ ყველა ბუნებრივი n თანასწორობა
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
სადაც d არის რაღაც რიცხვი.
ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ a n+1 - a n = d. რიცხვს d ეწოდება განსხვავება არითმეტიკული პროგრესია.
არითმეტიკული პროგრესიის განმარტებით, გვაქვს:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
სადაც
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), სადაც \(n>1 \)
ამრიგად, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, დაწყებული მეორედან, უდრის მის მიმდებარე ორი წევრის საშუალო არითმეტიკულს. ეს ხსნის სახელწოდებას "არითმეტიკული" პროგრესიით.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ მოცემულია 1 და d, მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის დარჩენილი წევრები შეიძლება გამოითვალოს რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით a n+1 = a n + d. ამგვარად, პროგრესის პირველი რამდენიმე ტერმინის გამოთვლა არ არის რთული, თუმცა, მაგალითად, 100-ისთვის უკვე ბევრი გამოთვლა იქნება საჭირო. ჩვეულებრივ, ამისათვის გამოიყენება n-ე ტერმინის ფორმულა. არითმეტიკული პროგრესიის განმარტების მიხედვით
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
და ა.შ.
საერთოდ,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ვინაიდან არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრი მიიღება პირველი წევრისგან d რიცხვზე (n-1)-ჯერ შეკრებით.
ამ ფორმულას ე.წ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა.
არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი
ვიპოვოთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი 1-დან 100-მდე.
ჩვენ ვწერთ ამ თანხას ორი გზით:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
ჩვენ ვამატებთ ამ თანასწორობებს ტერმინებით:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
ამ ჯამში 100 ტერმინია.
ამიტომ, 2S = 101 * 100, საიდანაც S = 101 * 50 = 5050.
ახლა განვიხილოთ თვითნებური არითმეტიკული პროგრესია
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
მოდით S n იყოს ამ პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
მერე არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი არის
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
ვინაიდან \(a_n=a_1+(n-1)d \), შემდეგ ამ ფორმულაში n-ის ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ სხვა ფორმულას საპოვნელად. არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამები:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
